Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado

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08-12-2022
INTRODUCCIÓN
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado. El conjunto de los números complejos se designa con la notación, siendo el conjunto de los números reales se cumple. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar. 
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. 
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros.
Historia
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia y Cardano. Originalmente, los números complejos fueron propuestos en 1545, por el matemático italiano, Girolamo Cardano (1501-1576), en un tratado epitómico que versaba sobre la solución de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, con el título de Ars magna. 
El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. Las cantidades «ficticias» de Cardano cayeron en un mar de indiferencia por la mayoría de los miembros de la comunidad matemática. Fueron Caspar Wessel en 1799 y Jean-Robert Argand en 1806, con la propuesta del plano complejo y la representación de la unidad imaginaria i, mediante el punto (0,1) del eje vertical quienes sentaron las bases de estos números. El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855), fue quien les dio nombre, los definió rigurosamente y los utilizó en la demostración original del teorema fundamental del álgebra, que afirma que todo polinomio que no sea constante, posee al menos un cero. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX. 
La frase número complejo fue usada por Carnot en 1803. Años después la empleó Gauss en Theoria residorum biquadratorum en 1828; la usaba para eludir la expresión número imaginario. Cardano los llamaba números negativos puros. Los números complejos ligados a las funciones analíticas o de variable compleja, permiten extender el concepto del cálculo al plano complejo. El cálculo de variable compleja posee diversas propiedades notables que conllevan propiedades que pueden usarse para obtener diversos resultados útiles en matemática aplicada. 
Definición
Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota ; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota . Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad: 
· Igualdad:
Al número se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo, se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo se denomina número imaginario puro. Puesto que se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.
Características Principales
· Los números reales que intervienen en una fórmula de números complejos pueden expresarse en forma par, binómica y vectorial.
· La unidad de los números imaginarios se denomina i y es el equivalente a 1 de los números reales. Asimismo, la raíz cuadrada de i es -1.
· Dos números complejos se consideran iguales cuando tienen el mismo componente real e imaginario.
· Se denomina con la letra C al conjunto de todos los números complejos. De igual forma, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones.
· A diferencia de los números reales, los números complejos no pueden mantener un orden.
· Existen los números imaginarios puros, cuya parte real es 0 y su fórmula se representa de la siguiente manera: 0 + bi = bi.
Aplicaciones
Los números complejos permiten representar situaciones de la realidad cuya descripción y tratamiento es posible gracias a las propiedades de estos números.
Como ejemplos de aplicación podemos citar:
· En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma permita que el aire fluya sin turbulencias. Esto solamente se logra si se utilizan las formas aerodinámicas de Jouwkoski.
· Para el estudio de fractales que a su vez tienen numerosas aplicaciones en otros campos. Estos tienen relación directa con la medicina, ya que se usa la dimensión fractal para diagnosticar ciertas enfermedades de los huesos.
· El concepto de señal juega un papel importante en áreas diversas de la ciencia y de la tecnología como las comunicaciones, la aeronáutica y astronáutica, el diseño de circuitos, la acústica, la sismología, la ingeniería biomédica, los sistemas de generación y distribución de energía, el control de procesos químicos y el procesamiento de voz. En el lenguaje para describir las señales.  y en las herramientas para analizarlas intervienen los números complejos.
Como ejemplos de algunas señales sinusoidales podemos citar:
Las magnitudes eléctricas que caracterizan a cada elemento de un circuito de corriente alterna (intensidad, diferencia de potencial, etc.) se expresan utilizando la notación exponencial de los números complejos. De este modo, pueden definirse sus amplitudes y sus desfases relativos; facilitando mucho el cálculo de las propiedades del circuito; que consiste en realizar las operaciones algebraicas básicas con los fasores o vectores que representan dichas magnitudes. 
En el movimiento ondulatorio, la amplitud de una onda armónica en función del tiempo, en algunos casos tiene mucho interés representarla en notación compleja. Por ejemplo, cuando se estudia la interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas. La onda que resulta es la composición de dos movimientos armónicos simples, de la misma dirección y frecuencia. La amplitud de dicha onda se obtiene sumando los vectores que representan las respectivas ondas que interfieren. 
· El análisis de Fourier nos permite representar cualquier función periódica, con la exactitud que deseemos, mediante una suma de funciones sinusoidales, denominadas armónicos. Sustituyendo estas funciones seno y coseno por las expresiones exponenciales equivalentes, utilizando la fórmula de Euler, se obtiene la forma compleja de la serie de Fourier de f(t), así:  f(t)= ∑ n=−∞ +∞ C n ⋅ e i n  ω 0 t
La forma concisa de esta serie compleja es la razón fundamental por la cual se usa. El primer armónico de la serie corresponde al valor n = 1 y posee la frecuencia más baja, ω 0 = 2 π T , siendo T el período de la función f(t). Los restantes armónicos poseen frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental, ω n =n⋅ ω 0 , y su amplitud es el módulo del coeficiente complejo Cn, es decir |    C n  | .
En la investigación con instrumentos musicales es muy frecuente construir una onda periódica arbitraria a partir de un número finito de sus armónicos componentes, operación que se denomina síntesis.Si P(t) es la variación de la presión del aire producida por un diapasón, un clarinete y una corneta tocando la misma nota musical, todas las ondas tienen el mismo período porque corresponden a la misma nota musical, pero las intensidades relativas de los armónicos que intervienen no son las mismas, sino que son características para cada instrumento. La aplicación del análisis de Fourier aporta la información detallada de los armónicos de cada instrumento, que permite diseñar o sintetizar las ondas periódicas deseadas.
· En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. Estas teorías son publicada por primera vez por Albert Einstein en 1905 y describe la física del movimiento en ausencia de campos gravitacionales.
· El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C.
Conclusión
Hemos visto que, lo que inicialmente se consideró como un “truco” matemático para resolver ecuaciones en el siglo XVI, y que se llegó a llamar “imaginario” por su extravagancia, está siendo utilizado en nuestros días para resolver problemas de nuestra vida cotidiana. A través de este ejemplo se evidencia la importancia de la investigación básica que por muy “inútil” que parezca puede tener aplicaciones e implicaciones muy importantes en el futuro. En una sociedad donde todo debe ser útil a corto plazo, no cabría la posibilidad de financiar la investigación básica que diera lugar a números “imaginarios” ya que todo tiene que ser real. El caso de los números imaginarios no es único y existen otros ejemplos de resultados de estudios e investigaciones básicas que dieron lugar a importantes aplicaciones. De allí la necesidad de preservar la investigación “imaginaria” para el avance y bienestar de nuestra sociedad. 
En conclusión, los números complejos, lo aplicamos en varios aspectos como Operaciones con Complejos, para desarrollar las operaciones adecuadamente desde el colegio y así desarrollarlo y mejorarlos a lo que sigue de nuestra vida profesional. Luego lo usamos en Aerodinámica para hallar la cantidad de velocidad de una corriente, también en los Circuitos Eléctricos ya que su principal base son los números complejos, por lo tanto, cualquier aparato de circuito eléctrico (amplificadores, filtros, motores) requiere el conocimiento de números complejos. También en Señales Electrónicas, ya que al igual que los circuitos eléctricos, su principal base es los números complejos. Para finalizar con la última aplicación, en Fisica, ya que como lo dije ante en una corriente o un voltaje de corriente alterna existe la parte real de y un número complejo que nos da la fase y la amplitud. Bueno, talvez nuestra carrera en la que nos enfocamos más adelante, no tenga nada que ver en matemáticas, pero siempre, siempre nos va a servir para algo. Es bueno tener alguna base sobre las matemáticas, aun cuando no seamos muy buenos en este aspecto, es bueno saberlo y practicarlo, porque solo con practica se puede aprender un campo tan difícil como este., ya que cuando menos lo pensemos nos va a servir.