Mecanica Clasica 2022-136-146

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En esta clase:
El problema de dos cuerpos puntuales que interactúan mediante una fuerza central
puede reducirse siempre a un problema equivalente de una part́ıcula de masa µ =
m1m2/(m1 + m2), sujeta a un potencial efectivo Vef (r) = V (r) + l
2/2µr2, que se
mueve en la semirrecta r ≥ 0.
El potencial efectivo permite realizar un análisis cualitativo del movimiento, posibili-
tando encontrar los puntos de retroceso, el carácter acotado o no de las órbitas y la
caracterización de las órbitas circulares.
Para cualquier problema de fuerza central vale la segunda ley de Kepler de velocidad
areolar constante: el vector que une ambas part́ıculas barre áreas iguales en tiempos
iguales.
Encontramos una ecuación diferencial para la órbita.
136
12. Fuerzas centrales: problema de Kepler
Los planetas giran sin saberlo
Invisible
En esta clase vamos a resolver el problema de dos masas puntuales atrayéndose gravitato-
riamente. Pero antes un poquito de historia sobre el llamado problema de Kepler.
A mediados del siglo II Ptolomeo propone la teoŕıa
geocéntrica del sistema solar, la Tierra está en el centro
del universo y las estrellas de la bóveda celeste, junto a
los planetas, la luna y el Sol giran a su alrededor. Pronto
se sabe que las órbitas planetarias no son circulares y
Almagesto arregla las cosas proponiendo los epiciclos:
los cuerpos celestes del sistema solar giran en ćırculos
centrados en ćırculos que tienen a la Tierra en su centro.
Este modelo del sistema solar perdura durante más de
1500 años.
En el siglo XVI Copérnico sugiere la teoŕıa he-
liocéntrica, ahora el centro del universo parece ser el
Sol, sugiere que los planetas orbitan circularmente al-
rededor del Sol. Copérnino presenta la teoŕıa como una ’hipótesis matemática’ que sirve para
explicar mejor el movimiento de los cuerpos celeste del sistema solar.
Kepler, basado en las observaciones del astrónomo danés Tycho Brahe, enuncia tres leyes
emṕıricas, que desarrolló durante las dos primeras décadas del siglo XVII (Comienza en 1601,
en 1606 enuncia la primera ley, en 1619 la tercera). Estas leyes son:
Primera: todas las órbitas planetarias son elipses y el Sol es uno de sus focos.
Segunda: la ĺınea que une un planeta con el Sol barre iguales áreas en iguales intervales de
tiempo.
Tercera: el cuadrado del peŕıodo de un planeta es proporcional al cubo de la distancia
media al Sol.
Estas leyes son completamente emṕıricas, 50 años después de las leyes de Kepler, Newton propone
su ley de la gravitación y demuestra que las tres leyes resultan de una fuerza inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre planeta y Sol. Una anécdota cuenta que Hooke y
Halley en enero de 1684 le preguntan a Newton qué curva describiŕıa un planeta si la fuerza de
atracción hacia el Sol fuese inversamente proporcional a la distancia entre planeta y Sol. Hooke
pensaba que las órbitas seŕıan eĺıpticas pero no pod́ıa deducirlo. Newton no duda un instante
y responde que la órbita es una elipse, lo sab́ıa porque ya lo hab́ıa calculado, pero no logra
encontrar sus papeles con los cálculos. Motivado por la consulta, Newton rehace las cuentas y
lo publica finalmente en sus famosos Principia en 1687. El trabajo original lo hab́ıa realizado en
el peŕıodo 1665-1666 65.
651666 fue el llamado año maravilloso de Newton: recluido en su casa de Woolsthorpe Manor debido a la peste
bubónica que azotaba Inglaterra, realiza en ese año contribuciones esenciales al cálculo, a la óptica, las leyes de
movimiento y la gravedad.
137
12.1. Ecuación de la órbita
Estudiamos ahora el movimiento de dos part́ıculas de masas m1 y m2 que interactúan me-
diante un potencial atractivo, inversamente proporcional a la distancia entre las part́ıculas,
V (r) = −k/r. En el caso particular de la atracción gravitatoria tenemos
V (r) = −k
r
, k = GµM = Gm1m2. (12.1)
Este potencial da origen a la fuerza usual,
F (r) = − k
r2
. (12.2)
En la clase anterior encontramos la ecuación diferencial de Binet que satisface la órbita r = r(θ):
d2u
dθ2
+ u = − µ
l2u2
F
(
1
u
)
, (12.3)
donde u = 1/r y l es el momento canónico conjugado de θ.
Considerando la fuerza gravitatoria en la ecuación de la órbita, su particular dependencia
F ∝ r−2 da lugar a una ecuación que es la del oscilador armónico con un término constante de
forzamiento,
d2u
dθ2
+ u =
µk
l2
=
Gµ2M
l2
, (12.4)
ecuación que sabemos muy bien resolver. La solución es
u(θ) = A cos(θ − θ0) +
Gµ2M
l2
, (12.5)
donde las constantes de integración amplitud A 66 y fase θ0 estarán determinadas por las con-
diciones iniciales del problema. De la ecuación (12.5) podemos decir por simple inspección que
corresponde a una curva cerrada: si hacemos θ → θ+ 2π la ecuación nos da el mismo valor para
r, luego de girar una vuelta alrededor del origen la curva se repete. De las dos constantes, θ0
simplemente da la orientación de la órbita respecto al eje horizontal, un cambio en θ0 es una
rotación ŕıgida de la órbita. Por otro lado, la amplitud A tiene un significado f́ısico más impor-
tante porque su valor está relacionado con la enerǵıa y el momento angular. Si la expresión de
la enerǵıa
E =
1
2
µṙ2 − k
r
+
l2
2µr2
la reescribimos en término de la órbita (reemplazamos ṙ = l
µr2
dr
dθ y hacemos el cambio de variable
r → u = 1/r) arribamos a
E =
l2
2µ
[(
du
dθ
)2
+ u2
]
−GµMu. (12.6)
Reeemplazando aqúı la solución (12.5) se llega a
E =
l2
2µ
[
A2 −
(
Gµ2M
l2
)2]
. (12.7)
66Sin pérdida de generalidad se puede tomar A positiva o cero.
138
En lo que sigue tomaremos θ0 = 0 y definimos un par de parámetros, p y �, que nos permiten
escribir la órbita de manera más compacta como
p
r
= 1 + � cos θ, (12.8)
donde definimos el factor de escala p
p =
l2
Gµ2M
(12.9)
y la excentricidad de la órbita � = pA. Tanto p como � son positivos. En término de estos
parámetros la enerǵıa (12.7) es
E =
l2
2µp2
(
�2 − 1
)
, (12.10)
lo que nos permite escribir la excentricidad en término de la enerǵıa como
� =
√
1 +
2µp2E
l2
. (12.11)
Veamos qué tipo de curvas están escondidas en la ecuación (12.8) haciendo un cambio de variables
a coordenadas cartesianas. Para ello multiplicamos la ecuación por r,
p = r + �r cos θ, (12.12)
y usamos el hecho que r cos θ = x, r =
√
x2 + y2:
p− �x =
√
x2 + y2. (12.13)
Elevemos al cuadrado esta ecuación para quitarnos de encima la ráız cuadrada. Tengamos en
cuenta que cuando se eleva al cuadrado pueden aparecer soluciones extras a las de la ecuación
original 67. Nos queda una ecuación de segundo grado(
1− �2
)
x2 + 2p�x+ y2 − p2 = 0, (12.14)
donde el coeficiente 1− �2 determina la forma de la curva.
Si � 6= 1 podemos completar cuadrados y llegar a(
1− �2
p2
)2(
x+
p�
1− �2
)2
+
(
1− �2
p2
)
y2 = 1. (12.15)
Esta ecuación corresponde a secciones cónicas. El signo del término cuadrático en y depende de
si � es menor o mayor a 1.
¿Qué magnitud f́ısica determina el valor de la excentricidad y en consecuencia, la forma de la
órbita? A través de la ecuación (12.11) encontramos que la enerǵıa E gobierna el tipo de órbita:
si la enerǵıa E es negativa entonces � < 1, mientras que E positivo corresponde a � > 1. El caso
de � = 1 corresponde a enerǵıa E = 0. Veamos cada caso por separado.
67Bruno sugiere recordar que según la ecuación original (12.13) debe valer p− �x ≥ 0.
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12.1.1. � < 1: Órbitas eĺıpticas. Primera ley de Kepler
Si la enerǵıa E es negativa, entonces 0 ≤ � < 1 y la ecuación de la órbita (12.15) se puede
reescribir como
(x− xc)2
a2
+
y2
b2
= 1, (12.16)
donde
a =
p
1− �2 , b =
p√
1− �2
, xc = −
p�
1− �2 . (12.17)
La ecuación (12.16) es la de una elipse, de centro (xc, 0), semiejes mayor a y menor b, con
distancia focal
c =
√
a2 − b2 = p�
1− �2 = �a, (12.18)
y excentricidad c/a = �. La posición de los focos, a lo largo del eje x que coincide con el eje
mayor, están dados por
xF1 = xc + c = 0, xF2 = xc − c = −2c. (12.19)Por lo tanto, uno de los focos de la elipse está en el origen del sistema de referencia, que es
el centro de fuerza también. Obtenemos entonces la primera ley de Kepler: las órbitas de los
planetas son elipses con el Sol en uno de sus focos. Si somos más rigurosos debemos decir que en
realidad el centro de masas del sistema planeta-Sol está en uno de los focos de la elipse, teniendo
en cuenta que la masa de Sol es mucho mayor que la de cualquier planeta el centro de masa del
sistema planeta-Sol coincide con la posición del Sol en muy buena aproximación.
De la ecuación de la elipse encontramos que existe un punto de mayor cercańıa con el origen,
de ángulo θ = 0, el llamado punto periápside o perihelio,
p
rmin
= 1 + �⇒ rmin =
p
1 + �
, (12.20)
mientras que el punto de mayor lejańıa, punto apoápside o afelio, corresponde a θ = π,
p
rmax
= 1− �⇒ rmax =
p
1− � . (12.21)
Estos dos puntos de la órbita son los dos puntos de retorno, aquellos en los cuales se anula la
velocidad radial ṙ.
Repaso de elipses
Recordemos que dados dos puntos (focos) F1 y F2 en un plano la elipse es una curva
definida como el conjunto de todos los puntos P del plano cuyas distancias a los focos
suman un valor constante 2a :
dPF1 + dPF2 = 2a. (12.22)
Si los dos focos residen en un eje paralelo al eje x (el llamado eje mayor), la ecuación de
la elipse en coordenadas cartesianas es
(x− xc)2
a2
+
(y − yc)2
b2
= 1. (12.23)
(xc, yc) son las coordenadas del centro de la elipse C, punto intermedio entre los dos
focos. a es el semieje mayor (la distancia desde el centro de la elipse a los puntos más
lejanos de la curva), b es el semieje menor (la distancia desde el centro de la elipse a los
puntos más cercanos de la curva). La distancia focal c es la distancia desde el centro a
los focos y está dada por c =
√
a2 − b2. La excentricidad de la elipse se define como el
cociente entre distancia focal y semieje mayor, � = c/a y resulta ser siempre menor a 1.
140
F
2
F
1
C
a
c
b
x
y
Figura 12.1: Elipse de centro C y focos F1 y F2. Uno de sus focos está en el origen de coordenadas.
En la tabla que sigue podemos encontrar los valores de la excentricidad de los planetas del
sistema solar y el valor del semieje mayor a (en unidades astronómicas). Para la mayoŕıa de
los planetas la excentricidad es muy pequeña, por lo cual las órbitas pueden considerarse casi
circulares.
Planeta � a (UA)
Mercurio 0.206 0.387
Venus 0.007 0.723
Tierra 0.017 1
Marte 0.093 1.524
Júpiter 0.049 5.203
Saturno 0.053 9.523
Urano 0.046 19.164
Neptuno 0.012 29.987
Órbitas circulares
En el caso particular � = 0, la órbita es circular de radio p = l2/µk, siendo k la constante de
fuerza. En esta caso los focos y el centro de la órbita coinciden. La enerǵıa de la órbita circular
corresponde al menor valor posible que puede tomar:
Ecirc = −
l2
2µp2
= −µk
2
2l2
. (12.24)
Esta enerǵıa podŕıamos haberla obtenido del análisis cualitativo del problema de fuerzas cen-
trales, como el mı́nimo valor que toma el potencial efectivo.
141
12.1.2. � > 1: Órbitas hiperbólicas
Si la enerǵıa del sistema es positiva, � > 1 y la ecuación de la órbita (12.15) se puede reescribir
como
(x− xc)2
a2
− y
2
b2
= 1, (12.25)
donde
a =
p
|1− �2| , b =
p√
|1− �2|
, xc =
p�
|1− �2| . (12.26)
La ecuación (12.25) es la de una hipérbola, de centro (xc, 0), semiejes mayor a a lo largo del eje
horizontal y eje menor b, con distancia focal
c =
√
a2 + b2 =
p�
�2 − 1 = �a. (12.27)
La posición de los focos, a lo largo del eje x, están dados por
xF1 = xc + c = 2c, xF2 = xc − c = 0. (12.28)
Por lo tanto, uno de los focos de la elipse está en el origen del sistema de referencia, coincidente
con el centro de fuerzas.
La ecuación de la hipérbola en coordenadas cartesianas (12.25) consiste en dos ramas dis-
juntas. Es aqúı donde debemos recordar que hab́ıamos elevado al cuadrado la ecuación original
en coordenadas polares (12.8). La ecuación original sólo contiene una rama de la hipérbola.
F́ısicamente deducimos que dicha rama es la de la izquierda: la part́ıcula viene el infinito a lo
largo de la aśıntota, cuando siente el efecto atractivo del centro de fuerza se acerca al mismo,
este comportamiento corresponde con la rama izquierda (como se muestra en la figura 12.2).
Matemáticamente recordemos que deb́ıa valer p − �x ≥ 0, es decir, x ≤ p/�. De las dos ramas,
sólo la de la izquierda satisface esta desigualdad.
En la órbita hiperbólica existe un punto periápside, para θ = 0,
p
rmin
= 1 + �⇒ rmin =
p
1 + �
. (12.29)
Por otro lado, no existe un apoápside porque la órbita no está acotada, podemos encontrar
directamente la dirección del movimiento asintótico, correspondiente a la condición r → ∞ en
la ecuación de la órbita:
0 = 1 + � cos θ∗ ⇒ θ∗ = arc cos
(
−1
�
)
. (12.30)
En el caso del sistema solar, las órbitas hiperbólicas son las seguidas por cuerpos que vienen del
espacio exterior al sistema solar y pasan una sóla vez cerca del Sol, para luego volver al espacio
exterior.
142
a
F
1
C
Figura 12.2: Órbita para � > 1: Hipérbola de centro C. Uno de sus focos es F1 y está en el origen
de coordenadas. Las ĺıneas punteadas son las rectas aśıntotas.
Repaso de hipérbolas
Recordemos que dados dos puntos (focos) F1 y F2 en un plano la hipérbola es una curva
definida como el conjunto de todos los puntos P de dicho plano cuyas distancias a los
focos satisfacen:
|dPF1 − dPF2 | = 2a,
donde a es una constante positiva. Si los dos focos residen en un eje paralelo al eje x (el
llamado eje mayor), la ecuación de la hipérbola en coordenadas cartesianas es
(x− xc)2
a2
− (y − yc)
2
b2
= 1.
La hipérbola consiste en dos ramas desconectadas. Los puntos de mayor cercańıa entre
ambas ramas se llaman vértices, y se ubican en la misma ĺınea que los focos. (xc, yc)
son las coordenadas del centro de la hipérbola C, punto intermedio entre los dos focos.
a es el semieje mayor (la distancia desde el centro de la hipérbola a los vértices), A
grandes distancias del centro, las ramas de la hipérbola se acercan a las rectas aśıntotas,
de pendientes ±b/a, y que se cruzan en el centro de la hipérbola. El semieje menor b es
la distancia perpendicular desde un foco a las aśıntotas. La forma de la hipérbola está
determinada por la excentricidad, � = c/a > 1, donde c es la distancia focal (distancia
desde el centro de la hipérbola a los focos) y está dada por c =
√
a2 + b2.
143
12.1.3. � = 1: Órbitas parabólicas
Por último, si la enerǵıa del sistema es nula, la excentricidad � = 1. La ecuación (12.14)
resulta ser la de una parábola
x = −y
2
2p
+
p
2
, (12.31)
cuyo eje es el x. El vértice de la parábola está sobre el eje x en p/2, la directriz de la parábola
es la recta x = p y el foco otra vez está localizado en el origen de coordenadas.
Repaso de parábolas
Recordemos que dados un punto (foco) F y una recta “directriz” en un plano la
parábola es una curva definida como el conjunto de todos los puntos P de dicho plano
que equidistan de la directriz y del foco.
dPF = dPdirectriz (12.32)
Se llama eje de la parábola a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el
foco, la parábola es simétrica respecto a su eje. Al punto de intersección del eje de la
parábola con la parábola se lo llama vértice y es el punto cuya distancia a la directriz
es mı́nima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal.
12.2. Enerǵıa y órbitas
Resumiendo, la enerǵıa del sistema determina la forma de la órbita. Si definimos
E0 =
l2
2µp2
> 0, (12.33)
la enerǵıa se reescribe como
E = E0
(
�2 − 1
)
. (12.34)
Enerǵıas menores que −E0 no están permitidas.
Si E = −E0 entonces la excentricidad se anula y tenemos una órbita circular.
Si −E0 ≤ E < 0, la excentricidad será menor a 1, tenemos una elipse como órbita, la cual
se ’achata’ a medida que �→ 1. Estamos en el caso de órbitas acotadas, la part́ıcula queda
ligada al centro de fuerzas.
SiE = 0 la excentricidad vale 1 y la órbita es una parábola. Corresponde a una órbita no
acotada, la part́ıcula puede escaparse hacia el infinito pero llega alĺı con enerǵıa cinética
nula.
Si E > 0, la excentricidad � > 1, la órbita es la rama de la hipérbola que ’encierra’ al
centro de fuerza. La órbita es no acotada, la part́ıcula llega la infinito con velocidad no
nula.
144
12.3. Tercera ley de Kepler: peŕıodo de las órbitas eĺıpticas
Según la segunda ley de Kepler, la velocidad areolar es constante para cualquier fuerza
central,
dA
dt
=
l
2µ
. (12.35)
Si integramos esta velocidad en un peŕıodo orbital τ , obtenemos∫ τ
0
dA
dt
dt =
∫ τ
0
l
2µ
dt⇒ Area = l
2µ
τ. (12.36)
El área de la elipse está determinado por sus semiejes mayor y menor:
Area = πab (12.37)
Teniendo en cuenta que a = p
1−�2 b =
p√
1−�2 , resulta
Area = π
p2
(1− �2)3/2 , (12.38)
de donde obtenemos el peŕıodo
τ =
2µπ
l
p2
(1− �2)3/2 . (12.39)
Considerando ahora que el momento angular se puede escribir como l =
√
GMµ2p, llegamos a
la expresión de la tercera ley de Kepler,
τ =
2π√
GM
a3/2 ⇒ τ2 = 4π
2
GM
a3, (12.40)
que dice que el cuadrado del peŕıodo es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita
eĺıptica, con una constante de proporcionalidad universal, ésto es, que no depende del planeta en
particular. Vemos en (12.40) que la constante de proporcionalidad no es estrictamente universal,
depende de la masa del planeta contenida en M = Msol +mp, sin embargo teniendo en cuenta
las enormes diferencia de masas entre el Sol y cualquiera de los planetas, puede tomarse como
constante universal en muy buena medida.
12.4. Caso repulsivo
Hasta ahora sólo estudiamos el caso del potencial V ∝ 1/r atractivo porque nos interesaba
el análisis del potencial gravitatorio y el movimiento de los planetas. Otro potencial que vaŕıa
inversamente proporcional a la distancia es el de interacción electrostática entre dos cargas Q1
y Q2. Este potencial puede ser atractivo o repulsivo según sean los signos de las cargas. En
el caso atractivo los resultados obtenidos para el problema de Kepler se extienden de manera
directa, cambia únicamente la constante k del potencial: k = −Q1Q2/4πε0 > 0, donde ε0 es la
permitividad del vaćıo. En el caso repulsivo el potencial es V (r) = k/r con k = Q1Q2/4πε0 > 0.
La ecuación diferencial de la órbita es casi la misma que en el caso atractivo, solo cambia el
signo del término de forzamiento constante (12.4). Un estudio completamente análogo al caso
atractivo nos da una órbita
p
r
= � cos θ − 1, (12.41)
donde el factor de escala p = l2/µk y la excentricidad � son cantidades positivas. La ecuación
de arriba corresponde ahora siempre a una hipérbola, � > 1, y se corresponde con una enerǵıa
145
siempre positiva, E = E0(�
2−1). A diferencia de antes, la rama correspondiente al caso repulsivo
es la rama de la derecha. Podemos deducir este resultado matemáticamente, notando que en la
ecuación de la órbita cos θ debe ser menor o igual a 1/� para que la ecuación tenga sentido
(p/r > 0). Esto implica que el ángulo θ no puede ser mayor a π/2, correspondiendo únicamente
a la rama derecha de la hipérbola. F́ısicamente podemos obtener este resultado notando que si
la part́ıcula viene desde el infinito a lo largo de una aśıntota, al acercarse al centro de fuerza
siente una repulsión que la hace apartar de la aśıntota, alejándose del centro de fuerzas. Ese
comportamiento corresponde a la rama de la derecha de la hipérbola.
12.5. Vector de Laplace-Runge-Lenz
Además de las integrales de movimiento usuales (momentos lineal, angular y enerǵıa), en el
problema de Kepler existe otra integral de movimiento, independiente de las anteriores. Es el
llamado vector de Laplace-Runge-Lenz, vector que fue redescubierto varias veces 68. Veamos: la
segunda ley de Newton para una part́ıcula en campo de fuerza central es
ṗ = F(r) =
F (r)
r
r. (12.42)
Multiplicamos vectorialmente esta ecuación por el momento angular l,
ṗ ∧ l = µF (r)
r
r ∧ (r ∧ ṙ) . (12.43)
Usamos la identidad del doble producto vectorial para obtener
r ∧ (r ∧ ṙ) = (r · ṙ)︸ ︷︷ ︸
= d
dt
( 1
2
r·r)=rṙ
r− r2ṙ = r3
(
ṙr
r2
− ṙ
r
)
= −r3 d
dt
(r
r
)
. (12.44)
Por lo tanto, vale
ṗ ∧ l = −µF (r)r2 d
dt
(r
r
)
. (12.45)
Como el momento angular es constante podemos meterlo dentro de la derivada en el término de
la izquierda
d
dt
(p ∧ l) = −µF (r)r2 d
dt
(r
r
)
. (12.46)
Si la fuerza vaŕıa inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r, F (r) = −k/r2, como
en el caso gravitatorio, entonces de la ecuación anterior obtenemos la conservación del vector de
Laplace-Runge-Lenz A:
A ≡ p ∧ l− µk r
r
. (12.47)
¿Qué es el vector A? De su propia definición vemos que A es perpendicular al momento angular
l, por lo tanto A está en el plano de movimiento. Hacemos el producto escalar
A · r = Ar cosϕ = (p ∧ l) · r︸ ︷︷ ︸
=l·l=l2
−µkr, (12.48)
68Este vector y su conservación fue encontrada por primera vez por el matemático suizo Jakob Hermann, luego
generalizado por Juan Bernoulli, redescubierto por Laplace y Hamilton, Runge lo usó como ejemplo en un libro
sobre vectores y Lenz lo usó en el contexto de la antigua mecánica cuántica.
146
	Fuerzas centrales: problema de Kepler
	Ecuación de la órbita
	<1: Órbitas elípticas. Primera ley de Kepler
	>1: Órbitas hiperbólicas
	=1: Órbitas parabólicas
	Energía y órbitas
	Tercera ley de Kepler: período de las órbitas elípticas
	Caso repulsivo
	Vector de Laplace-Runge-Lenz
	pbs@ARFix@136: 
	pbs@ARFix@137: 
	pbs@ARFix@138: 
	pbs@ARFix@139: 
	pbs@ARFix@140: 
	pbs@ARFix@141: 
	pbs@ARFix@142: 
	pbs@ARFix@143: 
	pbs@ARFix@144: 
	pbs@ARFix@145: 
	pbs@ARFix@146: