CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-35 - Eduardo González

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11.24 
11.25 
11.26 
11.27 
11.28 
CUADERNO DE E.tERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LIMITES Y CONTINUIDAD 
/ím 1 - cos x = lím ( 1 - cos x ) ( 1 + cos x ) = lím 
x___.o X x___.O X(1+COSX) x___.O 
1- COS 
2 
X 
X ( 1 + COS X) = 
2 
= lím sen x = lím sen x lím sen x ( 1 ) O 0 
X~ 0 X ( 1 + COS X ) X.____. 0 X X.____. 0 1 + COS X = 1 + 1 = 
( cos 9 - 1 ) ( cos 9 + 1 ) 2 
lím 
cos 9-1 = lím = lím cos 9-1 = 
9~0 92 9~o 2 9 ( cos 9 + 1) 9~ o 2 9 ( cos 9 + 1) 
2 
-sen 9 1 1 1 
lím = - ( /ím sen o r lím = --- = --
9~0 2 9 ( cos 9 + 1) 9~0 9 9~0 cos 9 + 1 1 + 1 
lím tan x = lím ( sen x _1_ ) = ( ! ) = 1 
X ~o X X ~o X cos X 1 
l , 1 - COS X [, ( 1 - COS X ) ( 1 + COS X ) [, 1 - COS 
2 
X 
zm x = zm = zm -------
x ~ 0 X Sen X X ~ 0 X sen X ( 1 + COS X ) X~ 0 X Sen X ( 1 + COS X ) 
= lím 
2 
sen x 
l
, senx 
1
, zm -- zm 1 ---= 
x ~ 0 X sen X ( 1 + COS X ) X ~ 0 X X~ 0 1 + COS X 
, { x + 2 ~ sen x ) 
2 
, x 2 + 4 x 1 sen x + 4 sen x 
= lzm = lzm "' 
x~O x x--+0 x 
2 
1 
1 + 1 
= 
1 
2 
= lzm - + "' + = lzm x + 4 lzm sen x + 4 lím -- = 4 
, 
( 
x
2 
4x 
1 
sen x 4 senxJ , ~ , sen x 
x--+0 X X X x--+0 x~O x~O X 
lím 
cosx-1 
= lím 
( COS X -1) ( COS X + 1) 
= lím 
cos 2x -1 
x--+0 cos
2
x -1 x~O ( COS 2 X -l) ( COS X + 1) x~O ( COS 2 X -1) ( COS X + 1) 
= lím 1 1 1 
x--+0 cosx + 1 1+1 2 
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CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LIMITES Y CONTINUIDAD 
Obtener los siguientes límites cuando x tiende al infinito si es que existen: 
11.29 
Dividiendo numerador y denominador entre x 2 , queda: 
1 - 6 ( _!_ ) + 4 ( -
1 
) lím 1 - 6 lím ( _!_ ) + 4 lím ( _!_ ) 
2 
fím X X 2 = X ~ ex:> X ~ ex:> X X ~ ex:> X = 1-6 ( 0) + 4 ( 0) = 1 
X~<Xl 1 ( 1) (1) (1) 2+0-7(0) 2 + - - 7 - lim 2 + lím - - 7 lim -
X X2 X~cx:> X~cx:> X x~cx:> X 
2 
11.30 
Dividiendo numerador y denominador entre x 3 se obtiene: 
( 1 ) ( 1 )
2 
( 1 )
3 
3 - -5 - +2 -
fím X X X = 3 ( 0 ) - 5 ( 0 ) + 2 ( 0 ) = 0 = O 
X~ ex:> ( 1 ) ( 1 ) 3 1 + 4 ( 0)- 6 ( 0) 1 
1+4 - -6 -
X X 
11.31 lím 
4 2 
x - 3x + 1 
X~<Xl 3 
2x -4x+7 
Dividiendo numerador y denominador entre x 4 
1-3(-x1)2 +(x1)4 
lím x 
4 
- 3 x 
2 
+ 1 = lím ____ .:::.__..2_.-~~--- = 1 - 3 ( O ) + O = _!_ = 00 
x~cx:>2x3-4x+7 x-+cx:> (1) (1)3 (1)4 2(0)-4(0)+7(0) O 
2 X -4 X + 7 X 
se observa que el límite no existe, el valor de la función tiende al infinito cuando 
X ----)> 00 . 
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CUADERNO DE E.IERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
LIMITES Y CONTINUIDAD 
11.32 Para la función 
f (X)= { _:: 
si X < 1 
si X > 1 
Calcular los límites laterales en x 1 1 e indicar si tiene límite en este punto. 
SOLUCIÓN: 
f (X) 
lím 
x_,.l + 
f (X) = 
2 
X 1 
lím ( - x 2 ) = -1 
x_,.l+ 
Como lím f (X) -:1= f ( x ) , el límite lím f ( x ) no 
X--+ J 
existe. 
11.33 Dada la función 
g(x)= 
X 
- + 1 
2 
(X - 2 ) 2 
Calcular lím g ( x ) si es que existe. 
x--+2 
SOLUCIÓN: 
si X ~ 2 
si X > 2 
Como x 1 = 2 es el valor de x donde cambia la regla de correspondencia, 
deben calcularse los límites laterales en ese punto 
lím g ( x) = lím ( ~ + 1 ) = 2_ + 1 = 2 
x_,.z- x_,.2- 2 2 
lím g ( x) = lím ( x - 2 ) 2 = ( 2 - 2 ) 2 = O 
x_,.z+ x_,.2+ 
Los límites laterales en x 1 = 2 son diferentes, entonces la función no tiene 
límite cuando x tiende a 2 . 
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