HOY LUNES 28 DE AGOSTO-GEUNICA-ALGEBRA-DIVISION II

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Prof. José Meneses Limeño 
 ÁLGEBRA 
 DIVISION POLINOMICA II
 
Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor 
es un binomio de primer grado de la forma (ax + b) y en algunos casos especiales. 
Regla práctica: Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se despeja el valor de la 
variable y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto. 
 
 
 
Dados los polinomios P(x) y f(x), tales que     1P f    .Diremos que P(x) es divisible 
por f(x) si existe otro polinomio g(x) único, tal que ( ) ( ). ( )P x f x g x . 
 
Corolario: 
P(x) es divisible por f(x) si y solo si, la división P(x)  f(x) es exacta. 
 
Teorema del factor: 
Un polinomio P(x) no constante, se anula para x=b si y solo si P(x) es divisible por (x-b); 
es decir (x-b) es un factor de P(x). 
 
Teorema de la Divisibilidad: 
Sea P(x) un polinomio de grado n2. P(x) es divisible separadamente por los binomios (x-
a) y (x-b) con a b, si y solo si P(x) es divisible por el producto 
(x-a)(x-b). 
 
Teorema de los restos iguales: 
Sea P(x) un polinomio de grado n2 y a b. Si 
( )P x
x a
 deja como resto 1( )xR R 
( )P x
x b
 deja como resto 2( )xR R 
Entonces: 
  
( )P x
x a x b 
 deja como resto ( )xR R 
 
Teoremas adicionales 
Si P(x) es divisible por f(x) y f(x) es divisible por g(x), entonces P(x) es divisible por g(x). 
Si P(x) y Q(x) son divisibles por f(x), entonces P(x)  Q(x) son divisibles por f(x). 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
01. Determine la suma de coeficientes del polinomio cociente que se obtiene de la siguiente 
división: (x – 3)7 + (x – 2)5 + 2x – 1 ÷ x2 – 5x + 6 
A) -69 B) -65 C) -63 D) 63 E) 62 
 
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS 
 
TEOREMA DEL RESTO 
 
 
 
Prof. José Meneses Limeño 
02. Calcule el residuo de la siguiente división 
13 6
2
4x 5x 3
x x 1
 
 
 
A) 4x + 2 B) 4x – 2 C) – 4x + 2 D) – 4x – 2 E) 4x-1 
 
03. Determine el resto al dividir: 
119
2
2x 1
x x 1

 
 
A) x – 3 B) 4 – 2x C) 3 – 2x D) 2x – 3 E) x-7 
 
04. Calcule el residuo de la división: 
4n 7 2n 5
2
x (x 1) 3
x x 1
   
 
 (n entero positivo) 
 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
05. Halle el resto de la siguiente división: 
           
2
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
x 7x 11
     
 
 
 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 3 
 
06. Encontrar el resto en la división: 
336 37 7
2
2
1
x x x
x x
  
 
 
 A) 3x+2 B) 2x-3 C) -2x+5 D) 2x+3 E) 2x-1 
 
07. Determine el valor de “m” en la siguiente división, sabiendo que el residuo es: 5m-2 
 
   60 56 216 3 1 23
2
x x m x m x
x
     

 
 A) 2 B) 5 C) 7 D) 3 E) 1 
 
08. Un polinomio P(x), Mónico y de cuarto grado, es divisible separadamente entre (x+5) y 
(x2-5). Si lo dividimos entre (x-5) el resto es 3000, halle el resto de dividir P(x) entre 
(x+1). 
 A) -145 B) -138 C) -146 D) -144 E) -143 
 
09. Un polinomio P(x) de tercer grado se divide separadamente entre (x-1); (x-2) y (x+3); 
dando como resto común 5. Además al dividirlo entre (x+1) da un resto igual a 29. 
Calcular el término independiente de P(x). 
A) 17 B) 15 C) 14 D) 16 E) 13 
 
10. Al dividir el polinomio P(x) separadamente entre    
2 3
1 2x y x  se obtienen como 
restos (2x) y (3x), respectivamente. ¿Cuál es el coeficiente del término lineal del resto 
en 
  
( )
1 2
P x
x x 
 ? 
A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 
 
11. Sea P(x) un polinomio de sexto grado, que tiene raíz cuadrada exacta y es divisible 
separadamente por    2 2 4x y x  . Además, si P(x) se divide entre (x+3) su resto es 
1936. Halle el término independiente de P(x). 
 A) -145 B) -138 C) -146 D) 1024 E) -143 
 
 
Prof. José Meneses Limeño 
12. El número de socios que actualmente tiene un Club Departamental está representado 
por el valor numérico de un polinomio p(t) cuando a “t” se le asigna el valor de tres. Si 
p(t) es de grado tres, y es tal que al dividirlo, separadamente, por (t+1), (t+2) y (t+3), 
siempre se obtiene como resto 7, halle el número de socios que tiene dicho Club 
Departamental, si el termino independiente de p(t) es 67. 
A) 1127 B) 1214 C) 1321 D) 1207 E) 1322 
 
13. Si la siguiente división 
       
5 4 4 32 3
2
2 2 1 1
1
x x m x x nx x
x x
      
 
 es exacta, halle el 
valor de (81m+n+7). 
 A) 7 B) 8 C) 12 D) 5 E) 15 
 
14. Halle el resto de la división 
     
7 5 27 5
2
1 1 1 7
2
x x x x x
x x
     
 
 
A) x-164 B) x-154 C) x-144 D) x-134 E) x-143 
 
15. Luego de dividir: 
     
2 2
2
1 3 2 2 1
2 2
n
x x x
x x
    
 
 
Se obtiene como residuo 90. Calcule el valor de “n”. 
A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 7 
 
16. Hallar el resto en la siguiente división: 
   
  
11 13
5 4 2
5 4
x x
x x
   
 
 
 A) 3x B) 6x+8 C) 3x+5 D) 2x-7 E) N.A. 
 
17. Hallar el resto de la división: 
26
2
16
1
x
x x 
 
A) -16(x+1) B) –x+1 C) 2x+4 D) x-3 E) 4x 
 
18. Obtener el residuo de: 
    
2
2
2
1 4 5 6 70
5 3
x x x x x
x x
     
 
 
 
 A) 25 B) 36 C) 49 D) 81 E) 64 
 
19. Dada la división polinomial: 
    
2
1 2 4 7 2
5 2
x x x x x
x x
    
 
 
Su residuo R(x) es lineal, halle R(40). 
A) 2 B) 6 C) 4 D) 10 E) 8 
 
20. Obtener el residuo de la división: 
   
  
2018 2017
3 4 6
3 4
x x
x x
   
 
 
 A) 3x-1 B) 2x-1 C) 5x-1 D) x-2 E) x-3 
 
 
 
Prof. José Meneses Limeño 
21. Halle el resto de la división : 
     
35 28 17
2
1 7 1 3 1 3
2 2
x x x
x x
     
 
 
 A) 2x B) 2x-12 C) 2x+5 D) 2x+12 E) 2x+7 
 
22. Halle el residuo de la siguiente división:
  
3
1 2
x
x x 
 
A) 7x+5 B) 76x+2 C) 7x+6 D) 6x-1 E) 3x-1 
 
23. Determine el resto al dividir: 
    
   
4
3
2 6 3
2 3
x x x
x x
  
 
 
A) -18 B) 27 C) 18(x+2)3 D) -18(x+2)3 E) -27(x+2)3 
 
24. Si el residuo de la división: 
   
  
11 3
3 4
3 4
x x
x x
  
 
 
Tiene la forma: ax+b, calcule “a.b” 
 A) 14 B) 7 C) -7 D) -14 E) -20 
 
PROB 25 
 
PROB 26 
 
PROB 27 
 
 
 
 
 
 
PROB 28 
 
PROB 29 
 
PROB 30 
Calcule el resto de la siguiente división: 
 
 
8
3 39
6 3
1 9
1
x x
x x
   
  
 
 
A) 2 B) -2 C) 9 
D) 1 E) 4 
 
 LALI