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Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 15 2. Ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n (� � �� Es aquella que se puede escribir ����� ��� ����� ���� ����� ������ � ����. Salvo casos especiales, los métodos de solución de ED de orden mayor a 1 son complicados y en mucho de estos casos no es posible obtener una solución exacta, debiéndose emplear métodos numéricos para obtenerse soluciones aproximadas. Sólo se tratarán las denominadas a coeficientes constantes. Ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n a coeficientes constantes (EDO L cc). Es aquella que se puede escribir �� ��� �� � �� � ����, �� � 0 y �� � � En el caso particular que ����=0, la ecuación anterior se denomina homogénea (EDO LH cc). 2. 1. Teoremas sobre EDO L de orden n. Teorema: Condición suficiente para unicidad de la solución de una EDO L cc con valores inicial. H) Dado el sistema formado por una EDO L cc de orden � y � condiciones iniciales. ��� �� �� ��� �� � �� � ���� ���� � �� ����� � �� ��������� � ���� ; ���� continua en I T) Existe una única función ��� que satisface el sistema en I Sin demostración.! Este teorema (que en realidad es válido cuando �� son funciones continuas en algún intervalo I) permite concluir que la solución general de �� ��� �� � �� � ���� será una ecuación que contiene � parámetros. Teorema: Principio de la superposición. H) � es solución de ����� ��� ����� ���� ����� ������ � ����� " es solución de ����� ��� ����� ���� ����� ������ � �"��� T) � � + " es solución de ����� ��� ����� ���� ����� ������ � ����� +�"��� Demostración: Por hipótesis: ����� � ����� �� ����� ���� � ���������� " ����� "� ����� "��� � �"���. Sumando m. a m. y sacando factor común se obtiene: ������ � "� ������ �# "#� �����$ ���� "���% � ����� �"���. Usando propiedad lineal de la derivada: ���� "��� � � � "���� ������ � "� ������ � "�# ������ � "���� � ����� �"��� ����� ����� # ����� ��� � ����� �"��� Lo cual prueba la tesis. ! Teorema: Existencia de n funciones linealmente independientes solución de la EDO L cc de orden n H) Dada ������ ���� �������� �� ���� �& ��� � 0 T) Existen � funciones linealmente independientes que la solucionan. Sin demostración.! Teorema: Combinación lineal de la soluciones de una EDO homogénea. H) ���� e "��� soluciones de �� ��� �� ���� �� ������ � 0 �� �" constantes cualesquieras. �� son funciones continuas en algún intervalo I T) ��� � �� ���� +�" "��� también es solución de �� ��� �� ���� �� ������ � 0 Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 16 Demostración: Por propiedades de la derivada ��� � �� ���� �" "���; reemplazando en el 1º miembro de la EDO �� '�� � �" " ( �� '�� �� �" "� ( �� )�� ���� �" "���* Reagrupando, utilizando como factor común a �� a y �": �� + �� � �� �� �� 1 ���-........./.........01� 23 456 7&8 9�7ó;6<�< 6< <&=5>�ó� ?6 �@�A �" + �� " �" "� �� 2 ���-........./.........01� 23 456 7&8 9�7ó;6<�< 6< <&=5>�ó� ?6 �@�A=0, lo que significa que � �1 1 �2 2 verifica �� �� � �� ��� � 0, lo que prueba la tesis. ! 2. 2 Solución general de EDO lineal a coeficientes constantes homogéneas (EDO L CC H) Combinando los teoremas anteriores es posible concluir que para encontrar la solución de una EDO LH de orden � es suficiente encontrar � funciones � linealmente independientes. La solución general será � ∑ �D D�����1� ; �� : constantes. Teorema de la ecuación característica. H) � EF� es solución de �� ��� ���� �������� �� ���� �& ��� � 0 T) G es solución de la ecuación ��G� ����G��� ��G �& � 0 Demostración: Para demostrar este teorema se usará el recurso muy común del “ensayo y error”, que en otras palabras es proponer una solución elegida ya sea azarosamente o con algún criterio intuitivo y aceptarla o descartarla, según se verifique o no la ecuación. Dado que se buscan funciones tales que una combinación lineal de sus derivadas se anule, es bastante lógico pensar que la misma debe tener la particularidad que sus derivadas se parezcan entre sí y a ella misma. Una función que califica es � EF�. Así # � GEF�; ## � G"EF�; ��� � G�EF�. Reemplazando en la EDO homogénea: ��EF� ��GEF� �"G"EF� ��G�EF� � 0 EF���� ��G �"G" ��G�� � 0 Dado que EF� � 0, se necesita entonces que �� ��G �"G" ��G� � 0, que es lo que se pretendía demostrar. ! El lector puede probar la que la recíproca también es cierta. La ecuación �� ��G �"G" ��G� � 0 se denomina ecuación característica, y a su primer miembro, polinomio característico. Dado que trabajaremos sólo con �� � � será un polinomio de grado �, luego por el teorema fundamental del álgebra se sabe tiene � raíces; las que pueden ser reales o complejas, simples o múltiples. Llamaremos G� (D � 1, , �) a dichas raíces. Si las � raíces son distintas se cuenta entonces con las � soluciones linealmente independientes necesarias para formar la solución general (notar que si G� � G" la única solución de IEFJ� KEFL� � 0 es A=0 y B=0, luego EFJ� EFL� son linealmente independientes). De lo contrario, si algunas de las raíces tuvieran orden de multiplicidad mayor a 1, deberán encontrarse las funciones faltantes para completar las necesarias �. Además, para el caso que las raíces sean complejas, deberá realizarse algunas consideraciones para que las soluciones aportadas por este teorema conserven el tratamiento de la EDO en el campo de los reales. Trataremos a continuación los cuatro tipos posibles de raíces del polinomio característico con coeficientes reales, explorando primeramente el caso particular de la de orden 2. Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 17 Teorema: solución general de la EDOLH cc de segundo orden con coeficientes reales según el tipo de raíces de su polinomio característica. H) � �� M � � � 0 ; N�G� � � G" M G � y G� y G" raíces de N�G� T) a) G� y G" raíces reales distintas: � �� EFJ � + �" EFL � b) G� � G" O � �� EFJ � �" � EFJ � c) G�," � P Q R D raíces complejas conjugadas O � �� eTUcos� Rx� �" eTUsen� Rx� Demostración: En todos los casos se buscan un par de soluciones Li. Se sabe que el polinomio � G" M G � tiene exactamente dos raíces, pudiendo ser éstas reales (iguales o distintas) o complejas, dependiendo si M" [ 4�� es positivo, negativo o nulo. Se analizan por separado las tres posibilidades. a) Si M" [ 4�� ] 0, por el teorema de la ecuación característica las funciones EFJ� EFL� son dos soluciones de la EDO. Note que si G� � G" la única solución de IEFJ� KEFL� � 0 es A=B= 0, luego EFJ� EFL� son linealmente independientes. Luegola solución general será: � �� EFJ � �" EFL � � �� E^_^`_L^abcLb � �" E^_d`_L^abcLb � b) Si M" [ 4�� � 0 tiene dos raíces reales iguales, G� � G"1 [ e"3, el teorema de la ecuación característica sólo aporta una de las soluciones � � EFJ � � E� _Lb � . Se debe probar que bajo estas condiciones " � �E� _Lb� es también solución (solución propuesta). Derivando "� � E� _Lb� [ e"3 �E� _Lb� ; "�� � [ e"3 E� _Lb� [ e"3 E� _Lb� eLf3L �E� _Lb� = [ e3 E� _Lb� eLf3L �E� _Lb�. Reemplazando en � �� M � � , se pretende demostrar que se reduce a 0. � �� M � � � � g[ M� E� e"3� M"4�" �E� e"3�h M iE� e"3� [ M2� �E� e"3�j � i�E� e"3�j Simplificando: � �� M � � � [ ME� _Lb� eLf3 �E� _Lb� ME� _Lb� [ eL"3 �E� _Lb�+ ��E� _Lb�= � �� M � � � k�eLf3 � l �E� _Lb� �mnoopqrstsuvweL1f3> k �f3>f3 � l �E� _Lb� � 0. Entonces que � �� M � � � 0 , lo que prueba que " � �E� _Lb� es solución de la EDO si M" [ 4�� � 0 (esto es si [ e"3 es raíz doble de la ecuación característica). Luego la solución general es � �� EFJ � �"� EFJ � � �� E^_ Lb � �"� E^_ Lb � c) N�G� tiene dos raíces complejas conjugadas si M" [ 4�� x 0 . Note que G� � G", luego el teorema de la ecuación característica aporta las dos soluciones Li buscadas. Éstas son � � E�Tyz��� e " � E�T�z���. Así la solución general puede expresarse como ��� � IE�Tyz��� KE�T�z���. El problema radica que estas soluciones son complejas. Usando la forma exponencial de un complejo (ver apéndice): ��� � IET��cos R� D sen R�� KET��cos�[R�� D sen�[R��� Siendo coseno una función par y el seno una impar: ��� � IET��cos R� D sen R�� KET��cos�R�� [ D sen�R��� Reagrupando ��� � �I K�-./.0>J ET�cos R� D�I [ K�-../..0>L ET�sen R�. Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 18 Esta expresión da las soluciones reales y complejas de la ecuación diferencial, aunque en este texto sólo se está interesado en los coeficientes que arrojan valores �� �" reales. Es de observar que ET�cos R� ET�sen R� son funciones linealmente independientes. Luego, la solución general es ��� � ET���� cos R� �"sen R�� . ! Ejemplo: Determinar la expresión general de ��� tal que �� [ 3 � 2 � 0. Resolución: La ecuación característica es G" [ 3G 2 � 0. Las raíces son G�," � –��}�Q`��}�L�f.�."" .� � }Q�" . Las raíces son G� � 2 y G" � 1. Luego la solución general es � ��E�+�"E"� Ejemplo: Determinar la expresión general de y(x) tal que �� � 0. Resolución: La ecuación característica G" 1 � 0. G�," � ��Q√�L�f.�.�" .� � Q"�" . Las raíces son complejas G � Qi . Luego ��� � E ��'������1�� �"�E�� 1��( � ��� � �� cos � �"�E� � Ejemplo: Determinar la expresión general de y(x) tal que �� 2 # � 0. Resolución: La ecuación característica G" 2G 1 � 0. G�," � –�"�Q`�"�L�f.�.�" .� � �"Q�" � [1 . Tiene dos raíces iguales G � [1 entonces la solución general es � ��E�� �" � E�� Ejemplo: Ecuación diferencial con un parámetro. Resolver �� � � � 0, � � �. Resolución: La ecuación característica es G" �G 1 � 0. Las raíces son � � ��Q√�L�f" . Las raíces serán reales; iguales o distintas; o complejas, según el valor de k. Así se distinguen tres casos según �" [ 4 sea positivo, negativo o nulo. Como las soluciones son diferentes, deben tratarse como casos distintos. • �" [ 4 � 0 O k � Q2 la ecuación característica tiene dos raíces reales iguales, O � IE^�L � K�E^�L � • �" [ 4 ] 0 O � � �[∞, [2� � �2, ∞� la ecuación característica tiene dos raíces reales distintas O � IE^�^`�L^aL � KE^�d`�L^aL � • �" [ 4 x 0 O � � �[2,2� la ecuación característica tiene dos raíces complejas O � E^�L � �I ��� i√f��L" xj K�E� i√f��L" xj� El teorema anterior puede generalizarse para una ecuación diferencial ordinaria lineal y homogénea de orden n con coeficientes constantes reales a través del siguiente teorema (el que no se demostrará) Teorema: solución general de la EDOLH de orden n cc reales constantes . H) �� ��� �� ����� ���� # �� � 0 ; N�G� � ��G� ��G��� ����G �� ; polinomio característico de la EDO L H T) la solución general tendrá � sumandos que se determinarán con las siguientes reglas. a) Por cada raíz real simple G de N�G� la solución general tendrá un sumando � EF�. b) Por cada par de raíces complejas simples P Q RD de N�G� la solución general tendrá 2 sumandos: ��E ������R�� �"E ���E��R��. c) Por cada raíz real � de orden de multiplicidad � de N�G� la solución tendrá � sumandos de la forma ���8EF�; � � 0,1, … , �-1. d) Por cada par de raíces complejas múltiples � Q �� de orden de multiplicidad k la solución general tendrá 2� sumandos del tipo �8E ��$I�����R�� I"�E��R��% con � � 0,1, … , �-1 . Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 19 Ejemplo: Determinar la expresión general de ��� tal que 4 ��� [ # � 0. Resolución: La ecuación característica es 4G} [ G � 0. Factorizando 4G} [ G = 4 G kG" [ �fl � 4 G kG [ �"l kG �"l. Las raíces son reales y simples: 0; �" ; [ �" . Luego la solución es � I�E���+I"E�JL�+I}EJL�=I�+I"E��,��+I}E�,�� Ejemplo: Resolver �f� �}� [ 7 �"� [ ��� 6 � 0. Resolución: La ecuación característica es Gf G} [ 7G" [ G 6 � 0. Usando el lema de Gauss pueden determinarse sus raíces (o al menos dos de ellas, para luego de factorizar parcialmente el polinomio y usar la resolvente para determinar las restantes). Las raíces son todas reales y distintas: 3; [1; 1; 2 . La solución es � I�E�}�+I"E��+I}E�+ IfE"� Ejemplo: Resolver ���� 4 ��� 14 ## 4 � 13 � 0, sabiendo que y=cos � la soluciona. Resolución: La ecuación característica es Gf 4G} 14 G" 4G 13 � 0. Para conocer las 4 raíces se usa el hecho que cos � es solución. Ello implica que la ecuación característica admite el cero complejo 0 Q D, � ��� � � E��cos �). La ecuación característica tendrá como factor el polinomio G" 1. Usando cociente de polinomios puede concluirse que Gf 4G} 14 G" 4G 13 � �G" 1��G" 4G 13�. La resolvente permite concluir que las dos raíces restantes serán también complejas: [2 Q 3D. Luego la solución es � I�cos ���+I"�E����+I}E�"�cos �3��+ IfE�"�sen �3��. Ejemplo: Resolver �f� [ 2 �}� 2 � [ � 0. Resolución: la ecuación característica es Gf [ 2G} 2G [ 1 � 0. Las raíces de ésta son G � [1 y G � 1 (con orden de multiplicidad 3). Puede probarse esto utilizando el Lema de Gauss para determinar las dos primeras raíces (1; [1�, usar la regla de Ruffini para factorizar Gf [ 2G} 2G [ 1 � �G [ 1��G 1��G" [ 2G 1�. Finalmente emplear la resolvente para probar que las dos raíces restantes también iguales a 1. La ecuación característica factorizada es entonces Gf [ 2G} 2G [ 1 � �G [ 1�}�G 1�. Luego la solución es � I�E��+I"E�+I}�E�+ If�"E�. Ejemplo: Resolver �f� 6 �"� 9 � 0. Resolución: La ecuación característica es Gf 6G" 9 � 0. Notando que es un trinomio cuadrado perfecto. Gf 6G" 9 � �G" 3�" � 0. Luego el par de raíces complejas Q√3D son raíces cuyo orden de multiplicidad es 2. Luego la solución es � I�� ���$√3 �% I"� �E�$√3 �% I}���$√3 �% If�E�$√3 �% Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactadopor Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 20 2.3. EDO de orden superior No Homogéneas con coeficientes constantes. (EDO L NH c CC). Se mostrará ahora que para determinar todas las soluciones de una EDO Lineal no homogénea (ya sea con coeficientes constantes o variables), solamente se necesita hallar una solución de ella y la solución general de su homóloga homogénea. Teorema: solución general de EDO lineal no homogénea de orden n. H) ��; ��; ; �� ; funciones continuas en [��; ��( 7 e @ son soluciones de �� ��� �� #��� �� ������ � ���� (1) > � �� � �" " �� � es solución general de �� ��� �� #��� �� ������ � 0 (2) T) @ � 7 + > es solución de �� ��� �� #��� �� ������ � ���� Demostración: Por hipótesis: ��� @ �� @���� �� @��� � ������ 7 �� 7� ��� �� 7��� � ���� . Restando m.a.m y sacando factor común ��$ @ [ 7 % ��$ @� [ #7 % ��k @��� [ 7��� l � 0. Haciendo uso de la propiedad de la derivada: k @��� [ 7���l � $ @ [ 7 %���, se tiene que la función � @ [ 7 verifica la (2), luego, es por hipótesis > � @ [ 7 � > . Así @� 7 > . ! Usaremos el teorema anterior para el caso en que todas las �� son constantes. Este teorema permite centrar la atención en la búsqueda de una solución propia 7; solución de �� �� # �� ������ � ����; dado que la solución de �� �� # �� ������ � 0 se determina fácilmente como se hizo en la sección anterior. Notar que esta última solución aporta las � constantes necesarias para formar la solución general. Existen dos métodos, cada uno de ellos tiene ventajas y desventajas. Para usar cualquiera de los métodos la solución de la homogénea �� ��� �� ��� �� ������ � 0 juega un papel importante. El primer método, denominado variación de los parámetros o de las constantes, tiene por ventaja su generalidad, es decir que se aplica a cualquier EDO L NH c CC. Consiste en transformar la EDO en un sistema de � ecuaciones donde las � incógnitas son funciones. El obstáculo en su aplicación está asociado a cálculos enmarañados. El segundo método, denominado coeficientes a determinar lleva corrientemente a cálculos sencillos pero tiene por desventaja su particularidad, dado que solo se aplica a algunas EDO, aquellas en las que intervienen ���� cuyas derivadas tienen formas semejantes a ���� a) Variación de los parámetros Se demostrará este método para una EDO de 2º orden, y luego se generalizará para uno de orden n Teorema: Método de variación de los parámetros para � �� M � � � ���� H) �; " soluciones Li de � �� M � � � 0 � 2 funciones �� derivables / � � � ��� � �"� " � 0��� �� �"� "� � ����3� T) 7 � ����� ���� +�"��� "��� es solución de � �� M � � � ���� Siendo � �� ���� +�" "��� solución de la ecuación homogénea asociada a la que se desea resolver este método consiste en suponer que la solución propia de � �� M � � � ���� será 7 � ����� ���� +�"��� "���. Esta suposición es la que da origen al nombre del método dado que Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 21 se cambian los parámetros �� por las funciones ����� (se hacen variables los parámetros). Se simplifican la notación de las funciones ���� y ����� con � y �� prescindiendo de denotar que dependen de �. Así 7 � �� � +�" " Calculando la primer derivada de #7 � ��� � +�� �� +�"� " �" "� . Reordenando #7 � ��� � �"� "-.../...0 1� 7&8 9�7ó;6<�< ��º 6>53>�ó� ?6 ¢� �� � � �" "� � #7 � �� �� �" "� Calculando la 7££ ##7 � ��� �� �� ��� �"� "� �" "�� La 7 será solución de la EDO � �� M � � � ���� si la verifica. Reemplazando 7 , #7 e ##7 en el primer miembro de la ecuación se tiene: ����� �� �� ��� �"� "� �" "��� M��� �� �" "� � ���� � +�" "� �¤¿? ���� Agrupando los términos que tienen factor común ��. �� §� ��� M �� � �-...../.....01� ¨ �" §� "�� M "� � "-...../.....01� ¨ �� �"� "� ��� ��-.../...0©�ª�b � �¤ ¿? ���� Los 2 términos entre paréntesis son nulos por hipótesis, ya que � E " son soluciones de la EDO homogénea. El tercer paréntesis, también por hipótesis es equivalente a ����3� por la segunda ecuación de �. Entonces, utilizando 7 se redujo la EDO a la identidad ���� = ���� . Por ello es 7 es solución propia ! Ejemplo: Determinar la expresión general de y(x) tal que �� � sec ���. Resolución: Dado que la ecuación característica G" 1 � 0 tiene raíces complejas porque G � Qi entonces 7 � �� cos � �"�E� �. Usando variación de los parámetros se propone la solución 7 � �� cos � �"�E� �. El sistema a resolver es S = « ��� cos � �"� �E� � � 0��� �[�E�� �"� �cos �� � sec � Usando Cramer ��� � ¬ � <6� �o® � >&< �¬¬ ®w � <6� ��ou � >&< �¬ � [�E� � sec � � [¯° � �"� � ¬ ®w � � �ou � <6> �¬¬ ®w � <6� ��ou � >&< �¬ � 1 �� � ± ��� ²� � ± [¯° � ²� � ³�|cos ���| �" � ± �"� ²� � ± 1 ²� � � 7 � �� cos � �"�E� � � ³�|cos ���| ��� � � sen � � > 7 � I� cos � I"�E� � ��� � ³�|cos ���| � sen � . Ejemplo: Determinar la expresión general de y(x) tal que �� � cos ���. Resolución: Dado que la ecuación característica G" 1 � 0 tiene raíces complejas porque G � Qi entonces 7 � I� cos � I"�E� �. Usando variación de los parámetros se propone la solución 7 � �� cos � �"�E� �. El sistema a resolver es S = « ��� cos � �"� �E� � � 0��� �[�E�� �"� �cos �� � cos � . Usando Cramer ��� � ¬ � <6� �®w � >&< �¬¬ ®w � <6� ��ou � >&< �¬ � [�E� � cos � �"� � ¬ ®w � � �ou � >&< �¬¬ ®w � <6� ��ou � >&< �¬ � cos" � Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 22 �� � ± ��� ²� � ± [�E� � cos � ²� � ®wL �" �" � ± �"� ²� � ± cos" � ²� � �" �x sen x cos �� 7 � �� cos � �"�E� � � ®wL �" ��� � �" �x sen x cos �� sen � � 7 � � <6� � y®wµ �y®w � <��L �" � �" � �E� � �" cos � �cos" � sin" �� � �" � �E� � �" cos � Se omite el sumando �" cos �, dado que está incluido dentro de la solución característica (I� cos ��. Luego 7 � �" � �E� � y � > 7 � I� cos � I"�E� � �" � sen � . Usando una demostración similar al caso particular de una EDO de orden 2 hecho anteriormente puede mostrarse Teorema: Método de variación de los parámetros para una EDO L de orden n H) �; "; … ; � soluciones Li de �� ��� �� ���� �� ������ � 0 � � funciones �� derivables / � � ��� �� ��� � �"� " … ��� �� �"� "� … … … … ��� � � 0��� �� � 0… … …��� ����"� �"� "���"� … ��� ������ �"� "����� … �� � ����"� � 0��� ������ � ����3� T) 7 � ����� ���� +�"��� "��� ����� ���� es solución de �� ��� �� ���� �� ������ � ���� Este teorema da la herramienta para resolver una EDO L NH de orden cualquiera. Notar S es un sistema lineal cuyas incógnitas es ��� ; i � 1, … , � . Los coeficientes del sistema lineal son las funciones que generan el espacio solución de la EDO homogénea asociada y las � [ 1 primeras derivadas de cada una. El sistema S puede ser escrito de la forma matricial de la forma ¶ �# � · ¸ ¹¹º � " … ��� "� … ��… … … … ����"� "���"� … ����"� ������ "����� … ������» ¼¼½ ¹̧º ��� �"�…�������� » ¼½ � ¸ ¹¹º 0 0…0������ » ¼¼½ Al determinante de matriz M se la denomina Wronskiano y puede mostrarse que es no nulo si y solo si el conjunto formado por las � � son linealmente independiente (lo que en el teorema anterior está garantizado por hipótesis). Esto conlleva que el sistema S es compatible determinado y permite encontrar las � funciones ���. Integrándolas se pueden encontrar las �� buscadas. Ejemplo: Resolver ��� # � sec �. Resolución: La ecuación característica es G} G � �G" 1� G � 0. Tiene dos raíces complejas simples (G � Qi� y una real, también simple (G � 0). Luego > � �� cos � �"�E� � �} Usando variación de los parámetros se propone la solución 7 � �� cos � �"�E� � �}. El sistema a resolver es S = ¾ cos � ��� �E� � �"� 1 �}� � 0[�E� � ��� cos � �"� 0 �}� � 0[ cos � ��� [ �E� � �"� 0 �}� � sec � . Usando Cramer Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 23 ��� � ¿ � <6� � �� ®w U �o® � �<6�� �¿¿ ®w � <6� � ��<6� � ®w U �� ®w � �<6�� �¿ � ��� � [1 � �� � ± ��� ²� � ± [1 ²� � �� � [� �"� � ¿ ®w � � ��<6� � � �� ®w � <6> � �¿¿ ®w � <6� � ��<6� � ®w U �� ®w � �<6�� �¿ � �;À �� ; � �" � ± �"� ²� � ± [¯° � ²� � ³� |cos �| �}� � ¿ ®w � <6� � ��<6� � ®w U �� ®w � �<6�� o® �¿¿ ®w � <6� � ��<6� � ®w U �� ®w � �<6�� �¿ � o® �� . � �} � ± �}� ²� � ± �E� � ²� � ³�|sec � ¯°�| Reemplazando en 7 � �� cos � �"�E� � �}. 7 � �[�� cos � �³�|cos �|��E�� ³�|sec � ¯° � |; � > 7 � �� cos � �"�E� � �} [ � cos � �E�� ³�|cos �| ³�|sec � ¯° �| Ejemplo: Optativo. Resolver �f� [ �"� � ��ÁL�4�" [ 15� Resolución: La ecuación característica es Gf [ G" � �G" [ 1�G" � 0. Tiene 4 raíces reales, dos simples (G � Q1� y una doble (G � 0). Luego > � I� I"� I}E� IfE�� Usando variación de los parámetros se propone la solución 7 � �� �"� �}E� �fE�� El sistema a resolver es S = ��� �� ��� � �"� E� �}� E�� �f� � 0 �"� E� �}� [ E�� �f� � 0 E� �}� E�� �f� � 0 E� �}� [ E�� �f� � ��ÁL�4�" [ 15� . Matricialmente el sistema será Ã1 �0 1 E� E��E� [E��0 00 0 E� E��E� [E��Ä º̧ ��� �"� �}� �f� » ½ � Å 000��ÁL�4�" [ 15�Æ. El wronskiano será Ç1 �0 1 E� E��E� [E��0 00 0 E� E��E� [E��Ç � [2. Usando Cramer ��� � ÇÇ � �� � 6ª 6^ª6ª �6^ª� ��^ÁL�f�L���� � 6ª 6^ª6ª �6^ªÇÇ�" � }��^ÈL�É�^JL�" � 4��JL [ 15��ÈL; luego �� � ± k4��JL [ 15��ÈLl ²� � 8�JL 10��µL �"� � ÇÇ � � � � 6ª 6^ª6ª �6^ª� �� �^ÁL�f�L���� 6ª 6^ª6ª �6^ªÇÇ�" � }��^ÁLyÉ�^µL�" � 15��ÁL [ 4��µL luego �" � ± k15��ÁL [ 4��µLl ²� � [6��ÈL 8��JL Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 24 �}� � ÇÇ � �� � � 6^ª � �6^ª� �� � � 6^ª�^ÁL�f�L���� �6^ªÇ Ç �" � ���^ÁL6^ª�f�^µL6^ª�" � [7,5��ÁLE�� 2 ��µLE�� ; luego �} � ± k2��µLE�� [ 7,5��ÁLE��l ²� � 3��ÈLE�� [ 2 ��µLE�� �f� � Ç� �� � 6ª 6^ª6ª �6^ª� �� � 6ª 6^ª6ª �6^ªÇ�" � ����^ÁL6ªyf�^µL6ª�" � 7,5��ÁLE� [ 2��µLE� ; luego �f � ± k7,5��ÁLE� [ 2��µLE�l ²� � [ 3��ÈLE� [ 2 ��µLE� Finalmente 7 � �� �"� �}E� �fE�� � k8�JL 10��µLl k[6�[52 8�[12l � k3��ÈLE�� [ 2 ��µLE��l E� k[ 3��ÈLE� [ 2 ��µLE�l E�� � 16√�. � > 7 � I� I"� I}E� IfE�� 16√� Luego de los ejemplos anteriores puede notarse que este método es eficaz, dado que, siempre que se conozcan las soluciones de la ecuación características, es posible resolver la EDO L NH, cualquiera sea la ����. Sin embargo, aún en casos sencillos, necesita de numerosos cálculos muchas veces latosos. Sin embargo son algoritmizables, por lo que los SAC lo utilizan. Por fortuna, para las ���� más frecuentes en problemas de física e ingeniería, es posible utilizar un método más eficiente ya que logra resolver las EDO con menos cálculos, denominado “coeficientes indeterminados”, el que se desarrollará en el siguiente apartado. b- Coeficientes a determinar (o coeficientes indeterminados). Como se expresó anteriormente este método es una regla particular para resolver la ecuación �� ��� �� ���� �� ������ � ����. Se podrá usar sólo si ���� tiene la forma: E3 �'Î���� cos�M�� ÏF��� sen�M��( , Siendo Î���� y ÏF���; polinomios de grado � y G respectivamente y � y M constantes. Notar que ���� puede tener distintas formas de acuerdo a los distintos parámetros, muchas presente frecuentemente en ecuaciones que modelan problemas reales de economía, ingeniería o biología. Por ejemplo: ���� � Î���� ; ����=�E3 � ; ����=� cos�M��; ����=E3 �Î����; ����=� E3 � cos�M��; ; ���� � Î�����E��M��; Se aplica para dichas funciones porque ellas tienen derivadas que conservan sus características al derivar: esto es, una combinación lineal de sus derivadas tendrá la misma forma. Este método consiste en plantear una solución que se “sospecha” factible. Se ilustrará el método con algunos ejemplos sobre cómo elegir dicha función, para luego formalizar la elección. Ejemplo: Resolver la ecuación �� [ � 4�" [ 3 Resolución: La ecuación característica es G" [ 1 � 0. Tiene 2 raíces reales (G � Q1� Luego > � ��E� �"E��. Para la solución propia se debe proponer una posible. Dado que buscamos una función que derivada dos veces y sumada a su opuesta ser un polinomio de grado 2 ( 4�" [ 3) “conjeturaremos” que 7 � I�" K� Ð (esto es porque �� [ tiene altas probabilidades de ser también un polinomio de grado 2). Se deben determinar los coeficientes A , B y C para que 7 verifique la EDO. Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 25 7 � I�" K� Ð �7 � 2I� K ##7 � 2I Ñ Reemplazando en �� [ � 4�" [ 3 2AÓ2��Ô [ �I�" K� Ð-..../....0�2Ô � 4�" [ 3. � [I�" [ K� 2I [ Ð= 4�" [ 3 Para obtener la solución debemos pensar que se buscan dos polinomios idénticos, y que esto se logra sólo si los coeficientes homólogos son iguales. Esto lleva a plantear el sistema: ¾ [I � 4[K � 02I [ Ð � [3 �D°��³��²� ��E�D�DE�¯E� ²E �"��D°��³��²� ��E�D�DE�¯E� ²E x �D°��³��²� ¯E�GD��� D�²ENE�²DE�¯E�� 86<&=Õ�6�?&Ö×××××××Ø � I � [4K � 0Ð � [5 Siendo 7 � [ 4�" [ 5, la solución de la EDO dada será � I�E� I"E�� [ 4�" [ 5 Ejemplo: Resolver la ecuación �� [ � cos ��� Resolución: La ecuación característica es G" [ 1 � 0. Tiene 2 raíces reales (G � Q1� Luego > � ��E� �"E��. Para la solución propia se debe proponer una factible. Se “conjetura” 7 � I ������ K �E����. Se deben determinar los coeficientes A y B para que 7 verifique la EDO. 7 � I ������ K �E���� #7 � [I �E���� K ������ ##7 � [I ������ [ K �E����Ù reemplazando en �� [ � cos ��� $[I ������ [ K �E����%-......./.......02��Ô [ $I ������ K �E����%-....../......02Ô � cos ��� [2I ������ [ 2K �E���� � cos ���. Para que esta expresión sea una identidad los coeficientes se elegirán con las condiciones:Ú[2I � 1[2K � 0 D°��³��²� ��E�D�DE�¯E� ²E ������D°��³��²� ��E�D�DE�¯E� ²E �E���� 86<&=Õ�6�?&Ö×××××××Ø �I � [ 12K � 0 Luego 7 � [ �" ������ y la solución general es � ��E� �"E�� [ �" ������. Notar que aquí también, al igual que en el ejemplo anterior, la elección de la solución propia se fundamenta en el hecho que tanto ella como sus derivadas pueden son combinaciones lineales de la función ���� Ejemplo: Utilizar el mismo método anterior para resolver �� � cos ���. Resolución: La ecuación característica G" 1 � 0 tiene raíces complejas porque G � Qi entonces 7 � �� cos � �"�E� �. Dado que buscamos una función que al sumarle su segunda derivada de cos��� al igual que en el ejemplo anterior, se puede imaginar una 7 � I ������ K �E����. Procediendo de igual manera: 7 � I ������ K �E���� #7 � [I �E���� K ������ ##7 � [I ������ [ K �E����Ù Reemplazando en �� � cos ��� $[I ������ [ K �E����% $I ������ K �E����% � cos ��� Sumandos los términos homólogos se obtiene ¡0 � cos ���! Se obtuvo un sistema incompatible (recordar que la ecuación debe verificarse Û �) ¿Porqué en el caso anterior el método permitió encontrar la solución y en éste no? La respuesta es sencilla: la función “supuesta” no fue la correcta. Un lector avezado pudo notar que si la solución complementaria es > � I ������ K �E����, nunca pudo tener la misma “forma” la solución propia (la primera debe verificar �� � 0 y la Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 26 segunda �� � cos ���). Es por ello que es neurálgico para este método conocer la solución complementaria, porque en el caso que la propuesta hubiese coincidido la misma, se debe elegir otra. La selección se hace con similar criterio, esto es buscar una función cuyas derivadas conserve las características de ����. La técnica es proponer la misma que se eligió anteriormente, pero multiplicada por �. Ejemplo: Resolver ejercicio anterior; �� � cos ���, usando 7 � ��I cos � K �E� �� Resolución: 7 � ��I cos � K �E� �� #7 � I cos � K �E� � ��[I �E� � K cos �� ##7 � [I �E� � K cos � �[I �E� � K cos �� ��[I ��� � [ K sen �� Agrupando términos y reemplazando en �� � cos ��� [2I �E� � 2 K cos � ��[I cos � [ K sen ��-............../..............02��Ô ��I cos � K �E� ��-....../......02Ô � cos ��� Simplificando: [2I �E� � 2 K cos � � cos ���. Ú[2I � 02K � 1 D°��³��²� ��E�D�DE�¯E� ²E �E����D°��³��²� ��E�D�DE�¯E� ²E ������ 86<&=Õ�6�?&Ö×××××××Ø �I � 0K � 12 7 � �" �E� � . La solución general es � �� cos � �"�E� � �" � �D����. El ejemplo anterior es uno de los que se resolvió como ilustración del método de variación de los parámetros. Notar que los cálculos fueron aquí más sencillos. El éxito del método “coeficientes a determinar” para encontrar la solución propia de una EDO L NH c CC depende de la correcta elección de la solución propuesta. Para una buena elección plantear una forma análoga a ���� y compararla con la solución característica, si está contenida en ella, se debe multiplicar por � (¡y repetir el procedimiento!) Ejemplo: Resolver la ecuación ��� [ �� � 4� Resolución: La ecuación característica es G} [ G" � G"�G [ 1� � 0. Tiene todas raíces reales, una simple (G � 1� y una doble (G � 0�. Esto hace que > � ��E� �"E�.� �}�E� � ��E� �" �}� Dado que ���� � 4� es un polinomio de primer grado, la función “imaginada” es otro polinomio del mismo grado: 7 � I� K . Notar que esta solución está contenida en > (en �" �}�). Se propone entonces 7 � ��I� K�= I �" K�. Pero parte de ésta �K�� también incluida en > (en �}�). Se formula entonces 7 � �"�I� K� � I�} K�" , notar que ninguno de los sumandos está comprendido en > � ��E� �" �}�. 7 � I� } K�" #7 � 3I �" 2K� ��7 � 6I� 2K ###7 � 6I Ü�Ý �Þ Remplazando en ��� [ �� � 4� � 6I [ �6I� 2K� � 4 � Luego, para que la anterior resulte una identidad: [6I � 46I [ 2K � 0ß � � I � [ "}K � [2 Siendo entonces 7 � [ "} �} [ 2�" y � I�E� I" I}� [ "} �} [ 2�". Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 27 �� ��� �� ���� �" �"���� �� ������ � ���� (1) �� ��� �� ���� �" �"���� �� ������ � 0 (2) Reglas para proponer la solución propia de (1): I) Si ����=E3 �Î���� � àá � âã äå��ä�; Î���� y Ï���� polinomios de grado � II) Si ���� � E3 �)Î�J��� cos�M�� æ�L �x�sen�M��* � àá � âã ä'å��ä� çèé�êä� ë��ä� éìí�êä�( Siendo Î�J y æ�L polinomios de grado �� y �" respectivamente; ÏF y æF polinomios de grado G � G� �����, �"� III) Si luego de aplicar las dos reglas anteriores algún sumando de àá está contenido en la solución complementaria multiplique la àá anterior por el factor ä�, donde k es el menor entero positivo tal que ningún termino de ä� àá pertenece a àð Ejemplo: Para cada EDO proponer (no resolver) la solución propia para el método de coeficientes indeterminados �� [ ��� 3 �� [ 4 � �E��3�� M� [ ��� 3 �� [ 4 � �" sin��� ������� �� [ ��� 3 �� [ 4 � � E"� ²� 2 �� 4 � �E��2�� 3�cos ��) E� �� [ 4 � � ��� �� ��� ## [ 2 � � [�ñ��� Resolución: En todos los casos, para proponer correctamente es conveniente conocer la solución complementaria. (EC: Ecuación característica) �� EC: [G} 3G" [ 4 � [�G [ 2�"�G 1�; > � I�E"� I"�E"� I}E�� � 7 � I�E��3�� K����3�� M� [ ��� 3 �� [ 4 � �"Ó7&=��&F�& À83?& " sin��� �m7&=��&F�& À83?& � ������ EC: [G} 3G" [ 4 � [�G [ 2�"�G 1�; > � I�E"� I"�E"� I}E�� � 7 � �I�" K� Ð��E���� �ò�" ó� ô�cos ��� �� [ ��� 3 �� [ 4 � �m7&=��&F�& À83?& � E "� . EC: [G} 3G" [ 4 � [�G [ 2�"�G 1�; > � I�E"� I"�E"� I}E�� � 7 � �"�I� K�E"� � �I�} K �"�E"� Advertir que no pudo elegirse �I� K�E"� ya que está contenida en la solución complementaria y tampoco ��I� K� porque parte de ésta está contenida en > ²� 2 �� 4 � �E��2�� 3�cos ��) EC: 2G" 4 � 0; � G � Q√2 � > � I����√2� I"�D�√2� Para esta EDO conviene utilizar el principio de superposición ya que el seno y el coseno no tienen el mismo argumento (uno tiene 2� y el otro � ) Para: 2 �� 4 � �E��2�� 7� � I�E��2�� K����2�� Para: 2 �� 4 � 3� cos��� 7" � �I� K��E��3�� �Ð� ò�����3�� E� �� [ 4 � � ���. No es posible utilizar el método de coeficientes a determinar, dado que ��� � �� no es una de las funciones a la que se le pueda aplicar el método. Notar que una combinación lineal de las derivadas de �� jamás podrá ser ��. �� ��� ## [ 2 � � [2�ñ��� : Si bien no es posible utilizar el método de coeficientes a determinar directamente, dado que 2�ñ��� no es una de las funciones que califica para aplicarlo, es posible hacerlo si se utiliza la equivalencia �ñ��� � 6ª�6^ª" . Se debe resolver ��� ## [ 2 � � [E� E��. Usando elprincipio de superposición, es conveniente encontrar la solución propia de ��� ## [ 2 � � [E� y ��� ## [ 2 � � E�� Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 28 separadamente. La ecuación característica es G} 2G" [ 2G � G�G [ 1��G+2). Luego > � I� I"E� I}E�"� Para ��� ## [ 2 � � [E� 7� � I � E� (dado que I E� está incluida en >) Para ��� �� [ 2 � � E�� 7" � K E�� Ejemplo: Resolver la ecuación ��� [ 4 � � �" � �E��2�� Resolución: La ecuación característica es G} [ 4G � �G [ 2��G 2�G � 0. Tiene 3 raíces reales simples. Luego > � I�E"� I"E�"� I}. Usando el principio de superposición, se resolverán por separado ��� [ 4 � � �" y ��� [ 4 � � � �E��2�� • ��� [ 4 � � �". Dado que �" es un polinomio de segundo grado, se propone 7 ���I �" K� Ð�. Notar que si se adoptara I �" K� Ð, "Ð" está incluida en la > (representada por I}� 7 � I �} K�" Ð� #7 � 3I �" 2K� Ð ��7 � 6I � 2K ���7 � 6I Ü�Ý �Þ sustituyendo en ��� [ 4 � � �" � 6I [4(3I �" 2K� Ð)= �" Igualando los coeficiente de ambos polinomios � 6I [ 4Ð � 0 [8K � 0[12I � 1 86<&=Õ�6�>&Ö×××××××Ø ö I � [ ��" K � 0Ð � [ �É , luego 7� � [ 112 �} [ 18 � • ��� [ 4 � � � �E��2��. La f(x)=� �E��2�� tiene la forma ���� � E3 �)Î�J��� cos�M�� æ�L �x�sen�M��( siendo P � 0; Î�J��� � 0; æ�L � �; M � 2. Como el grado de P es ��=0 y el de R �" � 1, los polinomios que multiplicarán a �E��2�� y a ����2�� serán de grado 1. Se propone 7 � �I� K � �E��2�� �Ð� ò�cos �2�� �7 � �I [ 2ò [ 2Ð�� sen�2�� �Ð 2K 2I�� cos�2�� ���7 � �[12I 8ò 8Ð�� sen�2�� �[12Ð [ 8K [ 8I�� cos�2��; sustituyendo en ��� [ 4 � � � �E��2�� � �[12I 8ò 8Ð�� sen�2�� �[12Ð [ 8K [ 8I�� cos�2�� [4'�I [ 2ò [ 2Ð�� sen�2�� �Ð 2K 2I�� cos�2��(= � �E��2�� Igualando los coeficiente ö [12I 8ò [ 4I 8ò � 0 8Ð 8Ð � 1[12Ð [ 8K [ 4Ð [ 8K � 0 [8I [ 8I � 0 86<&=Õ�6�?&Ö×××××××Ø ö I � ò � 0 K � [ ��÷Ð � ��÷ 7" � [ ��÷ �E��2�� ��÷ x cos �2�� . Luego, usando el principio de superposición > � I�E"� I"E�"� I} [ 112 �} [ 18 � [ 116 �E��2�� 116 � cos �2�� Ejemplo: Resolver �� � � � E��, siendo � una constante real. Resolución: La solución complementaria depende de � (ver el ejemplo en EDO Homogéneas). Así > � ��� ����E^�L � �"�E^�L � si k � Q2 ��E^�^`�L^aL � �"E^�d`�L^aL � � � �[∞, [2� � �2, ∞�E^�L � ��� ��� i√f��L" xj �"�E� i√f��L" xj� �D � � �[2,2� Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 29 Para determinar la propia, usando el coeficiente a determinar se propone como solución 7 � Ð E��, salvo para el caso en que k � 2, dado que en ese caso la solución propia conjeturada anteriormente está incluya en la complementaria. Caso a) � � 2 � 7 � Ð E�� ; #7 � [Ð E�� ; ##7 � Ð E�� Reemplazando �� � � � ÐE�� [ �ÐE�� ÐE�� � E�� � Ð [ �Ð Ð � 1 Ð�2 [ �� � 1 � Ð � �"�� � 7 � �"�� E�� Caso b) � � 2 > � ��E�� �"�E�� � 71Ð�"E�� � #7 � Ð�2�E�� [ �"E��� � ##7 � Ð�2E�� [ 2�E�� [ 2�E�� �"E��� � ÐE���2 [ 4� �"�. Reemplazando en la EDO �� 2 � � E��, � ÐE���2 [ 4� �"� 2Ð�2�E�� [ �"E��� Ð�"E�� � E�� � ÐE���2 [ 4� �" 4� [ 2�" �"� � E�� � 2C=1 � Ð � �" . 7 � �" �"E��. En resumen: � ��� �� ��� � ��E�� �"�E�� 12 �"E�� si k � 2 ��E� �"�E� 14 E�� si k � [2 ��E���√�L�f" � �"E��y√�L�f" � 12 [ � E�� � � �[∞, [2� � �2, ∞�E��" � øI� ��� g√4 [ �"2 xh I"�E� g√4 [ �"2 xhù 12 [ � E�� �D � � �[2,2� Ejercicios propuestos sección 2 Ecuaciones lineales de segundo orden. 1. Resuelva las siguientes diferenciales: a) " [ 3 ′ 2 � 0 (Rta: � ��E� �"E"�) b) 3 " [ 8 ′[ 3 � 0 (Rta: � ��E�ªµ �"E}�) c) " 2 ′ 10 � 0 (Rta: � E����� cos 3� �"�E�3�)) d) " � (Rta: � ��E� �"E��) e) " 25 � 0 (Rta: � �� cos 5� �"�E�5�) f) 2 " ′ � 0 (Rta: � �� �"E�� "ú ) g) " [ ′ 2 � 0 (Rta: � E�/"��� cos √ü" � �"�E� √ü" �) ) h) ?L2?�L 2 ?2?� [ � 0 (Rta: � ��E$��y√"%� �"E$���√"%� ) i) 2 ?L2?�L ?2?� 3 � 0 (Rta: � E�� fú ý�� cos�√23 � 4�ú �" sen�√23 � 4�ú þ� 2. Resuelva el problema con valor inicial: a) " 3 ′ [ 4 � 0; ��� � 2, ´��� � [3 (Rta: � E� E�f�) b) " [ 2 ′ 2 � 0; ��� � 1, ´��� � 2 (Rta: � E��cos � �E� �)) c) " [ 2 ′ [ 3 � 0; ��� � 3, ´��� � 1 (Rta: � 2E��� E}�����) d) " 9 � 0; �� }ú � � 0, ´�� }ú � � 1 (Rta: � [ �} �E� 3�) 3. Resuelva – si fuese posible - cada problema con valor en la frontera: a) " 4 ′ 4 � 0; ��� � 0, ��� � 3 (Rta: � 3�E�"�y"� b) " � 0; ��� � 0, ��� � 0 (Rta: Sin solución) 4. a- Demuestre que el problema con valor en la frontera y" αy � 0, y��� � 0, y��� � 0, tiene sólo la solución trivial y � 0, para los casos α � 0 y α x 0. Cátedra Análisis Matemático II Ecuaciones Diferenciales Sección 2: EDO de orden superior Redactado por Mg. Sonia Pastorelli- año 2010/2011 Página 30 b- Para el caso α ] 0, determine los valores de α para los que este problema tiene una solución distinta de la trivial, y proporcione la solución correspondiente. Rta: b- P � �"�"��", � es un entero positivo, y=C sen (������) Ecuaciones lineales no homogéneas. 1. Resuelva la ecuación diferencial o el problema con valor inicial, utilizando el método de los coeficientes indeterminados. a) " [ ′[ 6 � cos 3x (Rta: � ��E}� �"E�"� [ �üÉ cos 3� [ �üÉ sen 3�) b) y" [ 4y′ 4y � e�U (Rta: y � e"U�c�x c"� �� e�U) c) y" 36y � 2x" [ x (Rta: y � c� cos 6x c" sen 6x kUL�Él [ k U}÷l [ �}"f) d) y" [ 2y′ 5y � x sen 3x, y��� � 1, y′��� � 2 (Rta: y � eU k�"}÷�� cos 2x ü�ü�}�� sen 2xl �� x ""� }"÷ cos�3x� [ ��} sin �3x � ) e) y" [ y � xe}U, y��� � 0, y′��� � 1 (Rta: y � �É eU [ �ü}" e�U e}U k�É x [ }}"l) 2. Escriba una solución de prueba para el método de los coeficientes indeterminados. No determine los coeficientes: a) " 2 ′ 6 � �fE"� (Rta: 7 � �I�f K�} Ð�"ò� ó�E"�� b) " [ 2 ′ 2 � E� cos � (Rta: 7 � �E��I cos � K sen ��) 3. Resuelva la ecuación diferencial utilizando: (a) coeficientes indeterminados, y (b) variación de parámetros: a) " 4 � � (Rta: � �� cos 2� �" sen 2� �f �� b) " [ 2 ′ � E"� (Rta: � ��E� �"�E� E"�� 4. Resuelva la ecuación diferencial empleando el método de la variación de parámetros: a) " � sec � , 0 x � x �" (Rta: � ��� �� sen � ��" ln cos �� cos �� b) " [ 3 ′ 2 � ��y6^ª (Rta: � '�� ln�1 E���(E� '�" [ E�� ln�1 E���(E"�) c) " [ � 1 �ú (Rta: � ý�� [ �" ± 6ª� ²�þ E�� ý�" �" ± 6^ª� ²�þ E�� 5. Optativo: Mostrar, utilizando al menos dos métodos, que� � � ± ��¯� �E���� [ ¯�²¯�� es una solución propia de �� �" � ����. Ayuda: Resolver verificando y usando variación de los parámetros. 6. Seguramente el lector notó que al determinar las �� en el método de variación de los parámetros usando ± ��� ²� se omitió en la resolución de las integrales la constante de integración. Dar razones para dicha omisión. 7. Resolver usando coeficientes indeterminados y variación de los parámetros las EDO a) ′′′ [ 4 ′ � 4 (Rta: [� I K E" � Ð E�"�) b) ′′′ 4 ′ � 4 (Rta: � I K��� 2� Ð�E� 2�) c) ′′′ 4 ′′ � 4 (Rta: �L" I E�f� K Ð�) 8. Movimiento del proyectil en un medio viscoso: Encontrar la posición � del proyectil de masa G disparado desde (0,0) con rapidez � y ángulo sobre la horizontal α, suponiendo que después de disparado, además la fuerza gravitacional existe una de rozamiento que es proporcional y opuesta a la velocidad ô � [� G ��� . Utilizar un SAC para comparar las trayectorias a iguales � y α con y sin rozamiento. (Rta: � �¯� � $��¯�; �¯�% siendo: ��¯� � ��"�� � ��� α �1 [ � E��;� � �¯� � ��"�° [ ° � ¯ � � �E� α[ ° E��; [ � � �E� α E��; �
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