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Métodos Numéricos Objetivo Comprender la importancia del uso de los métodos numéricos aplicado a problemas relacionados de ingeniería. Introducción Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas, los cuales en muchos casos se realizan con un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Métodos sin Computadora La disponibilidad creciente de las computadoras y su asociación con los métodos numéricos han influido de manera significativa en el proceso de la solución actual de los problemas de ingeniería. Antes de la computadora 1. Se encontraban las soluciones de algunos problemas usando métodos exactos o analíticos. 2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones gráficas, las cuales tomaban la forma de gráficas o monogramas. 3. Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de cálculo. Importancia de Estudiar Métodos Numéricos 1. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. 2. En el transcurso de la carrera, es posible que usted como estudiante tenga la oportunidad de utilizar paquetes disponibles comercialmente, o programas “enlatados” que contengan métodos numéricos. 3. Hay muchos problemas que no pueden resolverse con programas “enlatadas”. 4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras. 5. Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas. Métodos Numéricos que se Considerarán Cifras Significativas Son las que aportan alguna información. Representa el uso de una o más escaladas de incertidumbre en determinadas aproximaciones. Cifra Significativa El concepto de cifra significativa o dígitos significativos se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Son aquellas que pueden utilizarse en forma confiable. Exactitud y Precisión La exactitud se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos. Sesgo La inexactitud o sesgo se define como una desviación sistemática del valor verdadero. Incertidumbre La imprecisión o incertidumbre se refiere a la magnitud en la dispersión de los disparos. Conclusión Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería. También debe ser suficientemente precisos para ser adecuados al diseño de la ingeniería. Errores Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemáticas exactas. Éstas incluyen los errores de truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos. Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t indica que se trata del error “verdadero” (true). Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero: Ejercicio Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y un remache, y se obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm. Calcule A. El error verdadero. B. El error relativo porcentual verdadero en cada caso. Si observamos en las fórmulas anteriores E y Ɛ tienen un subíndice t que significa el error ha sido normalizado al verdadero. Sin embargo, en las situaciones reales a veces es difícil contar con tal información. En los métodos numéricos, el valor verdadero sólo se conocerá cuando tengan funciones que se resuelven analíticamente. En estos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la estimación posible al error verdadero Donde el subíndice significa que el error está normalizado en un error aproximado. Uno de los retos que enfrentan los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia del conocimiento de los valores verdaderos. Ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular los resultados. En tales procedimientos se hace una aproximación considerando la aproximación anterior. Por lo tanto el error relativo porcentual está dado por: Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos. Si la aproximación es mayor que el valor verdadero, el error es negativo; si la aproximación es menor que el valor verdadero, el error es positivo. No importa mucho el signo del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada Ɛs [Ɛa] < Ɛs Es conveniente también relacionar estos errores con el número de cifras significativas en la aproximación. Es posible demostrar que si el siguiente criterio se cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas. Estimación del error con métodos iterativos En matemáticas con frecuencia las funciones se representan mediante series infinitas. Por ejemplo, la función exponencial se calcula usando Cuanto más términos se le agreguen a la serie, la aproximación será cada vez más una mejor estimación del valor verdadero. La ecuación se conoce como expansión en series de Maclaurin. Ejercicio Empezando con el primer término ex = 1 y agregando término, estime el valor de e0.5. Después de agregar cada término, calcule los errores: relativo porcentual verdadero y normalizado a un valor aproximado usando las ecuaciones anteriores respectivamente. Obsérvese que el valor verdadero es e0.5 = 1.648721. Agregues términos hasta que el valor absoluto el error aproximado Ɛa sea menor que un criterio de error preestablecido Ɛs con tres cifras significativas. Errores de Redondeo Los errores de redondeo se originan debido a que la computadora emplea un número determinado de cifras significativas durante un cálculo. Sistemas Numéricos Es simplemente una convención para representar cantidades. Esta representación pueden ser de forma decimal o binario de acuerdo a la alternativa que lo represente. Representación Entera Para concebir que los enteros se puedan representar en la computadora, se usa el método de magnitud con signo y emplea el primer bit de una palabra para indicar el signo: con un 0 para positivo y un 1 para negativo. Rango de Enteros Ejercicio Determine el rango de enteros de base 10 que pueda representarse en una computadora de 16 bits. Representación del punto-flotante Las cantidades fraccionarias generalmente se representan en la computadora usando la forma de punto flotante. Con este método, el número se expresa como una parte fraccionaria, llamada mantisa o significando, y una parte entera, denominada exponente o característica, esto es, Determine un conjunto hipotéticos de números con punto flotante para una máquina que guarda información usando palabras de 7 bits. Emplee el primer bit para el signo del número, los siguientes tres para el signo y la magnitud del exponente, y los últimos tres para la magnitud de la mantisa. En la figura se presentan diversos aspectos de la representación de punto flotante, que son importantes respecto de los errores de redondeo en las computadoras. ● El rango de cantidades que puede representarse es limitado. ● Existe sólo un número finito de cantidades que pueden representarse dentro de un rango. ● El intervalo entre los números Δx, aumenta conforme a los números crecen en magnitud. Objetivo Estudiar diversos métodos para resolver ecuaciones no lineales en una incógnita, f(x) = 0, aprovechandolos conceptos básicos del cálculo y las posibilidades gráficas y de cómputo de la tecnología moderna. Introducción Uno de los problemas más frecuentes en ingeniería es encontrar las raíces de ecuaciones de la forma f(x) = 0, donde f(x) es una función real de una variable x, como un polinomio en x Existen distintos algoritmos para encontrar las raíces o ceros de f(x) = 0, pero ninguno es general, es decir, no hay un algoritmo que funcione con todas las ecuaciones. En muy pocos casos es posible obtener las raíces exactas de f(x) = 0, como cuando f(x) es un polinomio factorizable, tal como Método Gráfico Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0 consiste en graficar la función y observar dónde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x) = 0, ofrece una aproximación inicial de la raíz. Ejercicio Utilice el método gráfico para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10s. La aceleración de la gravedad es de 9.81 m/s2 Dato Las técnicas gráficas tiene un valor práctico limitado, ya que no son precisas. Sin embargo, los métodos gráficos se utilizan para obtener aproximaciones de la raíz. Dichas aproximaciones se pueden usar como valores iniciales en los métodos numéricos analíticos. La interpretaciones gráficas, además de proporcionar estimaciones de la raíz, son herramientas importantes en la compresión de las propiedades de las funciones y en la prevención de las fallas de los métodos numéricos. Método de Bisección El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. Ejercicio 2 Emplee el método de bisección para resolver el problema anterior. Criterios de paro y estimaciones de errores Se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuándo debe de terminar el método. Una sugerencia inicial sería finalizar el cálculo cuando el error verdadero se encuentre por debajo del nivel prefijado. Por lo tanto, es necesario estimar el error de forma tal que no se necesite el conocimiento previo de la raíz. Continuar el ejemplo anterior hasta que error aproximado sea menor que el error estimado y error verdadero Aunque el error aproximado no proporciona una estimación exacta del error verdadero, la figura que se muestra sugiere que Ɛa toma la tendencia general descendente de Ɛt. Además la gráfica muestra una característica muy interesante: que Ɛa siempre es mayor que Ɛt. Por lo tanto, cuando Ɛa es menor que Ɛs los cálculos se pueden terminar, con la confianza de saber que la raíz es al menos tan exacta como el nivel aceptable predeterminada. Método de Bisección Ventajas: ● Siempre converge ● Útil como aproximación inicial de otros métodos. Desventajas: ● No tiene en cuenta la magnitud de las valores de la función en las aproximaciones calculadas, solo tiene en cuenta el signo f(x), lo que hace que una aproximación intermedia, mejor que la respuesta final, pase desapercibida. ● Convergencia lenta. Método de la Falsa Posición Este método, como el método de bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x)=0, es decir, dos puntos XI y Xu tales que f(XI)f(XU) < 0. La siguiente aproximación, Xr, se calcula como la intersección en el eje X de la recta que une ambos puntos empleando la ecuación La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [XI,Xr] y [Xr,Xu] se toma aquel que cumpla f(XI)f(Xr) < 0; f(Xr)f(XU) < 0. Método de la Falsa Posición Ejercicio Con el método de la falsa posición determine la raíz de la misma ecuación analizada en los ejemplos anteriores. Métodos Numéricos Métodos de Solución de Sistemas Ecuaciones Objetivo Aplicar los métodos numéricos para la solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la aplicación de los métodos de solución clásicos. Introducción Los métodos abiertos emplean una fórmula para predecir la raíz. Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo).
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