clase 13

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12. Fuerzas Centrales: problema de Kepler
Clase 13: jueves 30 de abril
Los planetas giran sin saberlo
Invisible
En esta clase vamos a resolver el problema de dos masas puntuales
atrayéndose gravitatoriamente. Pero antes un poquito de historia sobre el
llamado problema de Kepler.
A mediados del siglo II Ptolomeo propone la teoŕıa geocéntrica del siste-
ma solar, la Tierra está en el centro del universo y las estrellas de la bóveda
celeste, junto a los planetas, la luna y el sol giran a su alrededor. Pronto se
sabe que las órbitas planetarias no son circulares y Almagesto arregla las
cosas proponiendo los epiciclos: los cuerpos celestes del sistema solar giran
en ćırculos centrados en ćırculos que tienen a la Tierra en su centro. Este
modelo del sistema solar perdura durante más de 1500 años.
En el siglo XVI Copérnico sugiere la teoŕıa heliocéntrica, ahora el centro
del universo parece ser el sol, sugiere que los planetas orbitan circularmen-
te alrededor del sol. Copérnino presenta la teoŕıa como una ’hipótesis ma-
temática’ que sirve para explicar mejor el movimiento de los cuerpos celeste
del sistema solar.
Kepler, basado en las observaciones del astrónomo danés Tycho Brahe,
enuncia tres leyes emṕıricas, que desarrolló durante las dos primeras décadas
del siglo XVII (Comienza en 1601, en 1606 enuncia la primera ley, en 1619
la tercera). Estas leyes son:
Primera: todas las órbitas planetarias son elipses y el sol es uno de sus
focos.
Segunda: la ĺınea que une un planeta con el sol barre iguales áreas en
iguales intervales de tiempo.
Tercera: el cuadrado del peŕıodo de un planeta es proporcional al cubo
de la distancia media al sol.
Estas leyes son completamente emṕıricas, 50 años después de las leyes de
Kepler, Newton propone su ley de la gravitación y demuestra que las tres
leyes resultan de una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia entre planeta y sol. Una anécdota cuenta que Hooke y Halley en
enero de 1684 le preguntan Newton qué curva describiŕıa un planeta si la
fuerza de atracción hacia el sol fuese inversamente proporcional a la distancia
entre planeta y sol. Hooke pensaba que las órbitas seŕıan eĺıpticas pero no
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pod́ıa deducirlo. Newton no duda un instante y responde que la órbita es
una elipse, lo sab́ıa porque ya lo hab́ıa calculado, pero no logra encontrar
sus papeles con los cálculos. Motivado por la consulta, Newton rehace las
cuentas y lo publica finalmente en sus famosos Principia en 1687. El trabajo
original lo hab́ıa realizado en el peŕıodo 1665-1666 34.
12.1. Ecuación de la órbita
Estudiamos ahora el movimiento de dos part́ıculas de masas m1 y m2
que interactúan mediante un potencial atractivo, inversamente proporcional
a la distancia entre las part́ıculas, V (r) = −k/r. En el caso particular de la
atracción gravitatoria tenemos
V (r) = −k
r
, k = GµM = Gm1m2. (12.1)
Este potencial da origen a la fuerza usual,
F (r) = − k
r2
. (12.2)
Considerando esta fuerza en la ecuación de la órbita, su particular depen-
dencia F ∝ r−2 da lugar a una ecuación que es la del oscilador armónico
con un término constante de forzamiento,
d2u
dθ2
+ u =
µk
l2
=
Gµ2M
l2
, (12.3)
ecuación que sabemos muy bien resolver. La solución es
u(θ) = A cos(θ − θ0) +
Gµ2M
l2
, (12.4)
donde las constantes de integración amplitud A 35 y fase θ0 estarán deter-
minadas por las condiciones iniciales del problema. De la ecuación (12.4)
podemos decir por simple inspección que corresponde a una curva cerrada:
si hacemos θ → θ+2π la ecuación nos da el mismo valor para r, luego de gi-
rar una vuelta alrededor del origen la curva se repete. De las dos constantes,
θ0 simplemente da la orientación de la órbita respecto al eje horizontal, un
cambio en θ0 es una rotación ŕıgida de la órbita. Por otro lado, la amplitud
A tiene un significado f́ısico más importante porque su valor está relacionado
con la enerǵıa y el momento angular. Si la expresión de la enerǵıa
E =
1
2
µṙ2 − k
r
+
l2
2µr2
341666 fue el llamado año maravilloso de Newton: realiza en ese año contribuciones
esenciales al cálculo, a la óptica, las leyes de movimiento y la gravedad.
35Sin pérdida de generalidad se puede tomar A positiva o cero.
120
la reescribimos en término de la órbita (reemplazamos ṙ = l
µr2
dr
dθ y hacemos
el cambio de variable r → u = 1/r) arribamos a
E =
l2
2µ
[(
du
dθ
)2
+ u2
]
−GµMu. (12.5)
Reeemplazando aqúı la solución (12.4) se llega a
E =
l2
2µ
[
A2 −
(
Gµ2M
l2
)2]
. (12.6)
En lo que sigue tomaremos θ0 = 0 y definimos un par de parámetros, p y �,
que nos permiten escribir la órbita de manera más compacta como
p
r
= 1 + � cos θ, (12.7)
donde definimos el factor de escala p
p =
l2
Gµ2M
(12.8)
y la excentricidad de la órbita � = pA. Tanto p como � son positivos. En
término de estos parámetros la enerǵıa (12.6) es
E =
l2
2µp2
(
�2 − 1
)
, (12.9)
lo que nos permite escribir la excentricidad en término de la enerǵıa como
� =
√
1 +
2µp2E
l2
. (12.10)
Veamos qué tipo de curvas están escondidas en la ecuación (12.7) haciendo
un cambio de variables a coordenadas cartesianas. Para ello multiplicamos
la ecuación por r,
p = r + �r cos θ, (12.11)
y usamos el hecho que r cos θ = x, r =
√
x2 + y2:
p− �x =
√
x2 + y2. (12.12)
Elevemos al cuadrado esta ecuación para quitarnos de encima la ráız cuadra-
da. Tengamos en cuenta que cuando se eleva al cuadrado pueden aparecer
soluciones extras a las de la ecuación original 36. Nos queda una ecuación de
segundo grado (
1− �2
)
x2 + 2p�x+ y2 − p2 = 0, (12.13)
36Bruno sugiere recordar que según la ecuación original (12.12) debe valer p− �x ≥ 0.
121
donde el coeficiente 1− �2 determina la forma de la curva.
Si � 6= 1 podemos completar cuadrados y llegar a(
1− �2
p2
)2(
x+
p�
1− �2
)2
+
(
1− �2
p2
)
y2 = 1. (12.14)
Esta ecuación corresponde a secciones cónicas. El signo del término cuadráti-
co en y depende de si � es menor o mayor a 1.
¿Qué magnitud f́ısica determina el valor de la excentricidad y en conse-
cuencia, la forma de la órbita? A través de la ecuación (12.10) encontramos
que la enerǵıa E gobierna el tipo de órbita: si la enerǵıa E es negativa en-
tonces � < 1, mientras que E positivo corresponde a � > 1. El caso de � = 1
corresponde a enerǵıa E = 0. Veamos cada caso por separado.
12.1.1. � < 1: Órbitas eĺıpticas. Primera ley de Kepler
Si la enerǵıa E es negativa, entonces 0 ≤ � < 1 y la ecuación de la órbita
(12.14) se puede reescribir como
(x− xc)2
a2
+
y2
b2
= 1, (12.15)
donde
a =
p
1− �2 , b =
p√
1− �2
, xc = −
p�
1− �2 . (12.16)
La ecuación (12.1) es la de una elipse, de centro (xc, 0), semiejes mayor a y
menor b, con distancia focal
c =
√
a2 − b2 = p�
1− �2 = �a, (12.17)
y excentricidad c/a = �. La posición de los focos, a lo largo del eje x que
coincide con el eje mayor, están dados por
xF1 = xc + c = 0, xF2 = xc − c = −2c. (12.18)
Por lo tanto, uno de los focos de la elipse está en el origen del sistema
de referencia, que es el centro de fuerza también. Obtenemos entonces la
primera ley de Kepler: las órbitas de los planetas son elipses con el sol en
uno de sus focos. Si somos más rigurosos debemos decir que en realidad el
centro de masas del sistema planeta-sol está en uno de los focos de la elipse,
teniendo en cuenta que la masa de sol es mucho mayor que la de cualquier
planeta el centro de masa del sistema planeta-sol coincide con la posición
del sol en muy buena aproximación.
De la ecuación de la elipse encontramos que existe un punto de mayor
cercańıa con el origen, de ángulo θ = 0, el llamado punto periápside o
perihelio,
p
rmin
= 1 + �⇒ rmin =
p
1 + �
, (12.19)
122
mientras que el punto de mayor lejańıa, punto apoápside o afelio, correspon-
de a θ = π,
p
rmax
= 1− �⇒ rmax =
p
1− � . (12.20)
Estos dos puntos de la órbita son los dos puntos de retorno, aquellos en los
cuáles se anula la velocidad radial ṙ.
F
2
F
1C
a
c
b
x
y
Figura 12.1: Elipse de centro C y focos F1 y F2. Uno de sus focos está en el
origen de coordenadas.
En la tabla que sigue podemos encontrar los valores de la excentricidad
de los planetas del sistema solar y el valor del semieje mayor a (en unida-
des astronómicas). Para la mayoŕıa de los planetas la excentricidad es muy
pequeña, por lo cual las órbitas pueden considerarse casi circulares.
Planeta � a (UA)
Mercurio 0.206 0.387
Venus 0.007 0.723
Tierra 0.017 1
Marte 0.093 1.524
Júpiter 0.049 5.203
Saturno 0.053 9.523
Urano 0.046 19.164
Neptuno 0.012 29.987
Órbitas circulares
En el caso particular � = 0, la órbita es circular de radio p = l2/µk,
siendo k la constante de fuerza. En esta caso los focos y el centro de la
órbita coinciden. La enerǵıa de la órbita circular corresponde al menor valor
123
posible que puede tomar:
Ecirc = −
l2
2µp2
= −µk
2
2l2
. (12.21)
Esta enerǵıa podŕıamos haberla obtenido del análisis cualitativo del pro-
blema de fuerzas centrales, como el mı́nimo valor que toma el potencial
efectivo.
12.1.2. � > 1: Órbitas hiperbólicas
Si la enerǵıa del sistema es positiva, � > 1 y la ecuación de la órbita
(12.14) se puede reescribir como
(x− xc)2
a2
− y
2
b2
= 1, (12.22)
donde
a =
p
|1− �2| , b =
p√
|1− �2|
, xc =
p�
|1− �2| . (12.23)
La ecuación (12.2) es la de una hipérbola, de centro (xc, 0), semiejes mayor
a a lo largo del eje horizontal y eje menor b, con distancia focal
c =
√
a2 + b2 =
p�
�2 − 1 = �a. (12.24)
La posición de los focos, a lo largo del eje x, están dados por
xF1 = xc + c = 2c, xF2 = xc − c = 0. (12.25)
Por lo tanto, uno de los focos de la elipse está en el origen del sistema de
referencia, coincidente con el centro de fuerzas.
La ecuación de la hipérbola en coordenadas cartesianas (12.2) consiste en
dos ramas disjuntas. Es aqúı donde debemos recordar que hab́ıamos elevado
al cuadrado la ecuación original en coordenadas polares (12.7). La ecuación
original sólo contiene una rama de la hipérbola. F́ısicamente deducimos que
dicha rama es la de la izquierda: la part́ıcula viene el infinito a lo largo de
la aśıntota, cuando siente el efecto atractivo del centro de fuerza se acerca
al mismo, este comportamiento corresponde con la rama izquierda (como
se muestra en la figura 12.2). Matemáticamente recordemos que deb́ıa valer
p − �x ≥ 0, es decir, x ≤ p/�. De las dos ramas, sólo la de la izquierda
satisface esta desigualdad.
En la órbita hiperbólica existe un punto periápside, para θ = 0,
p
rmin
= 1 + �⇒ rmin =
p
1 + �
. (12.26)
124
Por otro lado, no existe un apoápside porque la órbita no está acotada,
podemos encontrar directamente la dirección del movimiento asintótico, co-
rrespondiente a la condición r →∞ en la ecuación de la órbita:
0 = 1 + � cos θ∗ ⇒ θ∗ = arc cos
(
−1
�
)
. (12.27)
En el caso del sistema solar, las órbitas hiperbólicas son las seguidas por
cuerpos que vienen del espacio exterior al sistema solar y pasan una sóla vez
cerca del sol, para luego volver al espacio exterior.
a
F
1
C
Figura 12.2: Órbita para � > 1: Hipérbola de centro C. Uno de sus focos es
F1 y está en el origen de coordenadas. Las ĺıneas punteadas son las rectas
aśıntotas.
12.1.3. � = 1: Órbitas parabólicas
Por último, si la enerǵıa del sistema es nula, la excentricidad � = 1. La
ecuación (12.13) resulta ser la de una parábola
x = −y
2
2p
+
p
2
, (12.28)
cuyo eje es el x. El vértice de la parábola está sobre el eje x en p/2, la
directriz de la parábola es la recta x = p y el foco otra vez está localizado
en el origen de coordenadas.
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12.2. Enerǵıa y órbitas
Resumiendo, la enerǵıa del sistema determina la forma de la órbita. Si
definimos
E0 =
l2
2µp2
> 0, (12.29)
la enerǵıa se reescribe como
E = E0
(
�2 − 1
)
. (12.30)
Enerǵıas menores que −E0 no están permitidas.
Si E = −E0 entonces la excentricidad se anula y tenemos una órbita
circular.
Si −E0 ≤ E < 0, la excentricidad será menor a 1, tenemos una elipse
como órbita, la cual se ’achata’ a medida que � → 1. Estamos en el
caso de órbitas acotadas, la part́ıcula queda ligada al centro de fuerzas.
Si E = 0 la excentricidad vale 1 y la órbita es una parábola. Corres-
ponde a una órbita no acotada, la part́ıcula puede escaparse hacia el
infinito pero llega alĺı con enerǵıa cinética nula.
Si E > 0, la excentricidad � > 1, la órbita es la rama de la hipérbola
que ’encierra’ al centro de fuerza. La órbita es no acotada, la part́ıcula
llega la infinito con velocidad no nula.
12.3. Tercera ley de Kepler: peŕıodo de las órbitas eĺıpticas
Según la segunda ley de Kepler, la velocidad areolar es constante para
cualquier fuerza central,
dA
dt
=
l
2µ
. (12.31)
Si integramos esta velocidad en un peŕıodo orbital τ , obtenemos∫ τ
0
dA
dt
dt =
∫ τ
0
l
2µ
dt⇒ Area = l
2µ
τ. (12.32)
El área de la elipse está determinado por sus semiejes mayor y menor:
Area = πab (12.33)
Teniendo en cuenta que a = p
1−�2 b =
p√
1−�2 , resulta
Area = π
p2
(1− �2)3/2 , (12.34)
126
de donde obtenemos el peŕıodo
τ =
2µπ
l
p2
(1− �2)3/2 . (12.35)
Considerando ahora que el momento angular se puede escribir como l =√
GMµ2p, llegamos a la expresión de la tercera ley de Kepler,
τ =
2π√
GM
a3/2 ⇒ τ2 = 4π
2
GM
a3, (12.36)
que dice que el cuadrado del peŕıodo es proporcional al cubo del semieje
mayor de la órbita eĺıptica, con una constante de proporcionalidad universal,
ésto es, que no depende del planeta en particular. Vemos en (12.36) que la
constante de proporcionalidad no es estrictamente universal, depende de la
masa del planeta contenida en M = Msol + mp, sin embargo teniendo en
cuenta las enormes diferencia de masas entre sol y cualquiera de los planetas,
puede tomarse como constante universal en muy buena medida.
12.4. Caso repulsivo
Hasta ahora sólo estudiamos el caso del potencial V ∝ 1/r atractivo
porque nos interesaba el análisis del potencial gravitatorio y el movimien-
to de los planetas. Otro potencial que vaŕıa inversamente proporcional a la
distancia es el de interacción electrostática entre dos cargas Q1 y Q2. Este
potencial puede ser atractivo o repulsivo según sean los signos de las cargas.
En el caso atractivo los resultados obtenidos para el problema de Kepler
se extienden de manera directa, cambia únicamente la constante k del po-
tencial: k = −Q1Q2/4πε0 > 0, donde ε0 es la permitividad del vaćıo. En
el caso repulsivo el potencial es V (r) = k/r con k = Q1Q2/4πε0 > 0. La
ecuación diferencial de la órbita es casi la misma que en el caso atractivo,
solo cambia el signo del término de forzamiento constante (12.3). Un estudio
completamente análogo al caso atractivo nos da una órbita
p
r
= � cos θ − 1, (12.37)
donde el factor de escala p = l2/µk y la excentricidad � son cantidades
positivas. La ecuación de arriba corresponde ahora siempre a una hipérbola,
� > 1, y se corresponde con una enerǵıa siempre positiva, E = E0(�
2 − 1).
A diferencia de antes, la rama correspondiente al caso repulsivo es la rama
de la derecha. Podemos deducir este resultado matemáticamente, notando
que en la ecuación de la órbita cos θ debe ser menor o igual a 1/� para
que la ecuación tenga sentido (p/r > 0). Esto implica que el ángulo θ no
puede ser mayor a π/2, correspondiendo únicamente a la rama derecha de
la hipérbola. F́ısicamente podemos obtener este resultado notando que si
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la part́ıcula viene desde el infinito a lo largo de una aśıntota, al acercarse
al centro de fuerza siente una repulsión que la hace apartar de la aśıntota,
alejándose del centro de fuerzas. Ese comportamiento corresponde a la rama
de la derecha de la hipérbola.
12.5. Vector de Laplace-Runge-Lenz
Además de las integrales de movimiento usuales (momentos lineal, angu-
lar y enerǵıa), en el problema de Kepler existe otra integral de movimiento,
independiente de las anteriores. Es el llamado vector de Laplace-Runge-
Lenz, vector que fue redescubierto varias veces37. Veamos: la segunda ley
de Newton para una part́ıcula en campo de fuerza central es
ṗ = F(r) =
F (r)
r
r. (12.38)
Multiplicamos vectorialmente esta ecuación por el momento angular l,
ṗ ∧ l = µF (r)
r
r ∧ (r ∧ ṙ) . (12.39)
Usamos la identidad del doble producto vectorial para obtener
r ∧ (r ∧ ṙ) = (r · ṙ)︸ ︷︷ ︸
= d
dt
( 1
2
r·r)=rṙ
r− r2ṙ = r3
(
ṙr
r2
− ṙ
r
)
= −r3 d
dt
(r
r
)
. (12.40)
Por lo tanto, vale
ṗ ∧ l = −µF (r)r2 d
dt
(r
r
)
. (12.41)
Como el momento angular es constante podemos meterlo dentro de la deri-
vada en el término de la izquierda
d
dt
(p ∧ l) = −µF (r)r2 d
dt
(r
r
)
. (12.42)
Si la fuerza vaŕıa inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r,
F (r) = −k/r2, como en el caso gravitatorio, entonces de la ecuación anterior
obtenemos la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz A:
A ≡ p ∧ l− µk r
r
. (12.43)
37Este vector y su conservación fue encontrada por primera vez por el matemático
suizo Jakob Hermann, luego generalizado por Juan Bernoulli, redescubierto por Laplace
y Hamilton, Runge lo usó como ejemplo en un libro sobre vectores y Lenz lo usó en el
contexto de la antigua mecánica cuántica.
128
¿Qué es el vector A? De su propia definición vemos que A es perpendicular al
momento angular l, por lo tanto A está en el plano de movimiento. Hacemos
el producto escalar
A · r = Ar cosϕ = (p ∧ l) · r︸ ︷︷ ︸
=l·l=l2
−µkr, (12.44)
donde ϕ es el ángulo entre A y r. Obtenemos
(A cosϕ+ µk) r = l2 ⇒ 1
r
=
µk
l2
(
1 +
A
µk
cosϕ
)
. (12.45)
Esta última ecuación es la de la órbita si identificamos al ángulo ϕ con el
ángulo polar θ de la part́ıcula. Por un lado tenemos entonces que el vector
A apunta en la dirección horizontal, θ = 0, que coincide con la dirección
del periápside y, por otro lado, su módulo está asociado a la excentricidad,
A = µk�. La conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz nos indica que
la posición del periápdise no cambia en el tiempo, cualquier apartamiento
de una fuerza F (r) ∝ 1/r2 implicará la ’precesión del periápside’.
Debe destacarse que se sabe que el perihelio de los planetas va prece-
sando en el tiempo, a mayor ritmo a medida que disminuye la distancia del
planeta con el sol. El caso más notorio es entonces el de Mercurio, ya se
hab́ıa observado en el siglo XIX una precesión de su perihelio de 575 se-
gundos de arco por siglo. Mediante la mecánica newtoniana, la presencia
de los otros planetas (Júpiter principalmente) permite explicar el origen de
532 segundos de arco por siglo de precesión, recién con la teoŕıa de la re-
latividad general de Einstein en 1915 se logró entender el origen de los 43
segundo de arco por siglo restantes. Esta precesión de 43′′ por siglo se debe
a la deformación del espacio-tiempo causada por el sol, y su explicación me-
diante relatividad general fue uno de los primeros grandes logros de la teoŕıa.
En esta clase:
Resolvimos el problema de Kepler: dado el potencial gravitatorio
V (r) = −Gm1m2/r entre dos cuerpos encontramos las órbitas
posibles.
Las órbitas son las secciones cónicas. De acuerdo al valor de la
enerǵıa encontramos: órbitas hiperbólicas si E > 0, parabólicas si
E = 0 y eĺıpticas si E < 0.
Demostramos además la tercera ley de Kepler que relaciona el
peŕıodo de cada planeta con el semieje mayor de su órbita.
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