Unidad 02-Estadisitca-ANÁLISIS Y MEDICIÓN

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Estadística Unidad II 
Profesor: Romero Martín 
 
 1 
MEDICIÓN DE DATOS 
Una vez tabulados los datos en la forma más conveniente y graficados, pasamos a la tercera 
etapa, que consiste en el análisis y medición de datos. 
Ahora se desarrollarán métodos para describir datos encontrando un único valor para 
describir un conjunto de ellos, Este único valor se conoce como medida de tendencia 
central. 
No hay una sola medida de tendencia central, las más conocidas son. La media aritmética 
o promedio, la mediana y la moda 
 MEDIA ARITMÉTICA 
La media aritmética o promedio es el cociente que se obtiene dividiendo la suma de los valores 
de la población por el número de valores de ella 
Media de una población = suma de todos los valores de la población 
 Número de valores de la población 
En símbolos: µ = 
 
 
 
Donde µ representa la media de la población (µ es la letra griega “mu" minúscula) 
N es el número total de elementos en la población 
X representa cualquier valor en particular 
 Indica la suma de todos los valores de X 
Cualquier característica medible de una población se denomina parámetro La media de una 
población es un parámetro así como la amplitud de variación (la diferencia entre el valor más 
grande y el más pequeño en un conjunto de datos). 
ACTIVIDAD 1: los estudiantes de un curso de Ciencias de la Computación se considera como 
una población: sus calificaciones en el curso son: 92, 96, 61, 86, 79 y 84. 
a) Indica la fórmula para la media poblacional. 
b) Determina la calificación media del curso. 
 Media aritmética de una muestra 
Frecuentemente se selecciona una muestra de la población para determinar algo acerca de una 
característica específica de ésa. 
Para datos no agrupados, la media es la suma de todos los valores dividida entre el número 
total de los mismos. Para encontrar la media de una muestra: 
 
Medía de una muestra = suma de todos los valores de la muestra 
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 2 
 Número de valores de la muestra 
La media de una población y la media de una población se calculan de la misma manera, pero 
la simbología es diferente. La fórmula para la media de una muestra es: 
Media de una muestra = 
 
 
 
Donde es la media muestral y n es el número total de valores de n la muestra. 
La media de una muestra o cualquier otra medida basada en datos muéstrales, se denomina dato 
estadístico 
ACTIVIDAD 2: el ingreso anual de una muestra de varios empleados de una empresa es: 
$49100, $38300 y $56800. 
a) Determina la media de la muestra. 
b) ¿La media que obtuviste, es un dato estadístico o un parámetro? ¿Por qué? 
 
 Media aritmética en una distribución de frecuencias 
La media ponderada es un caso especial de la medía aritmética. Se presenta cuando hay varias 
observaciones del mismo valor que pueden ocurrir si los datos se han agrupado en una 
distribución de frecuencias. Para el cálculo se suman los productos de cada dato por su 
frecuencia absoluta simple y esta suma se divide por el número total de valores. 
En símbolos: = 
 
 
 
Donde fi es el factor de ponderación n 
ACTIVIDAD 3: 
1) Una empresa vendió refrescos medianos, grandes y extra grandes por 50, 75 y 90 centavos 
de dólar respectivamente. De los últimos 10 refrescos vendidos, 3 eran medianos, 4 eran 
grandes y 3 extra grandes. Calcula la media aritmética correspondiente. 
2) Si cada dato de la actividad de introducción se repite tres veces, ¿cuál es la media 
aritmética? ¿qué puedes decir de la comparación de ambos resultados? 
3) Calcula la media aritmética de una distribución de frecuencias que está dada en la siguiente 
tabla: 
 
 
 
 
 
Xi fi 
61 5 
64 18 
67 42 
70 27 
73 8 
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 3 
4) Indica la respuesta V (verdadera) en cada caso que expresa la media aritmética: 
a) El número de veces que come pastas durante una semana un grupo de tres amigos: 2, 4, 3. 
 2___ 5 ___ 3 ___ 
b) El número de horas que Carmen ha visto la tele durante cada día de la semana pasada: 3, 2, 3, 
3, 2, 6, 3. 
 3 ___ 3,14 ___ 4,15 ___ 
c) Las veces que se conecta María a zoom para sus clases durante una semana: 1, 2, 3, 3, 4, 2, 1. 
 2,5 ___ 1,87 ___ 2,29 ___ 
d) Las notas de los exámenes de matemática realizados durante un curso en 2019 por Pablo, son: 
7, 5,6, 8, 7, 8, 8, 9, 10, 10. 
 7 ___ 8,3 ___ 7,8 ___ 
5) El número de horas que dedican los veinticuatro estudiantes de una clase a realizar un 
trabajo de investigación de economía, son: 5, 5, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 15, 14, 15, 
15, 15, 14, 15, 17, 18, 18, 20, 20, 13, 23. 
a) Calcula la media aritmética para la serie simple. 
b) Calcula la media aritmética para la serie de frecuencias. Muestra en una tabla. 
c) Compara los resultados obtenidos en ambos casos, ¿qué puedes decir? 
6) Las notas de matemática de los veinticinco estudiantes de una clase son: 6, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 
3, 8, 6, 5, 3, 7, 6, 5, 6, 4, 4, 3, 5, 5, 4, 6, 7, 4. 
Calcula la media aritmética de las notas obtenidas redondeando a dos cifras decimales si fuese 
necesario. 
 Media aritmética en una distribución de frecuencias en intervalos de clases 
Para calcular la media primero se hallan las marcas de clases o puntos medios de cada intervalo 
(Xim) 
Luego se suman los productos de las frecuencias absolutas simples por las marcas de clases de 
cada intervalo y se divide la suma por el número total de observaciones. 
En símbolos: = 
 
 
 
ACTIVIDAD 4 
Sobre un total de 40 alumnos se registran las calificaciones promedio de ingles. Se consideran 
intervalos de clase según rindan examen en marzo, diciembre o se eximan. Los datos se 
agruparon de la siguiente manera: 0 ≤ x < 4 ; 4 ≤ x < 7 ; 7 ≤ x ≥ 1 0 , cuyas frecuencias 
son 6; 16 y 18 respectivamente. Calcular la media aritmética 
 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA 
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 La media aritmética es un valor de la variable, comprendido entre el máximo y el 
mínimo valor de la variable. 
 La unidad de medida de la media aritmética es igual a la unidad de medida de la 
variable. 
 Si la variable toma siempre el mismo valor, la media aritmética es igual a dicho valor. 
 Todos los valores de la variable en estudio contribuyen de la misma manera a su 
determinación. 
 La suma de las distancias de cada valor de la variable respecto de la media aritmética 
(desviaciones) es igual a cero. = 0. 
 Por sus propiedades el promedio es algo así como el centro de gravedad de la 
distribución 
 
 Desventajas: 
 Si uno o dos de los valores es muy grande o muy pequeño, la media podría no ser un 
promedio adecuado para representar los datos. Estos valores se denominan valores outliers. 
(Fuera de limite). 
 No se puede determinar la media para datos agrupados en intervalos de extremo abierto. 
 
Actividades de integración: 
1) Se dan las notas obtenidas por los alumnos en un examen final: 5; 7; 7; 10; 6; 2; 3; 8; 4; 
5; 5; 7; 6; 6; 7; 10; 8; 6; 1; 6; 6; 5; 7; 7; 4; 3; 9; 7; 8; 5; 8; 4. 
a) Construye una tabla de frecuencias. 
b) Construye una tabla de distribución de frecuencias en intervalos de clase iguales. 
c) Construye un histograma. 
d) Calcula la media aritmética para la serie simple. 
e) Calcula la medía aritmética para la seriede frecuencias. 
f) Calcula la media aritmética para una distribución en intervalos de clase. 
2) Se arrojan 36 veces un par de dados. En cada tiro se anota la suma de los valores de los 
dos dados. Se obtuvieron los siguientes valores: 5, 8, 7, 11, 4, 6, 6, 9, 8, 10, 5, 7, 11, 12, 6, 9, 
7, 7, 2 , 4, 9, 9, 9, 6, 8, 7, 8, 5, 8, 10, 7, 6, 5, 8, 7, 11. 
a) Determina una serie simple. Calcula la media aritmética. 
b) Construye una tabla de frecuencias. Calcula la media aritmética. 
c) Construye una tabla de frecuencias en intervalos de clase. Calcula la media aritmética. 
3} Una de las propiedades de la media aritmética dice: “La suma de las distancias de cada valor 
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de la variable respecto de la media aritmética es igual a cero. Verifica esta propiedad en el 
siguiente ejercicio: “Los estudiantes de un curso de Ciencias de la Computación se considera 
como una población: sus calificaciones en el curso son: 92, 96, 61, 86, 79 y 84”. 
4} Los sueldos de 5 personas son: $1250; $1100; $5000; $1300; $990. 
a) Halla la medía aritmética. 
b) La media, ¿es representativa de todos los valores de la muestra? ¿Por qué? 
 MEDIANA (MA) 
Una vez ordenados los términos de la variable en sentido creciente o decreciente, se llama 
mediana a aquel valor que tiene tantos términos inferiores como superiores a él. 
Si todos los valores observados se ordenan en sentido creciente o decreciente, la mediana es 
el valor de la variable que ocupa el lugar central, es decir el que deja a un lado y a otro el 
mismo número de observaciones. 
Manera de calcular la mediana: 
 En una serie simple si el número de observaciones es impar y tales observaciones se 
ordenan en forma creciente, la mediana es el valor central de dichas observaciones 
n impar Ma = X(n+1)/2 
Si el número de observaciones es par; se toma como mediana a la media aritmética de los dos 
valores centrales 
 n par Ma =(Xn/2+ X(n/2)+1) / 2 
Ejemplos: si tomamos las edades de un grupo de 9 personas y las ordenamos de menor a 
mayor: (en ambos casos verificar con la fórmula correspondiente) 
1 7 -17 -1 9 -19 -22 -2 2 -23 -2 8 -29 , entonces la mediana es 22 años. 
Si solo hubiéramos obtenido ocho observaciones: 
1 7 -17 -1 9 -19 -22 -2 2 -23 -2 8 , la mediana será (19 + 22) / 2 = 20,5 años 
En las respectivas expresiones de la mediana analizadas, ¿qué indica el subíndice? 
¿Y “x"? 
ACTIVIDAD 5: 
1) Las notas de un estudiante en seis exámenes han sido: 86, 84, 91, 72, 60 y 78. Halla la 
mediana de esas notas. 
2) Cinco oficinistas cobran $452; $596; $528; $1120 y $575. a) Calcula la mediana, b) 
Calcula la media, c) Compáralas e interpreta. 
3) Si a) 85 y b) 150 números se ordenan, ¿cómo calcularías la mediana de esos números? 
Indica y explica 
 En una serie de frecuencias: 
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Determinación analítica: hay que tener siempre presente que para el cálculo de la mediana, 
es condición previa que los datos estén ordenados. Cuando los datos están agrupados en una 
distribución de frecuencias, este orden siempre existe. El problema consiste en hallar el valor 
de la variable que corresponde a la observación central. 
El número total de observaciones es “n”. Por lo tanto la observación central será n/2. En 
consecuencia, el valor de la mediana será el correspondiente a la posición n/2 en la 
distribución de la variable. 
Para encontrar tal valor, el procedimiento consiste en buscar sobre las frecuencias absolutas 
acumuladas el valor de la variable que acumula hasta n/2 observaciones. 
La primera operación que hay que realizar es obtener las frecuencias acumuladas. 
La segunda operación es calcular n/2. 
La tercera es localizar la primera frecuencia acumulada mayor que contenga a n/2. 
La mediana será el valor de la variable correspondiente a dicha frecuencia. 
ACTIVIDAD 6: 
1) Halla la mediana para el siguiente conjunto: 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 9, 2, 8, 6. 
2) Halla la mediana del siguiente cuadro 
Cuantos libros lee al año fi 
0 1 
1 3 
2 9 
3 11 
4 7 
 Determinación gráfica: 
Utilizando el gráfico de frecuencias absolutas acumuladas, indicamos la mediana de la 
siguiente forma: 
o Ubicamos el resultado de hacer n/2 sobre el eje de ordenadas en las frecuencias 
acumuladas. 
o Trazamos una línea horizontal, a la altura de dicho dato, hasta tocar el gráfico. 
o Luego, bajamos hasta el eje de abscisa. El punto que encontramos es el valor 
correspondiente a la mediara 
 
ACTIVIDAD 7: 
Dada la siguiente distribución: 5, 15, 3, 16, 20, 20, 21,22, 7, 21, 10, 16, 23, 22, 20, 7, 15, 5, 20. 
a) Halla la mediana. 
 En una distribución de frecuencias en intervalos de clase: 
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Cuando la distribución de frecuencias está dada para valores de la variable agrupados en 
intervalos de clase, no puede obtenerse exactamente el valor de la mediana porque se 
desconocen las observaciones individuales de la variable. 
No obstante, puede obtenerse una aproximación mediante la siguiente fórmula: 
Ma =Li + 
 
 
 
 
 
 .ai 
Li: es el límite inferior del intervalo correspondiente a la frecuencia absoluta acumulada que 
contiene a la cantidad n/2. 
 Es la frecuencia absoluta acumulada hasta el intervalo anterior al que contiene la 
mediana. 
fi: Es la frecuencia absoluta simple del intervalo en el que ubicamos a la mediana. 
ai: Es la amplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana. 
Ejemplo: 
 
 
Ahora calculemos la mediana (Me) según las fórmulas explicadas más arriba: 
Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase mediana. 
Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. N / 2 en este caso N / 2 = 31 / 
2 ⇒ 15,5 
Ahora debemos buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada (Fi ) contenga el valor 
obtenido (15,5) 
 
Ahora remplazamos en la formula: 
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ACTIVIDAD 8: 
Halla la mediana del siguiente cuadro: 
N° de días ausentes N° de empleados 
0 a 3 5 
3a 6 12 
6a 9 23 
9a 12 8 
12a 15 2 
 
ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN : 
1) En un curso de 30 alumnos, la profesora de Física al corregir evaluaciones (con calificación 
de 1 a 10) obtuvo las siguientes calificaciones que volcó a su cuaderno: 4, 6, 5, 9, 6, 7, 9, 8, 
1, 6, 4, 2, 5, 8, 10, 1, 4, 5, 9, 8, 7, 5, 5, 8, 10, 7, 5, 8, 5, 6. 
Para la serie simple, para la serie de frecuencias y para la distribución de frecuencias en 
intervalos de clase: (indica todos los cálculos que realices). 
a) Calcula la media aritmética (con calculadora científica). 
b) Calcula la mediana. 
c) Representa gráficamente la mediana. 
1) Los siguientes son los pesos de 40 estudiantes de una universidad, expresados en libras: 
 
a) Vuélcalos a una tabla agrupados en intervalos de clase iguales. 
b) Calcula la mediana. 
138 164 150 132 144 125 149 157 
146 158 140 147 136 148 152 144 
168 126 138 176 163 199 154 165 
146 173 142 147 135 153 140 135 
161 145 135 142 150 156 145 128 
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c) Representa en un histograma y una ojiva. 
 MODO O MODA (Mo) 
Otra de las medidas de tendencia central en la cual, una de las ventajas es que no influyen los 
valores extremos de la distribución es el modo, que se puede definir como "el valor que más se 
repite en una serie" (moda es lo que más se usa) o bien, "el valor de la observación que aparece 
con más frecuencia". 
El modo puede no existir si todas las observacionestienen la misma frecuencia, y en el caso de 
existir puede no ser único. Si el valor modal es uno solo la serie es unimodal. Si existen dos 
valores modales la serie es bimodal. Al igual que la mediana, puede utilizarse como medida de 
tendencia central para distribuciones con clases de extremo abierto. 
Una de las desventajas que tiene la moda es que para muchos conjuntos de datos no hay valor 
modal porque ningún valor aparece más de una vez. • 
A veces tenemos que clasificar datos que no son números. Por ejemplo los empleados de una 
compañía se pueden clasificar por sexo, estado civil, ocupación, etc. 
En estos casos no tiene sentido hablar de media o de mediana del sexo de los empleados, de su 
estado civil o de sus ocupaciones, por cuanto la asignación numérica que hagamos será más 
bien con propósito diferencial, pero carente de cualquier sentido cuantitativo.- 
Sin embargo, sí tiene sentido preguntar por ejemplo cuál es la ocupación de la mayoría de los 
empleados. 
El modo es el valor de la variable que más veces se repite y en consecuencia, en una 
distribución de frecuencias, es el valor de la variable que viene afectado por la máxima 
frecuencia de la distribución. 
Es útil como medida de tendencia central sólo en aquellos casos en que un valor de la variable 
es mucho más frecuente que el resto. 
 Determinación gráfica: 
El Mo puede obtenerse gráficamente, observando el gráfico de frecuencias absolutas tomando 
como modo al valor de la variable de mayor frecuencia. 
Manera de calcular el modo: 
 En serie simple: 
Su cálculo es inmediato, a través de inspección visual, basta con localizar el valor que más veces 
se repite es decir el de mayor frecuencia. Por ejemplo, si tenemos niños de 2, 3, 7, 7, 7, 10 y 11 
años el modo es 7 porque tiene frecuencia 3. 
ACTIVIDAD 9: 
A continuación se presenta el número de cambios de aceite para los últimos siete días en un 
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taller: 41,15, 39, 54, 31, 15 y 33. Halla la moda. 
 En una serie de frecuencia: 
En la distribución de frecuencias se observa (inspección visual) cual es la frecuencia absoluta 
simple mayor y el Mo será el valor de la variable correspondiente a dicha frecuencia. 
ACTIVIDAD 10: 
Cuál sería el valor modal para un conjunto de observaciones si hay un total de: 
a) 10 observaciones y no hay dos valores iguales. 
b) 6 observaciones y los valores son 1, 2, 3, 3, 4 y 4. 
 En una distribución de frecuencias en intervalos de clase: 
Al igual que para las otras medidas de tendencia central, no puede calcularse exactamente el 
Mo por desconocerse los valores de la variable. Puede decirse que es el punto medio del 
intervalo de clase de mayor frecuencia. 
Una aproximación se obtiene mediante la siguiente expresión: 
Mo =Li + 
 
 
 .a1 
Li: es el límite inferior del intervalo de clase al que corresponde la mayor frecuencia 
absoluta simple. 
 Es la diferencia entre la frecuencia absoluta simple del intervalo de mayor 
frecuencia o intervalo modal respecto a la frecuencia absoluta simple del intervalo 
anterior. ( = fi – f(i-1)) 
 Es la diferencia entre la frecuencia absoluta simple del intervalo de mayor frecuencia o 
intervalo modal respecto de la frecuencia absoluta simple del intervalo posterior. ( = fi – 
f(i+1)) 
ai: es la amplitud del inervado en el qué se encuentra el modo. 
Ejemplo: 
 fi 
[60, 63) 5 
[63, 66) 18 
[66, 69) 42 
[69, 72) 27 
[72, 75) 8 
 100 
 
ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: 
1) Dada la siguiente distribución de frecuencia: 
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Clase Frecuencia 
20 a 30 7 a) Calcular la media, la mediana y el modo. 
30 a 40 12 b) Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias. 
40 a 50 21 c) Dibujar la ojiva. 
50 a 60 18 d) Indicar gráficamente las tres medidas de posición central 
60 a 70 12 
 
COMPARACIÓN ENTRE LAS MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL 
La media, la mediana y el modo se consideran las medidas de posición central más importantes 
por su sencillez y utilidad. No obstante, no son aplicables en todos los casos. A continuación se 
dan algunas ideas acerca del uso de cada una de ellas. 
Desde el punto de vista gráfico, en caso de que la curva sea simétrica las tres medidas 
coinciden. 
En las curvas asimétricas a la derecha, la cola más larga de la distribución queda a la derecha, 
la mediana tiene una posición tal que la mitad de la distribución está por encima de la 
mediana y la otra mitad por debajo 
Como la media aritmética es la más sensible a los valores extremos, se ve, llevada a la 
derecha de la mediana o sea hacia los valores altos de la distribución. 
Ocurre todo lo contrario cuando la curva es asimétrica a la izquierda. 
 
En cuanto a cual medida es la más indicada para referirse a un conjunto de datos, esto solo 
puede ser resuelto una vez que hayamos observado la forma de la distribución y del objetivo que 
se persiga con dicha medida. 
Si la distribución es simétrica, o aproximadamente simétrica, no importa que medie utilicemos. 
Si la distribución es asimétrica puede ser más adecuado utilizar el modo o la mediana, ya que la 
media no ofrece un buen comportamiento en estas circunstancias. 
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Si la medida se utiliza para obtener un valor total, debemos obtener la media. Ejemplo promedio 
de notas de una materia. 
Si lo que se desea es averiguar el gasto de un hogar en alimentación, debe utilizarse la moda. 
Es importante destacar que las medidas deben calcularse a partir de datos homogéneos y lo más 
numerosos posibles, condiciones ambas inherentes a toda buena medida. 
Rara vez coinciden los valores de la media, la mediana y el modo. Esto nos plantea la siguiente 
pregunta: ¿Qué promedio debe usarse en cada caso? 
Para ello hay que tener en cuenta las características, sus ventajas e inconvenientes. 
Media Aritmética 
Es el centro de gravedad de la distribución. 
Es el valor de la variable que depende de todas las observaciones porque en su cálculo 
intervienen todas ellas, por lo tanto la presencia de un valor observado anormalmente grande o 
chico, influye sensiblemente en el valor del promedio, lo cual, evidentemente, es un 
inconveniente de la media aritmética. Frente a este inconveniente tiene la ventaja de utilizar toda 
la información recogida. 
En estadística se trabaja frecuentemente con muestra. Con una muestra no puede obtenerse el 
valor exacto de un promedio de la población, sólo se obtiene una estimación de él. 
Una condición esencial de cualquier promedio es que su valor en la muestra no varíe mucho al 
pasar de una muestra a otra, es decir, que el promedio calculado sea lo más estable posible. Esta 
condición de la máxima estabilidad la posee la media aritmética. 
La media, por estar definida mediante una expresión algebraica, puede someterse a cálculos 
matemáticos necesarios para deducir cuestiones importantes. 
Mediana 
Es el valor de la variable que deja a un lado y al otro el mismo número de observaciones, bajo el 
supuesto de que los datos están ordenados en sentido creciente o decreciente. En la gráfica, la 
ordenada correspondiente a la mediana divide el área total en dos partes iguales. 
Para determinar el valor de la mediana, no es necesario conocer el valor de todas las 
observaciones, solo se necesita saber el valor de la observación central y que las restantes son 
mayores o menores que ésta. 
Propiedades: 
 No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños, y por lo tanto es una medida 
valiosa de tendencia central cuando ocurre este tipo de valores 
Puede obtenerse con datos incompletos, por ejemplo, en las distribuciones de frecuencias conintervalos de clase abiertos que comienzan con un intervalo “menos de’’ o finalizan con un 
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intervalo "más de". 
Es única, esto es, a semejanza de la media, sólo existe una mediana para un conjunto de datos. 
Un serio inconveniente es que la mediana no está definida mediante una expresión matemática. 
La fórmula de aproximación es simplemente, un artificio que se utiliza en el caso de las 
distribuciones para datos agrupados en intervalos de clase. 
En consecuencia no puede someterse a cálculo algebraico para deducir cuestiones importantes 
de comportamiento. 
Modo 
Es el valor más frecuente, es decir el punto donde se concentra el mayor número de 
observaciones. 
En la gráfica, el modo es el punto de la variable al cual le corresponde a altura máxima de la 
curva. 
Este promedio, tampoco utiliza toda la información. Sólo basta con saber tan solo que valor de 
la variable es el más frecuente. Esto hace, al igual que en el caso de la mediana que este 
promedio no se vea afectado por los valores anormalmente grandes o chicos. 
El Mo es un promedio muy interesante cuando existe en la distribución una clara u decidida 
tendencia a que los valores se concentren alrededor de un solo valor. 
 
Una vez vistas las propiedades de cada promedio separadamente, conviene ene repasar algunas 
cuestiones que afectan a todos ellos. 
Recordemos que el promedio tiene por objeto obtener un valor de la variable alrededor del cual 
se distribuyen las observaciones. 
Esta condición se cumple muy bien en las distribuciones simétricas o moderadamente 
simétricas. En este caso la media a mediana y el modo son perfectamente representativos de
:
 
conjunto de observaciones. 
En este caso es difícil señalar una preferencia de uno sobre otro desde el punto de vista de su 
representatividad tomamos en cuenta las restantes propiedades el mejor promedio es la media 
aritmética por sus propiedades matemáticas y de estabilidad en el muestreo. 
Si la distribución es fuertemente asimétrica, es decir tiene forma de J o L, entonces, la mediana 
es el promedio más apto 
ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN 
1) Se hizo un censo entre los alumnos de un curso para saber cuántos hijos tienen sus padres, 
los resultados obtenidos son los siguientes: 
2, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 4, 2, 2, 4, 1, 5, 5, 2, 7, 3, 2, 6, 3, 2, 3, 3,2, 3,4,7,1, 3, 3, 2, 
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3, 6, 1. 
a) Determina la tabla de frecuencias simples y acumuladas. 
b) Calcula la media, la mediana y el modo. Interpreta cada medida en términos del problema. 
c) Compara gráfica y analíticamente las tres medidas e interpreta. 
2) Supongamos que se hace una encuesta de ingresos familiares, en una ciudad, a 1000 
familias, entre estas familias hay tres que tienen ingresos de $100000 y hay 997 con ingresos 
de $500. 
a) Calcula la media, mediana y modo. 
b) ¿Cuál de las medidas es la más representativa? Justifica. 
3) Las edades de los estudiantes de la Licenciatura en Didáctica de la Matemática de la 
Facultad de Ciencias Exactas, están agrupadas en intervalos. Determina: población, 
muestra, variable en estudio y tipo de variable. Calcula a) media, b) mediana, c) modo. 
Interpreta a) cada una de las medidas de posición central en términos del problema 
Compara las tres medidas y justifica. 
¿Por qué estudiar la dispersión? 
Un promedio como la media o la mediana, solamente localiza el centro de los datos y esto es 
importante desde ese punto de vista, pero un promedio no dice nada acerca de la diseminación 
de los datos. 
Por ejemplo, si una guía geográfica informa que un río tiene en promedio 1,10 m de 
profundidad, ¿lo cruzarías sin información adicional? Probablemente no. Desearías saber algo 
sobre la variación de la profundidad. ¿Es la profundidad máxima del río de 1,30 m y la mínima 
de 1 m? Si ese es el caso, probablemente decidirías cruzar. 
¿Qué ocurre si te enteras de que la profundidad del río varía de 0,55 m a 2,08 m? Tu decisión 
probablemente sería no cruzar. Antes de decidir respecto a cruzar o no el río, se requiere 
información acerca de la profundidad típica y la variación en la profundidad del mismo. 
Un valor pequeño para una medida de dispersión indica que los datos se encuentran acumulados 
cercanamente, por ejemplo, alrededor de la media aritmética. Por lo tanto, la media se 
considera bastante representativa de los datos. Esto es, tal valor es un promedio confiable. Por 
el contrario, una medida de dispersión grande indica que la media no es confiable, es decir, 
Intervalos fi 
22 a 27 9 
27 a 32 21 
32 a 37 22 
37 a 42 23 
42 a 47 14 
47 a 52 6 
52 a 57 4 
57 a 62 1 
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 15 
que no es representativa de los datos. 
Por ejemplo: Si las edades de los empleados de una fábrica varían entre 18 y 85, 
presenta una amplia dispersión y da como medida de ubicación un valor (50 años) que no es 
muy significativa. 
Una segunda razón para estudiar la dispersión en un conjunto de datos es poder comparar 
cuán dispersas están dos o más distribuciones. 
Por ejemplo, supongamos que nueva computadora se ensambla en una empresa A y 
también en una B. La media aritmética de la producción diaria en la planta A es 50 y 
también en B es de 50. Basándonos en las medias podríamos decir que son idénticas 
las distribuciones de las producciones diarias. Sin embargo, los registros de producción 
para nueve días en las dos plantas revelaron que esta conclusión no es correcta. La 
producción en A varía de 48 a 52 ensambles por día. La producción en B varía de 40 a 60 
ensambles por día. 
El promedio no es representativo cuando se tiene una amplia dispersión. 
Una medida de dispersión puede utilizarse para evaluar la confiabilidad de dos o más 
promedios. 
 
 Medidas de dispersión 
Se considerarán varias medidas de dispersión. La amplitud de variación se basa en la 
ubicación del valor más grande y el más pequeño en un conjunto de datos. La desviación 
media, la variancia y la desviación estándar se basan en las desviaciones respecto de la 
media. 
 Amplitud de variación 
La medida de dispersión más sencilla es la amplitud de variación. Se trata de la diferencia 
entre el valor más grande y el más pequeño de un conjunto de datos expresados corno ecuación. 
 
Amplitud de variación = valor más grande - valor más pequeño 
Tal intervalo se utiliza ampliamente en las aplicaciones del control estadístico de procesos 
Ejemplo: con relación al ejemplo anterior, determinar la amplitud de variación del 
número de computadoras producidas en las plantas A y B. Interpretar ambas amplitudes de 
variación. 
Solución: la amplitud de variación de la producción diaria de computadoras' en la planta 
A es 4, obtenida de la diferencia entre la producción diaria más alta, que es 52, y la más 
baja, que es 48. La amplitud de variación de la producción diaria en la planta B es 20 
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 16 
= 
computadoras, obtenida de 60 - 40. Por lo tanto, puede concluirse que en A hay menos 
dispersión en la producción diaria que en B porque la amplitud de variación de 4 
computadoras es menor que la de valor 20 y la producción en la planta A se acumula 
más cerca de la media de 50, que la producciónen la planta B (porque una amplitud de 
variación de 4 es menor que una de 20). De esta forma, la producción media en la planta 
A (50 computadoras) es un promedio más representativo que la media de 50 computadoras 
para la planta B. 
APLICACIÓN: 
Las siguientes son las estaturas de los jugadores de dos equipos de básquet expresadas en 
cm: Equipo A: 183, 184, 187, 188,189,189,193,196,199,202,203,204,206,207. 
Equipo B: 186, 186, 191, 191, 192, 195, 196, 197, 198, 198, 201, 201, 203. 
a) Halla la media aritmética y la amplitud de variación de las estaturas para cada uno de los 
equipos 
b) Observa los valores de las medias y analiza las amplitudes de variación. Escribe las 
conclusiones. 
 
 Desviación media . 
Un defecto importante de la amplitud de variación es que se basa .sólo en dos valores, el 
máximo y el mínimo, no considera todos los datos. La desviación media sí lo hace y mide el 
valor en promedio en que vanan los valores de una población, o muestra, con respecto a 
su media. 
Recordar: que desviación es la distancia de cada valor de la variable respecto de la media 
aritmética 
Aplicando una definición: Es la media aritmética de los valores absolutos de las 
desviaciones con respecto a la media aritmética. 
La ecuación para hallar la desviación media para una muestra es: 
 DM = 1/n 
Donde: , es el valor de cada observación. 
 Es la media aritmética de los valores. 
 n es el número de observaciones. 
 || Indica el valor absoluto. Es decir, no se toman en cuenta los signos de las 
desviaciones medias 
¿Por qué no se consideran los signos de las desviaciones respecto de. La media? Si .no 
se hiciera así, las desviaciones positivas y negativas se compensarían exactamente, y la 
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 17 
desviación media siempre sería cero. Tal medida (cero) es un dato estadístico inútil. 
Ejemplo: el número de pacientes atendidos en la sala de urgencias de un Hospital para una 
muestra el año pasado fueron: 103, 97, 101, 106 Y 103. Determinar e interpretar la desviación 
media. 
Solución: la desviación media, es el promedio en que las observaciones individuales se 
desvían respecto de la media aritmética. Para obtener la desviación media de un conjunto de 
datos, se comienza evaluando la media aritmética. La media del número de pacientes es 
102. Luego se calcula la cantidad en que cada observación Sé desvía de la media. 
Después se suman estas diferencias, omitiendo los signos, y se divide la suma entre e 
número de observaciones. El resultado es el valor medio en que las observaciones se 
desvían con respecto a promedio. Un valor pequeño de la desviación media indica que la 
media es representativa de los datos, en tanto que un valor grande de la misma indica 
dispersión en los datos. La desviación media es 2,4 pacientes por día. El número de éstos 
varía, en promedio, en 2,4 pacientes por día respecto de la media de 102. Enfermos por día 
Realizar los cálculos y comprobar lo expresado. 
La desviación media tiene dos ventajas. Primero, utiliza en su cálculo todos los valores 
de la muestra. Recuérdese que la amplitud de variación solamente utiliza el valor más alto 
y el valor más bajo. Segundo, es fácil de comprender, porque es el promedio en que los 
valores se desvían respecto a la media. Sin embargo, su principal desventaja es el uso de 
valores absolutos, ya que generalmente es difícil trabajar con éstos. Por lo tanto, la 
desviación media no se usa frecuentemente como las otras medidas de dispersión, tales como 
la desviación estándar. 
Si los datos están agrupados en frecuencia, la fórmula para hallar la desviación media es: 
DM = 1/n .fi 
ACTIVIDAD 11: 
Los pesos de un grupo de cajas que se van a enviar a Irlanda son (en libras): 95, 103, 105, 
110, 104, 105, 112 y 90. 
a) ¿Cuál es la amplitud de variación de los pesos? 
b; Calcule la media aritmética de los valores del peso. 
e) Determina la desviación media de los pesos. 
Ejercicios dé Integración: 
Para las siguientes situaciones, calcula: a) la amplitud de variación; b) la media 
aritmética; c) la desviación media y d) interpreta las medidas de dispersión. 
1) Cinco vendedores de una empresa que trabajaron el viernes último, vendieron 
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 18 
respectivamente: 5, 8, 4, 10 y 3 video grabadoras. 
2) El Departamento de Estadística de una universidad ofrece ocho cursos de Estadística 
básica. Las siguientes son las cantidades de estudiantes inscriptos en tales cursos: 34. 46: 52. 
29. 41. 38. 36 Y 28. 
3) El siguiente es un conjunto de temperaturas, en grados Celsius, de una semana de 
invierno en una Ciudad: 10. 12.9. 10,8.9, 13. 
 Variancia(o varianza) y desviación estándar 
La variancia y la desviación estándar se basan en las desviaciones al cuadrado o cuadráticas 
con respecto a la media. 
 Variancia. 
Es la media aritmética de las desviaciones cuadráticas con respecto a la media. Desviación 
Estándar. Es la raíz cuadrada positiva de la variancia. 
Obsérvese en la definición de variancia que las desviaciones con respecto a la media se 
elevan al cuadrado. Los signos de las desviaciones (+ o -) no se omiten como se hizo para 
la desviación media. Elevar al cuadrado las desviaciones con respecto a la media elimina la 
posibilidad de que haya números negativos, pues al multiplicar dos cifras negativas se 
obtiene un resultado positivo. 
 Variancia poblacional: 
(Recuérdese que una población es la totalidad de las observaciones que se estudian). La 
variancia poblacional para datos no agrupados, o para datos no tabulados en una distribución 
de frecuencias se obtiene por medio de: 
ὁ
2
 = 1/n 
2
 
Donde: ὁ
2
 es el símbolo para la variancia de una población (ὁ es la letra griega sigma 
minúscula).Se expresa comúnmente como "sigma cuadrada". 
Xi es el valor de una observación en la población. 
µ es la media aritmética de la población. (es la letra griega mu minúscula). 
N es el número total de observaciones en la citada población. 
Ejemplo: las edades de los pacientes del pabellón de aislados en un Hospital son 38, 26, 13, 
41 Y 22 años. 
¿Cuál es la variancia de esa población? 
Solución: 
a) Halla la media aritmética poblacional (µ). 
b) Halla los desvíos con respecto a la media, ¿a qué es igual su suma? 
e) Halla los cuadrados de los desvíos y suma. (Los ítems b) y c) puedes indicarlos en una 
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 19 
tabla). 
d) Halla la variancia poblacional. (ὁ
2
 = 106,8). . 
Igual que la amplitud de variacióny la desviación media, la variancia se utiliza para comparar 
la dispersión de dos o más conjuntos de observaciones. Por ejemplo, se calculó que 106,8 es 
la variancia de las edades de los pacientes de la población. Si tal medida para las edades de 
todos los enfermos de cáncer en el hospital es 342,9, puede decirse que: 
1) hay menos dispersión en la distribución de las edades de los hospitalizados en aislamiento, 
que en los pacientes de cáncer (porque 106,8 es menor que 342,9); 
2) las edades de los pacientes aislados se acumulan más cerca de la media de 28 años, que 
las de los enfermos de cáncer. De esta forma la edad media para aquéllos es un promedio 
más representativo en comparación con la media para todos los que padecen 
enfermedades cancerosas. 
 Desviación estándar poblacional: 
Es fácil interpretar tanto la amplitud de variación como la desviación media. Sin embargo, 
resulta difícil de interpretar la variancia para un solo conjunto de observaciones la variancia de 
106,8 para las edades de los pacientes en aislamiento no está en términos de años, sino más 
bien de "años al cuadrado". 
La variancia es difícil interpretar a causa de las unidades. 
Existe una solución a este dilema. Al obtener la raíz cuadrada de la variancia poblacional, 
podemos transformarla a un valor en la misma unidad de medición utilizada en los datos 
originales., La raíz cuadrada de 106,8 "años al cuadrado" es 10,3 años. 
La raíz cuadrada de la variancia poblacional se denomina desviación estándar poblacional. 
La desviación estándar se presenta en las mismas unidades que los datos. Una fórmula para 
datos no agrupados es: 
ὁ = o bien 
Actividad de Integración: 
Una oficina contrató cinco pasantes de Contabilidad este año. Sus sueldos mensuales al 
comienzo fueron (en dólares) 2536; 2173; 2448; 2121 y 2622. 
a) Calcula la media de la población. 
b) Determina la variancia poblacional. Comprueba con la calculadora. 
c) Calcula la desviación estándar poblacional. Comprueba con la calculadora. 
 Variancia Muestral 
La formula de la variancia muestral, respecto a la poblacional. Se sustituye N (número en la 
población) por n (número en la muestra) y el denominador ahora es n - 1. Por lo tanto, la 
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 20 
fórmula conceptual para la variancia muestral es: 
S
2
 = 
 
 
 
 
¿Por qué se hizo al denominador esta modificación? Aunque el uso de n sea lógico, tiende a 
subestimar la variancia de la población. El uso de (n - 1) en el denominador proporciona la 
corrección adecuada para esta tendencia. Ya que se utilizan valores estadísticos de muestra 
como S
2
 para calcular parámetros de la población 
Asimismo podemos usar esta convención cuando se calcula la desviación estándar de una 
muestra. 
Puede demostrarse que la fórmula operativa de !a variancia muestral es: 
 S
2
 = 
 
 
 
 
 
 
 
El numerador de esta fórmula es mucho más fácil de utilizar, incluso si se usa una calculadora 
de mano, porque evita todas, menos una, de las sustracciones. 
Por lo tanto, se recomienda su uso para determinar la variancia muestral. 
Ejemplo: 
Resuelve la siguiente situación aplicando la fórmula conceptual y la operativa a modo de 
comprobar lo expuesto: 
Los sueldos por hora en una muestra de trabajadores de medio tiempo en una empresa son, en 
dólares 2; 10; 6; 8 y 9 ¿Cuál es la variancia muestral? ¿En qué unidad queda expresado el 
resultado? 
 Desviación estándar muestral: 
Este concepto se utiliza como estimador de la desviación estándar poblacional. Como ya 
sabemos, esta última es la raíz cuadrada de Ia variancia poblacional. De manera semejante, la 
desviación estándar muestral es la raíz cuadrada de la variancia muestra. La desviación 
estándar de una muestra para datos no agrupados se obtiene: 
 S = 
 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: halla la desviación estándar muestral con los datos del ejemplo anterior. ¿Qué 
puedes decir de la unidad con la que se expresa el resultado? . 
Si la distribución está agrupada en frecuencias, las respectivas fórmulas son: 
S = 
 
 
 
 Formula Conceptual 
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 21 
S = 
 
 
 
 
 
 
 Formula Operativa 
Se reemplaza N por n - 1 en la desviación estándar muestral porque el valor resultante 
da una mejor estimación de la desviación estándar de la población total. 
ACTIVIDAD 12: para los siguientes ejercicios: 
a) Calcula la variancia elevando al cuadrado las desviaciones individuales respecto de la 
media. 
b) Evalúa la variancia elevando también al cuadrado los valores originales. 
c) Determina la desviación estándar muestral. 
1) Considera los siguientes valores como una muestra 7, 2, 6, 2 y 3. 
2) Con base en una muestra, los siguientes son los tiempos, en minutos, requeridos para instalar 
10 puertas en una empresa de equipos que instala abridores automáticos de puertas de garaje: 
28, 32, 24, 46, 44, 40, 54, 38, 32 y 42. (Indica el resultado en min y seg). 
Medidas de dispersión para datos agrupados en intervalos de clases 
 Amplitud de variación: 
Recuerda que la amplitud de variación se define como la diferencia entre el valor mayor y el 
menor. Para estimar la amplitud de variación a partir de datos ya agrupados en una distribución 
en intervalos de clase, se resta el límite superior de la clase mayor del límite inferior de la clase 
menor. 
 Desviación media: 
Si los datos están agrupados en intervalos de clase, la fórmula es: 
DM = 1/n .fi 
 Desviación estándar: 
 Si los datos que interesan están agrupados en una distribución en intervalos de clase, la 
desviación estándar muestral puede obtenerse con la siguiente fórmula: 
S = 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
S es la desviación estándar muestral 
Xim es la marca de clase de cada intervalo. 
fi es la frecuencia absoluta simple de cada intervalo 
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 22 
n es el número total de observaciones en la muestra 
INTERPRETACIÓN Y USO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR 
El promedio es un valor utilizado para representar todos los datos. Sin embargo, muchas 
veces no da la imagen completa de la información. Frecuentemente los accionistas se enfrentan 
a este problema cuando consideran dos inversiones, para las que la tasa media de 
rendimiento es la misma. Comúnmente consideran la desviación estándar de las tasas de 
rendimiento para evaluar el riesgo asociado con las dos inversiones. Se considera que la 
inversión con la menor desviación estándar es la que presenta menor riesgo. En este contexto, 
la desviación estándar tiene una función importante en la toma de decisiones. 
La desviación estándar se emplea como una medida para comparar la dispersión en dos o más 
conjuntos de observaciones. 
Ejercicio: durante el año pasado, las notas de Ana fueron: 8, 5, 6, 7, 9, 10, 9 y 10 y las de 
Sonia fueron: 7, 8, 9, 8, 9, 9, 6 y 8. Indica cual de las dos fue mejor alumna en ese período y 
por qué. 
 Dispersión relativa: 
Resulta imposible una comparación directa entre dos o más medidas de dispersión (por ejemplo 
la desviación estándar para una distribución de ingresos anuales y la desviaciónestándar de 
una distribución de inasistencias para el mismo grupo de empleados) ¿Podemos decir que la 
desviación estándar de $1200 para la distribución del ingreso es mayor que la desviación 
estándar de 4,5 días para la distribución de faltas de asistencia? Obviamente no es así porque 
no podemos comparar directamente pesos con días de inasistenciaal trabajo. A fin de 
realizar una comparación significativa de la distribución de ingresos y faltas, necesitamos 
convertir cada una de estas medidas a un valor relativo, es decir, a un porcentaje. 
Pearson desarrolló una medida relativa denominada coeficiente de variación. 
Es una medida muy útil cuando: 
1) Los datos están en unidades diferentes (como dólares y días de inasistencia) 
2) Los datos están en las mismas unidades, pero las medias muy distantes (como sucede 
con los ingresos de ejecutivos superiores y los ingresos de empleados no calificados) 
 Coeficiente de variación 
Es el cociente entre la desviación estándar y la media aritmética, expresada como porcentaje. 
En términos de una fórmula para una muestra: 
 CV = 
 
 
 (100) (al multiplicar por 100 se convierte la expresión decimal a porcentaje) 
ACTIVIDAD 13: 
 Estadística Unidad II 
Profesor: Romero Martín 
 
 23 
1) Un estudio de las calificaciones obtenidas en un curso interno sobre principios de 
administración, y los años de servicio de los empleados que tomaron el curso, dio como 
resultado los siguientes valores estadísticos: la calificación media fue 200, la desviación 
estándar 40. La media del número de años de servicio fue 20 años y la desviación estándar 
resultó de 2 años. Compara la dispersión relativa de las dos distribuciones empleando el 
coeficiente de variación. Interpreta los resultados. 
2) Se va a comparar la variación en los ingresos de ejecutivos con la variación en 
los ingresos de los trabajadores no calificados. Para una muestra de ejecutivos, la media es 
$500000 y s = $50000. Para una muestra de empleados no calificados, la media es $22000 y S 
= $ 2200. Realiza la comparación e interpreta los resultados. 
ASIMETRÍA 
Ya se estudió la tendencia central de un conjunto de observaciones utilizando la media, la 
mediana y la moda. Ahora se analizaron las medidas de dispersión. Otra característica que 
puede medirse es el grado de asimetría de una distribución. Recuerda que si una distribución es 
simétrica, su asimetría es nula. Si una o más observaciones son sumamente grandes, la media 
de la distribución se vuelve mayor que la mediana o la moda. En tales casos se dice que la 
distribución tiene asimetría positiva. Por el contrario, si hay una o más observaciones muy 
pequeñas, la media es la menor de las tres medidas de tendencia central y se dice que la 
distribución tiene asimetría negativa. 
Pearson desarrolló una medida para evaluar el grado de orientación de la asimetría, 
denominada coeficiente de asimetría: 
CA = 
 
 
 CA se encuentra entre -3 y + 3 
ACTIVIDAD 14: 
1) Las duraciones de estadía en un hotel se organizaron en una distribución de frecuencias. 
La duración media de estadía fue 28 días, la mediana 25 días y la duración modal 23 
días. Se calculó una desviación estándar ce 4,2 días. 
a) ¿Es la distribución simétrica o asimétrica positiva o asimétrica negativa? ¿Por qué? 
b) ¿Cuál es el coeficiente de asimetría? interprétalo. 
2) Una muestra de operadores de captura de datos muy experimentados reveló que su 
rapidez media de tecleo es de 87 palabras por minuto, con una mediana de 73. La 
desviación estándar es 16,9 palabras por minuto. ¿Cuál es el coeficiente de asimetría? 
Interprétalo. 
ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN: 
 Estadística Unidad II 
Profesor: Romero Martín 
 
 24 
Las siguientes son las notas obtenidas en las evaluaciones realizadas por los alumnos de 3
o
 año 
del Profesorado en informática de la asignatura lógica Informática. Halla las medidas de 
dispersión para las notas de cada evaluación. ¿En cuál de las dos fue mejor el rendimiento? ¿Por 
qué? 
1
a
 Evaluación: 7, 7, 9, 7, 10, 10, 9, 9,8, 10, 7, 9, 9, 7, 9, 9, 9, 10, 9, 7,10, 8, 8, 8, 7,8. 
2
a
 Evaluación: 2, 3, 6, 3, 2, 9, 9, 1, 1, 1, 6, 6, 6, 6, 4, 6, 7, 8, 7, 6, 7, 4, 4, 3, 4, 4.