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CALCULO INTEGRAL PRIMITIVA O ANTIDERIVADA Toda función 𝐹(𝑥) diferenciable en un intervalo 𝐼 se llama primitiva o antiderivada de la función 𝑓(𝑥) en dicho intervalo si 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ 𝐼 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑥: variable de integración 𝑓(𝑥): integrando 𝐹(𝑥) + 𝐶: integral indefinida de f Toda primitiva o antiderivada difiere en una constante. INTEGRALES INMEDIATAS Son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin más que considerar las reglas de derivación. Ejemplos: I. ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 II. ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≠ 1 III. ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 IV. ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 Propiedades de integrales indefinidas ∫ 𝑘. 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 = 𝑘. ∫ 𝑓(𝑥). 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑅 ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Cuando la antiderivada o primitiva de la función no puede determinarse aplicando integrales inmediatas, se emplean métodos. 1- MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE Sea la integral 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 donde f es una función compuesta en la variable x. Para determinar la antiderivada de 𝑓 se tomara una nueva variable, por ejemplo 𝑢 tal que 𝑥 = 𝑔(𝑢). Como 𝑥 = 𝑔(𝑢) → 𝑑𝑥 = 𝑔′(𝑢). 𝑑𝑢 Sustituyendo en I y resolviendo: 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑢)) 𝑔′(𝑢). 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 Se sustituye 𝑢 = 𝑔(𝑥) → 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 Ejemplo: ∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥2 − 1) 𝑑𝑥 𝑢 = (3𝑥2 − 1) 𝑑𝑢 = 6𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 6 = 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥2 − 1). 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 6 = 1 6 . ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − 1 6 . cos 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥2 − 1) 𝑑𝑥 = − 1 6 . cos(3𝑥2 − 1) + 𝐶 2- MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES Este método permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse como el producto de una función por la derivada de otra función. ∫ 𝒖. 𝒅𝒗 = 𝒖. 𝒗 − ∫ 𝒗. 𝒅𝒖 Un método practico para elegir la función u es con la palabra ILATE (inversa, logarítmica, algebraica, trigonométrica, exponencial). ∫ 𝑥2 . ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = ln 𝑥 → 𝑑𝑢 = 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥2 𝑑𝑥 → 𝑣 = 𝑥3 3 ∫ 𝑥2 . ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 . ln 𝑥 − ∫ 𝑥3 3 . 1 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2 . ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 . ln 𝑥 − 1 3 . ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2 . ln 𝑥 𝑑𝑥 = 1 3 . 𝑥3. ln 𝑥 − 1 9 . 𝑥3 + 𝐶 3- MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Este método, el cual es un caso especial de cambio variable, permite integrar cierto tipo de funciones algebraicas, si un integrando contiene una expresión de la forma: √𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 √𝒂𝟐 + 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 √𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 𝑥 = 𝑎. sin 𝜃 𝑑𝑥 = 𝑎. cos 𝜃 𝑑𝜃 √𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎. cos 𝜃 √𝒂𝟐 + 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 𝑥 = 𝑎. tan 𝜃 𝑑𝑥 = 𝑎. 𝑠𝑒𝑐2𝜃 𝑑𝜃 √𝑎2 + 𝑥2 = 𝑎. sec 𝜃 √𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 𝑥 = 𝑎. sec 𝜃 𝑑𝑥 = 𝑎. sec 𝜃 . tan 𝜃 𝑑𝜃 √𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎. tan 𝜃 4- MÉTODO POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES O PARCIALES Este método permitirá integrar funciones de la forma 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) donde f y g son funciones polinomiales. Primer caso: el grado de 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑔(𝑥) entonces realizamos la división de polinomios 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∗ 𝐶 + 𝑅 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥) ∗ 𝐶 + 𝑅 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥) ∗ 𝐶 𝑔(𝑥) + 𝑅 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ [𝐶 + 𝑅 𝑔(𝑥) ] 𝑑𝑥 = ∫ 𝐶 𝑑𝑥 + ∫ 𝑅 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑪 𝒅𝒙 + ∫ 𝑹 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 Segundo caso: el grado de 𝑓(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑔(𝑥) entonces tenemos descomposición de fracciones simples Raíces reales simples: 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). (𝑥 − 𝑏) 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐴 𝑥 − 𝑎 + 𝐵 𝑥 − 𝑏 → ∫ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝐴 𝑥 − 𝑎 𝑑𝑥 + ∫ 𝐵 𝑥 − 𝑏 𝑑𝑥 En este caso integrando cada factor devuelve una función logarítmica Raíces reales múltiples: 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)𝑛. (𝑥 − 𝑏)𝑚 Ejemplo: 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)3. (𝑥 − 𝑏)2 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝐴 (𝑥 − 𝑎)3 + 𝐵 (𝑥 − 𝑎)2 + 𝐶 𝑥 − 𝑎 + 𝐷 (𝑥 − 𝑏)2 + 𝐸 𝑥 − 𝑏 → ∫ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝐴 (𝑥 − 𝑎)3 𝑑𝑥 + ∫ 𝐵 (𝑥 − 𝑎)2 𝑑𝑥 + ∫ 𝐶 𝑥 − 𝑎 𝑑𝑥 + ∫ 𝐷 (𝑥 − 𝑏)2 𝑑𝑥 + ∫ 𝐸 𝑥 − 𝑏 𝑑𝑥 ∫ 𝐴 (𝑥 − 𝑎)3 𝑑𝑥, ∫ 𝐵 (𝑥 − 𝑎)2 𝑑𝑥, ∫ 𝐷 (𝑥 − 𝑏)2 𝑑𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA Definición: El área (𝐴𝑆) de la región 𝑆 del plano acotado por las gráficas de 𝑦 = 𝑓(𝑥), las líneas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 y el eje de las abscisas, está dada por 𝑨𝑺 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ ∑ 𝒇(𝒄𝒊) 𝒏 𝒊=𝟏 ∆𝒙𝒊 INTEGRAL DEFINIDA Definición: Sea una función f continua definida para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, la integral definida de f de a en b, simbolizada como ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 está dada por: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ ∑ 𝒇(𝒄𝒊) 𝒏 𝒊=𝟏 ∆𝒙𝒊 ÁREA COMO INTEGRAL DEFINIDA 𝑨 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 𝒔𝒊 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Propiedad 1: Si 𝑓 es integrable en [𝑎, 𝑏] y 𝑘 cualquier constante real ⟹ ∫ 𝑘 𝑏 𝑎 . 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Propiedad 2: Si las funciones f y g son integrales en [𝑎, 𝑏] ⟹ ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Propiedad 3: 𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ⟹ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑎 𝑏 𝑑𝑥 Propiedad 4: 𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 ⟹ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑎 𝑎 𝑑𝑥 = 0 Propiedad 5: Si 𝑐 es un número tal que 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 ⟹ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑐 𝑎 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑐 𝑑𝑥 Propiedad 6: Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ⟹ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Propiedad 7: Si 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, ⟹ 𝑚. (𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ≤ 𝑀. (𝑏 − 𝑎) PRIMER TEOREMA DEL CÁLCULO INTEGRAL Si 𝑓 es continua en [𝑎, 𝑏], entonces la función 𝑔 definida por 𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑥 𝑎 𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, es continua en [𝑎, 𝑏] y derivable en (𝑎, 𝑏) y 𝒈′(𝒙) = 𝒇(𝒙) SEGUNDO TEOREMA DEL CÁLCULO INTEGRAL (Regla de Barrow) Sea 𝑓 una función continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y sea 𝐹 una primitiva de 𝑓 en [𝑎, 𝑏] tal que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ⟹ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑥)|𝑎 𝑏 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA APLICACIONES GEOMÉTRICAS Área de una región plana. Longitud de curvas. Superficie lateral. Volumen de sólido de revolución. APLICACIONES FÍSICAS Trabajo realizado por una fuerza. Centro de gravedad de líneas, superficies y cuerpos. Momento de inercia de secciones planas. Presión de fluidos. ÁREA DE REGIONES PLANAS 𝑨 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 𝑨 = ∫ 𝒇(𝒚) 𝒅 𝒄 𝒅𝒚 𝑨 = ∫ [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] 𝒃 𝒂 𝒅𝒙 VOLÚMENES - MÉTODO DE DISCOS: la figura que obtenemos es una superficie de revolución EJE DE REVOLUCIÓN HORIZONTAL 𝑽𝒙 = 𝝅. ∫[𝒇(𝒙)] 𝟐 𝒂 𝟎 𝒅𝒙 EJE DE REVOLUCIÓN VERTICAL 𝑽𝒚 = 𝝅. ∫[𝒇(𝒚)] 𝟐 𝒃 𝟎 𝒅𝒚
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