84-7786-910-3-completo

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EJERCICIOS DE
FÍSICA
resueltos y propuestos
Francisco Javier Gonzalez Gallero
José Maria Gutierrez Cabezo
José Mendez Zapata
Servicio de Publicaciones kggSj 
UNIVERSIDAD DE CADIZ
I
Universidad de Cádiz 
Departamento de Física Aplicada 
E.P.S. de Algeciras
Ejercicios de Física: 
resueltos y propuestos
Francisco Javier González Gallero 
José María Gutiérrez Cabeza 
José Méndez Zapata
universidad de Cádiz 
SERVICIO DE PUBLICACIONES 
2000
González Gallero, Francisco Javier
Ejercicios de física, resueltos y propuestos / Francisco Javier González Gallero, José María Gutiérrez Cabeza, José Méndez Zapata. — Cádiz: Servicio de Publicaciones de la Universidad, 2000. — 332 p.
ISBN 84-7786-910-3
1. Física - Problemas resueltos. I. Gutiérrez Cabeza, José María. II. Méndez Zapata, José. III. Universidad de Cádiz. Servicio de Publicaciones, ed. III. Título
53 (076.1)
Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz
© Francisco Javier González GalleroJosé María Gutiérrez CabezaJosé Méndez Zapata
I.S.B.N.: 84-7786-910-3Diseño de Cubierta: CreasurImprime: Essan Graphie, S.L. Av. de la Marina, s/n.Punta Umbría - Huelva.Depósito Legal: H-346-2000
Prólogo
La resolución de ejercicios juega un papel fundamental en la evaluación de los conocimientos de Física. Conocida es la frase: “La teoría la entiendo, pero soy incapaz de abordar los problemas”. Existe pues un fracaso generalizado de los estudiantes ante la resolución de problemas, incluso de aquellos que se separan ligeramente de los mostrados en clase. Este libro, fruto de la experiencia docente de los autores con alumnos de primero de Ingeniería Técnica, nace como un intento de mejorar esta situación.
El libro consta de 20 temas de Física Clásica en los que se presentan ejercicios propuestos y/o resueltos. En cada tema los ejercicios se exponen en orden creciente de dificultad, y en la resolución de los mismos se ha tratado de hacer hincapié en los errores más frecuentes cometidos por los alumnos que llegan a la Escuela. A medida que avanzan los temas, coincidiendo con el progreso del curso, se reduce la proporción de problemas resueltos. La metodología que se ha seguido en la resolución se basa en los siguientes puntos:
- Interpretación del enunciado y determinación de incógnitas, para lo que se hace un análisis de la situación inicial y de lo que se pretende resolver en el problema
- Búsqueda de una estrategia de resolución y planteamiento de las ecuaciones, con lo que se traducen a la formulación matemática las condiciones del problema. Es éste el problema central pues supone un conocimiento de los Principios Fundamentales de la Física y de su aplicación a casos o fenómenos concretos.
- Resolución de las ecuaciones, siendo este un apartado básicamente de cálculo, en el que hay que cuidar si algún paso involucra una condición o restricción de tipo físico, lo que se considerará a la hora de proporcionar las soluciones.
- Proporcionar las soluciones y analizar los resultados. Es importante razonar sobre los resultados obtenidos y de alguna manera inculcar esta costumbre a los alumnos, pues nuestra experiencia muestra que en general el alumno se limit a a llegar a unos resultados sin razonar sobre la coherencia de los mismos.
Creemos que este texto, con más de 300 ejercicios (entre resueltos y propuestos) puede servir de ayuda, además de a los estudiantes de Física de las Escuelas de Ingenieros, a los de Facultades de Ciencias puesto que, en definitiva, los objetivos que se persiguen son los mismos: conseguir que los alumnos asimilen y apliquen correctamente las Leyes y Principios Fundamentales de la Física.
Todos los comentarios y sugerencias que nos lleguen de los lectores que utilicen el material de este libro serán bien recibidos por los autores.
Los autores
ÍNDICE
Tema 1: Introducción 1
Tema 2: Álgebra Vectorial 13
Tema 3: Análisis Vectorial 33
Tema 4: Cinemática del punto 65
Tema 5: Movimiento relativo 101
Tema 6: Dinámica de la partícula 143
Tema 7: Trabajo y Energía 191
Tema 8: Dinámica de un sistema de partículas 
y Dinámica del sólido rígido 195
Tema 9: Aplicaciones de los Teoremas 
de Conservación 219
Tema 10: Movimiento Oscilatorio 225
Tema 11: Ondas 231
Temas 12-13: Fluidos en equilibrio.
Fluidos en Movimiento 239
Tema 14: Campo y potencial gravitatorio y 
electrostático 255
Tema 15: Conductores, dieléctricos y capacidad 277
Tema 16: Circuitos de corriente continua 281
Temas 17-18: Interacción magnética.
Campos magnéticos variables 301
Tema 19: Circuitos de comente alterna 307
Tema 20: Transferencia de calor y Termodinámica 311
TEMA N° 1: INTRODUCCIÓN
1.- 15 metros de un cable de 3mm2 de grosor soportan sin romperse una carga de 4500 
Newtons. Hallar la carga que soporta cada metro de cable por cada metro cuadrado de 
sección: N/(m m2). Suponga dependencia lineal entre las magnitudes.
Determinemos la carga que está soportando cada metro de cable. Si, como nos dice el enunciado, consideramos que la carga se distribuye linealmente a lo largo del cable, un metro de cable soportará la decimoquinta parte (1/15) de lo que soporta el cable entero. Por tanto, la carga por metro de cable será: = 300 * 15 m mO sea, cada metro de cable estará sometido a 300 N de carga.Para calcular la carga por metro de cable y m2 de sección, supondremos igualmente que dicha carga se reparte uniformemente a través de la sección del cable. Entonces, para saber la carga a la que estará sometido cada m2, bastará con dividir el resultado anterior por el área de la sección del cable.
300 —
______________ ™________ = 10' -A_
2 2
- 2 in-6 ™ m-m3mm¿ • 10 0-------
2 mrnDonde se ha expresado el área de la sección en m2, para llegar a las unidades requeridas por el enunciado.
2.- Por una tubería de 12cm2 de sección se vierte agua para llenar un depósito de 300 
metros cúbicos. Se quiere concluir el proceso en 15 horas.
¿A qué velocidad tendrá que salir el agua por la tubería?.
Observemos el proceso de llenado.Supongamos que la tubería es como la de la figura adjunta. Por ella sale agua a una cierta velocidad, de forma que la cantidad de agua comprendida en el volumen S-A/ saldrá en un cierto tiempo A/, que dependerá de lo rápido que salga el agua.Así, el caudal, o volumen de agua que saldrá por 
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segundo a través de la tubería será:
S-M „ M c -------- = ó-— = S-v
Donde se ha tenido en cuenta que el cociente A/ / Ai, es la distancia que por segundo recorre el agua por la tubería, es decir, su velocidad. Tenemos entonces que el caudal es proporcional a la sección de la tubería (a mayor sección, más volumen de fluido circulará, para una misma velocidad), y a la velocidad (cuanto más rápido circule el fluido, más cantidad atravesará una sección dada en un tiempo determinado).Si queremos que el depósito de 300 m3 se llene en 15 horas (15x3600= 54000 segundos), necesitaremos un caudal (constante) de 300 m3/ 54000 s = 1/180 m3/s.Entonces: 1 m3c 1 w3 180 5 125 , . ,S-v =-------------=> v - --------------------- = ------m/s = 4.63 m/s180 5 12-lOW 27
3.- ¿Cuáles serán las unidades de X en cada caso?
En los casos que vea posible, determine cuál es la magnitud que representa o cuál puede 
ser su significado.
a) X: raíz cuadrada de 2GM/R.
b) X: aceleración / radio.
c) X: 1/2 Masa por longitud al cuadrado.
d) X: Fuerza por tiempo.
e) X: Masa por aceleración por espacio.
a) X = (2GM/R)1/2.G es la constante de Gravitación Universal, y sus unidades (en el Sistema Internacional de Unidades, SI.1) se pueden determinar a partir de la expresión de la Ley de Gravitación Universal enunciada por Newton:
r, M-m
Es un sistema de unidades en el que las magnitudes fundamentales son la longitud, el tiempo, la masa, la corriente eléctrica, la temperatura, la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia, siendo sus unidades correspondientes: el metro (m), el segundo (s), el kilogramo (Kg), el amperio (A), el grado Kelvin (°K), la candela (cd) y el mol (mol). Ha sido aprobado y recomendado su uso universal por la Conferencia General de Pesos y Medidas.2Donde F es la fuerza de atracción entre dos masas M y m, separadas una distancia R. Entonces, la unidad de G en el SI. será: U(G)= N- m2/Kg2. Donde N (Newton) es la unidad de fuerza en el S I.. La fuerza es por tanto una magnitud derivada (no fundamental) en este sistema de unidades.Entonces, la unidad de la magnitud X será:
UW
/ , 
N-m2
( U -U V/2 *
Donde se ha considerado que el 2 es un factor adimensional.Para obtener más información acerca de la magnitud X, vamos a relacionar la unidad de fuerza con las unidades fundamentales. Esto lo haremos mediante el uso de las leyes físicas (como lo hemos hecho antes para G), pues las leyes físicas relacionan magnitudes entre sí. Nos valdremos en esta ocasión de la 2a Ley de Newton: F = m-a.De esta forma, = U(m) • U(a) = Kg • m/s2. Entonces:
/ 1/2
m
s
Es decir, X tiene dimensiones de velocidad.En temas posteriores, se podrá ver que la expresión de X se corresponde con la de la velocidad de escape del campo gravitatorio creado por una masa M.Se propone al alumno la resolución de los apartados b, c, d y e.
4.- Determine si las ecuaciones siguientes son dimensionalmente correctas:
ajx^v t-a t2 b) m=Ft/v c) E=m a l d) F=mx/t2 - mvt e) x=a t2 - (m v)/(F a); 
donde "x"es longitud, "v" velocidad, "a"aceleración, "t" es tiempo, "m" masa, "F"fuerza 
y "E" energía.
Las leyes físicas se expresan mediante ecuaciones que son dimensionalmente homogéneas, lo que significa que, si un término de la ecuación tiene dimensiones de fuerza, el resto de términos deberá tener dimensiones de fuerza. O, de otro modo, no podemos sumar por ejemplo una velocidad con una fuerza, o restar, o igualar, etc.Para resolver este ejercicio, analizaremos dimensionalmente cada término de la ecuación para ver si son o no iguales.Para analizar dimensionalmente un término determinado (formado por un producto de 
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magnitudes), debemos elegir un conjunto de magnitudes fundamentales, a partir de las cuales expresar las demás. En el ámbito de la Mecánica (Estática y Dinámica), dicho conjunto está formado por tres magnitudes fundamentales: la longitud (L), la masa (M) y el tiempo (T).
Si tenemos que analizar magnitudes que se hallan fuera del dominio de la Mecánica, como por ejemplo las electromagnéticas (carga, intensidad de corriente, potencial eléctrico, etc.) debemos elegir un conjunto (o base) más amplio de magnitudes fundamentales.Dado que las magnitudes del enunciado entran dentro del ámbito de la Mecánica, nuestro conjunto será {M,L,T}.
a) [H] = (LT^T = L
[a-í2] = (LT2)T2 = LComo [x] = L, la ecuación es dimensionalmente correcta.
b) [F-/] = = (MLT^T = MLTX[v] = LTlLa dimensión del cociente será entonces de masa (M), que coincide con la dimensión de m.
c) [mal] = M{LT 2)L = MLT 2
La dimensión de E (energía) es la misma que la del trabajo (fuerza-distancia). O sea, [E] = [^] = [F-¿] = [m-a]-[d] = {MLT2)L = ML2T2
Dimensión que coincide con la anterior.
d)
— = ML T '2 
t2
[m-ví] = M(LTl)T = MLLas dimensiones de los términos son diferentes, por lo que la ecuación no es dimen­sionalmente correcta.
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e)
[a-t2 ] = (LT^T2 = L
[mv ] = M(LT l)[F-a] = (MLT 2 )(LT 2) = ML2TA
El cociente entre los dos últimos términos resulta de dimensión L ‘T3, diferente al anterior (que es de la misma dimensión que x), por lo que la ecuación no es dimensionalmente correcta.
5.- Analizando las dimensiones de cada variable, determine cómo será el tipo de 
dependencia entre ellas en cada caso:
a) El periodo de un péndulo depende de la longitud del péndulo y de la aceleración de la 
gravedad.
b) La velocidad de propagación de una onda en una cuerda depende de la tensión de la 
cuerda, su masa y su longitud.
c) La tensión de una cuerda que sujeta a una masa m, depende del valor de la masa, de 
su velocidad y del radio de la órbita circular que describe.
Este ejercicio servirá para darnos cuenta de la enorme utilidad del análisis dimensional. No sólo nos ayudará a corroborar la certeza o falsedad de ciertas expresiones, sino que nos permitirá la deducción de relaciones nuevas. De hecho, ha sido y sigue siendo una de las principales herramientas para la investigación en campos donde se presentan dependencias muy complejas, como la Dinámica de fluidos, la turbulencia atmosférica, etc.
a) Vamos a tratar de establecer una relación entre el período del péndulo (que llamaremos T), su longitud (/), y la aceleración de la gravedad (g).Podemos decir que el período será el producto de una constante adimensional por la longitud y por la gravedad, elevados éstos últimos a unos determinados exponentes (a y 0, respectivamente). Note que no podemos expresar la relación como una suma o resta de las magnitudes / y g, dado que obtendríamos una relación que no sería dimensionalmente homogénea. Este será el punto clave para determinar los exponentes a y 0, es decir: sabemos que las leyes físicas deben ser dimensionalmente homogéneas; entonces la relación que buscamos debe ser dimensionalmente homogénea. Por tanto:[7] = [ctel'g*] =
O, lo que es lo mismo: [7] = La\L-T 2/ = L^-T 2p
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Y como [T] = T1, podemos plantear las siguientes ecuaciones: a + 0 = 0-2 P = 1 =» P = -1/2 , a = 1/2Con lo que se llega finalmente a:
T = cte l,/2 g'm
Posteriormente se deducirá, como una aplicación de la 2a Ley de Newton, que el período del péndulo simple responde a la expresión: T=2it(/ / g)1/2. O sea, la constante adimensional es 2tt. Esa es la única información que desconocíamos tras aplicar el análisis dimensional.
b) Llamaremos v a la velocidad de propagación de la onda, F a la tensión de la cuerda, m a su masa, y / a su longitud. Procediendo como antes, podemos plantear lo siguiente:[v] = [cte] [F]“-[w]p-[/]Y =
Como [v] = LT'1, deducimos las siguientes ecuaciones:a + P = 0) a + Y = 1[ -2a = -1
F-l
m
Resolviendo, se obtiene: a=l/2, p=-1/2 y y=1/2. Entonces la relación es la siguiente:
v = cte Fm m 1/2 l1/2 = cte
Igualmente se verá, en temas posteriores, que la velocidad de una onda transversal en una cuerda tensa, depende de la tensión de la cuerda y de su densidad (lineal) de masa (p=m//) según la expresión: v = (T / p)1/2.
c) Llamaremos F a la tensión de la cuerda, m a la masa del cuerpo atado a la misma, v a su velocidad, y R al radio de la órbita circular.
Entonces: [F] = [cíe] [w]“ [v]P [F]Y = Ma (LT1/ Ly = Ma
Como la dimensión de la tensión (una fuerza) es [F] = MLT’2, si igualamos exponentes, para que ambos miembros tengan la misma dimensión, se obtienen las siguientes ecuaciones:
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a = 1 P + Y = 1 ; -P = -2
Con lo que a=l, 0=2, y y=-l, y la relación que buscamos queda expresada de la forma.
2
F = cte-m-v2-Rl = cte m V 
REsta expresión es la que describe la tensión de una cuerda a la que se halla atada una masa m que realiza un movimiento circular en un plano horizontal (sin rozamiento). El término v2/R es la aceleración centrípeta de la masa.
6.- Represente gráficamente las siguientes magnitudes frente al tiempo (t): 
a) y(t) = h - gt2, donde hy g son constantes reales positivas.
t/RC3h) ^(l) = SC - CC e' , donde C, Cy R son constantes reales positivas.
a) La magnitud "y" se expresa matemáticamente frente al tiempo, como una función y(t) que es suma de dos funciones: la constante h, y la función -g-12. La representación de estas funciones se ha realizado en la figura siguiente.La función f(t) = h, toma el valor h para cualquier valor de t, por lo se representa como un recta horizontal que pasa por h (línea punteada).
Por otro lado, la función g- t2 es una parábola (ya que las distancias verticales serán propor­cionales al cuadrado de las horizontales), simétrica respecto al eje vertical, y con sus ramas hacia arriba pues g>0. Entonces, la función -g-t2 tomará los mismos valores que g-t2 pero opuestos, y se representará como una curva simétrica a la anterior respecto al eje horizontal (ramas hacia abajo, -°°).
En la gráfica se ha rayado la zona de t<0, pues se ha supuesto que t es la variable tiempo y valores negativos de esta variable no tienen sentido físico, aunque sí matemático.Lo único que queda para representar lafunción dada y(t), es sumar las funciones anteriores. Pero sumar "h" a -g-t2, es hacer lo siguiente: para cada valor de t, la función -g-t2 proporciona un valor al que tendremos que sumar una cantidad "h". Esto equivale a trasladar los puntos de la curva verticalmente hacia arriba, una distancia h.
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El resultado se muestra en la figura de la derecha.
Mucha es la información que puede sacarse de una gráfica. Y toda esa información se recoge de alguna manera en la expresión matemática de la función.Por ejemplo, si y(t) representara la posición inicial de un objeto móvil en cualquier instante de tiempo (respecto a un sistema de referencia cartesiano en el que el eje x coincide con la horizontal, y el "y"con la vertical) su posición inicial (t=0) sería un punto situado a altura "h".Además conforme pasara el tiempo el objeto iría cayendo (pues "y" disminuye conforme tcrece).Entonces, del análisis de la gráfica se podría deducir que se trata de un objeto que cae desde una cierta altura, etc.
b) Queremos representar ahora la magnitud q(t) frente a la variable t (que podría ser el tiempo). Esa magnitud es suma de una constante 8C, que a partir de ahora llama­remos "a" por comodidad, y de una función exponencial de valor -8Ce’ . Al factor1/RC lo denominaremos "b". Entonces, se trata de representar gráficamente la función q(t) = a - a- e‘bt.
Empezaremos representando el término exponencial. Si representamos la función e bt, se obtiene la curva de la figura anterior.
Para t=0, e'°=l; o sea, pasa por 1. Cuando t es positivo y crece, el exponente -b-t se hace cada vez más negativo y la exponencial tiende a cero. Igualmente, cuando t es negativo y decrece, -b-t > 0 y crece, con lo que la exponencial crece (tiende a +«>).Si multiplicamos la función por una constante a>0, la nueva función (a- e bt) pasará por "a" en lugar de por 1, pero sus tendencias se mantienen.La función -a- e’bt, será entonces la simétrica a la anterior respecto al eje horizontal (para cada t, tomará el valor opuesto al tomado por a-e‘ ‘).
Es de notar que si t representa el tiempo, los tramos de curva de la región t<0, carecerían de sentido físico, al igual que se comentó con anterioridad.
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Finalmente, para obtener la función buscada, bastará con sumar una cantidad "a" a los valores de la función anterior. Esto es lo que se ha hecho en la figura de la izquierda.
De la gráfica pueden extraerse algunas consecuencias: inicialmente el valor de q es cero, y al final es a. Matemáticamente, el valor q=a se alcanza cuando t -+ +°° . Ocurre sin embargo que la realidad física no responde exactamente a la matemática, la cual suponerealmente una simplificación de aquélla. Así, el valor final de q (a) se alcanzará en la realidad para valores finitos de t.
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Ejercicios Propuestos:
7 .- Se mide el caudal de una tubería por la que circula agua, y se encuentra que tiene un 
valor de 5 cm3/s. En otro punto de la misma tubería, en el que el diámetro de la misma es 
de lem, el agua circula a 5 cm/s. ¿Qué puede haber ocurrido entre dichos puntos?. ¿Cuál 
debería ser el valor de la velocidad para que todo estuviera dentro de la normalidad?.
8 .- La velocidad de la luz es de 2.9979 108 m/s.
a) Exprésela en Km/h.
b) ¿Cuántas veces podría viajar un rayo de luz alrededor de la Tierra en un segundo?. El 
radio de la Tierra es de aproximadamente 6.37-106 m.
c) ¿Qué distancia recorrería la luz en un año? ("Año luz”).
d) Se sabe que al contemplar una estrella, lo que estamos viendo realmente es cómo era 
en el momento en que nos envió su luz. Si la distancia del Sol a la Tierra se estima en 
1.49 10" m, ¿cuánto tiempo tarda su luz en llegar a la Tierra? Exprese el resultado en 
minutos.
9. - Mediante el uso del análisis dimensional, determine una relación entre las magnitudes: 
a) Velocidad, aceleración gravitatoria y altura.
b) Potencia, fuerza, y velocidad.
c) Presión, energía, y volumen.
10 .- El campo eléctrico que existe en un punto (x,y,z) del espacio, viene dado por:
E = (a x, Eo - by2, c), donde a,b,c y Eo son constantes reales positivas.
a) Determine las unidades de las constantes a,b,c y Eo.
Si x,y y z se expresan en metros, las componentes de E deben resultar en N/C 
(Newton/Coulomhio).
b) Explique y exprese gráficamente la dependencia del campo eléctrico en cada dirección 
del espacio.
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11 .- A partir de la información proporcionada por las gráficas, conteste a las preguntas 
siguientes, justificando cada respuesta.
Temperatura en cada punto de 
una barra que se está calentando 
por un extremo.
Tiempo que tardan las ondas sísmicas 
S y P en llegar a un punto situado a 
distancia "d" del epicentro.
ondas S
Tiempo de recorrido (min)
o 1000 3000 5000
Distancia al epicentro (Km)
Temperatura en una habitación a partir 
del instante en que se enciende una estufa, 
que no se apaga después.
Relación entre el esfuerzo realizado 
y la deformación producida en un 
hueso humano.
a) ¿A qué distancia del epicentro de un terremoto se encuentra un punto en el que las 
primeras ondas S (superficiales) se detectan 3 minutos después de las P (internas o 
primarias)?
b) Si quiero arrastrar un objeto muy pesado por el suelo con menos riesgo de romperme 
un hueso, ¿qué debo hacer, tirar de él o empujarlo?.
c) ¿Cuál sería la ecuación que expresaría la temperatura en cada punto de una barra que 
se está calentando por uno de sus extremos? ¿Qué unidades tendría la pendiente de la 
ecuación? ¿Yel término independiente? ¿Cuáles serían sus significados?
d) ¿Cómo es posible que la gráfica de la temperatura en una habitación en la que hay una 
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estufa encendida no crezca indefinidamente mientras ésta no se apaga?. Continúe 
aproximadamente la gráfica a partir del instante en que la estufa se apaga.
SOLUCIONES:
7 .- Pérdidas; 6.37 cm/s
8 .- a) 1.0792-109 Km/h
b) 7 vueltas y media aproximadamentec) 9.4542-1012 Kmd) 8.28 min.
9 .- a) v = cte- (g-h)1/2b) P = cte- F- v
c) P = cte • E/V
10 .- a) U(a) = N/(C- m); U(b) = N/(C-m2); U(c) = N/C; U(E0) = N/C.
b) Ex varía linealmente (según una recta) con x; Ey varía según una parábola decreciente; Ez es constante.
11 .- a) Aprox. 2500 Km
b) Empujandoc) T =-100-d + 75; °C/m; °C;pendiente: por cada metro, la temperatura decrece en 100°C.Término independiente: temperatura del extremo de la barra que se está calentando.
d) Pérdidas de calor en la habitación (ventanas, mal aislamiento térmico, etc...).
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TEMA N° 2; ALGEBRA VECTORIAL
1.- a) Para los vectores del plano A, B y C, 
representados en la figura adjunta, evaluar 
cuáles serán sus componentes según los 
sistemas cartesianos XY y X'Y', y según el 
sistema de coordenadas polares (o cilindri­
cas).
b) Represente gráficamente el conjunto de 
coordenadas (-2,3) primero suponiendo que 
esas coordenadas están referidas al sistema de 
referencia cartesiano XY, y después que lo 
están respecto al sistema de referencia cartesiano X 'Y ¿Define ese conjunto a un mismo 
vector? ¿Representa algún vector en el sistema de coordenadas polares?
a) Empecemos evaluando las componentes de los tres vectores respecto al sistema de referencia sin prima XY.Según podemos observar en la figura, las componentes del vector A serán: (A*, Ay) = (2,2) ya que las proyecciones del vector sobre los ejes x e y coinciden con dichos valores. De aquí podemos deducir que el ángulo de giro del sistema X'Y' respecto al XY es 45°, ya que taga = 2/2=1 -a=45°.Por otro lado, el vector B, razonando de igual manera, tendrá como componentes: (Bx, By) = (-3,-1).De la figura concluimos que el módulo del vector C será igual a 3 (|C|=3). Entonces, las componentes de este vector serán: (Cx, Cy) = (3-cos45°, - 3-cos45°) = (3>/2/2 , -372/2) “ (2'12,-2'12).Evaluemos ahora las componentes respecto al sistema de referencia con prima X'Y'.El vector A tiene un módulo, | A | =(22 + 22)1/2 = 78 = 272. Entonces, las componentes del vector serán ahora: (Ax-, Ay ) = (272,0).Para conocer las componentes del vector B, tendremos que proyectar sobre los ejes x'e y'. El ángulo que forma el vector con el eje negativode la x será tal que: tagó= |By|/|Bx| = = |-11/| -31 = 1/3 -»5 = 18'43°. Por tanto, el ángulo que forma B con el eje y' positivo será: 450+5= 63 '43 °. Y como el módulo de B es igual a ((-3)2+ (-1 )2)1/2 = 710, las componentes serán: (Bx., By.) = (- 710- sen (63'43°) , 710- cos(63'43°))- (-2'83 , 1'41).
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Las componentes del vector C pueden obtenerse de forma directa: (Cx., Cy) = (0 , -3).
Veamos las componentes de los vectores respecto al sistema de referencia en coordenadas polares.En polares, los vectores se expresan dando su módulo, y el ángulo que forman con la dirección positiva del eje x. El origen de ángulo es por tanto el eje x positivo y el criterio de signo se expresa en la figura: ángulos positivos serán los tomadosen el sentido & fihorario, y negativos los tomados en sentido horario. Si llamamos a, 0 y y a los ángulos que forman A, B, y C (tal como indica la figura anterior), tendremos que las componentes en polares serán:
A Ia L 2^/2 45o
® I® 1(3 - 198 '43°
C “ । । Y " -45’ ~ 3(360-45)» “ 3315 =
Donde se ha determinado el valor de 0 a partir del valor 5 calculado con anterioridad, dado que 0=18O°+5=18O°+18'43°= 198'43°. Igualmente, se ha considerado que el ángulo negativo y= - 45° equivale al ángulo positivo 360°- 45°= 315°, pues son realmente el mismo ángulo.
Como conclusión a este apartado, podemos decir que un mismo vector tendrá diferentes componentes según el sistema de referencia que se elija. Por tanto, es muy importante indicar claramente respecto a qué sistema de referencia se tomarán componentes.Note que, sin embargo, el módulo de un vector es independiente del sistema de referencia, por lo que se dice que es un invariante.
A B CSist. ref. XY (2, 2) (-3,-1) (3/2/2, -3/2/2)Sist. ref. X Y (2^2,0) (-2'83,1'41) (0, -3)Sist. ref.Coord Polares (2/2,45) (710, 198'43) (2,-45)
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b) Si dibujamos ese conjunto de coordenadas (-2,3) según ambos sistemas de referencia cartesianos, se obtiene lo siguiente:
Donde podemos observar que los vectores que representa dicho conjunto en los diferentes sis­temas de referencia (Dy D ) son distintos. Esto nos hace pensar nuevamente que es fundamental indicar respecto a qué sistema de referencia están expresados las componentes de un vector.
Respecto a si dichas coordenadas representan algún vector en el sistema de referencia en coordenadas polares, la respuesta es negativa, dado que la primera coordenada debe ser el módulo del vector (que en este caso coincidiría con -2); pero esto no sería posible pues el módulo de un vector es siempre positivo (por definición).
2.- Un ciclista que se halla en la ciudad A, 
desea ir a la ciudad E situada al otro lado de 
una montaña muy abrupta y de difícil acceso 
(zona sombreada). Por tanto, decide bordearla, 
realizando los siguientes desplazamientos: de A 
a B recorre lOKm; de B a C 15 Km; de C a D 
11 Km; y de D a E 24 Km. Dichos despla­
zamientos se realizan según se indica en el mapa 
adjunto. Determine cuál es la posición de la 
ciudadE respecto a la A.
El desplazamiento de A a E, se puede concebir como la suma de los desplazamientos AB, BC, CD y DE. Cada uno de estos desplazamientos pueden representarse como un vector que une los puntos. Así, los desplazamientos que realiza el ciclista (referidos al sistema de referencia de la figura) vienen dados por los vectores:
- í? [?AB = (10 • cos45°, 10 • sen45°) = (10^,10-^) = (5^2,5^)
BC = (15•cos20°, 15•sen20° ) - (14'10,5'13)
CD = ( - 11 • sen40°, 11 • cos40°) “ (-1'07, 8'43)
DE = (-24 , 0)
15
Las unidades de las componentes son Km.Para obtener el desplazamiento neto de A a E, sumamos los vectores anteriores, resultando:
AE = (-9 '90, 20 '63) Km
Este vector se representa en la figura siguiente, donde para sumar los vectores gráficamente se ha empleado la regla del paralelogramo. Es de notar que el módulo del vector AE no representa el espacio recorrido por el ciclista. Sin embargo, si los desplazamientos parciales entre las diferentes ciudades son rectos, el espacio recorrido coincidirá con la suma de los módulos de los vectores de desplazamiento parcial; esto es:
espacio recorrido = | ÁB | + | Bi | + | CD | + | DE | * | AE |
Otra forma de expresar la posición relativa de la ciudad E respecto a la A sería en coordenadas polares. Así, la ciudad E se encuentra a: ((-9'90)2 + (20'63 )2)1/2 - 22'88 Km de la ciudad A, y formando a = 180° - arctag (20'63 / 9'90) = 115'6 ° con la dirección positiva del eje x.
3 .- Una caja de IKg de masa (m) se halla 
sometida a las fuerzas que se indican en la 
figura adjunta. ¿Cuál debe ser el valor de la 
fuerza F para que la caja no se mueva? ¿qué 
fuerza estará soportando la mesa donde se 
apoya la caja? Desprecie el rozamiento.
Si la caja debe estar en reposo, la suma de fuerzas que actúan sobre ella debe ser cero. Por tanto, la fuerza F deber ser igual a la suma de las restantes fuerzas pero cambiada de signo para que, al superponerlas, el efecto total sea nulo. Es decir:
F = - (FY + F2 + F3 + m g + N )
donde,
F^ = (-10 • sen20° , -10 • cos20°) - (-3 '42 , -9 '40) (N)
F2 = (15 • sen45° , 15 • cos45°) “ (10 '61 , 10 '61) (N)
16
(-20 , 0) (N) 
m g = (0 , -9'8) (N)
N = (0 , Ny) (N)
Se ha tomado como sistema de referencia el cartesiano representado en la figura anterior. 
N es la fuerza normal (o perpendicular) ejercida por la mesa sobre la caja; es una fuerza de reacción a la acción que le ejerce la caja a la mesa. Se ha tomado g = 9'8 m/s2.Entonces, sumando las fuerzas:
F = -( - 3 '42 + 10 '61 - 20 + 0 , - 9 '40 + 10 '61 + 0 - 9 '8 + Ny )
Como F es un vector horizontal, F = (Fx, 0) a ( 12'81 , 0 ).
Respecto a la fuerza que ejerce la caja sobre la mesa será N' = - N = - (0, Ny) = (0, - 8'59) N. El valor de Ny se ha deducido de la igualación a cero de la segunda componente de F. Es decir,
-9 ' 40+ 10 ' 61 - 9.8+N =0 ~ N = 8'59N.
y y
4 .- Un avión (A) vuela con una velocidad de 540km/h en una dirección que viene dada por 
el vector (1,-272,0), cuyas coordenadas están expresadas respecto a un sistema de 
referencia cartesiano XYZ.
En la misma dirección vuela una avioneta (a), a una velocidad de lOOm/s. ¿Cuál será la 
velocidad del avión respecto a la avioneta?.
¿Ysi la avioneta viaja en la dirección del vector (-3, 672, 0)?
¿Ysi lo hace en la dirección del vector (1, 1/(272), 0)?
La situación inicial se representa en la figura de la izquierda.
Para determinar la velocidad que tendrá el avión respecto a la avioneta, restaremos a la velocidad del avión, la de la avioneta.
En primer lugar, tratemos de expresar las velocidades vectorialmente.
17
Si llamamos u al vector unitario en la dirección y sentido del vector (1, -272, 0), sus componentes serán: (1,2^2,0)^(l)2 + (2v/2) 2 (l,2^/2,0) 1 • (1,2^2,01
Entonces, los vectores velocidad serán vA= | vA| • u , y va =|va|- u . Es decir, vA = 540 • u (Km /h) 
va = 360 • u (Km / h)Donde se han expresado las componentes en Km/h. lOOm/s = 360 Km/h. La diferencia de velocidades resulta:
v- v = (540 - 360) •u = 180•u A aEs decir, para la avioneta la velocidad del avión será de 180 Km/h en su misma dirección y sentido (la del vector u). Recuerde que el producto de un escalar por un vector resulta un vector con la misma dirección.
En el segundo caso, la avioneta viaja en la dirección y sentido del vector (-3, 672, 0) = 3- (-1, 72, 0) = 3- (-u) = -3u. Por tanto, la avioneta se desplaza en la misma dirección que el avión pero en sentido opuesto. Esta situación se representa en la figura adjunta. La velocidad del avión con respecto a la avioneta será ahora:
vA -va = 540 • u - 360 • (-u) = 900 uEs decir, la velocidad del avión respecto a la avioneta resulta de 900 Km/h en la misma dirección pero en sentido contrario a la de la avioneta (que viene dada por el vector -u).
En el tercer caso, la avioneta se desplaza (a la misma velocidad que antes, 360 Km/h) pero en la dirección del vector (1, 1/(272), 0). Vamos a ver que este vector es perpendicular al vector u. Si hacemos el producto escalar de ambos, resulta:1 11/- (l,_L,0)-u=(lz—,0)- 411,-2^2,0)272 2^2 3 J
Entonceslos vectores vA y va serán perpendiculares. La nueva situación se ha representado en la figura de la página siguiente.
18
Como | (1, 1/(272), 0) | = ( 1 + 1/8 )l/2 = 3/78, un vector unitario en su dirección y 
sentido será: (1,— ,0)---------- . (i, 0) = [1^, 1,0) | (1, _1_, 0) | 3 32/2
Llamaremos u± a ese nuevo vector normal a u De esa forma, va = 360 u±.La velocidad del avión respecto a la avioneta será ahora: vA - va = 540 u - 360 ux.
Operando,vA - va = (180, -36072, 0) - (24072, 120, 0) - (- 159'4, -389'1) (Km/h).
El módulo de este vector es aproximadamentede 420'5 Km/h, y su dirección forma 180°- arctag (|vA|/|va|) = 180° - 56'21° “ 123'7° con la dirección del vector va.
Entonces, el piloto de la avioneta verá que el avión se mueve a una velocidad aproximada de 420'5 Km/h y en una dirección que forma 123'7° con la de su rumbo.
19
5 .- Un hombre camina con una velocidad de 7 '2 Km/h con respecto al suelo que pisa. En 
un instante dado, sube sobre una plataforma mecánica que se desplaza a una velocidad 
de 3'6 Km/h. Determine la diferencia entre el tiempo que tarda el hombre en recorrer la 
plataforma en sentido contrario al movimiento de ésta y luego a su favor, suponiendo que 
la longitud de la misma es de 50 m.
Llamemos vh a la velocidad del hombre con respecto al suelo (que pisa), y vp a la velocidad de la plataforma mecánica.En la figura a) la velocidad del hombre y de la plataforma tienen la misma dirección y senti-do, por lo que la velocidad resultante del hom-bre será:
vh + vp = 7'2 u + 3'6 u, donde u es un vector unitario en la dirección (horizontal) y sentido
(hacia la derecha) de las velocidades.La velocidad es entonces igual a 10'8 u (Km/h) = 3 u (m/s).Por lo que el tiempo invertido en recorrer la plataforma será: ta) = 50 m / (3 m/s) = 16'67s.
En la figura b) se representa la situación en que la velocidad de la plataforma es opuesta a la del hombre. Vectorialmente tendremos ahora que: vh = 7'2 u (Km/h) =2 u (m/s), y vp = - 3 '6 u (Km/h) = - 1 u (m/s).La velocidad resultante del hombre queda, vh + vp = 7'2 u - 3 '6 u = 3 '6 u (Km/h) = u (m/s).El tiempo invertido será ahora de: tb) = 50 m / 1 (m/s) = 50 s.Y la diferencia de tiempos: tb) - ta) = 50 - 16'67 = 33'33 s.
Observe que en ambos casos hay que efectuar una suma vectorial, sin embargo, las componentes en un caso se suman y en otro se restan.
20
6 .- Dados los vectores a(3,-2,4), b(-2,l,2), y c(5,-l,l), determinar:
- La proyección de a sobre b.
- El volumen del paralepípedo formado por los tres vectores.
- Los cosenos directores del vector (a x b) x c.
- Demostrar que el vector a x b es perpendicular al vector a.
- La proyección de a sobre b será la distancia que se indica en lafigura de la derecha, es decir, *
proy^b = |a| cosa = a = 6 2 8 = 0 Va ____________1^1 proyecba b
El resultado indica que no existe proyección de a sobre b por lo que deducimos que son perpendiculares (es decir, a=90°).
- El volumen del paralepípedo formado por los tres vectores será el producto del área de la base por la altura del mismo. El área de la base es, tal como puede deducirse de la figura adjunta, el módulo del producto vectorial de los vectores a y b; la altura es la proyección del vector c en la dirección del vector axb. De esta manera, el volumen del paralepípedo lo calculamos a través de lo que se conoce como el "producto mixto" c(axb).Así, se llega a lo siguiente:
Observemos que el resultado es un escalar (un número) pues resulta de un producto "escalar" de vectores. El volumen estará en la unidad en la que se hallen las componentes de los vectores elevada al cubo.
- Para determinar los cosenos directores de dicho vector vamos a hallar primero sus componentes.
axb =
j k-2 4 -81 - 14j - k-2 12
21
El cálculo de los cosenos directores supone dividir cada componente por el módulo del vector,
|(axb) xc| = = /6318
Entonces nos queda, 15 o 3 78cosot = , cosp = ——— , COSY = —-—-----/6318 ^6318 y63T8
Donde a,0 y y son respectivamente los ángulos que forma el vector (axb)xc con los ejes cartesianos x,y,z.
- Para demostrar que axb es perpendicular a a basta con calcular su producto escalar y comprobar que es nulo. Así,
(axb) -a = (-8,-14,-!) • (3,-2,4) = -24 + 28 - 4 = 0
7 .- Determine el trabajo realizado por la fuerza peso, en la caída del cuerpo de masa m 
por un plano inclinado a grados, a lo largo de un recorrido de longitud L. ¿Qué trabajo 
realiza la componente paralela al plano? ¿Y la normal al mismo?.
El trabajo (dW) de una fuerza F en un desplazamiento dr, se define como el producto escalar F • dr.¿Por qué se define a través del producto escalar?Recordemos que el producto escalar equivale a proyectar un vector sobre el otro. Haciendo el producto escalar 
F-dr, nos quedamos con lo que realmente nos interesa, esto es, la proyección de la fuerza en la dirección del desplazamiento, que será la que contribuya a aumentar la velocidad de la masa.Teniendo en cuenta esto, el trabajo de la fuerza peso en la bajada (dr) de la masa será,
dW = m g • dr = |m gj • |dr| • eos (90 - a) = mg dr senaObserve cómo el trabajo resulta proporcional a mgsena, que es la componente de mg paralela al plano inclinado.
22
En un trayecto finito el trabajo total, a lo largo de un trayecto L, será igual a la suma de los trabajos realizados en todos los desplazamientos dr que completan el trayecto (ver figura anterior). O sea, W = y mg- dr = f mgsena dr = mg senaf dr
Donde se ha tenido en cuenta que sena es constante (es el mismo en todos los productos escalares) y por tanto puede salir fuera de la integral. Por otro lado, se ha designado dr = | dr |; entonces, /Ldr = L . De esta manera, W = m g sena L.
Si consideramos que L sena = H, siendo H la altura correspondiente al desplazamiento de valor L a lo largo del plano, podremos expresar W como:W = mgH
Determinemos ahora el trabajo de las com­ponentes de la fuerza peso (en la dirección del plano y en la dirección normal o perpendicular al mismo).Si descomponemos el peso como mg = mg + mg, el trabajo en un desplazamiento dr será:
dW = mg- dr = m (g + g ) - dr - m g - dr + m g - dr 
-L || -LPero,
mg^ • dr = {mgsena} dr cosO° = mgsena dr
mg- dr = (mgcosa) dr eos 90° = 0
Luego mg-dr = mg,-dr = mg sena dr.
El resultado era de esperar dado que la componente normal carece de proyección en la dirección del desplazamiento, no contribuyendo a aumentar la velocidad de la masa. Es decir, dicha componente no trabaja.
23
8 .- Determinar el momento de la fuerza F = 5i-4j+k aplicada en el punto P(l,5,-3) con 
respecto al punto 0(2,3,1). Determinar también un punto Osituado a 3 metros de O, de 
manera que el momento de F con respecto a él sea el mismo que el anterior.
Sabemos que el momento de una fuerza F respecto a un punto dado O, es M = r x F. Conocemos el vector F, por lo que para calcular M, necesitamos conocer el vector r. Este vector es el vector de posición del punto de aplicación de la fuerza F respecto del punto al que queremos calcular su momento, esto es, el punto O.
Así, r = (1,5,-3) - (2,3,1) = (-1,2,-4).
Entonces, el valor de M será:
M = r x F =
j *2 4-4 1 -141 - 19j - 6kVamos a determinar ahora el punto O' situado a 3m de O de forma que Mo = Mo . Para aclarar la cuestión fijémonos en la figura anterior.El punto O1 es un punto del espacio que deberá cumplir las dos condiciones anteriores (módulo de valor 3, y momento de F respecto de O igual que respecto de O). Así tendremos lo siguiente,
MQ. = O'P * F = (O 'O + OP ) * F = O'O * F + Mc
Entonces llegamos a la conclusión de que O'O x F = O Es decir, que el vector 0'0 debe ser paralelo al vector F, lo que es equivalente a decir que 0'0 = k F siendo k una constante real. El valor de dicha constante lo determinamos a partir de la segunda condición,
k |F| = |O'O| = 3 1121 1^1kAsí, 0'0 = 3/\/42 F = 3A/42 (5,-4,1). Para determinar las coordenadas del punto O' respecto de nuestro sistema de referencia basta con restar al vector de posición del punto O el vector 0'0.O'= (2,3,1) - 0'0 » (-0'31 , 4'54, 0'54).
24
9 .- En la figura se aprecia cómouna barra, de 5 
metros de longitud y 120 Kg de peso puede girar 
alrededor del punto P, a través del cual se une a la 
pared. Al mismo tiempo está sujeta al techo por 
una cuerda de 3 metros, y sobre ella se sitúa una 
persona en la posición indicada. Determinar la 
tensión a que está sometida la cuerda.
Las fuerzas que están actuando sobre la barra son las que se especifican en la figura de la izquierda. Estas fuerzas son: su propio peso, el peso de la persona subida en ella, la tensión de la cuerda que la sujeta, y la reacción que la pared ejerce sobre la barra1. Si la barra se halla en equilibrio, las fuerzas que sobre ella actúan deben compensarse. Esto nos lleva a plantear la siguiente ecuación vectorial:
. = 0
i
P + P + T + R = 0 barra persona
Esta ecuación vectorial se puede desglosar en dos ecuaciones para cada componente cartesiana x e y, 
- Tsena + R = 0XTeosa + Ry - 120g - 65g = 0
Tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas (T, que es el módulo de la tensión, R* , componente horizontal de la reacción en el punto P, y Ryque es la componente vertical de dicha reacción). Por tanto no podemos resolver el problema considerando únicamente el equilibrio de fuerzas aplicadas sobre la barra.La otra condición de equilibrio de un sistema rígido (o sólido rígido) como es la barra, es
Notar que esta fuerza de reacción debe existir en cuanto hay una interacción entre la pared y la barra (es de la misma naturaleza que la interacción cuerda-barra). Si no la tuviéramos en cuenta, la barra se desplazaría horizontalmente hacia la izquierda como consecuencia de la no compensación de la componente horizontal de la tensión de la cuerda. 
25
la de equilibrio de momentos2. Si la barra debe estar en equilibrio no puede haber rotaciones respecto del punto P por ejemplo3.Entonces, si evaluamos momentos respecto al punto P, el equilibrio supone que,= 0i
Es decir, que la suma de momentos de las fuerzas que actúan sobre la barra, respecto del punto P, debe ser nula. Así tenemos,5 (m) T(N) sen (90-a) k - lz5 (m) 65 g (N) k - 2Z5 (m) 120 g (N) k = 0
En realidad, sen(90-a) = cosa = 2'75(m)/3(m), por lo que a no es incógnita. A la hora de evaluar momentos, se ha supuesto que el eje z se dirige perpendicularmente hacia dentro del papel, tal y como se indica en la figura anterior. Despejando obtenemos el valor de T (módulo del vector tensión),
T “ 850 N
El vector T será entonces,
T = - Tsena + Teosa “ -339z7 i + 77 9Z2 j (N)
10 .- Un obrero de 85 Kg (mh) se halla sobre una 
barra de 10 Kg (m^ y 5m (l) de longitud. La barra 
se encuentra sujeta en sus extremos por otros dos 
obreros A y B, que pueden realizar una fuerza de 
sujeción de hasta 900 Ny 780 N respectivamente. 
¿Hasta qué puntos de los extremos de la barra 
podrá acercarse el obrero que se halla encima, si 
temer por su caída?.
mhg
Como se ha visto anteriormente, el equilibrio de un sólido rígido supone que la suma de fuerzas que actúan sobre él y la suma de momentos sean cero.
De esta manera se asegura que el sólido no pueda rotar (si inicialmente no estaba rotando).Se puede demostrar que si la resultante de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido es cero (que es lo que quiere decir EF¡ = 0), entonces la suma de momentos de las fuerzas que intervienen sobre el cuerpo es independiente del punto respecto al cual se calculen.
26
En nuestro caso, el equilibrio de fuerzas supone plantear la siguiente ecuación vectorial:
m. g + m, g + R+ R= 0
En definitiva la ecuación nos dice que los valores de las fuerzas RA y RB dependen entre sí, pero su suma debe compensar a los pesos del hombre y de la barra (RA+RB = - mhg - n^g) Tenemos una ecuación con dos incógnitas, RA y RB , por lo que no podremos resolverla. Realmente, al expresar la ecuación en componentes (cartesianas por ejemplo) obtendríamos, en general, 2 ecuaciones con 4 incógnitas (las componentes de los vectores anteriores). Por tanto, planteamos el equilibrio de momentos.
Una vez establecido el equilibrio de fuerzas, esto es, impuesta ya la nulidad de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la barra, podemos evaluar la suma de momentos respecto a cualquier punto de la barra.Como queremos determinar la mínima distancia a la que podrá acercarse el hombre a los extremos de la barra, evaluaremos momentos respecto a dichos puntos.
Empecemos evaluando la mínima distancia de acercamiento al extremo izquierdo (A). Para ello plantearemos el equilibrio de momentos calculándolos respecto al punto B (extremo derecho):
+ + + tb = 0 ' = °>
(1 - dj • m. g • sen90° + — • m, g • sen90° - 1 • Rn • sen90° = 0
' A' h 2 ¿ B
El momento de la fuerza RB respecto a B es cero. Se ha expresado la ecuación de momentos en componentes, suponiendo momentos positivos los que provocan un giro en sentido anti-horario, y negativos los que lo hacen en sentido horario. Donde se ha llamado dA a la distancia del hombre subido en la barra al extremo izquierdo (A).
Analicemos lo que ocurre detenidamente. El momento ejercido por la fuerza peso de la barra es constante (al serlo la fuerza y la distancia). Evidentemente, el peso del hombre es una fuerza constante; sin embargo, conforme el hombre se desplaza a lo largo de la barra, el momento ejercido por su peso va cambiando. De hecho, conforme se acerque al extremo izquierdo (hombre A), el momento que ejerce respecto al punto B aumenta (al aumentar la distancia). Entonces el momento de la fuerza RA debe aumentar para compensar dicho aumento y evitar el giro, lo que supone que es RA debe aumentar, puesto que la distancia permanece fija (distancia A-B = /).
27
Si despejamos dAde la ecuación de equilibrio de momentos, obtenemos:
™bg
— +mh9-RAm g
Entonces, el valor mínimo de dA se alcanzará cuando RA alcance su máximo valor posible, manteniéndose el equilibrio de la barra.Es decir,
109 '8 2 + 859 '8-900 (N)859 '8 (N)
d. “ - 0 'lint
AmínEste resultado carece de validez real, dado que la longitud de la barra está limitada a 5 metros y por tanto el hombre no podrá encontrarse a / - dA = 5 - (-0'11) = 5'11 m. La conclusión de este resultado es que el hombre podrá acercarse hasta el extremo A sin temer por su caída.
Para determinar la mínima distancia de acercamiento al punto B, evaluamos ahora momentos respecto al extremo izquierdo (punto A). La ecuación de momentos nos lleva a plantear: = 0)
- (1-dJ • m.g • sen90° - — • m.g • sen90° +1 • R-sen90° = 0 B n 2 b BEl momento ejercido por la fuerza RA respecto al punto A (rA) es cero al serlo la distancia. dB es la distancia del hombre al extremo B, y en la evaluación de las componentes de los momentos se ha seguido el criterio anterior de signos.
Entonces, despejando dB,
mbg
+ mh^~RB
28
Y por tanto el mínimo valor será:
d 
smln
m.g
——- + m g - R2 Bmáx
= 1 • _±----------------------------------- = 5 (m) 109 8- +85 9 '8-1802 m.85-9'8 (N)
cL “ 0 '61 m 
Bmín
Es decir, el hombre podrá acercarse hasta aproximadamente 61 cm sin temer por su caída.
11.- A una determinada hora del día, 
los rayos de luz solar forman 40° con 
la vertical. La potencia (energía por 
segundo) de radiación solar que incide 
sobre 1 m2 de superficie perpendicular 
a la dirección de los rayos, es de 850 
¡V. Determine la energía solar que por 
segundo penetra a través de la ventana 
de superficie S, = 1 m2.
¿Cuánto valdrá la energía que por segundo penetra a través de la ventana de superficie 
S2 = 1'5 m2?.
850 W/né
S, cos50
Según se nos dice en el enunciado del ejercicio, la energía que atraviesa lm2 de superficie perpendicular a la dirección del rayo es de 850 W = 850 J/s. La ventana de sección S! no se halla dispuesta perpendicularmente a la dirección de los rayos, por lo que deberemos evaluar cuál es la superficie perpendicular que dicha ventana antepone a los rayos de luz solar.
Para ello proyectamos en el plano perpendicular a la dirección de los rayos. La superficie proyectada es entonces (ver figura anterior),• cos50° = lm2-cos50° “ 0'64m2
La energía que por segundo atraviesa la ventana será,850—- • 0 '64m2 = 544 Wm2
Para evaluar la energíaque por segundo atraviesa la ventana de sección S2, razonamos de 
29
igual manera. Como en este caso, la superficie es perpendicular a la dirección de los rayos, bastará con multiplicar la potencia de radiación que incide en un metro cuadrado (perpendicular) por el área de la ventana. Procediendo así, llegamos a lo siguiente:
W o850 ---- -1 '5m2 = 1275 W
m2
Una manera más formal de resolver este ejercicio sería introduciendo la magnitud vectorial densidad de radiación (solar), definida a través del vector que llamaremos j. Este vector tiene una dirección que coincide con la del rayo (que es la dirección en la que se propaga la energía), y un módulo que es igual a la potencia de radiación (energía radiante por segundo) que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección del rayo.Entonces, en nuestro caso se cumplirá que:| J | = 850 = 850 —^—
m s • m
Igualmente haremos uso del concepto de vector superficie. A cada superficie plana puede asignarse un vector perpendicular a la misma, y de módulo el área de la superficie.Recordemos que para evaluar la potencia que atravesaba una ventana lo que hemos hecho es proyectar su superficie en un plano perpendicular a la dirección del rayo (que es la dirección de j). Esto equivale a realizar el producto escalar de los vectores densidad de radiación y superficie.
Veámoslo:
j • S = |j| • |Sj • cos50° = 850 • lm2 • cos50° “ 544 IV
m2
j • S2 = | j| • |S | • cos0° = 850 • 1 '5m2 • 1 - 1275 Wm2
Que son los resultados obtenidos anteriormente de una manera intuitiva.
30
Ejercicios Propuestos.
12 .- El objeto de la figura adjunta se halla en equilibrio. 
Determinar la tensión de la cuerda que lo sujeta al techo. 
Suponga despreciable el rozamiento.
13 .- Una persona, que anda en la dirección indicada en la 
figura, se dispone a atravesar una cinta transportadora i 
que se desplaza a una velocidad de Im/s. La persona________________ 1
puede alcanzar una velocidad de hasta 2m/s respecto al cinta 
suelo que pisa. Si la anchura de la cinta es de 5m, ¿qué 
tiempo tardará en atravesarla?.
14 .- Dados los vectores P(3,2,1), Q(5,l,-2) y S(1,3,SJ, hallar el valor de la componente 
cartesiana S2 que hace que los tres vectores sean coplanarios (es decir, en el mismo 
plano).
15 .- Determine el trabajo realizado por la fuerza F en 
los tramos AB (de 5m de longitud) y BC (de 2 '5m).
Si el trabajo de una fuerza se invierte en aumentar o 
disminuir la velocidad del cuerpo sobre el que actúa 
la fuerza, ¿qué ocurrirá en el tramo BC?.
16 .- Un objeto sólo puede desplazarse a través de la dirección 4i - 2j + 3k , donde los 
vectores ij, y k son los vectores unitarios base de un sistema de referencia cartesiano. 
Determine el trabajo realizado por una fuerza definida a través del vector (3,-1,5) que lo 
traslada desde el punto (0,3,2) al (8,-1,8). Las unidades de fuerza en newtons y las de 
distancia en metros.
17 .- La barra de la figura puede girar alrededor del 
punto P. Si se halla sometida a las fuerzas que se 
indican, determine el momento resultante.
31
18 .- El niño B de la figura se desplaza hacia la derecha 
intentando elevar al niño A. ¿En qué momento lo 
conseguirá? La masa del niño A es de 45Kgy la del B 
de 35Kg.
19 .- Sobre una superficie está incidiendo perpendicularmente un flujo de radiación de 
83.6 KJ/m2 (energía por unidad de superficie). Determinar la energía que llegará a cada 
metro de superficie si aquélla se gira 45 °.
SOLUCIONES
12 .- Aproximadamente 83'2 N.
13 .- 2'5 segundos.
14 .- Sz = 4.
15 .- Trabajo en tramo AB: 125 J. Trabajo en tramo BC: 0 J.
16 .- 58J.
17 .- Será un vector de módulo aproximadamente igual a 46'1 Nm y dirigido perpendicularmente hacia fuera del papel.
18 .- Cuando se halle a una distancia de unos 14'3 cm del extremo (derecho).19 .- Aproximadamente 59'1 KJ/m2.
32
TEMA N° 3: ANÁLISIS VECTORIAL
1 .- Una barra de 1 metro de longitud se calienta por su extremo derecho de forma que, 
en un cierto instante, la temperatura de cada punto de la misma puede aproximarse a 
través de la ecuación: T(x) = 20 + 15xf Donde x es la distancia (en metros) de cada punto 
al extremo izquierdo de la barra. Si x se expresa en metros el resultado de T vendrá dado 
en grados centígrados (°C).
a) Represente gráficamente la temperatura (T) en función de la distancia (x).
b) Determine cómo cambia la temperatura por unidad de longitud en los puntos: extremo 
izquierdo de la barra, a 50 cm, a 25 cm y a lOcm del extremo derecho.
c) Conocida la temperatura de la barra a 25cm del extremo derecho, y conocido el cambio 
de temperatura por unidad de longitud en dicho punto, se pretende estimar la temperatura 
del extremo caliente. Para ello se realiza la siguiente operación:
dT\T(x=l) “ T(x'=0'75) + ----- Ax
< ^Z x '=0 '75
Determine el error que se comete en la estimación de la temperatura del extremo que se 
está calentando.
a) Para representar gráficamente la función anterior, se ha evaluado la temperatura en varios puntos de la barra: x = 0, 0'25, 0'5, 0'75, 1. Al sustituir en la expresión los valores de x, se obtienen los siguientes resultados:(0,20), (0'25, 20'23), (0'5, 21'88), (0'75, 26'33) Y 0,35).Dado que la dependencia entre T y x es conocida (polinómica de grado 3), se han unido los puntos mediante una línea curva. Para mayor claridad en la representación, se ha trasladado el origen del eje vertical a la ordenada T = 20°C.
b) De la gráfica anterior podemos deducir que los cambios de temperatura por unidad de longitud son diferentes para cada punto de la barra. Así observamos que los cambios son pequeños al principio, aumentando cada vez más conforme nos acercamos al extremo derecho (x = 1).Para evaluar la magnitud de los cambios de temperatura (T) por unidad de longitud (x) en 
33
cada punto, recurrimos al concepto de derivada (local)1. La derivada de T respecto a x enel punto x=x', viene dada por:
dT 
dx
= 15 • 3 • x '2 = 45 x '2
Por tanto su valor depende del punto que consideremos (x'). Las unidades de dT/dx serán °C/m.Evaluemos entonces el cambio de temperatura por unidad de longitud en los puntos solicitados. — = 0 °C / m
dT
k ^X> x '= 0 '50
= 45-0 '502 = 11 '25°C /m
dT
k ^X7 x'=0 '75
= 45-0 '752 - 25 '31 °C /m
k dx / x'= 0 '90
45 • 0 '902 = 36 '45 °C /m
Vemos cómo los resultados concuerdan con lo observado con anterioridad en la repre­sentación gráfica. Así, los cambios en la temperatura son cada vez mayores conforme nos acercamos a x=l
c) La aproximación que se indica en el enunciado nos lleva al siguiente resultado:
T (x=l) “ 26 '33°C + 25'31 — • Q'25m - 32 '66°C 
m
Recuerde que la derivada de una función T respecto a la variable x (de la que depende) en el punto x=x', se calcula como el límite:
dT , , T(x ' + Ax) - T(x ')---- = lim -------------------------------
k dx) x=x. Ax-o &xEs decir es el límite, cuando Ax tiende a cero, del cociente del cambio que se produce en la función cuando se cambia x de x' al valor x'+Ax, entre el valor del cambio en x (Ax). En definitiva representa el cambio que se produce en la magnitud T por unidad de cambio en la variable x, en el punto x'.
34
Donde se ha considerado que,
T (x '= 0 '75) = 20 + 15 • 0 '753 “ 26 '33 °C
/ 
dT
< > x'= 0 '75
25 '31 °C/m
kx = 1 - 0 '75 = 0 '25 m
Entonces, el error que se comete en la estimación de T(x=l) será:
T (x=l) - T (x=l)est “ 35 - 32 '66 = 2 '34°C
La causa de que el valor estimado (32'66 °C) no coincida con el valor, tomado como exacto (35°C), se debe a que el cambio de temperatura por unidad de longitud no se mantiene constante desde el punto x = x' = 0'75, hasta el extremo derecho de la barra, sino que va aumentando.Eso hace que el cálculo anterior sea una infravaloración del valor real.
Si la dependencia de T con x fuera lineal (del tipo T(x)=ax+b, con a y b constantes) la estimación hubiera sido exacta, ya que dT/dx no dependería del punto y se cumpliría que T(x) = T(x)est = T(x') + (dT/dx)x- (x-x').Esto puede observarse claramente en la gráfica adjunta. En ella, x' = 0'75, x = 1, y por tanto Ax = x - x' =0'25.
El punto estimado se ha representado mediante un círculo blanco y el exacto mediante uno negro.Evidentemente la estimación será tanto más buena cuanto más nos acerquemos al extremo derecho. Así, si en lugar de considerar el punto x'=0'75, consideramos el punto x'=0'90, la estimación de T(x=l) siguiendo el proceso anterior, resulta de T(x=l)est - 34'58 °C.
35
2 .- La cantidad de carga que por segundo circula por la resistencia de un circuito 
eléctrico viene dada por la expresión: I(t) = 1/2 +t - 5^/2. Esta expresión es válida desde 
el instante t=0, hasta que ya no circula carga (1=0). Si t se introduce en segundos, I 
resulta en coulombios por segundo (C/s). Evalúe la cantidad total de carga (en C) que 
pasa a través de la resistencia.
En primer lugar, vamos a determinar hasta cuándo circulará carga. Para ello, igualamos 1=0.Las soluciones de esta ecuación de segundo grado nos darán los instantes en que 1=0. Resolviendo se llega a lo siguiente.1 512— + t - --------2 2 0 — 5 t2-2 t-1 = 0 - t = 10La solución negativa carece de sentido físico, por lo que el tiempo buscado será,
Determinemos a continuación la carga total que circula en el intervalo de tiempo [0 , 0'69],
Si analizamos la expresión de la cantidad de carga que circula por segundo (I(t)), vemos que no es constante.De hecho, si representamos la función I(t) frente al tiempo t, observamos que I aumenta desde 0 hasta 0'2 segundos, y a partir de ahí disminuye. En definitiva, dependiendo del instante de tiempo en que nos encontremos, así será la cantidad de carga que por segundo circule a través de la resistencia. Por ejemplo, para t=0 circulan 0'5 coulombios por segundo, para t=0'2 circulan 0'6 coulombios por segundo y así sucesivamente.
Note que I(t') (valor de I en el instante t ) representará realmente a la derivada de Q respecto de t, en el instante t=t'. Efectivamente, si llamamos Q(t') a la cantidad de carga que ha circulado por la resistencia desde 0 hasta t' (función que no es conocida en principio), el cociente (dQ/dt)t=t representará la carga que circula por segundo en el instante t'. Como hemos dicho antes, este valor depende del instante (t ) considerado. O sea, esa rapidez de paso de carga no es la misma a lo largo de un cierto intervalo finito de tiempo △t.
Entonces, sólo podremos evaluar de manera exacta la carga que pasa en intervalos muy
36
pequeños de tiempo; o sea, haremos tender At a cero (At“dt),
= de = nJ
At- 0 At- 0 \ At
At dQ
< t=t
dt = I( t ') dt
La suma de esas cantidades de carga (dQ) a lo largo del intervalo total de tiempo ([0 , 0'69]), nos dará la carga neta (Q) que ha circulado por la resistencia.
Sustituyendo en la expresión anterior, la carga que pasará desde t' hasta t'+dt, será:
dQ = I(t ') • dt = ( — + t ' - — t'2) dt2 2
Esta cantidad depende del instante t' considerado. Así, si consideramos el mismo intervalo de tiempo (dt) pero en un instante posterior la carga será diferente (observeel área de cada rectángulo).La carga total (Q) será la suma (integral) de todas las cantidades dQ:
ir — + t '- — t '2) dt =2 2 0 '69 0 '31 Ct ' t'2___ +--------2 2
Entonces el área que la curva I(t) subtiende sobre el eje de abcisas (t) será de 0'31 (Q).Note que si la cantidad de carga que por segundo circula por el circuito fuese constante (I *I(t)), la carga total que circula en un cierto intervalo se evaluaría como el producto de la cantidad de carga que pasa cada segundo (que se mantiene constante) por el tiempo considerado. Es decir, Q = I- At.
Q = [ dQ = f^Idt = I f^dt =
JQ JO Jo
Ht)
Ibt
Ya que al ser I constante, puede salir fuera de la integral.
Observe que cuando evaluamos una integral, lo que en realidad estamos haciendo es una suma de muchos sumandos ("muy pequeños", es decir, diferenciales). Si todos los sumandos son iguales, el cálculo de la suma se reduce, como se ha comentado antes, a una simple multiplicación.
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3 .- Un vector r (x, y) tiene sus componentes expresadas enfunción del tiempo, de la forma: 
x(t) = 2t2 + 2 ; y(t) = t + 1, de modo que al sustituir t en segundos, se obtienen las 
componentes en metros. Determinar:
a) El cambio que experimenta r entre los instantes t = 1, y t = 2.
b) El cambio que experimenta r entre los instantes t = 1, y t = 1 01.
c) Calcular el cambio que se produce por unidad de tiempo (por segundo) en cada uno de 
los intervalos anteriores.
d) Calcular el cambio por unidad de tiempo de forma "exacta".
a) Tal y como se expresa en el enunciado, el vector r podría corresponder al vector de posición que localiza a un punto material en movimiento, en cualquier instante de tiempo 
tlxll
Los cambios que experimenta cualquier mag­nitud física se expresan matemáticamente a través de la resta. Así, a través de la resta se efectúa una comparación de la magnitud, de forma que si el resultado de la resta es cero, entonces la magnitud no habrá cambiado. Este procedimiento será aplicable tanto a magnitudes escalares como a vectoriales.
Entonces, en nuestro caso se tendrá que,r (t = 1) = r (1) = (4,2)r (t = 2) = r (2) = (10 , 3)
De la figura vemos claramente que r(l) * r(2), por lo que el punto material se ha movido. Y ahora, ¿cómo cuantifícamos el cambio?. Pues con la resta. Para restar vectores (expresados en componentes cartesianas) restamos sus componentes,△r = r (2) - r (1) = (10-4, 3-2) = (6, 1) (m )
Gráficamente es fácil ver que Ar debe ser tal que sumado con r(l) resulte r(2).
b) Ahora se pide calcular el cambio que se produce en un intervalo muy pequeño de tiempo. Obviamente, el procedimiento será el mismo, y resultará entonces,△r = (0 '0402 , 0 '0100} (m }
c) Para evaluar los cambios que se producen por unidad de tiempo, habrá que efectuar una 
38
división. Así, si llamamos Ar al cambio que se produce en un tiempo At, el cambio que se producirá por unidad de tiempo será igual al cociente Ar/At.Entonces, en el caso a) se tendrá que el cambio que se produce en r por segundo es,△r (6,1) , , , * , / \— = -— = (6 , 1) (m/s)△ t 1
Ya que At = 2 - 1 = 1 s.Y para el caso b),
— - ..94O.L_!.. 0 01 = (4 '02 , 1 '00) (m/s)
At 0 '01
Puesto que At = 1'01 - 1 = 0'01 s.Los cocientes evaluados nos dan una idea "aproximada" de cómo son los cambios que por segundo se producen en el vector r, en el instante t = 1.
Estos cambios por unidad de tiempo deben ser interpretados como un promedio, pues en la comparación se utilizan los vectores de posición en dos instantes concretos. Los cambios que se hayan podido producir en tiempos intermedios al intervalo considerado, no se han tenido en cuenta.Además, el cociente dependerá de cuál es el valor del intervalo. Si en lugar de 0'01 s, dejamos pasar sólo una milésima de segundo (At = 0'001 s), se llega entonces a que Ar/At “(0'004002,0'001000) / 0'001 = (4'002 , 1 '000) (m/s), que es ligeramente diferente a lo obtenido antes.Lo que si es evidente es que cuanto menor sea el intervalo de tiempo considerado, más rigurosa será la medida del cambio en r por unidad de tiempo. Pero, ¿cuánto de pequeño tendrá que ser?.
d) Para obtener una medida exacta del cambio que por segundo sufre el vector de posición, en un instante dado, tendremos que hacer tender el intervalo de tiempo a cero (At - 0) y evaluar entonces el valor del cociente Ar/At.
Ello sólo será posible si trabajamos con funciones, en lugar de con valores discretos. Lo que hacemos entonces es comparar r(t) con r(t+At) cuando At tiende a cero. De este modo, lo que buscamos es,, , r (t + At) - r (t) r (t + dt) - r (t) dr ( dx dy at-o At dt . dt dt dt ,
En el caso que estamos tratando, se tendrá que,
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dr _ dx dy 
dt dt ' dt,
dr (4 , 1) (m/s)
Vemos que este resultado se parece bastante a lo obtenido en los cocientes evaluados para At = 0'01 s y At = 0'001 s, y resulta muy diferente de lo obtenido para At = Is.¿Por qué cree que el cambio por unidad de tiempo de la componente "y" de r, no depende del tiempo considerado?.
4 .- La velocidad de un objeto viene dada por el vector v = 5i + (5/3 - 5t)j (en m/s), 
donde t representa al tiempo, y los vectores i y j son constantes(en módulo dirección y 
sentido). Determine el cambio que por segundo se produce en la velocidad del objeto.
Hemos visto que la derivada de una función representa el cambio en la función por unidad de cambio en la variable de la que depende.Y que de forma similar se puede razonar para el caso en que se trabaje con una magnitud vectorial dependiente de un cierto parámetro o variable, como puede ser el tiempo. Es decir, el cambio que se va a producir en el vector v por unidad de tiempo vendrá dado por laderivada del vector respecto al tiempo. O sea, 
dv d . .. d . ..— = — v i + — v j 
dt dt * dt y
dv. . di------x + v — dt x dt dvy . djdt y dt
Donde se ha considerado que las derivadas temporales de los vectores i y j son nulas, pues los vectores son constantes en módulo, dirección y sentido.
Del resultado obtenido pueden extraerse varias conclusiones: El cambio que por segundo se produce en el vector es siempre el mismo (pues j es constante); la magnitud del cambio (módulo del vector dv/dt) es de 5m/s cada segundo (5 m/s2) y se produce en la dirección del vector -j. Dado que el cambio se produce en una dirección diferente a la que tiene el vector v inicialmente (esto es, v(0) no va en la dirección del vector j), tendremos que,dv * d|v| 
dt dt
Lo que significa que el cambio en el módulo del vector v no será de 5 m/s cada segundo. Puede comprobar como ejercicio que por ejemplo la diferencia | v(2) | - | v( 1) | no es igual a 5m/s.
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A continuación veremos un ejemplo que servirá para incidir algo más en el concepto de derivada de un vector.Supongamos que sólo conocemos el valor de v en el instante inicial, v(t=0) = 5i + 573j, y que (como hemos visto antes) el cambio que por segundo se produce en el vector es de -5j (m/s2). El objetivo es calcular cómo será el vector v pasados At segundos desde el instante inicial. Como sabemos el cambio que por segundo se produce en el vector, y además permanece constante en el tiempo, tendremos que el que se producirá en At segundos será: 
dvAv = -----At = (-5j)At 
dtY el valor de v a los At segundos del instante inicial, quedará como:
dvv (At) = v (0) +Av = v (0) +-----At = v (0) - 5 At j 
dtAsí, pasado 1 segundo, el valor de v será:v (1) = v (0) + — (1 s) = 5 i + 5/3 j - 5 j = 5 i + (5/3 -5) j 
dtPasados dos segundos,
v (2) = v(0)+— (2s) = 5 i + 5/3j-2 • 5j = 5 i+ (5/3-10) j
Y así sucesivamente.
Lo obtenido analíticamente se ha representado en la figura adjunta. La suma de vectores se ha realizado empleando la conocida regla del paralelogramo.Dado que la variación de v lleva la dirección del vector -j, la componente horizontal (x) del vector v no sufrirá ningún cambio, tal como puede apreciarse en la figura derecha.
El movimiento que representa el vector velocidad analizado en este ejercicio podría corresponder al de lanzamiento (tiro parabó­lico) de un objeto de cierta masa, dentro de un campo gravitatorio. De hecho, los cuerpos así lanzados sufren una aceleración (a = dv/dt) constante en módulo y dirección, si se hacen ciertas aproximaciones (ausencia de rozamien­to con el aire, alcance no demasiado elevado, 
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etc...). Este tipo de movimientos será analizado con más profundidad en temas posteriores.
5 .- El cambio que por segundo se produce en la velocidad de un objeto viene dado por la 
expresión, = -3t2l * 2tj dt
Si la velocidad inicial del objeto es v(0) = lOOi - 20j, determine su velocidad a los 5 
segundos de iniciarse el movimiento.
Ahora, el cambio (Av) del vector v durante un cierto intervalo (finito) de tiempo At no será igual al producto de lo que cambia el vector en un segundo (dv/dt) por el intervalo de tiempo, dado que ese cambio por segundo del vector no se mantiene constante a lo largo del intervalo. Es decir,v (At) = v (0) + Av * v (0) + At 
dt¿Cómo calcularemos entonces el cambio que se produce en un cierto intervalo finito de tiempo? Podemos determinar el cambio (dv) que se produce en un intervalo muy pequeño (dt). Será de valor,
dv = ( - 3 t2 i + 2 t j) dt
De esta manera, si dividimos el intervalo de tiempo At en intervalos dt, el cambio neto que tendrá lugar en el vector v será la suma de todos los cambios dv.Es decir, Av = f dv = (~3t2i + 2tj) dt
J av J t=o
Esto es totalmente análogo a lo visto con anterioridad en el ejercicio de cálculo de la carga que circulaba por una resistencia durante un cierto intervalo de tiempo; sólo que ahora se trata de una magnitud vectorial (la velocidad) y en aquel caso de una magnitud escalar (la carga).De esta forma, el valor de v transcurridos 5 segundos desde el instante inicial será igual a,
v (5) = v (0) + ( {-3 t2 i + 2 tj) dt
J t=oV (5) 1001 - 20 j + ft=5 (-3 t2) dt
J t=o
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5 5
j
. O
= 1001 - 20 j t3-3 — 3 1001 - 20 j - 1251 + 25 jJo 2 — 2Sumando, v(5) = - 25i + 5j (m/s).
Note que la integración (suma) vectorial equivale a integrar (sumar) componentes, ya que los vectores i y j (y en su caso k) son constantes. Por tanto la integración vectorial supone en general la evaluación de tres integraciones numéricas (las de las tres componentes).
6 . - Dados los vectores:
a) a = 5 (60-1)°
b) b = (25 f + 3t) 30», donde t es la variable tiempo.
Determine los cambios que por segundo tienen lugar en los vectores en cualquier instante 
de tiempo. Represéntelos gráficamente en diferentes instantes de tiempo.
Los vectores están expresados en forma polar (módulo ángu|o). Observamos entonces que el vector a posee un módulo constante (de valor 5), mientras que el ángulo que forma con el eje horizontal va decreciendo desde su valor inicial de 60°. Es decir, el vector rota en sentido horario. Por otro lado, el vector b tiene un módulo que crece con el tiempo, mientras que el ángulo que forma con el eje horizontal es constante (de 30°). Por tanto su dirección y sentido son constantes.Para ver el cambio que por segundo se produce en cada vector, derivamos respecto al tiempo ambos vectores. Para hacerlo, los expresamos antes en coordenadas cartesianas, 
a) — = — (5C. J = — Í5cos ( 60 - t) i + 5 sen ( 60 - t) j] 
dt dt dt L J— = 5[sen(60-t) i - eos ( 60 - t) j]
Donde se ha considerado nuevamente que los vectores unitarios i y j son constantes en módulo, dirección y sentido, por lo que su derivada temporal es nula.
Llegamos a la conclusión de que, aunque el módulo del vector a es constante, su derivada temporal no lo es. ¿Por qué? Recordemos que un vector está definido dando su módulo, dirección y sentido. El vector cambiará si alguna de esas características cambia. En el caso del vector a, su dirección va cambiando con el tiempo, por lo que su derivada (que da cuenta de los cambios del vector) será diferente de cero.
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Veamos esto de otra forma. Expresemos el vector a como el producto de su módulo por un vector unitario u. Entonces se cumplirá que,dadt d dt 4^1 dt i i du u + a -----1 1 dt dudt
Donde se ha considerado que d|a|/dt = 0, al ser | a | = 5 = cte.
La interpretación de la expresión anterior es la siguiente: Hemos expresado el vector a como producto de dos factores, uno que da cuenta de su característica módulo (| a |) y otro que da cuenta de su característica dirección (u). La derivada de ese producto resulta en dos sumandos. El primero dará cuenta de los cambios con el tiempo en el módulo del vector, y el segundo, de los cambios en su dirección. Como el vector sólo cambia en dirección, sólo será diferente de cero la derivada du/dt.
El vector u en el caso que nos ocupa será,u = eos (60 - t) i + sen (60 - t) j|u| = ^cos2 (60 - t) + sen2 ( 60 - t) = 1
Y su derivada temporal, = ísen(60-t) i - eos dt L ( 60 - t) j]Y comprobamos efectivamente que da/dt = | a | -du/dt.
Representemos el vector a en distintos instantes de tiempo. Se ha dibujado el vector a en los instantes t=0, t=10, t=20 y t=30. El vector u sería un vector unitario rotando al unísono con el dibujado.
Este vector a podría representar por ejemplo el vector de posición de un móvil que se desplaza en movimiento circular, a velocidad constante.
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b) Procediendo como antes,
db 
dt
(25t2-3t)30 = JÍ [ (25 t2 - 3 t) • (cos30i+ sen30 j)] dt
— = (cos30i+ sen30 j) • — (25 t2 - 3 t) dt dt----- = (50t-3) (cos30i +sen30 j) 
dt
Donde se ha tenido en cuenta que el vector cos30 i + sen30 j, es un vector constante, y además unitario, como puede comprobar fácilmente. En definitiva, se ha expresado el vector 
b como: b =|b|u , donde u es un vector unitario en la dirección y sentido del vector b. Entonces la derivada de b resulta:
db _ d
dt dt
u —— 
dt
Ya que u será un vector constante y, por tanto, du/dt=0.El valor de u es en este caso, u = cos30 i + sen30 j. Y la derivada d | b | /dt = 50t - 3.
El resultado obtenido (los cambios en el vector b se deben a cambios en su módulo, y no en su dirección) puede corroborarse al representar el vector b en diversos instantes de tiempo. En la figura de arriba se ha dibujado el vector b para t=0 y para t=l (segundo).
El vector b podría representar por ejemplo el vector de posición de un móvil que se desplaza rectilíneamente y con aceleración.
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7 .- Sea la magnitud escalar (f) definida a través de la expresión, fi(x,y,z) = x? + y2. Razone 
cómo serán las superficies equiescalares que representan gráficamente a dicha magnitud.
La superficie equiescalar la formarán aquellos puntos del espacio en los cuales la magnitud tome un mismo valor. Así, si la magnitud <j) representa, por ejemplo, la concentración de CO2 en una determinada región de la atmósfera, las superficies equiescalares estarán constituidas por aquellos puntos donde la concentración es la misma.
Entonces, si llamamos como C a uno de los posibles valores que puede tomar la magnitud 4>, los puntos (x,y,z) de la superficie equiescalar donde la magnitud vale C, cumplirán que,= x2 +y2 = C
Es decir, pertenecen a la superficie equiescalar (C) aquellos puntos del espacio para los que la suma de su coordenada "x" al cuadrado y su coordenada "y" al cuadrado vale la misma cantidad, indepen­dientemente de cuál sea el valor de su coordenada z.
La expresión anterior representa la ecuación de una circunferencia (en el plano XY) de radio R = \/C.Pero, si extendemos esa circunferencia verticalmente (hacia arriba y hacia abajo) generaríamos una superficie cilindrica cuyos puntos (x,y,z) cumplirían la misma ecuación.
Así por ejemplo, los puntos P(x„ yb Zj) y Q(x2, y2, z2) de la figura anterior, cumplirían que: Xi2 + y,2 = x22 + y22 = C = R2
Por tanto, la superficie equiescalar donde 4> toma el valor C, es un cilindro recto de radio R=VCComo C puede ser cualquier valor (real positivo) de los que puede tomar <|), llegamos a la conclusión de que las superficies equiescalares que representan a la magnitud (J) son cilindros rectos (Sb S2, ...).
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8 .- a) Las líneas de campo de la figura 
adjunta, representan el campo de fuerza 
electrostática ejercido por ambas cargas 
puntuales q y q'. Razone cuál será la rela­
ción que existirá entre las magnitudes de las 
fuerzas ejercidas por dichas cargas. Deter­
mine igualmente en qué punto (A ó B) será 
mayor la fuerza que se ejercerá sobre una 
carga situada en dichos puntos. Razone la 
respuesta.
Nota: Las líneas de campo representadas se 
extienden uniformemente a todo el espacio, y 
no sólo al plano representado aquí.
b) El campo vectorial representado en la figura inferior, representa la velocidad de los 
puntos de un fluido en movimiento (por ejemplo agua circulando en una tubería que se 
estrecha). ¿En qué punto (A ó B) será mayor la velocidad del fluido?
a) La relación que existirá entre la magnitud de las fuerzas que ejercen ambas cargas (sobre otra carga prueba) en puntos situados a la misma distancia de las cargas será de 3. Es decir, la fuerza ejercida por la carga q en un punto situado a una cierta distancia "d" de dicha carga, será de magnitud (o módulo) triple que la ejercida por la carga q' en un punto situado a la misma distancia (d) de q'.
¿Cómo podemos deducir esa relación de la simple observación de las líneas de campo?. Las líneas de campo (electrostático y gravitatorio) se dibujan siguiendo una serie de criterios, criterios que debemos conocer para interpretar adecuadamente la información contenida en ellas. Así, uno de los criterios a seguir es que se dibujará un número de líneas de campo por unidad de superficie (perpendicular a las líneas) proporcional a la magnitud del campo vectorial.
Supongamos entonces que tomamos una superficie esférica con centro en las cargas, primero en la carga q, y luego en la q'. Esa superficie, dada la forma radial de las líneas de campo, será atravesada perpendicularmente por ellas. Entonces, para tener una idea de la magnitud del campo en los puntos de dicha superficie, contaríamos el número de líneas que atraviesan la superficie y lo dividiríamos por su área(llamémosla S). Si hacemos esto para las cargas q y q', encontraríamos que el número de líneas que atraviesan dicha superficie para el caso de la carga q es de 12, mientras que el número de las que atraviesan q' es de 4.
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Por tanto se cumplirá que, 121*1 S _ 12
|F'| _£ 4
sEl símbolo * indica proporcionalidad; así, |F| « 12/S y |F'| « 4/S .
Respecto a la segunda pregunta, podemos razonar que el valor de la fuerza será mayor en el punto A que en el B. Si tomamos superficies esféricas con centro en la carga y de radios las distancias de la carga a los puntos, observaríamos que dichas superficies serían atravesadas por el mismo número de líneas de campo (doce). Sin embargo, la superficie que pasa por A esmenor que la que pasa por B, por lo que el número de líneas de campo por unidad de superficie (perpendicular) será menor en B que en A. Esto puede observarse con facilidadsi recurrimos a la figura.
b) Siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado anterior, concluimos que la velocidad del fluido será mayor en el punto B que en el A, dado que la densidad de líneas de campo es mayor en el punto B que en el A. Esto es lo que sucede en los estrechamientos de conductos por los que circula un determinado fluido. Este comportamiento no es más que una consecuencia de la conservación de la masa de fluido.
9. - La magnitud escalar V viene definida a través de la función: V(x,y,z) = x2- 2xy + z, 
donde (x,y,z) representan las coordenadas cartesianas de un punto del espacio.
a) Calcule el cambio que se produce en la magnitud V (llamémoslo AV) al pasar del punto 
P(2,0,-l) al punto Q(1 '999, 0'0002, -1 001).
b) Dado que P y Q están muy próximos entre sí, se pretende aproximar el cambio AV por 
el valor dV = (dV/dx)P dx + (dV/dy)P dy + (dV/dz)P dz, donde los factores dx, dy y dz se 
aproximan a los cambios producidos en las respectivas coordenadas al ir del punto P al 
Q. ¿Cuál será entonces el error cometido en la aproximación?
a) Evaluemos el valor de V en los puntos P y Q:
V (P ) = V (2,0,-1) =3
V (Q ) = V (1 '999, 0 '0002, -1 '001) - 2 '9942014
48
Entonces el cambio que se produce en la magnitud V será de valor,△V = V (Q ) - V (P) » 2 '9942014 - 3 = -0 '0057986
Se ha tomado un número considerable de decimales en la evaluación de V(Q) con el objeto de hacer posteriormente una estimación más precisa de la diferencia A V - dV.
b) Según el enunciado, aproximamos los valores de dx,dy y dz como,dx “ 1 '999-2 = -0 '001
dy - 0 '0002-0 = 0 '0002
dz - -1 '001 - (-1) = -0 '001
Calculamos a continuación el valor de las derivadas parciales de V, en el punto P.
Sustituyendo, evaluamos el valor (aproximado) de dV,
dV dz
p
dV - 4-4 - 4-0 '0002+ 1- (-0 '001) =-0 '0058
De este modo, el error (en valor absoluto) que se cometería en la estimación del cambio en V (AV), como dV sería, |AV - dV| - 0 '0116
dV representa el cambio (infinitesimal) que se pro­duce en la función o magnitud V, cuando desde un cierto punto nos desplazamos dx en la dirección del eje x, dy en la dirección del eje y, y dz en la del eje z. Ese cambio se expresa como suma de tres términos.
El factor (dV/dx)P representa el cambio que se produce 
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en V por unidad de desplazamiento en x, desde el punto P, y manteniendo constantes la "y" y la "z".
Es decir si, estando en el punto P, realizo un desplazamiento en la dirección x (y