Multiplicación de un vector por un escalar y Operaciones combinadas con vectores

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Materia: Matemática de Octavo 
Tema: Multiplicación de un vector por un escalar y operaciones 
combinadas 
 
Mientras que estás en el campamento de verano tú y tus amigos están jugando a jalar la 
cuerda. Te encuentras en un lado de la cuerda jalando con una fuerza de 200 N. El vector 
para esta fuerza se puede representar de esta manera: 
 
Decides que de verdad quieres ganar y jalas lo más fuerte que puedes. Como resultado de 
esto, estás jalando el doble de fuerte. ¿Cómo representas el nuevo vector de fuerza? 
Cuando termines la lección sabrás como multiplicar un escalar por un vector y también 
combinar estos conocimientos con la adición y sustracción de vectores. 
Marco teórico 
Cuando trabajamos con vectores hay dos tipos de cantidades que empleamos. La primera es 
el vector, una cantidad que tiene magnitud y dirección. La segunda cantidad es un escalar, el 
cual es un número cualquiera. La magnitud de un vector es una cantidad escalar. Un vector 
puede ser multiplicado por un número real y este número real se llama escalar. El producto 
de un vector por un escalar es un vector que se escribe . Tiene la misma dirección 
que con una magnitud de si . Si , el vector tiene la dirección opuesta de 
y una magnitud de . 
Ejemplo A 
La velocidad del viento antes de un huracán llegó a 20 mph desde el sureste ( ). La 
velocidad se cuadruplicó cuando llegó el huracán. ¿Cuál es el vector de la nueva corriente de 
viento? 
Solución: El viento ahora viaja a 80 mph en la misma dirección. 
Ejemplo B 
Un velero se desplaza a 15 nudos hacia el norte. Después de darse cuenta, el capitán voltea 
su curso hacia el sur y empieza a viajar 2 veces más rápido. ¿Cuál es el nuevo vector de la 
velocidad del velero? 
Solución: El velero está navegando a 30 nudos en la dirección opuesta. 
Para realizar un producto escalar multiplicamos nuestro escalar por las coordenadas de 
nuestro vector. Multiplicar por un escalar sólo hace que los vectores se hagan más largos o 
más cortos, es decir, cambia su magnitud pero no su dirección. 
Ejemplo C 
Considere el vector estándar que termina en (4, 6). ¿Cómo representas al mismo vector con 
una magnitud 3 veces mayor? 
Solución: En este caso y es el vector desde (0,0) hasta (4, 6). 
 
Multiplicamos cada una de las coordenadas del vector por 3 y así las nuevas coordenadas 
de nuestro vector serían (12, 18). 
Palabras clave 
Magnitud: es la longitud, distancia o módulo de un vector. 
Escalar: es un número real. 
Vector: es una cantidad matemática que tiene magnitud y dirección. 
 
Ejercicios resueltos 
1. Encuentra el vector que representa si y . 
2. Encuentra el vector que representa si y . 
3. Encuentra el vector que representa si y . 
 
 
Soluciones 
1. 
2. 
3. 
 
Problema dado al principio de la lección 
Dado que el vector original era la siguiente: 
 
El nuevo vector es dos veces más grande que el vector anterior. El producto de un vector por 
un escalar positivo no cambia la dirección, por lo tanto el nuevo vector es el siguiente: 
 
Su magnitud es el doble que la anterior y su dirección sigue siendo la misma. 
Ejercicios 
Para estos ejercicios demos por sentado que todos los vectores tienen posición inicial 
estándar. 
 es igual a (1, 5) y es igual a (4, 2). Calcula: 
1. . 
2. . 
3. . 
 es igual a (4, 3) y es igual a (2, 2). Calcula: 
4. . 
5. . 
6. . 
 es igual a (3, 2) y es igual a (-1, 2). Calcula: 
7. . 
8. . 
9. . 
 es igual a (5, 5) y es igual a (4, 2). Calcula: 
10. . 
11. . 
12. . 
es igual a (1, 5) y es igual a (-3, 1). Calcula: 
13. . 
14. . 
15. .