Cálculo de áreas - Ejemplos

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CALCULO I
Profesora: Lic. Nelida Pérez				nldprz797@gmail.com
nperez@unlc.edu.ar
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOS COMECHINGONES
Departamento de Ciencias Ambientales y Gestión del Agua
CARRERA: LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA ATMÓSFERA Y METEOROLOGÍA APLICADA
Cálculo de Áreas
Aplicaciones de la Integral
Recordamos las propiedades de la integral definida:
Estas propiedades pueden interpretarse y mejorar su comprensión si
si las analizamos pensando en términos de áreas.
Área encerrada entre f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b
Si f(x) es una función que es siempre positiva en el intervalo [a,b], la integral definida de la función entre las rectas y nos da el área bajo la curva entre y .
Ejemplo: Calcular el área de la región limitada por el eje x, y 
las rectas 
El área entre f(x), el eje x, y las rectas x=-1 y x=2 es 3 unidades cuadradas.
Calculando la integral:
f(x) ≥ 0 en el intervalo [-1,2]
¿Qué pasa si la función se encuentra por debajo del eje x? Es decir, ¿Qué pasa si la función es siempre negativa en el intervalo [a,b]?
Área encerrada entre , el eje x y las rectas x=a y x=b, cuando 
Se calcula usando alguna de integrales siguientes, que son equivalentes.
Calculando la integral:
f(x) ≤ 0 en el intervalo [-1,2]
Ejemplo: Calcular el área de la región limitada por el eje x, y las rectas 
¿Qué pasa si la función, en el intervalo [a,b] toma valores que están por encima del eje x y también valores que están por debajo del eje x? Es decir, hay zonas donde es positiva y zonas donde es negativa.
Así el Área total de f(x) entre las rectas x=a y x=b, y el eje x es:
CONCLUSIÓN: En los casos en los que toma valores positivos y negativos, debemos calcular cada área por separado y sumarlas
Veamos el siguiente ejemplo..
Aquí estamos usando la siguiente propiedad:
Calcular la integral de la función en el intervalo [ –π/2 , π] 
Calculamos la integral, aplicando la regla de Barorow, obtenemos:
Atención!! 
Este es el valor de la integral de la función en el intervalo dado, pero no es el valor del área, ya que tiene tramos positivos y tramos negativos!!!
¿Cómo se procede si se desea calcular el área de la región limitada por el eje x, 
 las rectas ?
Es importante analizar la gráfica
tiene zonas por encima del eje x
Y zonas por debajo
Se quiere calcular el área encerrada entre dos funciones ¿Cómo procedemos?
Para el caso de la gráfica adjunta, las funciones se cruzan en los puntos a, c, y b, generando dos regiones. Debemos calcular el área de cada una de ellas, de manera separada, luego sumarlas
Observemos que en ambos casos, la función que se encuentra por encima, la mayor, va primero
Esto, para recordarlo suele llamársele “TECHO – PISO”
El área total es:
Ejemplo: calcular el área entre las curvas
Queremos hallar el área encerrada entre ellas.
Para ellos debemos encontrar previamente los puntos de intersección de las funciones, que es donde se separan dichas partes.
Igualamos ambas funciones, despejamos x y obtenemos
Observemos que el área encerrada, está dividida en dos partes.
Verificar en el gráfico
TECHO
PISO
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