Los-Números-Irracionales-para-Tercero-de-Secundaria

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CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES
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8
· 
 INTRODUCCIÓN
	
Formación de los conjuntos numéricos:
ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ….}
ℕ
ℤ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
ℕ
ℤ
ℚ = {6; -5; ; ; 0,62; 1,65; 1,3; 2,16}
ℕ
ℤ
ℚ
Los números racionales tienen 2 formas de representarse:
· División indicada de 2 números enteros (divisor diferente de cero)
Ejemplos:
a) 
 	=	7	es natural, entero y racional
b) 
 	= - 8 	es entero y racional
c) 
 	=			es racional
d) 
	=			es racional
· Expresión decimal de los números racionales:
Ejemplos:
a) 7 	= 	7,00
b) – 8 	=	 - 8,00
c) 
	= 	1,25
d) 
 	= 	0, 666... = 0, 6 
			 Número decimal con período puro
e) 
 	= 	-1,2 
			 Número decimal terminante
f) 
	=	- 0, 6363... = - 0,63 
			 Número decimal con período puro
g) 
	=	0,1666... = 0,16 
			 Número decimal con período mixto
Transformaremos un decimal a una fracción
A) Decimal Exacto:
0,24 = 
En el numerador se pone el número decimal y como denominador la unidad seguida de ceros como cifras tenga la parte decimal.
A) 2,14 = 		D) 1,21 = 
B) 6,213 = 		E) 1, 213 = 
C) 0,2 = 		F) 6, 5 = 
B) Decimal Periódico Puro:
Veamos el siguiente ejemplo:
 0,4242… = 0,42 = 
 3,888… = 3,8 = 3 = 
RECUERDA
En el numerador se pone el periodo y como denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo.
A) 0,2727 … 0, = = 
B) 2,555… 2, = = 
C) 2,2424… 3, = = 
D) 12,666… 12, = = 
C) Decimal Periódico Mixto:
Observemos el siguiente ejemplo:
0,466… 0,46 = 
2,13 = 2 = 2 = 2 = 
RECUERDA
En el numerador se pone la parte no periódica seguida de un periodo, menos la parte no periódica, y como denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo, y tanto ceros como cifras tiene el no periodo.
A) 0,42 = = 
B) 3,13 = 3 = 
c) 2,15 = 2 = 
· OBSERVACIÓN
Existen números con infinitas cifras en su parte decimal y que no presentan período alguno.
Tales números forman parte de un nuevo conjunto de números, “Los Números Irracionales”.
¿QUÉ ES UN NÚMERO IRRACIONAL?
Es todo aquel número que en su parte decimal tiene infinitas cifras decimales sin presentar período alguno.
Estos números constituyen un conjunto numérico denominado CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES y se le representa por I.
Ejemplos:
i) 2,2360679...
ii) 3,14159265...		no presentan
iii) 1,4142135...		Período
iv) 2,71828128...
v) 1,73231...
· NOTA 
I. Los números irracionales no pueden ser representados por fracción alguna.
II. Algunos de estos números irracionales son el resultado de efectuar ciertas operaciones de radicación, por ejemplo: 
 = 1,4142135...
 = 1,73231...
 = 2,2360679...
III. Otros números irracionales son llamados trascendentes como el (se lee número “PI”) y e (se lee número de Neper).
 = 3,14159265...
e = 2,71828128...
IV. El conjunto Q y el conjunto I son disjuntos entre sí 
Q I = 
V. Al conjunto I también se le simboliza por Q ’ 
Ejercicios de aplicación
1. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
a) 3 N			( )
b) 7/5 Z		( )
c) –7 I			( )
d) 
 I			( )
e) 0,3 I			( )
f) 0 Q			( )
g) 2,2360679... I		( )
h) 1,414141... Q		( )
i) 2,71828128... I	( )
j) 
 N			( )
k) 
 Z			( )
l) 1,4142135... I		( )
m) 2,333... Q		( )
n) – 8 N			( )
o) 0 I			( )
p) 1 I			( )
q) 
 Q			( )
r) I			( )
s) 1,7320508 I		( )
t) 
 Z		( )
u) 
 Z		( )
v) 
 Q		( )
2. Coloca (V) ó (F) según convenga:
A) Periódico Puro = 0,26	……………	( )
B) Decimal Exacto = 0,333	……………	( )
C) Decimal Exacto = 0,25	……………	( )
D) Periódico Mixto = 8,72	……………	( )
E) 
Decimal Exacto = 	……………	( )
3. Completa:
6 , 3 2 4
4. Une con flechas:
A) Decimal Exacto	- 0,23
B) D. Periódico Puro	- 0,21
C) D. Periódico Mixto	- 0,4
5. Convierte a fracción:
A) 0,23			C) 8,316
B) 1,43			D) 12,56
6. Convierte a fracción:
A) 0,7			C) 5,16
B) 0,12			D) 12,7
7. Convierte a fracción:
A) 0,27			C) 13,126
B) 7,56			D) 9,637
8. Completa:
a , b c d
9. Une con flechas:
A) D. Exacto	 Denominador 
	 formado por (9)
B) D. Periódico Puro	 Denominador
	 formado por (9) y (0)
C) D. Periódico Mixto	 Denominador 
	 Formado por (0)
10. Que clase de decimal forma:
A) 		 D. Exacto
B) 		 D. P. Puro
C) 		 D. P. Mixto
11. Hallar la fracción generatriz de:
a) 3,62 =
b) 6,3 =
c) 3,618 =
d) 0,357 =
e) 0,357 =
f) 0,357 =
12. Hallar la fracción generatriz de los siguientes decimales periódico puro:
a) 0,3 =
b) 0,4 =
c) 6,81 =
d) 10,31 =
e) 2,01 =
f) 17, 36 =
13. Hallar la fracción generatriz de los siguientes números decimales con periodo mixto:
a) 7,623 =
b) 7,623 =
c) 7,623 =
d) 2,413 =
e) 3,143 =
f) 0,123 =
14. Hallar la fracción generatriz de:
a) 7,39 =
b) 6,86 =
c) 7,423 =
d) 6,359 =
e) 0,127 =
f) 1,34 =
15. 
Efectuar: 
a) 1			b) 2		c) 3
d) 4		e) 5
Tarea Domiciliaria Nº 1
1. Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,012 			5) 0,175 
2) 2,05 			6) 6,12 
3) 0,35 			7) 10,1 
4) 0,105 			8) 12,25
2. Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,63 			6) 0,72 
2) 0,711 			7) 2,2 
3) 5,6 			8) 9,333...
4) 2,54 			9) 1,1818...
5) 0,018 			10) 0,756756....
3. Hallar la fracción generatriz de:
1) 0,17 		6) 2,7666...
2) 0,56 			7) 0,6343434... 
3) 0,125 			8) 2,15666...
4) 1,23 			9) 0,0532
5) 3,165 			10) 1,22363636...
4. Después de efectuar las operaciones indicadas a continuación:
0,2121... – 0,1212... + 0,5666.....
Indicar el numerador de la fracción generatriz.
5. 
¿Qué decimal se obtiene luego de efectuar operaciones en: ?
6. 
Después de efectuar las operaciones indicadas en la expresión: 
Indique el decimal que se obtiene.
7. Efectuar operaciones en:
(2-1 + 3-1) (3-1 + 4-1) (4-1 + 5-1)
Indique luego el número decimal que se obtiene.
8. Señalar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
I. Si 2 1; entonces: 22 12 
II. Como 5 -7; entonces: 52 (-7)2
III. Como –1 2; entonces: (-1)3 (2)3
9. 
 es un:
a) Un número racional 	
b) Un número no racional
c) Un periódico puro	
d) Un decimal exacto
e) Un periódico mixto
10. 
Al efectuar 0,666... – el resultado tiene un período de:
a) 3 cifras	b) 2 cifras	c) 4 cifras
d) 6 cifras	e) No tiene período
11. Señalar la afirmación correcta:
I. 
Todo número racional se puede expresar como (b 0).
II. 0,555... es un número irracional.
III. 0,777 0,77
a) Sólo I	b) Sólo II	c) Sólo III
d) I y II	e) II y III
12. ¿A qué es igual la cuarta parte de E?
E = + 
a) Un décimo	b) Un cuarto	c) 4 décimos
d) 2 décimos	e) 1 centésimo
13. 
Efectuar 0,555… + 
a) 7/9	b) 2/8	c) 7/10
d) 4/11	e) 7/11
14. Hallar la fracción generatriz de los siguientes números decimales con periodo mixto:
a) 7,634	b) 0,1567	c) 1,3456
d) 8,36	e) 7,56
15. Qué decimal se obtiene luego efectuar:
a) 1	b) 2	c) 3
d) 4	e) 5
4
2
11
7
15
7
÷
ø
ö
ç
è
æ
¸
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
42
1
3
1
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2
1
3
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+
÷
ø
ö
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+
+
4
1
3
:
2
1
3
1
4
1
2
12
1
6
1
4
1
:
4
3
3
2
-
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ö
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+
+
÷
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ö
ç
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æ
+
7
2
b
a
25
,
0
3
001
,
0
-
47
60
x
3
1
4
1
4
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
7
6
-
1
7
1
8
-
3
2
4
5
-
4
5
5
6
-
11
7
-
6
1
25
6
100
24
=
100
33
14
99
42
=
9
8
9
35
15
7
90
42
90
4
46
=
=
-
90
1
13
-
90
12
15
32
-
4
-
2
3
5
4
5
3
6
-
3
81
3
8
-
5
32
5
2