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Clase #15 y #16
Aplicaciones: Cálculo de Volúmenes
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
1. Cálculo de Volúmenes
Definición . [Volúmenes] Sea S un sólido que está entre x = a y x = b, si el área de la
sección transversal de S en el plano Pxy a través de x y perpendicular al eje x, es A(x)
donde A es una función continua, entonces el volumen de S es
V =
∫ b
a
A(x) dx
Ejemplo 1. Determine el volumen de un sólido que se obtiene al girar la región bajo la
curva y = 1 − x2 respecto al eje x desde 0 hasta 1.
Solución Si giramos alrededor de eje x la
región delimitada por la curva y los ejes, en-
contramos que la región de interés está de-
finida entre x = 0 y x = 1, obtendremos
el sólido que se muestra a continuación cu-
yos cortes transversales son discos de radio
1 − x2. El área de esta sección transversal es
A(x) = π(1 − x2)2 = π(1 − 2x2 + x4)
1
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Y como el sólido está entre x = 0 y
x = 1, entonces el volumen del sólido es
V =
∫ 1
0
A(x) dx
=
∫ 1
0
π
(
1 − 2x2 + x4
)
dx
= π
∫ 1
0
(
1 − 2x2 + x4
)
dx
= π
[
x − 2
3
x3 +
1
5
x5
]∣∣∣∣1
0
=
8π
15
Ejemplo 2. Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por x =
2
√
y, y = 9 y x = 0, alrededor del eje y.
Solución Puesto que la región gira alrede-
dor del eje y, tiene sentido rebanar el sólido
en forma perpendicular al eje y, y, por tanto,
integrar respecto a y. Ası́ la región de interés
está definida entre y = 0 y y = 9. Si corta-
mos a una altura y, obtenemos un disco de
radio x, donde x = 2
√
y, de manera que el
área de una sección transversal a través de
y es
A(y) = π(2
√
y)2 = 4πy
De donde se sigue que el volumen del sóli-
do es
V =
∫ 9
0
A(y) dy
=
∫ 9
0
4πy dy
= 2πy2
∣∣∣9
0
= 162π
2
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Ejemplo 3. La región R encerrada por las curvas y =
1
4
x2 y y = 5− x2 gira alrededor del
eje x. Calcule el volumen del sólido resultante.
Solución Para las funciones y =
1
4
x2 y
y = 5 − x2
1
4
x2 = 5 − x2
x2 = 20 − 4x2
5x2 = 20
x2 = 4
x = ±2
Si giramos alrededor de eje x la región delimitada por las curva, encontramos que la
región de interés está definida entre x = −2 y x = 2, de la cual obtendremos el sólido que
se muestra a continuación cuyos cortes transversales son rondanas de radio interior
1
4
x2
y radio exterior 5 − x2.
Ası́, determinamos el área de la sección
transversal restando el área del cı́rculo in-
terno del área del cı́rculo externo:
A(x) = π(5 − x2)2 − π
(
1
4
x2
)2
= π
(
25 − 10x2 + 15
16
x4
)
Por tanto, tenemos
V =
∫ 2
−2
A(x) dx
= 2π
∫ 2
0
[
25 − 10x2 + 15
16
x4
]
dx
= 2π
[
25x − 10
3
x3 +
3
16
x5
]∣∣∣∣2
0
=
176
3
π
Ejemplo 4. Calcule el volumen del sólido obtenido al girar la región entre las curvas
y = x2 and y =
√
x alrededor de la recta y = 1.
Solución
3
https://wlh.es/v2/1690385069304/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Para las funciones y = x2 y y =
√
x
√
x = x2
x = x4
x4 − x = 0
x(x3 − 1) = 0
x = 0 ∨ x3 = 1
x = 0 ∨ x = 1
Si giramos alrededor de eje y = 1 la región delimitada por las curva, encontramos que
la región de interés está definida entre x = 0 y x = 1, de la cual obtendremos el sólido
que se muestra a continuación cuyos cortes transversales son rondanas de radio interior
1 −
√
x y radio exterior 1 − x2.
Ası́, determinamos el área de la sección
transversal restando el área del cı́rculo in-
terno del área del cı́rculo externo:
A(x) = π(1 − x2)2 − π
(
1 −
√
x
)2
= π
(
2
√
x − x − 2x2 + x4
)
Por tanto, tenemos
V =
∫ 1
0
A(x) dx
= π
∫ 1
0
[
2
√
x − x − 2x2 + x4
]
dx
= π
[
4
3
√
x3 − 1
2
x2 − 2
3
x3 +
1
5
x5
]∣∣∣∣1
0
=
11
30
π
Ejemplo 5. En la figura se muestra un sóli-
do con una base circular de radio 1. Las sec-
ciones transversales paralelas, pero perpen-
diculares a la base, son triángulos equiláte-
ros. Determine el volumen del sólido.
4
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Solución Si consideramos el triángulo equilátero ABC, donde los extremo del segmento
AB se encuentra en la circunferencia x2 + y2 = 1, de donde obtenemos y =
√
1 − x2 y que
la base del triángulo es |AB| = 2y = 2
√
1 − x2.
Ahora, como los cortes transversales son triángulos equiláteros de lado 2y, aplicando
teorema de Pitágoras, se sigue que la longitud de la altura es
h =
√
(2y)2 − y2 =
√
4y2 − y2 =
√
3y2
=
√
3(
√
1 − x2)2 =
√
3
√
1 − x2
Por tanto, el área de la sección transversal es
A(x) =
1
2
b · h = 1
2
(2
√
1 − x2)(
√
3
√
1 − x2)
=
√
3(
√
1 − x2)2 =
√
3(1 − x2)
Y el volumen del sólido es
V =
∫ 1
−1
A(x) dx
=
∫ 1
−1
[√
3(1 − x2)
]
dx = 2
√
3
∫ 1
0
[
(1 − x2)
]
dx
= 2
√
3
[
x − 1
3
x3
]∣∣∣∣1
0
=
4
√
3
3
Ejercicios . 1. Calcule el volumen del sólido generado al girar la región limitada por
la as gráficas de las ecuaciones dadas en torno del eje x
a) y = x
√
4 − x2, y = 0
b) y =
1
x
, y = 0, x = 1, x = 4
5
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2. Calcule el volumen del sólido generado al girar la región limitada por la as gráficas
de las ecuaciones dadas en torno del eje y
a) x = −y2 + 4y, y = 1
b) y =
1
4
x2, y = 0, x = 2
3. Obtenga el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta x = −4 la
región limitada por esa misma recta y la parábola x = 4 + 6y − 2y2.
4. Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta y = −3 la
región limitada por las parábolas y = x2 y y = 1 + x − x2.
5. La base de un sólido es la región acotada por la circunferencia que tiene un radio de
7 cm. Calcule el volumen del sólido si todas las secciones planas perpendiculares a
un diámetro fijo de la base son triángulos equiláteros.
6. La base de un sólido es la región acotada por una elipse que tiene la ecuación 3x2 +
y2=6. Calcule el volumen del sólido si todas las secciones planas perpendiculares al
eje x son cuadrados.
6
https://wlh.es/v2/1690385069320/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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