2016-11-12

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Análisis Matemático I 
2do Parcial – 12/11/2016 
 
Realizar un ejercicio por hoja. Trabajar en forma prolija y ordenada. Numerar todas las hojas sobre el total de hojas 
entregadas. En todas las hojas colocar: nombre, apellido y comisión. 
 
 
Ejercicio 1: (4 puntos) 
a) Justificar la verdad o falsedad de la siguiente implicación: “Si )(xf es continua en ],[ ba y )()( bfaf = ⇒ 
0)('/),( =∈∃ cfbac ” 
b) ¿Cuál es la diferencia entre mínimo absoluto y mínimo relativo de una función? 
c) Enunciar y demostrar el Teorema del valor medio del Cálculo Diferencial (Teorema de Lagrange). 
d) Definir función cóncava hacia abajo en un intervalo. ¿Cómo es )(xf ′′ en ese intervalo? 
 
Ejercicio 2: (5 puntos) 
Dada la siguiente función 
24
)(
x
x
xf
−
= , analizar: 
a) ¿Cuál es su dominio y cómo se obtiene? Teniendo en cuenta el conjunto dominio ¿cómo se calculan las asíntotas verticales 
 de f ? Dar sus ecuaciones. 
b) Explicar por qué f no tiene asíntotas horizontales. 
c) Indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. Justificar analíticamente la respuesta. 
c1) El punto P(0,0) es un punto de inflexión de la función .f 
c2) La función tiene intervalos de decrecimiento. 
d) Hallar los extremos absolutos de la función f en su dominio. 
e) Luego de realizar un estudio completo de la función: ¿cómo se podría determinar su recorrido o conjunto imagen? 
 
Ejercicio 3: (3 puntos) 
Dada la función ,
1
)(
x
xf = sabiendo que la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto ))(,( afaP es 
a
x
a
y
21
2
+−=
 
 
 
a) Hallar los puntos de intersección de la recta tangente dada con los dos ejes coordenados. 
b) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en el inciso anterior, sea mínima. 
 
Ejercicio 4: (4 puntos) 
a) Definir antiderivada o primitiva de una función f sobre un intervalo .I 
b) Justificar la Verdad o Falsedad de las siguientes proposiciones: 
 b1) dxxgxf )](
2
5
)(3[∫ − = ∫∫ − dxxfdxxg )(2
5
 )(3
 
 b2) ∫∫∫ = dxxgdxxfdxxgxf )( )(5
7
)()(
5
7
 
c) Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II (Regla de Barrow). 
d) Sea f una función definida en .ℜ ¿Cuál es la diferencia entre una integral definida ∫
b
a
dxxf )( y una integral indefinida 
∫ dxxf )( ? 
 
Ejercicio 5: (3 puntos) 
Dada la siguiente función 





≤<
−
≤
=
21
1
1
1
)(
xsi
x
xsie
xf
x
. Calcular la integral de f en su dominio. Clasificar, de acuerdo a 
tipo y carácter. 
Ejercicio 6: (3 puntos) Hallar la primitiva de )2ln()( 2 xxxf =
 
que pasa por el punto P ),0,
2
1
( sin usar tabla.