Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-141

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4.4. Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 120. Resolviendo por igualación: infinitas soluciones. Resolver por
igualación y clasificar:
{
3x − 6y = 12
4x − 8y = 16.
Solución: Parece indistinto despejar cualquiera de las dos incógnitas, por lo que
elegiremos despejar x en ambas para obtener, luego de simplificar, el sistema
{
x = 4 + 2y
x = 4 + 2y.
Igualando las dos expresiones obtenidas para x nos queda
4 + 2y = 4 + 2y,
lo cual es cierto para cualquier valor de y, por lo que el sistema tiene infinitas
soluciones de la forma x = 4 + 2y, siendo y cualquier número real. Realicemos
la verificación: sea y un número real fijo, y sea x = 4 + 2y. Veamos que estos
valores satisfacen ambas ecuaciones del sistema dado:
3x − 6y = 3 (4 + 2y)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
x
−6y = 12 + 6y − 6y = 12, "
4x − 8y = 4 (4 + 2y)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
x
−8y = 16 + 8y − 8y = 16. "
Ası́, para cada número real y dado se obtiene un correspondiente valor de x, de
manera que ambas igualdades se cumplen. Por ejemplo, cuando y = 1 el valor
de x es 4 + 2 ⋅ 1 = 6, o cuando y = 2 entonces x = 4 + 2 ⋅ 2 = 8. El sistema resulta
entonces compatible indeterminado. E
Ejemplo 121. Resolviendo por igualación: sin solución. Resolver mediante el
método de igualación el siguiente sistema y clasificarlo:
{
−4x + 2y = 6
−2x + y = 5.
Solución: Despejando y en ambas ecuaciones tenemos, luego de simplificar,
{
y = 3 + 2x
y = 5 + 2x.
Ahora igualamos:
3 + 2x = 5 + 2x,
lo que equivale a 3 = 5. Puesto que esta igualdad es falsa independientemente
del valor de x, la ecuación no tiene solución, y por lo tanto tampoco la tendrá el
sistema. En este caso, es un sistema incompatible. E
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