ECUACIONES DIFERENCIALES-Unidad 1

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CÁLCULO 2 - 2021
LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA ATMÓSFERA Y 
METEOROLOGIA APLICADA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 
AMBIENTALES Y GESTION DEL AGUA
DOCENTES: Prof. Emilce Barrozo
Lic. Juan Ignacio López Ortiz
ECUACIONES DIFERENCIALES
(Material realizado con apuntes del libro Matemáticas Avanzadas para 
Ingeniería (3a ed.) Autor Kreyszig, E.)
Secciones 1.1, 1.2, 1.7
¿Qué es una ECUACIÓN DIFERENCIAL? Es una ecuación que contiene una o varias derivadas de una función 
desconocida, llamémosle y(x) y se pretende a partir de su resolución, 
conocer a esta y(x). Puede incluir también a la propia función y, y a otras 
funciones o constantes conocidas
El Orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mayor que interviene. En este curso veremos solo ED 
de primer orden
Resolver una ED significa 
hallar una función y(x) que 
satisfaga (4)
Muchas veces una ED viene acompañada de unos ciertos valores ya conocidos, de una condición inicial
En este caso la llamamos problema con valor inicial y la expresamos de esta forma:
Esta es la ED
Esta es la condición inicial que indica que en la función buscada vale 
ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES
En un miembro me queda 
una integral con respecto a 
x y en el otro, una integral 
con respecto a y
¿Cómo resuelvo una ED separable?
Ejemplo 1: Resolver la ecuación diferencial 
Separamos las variables
Integramos a ambos miembros respecto de x:
Reemplazamos
Integramos y obtenemos
Operando
Nos queda
La solución hallada representa 
una familia de elipses. A medida 
que le damos valores a c, vamos 
encontrando cada una de ellas
En este caso hemos dejado la 
solución en forma implícita, 
sin despejar y
Ejemplo 3: Resolvamos el siguiente problema con valor inicial
Primero separamos las variables
Integramos a ambos miembros 
respecto de x
Reemplazamos
Resolvemos y despejamos y, 
nos queda en términos de c
Para determinar esta constante, c, usamos la condición inicial
Esta indica que cuando x=0, y=1
Luego reemplazamos el c obtenido
Esta es la solución al 
problema con valor inicial 
dado, también llamada 
solución particular
Solución General
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Vamos a hallar una solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea
Es lineal en y e y’ p(x) y r(x) pueden ser cualquier función 
que depende de x, dadas
Consideremos la ecuación homogénea 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 → 𝑦′ = −𝑝 𝑥 𝑦
Observemos que podemos 
separar variables y obtener:
𝑦′ = −𝑝 𝑥 𝑦 →
𝑦′
𝑦
= −𝑝 𝑥 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
𝑦
= −𝑝 𝑥 →
𝑑𝑦
𝑦
= −𝑝 𝑥 𝑑𝑥
Ahora, integramos ambos miembros න
1
𝑦
𝑑𝑦 = න−𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑦 = −න𝑝 𝑥 𝑑𝑥 + ҧ𝑐
𝑒𝑙𝑛 𝑦 = 𝑒− ׬ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥+ ҧ𝑐 = 𝑒− ׬ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 ҧ𝑐 = 𝑐𝑒− ׬ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
Solución General de la Ecuación lineal Homogénea
Ejemplo: Resolvamos la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea:
Según lo visto anteriormente, la solución general es de la forma 𝑦 𝑥 = 𝑐𝑒− ׬ 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
Y reconociendo a p(x)=2x tenemos: 𝑦 𝑥 = 𝑐𝑒− ׬ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑒−𝑥
2
En el Caso de una ecuación lineal no homogénea
La solución general viene dada de la forma
Los detalles de la deducción de la misma se encuentran en el libro
Ejemplo: Resolvamos la siguiente ecuación diferencial lineal no homogénea:
Identifiquemos Calculemos
Reemplacemos en la fórmula anterior
Y hallamos la solución general