calculo 2

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Universidad Nacional de Río Cuarto
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ciencias Básicas
CÁLCULO I
Tomo II - Teórico-Práctico - 2020
El siguiente texto, en un principio, fue recopilado y organizado sobre la base de la bibliografía 
indicada en el programa, principalmente por el Prof. Hugo Omar Pajello.
Colaboraron en esta tarea: María Ziletti, Fabián Romero, Ezequiel Podversic, Gabriel Paisio, 
Jorge Daghero, María Barlasina, Aldo Chiarvetto, María Beatriz Nieto, Fernando Pajello.
Actualmente el plantel docente a cargo del dictado de la materia, sigue actualizando y amplian-
do el presente material
Docentes de la asignatura:
Barone, Adrián abarone@ing.unrc.edu.ar
Barros, Julio jbarros@ing.unrc.edu.ar 
Daghero, Jorge jdaghero@ing.unrc.edu.ar
Mendez, Alejandra amendez@ing.unrc.edu.ar
Morsetto, Jorge jmorsetto@ing.unrc.edu.ar
Paisio, Gabriel gpaisio@ing.unrc.edu.ar
Podversic, Ezequiel epodversic@ing.unrc.edu.ar
Romero, Fabián fromero@ing.unrc.edu.ar
Stoll, Rodolfo rstoll@ing.unrc.edu.ar 
Ziletti, María mziletti@ing.unrc.edu.ar
Carreras:
Ingeniería en Telecomunicaciones 
Ingeniería Química 
Ingeniería Mecánica 
Ingeniería Electricista 
Indice
4 LIMITE Y CONTINUIDAD
4.1 UN PROBLEMA MOTIVADOR. ...........................................................7
4.2 DEFINICIONES PRELIMINARES .......................................................8
4.3 INTRODUCCION AL CONCEPTO DE LIMITE ........................................9
4.4 LIMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO. .......................................12
4.5 LIMITE INFINITO. .......................................................................15
4.6 LIMITE EN EL INFINITO. ..............................................................16
4.7 LIMITE INFINITO EN EL INFINITO. .................................................19
4.8 EL ALGEBRA DE LIMITES .............................................................19
4.9 LIMITES LATERALES. ...................................................................23
4.10 ALGUNOS CONCEPTOS IMPORTANTES. ...........................................24
4.11 LIMITES INDETERMINADOS. .........................................................25
4.12 LIMITES NOTABLES. ....................................................................26
4.13 CONTINUIDAD EN UN PUNTO. .......................................................29
4.14 CONTINUIDAD A LA DERECHA Y A LA IZQUIERDA. ..........................29
4.15 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO. ................................................30
4.16 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS. .............................30
4.17 CONTINUIDAD UNIFORME. ...........................................................30
4.18 FUNCIONES CASICONTINUAS. ......................................................30
4.19 FUNCIONES DISCONTINUAS. ........................................................31
TRABAJO PRACTICO NO 4 .....................................................................33
5 DERIVADAS
5.1 DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO ....................................39
5.2 INTERPRETACION GEOMETRICA .....................................................40
5.3 DERIVADAS LATERALES ................................................................41
5.4 LA FUNCION DERIVADA ................................................................44
5.5 UNA PRIMERA TABLA DE DERIVADAS .............................................46
5.6 ALGEBRA DE DERIVADAS ..............................................................47
5.7 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS .......................50
5.8 DERIVADA DE LA FUNCION COMPUESTA .........................................51
5.9 DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA ..............................................53
5.10 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS ..........54
5.11 DERIVADA DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS .................55
5.12 DERIVADA DE UNA FUNCION ELEVADA A OTRA FUNCION ..................56
5.13 DERIVADA DE UNA FUNCION DEFINIDA IMPLICITAMENTE .................57
 TRABAJO PRÁCTICO NO 5 ......................................................................60
6 APLICACIONES DE LA DERIVADA
6.1 ECUACION DE LA RECTA TANGENTE .................................................65
6.2 APROXIMACION LINEAL ..................................................................68
6.3 DIFERENCIAL DE UNA FUNCION ......................................................69
6.4 TEOREMA DE ROLLE .......................................................................72
6.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO (REGLA DE CAUCHY) .....73
6.6 TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DE LAGRANGE ..................................74
6.7 REGLA DE L’HOPITAL ......................................................................75
 TRABAJO PRÁCTICO NO 6 ......................................................................80
7 ANALISIS DE FUNCIONES
7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCION EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO ..85
7.2 DECRECIMIENTO DE UNA FUNCION EN PUNTO Y EN INTERVALO ........86
7.3 MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DEFUNCIONES DE UNA VARIABLE ..87
7.4 EXTREMOS ABSOLUTOS ................................................................91
7.5 DEFINICION DE CONCAVIDAD .......................................................91
7.6 PUNTO DE INFLEXION ..................................................................92
7.7 INTERVALOS DE CONCAVIDAD ......................................................92
7.8 PROBLEMAS DE OPTIMIZACION .....................................................93
 TRABAJO PRÁCTICO NO 7 .......................................................................94
7
4LÍMITE Y CONTINUIDAD
4.1 UN PROBLEMA MOTIVADOR
Encontrar la longitud de la circunferencia de radio R.
Así planteado el problema, no parece un verdadero problema. Desde nuestros primeros 
años de escolaridad conocimos que la respuesta es R2r . Pero si nos dicen ahora, que 
demostremos que la longitud de la circunferencia, viene dada por esa fórmula, ya no nos 
parece tan sencillo dar una respuesta.
Nos va a guiar en esta primera parte de la respuesta a nuestro problema Arquímedes de 
Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), quien, entre otras muchas cosas, calculó el valor de r , 
usando los polígonos inscriptos y circunscritos en una circunferencia.
Comencemos por calcular el perímetro de un polígono regular de n lados inscripto en la 
circunferencia de radio R. Observar la figura 4.1 puede permitirnos activar nuestra intuición 
para dar respuesta al problema.
Consideremos el triángulo de lados R, R, ln , uno de sus ángulos interiores será a n
2
n
r= . 
Si dividimos a este triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos, observar que el ángulo 
an , queda dividido en dos partes iguales, es decir a
n2
n r= . 
Figura 4.1
8
4
Siempre considerando el triángulo rectángulo anterior, llegamos a:
 
l R sen
a
2 2
n n= b l
l R sen n2n
r= b l 
Designemos por Ln , el perímetro del polígono inscripto de n lados entonces: 
L n ln n=
y reemplazando por la expresión de ln en esta última, nos produce:
L R n sen n para n2 3>n
r= b l
 
Es interesante fijar un radio, digamos R=1 y ver que a medida que aumentamos el valor de 
n el valor del perímetro, se acerca a p2 . Veamos:
R n Ln
1 5 5,877852523
1 10 6,180339887
1 50 6,279051953
1 100 6,282151816
1 1000 6,283174972
Volvemos a la ecuación (4-1), mirando esta fórmula del lado del polígono regular inscripto 
en la circunferencia de radio R, vemos que a medida que n crece la longitud del lado 
decrece. Por lo cual la longitud de cada lado para valores de n grande se va a parecer 
bastante a la longitud del arco de circunferencia Cn (ver figura 4.1); por lo que esperamos 
que el perímetro Ln, calculado en (4-2), se parezca a la longitud de la circunferencia, a 
medida que n se hace cada vez más grande.
Ahora bien en la expresión(4-2) cuando n se hace grande el seno se hace cada vez más 
chico, con lo cual tenemos un producto de un número muy grande, por un número muy 
chico, ¡esto es un problema! Porque… ¿cuánto vale este producto si n es muy grande? ¿un 
número pequeño? ¿un número grande? ¿cero? ¿uno? 
Otras cuestiones que aparecen ahora son:
 
1) ¿este producto tiene sentido para n indefinidamente? 
2) ¿para n indefinidamente grande, Ln se parece a R2p ? ¿O sólo se da si R=1 como en el 
ejemplo?
Para contestar estas cuestiones y dar una respuesta definitiva al problema que nos hemos 
planteado, recorremos un largo camino (por momentos tortuoso), guiados por Newton-
Leibniz y otros que han contribuido al desarrollo del Cálculo.
Que este camino sea largo, no nos tiene que extrañar, desde Arquímedes a Newton-
Leibniz han transcurrido más de mil ochocientos años. ¡Cuántos años transcurridos, cuánta 
matemática creada! 
Después de desarrollar la teoría de Límites, que es el tema de este capítulo, podremos dar 
una solución al problema planteado.
4.2 DEFINICIONES PRELIMINARES
Entorno de un punto.
Se llama entorno de un punto, o de un valor x0 de la variable x, a todo intervalo que 
contenga a dicho punto y cuya amplitud pueda hacerse tan pequeña como se quiera. Es 
decir, entorno de un punto x0, es todo intervalo (a, b), tal que: 
a < x0 < b
Se denomina entorno simétrico de centro x0 y radio d, a todo intervalo (x0-d, x0+d). Se 
simboliza: N (x0 , d) o también N(x0).
(4-1)
(4-2)
9
4
entorno N(x0 , d) = {x / x - x 0 < d} ; para: d > 0.
Se llama semientorno a la izquierda de x0, a todo intervalo:
(x0-d, x0) = {x0-d < x < x0}
Por otra parte, semientorno a la derecha de x0, es todo intervalo:
(x0 , x0+d) = {x0 < x < x0+d}
Se denomina entorno reducido, a todo entorno que excluye el valor x = x0. En símbolos:
entorno reducido N’ (x0 , d) = {x / 0 < 0xx − < d}
Gráficamente:
4.3 INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE
Una de las ideas centrales del cálculo creadas, casi simultáneamente, por Newton y Leibniz, 
en el siglo XVII, es la noción de Límite de una función en un punto. Esta noción nos 
permitirá definir conceptos tales como: Continuidad, Derivada de una función y otros que, 
hacen del Cálculo una herramienta de gran aplicación en la ciencia y en la tecnología.
Para inspirar nuestra definición en lo que daremos en llamar “Límite de una función en un 
punto”, comenzamos por un ejemplo. Consideremos la función a variable real:
1x
4x4)x(f
2
−
−
=
La gráfica de esta función es la que se muestra a continuación:
Una pregunta que surge naturalmente es ¿Cuál es su dominio? ¿ya lo pensó?. La respuesta 
es que son todos los reales menos el uno o más formalmente ( )Dom f x 1R= - ! + puesto 
que si reemplazamos por el número 1 en la fórmula de ( )f x resulta una expresión que 
no podemos calcular, esto es 0
0 y de acuerdo con las propiedades de los números reales 
“no se puede dividir por cero” o lo que es equivalente a decir “el cero no tiene inverso 
multiplicativo”. 
Figura 4.2
Figura 4.3
10
4
Es importante que nos quede claro que si tomamos cualquier otro número real “distinto de 
uno” al reemplazar en f(x) su valor, la cuenta se puede hacer sin dificultad. Al decir distinto 
de uno, podemos pensar en números próximos al “1” como por ejemplo x=0,98 (¿tiene 
lápiz y papel? ¿calculadora?, ¡entonces a verificar!). Obtenemos que f(0,98)=7,92.
¿Si tomamos valores muy próximos a “1” los valores de la función se acercan a algún valor 
determinado? O por el contrario, ¿los valores que asume la función no se estabilizan hacia 
ningún número, cuando el valor de variable se “acerca” a “1”?.
Para ayudar nuestra intuición completamos la siguiente tabla de valores:
x 0,98 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,02
f(x) 7,92 7,96 7,996 7,9996 No existe 8,0004 8,004 8,04 8,08
Si miramos la tabla, vemos que:
i) “Los valores de la función se acercan al valor 8 cuando los valores de la variable “x” se 
acercan al valor 1”
ii) “Los valores de función se van estabilizando al valor 8 a pesar que la función no está 
definida en el punto x=1”
Observaciones: 
a) ¿De qué manera podemos cuantificar la afirmación dada en i)?
Que los valores de la función f(x) se acerquen al valor 8, significa que la distancia de f(x) a 
8 se va haciendo cada vez más chica. Esto es equivalente a pedir que: |f(x)-8| es cada vez 
más chico (piense que el valor absoluto es la manera en que medimos la distancia entre 
números reales). De forma similar diremos que, “x” se acerca a 1 si |x-1| se hace chico.
b) Que “|f(x)-8| se haga cada vez más chico, cuando |x-1| se hace chico” lo podemos 
expresar diciendo que: Si damos un número positivo arbitrario (lo elegimos como nos 
guste), digamos 0>ε , podemos encontrar un número positivo “ 0)( >εd ” que depende del 
número 0>ε , que hemos elegido, de tal forma que se cumpla la implicación:
si x0 1< < d- entonces f x 8 < f-] g
Analicemos si esta afirmación traduce efectivamente lo que estamos queriendo expresar. Al 
ser 0>ε arbitrariamente elegido, lo podemos tomar tan chico como queramos, esto nos 
asegura que la distancia de f(x) a 8, medida por |f(x)-8| es chica y por ende los valores 
de función se acercan al valor 8. Ahora para que todo ande bien tenemos que encontrar 
un número 0)( >εd que nos asegure que nos acercamos al valor x=1 (sin llegar a tocarlo, 
observe que |x-1|>0, nos interesa qué le pasa a la función cerca del número “1” y no lo 
que vale en “1”)
Para verificar la implicación planteada, debemos encontrar el número 0>d , para asegurar 
que efectivamente los valores de función se “estabilizan” al valor 8 cuando nos acercamos 
tanto como queramos al valor de variable 1. En caso que para cualquier 0>ε , podamos 
encontrar el número 0>d diremos que: “la función tiende a 8 cuando x tiende a 1” o que 
“el Límite de la función es 8 cuando x tiende a 1”. A estas expresiones las notaremos:
( )lim f x 8
x 1
=
$
c) Para fijar ideas acerca de la observación (b), supongamos que ,0 01f = ¿Cómo debemos 
tomar 0>d para que se cumpla que: si x0 1< < d- entonces ( ) ,f x 8 0 01<- ? 
Para encontrar el número 0)( >εd , desarrollaremos una técnica llamada “acotación”. 
Procedemos como sigue: 
i) Suponemos siempre que 1x ≠ .
( )f x x
x8 1
4 4 8
2
- = -
- -
( ) ( )( )f x x
x x8 1
4 1 1
8- = -
- +
-
(4-3)
11
4
( ) ( )f x x8 4 1 8- = + -
( ) ( )f x x8 4 1- = -
( )f x x8 4 1- = -
Observar que la tercera igualdad se justifica pues estamos considerando x 1! , es decir 
x 1 0!- y podemos simplificar (alegremente) las expresiones semejantes.
Como ε<− 8)x(f , entonces: 
ε<− 1x4
De la última expresión podemos despejar y obtener lo que queríamos:
4
1x1x4 εε <−⇒<−
Como d<− 1x entonces: 
)(
4
εε d=
Para nuestro caso: 
,
,
, ,0 01 4
0 01
0 01 0 0025(d d= =^ ^h h
ii) Veamos que con esta elección de 0025,0=d se cumple la implicación planteada en (4-3) 
ahora ya sabemos que 0025,01x0 <−< , (no olvidar que 1x ≠ ), en esencia hacemos los 
mismos pasos que en (i) pero ahora ya sabemos como tomar “d ”.
( ) ( ) ( ) . , ,f x
x
x
x x x8
1
4 4
8 4 1 8 4 1 4 1 4 0 0025 0 01<
2
f- = -
-
- = + - = - = - = =
Observar que hemos demostrado: , ( ) ,si x f x0 1 0 0025 8 0 01< < <(- -
iii) Si miramos fijamente los cálculos, se ve que valen para cualquier 0>ε que tomemos, 
por lo tanto vale: si ( )x f x0 1 4 8< < <(
f
f- - . Y esto último nos dice que:
“El límite cuando x tiende a 1 de la función ( )f x
x
x
1
4 4
2
=
-
-
, es 8”
En la notación que usaremos, escribimos: 8
1x
4x4lím
2
1x
=
−
−
→
 
iv) Miremos gráficamente qué significa: ( )si x f x0 1 4 8< < <(
f
f- -
Esta última implicación es equivalente a (¿tiene lápiz y papel?):
( )si x x f x1 4 1 4 1 8 8< < < <(/ !
f f
f f- + - +
Esta última expresión nos está diciendo que:
Cada vez que el valor de “x” está en el intervalo reducido1: , ,1 4 1 1 1 4,
f f- +b bl l , entonces: 
los valores de de imágenes f(x) “caen” en el intervalo ( )εε +− 8,8 , cuyo centro es el límite 
de la función en 1,es decir el número real 8.
 
1 el nombre reducido es porque no se incluye el centro del intervalo, en este caso el número 1
12
4
v) Interpretemos que nos está diciendo el gráfico de la figura anterior (no habla pero, es 
como si):
Puesto que se cumple que 8)x(flím
1x
=
→
, cada vez que demos un número positivo 0>ε 
se verifica que hay un rectángulo (al cual le sacamos la recta vertical x=1) de la forma 
, ,1 4 1 1 1 4,
f f- +b bl l: D x ,8 8f f- +^ h , del cual la gráfica de la función no se sale. En este 
rectángulo donde está contenido el punto (1; 8), punto límite de la función.
Observar que el área de cada rectángulo se hace tan chica como queramos, con tal de 
tomar un 0>ε , suficientemente pequeño y que estos rectángulos contienen al (1; 8).
 
Ahora estamos en condiciones de dar la siguiente definición de Límite de una Función 
en un punto, esta definición (que por razones obvias) se llama Épsilon-Delta se debe al 
matemático alemán Karl Weierstrass (siglo XIX).
4.4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Definición 1
Sea una función f(x) definida en un intervalo R⊆I , salvo quizás en un número x0 contenido 
en I. Diremos que el límite de f(x) es L cuando x tiende a x0, y escribimos: ( )lim f x Lx x0 =$ si 
se cumple que:
Dado 0>f , existe 0>d f] g tal que, si x x f x L0 < < <0 (d f- -] g
Observaciones:
1) La frase “salvo quizás” de la definición significa que puede darse el caso que la función 
sí esté definida en el punto Ix0 ∈
2) Procediendo de forma similar a lo hecho en el ejemplo vemos que:
si ( )x x f x L0 < < <0 (d f- -
es equivalente a: 
( )si x x x x x L f x L< < < <0 0 0 (/ !d d f f- + - +
Esto último nos dice que cualquiera sea el épsilon positivo que tomemos siempre podemos 
encontrar un número delta también positivo (que depende del épsilon) de forma tal que, 
cada vez que tomamos un número real “x”, en el intervalo: , ,x x x x0 0 0 0,d d- +^ ^h h , se puede 
asegurar que la imagen de ese valor, es decir “f(x)”, pertenece al intervalo ( )εε +− L,L .
Figura 4.4
13
4
3) El gráfico correspondiente a lo expresado en la observación (2) es:
 
Mirando el gráfico vemos que, la gráfica de f(x) no se sale del rectángulo de base 








 dd +− 0000 x,xx,x  y de altura ( )εε +− L,L .
Ejemplo 1
Veamos un ejemplo más para ver como funciona la definición. 
Demostrar usando la definición que: 1)7x3(lím
2x
=+
−→
.
Comenzamos por encontrar como depende el d , del épsilon, para ello, tomamos un 0>ε 
y planteamos:
( ) ( ) ε<−−=+=+=−+=− 2x32x36x317x3L)x(f
De la última desigualdad tenemos que: 
( ) ( ) dε⇒ε =<−−<−−
3
2x2x3
de aquí se ve que, si tomamos 0
3
>=
εd se cumplirá la implicación deseada. Para muchos al 
encontrar la dependencia funcional de delta con épsilon, se da por concluida la demostración. 
Para otros (más formalistas), es aquí donde comienza y se procede como sigue:
Sea 0>f , y 3d
f= , si x0 2< < d+ entonces, ( ) . .f x x x1 3 6 3 2 3 3 3< d
f
f- = + = + = = 
Esto último nos dice que (por definición) 1)7x3(lím
2x
=+
−→
. 
Una observación más a este ejemplo es que la función está definida en el punto x0=-2, 
podemos calcular efectivamente la función en ese valor, y vale f(-2)=1, veremos que sólo 
algunas funciones tienen un comportamiento tan lindo como ésta.
Ejemplo 2
Complicaremos este ejemplo con respecto al anterior. Mostraremos que la dependencia del 
delta con épsilon no siempre es tan sencilla.
Probar por definición que 2)1x3(lím 2
1x
=−
→
.
Como siempre primero buscamos la dependencia delta-épsilon y luego vemos que, lo 
hallado “funcione” bien.
( ) ( )( ) 1x1x31x1x33x321x3L)x(f,0Sea 22 +−=+−=−=−−=−>ε . Ahora bien en 
esta expresión aparece además de 1xxx 0 −=− , otra expresión que depende de x, esta 
Figura 4.5
14
4
es x 1+ , a la cual procedemos a acotar. Para ello fijemos un delta (auxiliar) y con él 
trataremos de dar una cota para la expresión 1x + .
Sea 11d = , si x0 1< < 1d+ entonces, x x1 1 1 1 1 3< < < <(- - + de aquí sale 
que 31x <+ . Con lo cual siempre que tomemos delta igual a 1 podemos asegurar la 
implicación:
0 1 1 1 3Si x x< − < ⇒ + <
Luego:
( ) 3 1 1 3 1 3 9 1 9
9
f x L x x x x εd ε d− = − + < − = − < = ⇒ =
Elegimos delta como,
1 ,
9
mín εd  =  
 
Esta elección nos asegura que se cumplirán que, 
x 1 3<+ y que, ( )f x L < f- .
Vayamos entonces a la demostración (formal).
Sea 0>f , y sea 1 ,
9
mín εd  =  
 
, si x0 1< < d- entonces, 
( ) . .f x L x x x x x3 3 3 1 1 3 3 1 9 1 9 9< <
( )
2
2( )1
f
f- = - = + - - = - =] ]g g
(1) esta desigualdad se cumple pues 1#d recordar que 1 ,
9
mín εd  =  
 
(2) por la misma razón que en (1) 9#d
f .
Observación:
Para los dos ejemplos que hemos analizado vimos que, cuando la variable,”x” tiende a un 
cierto valor x0, los valores imágenes tienden a un cierto número real “finito”, L.
En el siguiente ejemplo veremos que, pueden ocurrir otras cosas.
Ejemplo 3
Sea la función definida por:
1( )
2
f x
x
=
+
El dominio de definición de esta función es:
( , 2) ( 2, )dom f = −∞ − − +∞ . 
Si recordamos la gráfica de esta función racional, es una hipérbola con asíntota vertical en 
x=-2.
Figura 4.6
15
4
Del gráfico vemos que esta función es no acotada. Al acercarnos a x=-2 por números 
mayores, esto se dice formalmente “por la derecha de -2”, los valores imágenes se hacen 
cada vez más grandes positivamente. Mientras que si nos acercamos por valores menores 
que “-2”, se dice “por la izquierda de -2”, los valores imágenes se hacen grandes en valor 
absoluto pero, negativos. Para sintetizar las observaciones que hemos realizado vamos a 
escribir que: 
2
1lim
2x x→−
= ∞
+
Ahora queremos poner en lenguaje más preciso las ideas expuestas más arriba que, podemos 
sintetizar en: “Si nos acercamos al número -2 (ya sea por izquierda o por derecha), los 
valores absoluto de las imágenes de la función, se hacen tan grandes como se quiera” Esto 
es dado cualquier número positivo M>0, se puede encontrar un número M 0>d] g , (que 
depende del M).para el cual vale la implicación:
10 ( 2)
2
x M
x
d< − − < ⇒ >
+
El antecedente de esta implicación nos dice que, vamos acercándonos a -2, siempre que 
podamos encontrar ese delta; mientras que el consecuente de la implicación nos indica que 
los valores de imágenes de la función en valor absoluto, se hace tan grande como se quiera, 
pues el M tomado es arbitrario.
Veamos en este caso como debemos tomar el delta:
Sea , , ( )M x f x x x M x M0 2 2
1
2
1 2 1> > <&! d- = + = +
+ = .
De la última desigualdad vemos que si tomamos:
1( )M
M
d =
Vemos que cuanto más grande tomemos M, más chico es el delta, con lo cual siempre vamos 
a encontrar puntos “x”, suficientemente cerca de -2 de forma tal que el valor absoluto de 
f(x) supere al M.
Para concluir la prueba como siempre, una vez que se encontró el valor 0>d , procedemos 
como antes (ahora ya conocemos la dependencia del delta con M):
Sea M 0> y sea M
1
d = , si x0 2< < d+ entonces, ( )f x x x
M
M2
1
2
1
1
1<= + = + = .
Esto último asegura que: 
2
1lim
2x x→−
= ∞
+
4.5 LÍMITE INFINITO
Definición 2
Diremos que una función f(x) tiende a infinito cuando x tiende a x0 y escribimos:
( )lim f x
x x0
3=
$
si se cumple:
Dado M 0> , existe ( )M 0>d , tal que ( )x x f x M0 < < >0 &d-
16
4
 
Ejemplo 4
Demostrar por definición que se cumple:
21
3 3lim
1x
x
x→
+
= ∞
−
Comenzamos por estudiar la dependencia del delta con el M.
Sea , , , ( )M x f x x
x
x x
x
x M x M0 1 1 1
3 3
1 1
3 1
1
3 1 3> > <2 &! d- = -
+
= + -
+
= - - = .
Así tomando:
3
M
d =
Se verifica la implicación pedida en la definición 2. Los pasos son muy similares a lo hecho 
más arriba pero ahora ya conocemos la dependencia de delta con M.
Sea , ,M x0 1 1> ! - y sea M
1
d = . Si x0 1< < d- entonces, 
( )f x x
x
x x
x
x
M
M1
3 3
1 1
3 1
1
3
3
3>2= -
+
= + -
+
= - =
Esto demuestra que 
21
3 3lim
1x
x
x→
+
= ∞
− .
Observación:
En los dos casos tratados anteriormente vimos como, se comportala función en las 
proximidades de un punto x0. En muchos casos interesa conocer el comportamiento de la 
función para “valores grandes” de la variable independiente es decir para x " 3+ (se lee 
x tendiendo a más infinito), o bien el comportamiento para x " 3- . Siempre y cuando 
la función se encuentre definida sobre las semirrectas que contengan estos “puntos 
impropios” de la recta real, es decir 3+ y 3- .
4.6 LÍMITE EN EL INFINITO
Definición 3
Sea f(x) definida en un intervalo (0,+3 ) diremos que:
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
si se cumple:
Figura 4.7
17
4
Dado 0>f , existe ( )N 0>f tal que, si ( )x N f x L> <& f-
Observación:
Vemos que la definición nos dice que podemos encontrar para, cada épsilon que tomemos 
un N que depende de ese épsilon, de forma tal que, si tomamos valores de variable mayores 
que ese N los valores de imágenes están en ,L Lf f- +^ h . Otra forma de expresar esto es 
decir que la gráfica de la función “no se escapa” de la faja (infinita) ,N 3+^ h x ,L Lf f- +^ h .
Ejemplo 5
Demostrar por definición que: 
2 5lim 2
x
x
x→+∞
+
=
Hacemos los cálculos para poder hallar la dependencia del N con el épsilon.
Sea , x0 0> !f entonces, ( )f x x
x
x x x x
2 2 5 2 5 5 5 5< >&f f- =
+ - = = =
Observar que en la última igualdad hemos sacado las barras de módulo puesto que estamos 
en el caso x " 3+ , con lo cual sin pérdida de generalidad podemos suponer x>0. Ahora 
si tomamos: 
5( )N ε
ε
=
vemos que se cumple la implicación de la definición.
Sea , x0 0> !f y sea N 5 0>f= . Si x N> entonces,
( ) limf x x
x
x x x N x
x2 2 5 2 5 5 5 5 5
5 2 5 2<
x
&
f
f- = + - = = = = = + =
$3
 
Figura 4.8
Figura 4.9
18
4
Definición 4
Sea f(x) definida en un intervalo ,a3-^ h diremos que:
 
lim ( )
x
f x L
→−∞
=
si se cumple:
Dado 0>f , existe N 0>f] g tal que, si x N f x L> <& f- -] g
Ejemplo 6
a) Probar por definición que se cumple: 
2lim 0x
x
e
→−∞
=
Sea , ( )f x e e e0 0 0> <x x x2 2 2f f- = - = = & ( ) ( )ln lnx x2 2
1< <&f f & 
lnx N> 2
1
f- =-^ h
Observar que como, x$ 3- ,podemos suponer x x0 0< >& - . 
Ahora ya hallamos la dependencia de N con épsilon. Probemos entonces la implicación que 
nos pide la definición 4.
Sea 0>f y sea lnN 21f= -^ h , si x N>- entonces,
( )f x e e e e e e0 0 < lnx x x x N2 2 2 2 2
2
2
1 2
2
1
f f- = - = = = = = =f
- - - -
- - -] ] ^ ^`g g h hj 
Explíquese cada uno de los pasos del último renglón.
b) Ejercicio: Probar por definición que
2 5lim 2
x
x
x→−∞
+
=
Nos faltaría considerar los casos:
) lim ( ) , ) lim ( ) , ) lim ( ) ) lim ( )
x x x x
a f x b f x c f x y d f x
→+∞ →+∞ →−∞ →−∞
= +∞ = −∞ = +∞ = −∞
Daremos la definición de (a) y es un buen ejercicio ensayar las definiciones de (b), (c) y 
(d), hacerlo.
Figura 4.10
19
4
4.7 LÍMITE INFINITO EN EL INFINITO
Definición 5 a
Sea f(x) definida en un intervalo ,a 3+^ h diremos que:
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
si se cumple:
Dado M 0> , existe ( )N M 0> tal que, si ( )x N f x M> >&
Ejemplo 7
Probar por definición que se cumple: 
2lim x
x
e
→+∞
= +∞
1
2 210, ( ) 2 ln ln ln
2
xSea M f x e M x M x M x M N
 
 > = > ⇒ > ⇒ > ⇒ > =
 
 
Observar que como, x$ 3+ ,podemos suponer x>0.
Ahora ya hallamos la dependencia de N con M. Probemos entonces la implicación que nos 
pide la Definición 5 a.
Sea M 0> y sea lnN M 2
1
= ^ h , si x N> entonces, 
( )f x e e e e M M> lnx
x N M2 2 2
2
2
1 2
2
1
= = = = =] ] ^ ^`g g h hj
Observación: Si miramos la figura 4.10, se puede ver claramente el comportamiento 
de la función f(x)=e2x. Cuando x tiende a más infinito está claro que la función crece 
indefinidamente; mientras que, si la variable tiende a menos infinito la función se acerca al 
eje horizontal de abscisas, es decir tiende a cero.
4.8 EL ÁLGEBRA DE LÍMITES
Hasta ahora hemos aprendido como probar que una función tiene un límite, siempre que 
nos digan cual es el valor del límite en cuestión. En este parágrafo desarrollaremos técnicas 
que nos permitan calcular el límite de una función dada, es decir daremos una serie de 
propiedades, a las cuales denominaremos Álgebra de Límites. El conjunto de tales 
propiedades, se prueban en forma rigurosa, a partir de las definiciones que hemos dado 
más arriba. Vamos a probar las más sencillas para ilustrar las técnicas de demostración y 
las más complejas quedan, para ser consultadas en la bibliografía.
En todos los casos vamos a suponer que la función está definida en un intervalo abierto 
y que ,x I a b0 ! = ^ h , pudiendo la función estar o no definida en 0x (recordar la definición 1 
de límite). Comenzamos por el límite de una función muy sencilla.
4.8.1 Límite de una función constante.
Sea ( )f x k= la función constante definida en el intervalo I, con ( )0 ,x I a b∈ = , entonces,
 
0
lim ( )
x x
f x k
→
=
4.8.2 Límite de una suma de funciones.
Sean las funciones f(x) y g(x) definidas salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , con límites finitos,
digamos, 
0 0
1 2lim ( ) lim ( )
x x x x
f x l y g x l
→ →
= = , entonces 
0
1 2lim ( ( ) ( ))
x x
f x g x l l
→
+ = + .
20
4
Observación: Vemos que 
0 0 0
1 2lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x g x l l f x g x
→ → →
+ = + = + , esto último lo 
podemos leer como “el límite de una suma de funciones es la suma de los límites”,
siempre que los límites sean finitos (tienen que dar como resultado un numerito).
4.8.3 Límite de una función multiplicada por una constante.
Sea la función f(x) definida salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , con límite finito,
digamos, 
0
lim ( )
x x
f x l
→
= , entonces 
0
lim ( )
x x
k f x kl
→
=
Observación: fijarse que la expresión 
0
lim ( )
x x
k f x kl
→
= , se puede reescribir como,
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
k f x kl k f x
→ →
= =
,
podemos decir “el límite de una función multiplicado por una constante es igual la 
multiplicación de la constante por el límite de la función”
4.8.4 Límite de un producto de funciones.
Sean las funciones f(x) y g(x) definidas salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , con límites finitos,
digamos, 
0 0
1 2lim ( ) lim ( )
x x x x
f x l y g x l
→ →
= = , entonces 
0
1 2lim ( ( ) ( ))
x x
f x g x l l
→
=
Observaciones: 
a) Con la notación de arriba podemos escribir: ( ) . ( ) .lim lim limf x g x l l f x g x
x x x x x x
1 2
0 0 0
= =
" " "
^ ] ]h g g , 
esto se lee, “el límite de un producto de funciones es el producto de los límites”.
Observar que la propiedad 4.8.3 es un caso particular de esta última propiedad tomando 
( )g x k= .
b) Otro caso particular que se desprende de la propiedad 4.8.4, es el siguiente:
Sea la función f(x) definida salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , con límite finito,
si 
0
lim ( )
x x
f x l
→
= , entonces, [ ]
0 0
lim ( ) lim ( )
n
n n
x x x x
f x l f x n N
→ →
 
= = ∀ ∈ 
 
Ejemplo 8
En este ejemplo vamos a calcular el límite de una función polinómica, antes 
estudiemos el límite de la función lineal: ( )f x x= esta función está definida en 
todos los reales y probaremos por definición que, 
0
0lim
x x
x x
→
= , para ello sea 0>f 
y sea d f= , si ( )x x f x x x x0 < < <0 0 0&d d f- - = - = . Esto prueba que 
limx x
x x
0
0
=
"
. Ahora por la observación (b) tenemos que lim x x
x x
n n
0
0
=
"
] g n N6 ! .
Si tomamos la función polinómica, ( )f x a x a x a x an n n n1 1 1 0g= + + + +- - a Ri !
, i n06 # # . Los coeficientes son números fijos. Entonces calculemos 
0
lim ( )
x x
f x
→
.
21
40 0
0 0 0 0
1
1 1 0 (1)
1 1
1 1 0 (2) 0 1 0 1 0 0 0
lim ( ) lim ( ............. )
lim lim ........ lim lim ( ) ( ) ............. ( )
n n
n n
x x x x
n n n n
n n n n
x x x x x x x x
f x a x a x a x a
a x a x a x a a x a x a x a f x
−
−
→ →
− −
− −
→ → → →
= + + + + =
= + + + + = + + + + =
En (1) usamos la propiedades 1.8.1 y 1.8.2 , en (2) usamos la propiedad probada arriba.
Es decir que cuando calculamos el límite de una función polinómica para 0x x→ es 
equivalente a evaluar la función en el punto.
Ejemplo9
Calcular 3
1
lim (3 2 1)
x
x x
→−
− − , veamos 
3 3 3
1 1 1 1
lim (3 2 1) 3 lim 2 lim lim 1 3( 1) 2( 1) 1 0
x x x x
x x x x
→− →− →− →−
− + = − + = − − − + =
4.8.5 Límite de un cociente de funciones.
Sean las funciones f(x) y g(x) definidas salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , con límites finitos,
 ( ) , ( )lim limf x l g x l
x x x x
1 2
0 0
= =
$ $
 y l 02 ! entonces, ( )
( )
( )
( )
lim
lim
lim
g x
f x
l
l
g x
f x
x x
x x
x x
2
1
0
0
0= =
$
$
$
Observación: “el límite de un cociente de funciones es el cociente de los límites”.
Ejemplo 10
a) Calcular: 
3
22
2lim
2 2x
x x
x→
+ −
+
Solución: 
3 3
3
2 2 2 2
2 2 22
2 2 2
lim 2 lim lim lim 22 8 2 2 4lim
8 2 52 2 lim 2 2 lim 2 lim 2
x x x x
x
x x x
x x x xx x
x x x
→ → → →
→
→ → →
+ − + + −+ − + −
= = = =
++ + +
Debemos notar que hemos podido aplicar todas las propiedades porque todos los límites 
son finitos y la función denominador tiene límite distinto de cero.
En este ejemplo además de calcular el límite pedido hemos demostrado que el límite 
es efectivamente 4/5 pues, nos hemos basado en todas las propiedades que, en última 
instancia se demostraron a partir de la definición de límite. 
b) En este ejemplo calculamos un límite con la variable independiente tendiendo a más 
infinito. 
Nota importante: Hemos enunciado el álgebra de límites para la variable independiente 
tendiendo a un punto (finito) y con funciones que tengan límite finito.
Se pueden enunciar y demostrar que valen estas propiedades con la variable independiente 
tendiendo a más o menos infinito, siempre y cuando los límites de las funciones sean 
finitos.
Calcular 
.lim lim limx
x e x
x e2 5 3 2 5 3 2 3 0 2
x
x
x x
x2 2+ + = + + = + =
$ $ $3 3 3- - -
b bl l; E
Observar que se ha usado el hecho que, el límite de cada una de las funciones es finito, y 
el ejemplo 6 parte a) y b).
Para completar las propiedades que con frecuencia usaremos, damos seguidamente una 
propiedad referida al logaritmo, que usaremos para probar la última.
4.8.6 Límite del logaritmo de una función.
Sea la función f(x) definida salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , positiva en todo el intervalo. Con 
22
4
límite finito y positivo: 
0
lim ( )
x x
f x l
→
= entonces, 
( ( )) ( ) ( ( ))lim ln ln ln limf x l f x
x x x x0 0
= =
$ $
Esto nos dice que, “límite del logaritmo de una función es el logaritmo del límite”.
4.8.7 Límite de una potencia.
Sean las funciones f(x) y g(x) definidas salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , con límites finitos,
digamos, 
0 0
1 2lim ( ) 0 lim ( )
x x x x
f x l y g x l
→ →
= > = , la función f(x) positiva en ( ),I a b= . Entonces,
( ) ( )lim limf x l f x( )
( )lim
x x
g x l
x x
g x
1
x x
0
2
0
0= =
$
$
$] g6 8@ B
Usaremos la propiedad del logaritmo para probar 4.8.7:
Sea ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) ) ( ( )) ( ) ( ( ))ln ln ln lnh x f x h x f x h x g x f x( ) ( )
( )
g x g x
1
& &= = =6 6@ @ ( ( ))lim ln h x
x x0
& =
$
 
( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )lim ln lim ln lim lim ln ln lim lng x f x h x g x f x h x l l
( ) ( )
x x x x x x x x x x
2 3
2 1
0 0 0 0
0
& &= = =
$ $ $ $
$
` j
( ) ( ) ( ) ( )ln lim ln lim limh x l e e h x l f x
( )
( )
( )
ln lim ln
lim
x x
l h x l
x x
l
x x
g x
1
4
1x x
l
x x
0
2 1
0
2
0
0
2
0& & &= = = =
$
$
$
$ $` ]a ]j gk g 8 B
En (1) se usa la propiedad que logaritmo “baja potencias”, en la implicación (2) usamos 
que, el límite de un producto es el producto de los límites. La implicación (3) se justifica 
usando la propiedad 4.8.6. La implicación (4) es usar el hecho que la exponencial y el 
logaritmo es una la función inversa de la otra.
Observación: Algunos casos particulares que se desprenden de esta proposición son:
a) Si ( )g x k= constante entonces, ( ) ( )lim limf x f x
x x
k
x x
k
0
0
=
$
$
6 8@ B
b) Si ( )f x r 0>= constante entonces, lim r r( ) ( )lim
x x
g x g x
x x
0
0=
$
$5 5? ?
c) Si ( )f x e= entonces, lim e e
( )( ) lim
x x
g xg x
x x
0
0=
$
$
Ejemplo 11
a) Calcular lim e
x
x
1
3 2
$-
+ 
Solución: 
lim e e elim
x
x x
1
3 2 3 2 1
x 1= =
$-
+ + -
$-
] g
b) Calcular 
lim x3
1
x
x
1
+
$ 3+
b l
Solución: No tenemos que perder de vista que para aplicar el álgebra de límites, todos los 
límites deben ser finitos. Calculemos el límite del exponente y el de la base.
Afirmamos que lim x
1 0
x
=
$ 3+
 esto se intuitivamente porque si tomamos valores de x cada vez 
más grandes entonces el cociente x
1 se hace cada vez más chico. Si recordamos el gráfico 
de x
1 , que es una hipérbola equilátera también nos convencemos de que la afirmación 
tiene fundamento. Para terminar de convencernos dejamos como ejercicio demostrar por 
definición que lim x
1 0
x
=
$ 3+
.
Por otro lado lim lim limx x3
1 3 1 3 0 0>
x x x
+ = + = +
$ $ $3 3 3+ + +
b l , además la función es siempre 
23
4
positiva si la consideramos en ,0 3+^ h . Podemos aplicar entonces la propiedad 4.8.7, el 
limite buscado es:
lim limx x3
1 3 1 3 1
lim
x
x
x
1
0x
x
1
+ = + = =
$ $3 3+ +
$ 3+b bl l: D
4.9 LÍMITES LATERALES
Habíamos visto en el ejemplo de la introducción que nos podíamos acercar al punto x0 , por 
la derecha del punto es decir por los mayores que el número x0 , ahora vamos a formalizar 
esas ideas.
Definición 6a
Sea f(x) una función definida salvo quizás en ( , )x I a b0 ! = , diremos que el límite lateral 
por derecha de x0 es “l” y escribimos ( )lim f x lx x0 =$
 
si se cumple:
Dado 0>f , existe 0>d , tal que , si ( )x x f x l0 < < <0 (d f- -
Observación:
Puesto que nos estamos acercando por la derecha del punto (es decir por los mayores) 
entonces, se cumple que: x x x x0< <0 0, - con lo cual en la definición 1 resulta
x x x x0 0- = -
Definición 6 b
Sea f(x) una función definida salvo quizás en ( , )x I a b0 ! = , diremos que el límite lateral 
por izquierda de x0 es “l” y escribimos ( )lim f x lx x0 =$
 
si se cumple:
Dado 0>f , existe 0>d , tal que , si ( )x x f x l0 < < <0 (d f- -
Observación:
Puesto que nos estamos acercando por la izquierda del punto (es decir por los menores) 
entonces, se cumple que: x x x x 0< <0 0, - con lo cual en la definición 1 resulta
x x x x x x x x0 0 0 0- =- - =- + = -] g
Proposición
Sea f(x) una función definida salvo quizás en ( , )x I a b0 ! = , entonces
( ) ( ) ( )lim lim limf x l f x f x l
x x x x x x0 0 0
+= = =
$ $ $
+ -
Ejemplo 12
Decidir si existe el límite en x 00 = de la función definida por: 
( )f x
x
e
si
si
x
x
2 1 0
0
<
x $
=
- -Z
[
\
]]]]
]]]] 
Calculemos los límites laterales en el punto problema x 00 = .
Si nos acercamos por derecha del cero es decir x 0> entonces la fórmula de definición de 
la función es ( )f x ex= luego, 
( )lim limf x e ee 1lim
x x
x x
0 0
0
x 0= = = =
$ $
$
+ +
+
 
Si nos acercamos por izquierda del cero es decir x 0< entonces la fórmula de definición de 
la función es ( )f x x2 1=- - luego,
( ) ( )lim lim lim limf x x x2 1 2 1 1
x x x x0 0 0 0
= - - =- + - =-
$ $ $ $- - - -
24
4
Observaciones
i) Puesto que ( ) ( )lim limf x f x1 1
x x0 0
!= - =
$ $+ -
 concluimos que no existe el límite “a secas” 
en el cero.
ii) Observar que tanto para calcular el límite por derecha como por izquierda nos basamos 
en el álgebra de límites y ésta se pudo aplicar gracias a que todos los límites son finitos.
iii) Si miramos el siguiente gráfico observamos que la función tiene un “salto” en el cero. 
Si la función tuviera límite las dos ramas de la función deben empalmar.
Dejamos como ejercicio realizar el gráfico de esta función definida por tramos para 
visualizar el “salto” que se presenta en x=0.
4.10 ALGUNOS CONCEPTOS IMPORTANTES
1. El límite de una función es una afirmación sobre el comportamiento de la función en 
puntos próximos a c pero no en c mismo
 ( )lim f x L
x c
=
$
La función puede no estar definida en el punto x = c pero tener límite cuando x c$ , 
o también , estar definida en x= c pero ser su valor distinto del límite; .
2. Dos funciones queson iguales para todo valor x c! , tienen el mismo límite cuando 
x c$ .
3. Si una función está comprendida entre otras dos que tienen el mismo límite para x que 
tiende a x0 , la función dada tiene el mismo límite en x0 .
Si ( ) ( ) ( )f x g x h x# # ,x a b6 ! ^ h , y ( )lim f x L
x x0
=
$
, ( )lim h x L
x x0
=
$
 entonces,
( )lim g x L
x x0
=
$
 con ,x a b0 ! ^ h .
4. Si una función, en todos los puntos de un intervalo se mantiene constantemente menor 
(o mayor) que otra, su límite en un punto cualquiera de ese intervalo será menor o igual 
(mayor o igual) que el límite de la otra para dicho punto.
 Si ( ) ( )f x g x< ,x a b6 ! ^ h entonces ( ) ( )lim limf x g x
x x x x0 0
#
$ $
 con ,x a b0 ! ^ h
Resumiendo la información enunciamos el Teorema siguiente:
Teorema: Algebra de Límites
1. Sea ( )f x k= la función constante definida en el intervalo I, con ( )0 ,x I a b∈ = , 
entonces,
0
lim ( )
x x
f x k
→
=
2. Sean las funciones f(x) y g(x) definidas salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , con 
límites finitos digamos, 
0 0
1 2lim ( ) lim ( )
x x x x
f x l y g x l
→ →
= = , entonces,
0 0 0
1 2lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x g x l l f x g x
→ → →
+ = + = + .
3. Sea la función f(x) definida salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , con límite finito, 
digamos, 
0
lim ( )
x x
f x l
→
= , entonces 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
k f x kl k f x
→ →
= =
4. Sean las funciones f(x) y g(x) definidas salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , con 
límites finitos, digamos, 
0 0
1 2lim ( ) lim ( )
x x x x
f x l y g x l
→ →
= = , entonces 
0 0 0
1 2lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x g x l l f x g x
→ → →
= =
5. Sean las funciones f(x) y g(x) definidas salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , con 
25
4
límites finitos, 
0 0
1 2 2lim ( ) , lim ( ) 0
x x x x
f x l g x l y l
→ →
= = ≠ entonces, 
0
0
0
1
2
lim ( )
( )lim
( ) lim ( )
x x
x x
x x
f x
lf x
g x l g x
→
→
→
= =
6. Sea la función f(x) definida salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , positiva en todo el 
intervalo. Con límite finito y positivo: 
0
lim ( )
x x
f x l
→
= entonces, 
( ( )) ( ) ( ( ))lim ln ln ln limf x l f x
x x x x0 0
= =
$ $
7. Sean las funciones f(x) y g(x) definidas salvo quizás en ( )0 ,x I a b∈ = , con límites 
finitos, digamos, 
0 0
1 2lim ( ) 0 lim ( )
x x x x
f x l y g x l
→ →
= > = , la función f(x) positiva en ( ),I a b=
. Entonces,
( ) ( )lim limf x l f x( )
( )lim
x x
g x l
x x
g x
1
x x
0
2
0
0= =
$
$
$] g
4.11 LÍMITES INDETERMINADOS
Sea la función: ( )y f x
x x
x x3 7
2
3
= =
-
+
Calculamos el límite: 
lim lim
x x
x x
x
x3 7
1
3 7
7
x x0
2
3
0
2
-
+
-
+
=-=
$ $ 
Ahora verifiquemos que no es posible calcular ( )f 0 ya que x 0= no pertenece al dominio 
de la funcion: 
( )
. .
f 0
0 0
3 0 7 0
0
0
2
3
=
-
+
= 
Como puede observarse, el límite de la función del ejemplo, existe y es distinto de f(0), que, 
en este caso, es una expresión carente de sentido.
Como no siempre f(x) está definida en x0, suelen presentarse las siguientes expresiones 
indeterminadas:
 0; 1 ; 0 . ; - ; ; 
0
0 00 ; ∞∞∞∞∞
∞ ∞
De acuerdo con el ejemplo, cuando se realiza la operación de paso al límite de una función, 
puede presentarse alguna de las expresiones anteriores, carentes de significado aritmético 
a las que denominaremos formas indeterminadas.
En un gran número de casos, es posible determinar el verdadero valor de una cualquiera de 
las formas indeterminadas, recurriendo a procedimientos algebraicos, o a transformaciones 
trigonométricas, o a procedimientos analíticos basados en el operador de derivadas que 
veremos mas adelante.
En estos casos, mediante operaciones algebraicas puede llegar a levantarse la indetermina-
ción y calcular el límite, lo cual no siempre es fácil.
Ejemplo:
Si dos funciones tales como 
x
x
2
42
-
-
 y x 2+ adoptan los mismos valores para todo x, 
excepto para x 2= , entonces su “tendencia” es la misma y en consecuencia:
lim lim
x
x
x
2
4
2
x x2
2
2-
-
= +
$ $
] g
de manera que si al hacer el paso al límite nos encontramos con una indeterminación, 
se puede intentar factorizar la función tratando de cancelar el factor que produce la 
indeterminación y tomar límite a la función resultante quedando :
26
4
lim lim lim
x
x
x
x x
x
2
4
2
2 2
2 4
x x x2
2
2 2-
-
=
-
- +
= + =
$ $ $
] ] ]g g g
Debe quedar claro que estas funciones no son iguales, pues sus dominios son distintos.
Algunos casos indeterminados fáciles de resolver son:
a) Limite de un cociente de polinomios cuando la variable tiende a cero.
 
( )
( )
lim
Q x
P x
0
0
x 0
=
$
se saca factor común a la variable elevada a la menor potencia con que figura en cualquiera 
de ellos y se cancela.
Ejemplo 1.
lim
x x
x x x
7 5
6 3 2
0
0
x 0
4 2
5 3
-
+ +
=
$
entonces :
lim lim
x x x
x x x
x x
x x
7 5
6 3 2
7 5
6 3 2
0
2
x x0
3
4 2
0
3
4 2
3
-
+ +
=
-
+ +
= =
$ $
]
] g
g 
b) Límite de un cociente de polinomios cuando la variable tiende a infinito.
( )
( )
lim
Q x
P x
x 3
3=
$3
se saca factor común a la variable elevada a la mayor potencia con que figura en cualquiera 
de ellos y se cancela.
Ejemplo 2: 
lim
x x x
x x
9 3 2 5
4 6 1
x
4 3
2
3
3
+ +
+ +
=
+$3
entonces:
lim lim
x x x x x
x x x
x x x x
x x
9 3
2 5
4
6 1
9 3
2 5
4
6 1
4
0
x x2 2
2
2
2
2
2
2
3
+ + +
+ +
=
+ + +
+ +
= =
$ $3 3b
b l
l
4.12 LÍMITES NOTABLES
Se denomina así algunas expresiones muy especiales que en la operación de paso al límite 
adoptan una forma indeterminada. Demostraremos algunas de ellas:
1o) 
( )
lim x
sen x
1
x 0
=
$
Demostremos este limite notable
La operación de paso al límite en la función dada, para x 0$ , nos conduce a una forma 
indeterminada 0
0 . Para resolver este límite notable, nos basamos en la circunferencia 
unidad.
De acuerdo a la figura 4.11, resulta: sen(x)<x<tg(x) en el primer cuadrante, y 
( ) ( )tg x x sen x< < en el cuarto cuadrante, reemplazando ( )tg x por su igual 
( )
( )
cos x
sen x
, resulta 
respectivamente :
27
4
para x0 2< <
r : ( )
( )
( )
cos
sen x x
x
sen x
< <
 
 para x2 0< <
r- : 
( )
( )
( )
cos x
sen x
x sen x< <
o sea en el primer cuadrante: ( )
( )
( )
cos
sen x x
x
sen x
< <
y en cuarto cuadrante: 
( )
( )
( )
cos x
sen x
x sen x< <
dividiendo por sen(x), teniendo en cuenta el signo que corresponda a cada cuadrante :
( ) ( )cossen x
x
x
1 1< < ; 
( ) ( )cos x sen x
x1 1> >
tomando recíprocas; como las desigualdades tienen el mismo signo, resulta:
( )
( )cosx
sen x
x1 > > ; ( )
( )
cos x x
sen x
1< <
ordenando las desigualdades
 ( )
( )
cos x x
sen x
1< < ; ( )
( )
cos x x
sen x
1< <
aplicando límites para x 0$ , por derecha en el primer cuadrante y por izquierda en el 
cuarto cuadrante nos queda :
 1 lím
x
x sen límx cos lím
0x0x0x +→+→+→
≤≤ y 1lím
x
x sen lím x coslím
0x-0x-0x −→→→
≤≤
Nota : El # aparece por el item 4 del punto 4.10, luego como:
 ( )lim cos x 1
x 0
=
$
 y lim 1 1
x 0
=
$
 
finalmente, resulta que para ambos casos: 
( )
lim x
sen x
1 1
x 0
# #
$
 de donde concluimos que:
( )
lim x
sen x
1
x 0
=
$
quiere decir que, sen(x) y x, son infinitésimo equivalentes para x 0$ .
Ejemplos: Calcular
a) 
( )
lim x
sen x
2
7
x 0$
Figura 4.11
28
4
Solucion: Vamos a emplear una tecnica sumamente útil; el cambio de variable.
Sea t x x t7 7(= = con esta nueva definicion de variables el limite pedido queda escrito 
en la forma:
( ) ( ) ( )
lim lim limx
sen x
t
sen t
t
sen t
2
7
2 7
7 7
2
7
2
7
x x x0 0 0
= = =
$ $ $
b) 
( )
lim
cos
x
x1
x 0
-
$
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
lim
cos
lim
cos
cos cos
lim
cos
cos
xx
x x
x x
x x
x1
1
1 1
1
1
x x x
2
0 0 0
-
=
+
- +
=
+
-
$ $ $
^
^
^ ^
^
h
h
h h
h
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
.lim
cos
lim lim
cos
lim
cosx x
sen x
x
sen x
x
sen x
x
sen x
1 1
1
1
1 2
0 0
x x x x
2
0 0 0 0+
=
+
=
+
= =
$ $ $ $^ ^ ^h h h
2o) lim x e1
1
x
x
+ =
$3
b l
El límite indeterminado 13 que acabamos de plantear, tiene como verdadero valor al número 
irracional 2,7182818284..., que es el número mas importante del Cálculo Diferencial e 
Integral y que denominaremos “número e”.
Este número e = 2,7182818284... es la base de los logaritmos naturales o neperianos.
No demostraremos esta afirmacion. Veamos una version alternativa de este limite, obtenida 
a partir de un cambio de variable.
Si en la expresión anterior reemplazamos x
1 por t, obtendremos otra forma de la definición 
del número e.
Si x t
1 = ; entonces cuando x$ 3 , t 0$ .
Luego:
 lim limx t e1
1 1 t
x
x
t
1
0
+ = + =
$ $3
b ]l g
que es otra forma de presentar el limite notable.
3o) lim m
x e1
m
m
x+ =
$3
b l 
Este límite notable, se deduce de la definición del número e dado en 2o). En efecto, si 
sustituimos:
m
x = t ; resulta: 
t
1
x
m
= ; m = 
t
x
cuando: m$ 3 , t 0$ .
Luego: 
( )
x
t
1
0t
t
x
0t
m
m
t1límt1lím
m
x1 lím



















→→∞→
+=+=




 +
finalmente, por límite de una potencia:
( ) x
x
t
1
0t
x
t
1
0t
et1límt1lím =














→
=





















→
++
luego:
x
m
m
e
m
x1 lím =




 +
∞→ 
Ejemplo: Calcular
29
4
lim x
x
4
3
x
x3
+
+
$3
b l
Solución: Observamos que la base tiende a 
lim limx
x
x x
x x
4
3
1 4
1 3
1
x x+
+ =
+
+
=
$ $3 3
b ^
^l hh
Mientras que el exponente tiende a lim x3
x
3=
$3
. Luego estamos frente al caso indeterminado 
de 13 , por ende se reduce a una potencia del numero e .
lim lim lim limx
x
x
x
x x4
3 1 4
3 1 1 4
1 1 4
1 x x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
4
33 3 3
+
+ = + +
+ - = + +
- = + - + =$ $ $ $3 3 3 3
- +
- +b b b c ]
] ]l l l g m
g g
lim x e1 4
1
x
x x
x
3
4 4
3
+
- +
=
$3
-
- + - +c ]
^ ^
g m
h h< F
4.13 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
Se dice que una función y = f(x) es continua en el punto x = x0 , si y solo si, se verifican 
las siguientes condiciones:
 a) Existe lím f(x) = L ; (siendo L un valor finito)
 x → x0
 b) Existe f(x0)
 c) L = f(x0)
Las tres condiciones anteriores, pueden resumirse en la siguiente expresión:
lím f(x) = f(lím x) = f(x0)
 x → x0 x → x0 
De otra manera, puede decirse también, que una función y = f(x) es continua en el punto 
x=x0, cuando para todo ε > 0 y tan pequeño como se quiera, se puede hallar otro número 
d>0, tal que verifiquen las desigualdades:
| f(x)-f(x0) | < ε ; para: | x - x0 | < d
Obsérvese que esto, no es ni más ni menos que la definición de límite de una función, con 
L = f(x0) y sin la restricción x ≠ x0 
Intuitivamente, una función es continua cuando su gráfica no presenta interrupciones, ni 
saltos, ni oscilaciones indefinidas.
4.14 CONTINUIDAD A LA DERECHA Y A LA IZQUIERDA
Cuando una función y = f(x) solamente está definida para valores de x0 ≤ x , la definición 
(4-4) no es aplicable. En ese caso, se dice que la función y = f(x) es continua a la derecha 
en el punto x = x0, si y sólo si, se verifica:
lím f(x) = f( +0x ) = f(x0)
 x → x0+
En forma análoga, se dice que la función y = f(x) es continua a la izquierda en el punto 
x = x0 , si y sólo si, se verifica:
lím f(x) = f( −0x ) = f(x0)
 x → x0-
(4-4)
30
4
4.15 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
Se dice que una función es continua en un intervalo abierto (a,b) cuando es continua 
en todos sus puntos. En particular, cuando y = f(x) esta definida en el intervalo [a,b], la 
primera condición de continuidad en sus puntos no se cumple en los extremos a y b. En 
tales casos, se dice que la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], cuando es 
continua en el intervalo abierto (a,b), y además:
lím f(x) = f(a) ; lím f(x) = f(b)
 x → a+ x → b-
Se dice que una función es continua, cuando lo es en todos los puntos de su dominio de 
definición. Así pues, son continuas las funciones polinómicas en x, las funciones sen(x), 
cos(x) , ax, etc.
4.16 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Los teoremas sobre la continuidad de las funciones, se deducen fácilmente de los teoremas 
del Álgebra de Límites, ya desarrollados en la sección 4.8.
 a) Si y = f(x) e y = g(x), son continuas en el punto x = x0, también lo son:
 1°) f(x) + g(x) (la suma)
 2°) f(x) - g(x) (la diferencia)
 3°) f(x) . g(x) (el producto)
 4°) f(x) / g(x) (el cociente) , siempre que: g(x0) ≠ 0
 b) La composición de funciones continuas es continua. Es decir, si u = f(x) es 
continua en x = x0; si )u(gy = es continua en u = u0 siendo u0 = f(x0), entonces la 
función compuesta y = g [ f(x)] es continua en 0xx = .
 c) Si y = f(x) es continua en un intervalo [a , b], esta acotada en dicho intervalo.
 d) Si una función y = f(x) es continua en un intervalo y es monótona estrictamente 
creciente o decreciente, la función inversa y = f -1 (x) es inyectiva, continua y estrictamente 
creciente o decreciente.
 e) Si y = f(x) es continua en el intervalo [a,b], y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, 
existe por lo menos un valor x = c de la variable, comprendido entre a y b, para el cual 
f(c) = 0.
4.17 CONTINUIDAD UNIFORME
Se dice que una función y = f(x) es uniformemente continua en un intervalo (a,b), si
∀ 0>ε ; ∃ d > 0 / ∀ x1 , ∀ x2 ∈ [a,b] : |f(x1)-f(x2) | < ε ; para: | x1-x2 | < d
Una función es uniformemente continua en un intervalo, cuando es continua en su 
intervalo cerrado.
4.18 FUNCIONES CASICONTINUAS
Se dice que una función y = f(x) es casicontinua en un intervalo (a,b), si y sólo si, existe 
una partición del intervalo en un número finito de puntos, tal que la función f(x) sea 
continua en cada uno de los subintervalos [ ]i1i x,x − . Toda función f(x) que presente estas 
características, posee un número finito de discontinuidades (ver figura 4.12).
31
4
4.19 FUNCIONES DISCONTINUAS
Se dice que una función y = f(x) es discontinua en un punto x = x0, cuando no se cumple 
alguna de las condiciones de continuidad en un punto.
Ejemplo 1: 
( )f x x
x
3
92= -
- es discontinua en el punto x=3, porque no se cumplen alguna de las 
condiciones de continuidad en un punto. En efecto:
1o) lim limx
x
x
x x
3
9
3
3 3
6
x x3
2
3-
- = -
- +
=
$ $
] ]g g
 ; entonces existe el )x(flím
3x→
2o) No existe f(3)=
0
0
33
932
=
−
− ; (el cociente algebraico 
0
0 , carece de todo sentido).
La función no está definida en el punto.
3o) 6 ≠ f(3)
En este caso, la discontinuidad en x=3 se denomina evitable, dado que, si reemplazamos el 
valor de la función no definido f(3) por el límite de f(x) cuando x→ 3, la función pasa a ser 
continua (ver figura 4.13).
La nueva función obtenida se denomina “función redefinida” y difiere de la anterior en el 
dominio.
 En nuestro ejemplo, la función redefinida será:
Figura 4.12
Figura 4.13
32
4 ( )f x x
x si x
si x
3
9 3
6 3
2
!
=
-
-
=
Z
[
\
]]]]]
]]]]]
 
Ejemplo 2: 
( )f x x 4
1= - es discontinua en el punto x=4 , porque no se cumple ninguna de las 
condiciones de continuidad en el punto. En efecto:
1o) limx 4
1
x 4
3- =$ ; no existe un límite L finito
2o) No existe f(4)=
0
1
44
1
=
−
 ; (el cociente por cero no existe como operación aritmética)
3o) ( )lim x f4
1 4
x 4
!-$
En este caso, la discontinuidad en x=4 es no evitable, se denomina infinita, presentando, 
en ese punto, un salto infinito (ver figura 4.14)
Ejemplo 3:







≤
≤
≤
≤
=
4 x < 3 : para ; 8 
3 x < 2 : para ; 6 
2 x < 1 : para ; 4 
1 x < 0 : para ; 2 
 )x(f
Se trata de una función escalonada discontinua en los puntos x=1,2,3, porque no existe un 
límite único en cada uno de tales puntos. Es decir:
( ) ( )lim limf x f x
x x x x0 0
!
$ $
+ -
En este caso, las discontinuidades observadas son no evitables, se denominan 
discontinuidades finitas, presentando en cada uno de los puntos de discontinuidad, un salto 
finito, como puede verse en la figura 4.15.
Figura 4.14
33
4
En conclusión sólo pueden redefinirse para hacerlas continuas, aquellas funciones que 
tienen límite.
Figura 4.15
Trabajo Práctico No 4
Límite y Continuidad
Objetivos: - Reconocer la existencia del límite, calcularlo y levantar indeterminaciones 
Síntesis Teórica:
Definición de Límite: ( ) , / ; ( )lim f x L x x a f x L0 0> < < <
x a
, &6 7 6f d d f d f= = - -
$
] g
Ejercicio N˚ 1: En cada una de las siguientes gráficas, marcar sobre el eje de abscisas el conjunto de puntos 
cuyas imágenes sean elementos del conjunto B.
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
B
B
B
B
34
4
Ejercicio N˚2: Verificar aplicando la definición de límite que: (Ver ejemplo 1 y 2 del item 4.4)
a) lim x 7 6
x 1
+ =
$-
] g b) limx 9
x 3
2 =
$
 c) lim x3 3 2
x 3
1
+ =
$-
] g
Ejercicio N˚ 3: Dado el siguiente gráfico de la función ( )g t encontrar: ( )lim g t
t b$
, si existe, para b = 1, 2, 3, 4, 0 
y 3
g(t)
t
0.5
1
1.5
1 2 3 4 5
 
Ejercicio N˚ 4: Suponga que ( )lim f x 3
x a
=-
$
; ( )lim g x 0
x a
=
$
 y ( )limh x 8
x a
=
$
 . Utilizando el álgebra del límite 
encuentre el valor de los siguientes límites:
a) ( ) ( )lim f x g x
x a
+ =
$
6 @
b) 
( )
( )
lim
h x
f x
x a
=
$
; E 
c) 
( )
( )
lim
h x
g x
x a
=
$
; E
d) ( )lim f x
x a
2 =
$
6 @
e) 
( ) ( )
( )
lim
g x h x
f x2
x a -
=
$
= G
Ejercicio N˚ 5: Para las siguientes funciones algebraicas calcule los límites indicados:
 a) lim x h3
h 0
+ =
$
 b) lim
x
1
x 2
2 =
$
 
 c) lim u
u
1
1
u 1 -
+ =
$-
 d) lim
x ax a
x a
2x 0 2 2
2 2
+ +
-
$
 con a 0!
Recordar: 
Límites laterales: La existencia del límite de f(x) cuando x a$ implica la existencia del límite por la izquierda
( )lim f x
x a$ -
 y la del límite por la derecha ( )lim f x
x a$ +
, y que ambos sean iguales . 
Ejercicio N˚ 6: Sea f(x) la función representada por el siguiente gráfico:
Y
X
1
-1-2
1
2
-1
-2
2
35
4
A partir de la gráfica anterior determinar el valor de los siguientes límites:
a) ( )lim f x
x 1$ +
 b) ( )lim f x
x 1$ -
 c) ( )lim f x
x 1$- +
 d) ( )lim f x
x 1$- -
e) ¿Existen ( )lim f x
x 1$
 y ( )lim f x
x 1$-
 ?. Justificar
Ejercicio N˚ 7: Para las siguientes funciones definidas por partes, utilizando los limites laterales decidir si existe 
el limite indicado,
a) ( )lim f x
x 2$
 con ( )f x
x
x
si
si
x
x
1
1
2
2>2
#
=
+
-
Z
[
\
]]]]
]]]]
b) ( )lim f x
x 0$
 si ( )f x
x x
x
si
x
x
x
2
9
2 2
0
0
0
>
<
2 6
6
=
+ -
+
=
Z
[
\
]]]]
]]]]
c) ( )lim f x
x 1$
 si f x
x
x
si
si
si
x
x
x
1 1
1
1
<
>
3
1
2
2
=
-
=] g
Z
[
\
]]]]
]]]]
 
Ejercicio N˚ 8: Las siguientes funciones también tienen implícitamente una definición por partes. Calcular los lími-
tes en los valores indicados utilizando los límites laterales:
a) [ ]x)x(f = , en a = 2 ( [x] = parte entera de x )
b) x)x(f = , en a = 0 
Ejercicio N˚ 9: Aplicando la definición de límite infinito, demostrar que lim x
1
x 0
3=
$
Ejercicio N˚ 10: Determinar si existen los limites de la funcion cuando x a= :
3x
1)x(g
−
= , en a = 3
3−
=
x
xxf )( , en a = 3
x
xsenxT
cos
)( = , en a = p/2
 






<∀−
≥∀
−=
0x,2x
0x,
2x
1
h(x) en a = 2
 x
1
el(x) = , en a = 0
Ejercicio N˚ 11: Demostrar por medio de la definición de límite en el infinito que: lim x
1 0
x
=
$3
Ejercicio N˚ 12: Determinar cuáles de los siguientes limites en el infinito existen y cuales no. En caso de existir 
36
4
determine su valor.
a) lim e
x
x2
$ 3-
 
b) lim e
x
x2
$ 3+
c) lim e
x
x2
$3
d) lim x 3
1
x -$ 3-
Ejercicio N˚ 13: los siguientes límites son algunos de los casos conocidos como indeterminados (del tipo 0
0 ). 
Utilizando la simplificación de las expresiones algebraicas determinar los valores de los límites
a) lim
x
x
1
1
x 1
2 -
- =
$
 
b) lim
x
x
25
5
x 5
2 -
+ =
$-
 
c) lim x
x
2
2
x 2 -
- =
$
d) lim x
x
1
1
x 1
3
+
+ =
$-
e) lim
x x
x x
3 2
2 1
x 1
2
2
- +
- + =
$
f) ( )lim f x
x 3$
 y ( )lim f x
x 3$-
 si ( )f x
x
x x
x
x
9
3
10
6
3
3
3
2 !6 !
=
-
-
=
=-
Z
[
\
]]]]]
]]]]]
Ejercicio N˚ 14: los siguientes límites son algunos de los casos conocidos como indeterminados (del tipo 
∞
∞
). 
Utilizando la simplificación de las expresiones algebraicas determinar los valores de los límites
a) lim x
x
1x + =$3 
b) lim
x
x
1
1
x
2
2
+
- =
$3
c) lim
x x
x x
2x 5 2
4 2
+
- =
$ 3+
 
d) lim
x x
x x
2
3 5 1
x
2
2
+
- + =
$ 3+
e) lim
x x
x x
1 1
3 1
x
2
2
-
-
=
$ 3+
 
Continuidad en un punto
Síntesis Teórica: f(x) es continua en el punto x = x0 si se cumplen:
a) Está definida en x0, es decir ∃ f(x0)
b) Existe ( )lim f x
x x0$
c) ( ) ( )lim f x f x
x x
0
0
=
$
Ejemplo:
• f(x) = 2x + 1 es continua en x = 2, ya que está definida, existe el límite y además el 
f(2)512x
2x
Lím ==+
→
37
4• f(x) = 2x 4x
2
−
− es discontinua en x = 2 porque f(2) no está definido y el ( )lim f x 4
x 2
=
$
 
En este caso la discontinuidad es del tipo evitable, ya que asignando a la función f(x) el valor de su límite para 
x 2$ , ya es continua. Las curvas de ( )f x x
x
2
42= -
- y de g(x) = x + 2 son idénticas excepto en el punto x 
= 2, ya que la primera presenta un “hueco”.
Evitar discontinuidades significa simplemente llenar en forma adecuada dicho “hueco”, para la cual se debe redefinir 
la función.
 
Ejercicio N˚ 15: Describir el conjunto donde la función es continua. Nombrar los valores de x donde es discontinua 
y clasificar el tipo de discontinuidad que presenta.
a) y = 
2x
1
− 
 b) y = 
3z
9z2
−
−
 
 c) ( )
,
,
f x
x x
x
1 1 1
1 1 1
2 6
6
s
!
=
- -
-6
6
@
@Z
[
\
]]]]
]]]] 
 d) z = 
w
w2 
 e) 
1e
1xf x)( −
= 
Ejercicio N˚16:
a) Dar los gráficos de 3 funciones que no sean continuas por razones distintas.
b) Dar algunos ejemplos de funciones que tienen límite en cero, pero que no son continuas en ese punto. Realizar 
los gráficos de esas funciones.
c) Dar el gráfico de una función que:
- Este definida en todo R.
- Sea continua en )(8,(3,8),5,3),(,-5),(- ∞−∞ .
- Tenga una discontinuidad evitable en -5 , una no evitable en 3, y otra en 8 donde se aproxima a 
infinito.
- Sea negativa en (3,8).
Ejercicio N˚ 17: ¿Cuáles de las siguientes funciones son continuas en el origen?. ¿Cuáles pueden ser redefinidas 
para convertirse en continuas ?.¿Cuáles no pueden serlo?. Justifique su respuesta. 
a) ( )f x
x sen x
x
x
x
1 0
0
>
#
=
-
b l
Z
[
\
]]]]]
]]]]]
 b) ( )f x
x
x
x
x
x
3
0
0
0
>
<
2
1
= =
Z
[
\
]]]]
]]]]
c) 






=
≠
=
0x;0
0x;
x
1
f(x) d) 






=
≠
p
=
0x;00x;
x
sen
f(x)
Ejercicio N˚ 18: Dibuje la gráfica de una función que satisfaga las siguientes condiciones:
38
4
a) Su dominio es [0, 7]
b) f(0) = f(2) = f(4) = f(7) = 3
c) La función f es continua, excepto para x =2
d) ( )lim f x 1
x 2
=
$ -
 y ( )lim f x 3
x 5
=
$ +
39
5DERIVADA
El objetivo de las ideas que desarrollaremos en lo que sigue, es definir en forma precisa el 
concepto de derivada de una función en un punto y el de función derivada. Se estudiará 
además un álgebra de derivadas que nos permitirá, junto con la construcción de una tabla, 
derivar una gran diversidad de funciones.
5.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Para comenzar consideremos una función :f I R$ , donde I es un intervalo abierto de la 
recta real (eventualmente toda la recta). Tomemos un punto a I! en el cual la función esté 
definida. Queremos estudiar la variación de la función, respecto a la variación de la variable 
independiente en las proximidades del punto a I! . Esto último lo podemos expresar como
Variación de la variable independiente: x x aD = -
Variación de la variable dependiente: ( ) ( )f f x f aD = -
Variación relativa: 
( ) ( )
x
f
x a
f x f a
D
D
= -
-
A la variación relativa se la conoce también como cociente incremental. Observamos 
que al tomar límite en la expresión 
( ) ( )
x a
f x f a
-
-
 cuando x a$ nos queda un indeterminado 
del tipo 0
0 . Esto nos indica que dicho límite puede existir o no. En caso de que exista (es 
decir sea un número real finito) lo llamaremos la derivada de la función f en el punto 
a I! y lo denotaremos por ( )f al . Este último párrafo lo podemos expresar de la siguiente 
manera:
( )
( ) ( )
limf a x a
f x f a
x a
= -
-
$
l 
Observación: hay otra forma de expresar la definición (5-1), recordemos que hemos 
definido x x a x a x+D D= - = + luego haciendo este cambio de variable en (5-1) y teniendo 
(5-1)
40
5
en cuenta que x 0$D , cuando x a$ , obtenemos:
( )
( ) ( )
limf a x
f a x f a
x 0 D
D
=
+ -
$D
l
Es por ello que definimos la derivada de la función f en el punto a I! como “el límite del 
cociente incremental, cuando el incremento de la variable independiente tiende a 
cero (siempre que este límite exista)”
5.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Sea la función :f I R$ , donde I es un intervalo abierto de la recta real, supongamos 
además que f es continua en dicho intervalo y que existe ( )f al . El gráfico de la función ,f 
es decir el conjunto:
( ) , ( ) :Graf f x f x x I!= ^ h" ,
Es una curva en el plano R2 ; si tomamos un punto a I! y suponiendo que nos 
desplazamos en xD hacia la derecha respecto de a I! al calcular la variación relativa, 
( )
( ) ( )
C x x
f a x f a
D
D
D
=
+ -
 éste nos da como resultado el coeficiente angular (pendiente) de 
la recta secante que pasa por los puntos: , ( )a f a^ h y , ( )a x f a xD D+ +^ h como observamos 
en la Figura 5.1. 
Si hacemos tender x 0$D observamos que ( ) ( )C x f a$D l , es decir las pendientes de 
las rectas secantes se acercan a la pendiente de una recta que pasa por , ( )a f a^ h a la cual 
denominaremos recta tangente a la curva descripta por el gráfico de f . Más adelante 
volveremos sobre esta interpretación.
5.2.1 Algunos Ejemplos
a) Calcular, si es que existe, la derivada de la función ( )f x x2 33=- + en el punto a 3=
Solución: En principio observemos que la función tiene por dominio todos los reales con 
lo cual está definida en el punto a 3= y además ( )f 3 15=- . 
Vamos a usar la definición (5-2) para calcular la derivada de esta función en el punto 
a 3= . 
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim limx
f a x f a
x
f x f
x
x x3 3 15 12 2 15
x x x0 0 0
2
D
D
D
D
D
D D+ - =
+ -
= - - - +
$ $ $D D D
lim limx
x x
x
12 2
12 2 12
x x0 0D
D D
D
- -
= - - =-
$ $D D
] g
(5-2)
Figura 5.1
41
5
Como el límite del cociente incremental existe (cuando x 0$D ) y vale -12, decimos que:
( )f 3 12=-l
b) Calcular la derivada de la función ( )f x x7 3
5= + en el punto a 1=-
Solución: En principio observemos que la función tiene por dominio ( ) ,Dom f 3
7
3= - -b l
,3
7
, 3- +b l y por ende, está definida en el punto a 1=- y ( )f 1 4
5- = . 
Como en el ejemplo a) usamos la definición (5-2) para calcular la derivada esta función 
en el punto a 1=- . 
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim limx
f a x f a
x
f x f
x
x1 1 7 3 1
5
4
5
x x x0 0 0D
D
D
D
D
D+ -
=
- + - -
=
+ - +
-
=
$ $ $D D D
] g
( )
( )
( ) ( )
lim lim lim
x x
x
x x
x
x4 3 4
20 5 4 3
4 3 4
15
4 3 4
15
16
15
x x x0 0 0D D
D
D D
D
D+
- +
=
+
- =
+
- =-
$ $ $D D D
Por lo tanto afirmamos que:
( )f 1 16
15- =-l
5.3 DERIVADAS LATERALES
Observamos que de existir el límite del cociente incremental:
Entonces de acuerdo a lo que se ha estudiado deben existir los límites:
y también,
A estos límites los denominamos derivada lateral por derecha y lo denotamos por ( )f a+l 
y derivada lateral por izquierda ( )f a-l , respectivamente. Luego si f es derivable en 
a I! entonces, se cumple
( ) ( ) ( )f a f a f a= =+ -l l l
El cálculo de las derivadas laterales permite decidir si una función es derivable en un punto 
dado, como lo muestran los siguientes:
5.3.1 Ejemplos 
a) Decidir si la función ( )f x x3 6= + es derivable en a 2=- 
Solución: La función ( )f x x3 6= + tiene por dominio todos los reales y además ( )f 2 0- =
, es más, la función es continua en todo su dominio (verificar esta afirmación). Al estudiar 
sus derivadas laterales en a 2=- , vemos que:
i) 
lim lim limx
f a x f a
x
f x f
x
x2 2 3 2 6 0
x x x0 0 0D
D
D
D
D
D+ -
=
- + - -
=
- + + -
=
$ $ $D D D+ + +
] ] ] ] ]g g g g g
42
5
lim lim limx
x
x
x
x
x3 3 3 3
x x x0 0 0D
D
D
D
D
D= = =
$ $ $D D D+ + +
Por lo tanto se tiene,
( )f 2 3- =+l
ii) Al calcular la derivada lateral por izquierda, obtenemos,
( ) ( )
lim lim limx
f x f
x
x
x
x2 2 3 3 3
x x x0 0 0D D
D
D
D- + - - = = =-
$ $ $D D D- - -
Así llegamos a,
( )f 2 3- =-l
Como las derivadas laterales no son iguales concluimos que f no es derivable en a 2=- . 
Cuando observamos el gráfico (Figura 5.2) de esta función entendemos porque la función 
no es derivable en a 2=- . En el punto ;2 0-^ h la función tiene una esquina o punta, 
el coeficiente angular de la recta tangente a la gráfica de f a la derecha de a 2=- es 
( )f 2 3- =+l mientras que a la izquierda es f 2 3- =--l ] g con lo cual no hay recta tangente 
en el punto en cuestión. Cuando una función como la que acabamos de analizar es continua 
en un punto pero no es derivable se dice que no es suave en caso contrario se dice suave 
en el punto.
b) Consideremos la función definida por partes:
( )f x
x x
x x
2 1
3 1
<3
$
=
+)
Se desea determinar si la función es derivable en a 1= .
Solución: El dominio de esta función son todos los reales y ( )f 1 3= es más, la función es 
continua en a 1= (Se deja como ejercicio verificar esta última afirmación).
Analicemos la existencia de derivadas laterales en a 1= .
i) Calculamos la derivada lateral por derecha,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim limx
f a x f a
x
f x f
x
x
x
x1 1 3 1 3 3 3
x x x x0 0 0 0D
D
D
D
D
D
D
D+ - =
+ -
=
+ -
= =
$ $ $ $D D D D+ + + +
Luego se tiene que,
( )f 1 3=+l
ii) Calculamos la derivada lateral por izquierda, 
( )
lim lim limx
f x f
x
x
x
x x x1 1 1 2 3 1 3 3 2 3
x x x0 0
3
0
2 3
D
D
D
D
D
D D D+ - =
+ + -
= + + + + - =
$ $ $D D D- - -
] ]g g
Figura 5.2
43
5
lim lim limx
x x x
x
x x x x x3 3
3 3
3 3 3
x x x0
2 3
0
2
0
2
D
D D D
D
D D D
D D+ + =
+ +
= + + =
$ $ $D D D- - -
] ]g g
Así llegamos a,
( )f 1 3=-l
Como las derivadas laterales son iguales concluimos que f es derivable en a 1= y 
escribimos:
( ) ( ) ( )f f f1 1 1 3= = =+ -l l l
En este caso decimos que las ramas de la función f empalman suavemente. Si observamos 
el gráfico de esta función (Figura 5.3) entendemos por qué esto es así: 
De los dos ejemplos que hemos tratado en este apartado observamos: 
i) Que una función resulte continua en un puntono implica que esta sea 
derivable en dicho punto Ejemplo a)
ii) El Ejemplo b) nos induce a preguntarnos que, ¿si una función es derivable en 
un punto entonces, es continua en dicho punto?
Para responder la pregunta de ii) tenemos la siguiente:
Proposición 1
Sea la función :f I R$ , donde I es un intervalo abierto de la recta real, supongamos que 
f es derivable en a I! entonces, la función f es continua en a .
Demostración:
Observemos que la definición de continuidad en el punto a se puede reescribir de la 
siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( )lim limf x f a f a x f a
x a x 0
+ D= + =
$ $D
Entonces, se tiene,
( ) ( ) ( ) ( )lim limf a x f a x f a f a
x x0 0
D D+ = + - +
$ $D D
6 @ ( ) ( ) ( )lim limx x
f a x f a
f a
x x0 0
D
D
D
=
+ -
+
$ $D D
( ) ( )
( ) ( ) ( )lim limx x
f a x f a
f a f a f a0
x x0 0
D
D
D
=
+ -
+ = +
$ $D D
l
Figura 5.3
44
5
Esto es,
( ) ( )lim f a x f a
x 0
D+ =
$D
Como queríamos ver. 
5.4. LA FUNCIÓN DERIVADA
Definición: Diremos que la función :f I R$ , donde I es un intervalo abierto de la recta 
real, es derivable en I , si es derivable en cada punto x I! . De esta forma tenemos una 
nueva función que asigna a cada x I! el valor f xl] g , es decir:
:f I
x f x
R$
$
l
l] g
A esta función la llamamos la función derivada de f , o más brevemente la derivada de 
f . Otra notación para la función derivada es:
f x dx
df
x=l] ]g g
5.4.1 Ejemplos
a) Calcular la función derivada de ( )f x x= 
Solución: Observar que ( )Dom f I R= = , calculamos el límite del cociente incremental, 
ahora tomando a x=
( )
lim lim limx
f x x f x
x
x x x
x
x 1
x x x0 0 0D
D
D
D
D
D+ - = + - = =
$ $ $D D D
] g
Esto nos dice que la función derivada de ( )f x x= es,
,f x dx
df
x x1 R6 != =l] ]g g
b) Calcular la función derivada de ( )f x x2=
Solución: ( )Dom f I R= = , calculamos el límite del cociente incremental, 
lim lim limx
f x x f x
x
x x x
x
x x x
x
2
2
x x x0 0
2 2
0D
D
D
D
D
D D+ -
=
+ -
=
+
=
$ $ $D D D
] ] ] ]g g g g
Por lo tanto la función derivada de ( )f x x2= es,
,f x dx
df
x x x2 R6 != =l] ]g g
c) De forma similar al ejemplo b) se puede probar que la función derivada de 
( )f x x3= es,
,f x dx
df
x x x3 R2 6 != =l] ]g g
Los ejemplos a), b) y c) nos hacen postular que:
Si ( )f x xn= entonces f x nxn 1= -l] g
d) Demostrar por definición que la derivada de ( )f x xn= , n N! es, f x nxn 1= -l] g
Solución: Recordemos que usando la regla de Ruffini se puede demostrar la siguiente 
identidad:
45
5z t z t z z t z t zt tn n n n n n n1 2 3 2 2 1g- = - + + + + +- - - - -] ]g g 
Planteamos el límite del cociente incremental,
lim limx
f x x f x
x
x x x
x x
n n
0 0D
D
D
D+ -
=
+ -
$ $D D
] ] ]g g g
Ahora usamos la fórmula (5-3) tomando: z x xD= + y t x= de esta forma obtenemos: 
lim x
x x x x x x x x x x x x
x
n n n n
0
1 2 2 1g
D
D D D D
=
+ - + + + + + + +
=
$D
- - - -] ] ] ]g g g g6 @
lim x
x x x x x x x x x x
x
n n n n
0
1 2 2 1g
D
D D D D
=
+ + + + + + +
=
$D
- - - -] ] ]g g g6 @
lim x x x x x x x x x
x
n n n n
0
1 2 2 1gD D D= + + + + + + + =
$D
- - - -] ] ]g g g6 @
nxn 1= -
Es decir,
( ) ,f x nx x Rn 1 6 != -l 
Con la fórmula (5-4) podemos derivar cualquier función que sea de la forma ( ) , ,f x x n Nn != 
como por ejemplo: 
Si f x x100=] g entonces, f x x100 99=l] g
e) Calcular derivada de 
Solución: Calculemos el límite del cociente incremental, 
( )
lim lim limx
f x x f x
x
x x x
x x x x
x x x x x x
x x x0 0 0D
D
D
D
D D
D D+ -
=
+ -
=
+ +
+ - + +
=
$ $ $D D D
] ^
^
^g h
h
h
lim lim lim
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x
x x x0
2 2
0 0D D
D
D D
D
D D
D=
+ +
+ -
=
+ +
+ - =
+ +
=
$ $ $D D D
^
^
^
^ ^
h h
h h h
lim
x x x x
x1
2
1
2
1
x 0
2
1
D
=
+ +
= =
$D
-
Es decir que la función derivada de es,
( ) ( ) , ,f x dx
df
x
x
x x
2
1
2
1 02
1
6 3!= = = +-l ^ h
f) Se puede demostrar que en general si entonces la derivada de es,
f x rxr 1= -l] g 
Por ejemplo hallar la función derivada de ( )f x
x
1
23
= , para poder aplicar (5-5) expresamos 
a la función de la siguiente manera:
( )f x
x
x1
23
3
2
= = -
(5-3)
(5-4)
(5-5)
46
5
Entonces, aplicando (5-5) obtenemos,
,f x x x3
2 03
5
6 !=- -l] g
g) Un ejemplo notable usando un límite notable:
Calcular la función derivada de 
Solución: Calculemos el límite del cociente incremental, 
lim lim
ln ln
lim ln lnx
f x x f x
x
x x x
x
x x x1
x x x0 0 0D
D
D
D
D
D
+ -
=
+ -
= + - =
$ $ $D D D
] ] ] ] ] ]g g g g g g6 @
lim ln lim ln lim lnx x
x x
x x
x
x x
x
x
x1 1 1 1 1
1
x x x0 0 0D
D
D
D
D D
= + = + = + =
$ $ $D D D
b b fl l p; : >E D H
lim ln ln limx x
x x
x
x1 1
1 1 1 1
x
x
x
x
x
x
0 0D D
= + = +
$ $D
D
D
D
f fp p> H
Observar que la última igualdad se justifica por el hecho que la función logaritmo natural es 
una función continua. Para calcular el límite:
lim
x
x1
1
x
x
x
0 D
+
$D
D
f p
Hacemos el cambio de variable y observemos que cuando, por lo tanto,
lim lim
x
x t e
1 1 1 1
x
x
x
x
t
0 0D
+ = + =
$ $D
D
D
f bp l
Con esto se llega finalmente (al notable resultado),
( )ln lim lnx
x
x x e x
1 1 1 1 1
x
x
x
0 D
= + = =
$D
D
f p> H
f x x
1=l] g
h) Se deja como ejercicio que,
5.5 UNA PRIMERA TABLA DE DERIVADAS
Si recopilamos la información de los ejemplos dados en el parágrafo 5.4.1 podemos 
confeccionar una pequeña tabla de derivadas, tabla que iremos aumentando hacia el final 
de esta sección.
( )f x f xl] g
k 0
x 1
x2 x2
x3 x3 2
,x n Nn ! nxn 1-
x x 2
1
=
x
x
2
1
2
1
2
1
= -
,x r Qr ! rxr 1-
( )ln x
x
1
47
5
Hemos avanzado en el cálculo de la función derivada, ahora indagamos acerca del 
comportamiento de la función derivada respecto de las operaciones entre funciones. Esto 
es, suponiendo que conocemos que dos funciones f y g son derivables, queremos saber 
si por ejemplo f g+ , .f g o f g lo son. Para ello vamos a la presentación del algebra de 
derivadas.
5.6. ÁLGEBRA DE DERIVADAS 
Proposición 2:
Sea k R! y sea :f I R$ , donde I es un intervalo abierto de la recta real, derivable en todo 
punto x I! , entonces h kf= es derivable y vale que h kf=l l
Demostración: 
Como es habitual planteamos el límite del cociente incremental, ahora para la función 
h kf= y determinamos si existe dicho límite. Debemos tener en cuenta que por hipótesis, 
 con esto en mente hacemos,
Luego, 
Ejemplo: 
Si ( )h x x h x x h x x7
6
7
6 7 67 6 6& += = =l l] ]g g
Proposición 3:
Sean :f I R1$ y :g I R2$ donde son intervalos abiertos de la recta real, derivables 
en todo punto , entonces es derivable y vale que 
Demostración: 
 Planteamos el límite del cociente incremental, ahora para la función 
Por lo tanto,
Ejemplos: 
a) Si 
En este ejemplo se ha usado el resultado de las proposiciones 2 y 3 además de los resultados 
48
5
de la tabla 2.2
b) Si f y g son funciones derivables se entonces, 
Observemos que entonces, aplicando las proposiciones 
2 y 3 se obtiene,
c) Con la aplicación iterada de las proposiciones 2, 3 y el uso de la tabla, podemos derivar 
cualquier polinomio. Se deja como ejercicio demostrar que:
Si entonces,
Proposición 4: (Regla del producto)
Sean :f I R1$ y :g I R2$ donde I1 e I2 son intervalos abiertos de la recta real, 
derivables en todo punto x I I1 2+! entonces, .h f g= es derivable y vale que, h f g fg= +l l l
Demostración: 
Planteamos el límite del cociente incremental para la función 
Por ser derivable entonces, es continua así, lim g x x g x
x 0
D+ =
$D
] ]g g
Por otro lado, ( ) ( )lim f x f x
x 0
=
$D
 y los otros límites existen por ser f y g derivables. Por lo 
tanto,
Ejemplo: Calcular la función derivada de 
Solución: Aplicando la regla del producto y usando la tabla,
Proposición 5:
Sea :f I R$ , donde I es un intervalo abierto de la recta real, supongamos que f no tiene 
ceros en I y que f es derivable en todo punto x I! entonces, h f1= es derivable y vale 
h f f2=-l