1 Vectores en R2

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
Unidad 10. Vectores en ℜ2 
 
 
Habitualmente representamos el desplazamiento que realiza un móvil mediante 
un vector. 
 Un vector es una flecha o segmento 
orientado que queda determinado si 
conocemos su origen (A) y su extremo 
(B). 
Al vector con origen en A y extremo B 
lo nombramos o simplemente 
 
El dibujo representa el desplazamiento 
de un móvil desde el punto A al punto B. 
 
 
 
 
Un vector queda determinado si se conocen: 
• La dirección, definida por la inclinación o pendiente de la recta que 
pasa por los puntos A y B. Se considera que los movimientos sobre 
rectas paralelas tienen la misma dirección. 
• El sentido. Se considera que en una misma dirección hay dos sentidos 
posibles. En la recta determinada por A y B, podemos representar el 
vector con origen en A y extremo en B, o el vector con origen en 
B y extremo en A. 
• El módulo o longitud del segmento que lo representa y lo designamos 
| AB | (se lee: módulo del vector v). Además el módulo de un vector es 
siempre un número mayor o igual que cero. 
| AB | ≥ 0 
 Observamos que: 
• Dos vectores tienen la misma dirección si están sobre la misma recta o 
sobre rectas paralelas. 
• Dos vectores con la misma dirección pueden tener el mismo sentido o 
sentidos opuestos. 
 
 Dos vectores son equivalentes o equipolentes si tienen la misma dirección 
sentido y módulo. 
 
 El concepto de equivalencia entre vectores permite 
definir una traslación: 
Dado un punto A del plano y un vector , la 
traslación 
vT
 desplaza el punto A hasta el 
punto A’ de manera que los vectores y 'AA 
son equipolentes. 
 
 
 
 
 
 
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Al trasladar una figura se conserva su forma, dimensión y orientación 
 
 Coordenadas cartesianas de un vector 
 Un vector puede representarse utilizando coordenadas cartesianas conociendo 
su origen y extremo. 
Si sabemos que A = (3; 2) y B = (5; 4), el vector AB es el representado en la 
figura. 
También están representados los vectores CD y EF equipolentes con AB , ya 
que todos tienen su misma dirección, sentido y módulo. 
 
 Además puede observarse que si restamos las coordenadas del extremo y 
origen de cada uno de estos vectores, la diferencia da siempre el mismo 
resultado. 
Vector Extremo 
(c; d) 
Origen 
(a; b) 
(c – a; d – b) 
AB (5; 4) (3; 2) (5 – 3; 4 – 2) = (2; 2) 
CD (8; 5) (6; 3) (8 – 6; 5 – 3) = (2; 2) 
EF (-1; 4) (-3; 2) (-1 – (-3); 4 – 2) = (2; 2) 
OP (2; 2) (0; 0) (2 – 0; 2 – 0) = (2; 2) 
 
De todos los vectores equipolentes a AB interesa particularmente el que tiene 
su origen en (0; 0) y extremo en P = (2; 2). A este vector OP lo llamamos 
representante canónico de todos los vectores equivalentes a AB . 
 
 
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 Si un vector v

 tiene origen en (a; b) y extremo en (c; d) su representante 
canónico es w

= (c – a; d – b). 
Las coordenadas cartesianas de w

 son (c – a; d – b). 
 Para hallar las coordenadas cartesianas del vector AB , conocidos su origen 
A = (5; 4) y su extremo B = (3; 2) realizamos la resta de las coordenadas del 
extremo y las del origen. 
(5 – 3; 4 – 2) = (2; 2) 
Estas coordenadas coinciden con las correspondientes a un vector equivalente 
al AB con origen en el origen de coordenadas. 
 Los vectores que como OP tienen origen en (0; 0) pueden anotarse indicando 
solamente su extremo. Así OP = (2; 2) que significa que OP es el vector con 
origen en (0; 0) y extremo en (2; 2) 
 Cada vector del plano queda identificado con un punto, pues cada punto está 
definido por un par ordenado de la forma (x; y), por lo que este par ordenado 
determina un vector con origen en (0; 0). 
 
 Ejemplo 1. 
En la imagen, 
• u

= AB está dado por 
A= (1,1) y B = (3,2) 
• v

= OC está dado por 
O = (0, 0) y C=(3,1) 
 
 
 Módulo de un vector 
 Al referirnos al módulo de un vector dijimos que era la longitud del segmento 
determinado que lo representa y lo notamos |v|

 
Para hallar el módulo de un vector de origen en A = (1; 2) y extremo en B = (4; 7) 
debemos aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que tiene como 
hipotenusa al AB como se muestra en el dibujo: 
45
36
)36()28(|AB|
22
22
=
+=
−+−=
 
Por lo que el módulo del vector AB es 
igual a 45 
 
 
 
 
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 En general: 
Si A = (a; b) y B = (c; d), 22 )bd()ac(|AB| −+−= 
donde |AB| es el módulo del vector AB 
 Observamos que calcular el módulo del vector AB es equivalente a encontrar la 
distancia entre dos puntos del plano. En este caso, los puntos son el origen y el 
extremo del vector AB . 
 Ejemplo 2 
Si A = (-3, 2) y B = (6, 3), 
Reemplazando en la fórmula es: 
 
 
Observar que: 
 
 |AB| = 22 )23())3(6( −+−− 
Operando: 
|AB| = 181+ 
 = 82 
 
 
 Componentes cartesianas y polares de un vector 
 Consideremos un vector v

cuyo origen se 
colocó en el origen de coordenadas de un 
sistema de ejes cartesianos. 
Queremos determinar cuáles son sus 
coordenadas xv y yv 
 Pare ello, trazamos rectas perpendiculares 
a los ejes y determinamos las intersecciones 
de las rectas con los ejes y las nombramos 
xv y yv . 
Decimos que ( xv ; yv ) son las coordenadas 
cartesianas de v

. 
 Todo vector v

 con origen en el origen de 
coordenadas queda determinado indicando 
su módulo y el ángulo que forma con el eje 
de abscisas en el sentido positivo. 
En este caso, decimos que )|;v(| α son las 
coordenadas polares de v

. Al ángulo α se 
lo llama argumento del vector. 
 
 
 
 
 
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 Si se conocen las coordenadas cartesianas de un vector )yv;xv(v = se pueden 
calcular las coordenadas polares )|;v(| α teniendo en cuenta que: 
2
y
2
x )v()v(|v| += y que 
x
y
v
v
tg =α 
Si se conocen las coordenadas polares de v

, v

= )|;v(| α , se pueden calcular 
las componentes xv y yv aplicando relaciones trigonométricas. 
|v|
v
sen y=α por lo que |v|senv y ⋅α= 
|v|
v
cos x=α por lo que |v|cosv x ⋅α= 
 
 Ejemplo 3 
a) Determinar el valor de y para que 
20|F| =

 
b) Dar las coordenadas polares de F

 
para el valor de y hallado. 
 
 
 Solución 
a) F

 tiene su origen en el extremo de 
coordenadas. El extremo de F

 es 
(12; y). Podemos interpretar y como 
la componente vy y que vx = 12. 
Como módulo de 20|F| =

, para 
determinar vy usamos la fórmula: 
2
y
2
x )v()v(|F| +=

 
 
 
 R reemplazamos por los datos conocidos: 
2
y
2 )v()12(20 += 
y operamos: 
2
y )v(14420 += → 
2
y
2 )v(14420 =− 
 yv256 = 
16 = vy = y 
Luego es y = 16 
 b) Para determinar las coordenadas polares, 
necesitamos el módulo de F

 y el ángulo 
que forma con el ángulo α que forma con 
el eje de abscisas en el sentido positivo. 
Conocemos el módulo de F

: 20|F| =

. 
 
 
 
 
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 Tenemos que averiguar α. 
 Como es vx = 12 y vy = 16, calculamos la tangente de α. 
 75,0
12
16
v
v
tg
x
y
===α 
Por lo que el ángulo α buscado tiene tangente igual a 0,75. 
Para hallar α, calculamos 
arctg 0,75 = 53º 7’ 
 
 Ejemplo 4. 
El vector AB tiene unalongitud de 5,5 unidades y forma con el eje de 
ordenadas un ángulo de π
3
4 . Hallar las coordenadas cartesianas del 
vector. 
 Solución 
Se trata en este caso de buscar las 
componentes ABx y ABy del vector, 
conocidos su módulo y el ángulo que 
forma con el eje de ordenadas. 
Sabemos que 
ABy = |v|senv y ⋅α= 
 ABx = |v|cosv x ⋅α= 
 
Reemplazamos por los datos: 
ABy = |v|senv y ⋅α= 
 = 5,5.
3
4sen ⋅π 
Como 866,0
3
1sen
3
4sen −≅π−=π 
es 
ABy = 5,5866,0 ⋅− ≅ - 4,76 
 
Y es 
ABx = 5,53
4cos ⋅ 
Como 5,0
3
1cos
3
4cos −≅π−=π 
 
es 
ABx = 5,55,0 ⋅− = - 2,75 
Luego las componentes del vector AB son: 
ABy ≅ - 4,76 y ABx = - 2,75 
 
 
 
 
 
 
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 Operaciones con vectores 
Suma de 
vectores 
Gráficamente, para sumar dos vectores es posible aplicar un vector a 
continuación de otro conservando sus direcciones sentidos y módulos y la suma 
será el vector que se origina en el inicio del primer vector y termina en el 
extremo del segundo, como se muestra en el dibujo 
 
 
 Al vector w se llama vector suma. 
 Se puede usar el mismo procedimiento para sumar vectores u y v como los 
siguientes 
 
 
 Para hacerlo, construimos un vector 
equivalente al vector v , de modo tal 
que su origen coincida con el extremo 
de u 
 
 Y determinamos el vector suma 
uniendo el origen de u

 con el extremo 
de v 
 En el caso en que los vectores tengan el mismo origen y distinta dirección, 
desde sus extremos se trazan rectas paralelas a ambos vectores. Queda 
determinado un paralelogramo cuya diagonal es el vector suma. 
 
 
 
 Para sumar más de dos vectores, se representan sucesivamente los vectores 
para sumar uno detrás del otro, de manera que el extremo de uno coincida con 
el origen del otro. 
El vector suma se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del 
último vector. 
 
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 Observación 
• Cuando se utiliza el signo “=” para indicar el resultado de una 
operación entre vectores, en realidad significa “equipolente a” 
 
Vectores 
opuestos 
Dos vectores son opuestos si tiene la 
misma dirección y módulo pero 
sentidos opuestos. 
vu −= 
 
Resta de 
vectores 
 
Para restar dos vectores se suma al primero el opuesto del segundo 
)CD(ABCDAB −+=− 
 
 
 
 Dos vectores ubicados en un sistema de coordenadas cartesianas que tienen 
origen en (0; 0) se suman según la siguiente regla; 
 )d;c(vy)b;a(u == entonces )db;ca(vu ++=+ 
 
Ejemplo 5 
)6;1(
)42);2(3(vu
)4;2(vy)2;3(u
=
+−+=+
−==
 
 
 
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Producto de un 
vector por un 
número real 
El producto de un vector v por un 
número real k es otro vector con la 
misma dirección y sentido y módulo 
igual a |v|k 
 
 Si el vector está dado en forma cartesiana, esto es tiene su origen en (0; 0), se 
multiplica por un número real con la siguiente regla: 
)b;a(v = y k es un número real, )bk;ak(vk ⋅⋅=⋅ 
 
 Ejemplo 6 
• )5;2(u −= y k = 
2
1 ; 





 −=





 −⋅⋅=
−=⋅
2
5;1
5
2
1;2
2
1
)5;2(
2
1u
2
1
 
 
 
 
 
 
 
Combinación 
lineal de 
vectores 
En el plano representamos los vectores 
cyb,a

. 
Nos proponemos escribir el vector c

 
con operaciones que combinen b,a

y 
números reales. 
 
 
 
 
 
Dibujamos los vectores de modo que 
los tres tengan el mismo origen, 
conservando su módulo, dirección y 
sentido. 
 
 
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Al trazar paralelas por el extremo de 
c

 a los vectores bya

podemos ver 
que 
b3a2c

⋅+⋅= 
Cuando un vector puede ser escrito 
como suma o resta de otros dos, se 
dice que es una combinación lineal de 
ellos. 
 
 
 En general, cuando dados tres vectores 21 vyv;v

 se pueden encontrar 
números reales k1 y k2 de manera que v

se puede expresar como 
2211 vkvkv

⋅+⋅= 
decimos que v

es una combinación lineal de 21 vyv

. 
También se puede decir que v

se descompone en las direcciones de 21 vyv

. 
 
 
 
Versores 
 
A veces es de utilidad descomponer un vector en otros dos con direcciones 
perpendiculares entre sí. 
Si en particular se toman los vectores )1;0(jy)0;1(i ==

, llamados vectores 
unitarios o canónicos, cualquier vector v

, tal que )b;a(v =

se puede escribir 
como: 
)1;0(b)0;1(a)b;a(v ⋅+⋅==

 
decimos que v

es una combinación lineal de los vectores canónicos. 
 
 Ejemplo 7 
Trataremos de escribir el vector v

 = (4; 2) como combinación lineal de 
los vectores 1v

= (-1; 2) y 2v

= (3; -2) 
Esto significa encontrar dos números reales k1 y k2 de manera que v

se 
puede expresar como 
2211 vkvkv

⋅+⋅= 
Esto es, 
)2;3(k)2;1(k)2;4( 21 −+−= 
Y operamos 
))2(k;3k()2k);1(k()2;4( 2211 −+−= 
Sumando componente a componente: 
)k2k2;k3k()2;4( 2121 −+−= 
 
 
 
 
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 Como dos vectores son iguales si son iguales sus componentes, 
resulta: 
21
21
k2k22
k3k4
−=
+−=
 
Resolvemos el sistema de ecuaciones que quedó determinado. 
De la primera ecuación: 
4k3k 21 −= 
Reemplazando en la segunda: 
22 k2)4k3(22 −−= 
Encontramos que 
2
5 k2 = . 
Por lo que es 
2
7 k1 = . 
Por lo que la combinación lineal es 
)2;3(
2
5)2;1(
2
7)2;4( −+−= 
 
 
 
Descomposición 
de un vector en 
direcciones 
perpendiculares 
Hasta ahora hemos sumado vectores, conocidos su módulo o sus coordenadas 
cartesianas. Nos proponemos, ahora el problema inverso: dado el vector 
resultante hallar los vectores de los cuales es su suma. 
 
 En general si se quiere descomponer un vector v

en dos vectores 21 vyv

 
perpendiculares entre sí, los módulos de 21 vyv

 pueden calcularse aplicando 
relaciones trigonométricas. 
 
 En la figura, representamos el vector 
v

 que forma con el eje de abscisas un 
ángulo α. 
Al trazar perpendiculares a los ejes, su 
intersección con los ejes determinan 
los puntos A y B. 
Sea 2vOB = , luego; 
|v|
|v|
cos 2

=α 
por lo que 
 α= cos|v||v| 2

 
 
 
 
 
 
 
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 Además 1vCBOA == entonces: 
|v|
|v|
sen 1

=α Y α= sen|v||v| 1

 
 Luego los módulos de los vectores 21 vyv

son: 
α= sen|v||v| 1

 y α= cos|v||v| 2

 
 
Plano inclinado Una aplicación importante de la descomposición de vectores, se relaciona con 
la descomposición de las fuerzas que actúan en un plano inclinado con el peso 
del cuerpo que está sobre él. 
El peso del cuerpo es una fuerza que teniendo dirección vertical puede 
descomponerse en otras dos: 
• una paralela al plano inclinado (Fa) que hace que el cuerpo se deslice 
sobre él. 
• y la otra perpendicular al plano inclinado (Fb), que resiste sólo una 
parte del peso del cuerpo. 
 
 
Los ángulos GFE y DCA son congruentes 
(por correspondientes entre GF//CP y FE 
transversal). 
GFE es igual a 90º - α es DCA = 90º - α. 
 
En la figura, 
cos(DCA) = 
|P|
|F| a

 
por lo que es |P|.DCAcos|F| a

= 
Y 
Sen(DCA) = 
|P|
|F| b

 
por lo que es |P|.AĈsenD|F| b

= 
 
Ejemplo 8: 
 Un señor tira de una cuerdaatada a un trineo que pesa 80 kg. La 
cuerda forma un ángulo de 35º con el suelo. Hallar la fuerza que hace 
deslizar el trineo por el suelo y la que tiende a levantar el trineo. 
 Respuesta 
En el gráfico se representa la 
situación. 
Llamamos 
• aF

a la fuerza que hace 
deslizar al trineo 
• aF

a la fuerza que tiende 
a levantarlo 
 
 
 
 
 
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 En el triángulo EGF, rectángulo en G el ángulo F̂ es de 55º. Además los ángulos 
F̂ y T̂ son congruentes, por correspondientes entre GF// P y EF transversal. 
Luego: 
º55T̂F̂ == 
Entonces: 
aF

= cos 55º . P

 
aF

 ≡ 0,5736 . 80 
aF

 ≡ 45,87 
La fuerza que hace deslizar al trineo es de 45,887kg 
Y 
bF

= sen 55º . P

 
bF

 ≡ 0,82. 80 
bF

 ≡ 65,53 
La fuerza que hace deslizar al trineo es de 65,53 kg 
 
 
 
Producto 
escalar 
El producto escalar de dos vectores vyu

es un número real que se obtiene 
multiplicando los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo α que 
ellos determinan. Se simboliza: 
α=⋅ cos|v||u|vu

 
 
 Propiedades del producto escalar 
• Si los vectores forman un ángulo nulo, el producto escalar es igual al 
producto del módulo de los dos vectores. 
• Si los vectores forman un ángulo recto, el producto escalar es cero. 
• El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de 
su módulo. 
2|v|vv

=⋅ 
• El producto escalar es conmutativo 
u.vvu

=⋅ 
• El producto escalar es distributivo respecto a la suma de vectores 
v.wu..w)vu.(w

+=+ 
• Si k ∈ ℜ, )v.k(.uv).u.k()vu.(k

==⋅ 
 
El producto escalar entre dos vectores puede definirse de la siguiente manera: 
 
 
 
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 Consideremos los vectores )d;c(vy)b;a(u ==

, entonces 
d.bc.av.u +=

 
 
 Por ejemplo, el producto escalar entre los vectores )5;4(vy)3;2(u =−=

es: 
d.bc.av.u +=

= -2.4 + 3. 5 = -8 + 15 = 7 
 
 
Ángulo entre 
dos vectores 
El ángulo α que forman los vectores no nulos vyu

 es un ángulo comprendido 
entre 0º y 180º que verifica: 
|v|.|u|
v.ucos 

=α 
 
Ejemplo 9. 
 Por ejemplo, consideremos los vectores del ejemplo anterior: 
)5;4(vy)3;2(u =−=

 
Y hallemos el ángulo que forman estos vectores. 
El producto escalar es 7v.u =

 
Determinamos los módulos de los vectores: 
133)2(|u| 22 =+−=

 
4154|v| 22 =+=

 
Reemplazando en la fórmula del coseno del coseno del ángulo comprendido 
entre, vyu

 
3032.0
533
7
41.13
7cos ≡==α 
Por lo que 
α ≡ 72º 21’ 
 
En física, el trabajo de una fuerza se calcula como el producto escalar entre 
dicha fuerza y el desplazamiento del cuerpo sobre el que está aplicada la 
fuerza. Veamos el siguiente ejemplo: 
 
Ejemplo 10 
Un niño tira de una autito sobre un terreno horizontal ejerciendo una 
fuerza kg20F = que forma con la horizontal un ángulo de 30º. Calcular 
el trabajo realizado cuando el autito recorre 100 metros. 
 
 
 
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 En el gráfico interpretamos la situación. 
El trabajo realizado por la fuerza F

es: 
1732
866,0.100.20
º30cos.|d|.|F|d.F
≡
=
=

 
 
Luego, el trabajo realizado es de 1732 kg . 
 
 
 Ejemplo 11. 
Un nadador quiere atravesar un río. Nada a una velocidad de 6 km/h en 
dirección perpendicular a las orillas pero la corriente lo desplaza con una 
velocidad de 4 km/h. ¿Cuál es la velocidad resultante del nadador? 
Solución 
Comencemos por representar gráficamente 
la situación. En el gráfico: 
• nv representa la velocidad del 
nadador 
• cv representa la velocidad de la 
corriente. 
Además 
| nv | = 6km/h y | cv | = 4km/h 
 
 La velocidad resultante con que se mueve el 
nadador respecto a la orilla, es la suma de 
ambas velocidades. 
Su módulo es: 
22
R )h/km4()h/km6(v += 
2
R )h/km(52v = 
h/km52vR = 
 
 
 Ejemplo 12 
Un móvil se desplaza con una 
velocidad de 20 m/seg en la dirección 
y sentido que se indica en la figura. 
Determinar las componentes del vector 
velocidad. 
 
 
 
 
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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
 
 Solución 
Conocemos el módulo del vector velocidad: 20 m/seg y con la calculadora 
hallamos el seno y el coseno de 145º 
sen 145º ≡ 0,57 y cos 145º = - 0,82 
Luego: 
|v|senvx ⋅α= = sen 145º . 20 m/seg 
 = 0,45 . 20 m/seg 
 xv = 9m/seg 
 
 |v|cosv y ⋅α= = cos 145º . 20m/seg 
 = - 0,82 . 20m/seg 
 yv = -16,4 m/seg 
Por lo que las componentes las componentes del vector velocidad son: 
 xv = 9m/seg yv = -16,4 m/seg 
 
 
 
 
UBA XXI. Matemática. Ecuaciones lineales y Matrices 
 
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