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Análisis Matemático I Final abril 2022 Para aprobar deberá resolver correctamente, como mínimo 3 ejercicios de teoría y 2 de práctica. Parte teórica 1- a) Defina limites laterales. Represente gráficamente. b) Enuncie el Teorema e existencia de límite de una función. 2- a) Enunciar la relación entre continuidad y derivabilidad de una función en un punto. b) Dar un ejemplo analítico de una función continua pero no derivable en 𝑥 = 2, luego graficar dicha función. 3- a) Definir extremos absolutos y relativos. b) Explicar la diferencia entre extremo absoluto y extremo relativo. c) Definir punto crítico de una función. 4- a) Dada la función 𝑓(𝑥) = √4 + 𝑥, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓′(5) a partir de la definición de la derivada de una función en un punto. ¿Qué representa geométricamente 𝑓’(5)? 5- a) Definir antiderivada general de una funcion. b) Analiticamente que representa la solucion de la integral indefinida? Y geometricamente? Parte practica 1- Calcular el area de la region sombreada. Aplique integrales. 2- Aplicando diferenciales calcular cos 30,4° + ln 0,96 3- Dadas las graficas de las funciones f y g fundamente y determine: 𝑓(𝑥) = √4 + 𝑥, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓′(5) 𝑓′(𝑎) = lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑥 − 𝑎 𝑓′(5) = lim 𝑥→5 √4 + 𝑥 − 3 𝑥 − 5 = 0 0 𝑓′(5) = lim 𝑥→5 √4 + 𝑥 − 3 𝑥 − 5 ∗ √4 + 𝑥 + 3 √4 + 𝑥 + 3 𝑓′(5) = lim 𝑥→5 (√4 + 𝑥) 2 − 32 (𝑥 − 5). (√4 + 𝑥 + 3) 𝑓′(5) = lim 𝑥→5 4 + 𝑥 − 9 (𝑥 − 5). (√4 + 𝑥 + 3) 𝑓′(5) = lim 𝑥→5 𝑥 − 5 (𝑥 − 5). (√4 + 𝑥 + 3) 𝑓′(5) = lim 𝑥→5 1 √4 + 𝑥 + 3 𝑓′(5) = 1 6 𝑓(𝑥) = √4 + 𝑥 𝑓′(𝑥) = 1 2. √4 + 𝑥 𝑓′(5) = 1 6 𝐴 = 2 ∗ 𝐴1 𝐴1 = ∫ [√4 − 𝑥 2 − 𝑥] 1 0 𝑑𝑥 𝐴1 = ∫ √4 − 𝑥 2 1 0 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 1 0 𝑑𝑥 𝐴1 = [ 1 2 . 𝑥. √4 − 𝑥2 + 2. sin−1 ( 𝑥 2 )] 0 1 − 1 2 . 𝑥2|0 1 𝐴1 = [( 1 2 . 1. √4 − 12 + 2. sin−1 ( 1 2 )) − (0 + 0)] − 1 2 . (1 − 0) 𝐴1 = 1 2 . √3 + 2. sin−1 ( 1 2 ) − 1 2 𝐴 = 2 ∗ 𝐴1 Calculo auxiliar ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥 = 2. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑥 = 2. cos 𝜃 𝑑𝜃 √4 − 𝑥2 = 2. cos 𝜃 ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 2. cos 𝜃 2. cos 𝜃 𝑑𝜃 = 4. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 4. [ 1 2 cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 1 2 𝜃] + 𝐶 ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 2. cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 2. 𝜃 + 𝐶 ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 2. √4 − 𝑥2 2 . 𝑥 2 + 2. sin−1 ( 𝑥 2 ) + 𝐶 ∫ √4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 1 2 . 𝑥. √4 − 𝑥2 + 2. sin−1 ( 𝑥 2 ) + 𝐶 Calculo auxiliar 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ cos 𝜃 . 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 𝑢 = cos 𝜃 → 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑣 = cos 𝜃 𝑑𝜃 → 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃) 𝑑𝜃 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + ∫ 𝑑𝜃 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + ∫ 𝑑𝜃 2. ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 = cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝜃 + 𝐶 ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝜽 = 1 2 cos 𝜃 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 1 2 𝜃 + 𝐶 2- diferenciales calcular cos 30,4° + ln 0,96 𝑦 = cos 𝑥 𝑥0 = 30° 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 0,4° = 0,4. 𝜋 180 𝑑𝑦 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦(𝑥0) = −𝑠𝑒𝑛 30°. 0,4. 𝜋 180 = −0,00349 𝑦(𝑥0) = cos 30° = 0,86 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≈ 𝑑𝑦(𝑥0) + 𝑦(𝑥0) cos 30,4° ≈ −0,00349 + 0,86 0,862 ≈ 0,856 𝑦 = ln 𝑥 𝑥0 = 1 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = −0,04 𝑑𝑦 = 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦(𝑥0) = 1 1 . − 0,04 = −0,04 𝑦(𝑥0) = ln 1 = 0 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≈ 𝑑𝑦(𝑥0) + 𝑦(𝑥0) ln 0,96 ≈ −0,04 + 0 −0,040 ≈ −0,04 cos 30,4° + ln 0,96 ≈ 0,856 + (−0,04) ≈ 0,816 (𝑓 − 𝑔)(2) = 𝑓(2) − 𝑔(2) = 3 − 5 = −2 (𝑔 ∗ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∗ 𝑓(𝑥) = [4,15] x f g f*g -1 1 4 4 0 2 4 8 1 2,5 4,5 11,25 2 3 5 15 3 2 5,2 10,4 4 1,1 5,5 6,05 5 1,5 5,2 7,8 6 2 5 10 𝐷𝑜𝑚 (𝑔 + 𝑓) = 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−1,6] ∩ [−1,8] = [−1,6] 𝑔(2) = 5 𝑓(5) = 4 (𝑓𝑜𝑔)(2) = 5 𝑓(4) = 3 𝑔(3) = 4,8 𝑔[𝑓(4)] = 4,8 𝑔(−2) = 1 𝑔(1) = 4 (𝑔𝑜𝑔)(−2) = 4
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