Derivadas_3

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CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA 
Las condiciones suficientes para la existencia de extremos relativos contenidos en 
el siguiente teorema: 
Teorema 
Sea 𝑓 continua en [𝑎, 𝑏] que contiene al punto 𝑥0 y 𝑓’(𝑥) existe para todo 𝑥 ∈
(𝑎, 𝑏) excepto posiblemente en 𝑥0, si: 
i. 𝑓′(𝑥) < 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑥0) 
 → 𝒇(𝒙𝟎) 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝑴𝑰𝑵𝑰𝑴𝑶 𝑹𝑬𝑳𝑨𝑻𝑰𝑽𝑶 𝒅𝒆 𝒇 
𝑓′(𝑥) > 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑏) 
 
 
 
ii. 𝑓′(𝑥) > 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑥0) 
 → 𝒇(𝒙𝟎) 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝑴𝑨𝑿𝑰𝑴𝑶 𝑹𝑬𝑳𝑨𝑻𝑰𝑽𝑶 𝒅𝒆 𝒇 
𝑓′(𝑥) < 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑏) 
 
iii. Si 𝑓′(𝑥) tiene el mismo signo ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑥0) ∪ (𝑥0, 𝑏) →
 𝒇(𝒙𝟎) 𝑵𝑶 𝑬𝑺 𝑬𝑿𝑻𝑹𝑬𝑴𝑶 𝑹𝑬𝑳𝑨𝑻𝑰𝑽𝑶 
 
 
 
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 
El siguiente teorema permite determinar la existencia, o no, de extremos relativos 
de 𝑓. 
Teorema 
Sea una función f derivable en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑥0 y sea 
𝑥0 un PUNTO CRITICO de f en el que 𝑓’(𝑥0) = 0 (punto estacionario), si existe 
𝑓′′(𝑥0) y: 
i) Si 𝑓′′(𝑥0) < 0 → 𝒇(𝒙𝟎) 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝑴𝑨𝑿𝑰𝑴𝑶 𝑹𝑬𝑳𝑨𝑻𝑰𝑽𝑶 𝒅𝒆 𝒇 
ii) Si 𝑓′′(𝑥0) > 0 → 𝒇(𝒙𝟎) 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝑴𝑰𝑵𝑰𝑴𝑶 𝑹𝑬𝑳𝑨𝑻𝑰𝑽𝑶 𝒅𝒆 𝒇 
iii) Si 𝑓′′(𝑥0) = 0 este criterio no decide y ha de recurrirse al Criterio de la 
Primera Derivada. 
 
PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA 
a) Obtener la derivada primera de f. 
b) Determinar los Puntos Estacionarios 𝑓′(𝑥) = 0 
c) Obtener la derivada segunda de f. 
d) Aplicar el teorema y decidir. 
 
EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN 
Definición de máximo absoluto 
Se dice que una función f tiene un MAXIMO ABSOLUTO en un punto 𝑥0 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 
tal que 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0) ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓. El numero 𝑓(𝑥0) es el valor máximo absoluto 
de la función. 
Definición de mínimo absoluto 
Se dice que una función f tiene un MINIMO ABSOLUTO en un punto 𝑥0 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 
tal que 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0) ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓. El numero 𝑓(𝑥0) es el valor mínimo absoluto 
de la función. 
 
 
 
Teorema del valor extremo. Teorema de WEIERSTRASS 
Si 𝑓 es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], entonces f tiene un máximo y un 
mínimo absoluto en [𝑎, 𝑏]. 
 
Método para determinar los extremos absolutos de una función continua en 
[𝒂, 𝒃] 
1°- Determinar los números críticos o puntos críticos de 𝑓, si existen. 
2°- Determinar los valores que toma la función en cada punto crítico en (𝑎, 𝑏). 
3°- Determinar los valores que toma la función en los extremos del intervalo 
[𝑎, 𝑏]. 
4°- El mayor valor de los valores de la función determinados en los pasos 
anteriores en el Máximo Absoluto de 𝑓. 
5°- El menor valor de los valores de la función determinados en los pasos 
anteriores en el Mínimo Absoluto de 𝑓. 
 
Ejemplo 
Sea la función f definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 16 𝑒𝑛 [−3,2] 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 16𝑥 
𝑓′(𝑥) = 0 
4𝑥3 − 16𝑥 = 0 
4𝑥. (𝑥2 − 4) = 0 
4𝑥 = 0 → 𝑥 = 0 
𝑥2 − 4 = 0 → 𝑥 = ±2 
x 0 -2 2 -3 2 
𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 16 16 0 0 25 0 
𝑓(−3) = 25 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 
𝑓(−2) = 𝑓(2) = 0 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 
 
CONCAVIDAD DE UNA FUNCION 
Definición de función cóncava hacia arriba 
Se dice que la gráfica de f es CÓNCAVA HACIA 
ARRIBA en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) si existe 𝑓′(𝑥0) 
y si existe un intervalo (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑥0 
tal que ∀ 𝑥 ≠ 𝑥0 𝑦 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), el punto (𝑥, 𝑓(𝑥)) 
en la gráfica está arriba de la recta tangente a la 
gráfica en (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) 
 
 
 
 
Definición de función cóncava hacia abajo 
Se dice que la gráfica de f es CÓNCAVA HACIA 
ABAJO en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) si existe 𝑓′(𝑥0) 
y si existe un intervalo (𝑎, 𝑏) que contiene a 𝑥0 
tal que ∀ 𝑥 ≠ 𝑥0 𝑦 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), el punto (𝑥, 𝑓(𝑥)) 
en la gráfica está abajo de la recta tangente a la 
gráfica en (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) 
TEOREMA DE CONCAVIDAD 
Sea una función 𝑓 cuya derivada segunda existe en algún intervalo abierto (𝑎, 𝑏): 
a. Si 𝑓′′(𝑥) > 0 ∀ 𝑥 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (𝑎, 𝑏), entonces la gráfica de f es 
CONCAVA HACIA ARRIBA en (𝑎, 𝑏) 
b. Si 𝑓′′(𝑥) < 0 ∀ 𝑥 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (𝑎, 𝑏), entonces la gráfica de f es 
CONCAVA HACIA ABAJO en (𝑎, 𝑏) 
 
DEFINICION INTUITIVA DE PUNTO DE INFLEXION 
Se dice que la gráfica de una función continua en 𝑥0, tiene un punto de inflexión 
en (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) si la curva cambia de concavidad al pasar por el punto 𝑥0 
 
DEFINICIÓN DE PUNTO DE INFLEXION 
Sea una función 𝑓 continua en 𝑥0. Un punto (𝒙𝟎, 𝒇(𝒙𝟎)) es PUNTO DE INFLEXION 
de la gráfica de 𝑓, si la curva tiene allí recta tangente y existe un intervalo (a, b) 
que contiene a 𝑥0 tal que para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏): 
a) 𝑓′′(𝑥) < 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑥0) y 𝑓
′′(𝑥) > 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑏) 
b) 𝑓′′(𝑥) > 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑥0) y 𝑓
′′(𝑥) < 0 ∀ 𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑏) 
 
CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE PUNTO DE INFLEXION 
Es importante destacar que la definición dada anteriormente nada dice sobre la 
existencia, o no, de 𝑓′′(𝑥0) para que haya Punto de Inflexión. 
 
 
 
Teorema 1: 
Si 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) es un Punto de Inflexión de la gráfica de 𝑓, entonces 
𝒇′′(𝒙𝟎) = 𝟎 ó 𝒇
′′(𝒙𝟎) 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆. 
Teorema 2: 
Si la función f es derivable en algún intervalo (a, b) que contiene a 𝑥0 y si 
(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) es Punto de Inflexión de la gráfica 𝑓 en el cual existe 
𝒇′′(𝒙𝟎) 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒇
′′(𝒙𝟎) = 𝟎. 
Reciproco del Teorema 2 
La anulación de la segunda derivada de f en el punto de su dominio 𝑓′′(𝑥0) = 0 
no es suficiente para garantizar la existencia de Puntos de Inflexión 
APLICACIONES DE LA DERIVADA 
 Ejercicios Recta Tangente y Normal. 
 Ejercicios de Estudio de Funciones. 
 Problemas de aplicación de recta tangente y normal. 
 Problemas de Optimización. 
 Graficas. 
 
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 
Ejercicio: 
Se dispone de 200 m de alambre para cercar un terreno rectangular. Determine 
las dimensiones del terreno de área máxima que se puede delimitar con la 
cantidad de alambre disponible. 
Paso a): Identificar la magnitud a optimizar 
De acuerdo al enunciado lo que se quiere que se maximice es el área del 
rectángulo a la llamaremos A. 
 
Paso b): Expresar la magnitud en función de variables 
Para expresar la magnitud a optimizar hacemos un esquema del terreno 
rectangular y le asignamos nombres a las dimensiones desconocidas. 
 
 y 𝑨(𝒙, 𝒚) = 𝒙. 𝒚 (1) 
 
 x 
Paso c): Expresar la magnitud a optimizar en función de una sola variable 
La expresión (1) depende de dos variables desconocidas. Para que quede en 
función de una sola variable hacemos uso de los datos brindados. 
 
 
Dato: 200 m para cercar el terreno (perímetro) 
𝑃 = 200 𝑚 
𝑃 = 2. (𝑥 + 𝑦) ; 2. (𝑥 + 𝑦) = 200 → 𝑦 = 100 − 𝑥 (2) Expresión que 
vincula las variables desconocidas. 
Reemplazando (2) es (1): 
𝐴 = 𝑥. (100 − 𝑥) ; 𝑨(𝒙) = 𝟏𝟎𝟎. 𝒙 − 𝒙𝟐 
Esta última expresión es la que se trabajará. 
Paso d): Derivar la función obtenida 
Derivar A 
𝐴′(𝑥) = 100 − 2. 𝑥 
Paso e): Encontrar los puntos estacionarios 𝒇’(𝒙) = 𝟎 
 𝐴′(𝑥) = 100 − 2. 𝑥 = 0 → 100 − 2. 𝑥 = 0 → 𝑥 = 50 
Paso f): Obtener la segunda derivada 
𝐴′′(𝑥) = −2 
Paso g): Aplicar el Criterio de la Segunda Derivada 
𝐴′′(50) = −2 < 0 → 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝒙 = 𝟓𝟎 𝒎 𝒆𝒍 𝒂𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒔 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒂 
 
Paso h): Determinar el valor de las otras variables 
Según (2) 
𝑦 = 100 − 𝑥 
𝑦 = 100 − 50 = 50 → 𝒚 = 𝟓𝟎 𝒎