Mecanica Clasica 2022-147-158

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donde ϕ es el ángulo entre A y r. Obtenemos
(A cosϕ+ µk) r = l2 ⇒ 1
r
=
µk
l2
(
1 +
A
µk
cosϕ
)
. (12.49)
Esta última ecuación es la de la órbita si identificamos al ángulo ϕ con el ángulo polar θ de
la part́ıcula. Por un lado tenemos entonces que el vector A apunta en la dirección horizontal,
θ = 0, que coincide con la dirección del periápside y, por otro lado, su módulo está asociado
a la excentricidad, A = µk�. La conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz nos indica
que la posición del periápdise no cambia en el tiempo, cualquier apartamiento de una fuerza
F (r) ∝ 1/r2 implicará la ’precesión del periápside’.
Debe destacarse que se sabe que el perihelio de los planetas va precesando en el tiempo, a
mayor ritmo a medida que disminuye la distancia del planeta con el Sol. El caso más notorio
es entonces el de Mercurio, ya se hab́ıa observado en el siglo XIX una precesión de su perihelio
de 575 segundos de arco por siglo. Mediante la mecánica newtoniana, la presencia de los otros
planetas (Júpiter principalmente) permite explicar el origen de 532 segundos de arco por siglo
de precesión, recién con la teoŕıa de la relatividad general de Einstein en 1915 se logró entender
el origen de los 43 segundo de arco por siglo restantes. Esta precesión de 43′′ por siglo se debe
a la deformación del espacio-tiempo causada por el Sol, y su explicación mediante relatividad
general fue uno de los primeros grandes logros de la teoŕıa.
En esta clase:
Resolvimos el problema de Kepler: dado el potencial gravitatorio V (r) = −Gm1m2/r
entre dos cuerpos encontramos las órbitas posibles.
Las órbitas son las secciones cónicas. De acuerdo al valor de la enerǵıa encontramos:
órbitas hiperbólicas si E > 0, parabólicas si E = 0 y eĺıpticas si E < 0.
Demostramos además la tercera ley de Kepler que relaciona el peŕıodo de cada planeta
con el semieje mayor de su órbita.
147
13. Fuerzas centrales: dispersión
Algo me aleja, algo me acerca
Nito Mestre
Experimento de dispersión.
En la clase anterior analizamos qué tipo de órbi-
tas puede seguir una part́ıcula que es atráıda gra-
vitatoriamente por el centro de fuerza, esto es, re-
solvimos el denominado problema de Kepler. Alĺı
las órbitas eĺıpticas son las más importantes por-
que corresponden al movimiento ligado del cuerpo
alrededor del centro de fuerzas, al movimiento de
los planetas alrededor del Sol cuando aplicamos la
teoŕıa al sistema solar. En esta clase veremos otro
tipo de problemática asociada a los campos de fuer-
zas central, el problema de dispersión de part́ıculas
que son atráıdas o repelidas por un centro de fuer-
zas centrales. Este problema tiene interés histórico,
el fenómeno de dispersión coulombiana fue el que permitió a Rutherford en 1911 descubrir el
núcleo y proponer en consecuencia el modelo actual del átomo: núcleo ’puntual’ pesado y cargado
positivamente, electrones livianos y cargados negativamente que orbitan al núcleo.
Ejemplo de espectro de dispersión
de neutrones en Nd2Zr2O7.
Por otro lado, el fenómeno de dispersión es la base de
buena parte de los métodos experimentales que se utilizan
para medir propiedades de sistemas de distinta ı́ndole: atómi-
cos, moleculares, extendidos. Buena parte de los experimen-
tos de hoy en d́ıa consisten en arrojar proyectiles sobre el
sistema que quiere estudiarse y observar cómo dispersan di-
chos proyectiles en función de la dirección de dispersión y de
sus enerǵıas. Estos proyectiles pueden ser fotones de distin-
tas longitudes de onda, neutrones, electrones, muones, iones,
entre otros. Para el análisis de sistemas microscópicos debe
usarse la mecánica cuántica, sin embargo, las magnitudes
que caracterizan y las formas de describir la dispersión se
definen clásicamente, y es lo que haremos en esta clase.
13.1. Sección eficaz diferencial
Primero describimos la configuración que nos interesa
estudiar: part́ıculas que inciden sobre un objetivo con el
cual interactúan mediante fuerzas centrales. En lo que sigue
consideramos que el objetivo o centro de fuerza permanece
inmóvil en el origen de un sistema de referencia inercial. Si
el objetivo es mucho más pesado que los proyectiles ésta será
una excelente aproximación, mientras que si proyectiles y objetivo tienen masas comparables,
podemos trabajar en el sistema centro de masas 69. Debemos caracterizar el haz incidente y el
proceso de dispersión.
69El libro de Landau es una buena referencia para ver el tratamiento de dispersión desde el sistema centro de
masas.
148
Haz incidente
Supongamos que tenemos un haz de part́ıculas incidente paralelo al eje horizontal y de sección
transversal infinita.
Figura 13.1: Haz de part́ıculas idénticas con la misma velocidad en el infinito incidiendo sobre
un centro de fuerza. A la derecha se muestra una sección perpendicular al haz.
Todas las part́ıculas son idénticas y vienen con la misma velocidad v∞ desde el infinito, por
lo tanto, sus enerǵıas son E = 12mv
2
∞
70. La intensidad I del haz incidente está definido como:
I = Intensidad =
número de part́ıculas incidentes
área perpendicular al haz× tiempo . (13.1)
Un simple cálculo da I = nv∞, donde n es la densidad de part́ıculas del haz.
Cada part́ıcula del haz incidente conserva su enerǵıa (las fuerzas son conservativas) y su
momento angular (las fuerzas son centrales). La enerǵıa es la misma para todas las part́ıculas
del haz, mientras que el momento angular es
l ≡ |l| = |r ∧mṙ| = mv∞s⇒ l =
√
2E
m
s, (13.2)
donde s es el denominado parámetro de impacto de la part́ıcula (ver figura 13.2). s pequeño
implica que el proyectil ’pega de lleno’ en el centro de fuerzas, mientras s grande implica que
pasa lejos de la región central donde actúa el potencial V (r).
La enerǵıa E, el parámetro de impacto s (o momento angular l) y la intensidad I son las
tres magnitudes que caracterizan completamente al haz incidente.
Ángulo de dispersión
En la figura 13.2 representamos la trayectoria de una part́ıcula dada del haz incidente. Viene
desde la izquierda con una velocidad inicial v∞, si el potencial decae a cero cuando r → ∞
entonces lejos del centro de fuerza la part́ıcula se mueve (asintóticamente) en una ĺınea recta.
Cuando se acerca a la región central, comienza a sufrir el efecto de la interacción y su dirección
de movimiento cambia correspondientemente, la part́ıcula se desv́ıa de su trayectoria inicial.
70Decimos que el haz es ’monocromático,’ tomando prestado el término del lenguaje de la óptica.
149
Luego de pasar por la región central, la part́ıcula deja de sentir el efecto de la fuerza central y
se aleja finalmente a lo largo de la dirección dada por su velocidad final v′∞. Por conservación
de enerǵıa tenemos |v∞| = |v′∞|. El ángulo Θ que forman las direcciones inicial y final se llama
ángulo de dispersión. Este ángulo dependerá de: a) el tipo de potencial central V (r); b) la enerǵıa
de la part́ıcula: a mayor enerǵıa se espera un ángulo de dispersión menor porque la part́ıcula
“ve menos” al potencial; y c) el parámetro de impacto s, cuanto menor sea s más dispersión se
espera.
s
v∞
v′∞
Θ
Figura 13.2: Trayectoria de una part́ıcula dispersada un ángulo Θ por el centro de fuerza repre-
sentado por el ćırculo relleno. v∞ (v
′
∞) es la velocidad asintótica inicial (final) de la part́ıcula. s
es el parámetro de impacto: la distancia de la dirección de movimiento inicial (o final) al centro
de fuerza.
Recordemos que la órbita debido a un potencial central es simétrica respecto a los puntos
de retorno, en el caso repulsivo corresponde al punto de mayor cercańıa al centro de fuerzas, el
periápside. Recurriendo a dicha simetŕıa en la figura 13.3 vemos que el ángulo de dispersión Θ
está relacionado con el ángulo Ψ que da la semiamplitud angular de la trayectoria,
Θ = π − 2Ψ. (13.3)
Ψ es el ángulo entre la dirección de movimiento asintótica a distancia infinita del centro de
Figura 13.3:El ángulo de dispersión Θ está relacionado con la semiamplitud angular de la órbita,
Ψ.
150
fuerzas y la dirección de periápside. En una clase anterior encontramos que dicho ángulo puede
escribirse formalmente como (11.46)
Ψ =
∫ ∞
rmin
ldr′
r′2
√
2µ (E − Vef (r′))
(13.4)
Sección eficaz de dispersión
Analizando el comportamiento del ángulo de dispersión Θ en función de la enerǵıa E del haz
incidente y del parámetro de impacto s, podemos inferir bajo qué tipo de potencial central están
interactuando las part́ıculas del haz con el objetivo o centro de fuerza. Lo que se hace en un
experimento de dispersión es colocar, a grandes distancias del objetivo (grandes relativas a su
tamaño), sensores que detectan la llegada de las part́ıculas dispersadas. Para una dada posición
angular de los sensores (Θ, ϕ) se cuentan las part́ıculas que llegan alĺı, la cantidad relativa de las
mismas da una idea del tipo de potencial existente. Esta dependencia angular está cuantificada
en una magnitud denominada sección eficaz diferencial. Veamos cómo se define con precisión.
Imaginemos que los sensores que detectan part́ıculas dispersadas están dispuestos sobre la
superficie de una esfera de radio R muy grande, mucho más grande que las dimensiones del
cuerpo que es el centro de fuerza. Sobre dicha superficie un punto cualquiera está determinado
por sus ángulos polar Θ y acimutal ϕ. Estamos considerando al eje del haz incidente como el eje
z, por lo tanto el ángulo de dispersión Θ coincide con el ángulo polar θ de la part́ıcula cuando
se aleja asintóticamente del centro de fuerza. En cada punto Θ, ϕ de la superficie de la esfera
definimos un área infinitesimal, dA(Θ, ϕ) = R2 sin ΘdΘdϕ.
Figura 13.4: (Izquierda) Definición del ángulo plano θ; (derecha) definición del ángulo sólido Ω.
Dividiendo por R2 tenemos lo que se conoce como ángulo sólido infinitesimal 71
dΩ(Θ, ϕ) ≡ dA(Θ, ϕ)
R2
= sin ΘdΘdϕ. (13.5)
Una vez definido dicha porción de ángulo sólido, contamos cúantas part́ıculas pasan por
ella, dN(Θ, ϕ). Este número dependerá de varios factores, algunos intŕınsecos como la forma del
71El concepto de ángulo sólido Ω es una generalización del ángulo común. Decimos que el ángulo sólido es la
apertura angular que un objeto subtiende en un punto P del espacio tridimensional. Es una medida del tamaño
aparente del objeto mirado desde P . Cuantitativamente Ω es el área de la sección de la esfera de radio unitario
centrada en P, restringida por el ángulo sólido subtendido por el cuerpo.
151
Figura 13.5: (Dibujo tomado de sitio web de la Universidad Internacional de Florida) Esquema de
dispersión por fuerza central. Las part́ıculas de la sección anular (s, s+ ds) del haz incidente se dispersan
en el ángulo sólido dΩ = 2π sin ΘdΘ correspondiente al ángulo de dispersión Θ.
potencial central V (r) y otros más simples. Entre estos últimos: el intervalo de tiempo dt durante
el cual contamos las part́ıculas dispersadas, el ángulo sólido dΩ considerado, la intensidad del
haz incidente I. Claramente dN será proporcional a
dN(Θ, ϕ) ∝ I × dΩ× dt (13.6)
Definimos la sección eficaz diferencial 72 como
σ(Ω) ≡ dN(Θ, ϕ)
IdΩdt
. (13.7)
En el caso de fuerzas centrales tenemos simetŕıa acimutal o ciĺındrica alrededor del eje del haz
incidente: el número de part́ıculas dN(Θ, ϕ) dispersada no dependerá del ángulo acimutal ϕ,
por lo tanto la sección eficaz diferencial sólo depende del ángulo Θ, σ(Ω) = σ(Θ).
Vamos a contar part́ıculas dispersadas de forma tal de obtener una expresión de la sección
eficaz. Por simplicidad consideremos un potencial repulsivo V (r) y veamos cómo dispersan las
part́ıculas que pasan por un anillo de radio interior s y espesor infinitesimal ds en el haz incidente,
centrado el anillo en la ĺınea paralela al haz que pasa por el centro de fuerzas, como se muestra
en la figura 13.5. El área de dicha región anular es dA = 2πsds, la cantidad de part́ıculas que
pasan por alĺı por unidad de tiempo es dN = IdA = nv∞2πsds. Las part́ıculas que pasan por
el anillo con parámetro de impacto s se dispersarán un ángulo Θ(s) 73 mientras que las que
72Comentario sobre la notación: nosotros notaremos σ(Ω) a la sección eficaz diferencial, en la literatura también
se usa la notación alternativa dσ(Ω)
dΩ
. Ambos śımbolos corresponden a la misma magnitud f́ısica.
73Con ángulo acimutal ϕ entre 0 y 2π.
152
pasen con un parámetro de impacto s+ ds lo harán un ángulo Θ(s+ ds) = Θ(s) + dΘ. Debido
al carácter repulsivo del potencial, dΘ es negativo, las part́ıculas que apuntan más cerca del
centro de fuerza dispersan más que las que apuntan más lejos. Las part́ıculas con parámetros
de impacto intermedios entre s y s+ ds dispersarán con ángulos intermedios entre Θ(s) + dΘ y
Θ(s). En dicho intervalo de ángulos sólo dispersarán aquellas part́ıculas que pasan por la región
anular (s, ds): si el parámetro de impacto es menor a s el ángulo de dispersión será mayor a Θ(s)
mientras que si el parámetro de impacto es mayor a s+ ds el ángulo de dispersión será menor a
Θ(s) + dΘ. Por lo tanto, podemos igualar el número de part́ıculas que pasan por el anillo (s, ds)
con aquellas que dispersan en el ángulo sólido determinado por (Θ, dΘ), correspondiente a la
región anular sombreada sobre la superficie de la esfera de la figura 13.5: dΩ = 2π sin ΘdΘ.
dN(Θ) = I2πsdsdt = 2πσ(Θ) sin Θ|dΘ|Idt. (13.8)
Por lo tanto,
σ(Θ) =
s
sin Θ
∣∣∣∣ dsdΘ
∣∣∣∣ . (13.9)
Esta es la fórmula que necesitamos para calcular cómo dispersan las part́ıculas de acuerdo al
potencial central involucrado. Para ello debemos conocer la dependencia del ángulo de dispersión
Θ con el parámetro de impacto, invertir la relación y derivarla. De manera general, el parámetro
de impacto s depende del ángulo de dispersión Θ y de la enerǵıa E de las part́ıculas incidentes,
además de los parámetros propios del potencial.
Potenciales atractivos
En el caso de potenciales atractivos, las cuentas que llevan a la sección eficaz diferencial σ(Θ)
se complican un poco. Hay que tener en cuenta que debido al carácter atractivo del potencial
las part́ıculas pueden quedar ’atrapadas’ orbitando un rato alrededor del centro de fuerzas, para
luego salir despedidas. A consecuencia de ello el parámetro de impacto s puede ser una función
multivaluada del ángulo de dispersión Θ, es decir, en una dada dirección dispersan part́ıculas
con distintos s y la función s(Θ) tiene más de una rama. En la expresión (13.9) debemos sumar
entonces sobre las distintas ’ramas’ de la función s.
Sección eficaz total
Una vez conocida la sección eficaz diferencial (es decir, dependiente del ángulo Θ), definimos
la sección eficaz total como la integral de la sección diferencial sobre el ángulo sólido total de
4π:
σt =
∫
4π
σ(Θ)dΩ = 2π
∫ π
0
σ(Θ) sin ΘdΘ. (13.10)
Analicemos cómo es la dependencia genérica del parámetro de impacto s con el ángulo Θ. Para
parámetros de impacto s ∼ 0 esperamos que la part́ıcula rebote, es decir, Θ ∼ π, mientras que
para parámetros de impacto grandes, s & smax no hay dispersión Θ ∼ 0. smax da información
sobre el rango del potencial, esto es, las distancias en las cuales actúa el potencial y, por supuesto,
depende del tipo de potencial. Un bosquejo de esta dependencia se muestra en la figura 13.6.
Teniendo en cuenta la expresión (13.9) y la dependencia s = s(Θ) bosquejada:
σt = 2π
∫ π
0
s
sin Θ
∣∣∣∣ dsdΘ
∣∣∣∣ sin ΘdΘ = 2π ∫ smax
0
sds = πs2max. (13.11)
La sección eficaz total tiene dimensiones de área y puede interpretarse como la sección del haz
incidente que es dispersada efectivamente por el centro de fuerza. Esta sección es un área circular,
de radio smax.
153
s
Θπ
s
max
0
Figura 13.6: Bosquejo del parámetro de impacto s en función del ángulo de dispersión Θ.
Ejemplo 13.1 (Esfera ŕıgida). Calculemos la sección eficaz diferencial para el problema de
part́ıculas que chocan elásticamente contrauna esfera ŕıgida infinitamente pesada de radio R.
El potencial debido a la impenetrabilidad de la esfera ŕıgida es de tipo central,
V (r) =
{
0 si r > R
+∞ si r < R. (13.12)
Cuando una part́ıcula choca contra la superficie de la esfera, siente una fuerza repulsiva central,
a lo largo de la ĺınea que une el punto de contacto con el centro de la esfera. A ráız del carácter
central de la fuerza y de choque elástico, la part́ıcula se refleja especularmente, conservándo
su momento lineal paralelo a la superficie. Vale entonces ϕr = ϕi. El ángulo de dispersión es
entonces Θ = π − 2ϕi. La relación entre ángulo de dispersión y parámetro de impacto s está
dado por
s = R sinϕ = R sin
(
π −Θ
2
)
= R cos
Θ
2
. (13.13)
La sección eficaz entonces vale entonces
σ(Θ) =
s
sin Θ
∣∣∣∣ dsdΘ
∣∣∣∣ = R24 . (13.14)
σ(Θ) no depende del ángulo y vemos que la esfera ŕıgida dispersa part́ıculas de manera comple-
tamente isotrópica. La sección eficaz total será
σt = 2π
∫ π
0
σ(Θ) sin ΘdΘ = πR2, (13.15)
que corresponde claramente a la sección transversal del haz incidente que es afectada por la
esfera ŕıgida de radio R: las part́ıculas ubicadas en el ćırculo de radio R centrado en la ĺınea
paralela al haz que pasa por el centro de fuerzas chocan con la esfera, mientras que aquellas
part́ıculas que tienen parámetro de impacto s > R pasan de largo.
154
φ i
φ r
s
R
Figura 13.7: Dispersión de part́ıculas por esfera ŕıgida de radio R.
13.2. Dispersión de Rutherford
El ejemplo más demostrativo y claro de la importancia de la dispersión por campo de fuerza
central está dado por la dispersión de un haz incidente de part́ıculas cargadas debido a un
centro de fuerza que repele las part́ıculas según la ley de Coulomb, F (r) ∝ k/r2. Calcularemos
la sección eficaz de Rutherford, la correspondiente a una fuerza repulsiva electrostática
F (r) =
k
r2
, donde k =
ZZ ′e2
4πε0
. (13.16)
Z y Z ′ son los números atómicos de los cuerpos que interactúan, y e es la carga del electrón. En
la clase anterior encontramos que a esta fuerza repulsiva le corresponden órbitas hiperbólicas,
en las cuales la relación entre excentricidad y enerǵıa es
�2 = 1 +
(
2Es
k
)2
, (13.17)
y la órbita es
1
r
=
mk
l2
(� cos θ − 1) . (13.18)
En θ = 0 está ubicado el periápside de la órbita, su punto más cercano al centro de fuerzas.
La órbita es simétrica respecto al cambio de signo de θ → −θ. El ángulo Ψ de la aśıntota satisface
cos Ψ =
1
�
⇒ Ψ = arc cos
(
1
�
)
, (13.19)
es el ángulo correspondiente al ĺımite r → ∞ de la órbita. De la figura 13.8 deducimos que el
ángulo de dispersión Θ se expresa en función de la semiamplitud angular de la órbita como
Θ = π − 2Ψ⇒ Ψ = π
2
− Θ
2
. (13.20)
Por lo tanto,
cos Ψ = sin
Θ
2
=
1
�
. (13.21)
155
Figura 13.8: Trayectoria hiperbólica en el problema de Rutherford.
Teniendo en cuenta la relación (13.17) entre excentricidad y enerǵıa, llegamos a(
2Es
k
)2
= �2 − 1 = 1
sin Θ2
2 − 1 = cot2
Θ
2
, (13.22)
de donde podemos calcular el parámetro de impacto s en término de la enerǵıa y del ángulo de
dispersión,
s =
k
2E
cot
Θ
2
. (13.23)
Para el cálculo de la sección eficaz necesitamos derivar esta función respecto a Θ,
ds
dΘ
= − k
4E
1
sin2 Θ2
(13.24)
Teniendo en cuenta esta derivada, y la identidad trigonométrica sin Θ = 2 sin Θ/2 cos Θ/2 llega-
mos a la expresión de la sección eficaz diferencial
σ(Θ) =
s
sin Θ
∣∣∣∣ dsdΘ
∣∣∣∣ = ( k4E
)2 1
sin4 Θ2
. (13.25)
Esta es la famosa fórmula de la sección eficaz de Rutherford 74 y su forma se muestra en la
figura 13.9. ¿Qué tiene de interesante? Por un lado diverge fuertemente, dσ/dΘ ∝ Θ−4 cuando
Θ → 0. Nos dice esta divergencia que la mayor parte del haz sigue hacia adelante sufriendo
minúsculas desviaciones respecto a la dirección original. Esto no es tan llamativo, pero śı lo es
el hecho de que la sección eficaz tenga un valor no nulo para la dispersión de ’rebote’, Θ = π.
En 1909 Ernest Rutherford, junto a Hans Geiger y Ernest Marsden, hicieron el experimento
de arrojar part́ıculas α (núcleos de átomos de helio: dos protones y dos neutrones) a láminas
de oro muy delgadas (unos 200 átomos de espesor). ¿Qué esperaban de dichos experimentos? El
modelo de átomo vigente era el modelo de ’bud́ın de pasas’ de Thomson 75: la carga eléctrica
74Curiosamente y afortunadamente para Rutherford, la expresión cuántica, que es la que debe considerarse en
el mundo microscópico, coincide con la clásica.
75El mismo Joseph Thomson que en 1897 descubrió el electrón.
156
Figura 13.9: Sección eficaz diferencial de Rutherford correspondiente a part́ıculas α dispersadas
por una lámina de oro.
positiva del átomo se distribúıa uniformemente en todo el átomo, y los electrones como ’pa-
sas de uva’ estaban embebidos en dicho ’bud́ın’. Según este modelo, cuando una part́ıcula α
interactuaba con un átomo era muy débilmente afectada por la distribución de carga positiva
por lo tenue de dicha distribución. El número atómico del oro es 79, un orden de magnitud
mayor a la carga de una part́ıcula α, pero se la créıa distribuida en un volumen miles de veces
mayor al tamaño de las part́ıculas α. Por otro lado, debido a la enorme diferencia de masas
entre la part́ıcula α y los electrones, estos no la afectaban en nada. Consecuentemente la sección
eficaz correspondiente a este modelo consist́ıa en una fuerte divergencia en la dirección hacia
adelante, Θ ∼ 0, y cero posibilidad de que las part́ıculas α reboten. Sin embargo, Rutherford
y sus colaboradores observaron que algunas part́ıculas α rebotaban, aproximadamente una de
cada 8.000 part́ıculas. Al decir de Rutherford, esa observación era “tan sorprendente como si
le disparases balas de cañón a una hoja de papel y rebotasen”. Rápidamente Rutherford se dió
cuenta que el modelo de Thomson no era el correcto y propuso la existencia del núcleo: toda
la carga positiva del átomo se concentra en una región minúscula. Los electrones dan vueltas
alrededor de dicho núcleo, como un sistema solar en miniatura. Rutherford calculó la sección
eficaz diferencial correspondiente a este modelo atómico (13.25) y encontró un muy buen acuerdo
con sus mediciones. Las part́ıculas α que rebotaban eran aquellas que ’pegaban de lleno’ en los
núcleos.
157
Sección eficaz total de Rutherford
La sección eficaz total correspondiente a (13.25) es
σt = 2π
∫ π
0
σ(Θ) sin ΘdΘ = 2π
(
ZZ ′e2
4E
)2 ∫ π
0
sin Θ
sin4 Θ2
dΘ =∞. (13.26)
Recordando que la sección eficaz total es σt = πs
2
max, vemos que para el potencial repulsivo
coulombiano smax = ∞. Se dice entonces que el potencial V ∝ k/r es de largo alcance o bien
que su rango es infinito, sus efectos se sienten a todas distancias, aunque a largas distancias
estos efectos sean muy débiles.
13.3. Arco Iris
Philosophy will clip an Angel’s
wings
Conquer all mysteries by rule
and line
Empty the haunted air, and
gnomèd mine
Unweave a rainbow
John Keats
En el problema de Rutherford la sección eficaz diferencial diverge para pequeños ángulos,
Θ → 0. Esto indica que la mayoŕıa de las part́ıculas que son afectadas por el potencial ’siguen
de largo’, aún cuando pasen a grandes distancias del centro de fuerza son dispersadas pero
levemente. Por otro lado, existen sistemas en los cuales la sección eficaz σ(Θ) diverge para valores
no nulos del ángulo de dispersión, existen ángulos ’preferidos’ de dispersión. Cuando ello ocurre
decimos que tenemos el fenómeno conocido como dispersión de arco iris, el nombre por supuesto
está tomado del conocido fenómeno atmosférico. En la figura 13.10 (izquierda) presentamos el
bosquejo del ángulo de dispersión en función del parámetro de impacto s para un potencial que
presenta dispersión de arco iris: para Θ = Θ0 la derivada dΘ/ds = 0 ⇒ ds/dΘ → ∞ y, por lo
tanto, la sección eficaz (13.9) diverge para dicho ángulo (figura de la derecha). Para un amplio
rango de s, el ángulo de dispersión escercano a Θ0.
Θ
0
Θ
0
0 Θ
σ(Θ)
s
Θ
Figura 13.10: Sistema que presenta dispersión de arco iris. Izquierda: Ángulo de dispersión Θ en
función del parámetro de impacto s. Derecha: Sección eficaz σ(Θ) correspondiente.
El problema del arco iris en cielos soleados luego de la lluvia cae en el área de la óptica y
parece lejano a la mecánica clásica. Sin embargo, en primer lugar, el tamaño promedio de las
gotas de agua que dispersan la luz del sol es mucho mayor a las longitudes de onda de la luz visible
158
	Fuerzas centrales: dispersión
	Sección eficaz diferencial
	Dispersión de Rutherford
	Arco Iris
	pbs@ARFix@147: 
	pbs@ARFix@148: 
	pbs@ARFix@149: 
	pbs@ARFix@150: 
	pbs@ARFix@151: 
	pbs@ARFix@152: 
	pbs@ARFix@153: 
	pbs@ARFix@154: 
	pbs@ARFix@155: 
	pbs@ARFix@156: 
	pbs@ARFix@157: 
	pbs@ARFix@158: