Apunte - LIMITES - 6 COPERNICO

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LIMITES
CONCEPTO DE LÍMITE
IDEA INTUITIVA
	Límite: lo podemos definir como aquel lugar al que, si no llegamos, seremos capaces de acercarnos todo lo que queramos.
En sentido matemático, el límite de una función en un punto tiene sentido de “lugar” hacia el que se dirige el valor de la función f(x) cuando la variable independiente (x) se aproxima a un valor determinado.
si tomamos la función del gráfico adjunto, cuando (x) se aproxima al valor 4, el valor de la función (f(x)) se aproxima al valor 1. Además, en este caso, no solo podremos acercarnos todo cuanto queramos, sino que llegamos a ese valor, puesto que el valor de la función para x = 4 es f(x) = 1.
	
	
	Ampliando la gráfica de la función, en el entorno del punto (4, 1), hemos dibujado los valores de f(x) en el entorno de x = 4 y, como primera observación, vemos que nos podemos acercar al valor de x = 4 desde valores mayores a 4 (rojo) o menores a él (verde). En el primer caso diremos que nos aproximamos al valor de x = 4 por la derecha y, en el segundo caso, por la izquierda.
En ambos casos, podemos ver que el valor de f(x) se aproxima a 1, tanto como queramos, por la derecha desde valores menores a 1 (rojo), pero también lo podremos hacer, desde la izquierda, desde valores mayores a 1 (verde).
Por lo tanto, podemos intuir que, el límite de la función f(x) es 1, cuando el valor de la variable independiente x se acerca a 4 y se expresa de la siguiente forma:
 
Estimar el valor cuando: 
 
Damos valores a la variable para valores próximos al punto x = 2.
	x
	3
	2.5
	2.1
	2.05
	2.04
	2.03
	2.02
	2.01
	2.001
	2.0001
	f(x)
	6
	3.25
	1.41
	1.2025
	1.1616
	1.1209
	1.0804
	1.0401
	1.004001
	1.00040001
	x
	1
	1.5
	1.7
	1.9
	1.95
	1.97
	1.98
	1.99
	1.999
	1.9999
	f(x)
	2
	0.75
	0.11
	0.61
	0.8095
	0.8809
	0.9204
	0.9601
	0.996001
	0.99960001
Observa cómo, al aproximarnos los valores de la variable a 2, siendo mayor que 2: 3, 2.5, 2.1, … los valores de la función se aproximan a 1: 6, 3.25, 1.41, 1.2025, …, 1.0401, 1.004001, 1.00040001 siendo siempre mayores que 1, mientras que al aproximarnos a 2, siendo menores que 2: 1, 1.5, …, 1.99, 1.999, 1.9999 los valores de la función también se aproximan a 1, tanto como queramos, siendo ahora menores que 1: 2, 0.11, 0.61, …, 0.996001, 0.99960001.
Definición:
 Se dice que el límite de cuando se aproxima a es y se expresa . Para todo , existe un .
Resolver los siguientes límites:
	
	
	
	
	
	
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:
Respecto de la suma ó resta de funciones:
El límite de la suma o resta de dos funciones es igual a la suma o a la resta de los límites de las funciones (siempre que la operación entre los límites esté definida y dichos límites existan), y se expresa así:
Respecto del producto de funciones:
El límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de las funciones (siempre que dichos límites existan y la operación entre los límites esté definida), y se expresa así:
Un caso particular se presenta cuando una de las funciones es una constante, en ese caso, la expresión queda:
Respecto del cociente de funciones:
El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites de las funciones, siempre que los límites existan, la operación entre los límites esté definida y que , y se expresa así: