Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Capitulo 7 Capa Limite Mecánica de los Fluidos I Prof. Richard Oliva Denis CONTENIDO 1. Introducción 2. Adimensionalización de las ecuaciones 3. Capa limite. Espesores de capa limite 4. Ecuaciones de capa limite 5. Solución de Blasius 6. Ecuación Integral de Von Karman 7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman 8. Separación Introducción En el capitulo anterior llegamos, haciendo uso de las leyes de conservación de la masa y momentum lineal, a las ec. de Navier-Stokes, las cuales rigen el comportamiento de un fluido newtoniano 𝝆 𝝏𝑽 𝝏𝒕 + 𝑽 ∙ 𝜵 𝑽 = −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽 + 𝝆𝑩 𝜵 ∙ 𝑽 = 𝟎 Si añadimos la ecuación de energia: 𝝆 𝝏𝒆 𝝏𝒕 + 𝑽 ∙ 𝜵 𝒆 = −𝒑 𝜵 ∙ 𝑽 + 𝜵 ∙ 𝑲𝜵𝑻 + 𝚽 + 𝐒𝒊 Y ecuaciones de estado 𝒑 = 𝒑(𝝆, 𝑻) 𝒆 = 𝒆(𝝆, 𝑻) Estas ultimas, para un gas ideal: 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 𝑒 = 𝐶𝑣𝑇 Introducción Tenemos un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales, que en conjunto con las condiciones iniciales y de frontera permiten describir el movimiento de un fluido. Las ecuaciones de Navier-Stokes son tres ecuaciones diferenciales en derivdadas parciales, elípticas en el espacio y parabólicas en el tiempo. Las condiciones de frontera son condiciones de tipo Dirichlet o Neumann sobre la velocidad y la presión en un espacio cerrado. Tipicamente se tiene que sobre superficies de cuerpos solidos existe una igualdad entre las velocidades del cuerpo y el fluido En el caso de flujos abiertos es necesario fijar condiciones de borde artificiales lejos de la zona de interés Si se consideran los efectos térmicos debemos de anadir las condiciones iniciales de la temperatura y condiciones de borde de la temperatura y/o flujo de calor en las fronteras. Introducción Se tiene un modelo cuya solución es prácticamente imposible en el caso general. Su aplicabilidad esta limitada a algunos pocos casos. La única posibilidad de encontrar soluciones desde un punto de vista practico requiere la simplificación del modelo general. Teniendo que resulta necesario la introducción de aproximaciones con cierto grado de empirismo. Resultando en modelos que deben validarse. La introducción de algunas hipótesis simplificadoras conllevan a la clasificación de flujos que conservan algunos aspectos relacionados con los fluidos en su movimiento (un ejemplo simple, los fluidos perfectos). Es importante resaltar que el proceso de pase al limite en las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes no conducen necesariamente a las soluciones obtenidas al resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Es posible obtener algunos modelos particulares, con sus respectivas zonas de aplicación apartir de consideraciones que incluyen las magnitudes relativas de las fuerzas presentes CONTENIDO 1. Introducción 2. Adimensionalización de las ecuaciones 3. Capa limite. Espesores de capa limite 4. Ecuaciones de capa limite 5. Solución de Blasius 6. Ecuación Integral de Von Karman 7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman 8. Separación Adimensionalización de las ecuaciones 𝝆 𝝏𝑽 𝝏𝒕 + 𝑽 ∙ 𝜵 𝑽 = −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽 + 𝝆𝑩 Tomemos la ecuación de conservación de momentum lineal Términos relacionados a las Variaciones en la cantidad de momentum - > representan la inercia del fluido Momentum del fluido Fuerzas capaces de poner el fluido en movimiento Contribuciones de las fuerzas que pudiesen generar un cambio en el movimiento del fluido: • Los gradientes o cambios de presión • Esfuerzos viscosos (originados por el movimiento del fluido) • Fuerzas externas de volumen (ej: gravedad) Adimensionalización de las ecuaciones Para comparar la contribución relativa de cada termino adimensionalizaremos las ecuaciones. Partimos de las siguientes variables adimensionales, expresadas en termino de magnitudes características del problema considerado. 𝑢𝑗 ∗ = 𝑢𝑗 𝑈0 𝑗 = [1,2,3] tal que en coordenadas cartesianas: 𝑃∗ = 𝑃 𝑃0 𝑥𝑗 ∗ = 𝑥𝑗 𝐿 𝑡 ∗ = 𝑡𝑈0 𝐿 Luego cada termino de la ecuación de momentun se expresa como: Aceleracion local: 𝜌 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑡 = 𝜌 𝜕(𝑢𝑗 ∗𝑈0) 𝜕(𝑡∗𝐿/𝑈0) = 𝜌 𝑈0 𝐿/𝑈0 𝜕(𝑢𝑗 ∗) 𝜕(𝑡∗) = 𝑈0 2𝜌 𝐿 𝜕𝑢𝑗 ∗ 𝜕𝑡∗ 𝑥1 = 𝑥 𝑥2 = 𝑦 𝑥3 = 𝑧 Aceleracion convectiva: 𝜌𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑘 = 𝜌 𝑈0𝑢𝑘 ∗ 𝜕 𝑢𝑗 ∗𝑈0 𝜕 𝑥𝑘𝐿 = 𝜌𝑈0 2 𝐿 𝑢𝑘 ∗ 𝜕𝑢𝑗 ∗ 𝜕𝑥𝑘 ∗ 𝑢1 = 𝑢 𝑢2 = 𝑣 𝑢3 = 𝑤 Adimensionalización de las ecuaciones Termino de presion: 𝜕𝑃 𝜕𝑥𝑗 = 𝜕(𝑃∗𝑃0) 𝜕(𝑥𝑗 ∗𝐿) = 𝑃0 𝐿 𝜕𝑃∗ 𝜕𝑥𝑗 ∗ Termino viscoso: 𝜇 𝜕2𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑘𝜕𝑥𝑘 = 𝜇 𝜕2(𝑢𝑗𝑈0) 𝜕(𝑥𝑘 ∗𝐿)𝜕(𝑥𝑘 ∗𝐿) = 𝜇𝑈0 𝐿2 𝜕2𝑢𝑗 ∗ 𝜕𝑥𝑘 ∗𝜕𝑥𝑘 ∗ Fuerzas externas: considerando que estas corresponden únicamente a las de gravedad: 𝜌𝑓𝑗 = −𝜌 𝜕 𝑔𝑧 𝜕𝑥𝑗 = −𝜌 𝜕 𝑔𝑧 𝜕𝑥𝑗 = −𝜌𝑔 𝜕 𝑧∗𝐿 𝜕 𝑥𝑗 ∗𝐿 = −(𝜌𝑔) 𝜕𝑧∗ 𝜕𝑥𝑗 ∗ Adimensionalización de las ecuaciones Sustituyendo en la ecuación de momentum: 𝜌𝑈0 2 𝐿 𝜕𝑉∗ 𝜕𝑡 + 𝑉∗ ∙ 𝛻∗ 𝑉∗ = − 𝑃0 𝐿 𝛻∗𝑃∗ + 𝜇𝑈0 𝐿 𝛻∗2𝑉∗ − (𝜌𝑔)𝛻∗𝑧∗ Los factores entre paréntesis a la izquierda de cada termino amplificaran (o reducirán) la contribución adimensional de cada uno de ellos Dividiendo por el factor asociado a la inercia: 𝝏𝑽∗ 𝝏𝒕 + 𝑽∗ ∙ 𝜵∗ 𝑽∗ = − 𝑷𝟎 𝝆𝑼𝟎 𝟐 𝜵 ∗𝑷∗ + 𝝁 𝝆𝑼𝟎𝑳 𝜵∗𝟐𝑽∗ − 𝒈𝑳 𝑼𝟎 𝟐 𝜵 ∗𝒛∗ Adimensionalización de las ecuaciones Introduciendo los siguientes números adimensionales: Reynolds Froude Euler 𝑅𝑒 = 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝜌𝑈0𝐿 𝜇 𝐹𝑟 = 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 = 𝑈0 𝑔𝐿 𝐸 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 = 𝑃0 𝜌𝑈0 𝝏𝑽∗ 𝝏𝒕 + 𝑽∗ ∙ 𝜵∗ 𝑽∗ = −𝑬 𝜵∗𝑷∗ + 𝟏 𝑹𝒆 𝜵∗𝟐𝑽∗ − 𝟏 𝑭𝒓𝟐 𝜵∗𝒛∗ El numero de Reynolds indica la importancia relativa entre las fuerzas inerciales y viscosas, nos permite clasificar los fluidos en laminares y turbulentos y probablemente sea el numero adimensional mas importante en la mecánica de fluidos. El numero de Froude tiene gran importancia cuando se estudia flujos con superficie libre. Adimensionalización de las ecuaciones El numero de Euler no es tan importante, y aparece en problemas con caídas importantes de la presión y pueden conllevar a la cavitacion 𝝏𝑽∗ 𝝏𝒕 + 𝑽∗ ∙ 𝜵∗ 𝑽∗ = −𝑬 𝜵∗𝑷∗ + 𝟏 𝑹𝒆 𝜵∗𝟐𝑽∗ − 𝟏 𝑭𝒓𝟐 𝜵∗𝒛∗ De acuerdo al peso relativo de cada termino, la ecuación puede ser simplificada y lleva a diferentes clasificaciones del flujo Adimensionalización de las ecuaciones a) Flujo de un fluido viscoso a velocidades muy lentas. Fuerzas Inerciales << Fuerzas viscosas 𝝏𝑽∗ 𝝏𝒕 = −𝑬 𝜵∗𝑷∗ + 𝟏 𝑹𝒆 𝜵∗𝟐𝑽∗ − 𝟏 𝑭𝒓𝟐 𝜵∗𝒛∗ Los términos convectivos se asumen pequeños en comparación con los viscosos y se simplifican. Las ecuaciones resultantes, conlleva a lo que comúnmente se conoce como teoría de Stokes. La ecuaciones de momentum son ahora lineales! 𝑹𝒆 → 𝟎 𝝆 𝝏𝑽 𝝏𝒕 = −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽 + 𝝆𝑩 Adimensionalización de las ecuaciones b) Flujo de fluidos ideales. Flujo potencial Fuerzas Inerciales >> Fuerzas viscosas 𝑹𝒆 → ∞𝝁 → 𝟎 𝝏𝑽∗ 𝝏𝒕 + 𝑽∗ ∙ 𝜵∗ 𝑽∗ = −𝑬 𝜵∗𝑷∗ − 𝟏 𝑭𝒓𝟐 𝜵∗𝒛∗ Las ecuaciones de momentum se simplifican a las ecuaciones de Euler, y aunque estas son no lineales, son de un orden menor que las ecuaciones de N-S. Y algo interesante es lo que ocurre con las condiciones de borde, estarán ahora relajadas. Las condiciones de borde de las velocidades tangenciales sobre cuerpos rígidos no serán necesarias, y solo tendremos condiciones para la velocidad normal. La superficie de un cuerpo solido será una línea de corriente! Adimensionalización de las ecuaciones Clasificación de las ecuaciones de flujo Flujo permanente Flujo transitorio Flujo viscoso Elíptica Parabólica Flujo ideal 𝑀𝑎 < 1 Eliptica 𝑀𝑎 > 1 Hiperbolica Hiperbólica Capa limite Parabólica Parabólica Ec. Diferencial Eliptica -> Comportamiento del tipo “dos sentidos” Coordenadas de un sentido -> Un pto en el espacio dependerá de una sola de las direcciones de dicha coordenada. * Termino temporal y términos convectivos Coordenadas de dos sentidos-> Un pto en el espacio dependerá de ambas direcciones de dicha coordenada. * Termino viscoso. Ec. Diferencial Parabolica -> Comportamiento del tipo “un sentido” Ec. Diferencial Hiperbolica -> Comportamiento del tipo “un sentido” a lo largo de las caracteristicas Adimensionalización de las ecuaciones Ec. Diferencial Eliptica (en ambos sentidos) Estan usualmente asociadas a problemas en estado estacionario en donde predominan los efectos disipativos. Ec. Diferencial Parabolica (Estrictamente: Parabolica en la coord. 𝒕 y elíptica en 𝒙) Estan usualmente asociadas a problemas de propagación con disipación Adimensionalización de las ecuaciones Ec. Diferencial Hiperbolica (en ambos sentidos) Estan usualmente asociadas a problemas de propagación sin disipación o atenuacion Adimensionalización de las ecuaciones En la practica existe una amplia variedad de velocidades y muchas clases de flujos corresponden a valores elevados del numero de Reynolds, pero no infinitos. Y además muchos fluidos pueden poseen una viscosidad pequeña mas no nula. Recordemos que los esfuerzos asociados a la viscosidad vienen dados por: 𝜎𝑖𝑗 = 𝜇 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑥𝑗 + 𝜕𝑢𝑗 𝜕𝑥𝑖 Cuando los gradientes de velocidad sean importantes, es decir zonas con alta deformación, las ecuaciones de Euler no serán aplicables Adimensionalización de las ecuaciones Flujo externo. Efectos viscosos despreciables al igual que la vorticidad del flujo 𝝆 𝝏𝑽 𝝏𝒕 = −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽 Estela Efectos viscosos despreciables. Pero no la vorticidad! 𝝏𝝎 𝝏𝒕 = 𝑽 ∙ 𝜵 𝝎 + 𝝎 ∙ 𝑽 + 𝝁 𝝆 𝜵𝟐𝝎 Separación de la capa limite Capa limite Efectos viscosos importantes Generacion de vorticidad 𝝆 𝑽 ∙ 𝜵 𝑽 = −𝜵𝑷 + 𝝁𝜵𝟐𝑽 (∗) CONTENIDO 1. Introducción 2. Adimensionalización de las ecuaciones 3. Capa limite. Espesores de capa limite 4. Ecuaciones de capa limite 5. Solución de Blasius 6. Ecuación Integral de Von Karman 7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman 8. Separación Capa limite. Espesores de capa limite La capa limite es una capa fina adyacente a la superficie de un cuerpo en la cual existe una fuerte influencia de los efectos viscosos El punto desde donde se origina se denomina pto de estancamiento. En esta región la vorticidad no es nula y es difundida y convectada a lo largo de la capa limite Detrás del cuerpo encontraremos un gradiente de presión adverso (un incremento de presión) que usualmente conlleva al desprendimiento de la capa limite y a la formación de la estela Capa limite. Espesores de capa limite Espesor de capa limite (𝛿) Espesores de capa limite: 𝑦 = 𝛿 𝑢 = 0,99𝑈 cuando Pueden ser definidos de diferentes maneras. Los tres mas comúnmente usados son: • Espesor de capa limite (𝛿) • Espesor de desplazamiento (𝛿∗) • Espesor de momentum (𝜃) 𝛿 = 𝛿(𝑥) Capa limite. Espesores de capa limite Espesor de desplazamiento (𝛿∗) Corresponde a la distancia de la frontera en la cual el flujo externo transporta la misma masa que aquella correspondiente a la faltante de masa de la verdadera capalimite 𝜌𝑈𝛿∗ = 0 ∞ 𝜌 𝑈 − 𝑢 𝑑𝑦 𝛿∗ = 0 ∞ 1 − 𝑢 𝑈 𝑑𝑦 Capa limite. Espesores de capa limite Espesor de momentum (𝜃) Corresponde a la distancia de la frontera en la cual el flujo externo transporta la misma cantidad de momentum que aquella correspondiente a la faltante de cantidad de momentum de la verdadera capa limite 𝜌𝑈2𝜃 = 0 ∞ 𝑢[𝜌 𝑈 − 𝑢 ]𝑑𝑦 𝜃 = 0 ∞ 𝑢 𝑈 1 − 𝑢 𝑈 𝑑𝑦 Capa limite. Espesores de capa limite Las definiciones se adoptan según el interés de los diversos autores. En todo caso, es una variable que es usada para delimitar la zona en donde el fluido esta siendo frenado por la pared. En general tenemos que: 𝛿 > 𝛿∗ > θ CONTENIDO 1. Introducción 2. Adimensionalización de las ecuaciones 3. Capa limite. Espesores de capa limite 4. Ecuaciones de capa limite 5. Solución de Blasius 6. Ecuación Integral de Von Karman 7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman 8. Separación Ecuaciones de capa limite Consideremos el flujo que circula sobre la superficie mostrada, y la idea fundamental introducida por Prandtl 𝜹 ≪ 𝒙 La teoria de capa limite propuesta por Prandlt parte de la idea de que el espesor de capa limite (𝛿) es pequeno en comparacion con las distancias medidas a lo largo de la superficie (𝑥) y debido a ello ciertos términos de las ecuaciones de Navier-Stokes son despreciables con respecto a los demás. Ecuaciones de capa limite La componente de la velocidad 𝑢 es del orden de 𝑈 𝒖 ~ 𝑼 La derivada de 𝑢 en 𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 ~ 𝑈−0 𝑥−0 = 𝑈 𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑢 𝜕𝑥 ⇒ 𝑣 𝛿 ~ 𝑈 𝑥 Y al tener que 𝑥 ≫ δ 𝑢 ≫ 𝑣Y podemos suponer razonablemente que La derivada de 𝑣 en 𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 ~ 𝑣 𝛿 De la ecuacion de continuidad ⇒ 𝒗~ 𝜹𝑼 𝒙 𝒖 ~ 𝑼 𝒗~ 𝜹𝑼 𝒙 𝝏 𝝏𝒙 ~ 𝟏 𝒙 𝝏 𝝏𝒚 ~ 𝟏 𝜹 Veamos lor ordenes de magnitude de los terminus de nuestras ecuaciones Ecuaciones de capa limite En 2D, en estado permanente y sin fuerzas externas tenemos que nuestras ecuaciones de N-S se escriben como 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 + 𝜈 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 𝜈 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑦 + 𝜈 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2 + 𝜈 𝜕2𝑣 𝜕𝑦2 Veamos el orden de magnitud de los términos de las ecuaciones de Navier-Stokes dentro de la capa limite (menos el de presión). 𝑈2 𝑥 + 𝛿𝑈 𝑥 𝑈 𝛿 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 + 𝜈 𝑈 𝑥2 + 𝜈 𝑈 𝛿2 𝑈2 𝑥 + 𝑈2 𝑥 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 + 𝜈 𝑈 𝑥2 + 𝜈 𝑈 𝛿2 En 𝑥 : Ecuaciones de capa limite Los términos inerciales son ambos del mismo orden. El primer termino viscoso es de un orden mucho menor que el segundo, 𝑥 ≫ δ, por lo que se despreciara y la componente en x de la ecuación de momentum queda: 𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒙 + 𝒗 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = − 𝟏 𝝆 𝝏𝑷 𝝏𝒙 + 𝝂 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒚𝟐 La teoria que estamos desarrollando considera que los terminus inerciales son del mismo orden que el termino viscoso no simplificado por lo que 𝑈2 𝑥 ≈ 𝜈 𝑈 𝛿2 Y en consecuencia: 𝛿 ≈ 𝜈𝑥 𝑈 Ecuaciones de capa limite Continuando con la direccion 𝑦: 𝑈 𝑈𝛿 𝑥 𝑥 + 𝑈𝛿 𝑥 𝑈𝛿 𝑥 𝛿 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑦 + 𝜈 𝑈𝛿 𝑥 𝑥2 + 𝜈 𝑈𝛿 𝑥 𝛿2 𝑈2𝛿 𝑥2 + 𝑈2𝛿 𝑥2 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑦 + 𝜈 𝑈𝛿 𝑥3 + 𝜈 𝑈 𝑥𝛿 𝐸𝑛 𝑥: 𝑈2 𝑥 + 𝑈2 𝑥 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 + 𝜈 𝑈 𝑥2 + 𝜈 𝑈 𝛿2 Comparando con los ordenes de magnitude de la direccion en x: 𝛿 𝑥 𝑈2 𝑥 + 𝑈2 𝑥 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑦 + 𝛿 𝑥 𝜈 𝑈 𝑥2 + 𝜈 𝑈 𝛿2 Los terminus inerciales y viscosos de la ecuacion en 𝑥 son de orden (𝛿/𝑥) menores que aquellos de la ecuación en 𝑦. Ecuaciones de capa limite Luego, al despreciarlos 0 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑦 Y se tiene que la presion no dependera de la coordenada transversal y solo depende de la coordenada longitudinal 𝝏𝒖 𝝏𝒙 + 𝝏𝒗 𝝏𝒚 = 𝟎 𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒙 + 𝒗 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = − 𝟏 𝝆 𝝏𝑷 𝝏𝒙 + 𝝂 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒚𝟐 Entonces en la capa limite tenemos como ecuaciones: Ecuaciones de capa limite Puesto que la presion no depende de la coordenada transversal, la distribucion de presion a lo largo de la capa limite debe ser la misma que la del flujo externo. Este al ser un flujo potencial e irrotacional nos permite utilizar la ecuacion de Bernoulli 𝑃 𝜌 + 1 2 𝑈2 = 𝑐𝑡𝑡𝑒 En general, la velocidad 𝑈 será función de 𝑥. Derivando la ecuación de Bernoulli 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 1 𝜌 𝑑𝑃 𝑑𝑥 = −𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑥 Luego al sustituir en la ecuacion de momentum se obtiene la llamada ecuacion de Prandtl: 𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒙 + 𝒗 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = 𝑼 𝝏𝑼 𝝏𝒙 + 𝝂 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒚𝟐 Ecuaciones de capa limite 𝝏𝒖 𝝏𝒙 + 𝝏𝒗 𝝏𝒚 = 𝟎 𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒙 + 𝒗 𝝏𝒖 𝝏𝒚 = 𝑼 𝝏𝑼 𝝏𝒙 + 𝝂 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒚𝟐 Las condiciones de borde son: 𝑢 𝑥, 0 = 0 𝑣 𝑥, 0 = 0 Pared sin deslizamiento 𝑢 𝑥, 𝑦 → ∞ = 𝑈(𝑥) Solucion potencial La ultima condicion permite “empatar” el flujo interno de capa limite con elflujo externo o potencial CONTENIDO 1. Introducción 2. Adimensionalización de las ecuaciones 3. Capa limite. Espesores de capa limite 4. Ecuaciones de capa limite 5. Solución de Blasius 6. Ecuación Integral de Von Karman 7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman 8. Separación Solución de Blasius La solución de las ecuaciones de capa limite de Prandlt para un flujo externo constante sobre una placa plana fue obtenida por Blasius. Tenemos como condiciones de borde: 𝑢 → 𝑈 𝑒𝑛 𝑦 → ∞ 𝑢 = 0 en 𝑦 = 0 𝑣 = 0 𝑢 = 𝑈 𝑒𝑛 𝑥 = 0 Solución de Blasius 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝜈 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 Reduciendo la ecuación de momentum a: 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑥 + 𝜈 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 Nuestras ecuaciones de capa limite:. 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 0 Al tener un flujo externo constante. 𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑥 = 0 Introduciremos una función corriente definida por 𝑢 = 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝑣 = − 𝜕𝜓 𝜕𝑥 Solución de Blasius 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝜕2𝜓 𝜕𝑥𝜕𝑦 − 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕2𝜓 𝜕𝑦2 = 𝜈 𝜕3𝑢 𝜕𝑦3 El uso de la función corriente satisface la ecuación de continuidad y permite escribir la ecuación de momentum como: Las formas de los perfiles de velocidad poseen una geometría similar que difieren solo por un factor de proporcionalidad Buscaremos una solución basada en propiedades de similaridad, y escojeremos: 𝜓 = 𝜈𝑈𝑥𝑓(𝜂) 𝜂 = 𝑦 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑦 𝜈𝑥/𝑈 Solución de Blasius Y veamos que ocurre con cada uno de la ecuación de momentun expresada en términos de la función corriente 𝜕𝜓 𝜕𝑥 = 𝜈𝑈𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑥 + 𝜈𝑈 2 𝑥 𝑓 = − 𝜂 2 𝜈𝑈 𝑥 𝑓′(𝜂) + 1 2 𝜈𝑈 𝑥 𝑓(𝜂) 𝜕𝑓(𝜂) 𝜕𝑥 = 𝜕𝑓 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑥 = − 𝑦 2𝑥 𝑥 𝑈 𝜈 𝜕𝑓 𝜕𝜂 = − 𝜂 2𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝜂 = − 𝜂 2𝑥 𝑓′(𝜂) 𝜕𝑓(𝜂) 𝜕𝑦 = 𝜕𝑓 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑦 = 𝑈 𝜈𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝜂 = 𝑈 𝜈𝑥 𝑓′(𝜂) 𝜓 = 𝜈𝑈𝑥𝑓(𝜂) 𝜂 = 𝑦 𝜈𝑥/𝑈 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝜈𝑈𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑈𝑓′(𝜂) 𝜕2𝜓 𝜕𝑦2 = 𝜕(𝑈𝑓′(𝜂)) 𝜕𝑦 = 𝑈 𝜕(𝑓′(𝜂)) 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑦 = 𝑈 𝑈 𝜈𝑥 𝑓′′(𝜂) Solución de Blasius 𝜕3𝜓 𝜕𝑦3 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑈 𝑈 𝜈𝑥 𝑓′′ 𝜂 = 𝑈 𝑈 𝜈𝑥 𝜕(𝑓′′(𝜂)) 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑦 = 𝑈2 𝜈𝑥 𝑓′′′(𝜂) 𝜕2𝜓 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 𝑈𝑓′(𝜂) = 𝑈 𝜕 𝑓′(𝜂) 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝑥 = − 𝜂𝑈 2𝑥 𝑓′′(𝜂) Sustituyendo: 𝑈𝑓′(𝜂) − 𝜂𝑈 2𝑥 𝑓′′ 𝜂 − − 𝜂 2 𝜈𝑈 𝑥 𝑓′ 𝜂 + 1 2 𝜈𝑈 𝑥 𝑓 𝜂 𝑈 𝑈 𝜈𝑥 𝑓′′(𝜂) = 𝜈 𝑈2 𝜈𝑥 𝑓′′′(𝜂) Simplificando: − 𝜂𝑈2 2𝑥 𝑓′(𝜂)𝑓′′ 𝜂 − 𝑈2 2𝑥 −𝜂𝑓′ 𝜂 + 𝑓 𝜂 𝑓′′(𝜂) = 𝑈2 𝑥 𝑓′′′(𝜂) Solución de Blasius − 𝜂𝑈2 2𝑥 𝑓′ 𝜂 𝑓′′ 𝜂 + 𝑈2 2𝑥 𝜂𝑓′ 𝜂 𝑓′′ 𝜂 − 𝑈2 2𝑥 𝑓 𝜂 𝑓′′(𝜂) = 𝑈2 𝑥 𝑓′′′(𝜂) − 1 2 𝑓 𝜂 𝑓′′(𝜂) = 𝑓′′′(𝜂) 𝒇′′′ 𝜼 + 𝟏 𝟐 𝒇 𝜼 𝒇′′(𝜼) = 𝟎 Veamos sus condiciones de borde 𝑢 𝑥, 0 = 0 ⇒ 𝜕𝜓(𝑥, 0) 𝜕𝑦 = 0 ⇒ −𝑈𝑓′ 0 = 0 ⇒ 𝒇′ 𝟎 = 𝟎 𝑣 𝑥, 0 = 0 ⇒ 𝜕𝜓(𝑥, 0) 𝜕𝑥 = 0 ⇒ − 𝜂 2 𝜈𝑈 𝑥 𝑓′(0) + 1 2 𝜈𝑈 𝑥 𝑓(0) = 0 ⇒ 𝒇 𝟎 = 𝟎 Solución de Blasius 𝑢 → 𝑈 𝑒𝑛 𝑦 → ∞ ⇒ 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝑈𝑓′ 𝜂 → 𝑈 𝑒𝑛 𝜂 → ∞ ⇒ 𝒇′ 𝜼 → 𝟏 𝒆𝒏 𝜼 → ∞ En resumen, llegamos a 𝒇′′′ 𝜼 + 𝟏 𝟐 𝒇 𝜼 𝒇′′(𝜼) = 𝟎 Con 𝒇′ 𝟎 = 𝟎𝒇 𝟎 = 𝟎 𝒇′ 𝜼 → 𝟏 𝒆𝒏 𝜼 → ∞ Usando técnicas numéricas se determina 𝑓 y en consecuencia las componentes de la velocidad 𝑣 = − 𝜕𝜓 𝜕𝑥 = 𝜂 2 𝜈𝑈 𝑥 𝑓′ 𝜂 − 1 2 𝜈𝑈 𝑥 𝑓(𝜂)𝑢 = 𝜕𝜓 𝜕𝑦 = 𝑈𝑓′(𝜂) Se redujo la EDP a una EDO con condiciones de borde bien definidas Solución de Blasius Algunos valores de la velocidad en function de 𝜂 se presentan en la siguiente tabla: Solución de Blasius Graficamente: Solución de Blasius El esfuerzo de corte sobre la placa viene dado por 𝜏0 𝑥 = 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑦 (𝑥, 0) = 𝜇 𝜕2𝜓 𝜕𝑦2 (𝑥, 0) 𝜏0 𝑥 = 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑥, 0 = 𝜇 𝑈 𝜈𝑥 𝑓′′ 0 Adimensionalizando: 𝜏0 𝑥 𝜌𝑈2/2 = 2 𝜈 𝑥𝑈 𝑓′′(0) Luego: Donde: 𝜏0 𝑥 𝜌𝑈2/2 = 2 𝑅𝑒𝑥 𝑓′′(0) 𝑅𝑒𝑥 = 𝑥𝑈 𝜈 Solución de Blasius 𝑓′′(0) es obtenido numéricamente, y posee un valor igual a 0.332 𝑪𝒇 = 𝝉𝟎 𝒙 𝝆𝑼𝟐/𝟐 = 𝟎. 𝟔𝟔𝟒 𝑹𝒆𝒙 Se define a 𝝉𝟎 𝒙 𝝆𝑼𝟐/𝟐 como el coeficiente local de friccion y se tiene Otra cantidad de interés es la fuerza de arrastre que viene dada por: 𝐹𝐷 = 0 𝑥 𝜏0 𝜉 𝑏𝑑𝜉 Donde 𝑏 es el ancho de la placa. Luego, se define el coeficiente de arrastre 𝐶𝐷 = 𝐹𝐷 1 2 𝜌𝑈2𝑏𝑥 = 0 𝑥 𝜏0 𝜉 𝑏𝑑𝜉 1 2 𝜌𝑈2𝑏𝑥 Solución de Blasius 𝐶𝐷 = 0 𝑥 0.664 𝑅𝑒𝜉 𝜌𝑈2 2 𝑏𝑑𝜉 1 2 𝜌𝑈2𝑏𝑥 = 0.664 x 0 𝑥 𝑑𝜉 𝑅𝑒𝜉 = 0.664 x 0 𝑥 𝑑𝜉 𝜉𝑈 𝜈 = 𝐶𝐷 = 0.664 x 1 1/2 𝑈/𝜈 𝜉1/2 0 𝑥 = 1.328 𝑥1/2 1 𝑈/𝜈 𝑪𝑫 = 𝟏. 𝟑𝟐𝟖 𝑹𝒆𝒙 Solución de Blasius De los valores numéricos se puede observar que 𝑢 = 0.99𝑈 cuando 𝜂~5 El espesor de capa limite es obtenido apartir de la definición de 𝜂 = 𝑦 𝜈𝑥/𝑈 𝛿 = 𝜂𝑢=0.99𝑈 𝜈𝑥/𝑈 = 5 𝜈𝑥/𝑈 𝜹 𝒙 = 𝟓 𝝂 𝒙𝑼 = 𝟓 𝑹𝒆𝒙 Similarmente, los espesores de capa limite de desplazamiento y momentum pueden ser obtenidos 𝛿 𝑥 = 1 𝑥 0 ∞ 1 − 𝑢 𝑈 𝑑𝑦 = 1.72 𝑅𝑒𝑥 𝜃 𝑥 = 1 𝑥 0 ∞ 𝑢 𝑈 1 − 𝑢 𝑈 𝑑𝑦 = 0.664 𝑅𝑒𝑥 CONTENIDO 1. Introducción 2. Adimensionalización de las ecuaciones 3. Capa limite. Espesores de capa limite 4. Ecuaciones de capa limite 5. Solución de Blasius 6. Ecuación Integral de Von Karman 7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman 8. Separación Ecuación Integral de Von Karman La solución de Blasius corresponde a la solución de las ecuaciones de capa limite para un flujo externo constante que fluje sobre una placa plana sin transpiración, las formas de solución obtenidas satisfacen las ecuaciones de capa limite para todos los puntos en el espacio, es decir para cuales quiera valores de 𝑥 e 𝑦 . Sin embargo, encontrar soluciones de este tipo no son siempre posibles. En ocasiones, a pesar de no ser posible una solución “diferencial”, si lo es satisfacer las ecuaciones de conservación en un sentido de promedios. Si las ecuaciones de capa limite son integradas respecto a la dirección y encontraremos una ecuación que representa el balance promedio de las fuerzas inerciales y viscosas para cada posición 𝑥 Ecuación Integral de Von Karman Consideremos un volumen de control estacionario fijo a la superficie cuya longitud paralela a la placa es infinitesimal 𝛿𝑥 pero con una altura finita y dada por 𝑌 Intentaremos desarrollar una ecuación diferencial que ya este integrada en la dirección 𝑦 Ecuación Integral de Von Karman Integremos nuestras ecuaciones en un V.C 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0 𝜌 𝑉 ∙ 𝛻 𝑢 = − 𝑑𝑃 𝑑𝑥 + 𝜇 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 Integrando C. Masa: 𝑉 (𝛻 ∙ 𝜌𝑉)𝑑𝑉 = 𝑆 𝜌(𝑉 ∙ 𝑑 𝑆) = 0 ⇒ 𝑺 𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑺) = 𝟎 Integrando C. Momentum en x: 𝛻 ∙ 𝑉𝜌𝑉 = 𝑉 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 + 𝜌 𝑉 ∙ 𝛻 𝑉 = 𝜌 𝑉 ∙ 𝛻 𝑉 𝜇 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 = 𝜇 𝜕(𝜏𝑦) 𝜕𝑦 𝑉 𝑉 ∙ 𝛻 𝜌𝑢𝑑𝑉 = 𝑉 − 𝑑𝑃 𝑑𝑥 + 𝜇 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 𝑑𝑉 𝑉 𝛻 ∙ 𝑉𝜌𝑢 𝑑𝑉 = − 𝑉 𝑑𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑉 + 𝑉 𝜕(𝜏𝑦) 𝜕𝑦 𝑑𝑉 𝑺 𝝆𝒖(𝑽 ∙ 𝒅𝑺) = − 𝑺 𝑷(𝒅𝑺 ∙ 𝒋) + 𝑺 𝝉𝒚(𝒅𝑺 ∙ 𝒊) ⇒ Ecuación Integral de Von Karman Resumiendo, nuestras ecuaciones de capa limite son Forma diferencial: 𝜵 ∙ 𝝆𝑽 = 𝟎 𝝆 𝑽 ∙ 𝜵 𝒖 = − 𝒅𝑷 𝒅𝒙 + 𝝁 𝝏𝟐𝒖 𝝏𝒚𝟐 Forma Integral: 𝑺 𝝆(𝑽 ∙ 𝒅𝑺) = 𝟎 𝑺 𝝆𝒖(𝑽 ∙ 𝒅𝑺) = − 𝑺 𝑷(𝒅𝑺 ∙ 𝒋) + 𝑺 𝝉𝒚(𝒅𝑺 ∙ 𝒊) Ecuación Integral de Von Karman Apliquemos nuestra ley de conservacion de la masa a nuestro V.C 𝜌𝑌𝑣𝑌𝛿𝑥𝑏 + 𝑏 0 𝑌 𝜌𝑢𝑑𝑦 + 𝑏 𝑑 𝑑𝑥 0 𝑌 𝜌𝑢𝑑𝑦 𝛿𝑥 − 𝜌0𝑣0𝛿𝑥𝑏 − 𝑏 0 𝑌 𝜌𝑢𝑑𝑦 = 0 𝝆𝒀𝒗𝒀 = 𝝆𝟎𝒗𝟎 − 𝒅 𝒅𝒙 𝟎 𝒀 𝝆𝒖𝒅𝒚 Ecuación Integral de Von Karman Ahora nuestra ecuacion de momentum en direccion horizontal: 𝜌𝑌𝑢𝑌𝑣𝑌𝛿𝑥𝑏 + 𝑏 0 𝑌 𝜌𝑢2𝑑𝑦 + 𝑏 𝑑 𝑑𝑥 0 𝑌 𝜌𝑢2𝑑𝑦 𝛿𝑥 − 𝑏 0 𝑌 𝜌𝑢2𝑑𝑦 = 𝜏𝑌𝛿𝑥𝑏 − 𝜏0𝛿𝑥𝑏 + 0 𝑌 𝑃𝑏𝑑𝑦 − 0 𝑌 𝑃𝑏𝑑𝑦 + 0 𝑌 𝑑𝑃 𝑑𝑥 𝑏𝑑𝑦 Ecuación Integral de Von Karman Simplificando: 𝜌𝑌𝑢𝑌𝑣𝑌 + 𝑑 𝑑𝑥 0 𝑌 𝜌𝑢2𝑑𝑦 = 𝜏𝑌 − 𝜏0 − 0 𝑌 𝑑𝑃𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝜏0 Introduciendo la expresion obtenida de la conservacion de la masa 𝑈𝜌𝑌𝑣𝑌 + 𝑑 𝑑𝑥 0 𝑌→∞ 𝜌𝑢2𝑑𝑦 = −𝜏0 − 0 𝑌→∞ 𝑑𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Consideremos que el volume de control se extiende lo suficiente tal que 𝑢𝑌 = 𝑈 y 𝜕𝑢 𝜕𝑦𝑦=𝑌 = 0 esto ultimo conlleva a 𝜏𝑌 = 0 𝑼𝝆𝟎𝒗𝟎 − 𝑼 𝒅 𝒅𝒙 𝟎 𝜹 𝝆𝒖𝒅𝒚 + 𝒅 𝒅𝒙 𝟎 𝜹 𝝆𝒖𝟐𝒅𝒚 + 𝟎 𝜹 𝒅𝑷 𝒅𝒙 𝒅𝒚 = −𝝉𝟎 Ecuación Integral de Von Karman Como se escogió que el V.C se extendiera mas alla de la inflluenia de la capa limite podemos relacionar mediante la ecuación de Bernoulli la presión con la velocidad de la corriente libre: 𝑑𝑃 𝑈 = −𝑑 𝑈2 2 ⇒ 𝑑𝑃 𝑑𝑥 = −𝜌∞𝑈 𝑑𝑈 𝑑𝑥 Y luego: 𝑼𝝆𝟎𝒗𝟎 − 𝑼 𝒅 𝒅𝒙 𝟎 𝜹 𝝆𝒖𝒅𝒚 + 𝒅 𝒅𝒙 𝟎 𝜹 𝝆𝒖𝟐𝒅𝒚 + 𝟎 𝜹 −𝝆∞𝑼 𝒅𝑼 𝒅𝒙 𝒅𝒚 = −𝝉𝟎 𝑼𝝆𝟎𝒗𝟎 + 𝒅 𝒅𝒙 𝟎 𝜹 𝝆𝒖(𝒖 − 𝑼)𝒅𝒚 + 𝟎 𝜹 −𝝆∞𝑼 𝒅𝑼 𝒅𝒙 𝒅𝒚 = −𝝉𝟎 CONTENIDO 1. Introducción 2. Adimensionalización de las ecuaciones 3. Capa limite. Espesores de capa limite 4. Ecuaciones de capa limite 5. Solución de Blasius 6. Ecuación Integral de Von Karman 7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman 8. Separación Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman Apliquemos el método integral al flujo uniforme en estado permanente sobre una placa plana que no posee transpiracion. Al tener que la velocidad del flujo es uniforme 𝑑𝑃 𝑑𝑥 = −𝜌∞𝑈 𝑑𝑈 𝑑𝑥 = 0 Y además al tener una placa sin transpiración 𝒗𝟎 = 𝟎 Nuestra ecuacion integral de capa limite queda simplificada de la forma: 𝑑 𝑑𝑥 0 𝛿 𝜌𝑢2𝑑𝑦 − 𝑈 𝑑 𝑑𝑥 0 𝛿 𝜌𝑢𝑑𝑦 = −𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑦=0 𝑑 𝑑𝑥 0 𝛿 (𝜌𝑢2 − 𝜌𝑈𝑢)𝑑𝑦 + 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑦=0 = 0 𝜏0 = 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑦=0 El esfuerzo de corte en la pared viene dado por: Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman Debemos ahora suponer una forma para el perfil de velocidades Una solución bastante aceptable puede ser obtenida al considerar un perfil simple de una parábola cuadrática. Sin embargo una cubica permite obtener una mejor solución ya que tenemos que la segunda derivada de la velocidad respeto a y se hace cero en la pared. Tomemos: 𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑦2 + 𝑑𝑦3 Requerimos 4 condiciones (o ecuaciones) para determinar los coeficientes del polinomio De las condiciones de borde: En 𝑦 = 0 𝑢 = 0 𝑣 = 0 En 𝑦 = 𝛿 𝑢 = 𝑈 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 0 Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman Nuestra ecuación de capa limite de Prandlt nos permite obtener a partir de la condición de 𝑣 𝑦 = 0 = 0 que 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 (𝑦 = 0) = 0 Con estas cuatro condiciones: 𝑢 𝑈 = 3 2 𝑦 𝛿 − 1 2 𝑦 𝛿 3 Sustituyendo en nuestra ecuacion integral: 𝑑 𝑑𝑥 0 𝛿 𝜌 3 2 𝑦 𝛿 − 1 2 𝑦 𝛿 3 2 − 3 2 𝑦 𝛿 + 1 2 𝑦 𝛿 3 𝑑𝑦 + 𝜇 𝜕 𝜕𝑦 3 2 𝑦 𝛿 − 1 2 𝑦 𝛿 3 𝑦=0 = 0 Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman 𝑑 𝑑𝑥 0 𝛿 𝜌𝑈2 9 4 𝑦2 𝛿2 − 3 2 𝑦4 𝛿4 + 1 4 𝑦6 𝛿6 − 3 2 𝑦 𝛿 + 1 2 𝑦3 𝛿3 𝑑𝑦 + 3𝜇 2𝛿 𝑈 = 0 𝑑 𝑑𝑥 𝜌𝑈 3 4 𝑦3 𝛿2 − 3 10 𝑦5 𝛿4 + 1 28 𝑦7 𝛿6 − 3 4 𝑦2 𝛿 + 1 8 𝑦4 𝛿3 + 3𝜇 2𝛿 = 0 𝒅 𝒅𝒙 𝝆𝜹𝑼 𝟑𝟗 𝟐𝟖𝟎 = 𝟑𝝁 𝟐𝜹 Integrando y usando como condicion de borde: 𝛿 𝑥 = 0 = 0 𝜹 = 𝟖𝟒𝟎 𝟑𝟗 𝝁𝒙 𝝆𝑼 = 𝟒. 𝟔𝟒𝟏 𝒙 𝑹𝒆𝒙 Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman 𝜏0 = 𝜇 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑦=0 = 𝜇 3 2 𝑈 𝛿 = 0.3233 𝜇𝑈 𝑥 𝑅𝑒𝑥 Para hallar el esfuerzo de corte en la pared usamos las expresiones 𝑢 𝑈 = 3 2 𝑦 𝛿 − 1 2 𝑦 𝛿 3 y 𝛿 𝑥 = 4.641 𝑅𝑒𝑥 Luego: 𝐶𝑓 = 𝜏0 𝜌𝑈2/2 = 0.647 𝑅𝑒𝑥 Al comparar con la solución exacta 𝛿 𝑥 = 4.641 𝑅𝑒𝑥 𝜹 𝒙 𝑩𝒍𝒂𝒔𝒊𝒖𝒔 = 𝟓 𝑹𝒆𝒙 Representa una diferencia de 7% Representa una diferencia de 2.6% respecto a la sol exacta CONTENIDO 1. Introducción 2. Adimensionalización de las ecuaciones 3. Capa limite. Espesores de capa limite 4. Ecuaciones de capa limite 5. Solución de Blasius 6. Ecuación Integral de Von Karman 7. Aplicación de la Ecuación integral de Von Karman 8. Separación Separación Se tiene, de observaciones experimentales, que la capa limite tiene tendencia a separarse de la superficie en la que fluye para formar una estela. Esta conlleva a una diferencia de presión importante en el cuerpo que resulta en un incremento sustancial de la fuerza de arrastre. En cuerpos cilíndricos a altos números de Reynolds, la fuerza de arrastre producida por los efectos viscosos es incluso despreciable en comparación con aquella que genera los efectos de la presión. Separación Consideremos la solución potencial para el flujo sobre un cilindro sin circulación, se tiene que las componentes de la velocidad son: 𝑢𝑅 = 𝑈𝑐𝑜𝑠 1 − 𝑎2 𝑅2 𝑢𝜃 = 𝑈𝑠𝑖𝑛 1 + 𝑎2 𝑅2 Sobre una línea de corriente tendremos que la presión se obtiene a partir de: 𝑃0 𝜌 + 1 2 𝑈2 = 𝑃 𝜌 + 1 2 𝑢𝜃 2 La presión sobre la superficie del cilindro (𝑟 = 𝑎) viene dada por 𝑃0 𝜌 + 1 2 𝑈2 = 𝑃 𝜌 + 1 2 𝑢2 = 𝑃 𝜌 + 1 2 (𝑢𝑅 2 + 𝑢𝜃 2) Separación 𝑃0 𝜌 + 1 2 𝑈2 = 𝑃 𝜌 + 2𝑈2 sin2 𝜃 ⇒ 𝑃 = 𝑃0 + 1 2 𝜌𝑈2(1 − 4 sin2 𝜃) Separación A medida que nos movemos aguas abajo, la presión sobre el cilindro que habia alcanzado su menor valor en q 𝜃 = 𝜋/2 comienza a incrementarse. Este gradiente de presion adverso (en sentido contrario a la velocidad, es capaz de detener el flujo en el punto de estancamiento 𝜃 = 𝜋). Al incluir los efectos de capa limite tenemos que la presion dentro de la capa limite no cambia en direccion perpendicular al flujo. La inercia del flujo es menor al interior de la capa limite debido a la adherencia a la pared. En consecuencia, la existencia de este gradiente de presion podria detener el flujo. Separación De la ecuación de momentum en la capa limite 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 + 𝜈 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 En las cercanías de la pared los términos inerciales son prácticamente nulos 𝑢, 𝑣 → 0 por lo que 1 𝜌 𝜕𝑃 𝜕𝑥 = 𝜈 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 Y al ser el gradient de presion positivo 𝜕 2𝑢 𝜕𝑦2 > 0 Y en consecuencia: 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑦+∆𝑦 > 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑦 Separación Luego, dependiendo de la inercia del fluido se podría producir una situación como la siguiente: Capitulo 7 Capa Limite Mecánica de los Fluidos I Prof. Richard Oliva Denis
Compartir