T P N 4 CÁLCULO VECTORIAL MODO VIRTUAL

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 
 
CALCULO VECTORIAL 
 
EJERCICIOS A RESOLVER POR EL DOCENTE EN LA CLASE 
PRÁCTICA: 
1) b) ; 2) b); 3) b); 4) c); 5) b); 7) a) v); b) iv); 9) c); 10); 14) c); 15) b) 
 
Repaso Teórico. 
1. Defina función vectorial en el plano y el espacio y el dominio de estas 
funciones. 
2. Defina límite de una función vectorial en el plano y el espacio. 
Enuncie, mediante teoremas, las propiedades de los límites. 
Demuestre tres de ellas, especificando previamente las hipótesis y 
tesis. 
3. Defina continuidad de una función vectorial en un punto dado por 
t=a. 
4. Defina derivada de una función vectorial. Enuncie el teorema, 
especificando hipótesis, tesis y demuestre la fórmula para calcular la 
derivada de una función vectorial en el espacio. 
5. Enuncie, mediante un teorema, las propiedades de la derivada. 
Demuestre tres de ellas, especificando previamente las hipótesis y 
tesis. 
6. Defina integral indefina y definida de una función vectorial en el 
plano y el espacio y enuncie el Teorema Fundamental del Cálculo 
Vectorial. 
7. Defina longitud de arco de una curva dada vectorialmente en el plano 
y el espacio. 
8. De la Interpretación Geométrica de la Derivada de una Función 
Vectorial. 
9. Defina vector unitario tangente, vector normal principal y curvatura. 
10. Defina velocidad, aceleración y rapidez de una partícula que se 
mueve a lo largo de una curva dada vectorialmente en el plano y el 
espacio. 
 
Consigna: 
Emplee el software matemático que Ud. posea en su celular o en su 
computadora, para verificar los resultados obtenidos manualmente en los 
siguientes ejercicios. 
 
1) Halle el dominio de las funciones que se indican. 
 
 
 
2) Grafique la curva representada por las funciones vectoriales siguientes 
 
3) Halle el límite de las siguientes funciones vectoriales 
 
 
 
4) Para qué valores de t son continuas las siguientes funciones vectoriales 
 
 
 
5) Halle las derivadas de las siguientes funciones vectoriales, indicando en 
cada caso, el dominio de la derivada obtenida. 
 
6) En los siguientes apartados obtenga: 
𝜏´##⃗ (𝑡); 	𝜏´##⃗ ´(𝑡); 		 *𝜏´##⃗ (𝑡)*	; 		 *𝜏´##⃗ ´(𝑡)* 
( ) j
t
ittra
!!! 18) -=
( ) ( ) ktj
t
ittrb
!"!! cos
9
115ln)
2
+
-
-+=
( ) ( ) ( )ktj
t
ittarcsentrc
!"!! 1ln
1
144) 2
2 ++
-
-+-=
( ) ( )
( )
( ) 2
) 3 1
) 2cos 2
)
a t ti t j
b t ti sent j
c t ti t j
t
t
t
= + -
= -
= -
! ! !
! ! !
! ! !
( ) ( ) kjtita t
!"!
3125lim) 320 ++--®
( ) ( ) k
t
tj
t
tittb t
!"!
8
2122ln2lim) 32 -
-
+
-
---®
k
t
ttgjti
t
sentc
!"! 35
2
lim) +-
( ) j
t
ittra
!!! 18) -=
( ) ( ) ktj
t
ittrb
!"!! cos
9
115ln)
2
+
-
-+=
( ) ( ) ( )ktj
t
ittarcsentrc
!"!! 1ln
1
144) 2
2 ++
-
-+-=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
) ln 1 1
) 2 1 3
) lnt
a t t i t j
b t t i t j sentk
c t t i t e j tk
t
t
t
= - - -
= + - +
= - - +
! ! !
! ! ! !
! ! ! !
 
® 
 
7) El siguiente ejercicio se extrajo del libro de Teoría “Cálculo de Varias 
Variables” 
a) Calcule la integral indefinida de las siguientes funciones vectoriales. 
i) r(t) = cost i + j 
ii) r(t) = (t+1) i - t3 j 
iii) r(t) = sent i + (1+cost) j 
iv) r(t) = (1/t) i + 7j – (t2 – 1) k 
v) r(t) = (2cost.sent) i + sec2t j – [1/(5-t)] k 
vi) r(t) = (1/2t) i - !
√#$%!
 k 
b) Calcule la integral definida de las siguientes funciones vectoriales con los 
límites que se indican en cada caso. 
i) r(t) = t3 i + 7j + (t +1) k para 0≤ t ≤ 1 
ii) r(t) = (6 – 6t) i + 3√𝑡	j + (4/t2) k para 1≤ t ≤ 2 
iii) r(t) = sent i + (1 +cost)j + sec2t k para -	𝜋/4≤ t ≤ 𝜋/4 
iv) r(t) = [sect.tgt] i + tgtj + (2sent.cost) k para 0 ≤ t ≤ 𝜋/3 
v) r(t) = (1/t) i + [1/(5-t)] j + (1/2t) k para 1 ≤ t ≤ 4 
vi) r(t) = #
√#$%!
	i + √&
#'%!
	k para 0 ≤ t ≤ 1 
8) En los siguientes apartados t(t) es el vector posición de una partícula en 
movimiento en el instante t. Calcule la velocidad, la aceleración y la 
rapidez en ese instante. 
 
9) Si t(t) es el vector posición de una partícula en el instante t, halle los 
instantes en que los vectores velocidad y aceleración son perpendiculares. 
 
10) La aceleración de una partícula en el espacio en función del tiempo t es 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
) cos
) 1 4 3 2 6
) 5 2 sec4
a t senti t j tk
b t t i t t j t t k
c t sen ti t j
t
t
t
= - +
= + - - + -
= -
! ! ! !
! ! ! !
! ! !
( )
( )
( )
) cos 2 2 t=0
) 4cos 3 2 t= /3
2) 2 t t=1
1 3
a t ti sent j
b t ti sent j tk
tc t i j k
t
t
t p
t
= -
= - +
= - +
+
! ! !
! ! ! !
! ! ! !
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4) 3 4ln 5
) cos
tt t
a t t i t j tk
c t e i e sent j e t k
t
t
= + - -
= - +
! ! ! !
! ! ! !
 
® 
𝐚(t) = 	3t	𝐢 − 4𝐣 + 𝐤	Cuando t=0 la velocidad y la posición de la partícula 
son . Halle la velocidad v y la posición r en función del 
tiempo 
11) ¿Qué fuerza actúa sobre la partícula de masa m en t = 0 si sigue la 
trayectoria 
 
12) En los siguientes apartados halle el vector tg unitario T, la rapidez y la 
longitud de la curva desde t = 0 hasta t = p. 
 
13) Dadas las funciones vectoriales: 𝐅(t) = sent	𝐢 − cost	𝐣 y 
𝐆(t) = 5t!𝐢 + t	𝐣 − 	 t&k. Halle: 
14) Calcule la longitud de arco de la elipse dada por: 
a) 
b) el segmento de recta dado por: 
c) de un giro completo de la hélice dada por:
 
15) Halle , para las siguientes curvas planas 
 
16) Ejercicio extraído del libro de Teoría “Cálculo de Varias Variables”. 
a) En los siguientes apartados r(t) es el vector posición de una partícula en 
movimiento en el instante t. Calcule la velocidad, la aceleración y la rapidez 
en ese instante. 
i) r(t) = cos2t i -2sent j t = 0 
ii) r(t) = 4cost i -3sent j +2t k t = π/3 
iii) r(t) = √!
%'#
 i - %
&
	j + √2	t k t = 1 
b) Si r(t) es el vector posición de una partícula en el instante t, halle los 
instantes en que los vectores velocidad y aceleración son 
perpendiculares. 
( ) ( )0 4 0 5v i r j= =
! ! ! !
( ) ktjtittr
!"!!
+-= 36
( )
( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 2
) cos 
) 
3 2
) 3 cos 3 4t 
a t t i sent j
t tb t i j
c t t t i tsent j k
t
t
t
= -
= - +
= - +
! ! !
! ! !
! ! ! !
( ) p202cos2 ££+= tjsentittr !
""
( ) ( ) 1015 ££-+= tjtittr !
""
( ) p201cos 2 ££-++= tktbjbsentitbtr
!"!!
NKT
!!
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
) cos cos
) 1 cos
a t t sent i sent t t j
b t a t sent i t j
t
t
= + + +
= - - -
! ! !
! ! !
d
dt
a)
® ®
F(t) . G(t) ddt
b)
® ®
F(t) x G(t)
 
i) r(t) = (t4 + 3) i - 4lnt j – 5t k 
ii) r(t) = et i – etsent j + etcost k 
c) La aceleración de una partícula en el espacio en función del tiempo t es: 
a(t) = 3t i - 4 j + k. Cuando t = 0 la velocidad y la posición de la partícula 
son, v(0) = 4 i, r(0)= 5 j. Halle la velocidad v y la posición r en función del 
tiempo