PRIMERA CLASE 13-08

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Repaso de contenidos 
CINEMÁTICA 
La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos sin importar las causas que lo producen. 
La intención del estudio es establecer leyes que permitan predecir un resultado. 
La complejidad de los movimientos observados requiere de modelos que nos permitan 
acercarnos a la realidad para lo cual es necesario hacer suposiciones (hipótesis) que, luego 
de experiencias ajustadas a las mismas, nos permitan establecer expresiones predictivas 
válidas. 
Modelos de la cinemática 
La física distingue dos modelos: cuerpo y punto. 
Los cuerpos tienen dimensiones y por lo tanto los puntos que lo conforman se pueden ver 
afectados por la rotación, la traslación o por ambos movimientos. 
El movimiento más general de un cuerpo es la roto traslación y los casos particulares del 
mismo se obtienen por omisión de uno los de ellos (solo rota= rotacional rotatorio; solo se 
traslada = traslacional), restando un caso especial donde el vector rotación que anima al 
cuerpo pivotea en un punto (rotacional polar). 
Los puntos no tienen dimensiones y por ello solo pueden experimentas traslación (los 
cuerpos que solo se trasladan pueden representarse como puntos). 
Cinemática del punto 
Para distinguir reposo de movimiento es necesario fijar una referencia desde la cual realizar 
las observaciones. Resulta un tanto complicado imaginarse un punto fijo en el planeta desde 
el cual se pueda distinguir reposo de movimiento, a sabiendas que el planeta rota y se 
traslada y el universo se encuentra en expansión. No obstante ello, y luego de realizadas 
muchas experiencias, los resultados obtenidos considerando un sistema de referencia 
solidario a la tierra como fijo constituyen una muy buena aproximación para la resolución de 
problemas en la tierra. 
Bajo la consideración anterior, supondremos un sistema de referencia solidario a la tierra 
como fijo. Repasaremos algunos conceptos vistos en física I, con más el agregado de la 
herramienta matemática que permite la materialización de modelos crecientes en 
complejidad. 
 
 
 
 x 
y 
z
z 
P 
 
o 
Pt 
(𝑃 − 𝑂) = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 
(𝑃 − 𝑂) = 𝑥𝑖̌ + 𝑦𝑗̌ + 𝑧�̌� 
�̅�𝑝 =
𝑑(𝑃 − 𝑂)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖̌ +
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑗̌ +
𝑑𝑧
𝑑𝑡
�̌� 
�̅�𝑝 = �̇�𝑖̌ + �̇�𝑗̌ + �̇��̌� 
�̅�𝑝 =
𝑑�̅�𝑝
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
𝑖̌ +
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
𝑗̌ +
𝑑2𝑧
𝑑𝑡2
�̌� 
�̅�𝑝 = �̈�𝑖̌ + �̈�𝑗̌ + �̈��̌� 
 
 
Recordemos la relación existente entre la velocidad escalar instantánea y el módulo del 
vector velocidad instantánea. 
 
 
 
 
 
 
Comparando 𝑉 con |�̅�| observamos que el arco y la cuerda se hacen iguales en el límite, es 
decir: 
|�̅�| = lím 
∆𝑡̅→0
|∆�̅�|
∆𝑡
= lim
∆𝑆→0
∆𝑆
∆𝑡
 → |�̅�| = �̇� 
Ejemplo Nº1: 
De lo visto se desprende que para calcular la velocidad y la aceleración de un punto es 
necesario conocer como varía el vector posición en función del tiempo. En lugar de darles 
las coordenadas de dicho vector en función del tiempo para que luego deriven y determinen 
los valores de la velocidad y aceleración, nos dedicaremos a encontrar la expresión que 
representa al vector posición en función del tiempo. Asimismo, los puntos no serán libres 
sino que formarán parte de cuerpos que conforman un mecanismo. Obviamente dichos 
elementos deben ser considerados rígidos (indeformables) para que los planteos sean 
válidos. 
El esquema indicado en la figura representa un mecanismo idealizado biela manivela donde 
las longitudes de ambas barras son iguales. Pretendemos calcular la velocidad y aceleración 
de los puntos B y C. 
 
Definimosla terna fija configurándola de la siguiente manera: 
A 
B 
C 
 
φφ 
 
ω 
DATOS 
AB = BC = L 
ω = constante 
CONDICIONES DE BORDE 
t0 = 0 ; A, B y C se encuentran 
alineados sobre la horizontal AC, de 
lo cual se desprende que φ0 = 0 
∆𝑆 
∆�̅� 
𝑌 
𝑋 
Velocidad escalar instantánea 
𝑉 = lim
∆𝑆→0
∆𝑆
∆𝑡
 
Vector velocidad instantánea 
�̅� = lím 
∆𝑡̅→0
∆�̅�
∆𝑡
 
 
 
 
Origen “O” coincidente con el punto A. 
Eje “X” según la dirección AC y dirigido de A hacia C. 
Eje “Y” perpendicular al anterior y dirigido hacia arriba 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de v̅B y a̅B 
Necesitamos conocer la ley de variación del vector posición (B − O). Para ello 
representamos gráficamente al mismo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente pudimos encontrar el vector posición en función del tiempo: 
(B − O) = Lcos(𝜔𝑡)𝑖̌ + Lsen(𝜔𝑡)𝑗 ̌
�̅�𝐵 =
𝑑(B−O)
𝑑𝑡
= −Lω. sen(𝜔𝑡)𝑖̌ + L𝜔. cos(𝜔𝑡)𝑗̌→�̅�𝐵 = −Lω. sen(𝜔𝑡)𝑖̌ + L𝜔. cos(𝜔𝑡)𝑗̌ 
�̅�𝐵 =
𝑑2(B−O)
𝑑𝑡2
=
𝑑�̅�𝐵
𝑑𝑡
= −Lω2. cos(𝜔𝑡)𝑖̌ − L𝜔2. sen(𝜔𝑡)𝑗̌→�̅�𝐵 = −Lω
2. cos(𝜔𝑡)𝑖̌ − L𝜔2. sen(𝜔𝑡)𝑗̌ 
El punto B describe una trayectoria circular. Podemos aprovechar la ocasión para verificar la 
coincidencia con lo aprendido en Física I. Para ello determinemos el módulo de los vectores 
velocidad y aceleración: 
|�̅�𝐵| = √[Lω. sen(𝜔𝑡)]
2 + [L𝜔. cos(𝜔𝑡)]2→|�̅�𝐵| = √L
2ω2. sen2(𝜔𝑡) + L2ω2. cos2(𝜔𝑡)→ 
|�̅�𝐵| = √L
2ω2. [sen2(𝜔𝑡) + cos2(𝜔𝑡)]→|�̅�𝐵| = √L
2ω2→|�̅�𝐵| = L𝜔 
|�̅�𝐵| = √[Lω
2. cos(𝜔𝑡)]2 + [L𝜔2. sen(𝜔𝑡)]2→|�̅�𝐵| = √L
2ω4. cos2(𝜔𝑡) + L2ω4. sen2(𝜔𝑡)→ 
|�̅�𝐵| = √L
2ω4. [cos2(𝜔𝑡) + sen2(𝜔𝑡)]→|�̅�𝐵| = √L
2ω4→|�̅�𝐵| = 𝐿𝜔
2 
O≡A 
B 
C 
 
φφ 
 
ω 
y 
x 
O≡A 
B 
C 
 
φφ 
 
ω 
y 
x 
(B − O) 
(B − O) = Lcosφ 𝑖̌ + Lsenφ 𝑗̌ 
Todavía no tenemos toda la información. 
Falta determinar la ley de variación de φ. 
De las condiciones de borde: 
𝑑𝜑
𝑑𝑡
= 𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒→ separando variables 
e integrando 
𝑑𝜑
𝑑𝑡
= 𝜔→∫ 𝑑𝜑
𝜑
0
= ∫ 𝜔. 𝑑𝑡
𝑡
0
→𝜑 = 𝜔𝑡 
 
El módulo del vector velocidad es la velocidad escalar instantánea, vale decir: 
|�̅�𝐵| = L𝜔 = �̇�𝐵→�̇�𝐵 =
𝑑𝑆𝐵
𝑑𝑡
= L𝜔→𝑑𝑆𝐵 = L𝜔. 𝑑𝑡→∫ 𝑑𝑆𝐵
𝑆𝐵
0
= ∫ L𝜔. 𝑑𝑡
𝑡
0
→𝑆𝐵 = L𝜔. 𝑡 
𝑆𝐵 = L𝜔. 𝑡 Ley horaria: nos informa la longitud de camino recorrido en función del tiempo. 
(B − O) = Lcos(𝜔𝑡)𝑖̌ + Lsen(𝜔𝑡)𝑗̌ Ecuación horaria: nos informa la posición que ocupa el 
punto en cada instante 
Ecuación de la trayectoria: es la forma del camino. No depende del tiempo. Para obtener su 
expresión partimos de las coordenadas del punto: 
{
𝑥 = Lcos(𝜔𝑡)
y = Lsen(𝜔𝑡)
 
Debemos eliminar el parámetro tiempo entre ambas. Elevamos al cuadrado ambos 
miembros de las expresiones y luego sumamos miembro a miembro: 
𝑥2 = L2cos2(𝜔𝑡) 
y2 = L2sen2(𝜔𝑡)
𝑥2 + y2 = L2. [cos2(𝜔𝑡) + sen2(𝜔𝑡)]
 
𝑥2 + y2 = L2 Circunferencia de centro en A radio L. 
 
Cálculo de v̅Cy a̅C 
Comencemos indicando el un gráfico el vector (C − O) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos entonces expresarlo de la siguiente manera: 
(C − O) = (B − O) + (C − B) 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
O≡A 
B 
C 
 
φφ 
 
ω 
y 
x 
(C − O) 
El vector (C − O) varía en módulo. Para 
poder formularlo tendremos presente que 
todo vector puede expresarse como suma 
de otros vectores. En general se utilizan 
vectores cuyas direcciones coinciden con 
elementos del mecanismo de los cuales 
conocemos tanto su dimensión como su 
dirección. 
 
 
 
O≡A 
B 
C 
 
φφ 
 
ω 
y 
x 
(B − O) (C − B) 
(C − O) 
(B − O) = Lcos(𝜔𝑡)𝑖̌ + Lsen(𝜔𝑡)𝑗̌ 
(C − B) = Lcos(𝜔𝑡)𝑖̌ − Lsen(𝜔𝑡)𝑗̌ 
Sumando 
(C − O) = 2 Lcos(𝜔𝑡)𝑖̌ 
 
 
Ahora podemos determinar los vectores velocidad y aceleración del punto C. Derivando: 
�̅�𝐶 =
𝑑(C−O)
𝑑𝑡
= −2L𝜔. sen(𝜔𝑡)𝑖→̌�̅�𝐶 = −2L𝜔. sen(𝜔𝑡)𝑖̌ 
�̅�𝐶 =
𝑑2(C−O)
𝑑𝑡2
=
𝑑�̅�𝐶
𝑑𝑡
= −2Lω2. cos(𝜔𝑡)𝑖 ̌ → �̅�𝐶 = −2Lω
2. cos(𝜔𝑡)𝑖 ̌
La ecuación de la trayectoria es una línea recta. El punto C describe un movimiento 
oscilatorio alrededor del punto A de amplitud 2L (el punto C puede moverse a menor o 
mayor velocidad sobre el mismo). Para manifestar ese camino reemplazamos 𝜔𝑡 por φ, 
resultando entonces: 
(C − O) = 2 Lcos(𝜑)𝑖 ̌
Velocidad escalar instantánea: 
[�̅�𝐶] = √[2L𝜔. sen(𝜔𝑡)]
2
→[�̅�𝐶] = �̇�𝐶 =2L𝜔. sen(𝜔𝑡) 
Ley horaria: 
�̇�𝐶 = 2L𝜔. sen(𝜔𝑡)→
𝑑𝑆𝐶
𝑑𝑡
= 2L𝜔. sen(𝜔𝑡)→𝑑𝑆𝐶 = 2L𝜔. sen(𝜔𝑡). 𝑑𝑡→∫ 𝑑𝑆𝐶
𝑆𝐶
2𝐿
=
∫ 2L𝜔. sen(𝜔𝑡). 𝑑𝑡
𝑡
0
→𝑆𝐶]2𝐿
𝑆𝐶 = −2Lcos(𝜔𝑡)]0
𝑡
→𝑆𝐶 = −2Lcos(𝜔𝑡) + 2𝐿→ 
𝑆𝐶 = 2L[−cos(𝜔𝑡) + 1] 
Con el procedimiento explicado podemos determinar la velocidad y aceleración de la 
totalidad de los puntos que conforman los elementos del mecanismo. 
Ejemplo Nº2: 
El mecanismo indicado en la figura consiste de una barra AB de longitud L1, articulada en el 
punto A que gira con velocidad angular absoluta constante ω1alrededor del punto A, que 
tiene articulada en su extremo una barra BC de longitud L2 que gira con velocidad angular 
absoluta constante ω2 alrededor del punto B. 
El término absoluto indicado para las velocidades angulares, significa que los ángulos 
barridos se miden respecto de sistema de referencia fijo (en éste caso respecto del eje X). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1

 
C 
2

 
C 
A 
B 
C 
X 
Y 
ω2= cte. 
ω1= cte. 
L1 
L2 
Condiciones de borde: 
00 =t ; A, B y C sobre el eje X 
De lo cual se deduce: 
0;0 )0(2)0(1 ==  
Nos proponemos determinar los vectores velocidad y aceleración del punto C. 
Para ello comenzamos graficando el vector posición para su posterior determinación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representamos los vectores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumamos 
 
(𝐶 − 𝑂) = (𝐿1𝑐𝑜𝑠𝜑1 + 𝐿2𝑐𝑜𝑠𝜑2)𝑖 ̌ + (𝐿1𝑠𝑒𝑛𝜑1 + 𝐿2𝑠𝑒𝑛𝜑2)𝑗 ̌ 
Todavía no está determinado, necesitamos conocer las leyes de variación de los ángulos en función 
del tiempo. 
Conocemos las velocidades angulares. Con las condiciones de contorno podemos determinar como 
varían esos ángulos en función del tiempo: 
𝑑𝜑1
𝑑𝑡
= 𝜔1→∫ 𝑑𝜑1
𝜑1
0
= ∫ 𝜔1. 𝑑𝑡
𝑡
0
→𝜑1 = 𝜔1𝑡 
Análogamente 
1

 
C 
2

 
C 
A 
B 
C 
X 
Y 
L1 
L2 
(𝐶 − 𝑂) = (𝐵 − 𝑂) + (𝐶 − 𝐵) 
(𝐵 − 𝑂) = 𝐿1𝑐𝑜𝑠𝜑1𝑖 ̌ + 𝐿1𝑠𝑒𝑛𝜑1𝑗 ̌ 
(𝐶 − 𝐵) = 𝐿2𝑐𝑜𝑠𝜑2𝑖 ̌ + 𝐿2𝑠𝑒𝑛𝜑2𝑗 ̌ 
 
 
(C-O) 
 
1

 
C 
2

 
C 
A 
B 
C 
X 
Y 
L1 
L2 
Al vector posición lo podemos 
expresar como la suma de dos 
vectores determinados por las barras 
que conforman el mecanismo ya que 
de ellos conocemos sus dimensiones y 
como varía su dirección en el tiempo: 
(𝐶 − 𝑂) = (𝐵 − 𝑂) + (𝐶 − 𝐵) 
(C-O) 
 
𝑑𝜑2
𝑑𝑡
= 𝜔2→∫ 𝑑𝜑2
𝜑2
0
= ∫ 𝜔2. 𝑑𝑡
𝑡
0
→𝜑2 = 𝜔2𝑡 
Finalmente: 
(𝐶 − 𝑂) = (𝐿1𝑐𝑜𝑠𝜔1𝑡 + 𝐿2𝑐𝑜𝑠𝜔2𝑡)𝑖 ̌ + (𝐿1𝑠𝑒𝑛𝜔1𝑡 + 𝐿2𝑠𝑒𝑛𝜔2𝑡)𝑗 ̌ 
Ahora podemos determinar los vectores velocidad y aceleración derivando: 
�̅�𝐶 =
𝑑(C − O)
𝑑𝑡
= (−𝐿1𝜔1𝑠𝑒𝑛𝜔1𝑡 − 𝐿2𝜔2𝑠𝑒𝑛𝜔2𝑡)𝑖 ̌ + (𝐿1𝜔1𝑐𝑜𝑠𝜔1𝑡 + 𝐿2𝜔2𝑐𝑜𝑠𝜔2𝑡)𝑗 ̌ 
�̅�𝐶 =
𝑑2(C − O)
𝑑𝑡2
=
𝑑�̅�𝐶
𝑑𝑡
= (−𝐿1𝜔1
2𝑐𝑜𝑠𝜔1𝑡 − 𝐿2𝜔2
2𝑐𝑜𝑠𝜔2𝑡)𝑖 ̌ + (−𝐿1𝜔1
2𝑠𝑒𝑛𝜔1𝑡 − 𝐿2𝜔2
2𝑠𝑒𝑛𝜔2𝑡)𝑗 ̌ 
Igual que en el ejemplo anterior podemos determinar la velocidad escalar instantánea: 
|�̅�𝐶| = √(−𝐿1𝜔1𝑠𝑒𝑛𝜔1𝑡 − 𝐿2𝜔2𝑠𝑒𝑛𝜔2𝑡)
2 + (𝐿1𝜔1𝑐𝑜𝑠𝜔1𝑡 + 𝐿2𝜔2𝑐𝑜𝑠𝜔2𝑡)
2 
|�̅�𝐶| = �̇�𝐶
= √𝐿1
2𝜔1
2 + 𝐿2
2𝜔2
2 + 2(𝐿1𝐿2𝜔1𝜔2𝑠𝑒𝑛𝜔1𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔2𝑡) + 2(𝐿1𝐿2𝜔2𝜔1𝑐𝑜𝑠𝜔1𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜔2𝑡) 
|�̅�𝐶| = �̇�𝐶 = √𝐿1
2𝜔1
2 + 𝐿2
2𝜔2
2 + 2𝐿1𝐿2𝜔1𝜔2(𝑠𝑒𝑛𝜔1𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜔2𝑡) + 2𝐿1𝐿2𝜔1𝜔2(𝑐𝑜𝑠𝜔1𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜔2𝑡) 
|�̅�𝐶| = �̇�𝐶 = √𝐿1
2𝜔1
2 + 𝐿2
2𝜔2
2 + 2𝐿1𝐿2𝜔1𝜔2𝑐𝑜𝑠[(𝜔1 − 𝜔2)𝑡] 
Les propongo que intenten determinar la ecuación de la trayectoria. Pueden ensayar con 
distintas relaciones de velocidades angulares. 
Ejercicio propuesto (terna fija) 
Origen O≡A; t0=0 ; BD ≡ X ; PD // Y ; ABC≡Z 
 
 
 
 
 
 
 
Éste ejercicio, ciertamente laborioso, nos mostrará las virtudes de las ternas móviles. 
𝜔1 = 𝑐𝑡𝑒. 
A 
B 
C 
D A 
B 
C 
D 
L2 
�̅�1 
�̅�2 
R 
P 
L1 
L1 𝜔2 = 𝑐𝑡𝑒. 
𝐴 ≡ 𝐵 ≡ 𝐶 
y 
x 𝜑1 
𝜑2 
Como en los ejercicios anteriores, para determinar el vector posición, utilizaremos elementos que 
conforman el mecanismo. Así podemos plantear: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(𝑃 − 𝐴) = [𝐿2𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡) − 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜔2𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜔1𝑡)]𝑖̌ + [𝐿2𝑠𝑒𝑛(𝜔1𝑡) + 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜔2𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡)]𝑗̌ + [𝐿1 + 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜔2𝑡)]�̌� 
Podrán observar que la mayor parte del trabajo debe destinarse a la formulación del vector 
posición. 
La obtención de los vectores velocidad y aceleración, no menos laboriosa, depende de la 
correcta formulación del vector posición. 
Dejo acá el ejercicio para que lo continúen en la práctica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜔1 = 𝑐𝑡𝑒. 
A 
B 
C 
D 
P 
𝜔2 = 𝑐𝑡𝑒. 
(𝑃 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴) + (𝐷 − 𝐵) + (𝑃 − 𝐷) 
(𝐵 − 𝐴) = 𝐿1�̌� 
(𝐷 − 𝐵) = 𝐿2𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡)𝑖̌ + 𝐿2𝑠𝑒𝑛(𝜔1𝑡)𝑗 ̌
(𝑃 − 𝐷) = −𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜔2𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝜔1𝑡)𝑖̌ + 𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜔2𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡)𝑗̌ + 𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜔2𝑡)�̌� 
 
 
x 𝜑1 
𝜑2 
y 
(D-B) 
(P-D) 
𝜑2 
R cos(ω2t) 
SISTEMAS DE REFERENCIA MÓVIL 
Los sistemas de referencia móviles son de gran utilidad en la resolución de la mayoría de los 
problemas. Los mismos permiten visualizar magnitudes cinemáticas y dinámicas en la 
verdadera dirección en la que ocurren o bien forman parte de la estructura de los modelos 
que permiten interpretar fácilmente las mismas (la comprensión física del vector aceleración 
requiere de éste tipo de modelos). 
Todo sistema de referencia móvil se encuentra asociado a un sistema de referencia fijo. 
Consideramos con suficiente aproximación un sistema de referencia solidario a la tierra 
como fijo para la resolución de problemas en la tierra. Bajo éste punto de vista las 
magnitudes cinemáticas de un punto que se mueve sobre la tierra pueden ser consideradas 
como absolutas (tienen un único valor). Esas magnitudes no cambian si las proyectamos 
sobre distintos sistemas de referencia. Pueden cambiar sus componentes en cada sistema 
de referencia, pero sus módulos son únicos. 
Evidentemente el sistema de referencia en el que tenemos mayor entrenamiento es el 
cartesiano considerado como fijo. Los sistemas de referencia móviles los utilizamos en física 
y aunque en general no se definen formalmente, hacemos uso de los mismos para proyectar 
magnitudes absolutas resultando muy útiles para resolver problemas. 
En general los sistemas de referencia móvil se eligen también porque se adaptan mejor a la 
geometría del problema. 
Estudiamos en particular dos sistemas de referencia móviles. Uno de ellos solo rota 
(coordenadas cilíndricas), mientras que el otro rota y se traslada (coordenadas intrínsecas). 
Éste último recibe ese nombre porque el sistema acompaña al punto en su movimiento 
(intrínseco = propio). 
Existen otros sistemas de referencia móviles que no necesariamente se corresponde con los 
mencionados, los cuales presentaremos a medida que vayamos avanzando en la materia en 
diferentes temáticas (cinemática del cuerpo rígido, cinemática del movimiento relativo, 
dinámica del punto, dinámica del cuerpo rígido, etc.). 
Antes de iniciar el abordaje de la temática, vuelvo a recalcar que los sistemas de referencia 
móviles se asocian a sistemas de referencia fijos y que los utilizamos para proyectar 
magnitudes absolutas. 
 
 
 
 
 
COORDENADAS CILÍNDRICAS 
Es un sistema de referencia móvil cuya particularidad es que solo rota (no se 
traslada). 
Para ver como se construye, supongamos una curva alabeada en el espació referida 
a un sistema de coordenadas fijo (o,x,y,z) sobre la que se desplaza una partícula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definimos los versores que conforman la terna: 
O1 ≡ O (origen de la móvil coincidente con el origen de la fija) 
�̌� (radial): dirigido de O hacia P1 
�̌�(transversal): perpendicular al anterior y sentido según sea el de avance del 
movimiento. 
�̌�1 ≡ �̌� 
Para que quede perfectamente definida la posición del punto en éste sistema de 
coordenadas es necesario conocer en cada instante la distancia |(𝑃1 − 𝑂)| = 𝜌, la 
dirección y sentido del mismo que viene dada por el ángulo 𝜑, que se mide respectode una semirrecta origen que en éste caso es el eje X, y la coordenada Z. 
𝜑 
𝜌 
𝑂1 ≡ 𝑂 
𝑠𝑒𝑚𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 
𝑥 
𝑦 
𝑧 
𝑃 
𝑃1 
�̌� 
�̌� 
�̌� 
El origen de la terna coincidirá 
con el origen de coordenadas de 
la fija. 
Descomponemos el vector 
posición en dos componentes: 
una paralela al eje Z y otra 
contenida en el plano XY. 
Para una mejor comprensión 
supongamos que la línea de 
trazos es la proyección sobre el 
plano XY de los puntos que 
conforman la trayectoria. Así la 
proyección sobre el plano XY de 
P es el punto P1 
Construimos el vector posición: 
(𝑃 − 𝑂) = (𝑃 − 𝑃1) + (𝑃1 − 𝑂) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(𝑃 − 𝑂) = (𝑃1 − 𝑂) + 𝑧 �̌�→(𝑃 − 𝑂) = 𝜌 �̌� + 𝑧 �̌� 
Para obtener la velocidad es necesario derivar la posición respecto del tiempo: 
�̅�𝑝 =
𝑑(𝑃 − 𝑂)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝜌 �̌� + 𝑧 �̌�)
𝑑𝑡
 
En el proceso de derivación debemos tener en cuenta que el versor �̌� cambia de 
dirección en el tiempo: 
�̅�𝑝 =
𝑑𝜌
𝑑𝑡
�̌� + 𝜌
𝑑�̌�
𝑑𝑡
+
𝑑𝑧
𝑑𝑡
�̌� + 𝑧
𝑑�̌�
𝑑𝑡
 
Como �̌� no cambia →
𝑑�̌�
𝑑𝑡
= 0̅ 
�̅�𝑝 = �̇��̌� + 𝜌
𝑑�̌�
𝑑𝑡
+ �̇��̌� 
Nos falta determinar la derivada del versor �̌�. Para una mejor interpretación 
realizamos un gráfico cualitativo indicando al versor en dos instantes: 
 
 
 
 
 
 
𝑑�̌�
𝑑𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆�̅�
∆𝑡
 
Representamos gráficamente el cambio que experimenta el versor (versor 
diferencia) entre los instantes manifestados, los cuales por tener igual módulo 
quedan inscriptos dentro de un arco de circunferencia de radio 1: 
 
 
 
 
�̌�𝑡 
�̌�𝑡+∆𝑡 
�̌�𝑡 
�̌�𝑡+∆𝑡 
𝜑𝑡 
𝜑𝑡+∆𝑡 
∆𝜑 
∆𝜑 
∆�̌� 
 
Analizamos primero el módulo 
del numerador del cociente 
incremental: 
|∆�̌�| = 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 ≅ 𝑎𝑟𝑐𝑜 = ∆𝜑. 1 
Reemplazamos en el límite: 
lim
∆𝑡→0
|∆�̅�|
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆𝜑
∆𝑡
= �̇� 
 
 
En cuanto a la dirección, en el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, ∆�̌� 
tiende a hacerse tangente al arco (en este caso una circunferencia de radio unitario) y por lo 
tanto perpendicular a �̌�𝑡, vale decir que tiene la dirección de �̌�𝑡. 
Conclusión: 
𝑑�̌�
𝑑𝑡
= �̇��̌� 
Reemplazando en la expresión de la velocidad: 
�̅�𝑝 = �̇��̌� + 𝜌
𝑑�̌�
𝑑𝑡
+ �̇��̌�→�̅�𝑝 = �̇��̌� + 𝜌�̇��̌� + �̇��̌� Expresión de la velocidad en cilíndricas. 
Para determinar la aceleración derivamos el vector velocidad respecto del tiempo: 
�̅�𝑝 =
𝑑�̅�𝑝
𝑑𝑡
→�̅�𝑝 =
𝑑(�̇��̌�+𝜌�̇��̌�+�̇��̌�)
𝑑𝑡
 
�̅�𝑝 = �̈��̌� + �̇�
𝑑�̌�
𝑑𝑡
+ (�̇��̇� + 𝜌�̈�)�̌� + 𝜌�̇�
𝑑�̌�
𝑑𝑡
+ �̈��̌� + �̇�
𝑑�̌�
𝑑𝑡
 
Expresión en la cual 
𝑑�̌�
𝑑𝑡
= 0̅ y 
𝑑�̌�
𝑑𝑡
= �̇��̌� , restando determinar 
𝑑�̌�
𝑑𝑡
 . Para ello 
utilizaremos la figura de análisis anterior, que ampliamos incluyendo los versores 
transversales correspondientes a los instantes manifestados. 
 
 
 
 
 
 
 
En cuanto a la dirección, en el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, ∆�̌� 
tiende a hacerse tangente al arco (en este caso una circunferencia de radio unitario) y por lo 
tanto perpendicular a �̌�𝑡, vale decir que tiene la dirección de −�̌�𝑡. 
𝑑�̌�
𝑑𝑡
= −�̇��̌� 
Reemplazando en la expresión de la aceleración: 
∆𝜑 
∆�̌� 
 
𝑑�̌�
𝑑𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆�̅�
∆𝑡
 
Analizamos primero el módulo del cociente 
incremental: 
|∆�̌�| = 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 ≅ 𝑎𝑟𝑐𝑜 = ∆𝜑. 1 
Reemplazamos en el límite: 
lim
∆𝑡→0
|∆�̅�|
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆𝜑
∆𝑡
= �̇� 
 
 
 
 
 
∆𝜑 
∆�̌� 
 
�̅�𝑝 = �̈��̌� + �̇�
𝑑�̌�
𝑑𝑡
+ (�̇��̇� + 𝜌�̈�)�̌� + 𝜌�̇�
𝑑�̌�
𝑑𝑡
+ �̈��̌� + �̇�
𝑑�̌�
𝑑𝑡
 
�̅�𝑝 = �̈��̌� + �̇��̇��̌� + (�̇��̇� + 𝜌�̈�)�̌� + 𝜌�̇�(−�̇��̌�) + �̈��̌� 
�̅�𝑝 = �̈��̌� + �̇��̇��̌� + (�̇��̇� + 𝜌�̈�)�̌� − 𝜌�̇�
2�̌� + �̈��̌� 
Operando algebraicamente y ordenando: 
�̅�𝑝 = (�̈� − 𝜌�̇�
2)�̌� + (2�̇��̇� + 𝜌�̈�)�̌� + �̈��̌� Expresión de la aceleración en cilíndricas. 
 
Si el movimiento fuera plano las expresiones se reducen denominándose polares: 
�̅�𝑝 = �̇��̌� + 𝜌�̇��̌� 
�̅�𝑝 = (�̈� − 𝜌�̇�
2)�̌� + (2�̇��̇� + 𝜌�̈�)�̌�