Semana_9 Calculo vectorial

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Notas de clase: Calculo Vectorial
William Ramírez
Mileydis De La Hoz
Ronal Barrios
Magister en Ciencias Matemáticas
Universidad de la Costa C.U.C
Abril 2020
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 1 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Teorema 0.1
Suponga que la función z = f (x , y) tiene un extremo en el punto (x0, y0)
sobre la gráfica de la ecuación restricción g(x , y) = k Si f y g tienen primeras
derivadas parciales continuas en un conjunto abierto que contiene la gráfica
de la ecuación de restricción y Og(x0, y0) 6= 0, entonces existe un número real
λ tal que Of (x0, y0) = λOg(x0, y0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Teorema 0.1
Suponga que la función z = f (x , y) tiene un extremo en el punto (x0, y0)
sobre la gráfica de la ecuación restricción g(x , y) = k Si f y g tienen primeras
derivadas parciales continuas en un conjunto abierto que contiene la gráfica
de la ecuación de restricción y Og(x0, y0) 6= 0, entonces existe un número real
λ tal que Of (x0, y0) = λOg(x0, y0).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 2 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Método de multiplicadores de Lagrange:
El número real λ para el cual Of = λOg, recibe el nombre de multiplicador de
Lagrange. Después de igualar componentes Of = λOg, la ecuación es
equivalente a
fx(x , y) = λgx(x , y) fy (x , y) = λgy (x , y).
Si f tiene un extremo con restricciones en el punto (x0, y0) entonces
acabamos de ver que hay un número λ tal que
fx(x0, y0) = λgx(x0, y0) (1)
fy (x0, y0) = λgy (x0, y0)
g(x0, y0) = 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Método de multiplicadores de Lagrange:
El número real λ para el cual Of = λOg, recibe el nombre de multiplicador de
Lagrange. Después de igualar componentes Of = λOg, la ecuación es
equivalente a
fx(x , y) = λgx(x , y) fy (x , y) = λgy (x , y).
Si f tiene un extremo con restricciones en el punto (x0, y0) entonces
acabamos de ver que hay un número λ tal que
fx(x0, y0) = λgx(x0, y0) (1)
fy (x0, y0) = λgy (x0, y0)
g(x0, y0) = 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Método de multiplicadores de Lagrange:
El número real λ para el cual Of = λOg, recibe el nombre de multiplicador de
Lagrange. Después de igualar componentes Of = λOg, la ecuación es
equivalente a
fx(x , y) = λgx(x , y) fy (x , y) = λgy (x , y).
Si f tiene un extremo con restricciones en el punto (x0, y0) entonces
acabamos de ver que hay un número λ tal que
fx(x0, y0) = λgx(x0, y0) (1)
fy (x0, y0) = λgy (x0, y0)
g(x0, y0) = 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Método de multiplicadores de Lagrange:
El número real λ para el cual Of = λOg, recibe el nombre de multiplicador de
Lagrange. Después de igualar componentes Of = λOg, la ecuación es
equivalente a
fx(x , y) = λgx(x , y) fy (x , y) = λgy (x , y).
Si f tiene un extremo con restricciones en el punto (x0, y0) entonces
acabamos de ver que hay un número λ tal que
fx(x0, y0) = λgx(x0, y0) (1)
fy (x0, y0) = λgy (x0, y0)
g(x0, y0) = 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Método de multiplicadores de Lagrange:
El número real λ para el cual Of = λOg, recibe el nombre de multiplicador de
Lagrange. Después de igualar componentes Of = λOg, la ecuación es
equivalente a
fx(x , y) = λgx(x , y) fy (x , y) = λgy (x , y).
Si f tiene un extremo con restricciones en el punto (x0, y0) entonces
acabamos de ver que hay un número λ tal que
fx(x0, y0) = λgx(x0, y0) (1)
fy (x0, y0) = λgy (x0, y0)
g(x0, y0) = 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Método de multiplicadores de Lagrange:
El número real λ para el cual Of = λOg, recibe el nombre de multiplicador de
Lagrange. Después de igualar componentes Of = λOg, la ecuación es
equivalente a
fx(x , y) = λgx(x , y) fy (x , y) = λgy (x , y).
Si f tiene un extremo con restricciones en el punto (x0, y0) entonces
acabamos de ver que hay un número λ tal que
fx(x0, y0) = λgx(x0, y0) (1)
fy (x0, y0) = λgy (x0, y0)
g(x0, y0) = 0.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 3 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Las ecuaciones en (1) sugieren el siguiente procedimiento, conocido como
método de los multiplicadores de Lagrange, para determinar los extremos con
restricciones.
1 Para encontrar los extremos de z = f (x , y) sujetos a la restricción
g(x , y) = k resuelva el sistema de ecuaciones
fx(x , y) = λgx(x , y)
fy (x , y) = λgy (x , y) (2)
g(x , y) = 0.
2 Entre las soluciones del sistema (2) estarán los puntos (xi , yi) donde f
tiene un extremo. Cuando f tiene un máximo o mínimo, éste será el
número más grande o más pequeño en la lista de los valores de la
función f (xi , yi).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Las ecuaciones en (1) sugieren el siguiente procedimiento, conocido como
método de los multiplicadores de Lagrange, para determinar los extremos con
restricciones.
1 Para encontrar los extremos de z = f (x , y) sujetos a la restricción
g(x , y) = k resuelva el sistema de ecuaciones
fx(x , y) = λgx(x , y)
fy (x , y) = λgy (x , y) (2)
g(x , y) = 0.
2 Entre las soluciones del sistema (2) estarán los puntos (xi , yi) donde f
tiene un extremo. Cuando f tiene un máximo o mínimo, éste será el
número más grande o más pequeño en la lista de los valores de la
función f (xi , yi).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Las ecuaciones en (1) sugieren el siguiente procedimiento, conocido como
método de los multiplicadores de Lagrange, para determinar los extremos con
restricciones.
1 Para encontrar los extremos de z = f (x , y) sujetos a la restricción
g(x , y) = k resuelva el sistema de ecuaciones
fx(x , y) = λgx(x , y)
fy (x , y) = λgy (x , y) (2)
g(x , y) = 0.
2 Entre las soluciones del sistema (2) estarán los puntos (xi , yi) donde f
tiene un extremo. Cuando f tiene un máximo o mínimo, éste será el
número más grande o más pequeño en la lista de los valores de la
función f (xi , yi).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Las ecuaciones en (1) sugieren el siguiente procedimiento, conocido como
método de los multiplicadores de Lagrange, para determinar los extremos con
restricciones.
1 Para encontrar los extremos de z = f (x , y) sujetos a la restricción
g(x , y) = k resuelva el sistema de ecuaciones
fx(x , y) = λgx(x , y)
fy (x , y) = λgy (x , y) (2)
g(x , y) = 0.
2 Entre las soluciones del sistema (2) estarán los puntos (xi , yi) donde f
tiene un extremo. Cuando f tiene un máximo o mínimo, éste será el
número más grande o más pequeño en la lista de los valores de la
función f (xi , yi).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Las ecuaciones en (1) sugieren el siguiente procedimiento, conocido como
método de los multiplicadores de Lagrange, para determinar los extremos con
restricciones.
1 Para encontrar los extremos de z = f (x , y) sujetos a la restricción
g(x , y) = k resuelva el sistema de ecuaciones
fx(x , y) = λgx(x , y)
fy (x , y) = λgy (x , y) (2)
g(x , y) = 0.
2 Entre las soluciones del sistema (2) estarán los puntos (xi , yi) donde f
tiene un extremo. Cuando f tiene un máximo o mínimo, éste será el
número más grande o más pequeño en la lista de los valores de la
función f (xi , yi).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 4 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Ejemplo: Emplee el método de los multiplicadores de Lagrange para
determinar el máximo de f (x , y) = 9− x2 − y2 sujeto a x + y = 3.
Calculo Vectorial.Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Ejemplo: Emplee el método de los multiplicadores de Lagrange para
determinar el máximo de f (x , y) = 9− x2 − y2 sujeto a x + y = 3.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Ejemplo: Emplee el método de los multiplicadores de Lagrange para
determinar el máximo de f (x , y) = 9− x2 − y2 sujeto a x + y = 3.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 5 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Solución: Recordemos que
fx(x , y) = λgx(x , y), fy (x , y) = λgy (x , y) ∧ g(x , y) = 0.
Por un lado tenemos que g(x , y) = x + y − 3. Haora encontremos las
derivadas parciales con respecto a x y a y
−2x = λ ∧ −2y = λ.
=⇒ x = y .
Dado que x + y − 3 = 0, tenemos que
2y = 3
y =
3
2
=⇒ x = 3
2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Solución: Recordemos que
fx(x , y) = λgx(x , y), fy (x , y) = λgy (x , y) ∧ g(x , y) = 0.
Por un lado tenemos que g(x , y) = x + y − 3. Haora encontremos las
derivadas parciales con respecto a x y a y
−2x = λ ∧ −2y = λ.
=⇒ x = y .
Dado que x + y − 3 = 0, tenemos que
2y = 3
y =
3
2
=⇒ x = 3
2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 16
Multiplicadores de Lagrange.
Solución: Recordemos que
fx(x , y) = λgx(x , y), fy (x , y) = λgy (x , y) ∧ g(x , y) = 0.
Por un lado tenemos que g(x , y) = x + y − 3. Haora encontremos las
derivadas parciales con respecto a x y a y
−2x = λ ∧ −2y = λ.
=⇒ x = y .
Dado que x + y − 3 = 0, tenemos que
2y = 3
y =
3
2
=⇒ x = 3
2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 6 / 16
Multiplicadores de Lagrange
Solución: Evaluandon los valores de x y de y en la función f (x , y), tenemos:
f
(
3
2
,
3
2
)
= 9−
(
3
2
)2
−
(
3
2
)2
=
9
2
.
Por lotanto el máximo de la función de f (x , y) = 9− x2 − y2 sujeto a
x + y = 3 es
9
2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 16
Multiplicadores de Lagrange
Solución: Evaluandon los valores de x y de y en la función f (x , y), tenemos:
f
(
3
2
,
3
2
)
= 9−
(
3
2
)2
−
(
3
2
)2
=
9
2
.
Por lotanto el máximo de la función de f (x , y) = 9− x2 − y2 sujeto a
x + y = 3 es
9
2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 16
Multiplicadores de Lagrange
Solución: Evaluandon los valores de x y de y en la función f (x , y), tenemos:
f
(
3
2
,
3
2
)
= 9−
(
3
2
)2
−
(
3
2
)2
=
9
2
.
Por lotanto el máximo de la función de f (x , y) = 9− x2 − y2 sujeto a
x + y = 3 es
9
2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 16
Multiplicadores de Lagrange
Solución: Evaluandon los valores de x y de y en la función f (x , y), tenemos:
f
(
3
2
,
3
2
)
= 9−
(
3
2
)2
−
(
3
2
)2
=
9
2
.
Por lotanto el máximo de la función de f (x , y) = 9− x2 − y2 sujeto a
x + y = 3 es
9
2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 16
Multiplicadores de Lagrange
Solución: Evaluandon los valores de x y de y en la función f (x , y), tenemos:
f
(
3
2
,
3
2
)
= 9−
(
3
2
)2
−
(
3
2
)2
=
9
2
.
Por lotanto el máximo de la función de f (x , y) = 9− x2 − y2 sujeto a
x + y = 3 es
9
2
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 7 / 16
Multiplicadores de Lagrange
Ejemplo:
1 Determine los extremos de f (x , y) = y2 − 4x sujetos a x2 + y2 = 9.
2 Un cilindro circular recto cerrado tendrá un volumen de 1000pies3. La
parte superior y el fondo del cilindro se construirán con metal que cuesta
2 dólares por pie cuadrado. El costado se formará con metal que cuesta
2.50 dólares por pie cuadrado. Determine el costo mínimo de
fabricación.
3 Una caja rectangular sin tapa se hace con 12m2 de cartón. Calcule el
volumen máximo de esta caja.
4 Determine los valores extremos de la función f (x , y) = x2 + 2y2 en el
círculo x2 + y2 = 1.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 16
Multiplicadores de Lagrange
Ejemplo:
1 Determine los extremos de f (x , y) = y2 − 4x sujetos a x2 + y2 = 9.
2 Un cilindro circular recto cerrado tendrá un volumen de 1000pies3. La
parte superior y el fondo del cilindro se construirán con metal que cuesta
2 dólares por pie cuadrado. El costado se formará con metal que cuesta
2.50 dólares por pie cuadrado. Determine el costo mínimo de
fabricación.
3 Una caja rectangular sin tapa se hace con 12m2 de cartón. Calcule el
volumen máximo de esta caja.
4 Determine los valores extremos de la función f (x , y) = x2 + 2y2 en el
círculo x2 + y2 = 1.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 16
Multiplicadores de Lagrange
Ejemplo:
1 Determine los extremos de f (x , y) = y2 − 4x sujetos a x2 + y2 = 9.
2 Un cilindro circular recto cerrado tendrá un volumen de 1000pies3. La
parte superior y el fondo del cilindro se construirán con metal que cuesta
2 dólares por pie cuadrado. El costado se formará con metal que cuesta
2.50 dólares por pie cuadrado. Determine el costo mínimo de
fabricación.
3 Una caja rectangular sin tapa se hace con 12m2 de cartón. Calcule el
volumen máximo de esta caja.
4 Determine los valores extremos de la función f (x , y) = x2 + 2y2 en el
círculo x2 + y2 = 1.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 16
Multiplicadores de Lagrange
Ejemplo:
1 Determine los extremos de f (x , y) = y2 − 4x sujetos a x2 + y2 = 9.
2 Un cilindro circular recto cerrado tendrá un volumen de 1000pies3. La
parte superior y el fondo del cilindro se construirán con metal que cuesta
2 dólares por pie cuadrado. El costado se formará con metal que cuesta
2.50 dólares por pie cuadrado. Determine el costo mínimo de
fabricación.
3 Una caja rectangular sin tapa se hace con 12m2 de cartón. Calcule el
volumen máximo de esta caja.
4 Determine los valores extremos de la función f (x , y) = x2 + 2y2 en el
círculo x2 + y2 = 1.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 16
Multiplicadores de Lagrange
Ejemplo:
1 Determine los extremos de f (x , y) = y2 − 4x sujetos a x2 + y2 = 9.
2 Un cilindro circular recto cerrado tendrá un volumen de 1000pies3. La
parte superior y el fondo del cilindro se construirán con metal que cuesta
2 dólares por pie cuadrado. El costado se formará con metal que cuesta
2.50 dólares por pie cuadrado. Determine el costo mínimo de
fabricación.
3 Una caja rectangular sin tapa se hace con 12m2 de cartón. Calcule el
volumen máximo de esta caja.
4 Determine los valores extremos de la función f (x , y) = x2 + 2y2 en el
círculo x2 + y2 = 1.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 16
Multiplicadores de Lagrange
Ejemplo:
1 Determine los extremos de f (x , y) = y2 − 4x sujetos a x2 + y2 = 9.
2 Un cilindro circular recto cerrado tendrá un volumen de 1000pies3. La
parte superior y el fondo del cilindro se construirán con metal que cuesta
2 dólares por pie cuadrado. El costado se formará con metal que cuesta
2.50 dólares por pie cuadrado. Determine el costo mínimo de
fabricación.
3 Una caja rectangular sin tapa se hace con 12m2 de cartón. Calcule el
volumen máximo de esta caja.
4 Determine los valores extremos de la función f (x , y) = x2 + 2y2 en el
círculo x2 + y2 = 1.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 8 / 16
Campo vectorial
Hablaremos de un campo vectorial sobre Rn cuando
~F : U ⊂ Rn −→ Rn.
Un campo vectorial asigna a cada vector ~x un vector ~F (~x) ∈ Rn. Por ejemplo,
un campo vectorial sobre R2 y R3 respectivamente son:
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 9 / 16
Campo vectorial
Hablaremos de un campo vectorial sobre Rn cuando
~F : U ⊂ Rn −→ Rn.
Un campo vectorial asigna a cada vector ~x un vector ~F (~x) ∈ Rn. Por ejemplo,
un campo vectorial sobre R2 y R3 respectivamente son:
Calculo Vectorial. Notas de clase: CalculoVectorial Abril, 2020 9 / 16
Campo vectorial
Rotacional: Definición y propiedades:
Sea F un campo vectorial dado por
~F : U ⊂ R3 −→ R3�F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) ,
donde F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R.
El rotacional del campo F está dado por:
rot(F ) = O× F =
(
∂F3
∂y
− ∂F2
∂z
)
i +
(
∂F1
∂z
− ∂F3
∂x
)
j +
(
∂F2
∂x
− ∂F1
∂y
)
k .
Donde O es el operador diferencial vectorial, u operador nabla,
O =
∂
∂x
i +
∂
∂y
j +
∂
∂z
k .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 16
Campo vectorial
Rotacional: Definición y propiedades:
Sea F un campo vectorial dado por
~F : U ⊂ R3 −→ R3�F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) ,
donde F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R.
El rotacional del campo F está dado por:
rot(F ) = O× F =
(
∂F3
∂y
− ∂F2
∂z
)
i +
(
∂F1
∂z
− ∂F3
∂x
)
j +
(
∂F2
∂x
− ∂F1
∂y
)
k .
Donde O es el operador diferencial vectorial, u operador nabla,
O =
∂
∂x
i +
∂
∂y
j +
∂
∂z
k .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 16
Campo vectorial
Rotacional: Definición y propiedades:
Sea F un campo vectorial dado por
~F : U ⊂ R3 −→ R3�F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) ,
donde F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R.
El rotacional del campo F está dado por:
rot(F ) = O× F =
(
∂F3
∂y
− ∂F2
∂z
)
i +
(
∂F1
∂z
− ∂F3
∂x
)
j +
(
∂F2
∂x
− ∂F1
∂y
)
k .
Donde O es el operador diferencial vectorial, u operador nabla,
O =
∂
∂x
i +
∂
∂y
j +
∂
∂z
k .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 16
Campo vectorial
Rotacional: Definición y propiedades:
Sea F un campo vectorial dado por
~F : U ⊂ R3 −→ R3�F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) ,
donde F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R.
El rotacional del campo F está dado por:
rot(F ) = O× F =
(
∂F3
∂y
− ∂F2
∂z
)
i +
(
∂F1
∂z
− ∂F3
∂x
)
j +
(
∂F2
∂x
− ∂F1
∂y
)
k .
Donde O es el operador diferencial vectorial, u operador nabla,
O =
∂
∂x
i +
∂
∂y
j +
∂
∂z
k .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 16
Campo vectorial
Rotacional: Definición y propiedades:
Sea F un campo vectorial dado por
~F : U ⊂ R3 −→ R3�F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) ,
donde F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R.
El rotacional del campo F está dado por:
rot(F ) = O× F =
(
∂F3
∂y
− ∂F2
∂z
)
i +
(
∂F1
∂z
− ∂F3
∂x
)
j +
(
∂F2
∂x
− ∂F1
∂y
)
k .
Donde O es el operador diferencial vectorial, u operador nabla,
O =
∂
∂x
i +
∂
∂y
j +
∂
∂z
k .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 16
Campo vectorial
Rotacional: Definición y propiedades:
Sea F un campo vectorial dado por
~F : U ⊂ R3 −→ R3�F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) ,
donde F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R.
El rotacional del campo F está dado por:
rot(F ) = O× F =
(
∂F3
∂y
− ∂F2
∂z
)
i +
(
∂F1
∂z
− ∂F3
∂x
)
j +
(
∂F2
∂x
− ∂F1
∂y
)
k .
Donde O es el operador diferencial vectorial, u operador nabla,
O =
∂
∂x
i +
∂
∂y
j +
∂
∂z
k .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 10 / 16
Campo vectorial
Propiedades del Rotacional:
1 Si el campo escalar f (x , y , z) tiene derivadas parciales continuas de
segundo orden entonces el rot(OF ) = ~0.
2 Si F (x , y , z) es un campo vectorial conservativo entonces rot(F ) = ~0.
3 Si el campo vectorial F (x , y , z) es una función definida sobre todo R3
cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot(F ) = ~0,
entonces F es un campo vectorial conservativo.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 16
Campo vectorial
Propiedades del Rotacional:
1 Si el campo escalar f (x , y , z) tiene derivadas parciales continuas de
segundo orden entonces el rot(OF ) = ~0.
2 Si F (x , y , z) es un campo vectorial conservativo entonces rot(F ) = ~0.
3 Si el campo vectorial F (x , y , z) es una función definida sobre todo R3
cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot(F ) = ~0,
entonces F es un campo vectorial conservativo.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 16
Campo vectorial
Propiedades del Rotacional:
1 Si el campo escalar f (x , y , z) tiene derivadas parciales continuas de
segundo orden entonces el rot(OF ) = ~0.
2 Si F (x , y , z) es un campo vectorial conservativo entonces rot(F ) = ~0.
3 Si el campo vectorial F (x , y , z) es una función definida sobre todo R3
cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot(F ) = ~0,
entonces F es un campo vectorial conservativo.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 16
Campo vectorial
Propiedades del Rotacional:
1 Si el campo escalar f (x , y , z) tiene derivadas parciales continuas de
segundo orden entonces el rot(OF ) = ~0.
2 Si F (x , y , z) es un campo vectorial conservativo entonces rot(F ) = ~0.
3 Si el campo vectorial F (x , y , z) es una función definida sobre todo R3
cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot(F ) = ~0,
entonces F es un campo vectorial conservativo.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 16
Campo vectorial
Propiedades del Rotacional:
1 Si el campo escalar f (x , y , z) tiene derivadas parciales continuas de
segundo orden entonces el rot(OF ) = ~0.
2 Si F (x , y , z) es un campo vectorial conservativo entonces rot(F ) = ~0.
3 Si el campo vectorial F (x , y , z) es una función definida sobre todo R3
cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot(F ) = ~0,
entonces F es un campo vectorial conservativo.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 11 / 16
Campo vectorial
Ejemplo:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (0, cos(xz),− sin(xy)) determine su
rotacional.
2 Determine si el campo vectorial definido por
F (x , y , z) =
(
2xy , x2 + 2yz, y2
)
es un campo conservativo.
3 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (x),g(y),h(z)), donde f , g y h son funciones derivables,
es irrotacional.
4 Si F = (x2y3 − z4)i + 4x5y2zj − y4z6k encuentre el rotacional F .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 16
Campo vectorial
Ejemplo:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (0, cos(xz),− sin(xy)) determine su
rotacional.
2 Determine si el campo vectorial definido por
F (x , y , z) =
(
2xy , x2 + 2yz, y2
)
es un campo conservativo.
3 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (x),g(y),h(z)), donde f , g y h son funciones derivables,
es irrotacional.
4 Si F = (x2y3 − z4)i + 4x5y2zj − y4z6k encuentre el rotacional F .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 16
Campo vectorial
Ejemplo:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (0, cos(xz),− sin(xy)) determine su
rotacional.
2 Determine si el campo vectorial definido por
F (x , y , z) =
(
2xy , x2 + 2yz, y2
)
es un campo conservativo.
3 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (x),g(y),h(z)), donde f , g y h son funciones derivables,
es irrotacional.
4 Si F = (x2y3 − z4)i + 4x5y2zj − y4z6k encuentre el rotacional F .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 16
Campo vectorial
Ejemplo:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (0, cos(xz),− sin(xy)) determine su
rotacional.
2 Determine si el campo vectorial definido por
F (x , y , z) =
(
2xy , x2 + 2yz, y2
)
es un campo conservativo.
3 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (x),g(y),h(z)), donde f , g y h son funciones derivables,
es irrotacional.
4 Si F = (x2y3 − z4)i + 4x5y2zj − y4z6k encuentre el rotacional F .
Calculo Vectorial.Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 16
Campo vectorial
Ejemplo:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (0, cos(xz),− sin(xy)) determine su
rotacional.
2 Determine si el campo vectorial definido por
F (x , y , z) =
(
2xy , x2 + 2yz, y2
)
es un campo conservativo.
3 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (x),g(y),h(z)), donde f , g y h son funciones derivables,
es irrotacional.
4 Si F = (x2y3 − z4)i + 4x5y2zj − y4z6k encuentre el rotacional F .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 16
Campo vectorial
Ejemplo:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (0, cos(xz),− sin(xy)) determine su
rotacional.
2 Determine si el campo vectorial definido por
F (x , y , z) =
(
2xy , x2 + 2yz, y2
)
es un campo conservativo.
3 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (x),g(y),h(z)), donde f , g y h son funciones derivables,
es irrotacional.
4 Si F = (x2y3 − z4)i + 4x5y2zj − y4z6k encuentre el rotacional F .
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 12 / 16
Campo vectorial
Divergencia: Definición y propiedades.:
Sea F un campo vectorial dado por
~F : U ⊂ R3 −→ R3�F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) ,
donde F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R.
La divergencia del campo F se denota por div F o por O · F , y esta dado por
div(F ) = O · F = ∂F1
∂x
+
∂F2
∂y
+
∂F3
∂z
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 16
Campo vectorial
Divergencia: Definición y propiedades.:
Sea F un campo vectorial dado por
~F : U ⊂ R3 −→ R3�F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) ,
donde F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R.
La divergencia del campo F se denota por div F o por O · F , y esta dado por
div(F ) = O · F = ∂F1
∂x
+
∂F2
∂y
+
∂F3
∂z
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 16
Campo vectorial
Divergencia: Definición y propiedades.:
Sea F un campo vectorial dado por
~F : U ⊂ R3 −→ R3�F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) ,
donde F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R.
La divergencia del campo F se denota por div F o por O · F , y esta dado por
div(F ) = O · F = ∂F1
∂x
+
∂F2
∂y
+
∂F3
∂z
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 16
Campo vectorial
Divergencia: Definición y propiedades.:
Sea F un campo vectorial dado por
~F : U ⊂ R3 −→ R3�F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) ,
donde F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R.
La divergencia del campo F se denota por div F o por O · F , y esta dado por
div(F ) = O · F = ∂F1
∂x
+
∂F2
∂y
+
∂F3
∂z
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 16
Campo vectorial
Divergencia: Definición y propiedades.:
Sea F un campo vectorial dado por
~F : U ⊂ R3 −→ R3�F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) ,
donde F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas en alguna región R.
La divergencia del campo F se denota por div F o por O · F , y esta dado por
div(F ) = O · F = ∂F1
∂x
+
∂F2
∂y
+
∂F3
∂z
.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 13 / 16
Campo vectorial
Propiedades de Divergencia:
1 Si F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) es un campo vectorial
sobre R3 , y F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas de segundo
orden entonces la div(rot(F )) = 0.
2 Si f (x , y , z) es un campo escalar, la divergencia de su campo vectorial
gradiente div(Of ) , está dado por
div(Of ) = O · Of = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
.
Expresión que se suele abreviar por O2f , en donde al operador O2f , se
le denomina como operador de Laplace. Este operador también puede
ser empleado a un campo vectorial
F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) , aplicándolo a cada una
de sus funciones componentes, esto es:
O2F = (O2F1,O2F2,O2F3).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 16
Campo vectorial
Propiedades de Divergencia:
1 Si F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) es un campo vectorial
sobre R3 , y F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas de segundo
orden entonces la div(rot(F )) = 0.
2 Si f (x , y , z) es un campo escalar, la divergencia de su campo vectorial
gradiente div(Of ) , está dado por
div(Of ) = O · Of = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
.
Expresión que se suele abreviar por O2f , en donde al operador O2f , se
le denomina como operador de Laplace. Este operador también puede
ser empleado a un campo vectorial
F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) , aplicándolo a cada una
de sus funciones componentes, esto es:
O2F = (O2F1,O2F2,O2F3).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 16
Campo vectorial
Propiedades de Divergencia:
1 Si F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) es un campo vectorial
sobre R3 , y F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas de segundo
orden entonces la div(rot(F )) = 0.
2 Si f (x , y , z) es un campo escalar, la divergencia de su campo vectorial
gradiente div(Of ) , está dado por
div(Of ) = O · Of = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
.
Expresión que se suele abreviar por O2f , en donde al operador O2f , se
le denomina como operador de Laplace. Este operador también puede
ser empleado a un campo vectorial
F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) , aplicándolo a cada una
de sus funciones componentes, esto es:
O2F = (O2F1,O2F2,O2F3).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 16
Campo vectorial
Propiedades de Divergencia:
1 Si F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) es un campo vectorial
sobre R3 , y F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas de segundo
orden entonces la div(rot(F )) = 0.
2 Si f (x , y , z) es un campo escalar, la divergencia de su campo vectorial
gradiente div(Of ) , está dado por
div(Of ) = O · Of = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
.
Expresión que se suele abreviar por O2f , en donde al operador O2f , se
le denomina como operador de Laplace. Este operador también puede
ser empleado a un campo vectorial
F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) , aplicándolo a cada una
de sus funciones componentes, esto es:
O2F = (O2F1,O2F2,O2F3).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 16
Campo vectorial
Propiedades de Divergencia:
1 Si F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) es un campo vectorial
sobre R3 , y F1,F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas de segundo
orden entonces la div(rot(F )) = 0.
2 Si f (x , y , z) es un campo escalar, la divergencia de su campo vectorial
gradiente div(Of ) , está dado por
div(Of ) = O · Of = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
.
Expresión que se suele abreviar por O2f , en donde al operador O2f , se
le denomina como operador de Laplace. Este operador también puede
ser empleado a un campo vectorial
F (x , y , z) = (F1(x , y , z),F2(x , y , z),F3(x , y , z)) , aplicándolo a cada una
de sus funciones componentes, esto es:
O2F = (O2F1,O2F2,O2F3).
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 14 / 16
Campo vectorial
Nota:
En la mecánica de los fluidos si el campo de velocidades del fluido viene
dado por el campo vectorial F , si la div(F ) = 0 se dice que el fluido es
incompresible.
Ejemplos:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (ex sin(y),ex cos(y), z) determine su
divergencia.
2 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (y , z),g(x , z),h(x , y)), es incompresible.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 16
Campo vectorial
Nota:
En la mecánica de los fluidos si el campo de velocidades del fluido viene
dado por el campo vectorial F , si la div(F ) =0 se dice que el fluido es
incompresible.
Ejemplos:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (ex sin(y),ex cos(y), z) determine su
divergencia.
2 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (y , z),g(x , z),h(x , y)), es incompresible.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 16
Campo vectorial
Nota:
En la mecánica de los fluidos si el campo de velocidades del fluido viene
dado por el campo vectorial F , si la div(F ) = 0 se dice que el fluido es
incompresible.
Ejemplos:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (ex sin(y),ex cos(y), z) determine su
divergencia.
2 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (y , z),g(x , z),h(x , y)), es incompresible.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 16
Campo vectorial
Nota:
En la mecánica de los fluidos si el campo de velocidades del fluido viene
dado por el campo vectorial F , si la div(F ) = 0 se dice que el fluido es
incompresible.
Ejemplos:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (ex sin(y),ex cos(y), z) determine su
divergencia.
2 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (y , z),g(x , z),h(x , y)), es incompresible.
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Campo vectorial
Nota:
En la mecánica de los fluidos si el campo de velocidades del fluido viene
dado por el campo vectorial F , si la div(F ) = 0 se dice que el fluido es
incompresible.
Ejemplos:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (ex sin(y),ex cos(y), z) determine su
divergencia.
2 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (y , z),g(x , z),h(x , y)), es incompresible.
Calculo Vectorial. Notas de clase: Calculo Vectorial Abril, 2020 15 / 16
Campo vectorial
Nota:
En la mecánica de los fluidos si el campo de velocidades del fluido viene
dado por el campo vectorial F , si la div(F ) = 0 se dice que el fluido es
incompresible.
Ejemplos:
1 Sea el campo vectorial F (x , y , z) = (ex sin(y),ex cos(y), z) determine su
divergencia.
2 Demuestre que cualquier campo vectorial definido por
F (x , y , z) = (f (y , z),g(x , z),h(x , y)), es incompresible.
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