Conceptos básicos de la ingeniería estructural

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CONCEPTOS BASICOS DE LA 
INGENIERIA ESTRUCTURAL
Cargas actuantes
Acciones Permanentes : de magnitud que puede
considerarse invariable en el tiempo, como las
debidas al peso propio de los componentes
estructurales y no estructurales
Acciones Accidentales : se caracterizan por
cambios bruscos de magnitud en cortos
períodos de tiempo, como las acciones debidas
al sismo, al viento, etc.
Sistema estructural
Es un ensamblaje de miembros o elementos
independientes para conformar un cuerpo
único
La manera de ensamblaje y
el tipo de elementos
definen el comportamiento
final de la estructura y
constituyen diferentes
sistemas estructurales
Componentes del sistema
Sistema resistente vertical 
(por e.j. pórticos)
Diafragmas 
(losas)
Fuerzas laterales 
(sismos)
Fuerzas verticales 
(gravitacionales)
Fuerzas verticales 
(gravitacionales)
Fuerzas laterales 
(sismos)
Diafragma 
flexible
Diafragma 
rígido
Sistemas a base de pórticos
Sistemas resistentes verticales
Sistemas a base de muros
Sistemas resistentes verticales
Sistemas duales
Sistemas resistentes verticales
Diafragma: sistema losas capaz de transmitir
fuerzas laterales de sismo o viento a los
elementos resistentes verticales
Diafragma flexible: transmite fuerzas de
corte a los elementos resistentes
verticales, deformándose en su plano
Diafragma rígido: es capaz de
distribuir las cargas horizontales
según las rigideces de los elementos
resistentes verticales, sin deformarse
en su plano
Diafragmas
Flexibilidad del diafragma (losas)
Plantas con longitudes 
excesivas
Losas de poco 
espesor
Plantas con aberturas
Diafragmas
En el movimiento sísmico la masa de la
estructura al trasladarse y rotar genera fuerzas
inerciales
Traslación Rotación
a+a
-
a+ a
+ a+
P P
P
Efectos de los sismos
F = ma
F = mr a
m = masa traslacional
mr = masa rotacional
Fuerzas inerciales (desplazamientos laterales)
n
n-1
i
2
1 δ1
δ2
δi
δn-1
δn
f 1
2f
if
n-1f
nf
Nivel 1
Nivel 2
Nivel i
Nivel n-1
Nivel n
Pórtico Peso de los pisos Desplazamientos Fuerza Lateral
w
w
w
w
w
F = m*a
Efectos de los sismos
Fuerzas inerciales + axiales (Efecto P-delta)
Efectos de los sismos
Torsiones
V3
V4F4
F1
F2
F3
V1
V2
V
CR
CM
F
Efectos de los sismos
Volcamiento
Efectos de los sismos
Primer 
modo T1
Segundo 
modo T2
Tercer 
modo T3
Cuarto 
modo T4
sT
Período de la estructura
Período del suelo
ET
Efectos de los sismos
Resonancia
Determinar el arreglo y dimensionamiento los
elementos resistentes de tal manera que soporten
satisfactoriamente las cargas actuantes
El problema estructural
Caso estático (cargas gravitacionales)
El problema estructural
Rigidez de la 
estructura
Masa
Rigidez 
lateral
Amortiguamiento
Caso dinámico (cargas sísmicas)
x
z
ux
uz
θy
¿Desplazamientos nodales?
¿Desplazamientos laterales?
KUF =
UKUCUM)t(F L++= &&&
El concepto de grado de libertad está vinculado al
movimiento (desplazamiento o giro) de un punto
cualquiera de la estructura por cargas actuantes
Grados de libertad en
coordenadas globales
Grados de libertad
Grados de libertad en
coordenadas locales
α
i
j
"m "
u3
El problema estructural (estático)
El problema estructural (estático)
u1
u3 u5
u2
u4
u6
6GL por nodo
análisis 3D
x
z
y
análisis 2D
3GL por nodo
x
z
u1
u2
u3
Desplazamientos nodales de la estructura
Desplazamientos nodales
UKF ⋅=
El problema estructural (estático)












=






b
a
bbba
abaa
b
a
U
U
KK
KK
F
F "a" grados de libertad con 
desplazamientos restringidos (apoyos) 
" Fa" reacciones
" b" grados de libertad con 
desplazamientos no restringidos
" Fb" fuerzas actuantes( )abab1bbb UKFKU −= −
Los desplazamientos nodales dependen de la rigidez de la
estructura. La matriz de rigidez se obtiene ensamblando
los coeficientes kij de la matrices elementales en la
posición "ij"
{ } [ ] [ ][ ]∑
=
=
m
1b
e
t BkBK
El problema estructural (estático)
Desplazamientos nodales de los elementos
3GL por nodo
Elemento tipo viga 
de 2 nodos
análisis 2D
α
i
j
"m "
x
Elemento tipo viga 
de 2 nodos
6GL por nodo
análisis 3D
j
El problema estructural (estático)
Desplazamientos nodales de elementos tipo
shell para muros y losas
6GL por nodo
Elemento tipo shell
de 4 nodos
Elemento tipo shell
de 3 nodos
Grados de libertad en coordenadas locales
En los elementos los desplazamientos nodales o grados
de libertad locales varían de acuerdo a las
simplificaciones consideradas en el modelo
Se consideran desplazamientos por
axiales q1 y q4, desplazamientos por
fuerzas cortantes q2 y q5 y rotaciones
por flexión q3 y q6
Se consideran desplazamientos por
fuerzas cortantes q1 y q3 y rotaciones
por flexión q2 y q4
Axialmente rígido
α
i
j
"m "
Análisis 2D o plano
El problema estructural (estático)
Se consideran desplazamientos
por axiales q1 y q3 y rotaciones
por flexión q2 y q4
Elementos esbeltos donde
predomina la flexión y se
puede despreciar el cortante
Se consideran desplazamientos
por axiales q1 (iguales en los
extremos) y rotaciones por
flexión q2 y q3
Análisis 2D o plano
Grados de libertad en coordenadas locales
El problema estructural (estático)
α
i
j
"m "
Si un elemento tiene 6 GL locales
entonces la matriz B es de 6x6,
donde las filas representan las
coordenadas locales y las columnas
las globales
[ ]
























−
−
=
100000
0cs000
0sc000
000100
0000cs
0000sc
B
c = cos α
s = sen α
Análisis 2D o plano
6GDL por elemento
El problema estructural (estático)
Transformación de coordenadas
Transformación de coordenadas
Si un elemento tiene 4 GL locales
entonces la matriz B es de 4x6,
donde las filas representan las
coordenadas locales y las columnas
las globales
[ ]
















−
−
=
100000
0cs000
000100
0000cs
B
c = cos α
s = sen α
α
i
j
"m "
4GDL por elemento
Análisis 2D o plano
El problema estructural (estático)
[ ]
















=
100000
0sc000
000100
0000sc
B
c = cos α
s = sen α
4GDL por elemento
α
i
j
"m "
Análisis 2D o plano
Transformación de coordenadas
El problema estructural (estático)
Si un elemento tiene 3 GL locales
entonces la matriz B es de 3x6,
donde las filas representan las
coordenadas locales y las
columnas las globales
[ ]












=
100000
000100
0000sc
B
c = cos α
s = sen α
Análisis 2D o plano
3GDL por elemento
Transformación de coordenadas
El problema estructural (estático)
α
i
j
"m "
Si un elemento tiene 2 GL locales
entonces la matriz B es de 2x6,
donde las filas representan las
coordenadas locales y las
columnas las globales
Elemento de barra 2GL
i
α
X
Y
α
Senα x q1
Cosα x q1
[ ]








=
0sc000
0000sc
B
c = cos α
s = sen α Análisis 2D o plano
Transformación de coordenadas
El problema estructural (estático)
El problema estructural (estático)
Transformación de coordenadas
análisis 3D
[ ]






























−
−−−
−
−
−
−
=
L
EI4
L
EI6
0
L
EI2
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
L
EI2
L
EI6
0
L
EI4
L
EI6
0
L
EI6
L
EI12
0
L
EI6
L
EI12
0
00
L
EA
00
L
EA
k
22
2323
22
2323
c
En coordenadas 
locales
[ ] [ ] [ ][ ]BkBk etge = En coordenadas globales
Análisis 2D o plano
α
i
j
"m "
6x6
El problema estructural (estático)
Matriz de rigidez elemental
El problema estructural (estático)
3x3
Elemento de 2 nodos
3GL por elemento
[ ]
















=
l
4EI
L
2EI
0
L
2EI
L
4EI
0
00
L
EA
ke
Matriz de rigidez elemental
Análisis 2D o plano
[ ] [ ] [ ][ ]BkBk etge = En coordenadas globales
En coordenadas 
locales
Matriz de rigidez elemental
El problema estructural (estático)
2GL por nodo
Elemento de 2 nodos
[ ]



















−
−−−
−
−
=
L
EI4
L
EI6
L
EI2
L
EI6
L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12
L
EI2
L
EI6
L
EI4
L
EI6
L
EI6
L
EI12
L
EI6
L
EI12
k
22
2323
22
2323
e
Elemento de 2 nodos rígidos
2GL por nodo
Análisis 2D o 
plano
En coordenadas 
locales En coordenadas locales
[ ] [ ] [ ][ ]BkBk etge = En coordenadas globales
El problema estructural (estático)
Matriz de rigidez elemental
12x12
Análisis 3D
En coordenadas locales
[ ] [ ] [ ][ ]BkBk etge =
En coordenadas globales
Matriz de rigidez de pórticos
Se obtiene ensamblando los coeficientes kij de la 
matrices elementales en la posición "ij"
{ } [ ] [ ][ ]∑
=
=
m
1b
e
t BkBK
α
"m1 "
1
2
3 7
8
4
n1
n3
α
"m2 "
7
8
9 10
11
12
n3
n4
α = 90°
α
"m3 "
4
5
6 10
11
12
n2
n4
8
13
52
11
129 7
6
4
10
n1 n2
n3
n4
m2
m1
m3
α = 0°
α = 90°
El problema estructural (estático)
El problema estructural (estático)
UBq t=
qkQ e=
Desplazamientos nodales en los elementos
α
i
j
"m "
Fuerzas internas en los elementos
α
i
j
"m "
α
i
j
"m "
Significado del 
vector Q
α
i
j
"m "
Significado del 
vector q
El problema estructural (dinámico)
Los desplazamientos laterales por fuerzas
sísmicas dependen de la rigidez lateral, la masa
y el amortiguamiento de la estructura
UKUCUM)t(F L++= &&&
Desplazamientos laterales de la estructura
Análisis sísmicos
El problema estructural (dinámico)
Grados de libertad dinámicos
Están asociados a la masa para los cuales pueden
conocerse los desplazamientos laterales y rotaciones de
la estructura
Grados de libertad dinámicos
Los grados de libertad dinámicos de la estructura
considerados en los análisis sísmicos corresponden a los
desplazamientos laterales y/o las rotaciones por nivel
Sistema F-U(estructura)
3GLD por nivel
e.j. desplazamiento lateral en x 
y rotación
El problema estructural (dinámico)
Grados de libertad dinámicos
En los análisis plano se considera un GLD por nivel en cada
dirección
Análisis en dirección x Análisis en dirección y
El problema estructural (dinámico)
Los desplazamientos laterales y rotaciones por fuerzas
sísmicas dependen de la rigidez lateral, la masa y el
amortiguamiento de la estructura
La rigidez lateral en cada dirección de una estructura
se obtiene de la contribución a la rigidez lateral del
sistema resistente vertical
Grados de libertad dinámicos
El problema estructural (dinámico)
Métodos
Condensación de la matriz de rigidez
Fórmula de Wilbur
Edificio simple o de corte
El problema estructural (dinámico)
Matriz de Rigidez lateral
Rigidez directa 
El problema estructural (dinámico)
Método de Rigidez directa
La rigidez lateral se define como la fuerza
necesaria que debe aplicarse en un nivel para
producir un desplazamiento unitario en ese nivel
y los demás desplazamientos laterales nulos.
KUF =
u1
u1
v1 v2θ1
θ2
Deformaciones consideradas en 
los elementos bajo carga lateral
Viga axialmente 
rígida
Método de condensación de la matriz de rigidez
El problema estructural (dinámico)
Grados de libertad en 
coordenadas globales 
K(5x5) 
1
2
3
4
5
El desplazamiento 1 representa la coordenada lateral "a". Los
desplazamientos del 2 al 5 las coordenadas "b".
La matriz de rigidez del pórtico se obtiene por
ensamblaje
{ } [ ] [ ][ ]∑
=
=
m
1b
e
t BkBK
{ }








=
bbba
abaa
KK
KK
K
El problema estructural (dinámico)
Grados de libertad en coordenadas locales
Método de condensación de la matriz de rigidez
El problema estructural (dinámico)












=






b
a
bbba
abaa
b
a
U
U
KK
KK
F
F { }








=
0
F
F
a { }








=
b
a
U
U
U
babaaaa UKUKF +=
bbbaba UKUK0 +=
aba
1
bbb UKKU
−−=
( ) aba1bbabaaa UKKKKF −−=
"a" coordenadas laterales
( )
ba
1
bbabaa
p
a KKKKKL
−−=
KL del pórtico por nivel 
Método de condensación de la matriz de rigidez
Matriz de rigidez lateral de la estructura
( ) ( )∑
=
=
np
1i
p
ai
E
a KKL
"a" = 1, n
" np" número de pórticos
KL de la estructura por nivel 
" n" número de niveles
El problema estructural (dinámico)
∑ ∑∑ +
∆+∆+∆=
∆
=
12
448
1
1
21
1
11
c
v
c
i
ii kk
hh
k
h
D ;
hD
E
K
∑∑ ∑∑
∆+∆+
+
∆+∆+∆=
∆
=
2
32
1
1
21
2
2
22
12
448
vc
v
cii k
hh
k
k
hh
k
h
D ;
hD
E
K
∑∑∑
∆+∆
+
∆+∆
+∆=
∆
=
vn
supn
infv
ninf
cn
n
n
nn
n k
hh
k
hh
k
h
D ;
hD
E
K
448
1er Nivel (empotrado en la base)
2do Nivel (empotrado en la base)
Otros niveles
1−−=∆ iii hhh 
hi
hi-1
Fórmula de Wilbur
El problema estructural (dinámico)
( ) ∑
=
=
np
1i
ji
E
j KK
KL de la estructura por nivel 
Rigidez lateral de la estructura por nivel
"j" = 1, n
"np" número de pórticos
"n" número de niveles
El problema estructural (dinámico)
( )




















−
−+−
−+−
−+−
−+
=
−
nn
nn1n4
4433
3322
221
E
kk000
kkkk00
kkkk0
kkkk
kkk
KL
Edificio simple
CONDICIONES
KL de la estructura
∑= nivel del columnasi kk
3columnas L
EI12
k =
Sólo deformaciones por 
corte en columnas
El problema estructural (dinámico)
Sistema F-U(estructura)
Sistema Fp-up(pórtico)
La matriz de transformación o rotación permite el cambio
del sistema de coordenadas laterales de pórticos a GLD
de la estructura
( )pKLMatriz de rigidez 
lateral de pórticosMatriz de rigidez de 
la estructura E
K
El problema estructural (dinámico)
Transformación de coordenadas
( )pA
Si los pórticos tienen 1
desplazamiento lateral por nivel
entonces la matriz A es de nx3n,
donde las filas representan los
desplazamientos laterales y las
columnas los GLD de la estructura
n = número de niveles
El problema estructural (dinámico)
Transformación de coordenadas
En el análisis dinámico plano o cuando se considera 1GDL
en cada dirección, con pórticos ortogonales, es decir con
αααα = 0° para pórticos en "x" y αααα = 90° para pórticos en "y"
la matriz A es igual a la matriz identidad de dimensión
nxn
El problema estructural (dinámico)
Transformación de coordenadas










=
θθθθ
θ
θ
KKK
KKK
KKK
K
yx
yyyyx
xxyxx
E
( ) ( )p
m
1p
p
tp
E ALKAK ∑
=
=
m = número de pórticos 
de la estructura
Matriz de transformación 
del pórtico 
Matriz de rigidez lateral de la estructura KE
El problema estructural (dinámico)
Matriz de rigidez lateral de la estructura KE
∑
=
=
m
1p
pE LKK
m = número de pórticos de la 
estructura para cada dirección
1
2
n = número de niveles
El problema estructural (dinámico)
Análisis dinámico plano
Masa inercial
La masa traslacional crea una fuerza inercial al desplazarse y la masa 
rotacional crea una fuerza inercial al girar
Es una medida de la resistencia que ofrece un cuerpo a
cambiar su estado de movimiento cuando se le aplica una
fuerza
Traslación Rotación
a+a
-
aω
+ aω
+ aω
+
P P
P
El problema estructural (dinámico)
El problema estructural (dinámico)
Modelo dinámico masa concentrada por nivel
[ ]












=
n
2
1
m000
....00
m0
m
M
[ ]
















=
ϕ
ϕ
n
1
1y
1x
m0000
....000
m00
m0
m
M
x1
xn
x2
análisis 2D
análisis 3D
1GDL dinámico por 
nivel para cada 
dirección de análisis
3GDL dinámico por 
nivel
Válido para edificaciones con diafragmas rígidos
Masa inercial
Masa traslacional:
g
W
mt =
( )2y2xtr BB12
m
m +=
yx
t
BB
m=ρ
yyxxzz IIJ +=
3
yxxx BB12
1
I =
3
xyyy BB12
1
I =
( )2y2xyxzz BBBB12
1
J +=
Momento polar de inercia:
Masa rotacional:
zzr Jm ρ=
El problema estructural (dinámico)
Centro de masas (CM) por nivel
∑
∑=
j
jj
cmi w
xw
x
∑
∑=
j
jj
cmi w
yw
y
w
j
= peso parcial de un elemento j del nivel i
x
j
y y
j
= coordenadas del peso parcial del elemento j con respecto a
un origen dado
Es el punto donde puede considerarse está concentrada 
toda la masa de un nivel 
Las coordenadas del centro de masa del nivel i
CM
y
x
cmiycmix
m1
m2
m1>m2
El problema estructural (dinámico)
10GLD para la 
estructura
Estructura 
discretizada a 2GLD
[ ]
























ρ=
000000
00000
1000
000
00
1
2
AL
m e
Simétrica
Modelo dinámico de masas concentradas en los
nodos de los elementos (análisis 2D)
El problema estructural (dinámico)
Matriz de masa concentrada 
para cada elemento
6x6
La dimensión de la matriz de masa
elemental debe ser igual a la matriz de
rigidez elemental
Estructura 
discretizada a 6GLD
Modelo dinámico de masas concentradas en los
nodos (análisis 3D)
Simétrica
El problema estructural (dinámico)
Matriz de Masa concentrada 
para cada elemento
La dimensión de la matriz de
masa elemental debe ser igual
a la matriz de rigidez
elemental
[ ] 


 ρρρρρρρρ= 00
2
LI
2
AL
2
AL
2
AL
00
2
LI
2
AL
2
AL
2
AL
m ooe
El problema estructural (dinámico)
Modelo dinámico de masas concentradas en los
nodos (análisis 3D)
La dimensión de la matriz de masa
elemental debe ser igual a la matriz de
rigidez elemental
El problema estructural (dinámico)
Estructura 
discretizada a 6GLD
Modelo dinámico de masas consistentes (análisis 3D)
Simétrica
Masa consistente
Matriz de masa de la estructura
El problema estructural (dinámico)
[ ] [ ] [ ][ ]BmBm etge =
La matriz de masa "M" de la estructura se obtiene
ensamblando los valores mij de las matrices elementales
en la posición "ij"
{ } [ ] [ ][ ]∑
=
=
m
1b
e
t BmBM
∑
∑=
yi
pyi
cri K
xKp
x
Centro de rigidez por nivel
Punto en el nivel, tal que si se aplican cargas laterales el diafragma
sólo se desplaza, no rota, depende de las características
geométricas del sistema vertical
ΣK
xi
= rigidez total de los pórticos en la dirección x del nivel i
K
yi
= rigidez total de los pórticos en la dirección y del nivel i
ΣKp
xi
y
p
= suma del producto de la rigidez del pórtico p en la dirección x por
la coordenada y de ese pórtico en el nivel i
ΣKp
yi
x
p
= suma del producto de la rigidez del pórtico p en la dirección y por
la coordenada x de ese pórtico en el nivel i
∑
∑=
xi
pxi
cri K
yKp
y Kp1 Kp2
KpA
KpB
x
y
El problema estructural (dinámico)
yi
N
j
cmjyj
cci V
xF
x
∑
== 1
xi
N
j
cmjxj
cci V
yF
y
∑
== 1 Vxj= Fuerza cortante en la
dirección x del nivel i
V
yj
= Fuerza cortante en la
dirección y del nivel i
x
cmj
y y
cmj
= coordenadas del
centro de masa del nivel j
F
xj
= Fuerza sísmica en la
dirección x del nivel i
F
yj
= Fuerza sísmica en la
dirección y del nivel i
Centro de cortante (CC) por nivel
El problema estructural (dinámico)
criccixi xxe −=
cricciyi yye −=
El problema estructural (dinámico)
Excentricidad estática