clase 14

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13. Fuerzas Centrales: dispersión
Clase 14: martes 5 de mayo
Algo me aleja, algo me acerca
Nito Mestre
En la clase anterior analizamos qué tipo de órbitas puede seguir una
part́ıcula que es atráıda gravitatoriamente por el centro de fuerza, ésto es,
resolvimos el denominado problema de Kepler. Alĺı las órbitas eĺıpticas son
las más importantes porque corresponden al movimiento ligado del cuerpo
alrededor del centro de fuerzas, al movimiento de los planetas alrededor del
sol cuando aplicamos la teoŕıa al sistema solar. En esta clase veremos otro
tipo de problemática asociada a los campos de fuerzas central, el proble-
ma de dispersión de part́ıculas que son atráıdas o repelidas por un centro
de fuerzas centrales. Este problema tiene interés histórico, el fenómeno de
dispersión coulombiana fue el que permitió a Rutherford en 1911 descubrir
el núcleo y proponer en consecuencia el modelo actual del átomo: núcleo
’puntual’ pesado y cargado positivamente, electrones livianos y cargados ne-
gativamente que orbitan al núcleo. Por otro lado, el fenómeno de dispersión
es la base de buena parte de los métodos experimentales que se utilizan
para medir propiedades de sistemas de distinta ı́ndole: atómicos, molecula-
res, extendidos. Buena parte de los experimentos de hoy en d́ıa consisten en
arrojar proyectiles sobre el sistema que quiere estudiarse y observar cómo
dispersan dichos proyectiles en función de la dirección de dispersión y de
sus enerǵıas. Estos proyectiles pueden ser fotones de distintas longitudes
de onda, neutrones, electrones, muones, iones, entre otros. Para el análisis
de sistemas microscópicos debe usarse la mecánica cuántica, sin embargo,
las magnitudes que caracterizan y las formas de describir la dispersión se
definen clásicamente, y es lo que haremos en esta clase.
13.1. Sección eficaz diferencial
Primero describimos la configuración que nos interesa estudiar: part́ıcu-
las que inciden sobre un objetivo con el cual interactúan mediante fuerzas
centrales. En lo que sigue consideramos que el objetivo o centro de fuerza
permanece inmóvil en el origen de un sistema de referencia inercial. Si el
objetivo es mucho más pesado que los proyectiles ésta será una excelente
aproximación, mientras que si proyectiles y objetivo tienen masas compara-
bles, podemos trabajar en el sistema centro de masas. Debemos caracterizar
el haz incidente y el proceso de dispersión.
130
Haz incidente
Supongamos que tenemos un haz de part́ıculas incidente paralelo al eje
horizontal y de sección transversal infinita. Todas las part́ıculas son idénticas
y vienen con la misma velocidad v∞ desde el infinito, por lo tanto, sus
enerǵıas son E = 12mv
2
∞
38. La intensidad I del haz incidente está definido
como:
I = Intensidad =
número de part́ıculas incidentes
área perpendicular al haz× tiempo . (13.1)
Un simple cálculo da I = nv∞, donde n es la densidad de part́ıculas del haz.
Cada part́ıcula del haz incidente conserva su enerǵıa (las fuerzas son
conservativas) y su momento angular (las fuerzas son centrales). La enerǵıa
es la misma para todas las part́ıculas del haz, mientras que el momento
angular es
l ≡ |l| = |r ∧mṙ| = mv∞s⇒ l =
√
2E
m
s, (13.2)
donde s es el denominado parámetro de impacto de la part́ıcula (ver figura
13.1). s pequeño implica que el proyectil ’pega de lleno’ en el centro de
fuerzas, mientras s grande implica que pasa lejos de la región central donde
actúa el potencial V (r).
La enerǵıa E, el parámetro de impacto s (o momento angular l) y la
intensidad I son las tres magnitudes que caracterizan completamente al haz
incidente.
Ángulo de dispersión
En la figura 13.1 representamos la trayectoria de una part́ıcula dada del
haz incidente. Viene desde la izquierda con una velocidad inicial v∞, si el
potencial decae a cero cuando r →∞ entonces lejos del centro de fuerza la
part́ıcula se mueve (asintóticamente) en una ĺınea recta. Cuando se acerca a
la región central, comienza a sufrir el efecto de la interacción y su dirección
de movimiento cambia correspondientemente, la part́ıcula se desv́ıa de su
trayectoria inicial. Luego de pasar por la región central, la part́ıcula deja
de sentir el efecto de la fuerza central y se aleja finalmente a lo largo de
la dirección dada por su velocidad final v′∞. Por conservación de enerǵıa
tenemos |v∞| = |v′∞|. El ángulo Θ que forman las direcciones inicial y
final se llama ángulo de dispersión. Este ángulo dependerá de: a) el tipo
de potencial central V (r), b) la enerǵıa de la part́ıcula, a mayor enerǵıa
se espera un ángulo de dispersión menor, y c) el parámetro de impacto s,
cuanto menor sea s más dispersión se espera.
38Decimos que el haz es ’monocromático,’ tomando prestado el término del lenguaje de
la óptica.
131
s
v∞
v′∞
Θ
Figura 13.1: Trayectoria de una part́ıcula dispersada un ángulo Θ por el
centro de fuerza representado por el ćırculo relleno. v∞ (v
′
∞) es la velocidad
asintótica inicial (final) de la part́ıcula. s es el parámetro de impacto: la
distancia de la dirección de movimiento inicial (o final) al centro de fuerza.
Recordemos que la órbita debido a un potencial central es simétrica res-
pecto a los puntos de retorno, en el caso repulsivo corresponde al punto de
mayor cercańıa al centro de fuerzas, el periápside. Recurriendo a dicha si-
metŕıa en la figura 13.2 vemos que el ángulo de dispersión Θ está relacionado
con el ángulo Ψ que da la semiamplitud angular de la trayectoria,
Θ = π − 2Ψ. (13.3)
Ψ es el ángulo entre la dirección de movimiento asintótica a distancia infinita
del centro de fuerzas y la dirección de periápside. En una clase anterior
encontramos que dicho ángulo puede escribirse formalmente como (11.41)
Ψ =
∫ ∞
rmin
ldr′
r′2
√
2µ (E − Vef (r′))
(13.4)
Sección eficaz de dispersión
Analizando el comportamiento del ángulo de dispersión Θ en función
de la enerǵıa E del haz incidente y del parámetro de impacto s, podemos
inferir bajo qué tipo de potencial central están interactuando las part́ıculas
del haz con el objetivo o centro de fuerza. Lo que se hace en un experimento
de dispersión es colocar, a grandes distancias del objetivo (grandes relativas
a su tamaño), sensores que detectan la llegada de las part́ıculas dispersa-
das. Para una dada posición angular de los sensores (Θ, φ) se cuentan las
part́ıculas que llegan alĺı, la cantidad relativa de las mismas da una idea del
tipo de potencial existente. Esta dependencia angular está cuantificada en
132
Θ
ΨΨ
Figura 13.2: El ángulo de dispersión Θ está relacionado con la semiamplitud
angular de la órbita, Ψ.
una magnitud denominada sección eficaz diferencial. Veamos cómo se define
con precisión.
Imaginemos que los sensores que detectan part́ıculas dispersadas están
dispuestos sobre la superficie de una esfera de radio R muy grande, mucho
más grande que las dimensiones del cuerpo que es el centro de fuerza. Sobre
dicha superficie un punto cualquiera está determinado por sus ángulos polar
Θ y acimutal φ. Estamos considerando al eje del haz incidente como el eje
z, por lo tanto el ángulo de dispersión Θ coincide con el ángulo polar θ
de la part́ıcula cuando se aleja asintóticamente del centro de fuerza. En
cada punto Θ, φ de la superficie de la esfera definimos un área infinitesimal,
dA(Θ, φ) = R2 sin ΘdΘdφ. Dividiendo por R2 tenemos lo que se conoce como
ángulo sólido infinitesimal 39
dΩ(Θ, φ) ≡ dA(Θ, φ)
R2
= sin ΘdΘdφ. (13.5)
Una vez definido dicha porción de ángulo sólido, contamos cúantas part́ıculas
pasan por ella, dN(Θ, φ). Este número dependerá de varios factores, algunos
intŕınsecos como la forma del potencial central V (r) y otros más simples.
Entre estos últimos: el intervalo de tiempo dt durante el cual contamos las
part́ıculas dispersadas, el ángulo sólido dΩ considerado, la intensidad del
haz incidente I. Claramente dN será proporcional a
dN(Θ, φ) ∝ I × dΩ× dt (13.6)
39El conceptode ángulo sólido Ω es una generalización del ángulo común. Decimos
que el ángulo sólido es la apertura angular que un objeto subtiende en un punto P del
espacio tridimensional. Es una medida del tamaño aparente del objeto mirado desde P .
Cuantitativamente Ω es el área de la sección de la esfera de radio unitario centrada en P,
restringida por el ángulo sólido subtendido por el cuerpo.
133
Definimos la sección eficaz diferencial 40 como
σ(Ω) ≡ dN(Θ, φ)
IdΩdt
. (13.7)
En el caso de fuerzas centrales tenemos simetŕıa acimutal o ciĺındrica alre-
dedor del eje del haz incidente: el número de part́ıculas dN(Θ, φ) dispersada
no dependerá del ángulo acimutal φ, por lo tanto la sección eficaz diferencial
sólo depende del ángulo Θ, σ(Ω) = σ(Θ).
Vamos a contar part́ıculas dispersadas de forma tal de obtener una ex-
presión de la sección eficaz. Por simplicidad consideremos un potencial re-
pulsivo V (r) y veamos cómo dispersan las part́ıculas que pasan por un ani-
llo de radio interior s y espesor infinitesimal ds en el haz incidente, cen-
trado el anillo en la ĺınea paralela al haz que pasa por el centro de fuer-
zas, como se muestra en la figura 13.3. El área de dicha región anular es
dA = 2πsds, la cantidad de part́ıculas que pasan por alĺı por unidad de
tiempo es dN = IdA = nv∞2πsds. Las part́ıculas que pasan por el ani-
llo con parámetro de impacto s se dispersarán un ángulo Θ(s) 41 mientras
que las que pasen con un parámetro de impacto s + ds lo harán un ángulo
Θ(s+ds) = Θ(s)+dΘ. Debido al carácter repulsivo del potencial, dΘ es ne-
gativo, las part́ıculas que apuntan más cerca del centro de fuerza dispersan
más que las que apuntan más lejos. Las part́ıculas con parámetros de im-
pacto intermedios entre s y s+ds dispersarán con ángulos intermedios entre
Θ(s) + dΘ y Θ(s). En dicho intervalo de ángulos sólo dispersarán aquellas
part́ıculas que pasan por la región anular (s, ds): si el parámetro de impacto
es menor a s el ángulo de dispersión será mayor a Θ(s) mientras que si el
parámetro de impacto es mayor a s+ ds el ángulo de dispersión será menor
a Θ(s) + dΘ. Por lo tanto, podemos igualar el número de part́ıculas que
pasan por el anillo (s, ds) con aquellas que dispersan en el ángulo sólido de-
terminado por (Θ, dΘ), correspondiente a la región anular sombreada sobre
la superficie de la esfera de la figura 13.3: dΩ = 2π sin ΘdΘ.
dN(Θ) = I2πsdsdt = 2πσ(Θ) sin Θ|dΘ|Idt. (13.8)
Por lo tanto,
σ(Θ) =
s
sin Θ
∣∣∣∣ dsdΘ
∣∣∣∣ . (13.9)
Esta es la fórmula que necesitamos para calcular cómo dispersan las part́ıcu-
las de acuerdo al potencial central involucrado. Para ello debemos conocer
la dependencia del ángulo de dispersión Θ con el parámetro de impacto,
invertir la relación y derivarla. De manera general, el parámetro de impacto
s depende del ángulo de dispersión Θ y de la enerǵıa E de las part́ıculas
incidentes, además de los parámetros propios del potencial.
40Comentario sobre la notación: nosotros notaremos σ(Ω) a la sección eficaz diferencial,
en la literatura también se usa la notación alternativa dσ(Ω)
dΩ
. Ambos śımbolos corresponden
a la misma magnitud f́ısica.
41Con ángulo acimutal φ entre 0 y 2π.
134
Figura 13.3: (Figura tomada del Goldstein) Las part́ıculas de la sección
anular (s, s + ds) del haz incidente se dispersan en el ángulo sólido dΩ =
2π sin ΘdΘ correspondiente al ángulo de dispersión Θ.
Potenciales atractivos
En el caso de potenciales atractivos, las cuentas que llevan a la sección
eficaz diferencial σ(Θ) se complican un poco. Hay que tener en cuenta que
debido al carácter atractivo del potencial las part́ıculas pueden quedar ’atra-
padas’ orbitando un rato alrededor del centro de fuerzas, para luego salir
despedidas. A consecuencia de ello el parámetro de impacto s puede ser una
función multivaluada del ángulo de dispersión Θ, es decir, en una dada di-
rección dispersan part́ıculas con distintos s y la función s(Θ) tiene más de
una rama. En la expresión (13.9) debemos sumar entonces sobre las distintas
’ramas’ de la función s.
Sección eficaz total
Una vez conocida la sección eficaz diferencial (es decir, dependiente del
ángulo Θ), definimos la sección eficaz total como la integral de la sección
diferencial sobre el ángulo sólido total de 4π:
σt =
∫
4π
σ(Θ)dΩ = 2π
∫ π
0
σ(Θ) sin ΘdΘ. (13.10)
Analicemos cómo es la dependencia genérica del parámetro de impacto s con
el ángulo Θ. Para parámetros de impacto s ∼ 0 esperamos que la part́ıcula
rebote, es decir, Θ ∼ π, mientras que para parámetros de impacto grandes,
s & smax no hay dispersión Θ ∼ 0. smax da información sobre el rango
del potencial, esto es, las distancias en las cuales actúa el potencial y, por
supuesto, depende del tipo de potencial. Un bosquejo de esta dependencia
se muestra en la figura 13.4. Teniendo en cuenta la expresión (13.9) y la
135
dependencia s = s(Θ) bosquejada:
σt = 2π
∫ π
0
s
sin Θ
∣∣∣∣ dsdΘ
∣∣∣∣ sin ΘdΘ = 2π ∫ smax
0
sds = πs2max. (13.11)
La sección eficaz total tiene dimensiones de área y puede interpretarse como
la sección del haz incidente que es dispersada efectivamente por el centro de
fuerza. Esta sección es un área circular, de radio smax.
s
Θπ
s
max
0
Figura 13.4: Bosquejo del parámetro de impacto s en función del ángulo de
dispersión Θ.
Ejemplo 13.1 (Esfera ŕıgida)
Calculemos la sección eficaz diferencial para el problema de part́ıculas que
chocan elásticamente contra una esfera ŕıgida infinitamente pesada de radio
R. El potencial debido a la impenetrabilidad de la esfera ŕıgida es de tipo
central,
V (r) =
{
0 si r > R
+∞ si r < R. (13.12)
Cuando una part́ıcula choca contra la superficie de la esfera, siente una fuer-
za repulsiva central, a lo largo de la ĺınea que une el punto de contacto con
el centro de la esfera. A ráız del carácter central de la fuerza y de choque
elástico, la part́ıcula se refleja especularmente, conservándo su momento li-
neal paralelo a la superficie. Vale entonces φr = φi. El ángulo de dispersión
es entonces Θ = π−2φi. La relación entre ángulo de dispersión y parámetro
de impacto s está dado por
s = R sinφ = R sin
(
π −Θ
2
)
= R cos
Θ
2
. (13.13)
La sección eficaz entonces vale entonces
σ(Θ) =
s
sin Θ
∣∣∣∣ dsdΘ
∣∣∣∣ = R24 . (13.14)
136
φ i
φ r
s
R
Figura 13.5: Dispersión de part́ıculas por esfera ŕıgida de radio R.
σ(Θ) no depende del ángulo y vemos que la esfera ŕıgida dispersa part́ıculas
de manera completamente isotrópica. La sección eficaz total será
σt = 2π
∫ π
0
σ(Θ) sin ΘdΘ = πR2, (13.15)
que corresponde claramente a la sección transversal del haz incidente que
es afectada por la esfera ŕıgida de radio R: las part́ıculas ubicadas en el
ćırculo de radio R centrado en la ĺınea paralela al haz que pasa por el centro
de fuerzas chocan con la esfera, mientras que aquellas part́ıculas que tienen
parámetro de impacto s > R pasan de largo.
13.2. Dispersión de Rutherford
El ejemplo más demostrativo y claro de la importancia de la dispersión
por campo de fuerza central está dado por la dispersión de un haz incidente
de part́ıculas cargadas debido a un centro de fuerza que repele las part́ıculas
según la ley de Coulomb, F (r) ∝ k/r2. Calcularemos la sección eficaz de
Rutherford, la correspondiente a una fuerza repulsiva electrostática
F (r) =
k
r2
, donde k =
ZZ ′e2
4πε0
. (13.16)
Z y Z ′ son los números atómicos de los cuerpos que interactúan, y e es
la carga del electrón. En la clase anterior encontramos que a esta fuerza
repulsiva le corresponden órbitas hiperbólicas, en las cuales la relación entre
excentricidad y enerǵıa es
�2 = 1 +
(
2Es
k
)2
, (13.17)
y la órbita es
1
r
=
mk
l2
(� cos θ − 1) . (13.18)
137
En θ = 0 está ubicado el periápside de la órbita, su punto más cercano
al centro de fuerzas. La órbita es simétrica respecto al cambio de signo de
θ → −θ. El ángulo Ψ de la aśıntota satisface
cos Ψ =
1
�
⇒ Ψ= arc cos
(
1
�
)
, (13.19)
es el ángulo correspondiente al ĺımite r → ∞ de la órbita. De la figura
13.2 deducimos que el ángulo de dispersión Θ se expresa en función de la
semiamplitud angular de la órbita como
Θ = π − 2Ψ⇒ Ψ = π
2
− Θ
2
. (13.20)
Por lo tanto,
cos Ψ = sin
Θ
2
=
1
�
. (13.21)
Teniendo en cuenta la relación (13.17) entre excentricidad y enerǵıa, llega-
mos a (
2Es
k
)2
= �2 − 1 = 1
sin Θ2
2 − 1 = cot2
Θ
2
, (13.22)
de donde podemos calcular el parámetro de impacto s en término de la
enerǵıa y del ángulo de dispersión,
s =
k
2E
cot
Θ
2
. (13.23)
Para el cálculo de la sección eficaz necesitamos derivar esta función respecto
a Θ,
ds
dΘ
= − k
4E
1
sin2 Θ2
(13.24)
Teniendo en cuenta esta derivada, y la identidad trigonométrica sin Θ =
2 sin Θ/2 cos Θ/2 llegamos a la expresión de la sección eficaz diferencial
σ(Θ) =
s
sin Θ
∣∣∣∣ dsdΘ
∣∣∣∣ = ( k4E
)2 1
sin4 Θ2
. (13.25)
Esta es la famosa fórmula de la sección eficaz de Rutherford 42 y su forma
se muestra en la figura 13.6. ¿Qué tiene de interesante? Por un lado diverge
fuertemente, dσ/dΘ ∝ Θ−4 cuando Θ→ 0. Nos dice esta divergencia que la
mayor parte del haz sigue hacia adelante sufriendo minúsculas desviaciones
respecto a la dirección original. Esto no es tan llamativo, pero śı lo es el
hecho de que la sección eficaz tenga un valor no nulo para la dispersión de
’rebote’, Θ = π.
42Curiosamente y afortunadamente para Rutherford, la expresión cuántica, que es la
que debe considerarse en el mundo microscópico, coincide con la clásica.
138
Figura 13.6: Sección eficaz diferencial de Rutherford correspondiente a
part́ıculas α dispersadas por una lámina de oro.
En 1909 Ernest Rutherford, junto a Hans Geiger y Ernest Marsden, hi-
cieron el experimento de arrojar part́ıculas α (núcleos de átomos de helio:
dos protones y dos neutrones) a láminas de oro muy delgadas (unos 200
átomos de espesor). ¿Qué esperaban de dichos experimentos? El modelo de
átomo vigente era el modelo de ’bud́ın de pasas’ de Thomson 43: la carga
eléctrica positiva del átomo se distribúıa uniformemente en todo el átomo,
y los electrones como ’pasas de uva’ estaban embebidos en dicho ’bud́ın’.
Según este modelo, cuando una part́ıcula α interactuaba con un átomo era
muy débilmente afectada por la distribución de carga positiva por lo tenue
de dicha distribución. El número atómico del oro es 79, un orden de mag-
nitud mayor a la carga de una part́ıcula α, pero se la créıa distribuida en
un volumen miles de veces mayor al tamaño de las part́ıculas α. Por otro
lado, debido a la enorme diferencia de masas entre la part́ıcula α y los elec-
trones, éstos no la afectaban en nada. Consecuentemente la sección eficaz
43El mismo Joseph Thomson que en 1897 descubrió el electrón.
139
correspondiente a este modelo consist́ıa en una fuerte divergencia en la di-
rección hacia adelante, Θ ∼ 0, y cero posibilidad de que las part́ıculas α
reboten. Sin embargo, Rutherford y sus colaboradores observaron que algu-
nas part́ıculas α rebotaban, aproximadamente una de cada 8.000 part́ıculas.
Al decir de Rutherford, esa observación era “tan sorprendente como si le
disparases balas de cañón a una hoja de papel y rebotasen”. Rápidamente
Rutherford se dió cuenta que el modelo de Thomson no era el correcto y
propuso la existencia del núcleo: toda la carga positiva del átomo se concen-
tra en una región minúscula. Los electrones dan vueltas alrededor de dicho
núcleo, como un sistema solar en miniatura. Rutherford calculó la sección
eficaz diferencial correspondiente a este modelo atómico (13.25) y encontró
un muy buen acuerdo con sus mediciones. Las part́ıculas α que rebotaban
eran aquellas que ’pegaban de lleno’ en los núcleos.
Sección eficaz total de Rutherford
La sección eficaz total correspondiente a (13.25) es
σt = 2π
∫ π
0
σ(Θ) sin ΘdΘ = 2π
(
ZZ ′e2
4E
)2 ∫ π
0
sin Θ
sin4 Θ2
dΘ =∞. (13.26)
Recordando que la sección eficaz total es σt = πs
2
max, vemos que para el
potencial repulsivo coulombiano smax =∞. Se dice entonces que el potencial
V ∝ k/r es de largo alcance o bien que su rango es infinito, sus efectos se
sienten a todas distancias, aunque a largas distancias estos efectos sean muy
débiles.
13.3. Arco Iris
Philosophy will clip an Angels wings
Conquer all mysteries by rule and line
Empty the haunted air, and gnomd mine
Unweave a rainbow
John Keats
En el problema de Rutherford la sección eficaz diferencial diverge pa-
ra pequeños ángulos, Θ → 0. Esto indica que la mayoŕıa de las part́ıculas
que son afectadas por el potencial ’siguen de largo’, aún cuando pasen a
grandes distancias del centro de fuerza son dispersadas pero levemente. Por
otro lado, existen sistemas en los cuales la sección eficaz σ(Θ) diverge pa-
ra valores no nulos del ángulo de dispersión, existen ángulos ’preferidos’ de
dispersión. Cuando ello ocurre decimos que tenemos el fenómeno conocido
como dispersión de arco iris, el nombre por supuesto está tomado del co-
nocido fenómeno atmosférico. En la figura 13.7 (izquierda) presentamos el
bosquejo del ángulo de dispersión en función del parámetro de impacto s
140
para un potencial que presenta dispersión de arco iris: para Θ = Θ0 la de-
rivada dΘ/ds = 0 ⇒ ds/dΘ → ∞ y, por lo tanto, la sección eficaz (13.9)
diverge para dicho ángulo (figura de la derecha). Para un amplio rango de
s, el ángulo de dispersión es cercano a Θ0.
Θ
0
Θ
0
0 Θ
σ(Θ)
s
Θ
Figura 13.7: Sistema que presenta dispersión de arco iris. Izquierda: Ángulo
de dispersión Θ en función del parámetro de impacto s. Derecha: Sección
eficaz σ(Θ) correspondiente.
El problema del arco iris en cielos soleados luego de la lluvia cae en el área
de la óptica y parece lejano a la mecánica clásica. Sin embargo, en primer
lugar, el tamaño promedio de las gotas de agua que dispersan la luz del sol
es mucho mayor a las longitudes de onda de la luz visible y por lo tanto es
suficiente recurrir a la óptica geométrica para tratar el problema. En segundo
lugar, los fenómenos ópticos de reflexión y de refracción tienen sus śımiles
mecánicos. Vimos que en el ejemplo de dispersión por una esfera ŕıgida que
las part́ıculas se reflejan especularmente en la superficie de la esfera, por otro
lado los invitamos a demostrar que el problema de part́ıculas que dispersan
debido a un potencial central del tipo
V (r) =
{
0 si r > R
V0 si r < R,
(13.27)
donde V0 es una constante, es el śımil mecánico del fenómeno de refracción.
Cuando una part́ıcula que viene desde afuera ingresa a la región r < R (si
es que su enerǵıa E lo permite), su dirección de movimiento cambia según
una ley de Snell
sinφi = n sinφr, (13.28)
donde φi es el ángulo de incidencia y φr es el refractado. El ı́ndice de refrac-
ción vale
n =
√
E − V0
E
. (13.29)
Cuando calculamos la sección eficaz lo hicimos igualando el conteo de
part́ıculas que pasa por una sección del haz incidente con las part́ıculas que
dispersan en determinado ángulo sólido. Ese tipo de cuentas es independiente
141
de si lo que dispersan son part́ıculas o rayos de luz, por lo tanto, la fórmula
de la sección eficaz (13.9) valdrá para el caso óptico. Sin embargo, hay una
diferencia esencial: mientras que en el śımil mecánico de la refracción si la
part́ıcula trae una enerǵıa E mayor a V0 entrará en la región central r < R y
luego de atravesar dicha región saldrá al exterior, en el caso del rayo de luz
cada vez que se encuentra con una superficie entre dos medios una parte se
reflejará y otra parte se refractará. Veamos qué procesos son los que originan
el arco iris, es decir, aquellos para los cuales la sección eficaz diverge para
un ángulo de dispersión no nulo.
Reflexión: En primer lugar tenemos el proceso de reflexión del rayo en
la superficie de la gota, la sección eficaz corresponde en este caso al
ejemplo de dispersión por una esfera ŕıgida. Alĺı hab́ıamos encontrado
quela dispersión es isotrópica, la misma cantidad de rayos saldrá en
cualquier dirección y no tendremos un ángulo ’favorito’.
Refracción - refracción: En el proceso siguiente, ilustrado en la figura
13.8 el rayo se refracta al interior de la gota según la ley de Snell
sinφi = na sinφr (13.30)
y luego se refracta nuevamente saliendo al aire. De la figura 13.8 vemos
que el ángulo de dispersión de este proceso es
Θ = 2 (φi − φr) . (13.31)
La sección eficaz σ(Θ) ∝ ds/dΘ, por lo tanto su divergencia ocurrirá
cuando diverja la derivada o bien cuando se anule la derivada dΘ/ds.
Calculamos esta última derivada a partir de (13.31)
dΘ
ds
= 2
(
dφi
ds
− dφr
ds
)
(13.32)
Derivamos impĺıcitamente la relación entre s y el ángulo φi,
s = R sinφi ⇒ 1 = R cosφi ×
dφi
ds
⇒ dφi
ds
=
1
R cosφi
(13.33)
Derivamos impĺıcitamente la ley de Snell
cosφi ×
dφi
ds
= na cosφr ×
dφr
ds
⇒ dφr
ds
=
1
Rna cosφr
(13.34)
Por lo tanto, llegamos a
dΘ
ds
=
2
R
(
1
cosφi
− 1
na cosφr
)
. (13.35)
142
Esta derivada se anula si vale para algún ángulo de incidencia
na cosφr = cosφi ⇒ (13.36)
⇒ na
√
1− sin
2 φi
n2a
=
√
1− sin2 φi ⇒ n2a = 1.
Vemos entonces que la derivada no se anula nunca, por lo tanto, la
sección eficaz σ(Θ) no diverge para ningún ángulo no nulo en estos
procesos.
φ
i
φ
r
φ
i
φ
r
Θ=2(φ −φ )
i r
φ
r
φ −φ 
i r
Figura 13.8: Procesos de dispersión refracción-refracción.
Refracción - reflexión interna - refracción: Estudiemos este proceso,
que se muestra en la figura 13.9. El ángulo de dispersión es
Θ = π + 2φi − 4φr. (13.37)
Derivamos respecto a s y usamos (13.33) y (13.34)
dΘ
ds
= 2
dφi
ds
− 4dφr
ds
=
2
R
(
1
cosφi
− 2
na cosφr
)
. (13.38)
La derivada anterior se anula si
na cosφr = 2 cosφi ⇒ (13.39)
⇒ na
√
1− sin
2 φi
n2a
= 2
√
1− sin2 φi ⇒ sinφi =
√
4− n2a
3
.
Teniendo en cuenta que el ı́ndice de refracción es mayor a uno, enton-
ces ahora si se puede anular la derivada dΘ/ds. El ı́ndice de refracción
del agua es aproximadamente na = 1,333, por lo tanto el ángulo de
143
φ
i
φ
r
π − 2φ 
r
φ −φ 
i r
φ −φ 
i r
φ
i
φ
r
φ
r
φ
r
φ −φ 
i r
Θ=π + 2φ −4φ
i r
Figura 13.9: Proceso de dispersión refracción - reflexión interna - refracción.
incidencia que satisface la ecuación anterior es φi ' 60◦ y el ángulo
de dispersión del efecto arco iris es Θ ' 138◦. El arco iris se destaca
por sus colores, ¿cómo aparecen en estos cálculos? El ı́ndice de re-
fracción depende del medio de propagación y también depende de la
longitud de onda de la luz, en el caso del agua tenemos en los ex-
tremos del espectro visible que vale nrojo = 1,330 y nvioleta = 1,343.
Consecuentemente, para cada longitud de onda la dispersión de arco
iris ocurre para ángulos levemente diferentes, en los extremos visibles
Θrojo ' 138◦ y Θvioleta ' 140◦. La apertura angular del arco iris es
entonces de aproximadamente ∆Θ ' 2◦.
Encontramos entonces que si miramos una región del cielo dando las
espaldas al sol, luego de una lluvia que dejó muchas gotas de agua
suspendidas, cuando elevemos la vista 40◦ respecto a la horizontal co-
menzaremos viendo una franja luminosa de colores cercanos al violeta,
luego sigue el resto del espectro visible, que termina a los 42◦ sobre la
horizontal con franjas rojizas.
Otros procesos: Podemos considerar más procesos, en el siguiente por
ejemplo el rayo de luz se refleja dos veces dentro de la gota antes de
salir al aire. En este caso, repitiendo cuentas análogas llegamos que
existe dispersión de arco iris para un ángulo de dispersión Θ ' 130◦
(50◦ visto desde la horizontal). Este es el arco iris secundario, rara-
144
mente visible debido a su menor intensidad. En este arco iris el orden
de los colores está invertido.
Otros fenómenos ópticos atmosféricos se explican de manera similar: por
ejemplo, el fenómeno de los halos alrededor del sol o de la luna, producidos
por la dispersión de la luz solar en cristales de hielo.
En esta clase:
Definimos la sección eficaz diferencial σ(Θ) que nos permite cuanti-
ficar el efecto de un potencial central sobre la dispersión de part́ıcu-
las que son afectadas por el mismo.
Calculamos la sección eficaz de Rutherford, correspondiente a un
potencial coulombiano repulsivo. La medición de esta sección eficaz
llevó al descubrimiento del núcleo atómico.
Aunque Keats se lamente, hemos destejido el arco iris con la ayuda
de Newton y ćıa.
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