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Astrodinámica Alberto Abad © Astrodinámica © Alberto Abad, 2012 Grupo de Mecánica Espacial Universidad de Zaragoza Zaragoza. Spain. e-mail: abad@unizar.es web: web: http://gme.unizar.es ISBN papel: 978-84-686-2857-8 Editor Bubok Publishing S.L. Impreso en España/Printed in Spain iii Para Pili, Pablo, Cristina, Cari y Alejo. iv Índice general Prólogo y agradecimientos XI I Sistemas de referencia en Astrodinámica 1 1 Sistemas de referencia en IR3 3 1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 El espacio af́ın IR3: sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Producto escalar: IR3 como espacio eucĺıdeo . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Ángulos y funciones circulares inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Producto vectorial y mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Sistemas de referencia ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Otras propiedades de los distintos productos de vectores . . . . . . 11 1.8 Ángulo orientado entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.9 Coordenadas cartesianas y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.10 Trigonometŕıa esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.10.1 Fórmulas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.10.2 Regla del pentágono de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.10.3 Analoǵıas de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10.4 Algoritmo para la resolución de triángulos esféricos . . . . . 22 2 Cambios del sistema de referencia: rotaciones 25 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Rotaciones en IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Composición de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Rotación de un vector alrededor de un eje . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 Rotaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6 Ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.7 Rotaciones y cuaternios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Fundamentos de los sistemas de referencia en el espacio 37 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Sistema de referencia horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Sistema de referencia horario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 v vi Índice general 3.4 Sistema de referencia ecuatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.5 Sistema de referencia ecĺıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6 Relación entre los sistemas de referencia espaciales . . . . . . . . . 43 3.7 Sistema de referencia geográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.8 Sistema de referencia planetográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Sistemas de referencia espaciales precisos 53 4.1 Movimientos del polo y del equinoccio . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Sistemas de referencia espaciales precisos . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3 Transformaciones entre sistemas de referencia precisos . . . . . . . 60 4.3.1 Movimiento del polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3.2 Cambios de origen en el ecuador intermedio . . . . . . . . . 64 4.3.3 Precesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3.4 Nutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.5 Tratamiento actual de la precesión y nutación . . . . . . . . 68 4.3.6 Desviación entre los sistemas Eo �o y S G . . . . . . . . . . . . 70 4.3.7 Transformación general de coordenadas . . . . . . . . . . . 71 4.4 Relación de los sistemas precisos con los sistemas idealizados . . . 71 5 Referencia temporal 73 5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2 Relojes basados en la rotación terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2.1 Tiempo sidéreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2.2 Ángulo de rotación terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2.3 Tiempo solar y tiempo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2.4 Tiempo universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.3 Movimiento orbital de la Tierra: el año . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.4 Relación entre el tiempo sidéreo y el tiempo medio . . . . . . . . . 82 5.5 Escalas de tiempo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.5.1 Tiempo de efemérides y tiempo atómico internacional . . . 84 5.5.2 Tiempo universal coordinado . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.5.3 Tiempo de zona y tiempo oficial . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.6 Escalas modernas de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.7 Tiempos coordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.8 Calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.9 Determinación de una época . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 II Movimiento kepleriano 95 6 Revisión de elementos de dinámica clásica 97 6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2 Movimiento de una masa puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3 Sistemas inerciales y no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.4 Movimiento de una part́ıcula en su plano . . . . . . . . . . . . . . 101 Índice general vii 6.5 Sistemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.6 Ecuaciones de Lagrange y de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.7 Transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.8 Ecuación de Hamilton–Jacobi y ecuación de Delaunay . . . . . . . 107 7 Movimiento kepleriano 109 7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.2 Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.3 Propiedades de las cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.3.1 Elipses: 0 e < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.3.2 Parábolas: e = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.3.3 Hipérbolas: e > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.4 Ley de gravitación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.5 Problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.6 Movimiento relativo o kepleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.7 Funciones f y g de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8 Integración del problema kepleriano 123 8.1 Modelo orbital kepleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.2 Primeras integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.3 Deducción de la primera y segunda leyes de Kepler . . . . . . . . . 126 8.4 Tercera ley de Kepler: unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.5 Ley horaria del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.5.1 Formulación regularizada del movimiento kepleriano . . . . 131 8.5.2 Caso parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.5.3 Caso eĺıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.5.4 Resolución de la ecuación de Kepler . . . . . . . . . . . . . 136 8.5.5 Caso hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9 Órbitas keplerianas 141 9.1 Caracterización de las órbitas keplerianas . . . . . . . . . . . . . . 141 9.2 Elementos orbitales ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 9.3 Variables no singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.4 Sistemas de referencia orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.4.1 Sistema espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.4.2 Sistema nodal–espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.4.3 Sistema nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.4.4 Sistema apsidal . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 149 9.4.5 Sistema orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 9.4.6 Sistema de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 9.5 Relaciones entre el vector de estado y los elementos orbitales . . . 151 9.5.1 Determinación de la órbita a partir de las condiciones iniciales152 9.5.2 Cálculo de efemérides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.6 Intersección de dos órbitas keplerianas . . . . . . . . . . . . . . . . 154 9.6.1 Pertenencia de un punto a una órbita . . . . . . . . . . . . 154 viii Índice general 9.6.2 Intersección de órbitas no coplanarias . . . . . . . . . . . . 155 9.6.3 Intersección de órbitas coplanarias . . . . . . . . . . . . . . 155 9.6.4 Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 9.7 Variaciones de los sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . 157 9.8 Variables polares–nodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9.9 Variables de Delaunay en el movimiento eĺıptico . . . . . . . . . . . 160 10 Formulación universal del problema kepleriano 163 10.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.2 Funciones V de Stump↵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.3 Funciones V 0 ,V 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 10.4 Formulación universal del problema kepleriano . . . . . . . . . . . 169 10.5 Coeficientes de transición en forma cerrada . . . . . . . . . . . . . 172 11 Órbitas keplerianas que pasan por dos puntos 175 11.1 Problema de transferencias orbitales y problema de Lambert . . . 175 11.2 Órbitas de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 11.2.1 Plano de la órbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.2.2 Ángulo de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.3 Elementos del triángulo OP 1 P 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.4 Hodógrafa en P 1 y P 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 11.5 Órbitas de enerǵıa mı́nima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 11.6 Órbitas de enerǵıa h > h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 11.7 Conjunto de las órbitas que pasan por dos puntos . . . . . . . . . . 185 11.8 Tiempo de tránsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 11.9 Órbitas keplerianas que pasan por dos puntos en dos instantes . . 187 III Movimiento orbital 189 12 Movimiento orbital 191 12.1 Ecuaciones del movimiento orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.2 Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12.3 Ecuaciones de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 12.4 Perturbaciones de corto y largo periodo y seculares . . . . . . . . . 197 12.5 Método de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12.6 Perturbaciones de primer orden en el movimiento orbital . . . . . . 199 12.7 Propagadores orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 12.8 Propagador SGP4/SDP4 y variables TLE . . . . . . . . . . . . . . 203 13 Problema de n cuerpos 207 13.1 Formulación del problema de n cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . 207 13.2 Modelo planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 13.3 Perturbación luni-solar del satélite artificial . . . . . . . . . . . . . 210 13.4 Problema de tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.4.1 Problema restringido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Índice general ix 13.4.2 Problema restringido circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 13.4.3 Puntos de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 13.4.4 Curvas de velocidad cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 14 Atracción de sólidos 219 14.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.2 Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 14.3 Potencial gravitatorio de un planeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 14.4 Modelos de potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 14.5 Evaluación del potencial planetario y la fuerza derivada . . . . . . 228 14.6 Potencial terrestre en variables polares nodales . . . . . . . . . . . 230 14.7 Ecuaciones del movimiento en el sistema planetográfico . . . . . . 231 15 Otras perturbaciones 235 15.1 Rozamiento atmosférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 15.2 Presión de radiación solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 15.3 Eclipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 15.3.1 Semidiámetros y distancia angular . . . . . . . . . . . . . . 241 15.3.2 Condiciones para un eclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 15.3.3 Área de un segmento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 15.3.4 Magnitud del eclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 15.3.5 Eclipses en satélites artificiales terrestres . . . . . . . . . . . 246 15.4 Perturbaciones relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 15.5 Perturbaciones emṕıricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 IV Navegación espacial 249 16 Navegación espacial 251 16.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 16.2 Satélites artificiales terrestres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 16.2.1 Satélites de comunicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 16.2.2 Satélites de navegación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 16.2.3 Satélites de observación terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 257 16.2.4 Satélites cient́ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 16.2.5 Estaciones espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 16.2.6 Veh́ıculos de transporte de carga . . . . . . . . . . . . . . . 260 16.2.7 Basura espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 16.3 Navegación interplanetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 16.3.1 Viajes a la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 16.3.2 Viajes a Marte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 16.3.3 Exploración del sistema solar . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 x Índice general 17 Órbitas de satélites artificiales terrestres 271 17.1 Movimiento del satélite sobre la superficie terrestre . . . . . . . . . 271 17.1.1 La órbita en la superficie terrestre: traza . . . . . . . . . . . 272 17.1.2 Visibilidad de un satélite desde una estación . . . . . . . . . 276 17.2 El problema principal del satélite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 17.3 Efectos sobre el satélite de otras perturbaciones . . . . . . . . . . . 279 17.4 Clasificación de los satélites artificiales según su órbita . . . . . . . 281 17.4.1 Órbitas bajas (LEO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 17.4.2 Órbitas medias (MEO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 17.4.3 Órbitas geoestacionarias (GEO) . . . . . . . . . . . . . . . 282 17.4.4 Satélites Molniya y Tundra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 17.4.5 Satélites heliośıncronos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 17.4.6 Órbitas de transferencia geoestacionarias (GTO) . . . . . . 285 18 Maniobras orbitales 287 18.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 18.2 La velocidad y la navegación espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 18.3 Propulsión de naves espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 18.4 Lanzamiento de satélites artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 18.5 Corrección de órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 18.5.1 Corrección general de la órbita . . . . . . . . . . . . . . . . 302 18.5.2 Cambio del plano orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 18.5.3 Corrección de la órbita en su plano . . . . . . . . . . . . . . 305 18.5.4 Cambio de la forma de laórbita . . . . . . . . . . . . . . . 306 19 Transferencias y encuentros orbitales 309 19.1 Transferencias orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 19.1.1 Transferencias de Hohmann y bieĺıptica . . . . . . . . . . . 310 19.1.2 Transferencia óptima en dos maniobras . . . . . . . . . . . 314 19.2 Encuentros orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 19.2.1 Maniobra de espera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 19.2.2 Encuentro directo en transferencias generales . . . . . . . . 317 19.2.3 Encuentros en transferencias de Hohmann . . . . . . . . . . 318 19.3 Viaje a Marte en una órbita de transferencia de Hohmann . . . . . 321 20 Navegación interplanetaria 323 20.1 Sondas espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 20.2 Esfera gravitacional de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 20.3 Salida del campo gravitacional de un planeta . . . . . . . . . . . . 327 20.4 Entrada en el campo gravitacional de un planeta . . . . . . . . . . 329 20.5 Impulso gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Bibliograf́ıa 335 Índice alfabético 337 Prólogo y agradecimientos La Tierra es la cuna de la inteligencia, pero no se puede vivir siempre en una cuna. Konstantin E. Tsiokovsky, 1911. La tecnoloǵıa espacial es responsable de una buena parte de los avances tec- nológicos actuales. La investigación y desarrollo en cuestiones cient́ıficas y técnicas relativas a los satélites artificiales y la navegación espacial resultan fundamenta- les para un rápido avance cient́ıfico y tecnológico. Son muchas las actividades cotidianas que no podŕıamos realizar de no existir satélites artificiales orbitando alrededor de la Tierra. En efecto, en las noticias de televisión son frecuentes las conexiones con páıses de otros continentes; recibimos canales de televisión a través de las antenas parabólicas; hablamos con otros páıses por teléfono con igual o me- jor cobertura que en la misma ciudad; vemos fotograf́ıas de las borrascas, lo que permite la predicción del tiempo; sabemos los minutos que faltan hasta que llegue el próximo autobús; tenemos información de los minutos y segundos que lleva de ventaja el ciclista escapado sobre el pelotón que lo persigue, etc. Además, hay otros usos más sofisticados, como el poder obtener imágenes de galaxias extre- madamente alejadas, hacer un seguimiento del avance de la desertificación en los Monegros, una estimación de la nieve acumulada en el Pirineo, localización de una colonia de linces ibéricos, detectar bancos de pesca, o hacer llegar la educación a lugares remotos, como la selva brasileña, por poner unos cuantos ejemplos. Pero todas estas posibilidades son relativamente recientes; el primer satélite artificial, el Sputnik I se lanzó en 1957. La era espacial, en el momento de escribir estas ĺıneas, no tiene más que 55 años. Uno de los aspectos fundamentales para el éxito de una misión artificial es el xii establecimiento de una órbita precisa que le permita desarrollar, durante el mayor periodo de tiempo posible, la misión para la que ha sido concebido. Los funda- mentos del análisis del movimiento orbital de los satélites artificiales, aśı como el de otras naves espaciales cuyo propósito sea la exploración del espacio exterior, se basan en las consecuencias de la ley de gravitación universal enunciada por Newton. Esta ley, que determina el movimiento de cualquier cuerpo en el espacio, natural o artificial, dio lugar a la Mecánica Celeste, que nació como la disciplina cient́ıfica que estudia el movimiento de planetas, cometas, asteroides y cualquier otro cuerpo sometido a la ley de gravitación de Newton. Las caracteŕısticas especiales de alguno de los problemas dinámicos planteados en el estudio de las órbitas de los satélites artificiales llevaron a definir una nueva disciplina cient́ıfica, la Astrodinámica, heredera de la Mecánica Celeste, que estu- dia principalmente el movimiento en el espacio de los objetos artificiales. Aunque la causa fundamental del movimiento sigue siendo la ley de gravitación de Newton, en Astrodinámica hay que considerar otro tipo de fuerzas no gravitacionales que modifican las consecuencias de esta ley. Por otro lado, la Astrodinámica añade a la Mecánica Celeste un nuevo problema, como es el diseño de complejas trayectorias para las naves espaciales que les permitan realizar, con las limitaciones energéticas actuales, cualquier recorrido por el sistema solar. El presente libro pretende dar una visión general de los principales puntos que aborda la Astrodinámica, para ello se ha dividido en cuatro partes: sistemas de referencia, movimiento kepleriano, movimiento orbital y navegación espacial. En la primera parte del libro se aborda un problema previo a la navegación espacial, la determinación precisa de la posición y velocidad de un cuerpo en el espacio. En primer lugar se realiza un repaso de una serie de herramientas básicas, que van, desde el concepto de ángulo y vector, hasta el de sistema de referencia y el estudio de las rotaciones de estos sistemas. Una vez establecidos los conceptos básicos se pasa al estudio de los sistemas de referencia astronómicos considerando las variaciones de estos sistemas debidas a los pequeños movimientos de los planos fundamentales del ecuador y la ecĺıptica. En este punto se han introducido todas las recomendaciones y normas dictadas por la Unión Astronómica Internacional (IAU) en el año 2000, y en vigor desde el año 2003, que vienen a modificar las teoŕıas de la precesión y nutación de los años 1976 y 1980. Finalmente se estudia el parámetro que actúa de variable independiente en las teoŕıas dinámicas, esto es, el tiempo. Puesto que cualquier misión espacial establecerá su referencia temporal a través de un reloj, se estudian los distintos tipos de relojes y tiempos que nos da la Astronomı́a. En la segunda parte del libro se estudia en profundidad el movimiento ke- pleriano. Las leyes de Kepler describen el comportamiento de la solución de un modelo teórico basado en el movimiento relativo de dos masas puntuales que inter- accionan gravitacionalmente de acuerdo con la ley de Newton. No solo se integra el problema, sino que se realiza un estudio cualitativo exhaustivo del mismo, que es necesario para comprender la complejidad del modelo orbital real. Se analiza la geometŕıa de este movimiento, aśı como distintos conjuntos de variables que lo xiii describen y varios sistemas de referencia asociados a las órbita keplerianas. Final- mente se estudia el problema de contorno consistente en el análisis del conjunto de órbitas keplerianas que pasan por dos puntos. La tercera parte trata del modelo orbital real. Se analizan los distintos efec- tos que pueden modificar una órbita kepleriana: forma no esférica de la Tierra y de los planetas; atracción gravitacional de otros cuerpos; frenado atmosférico; presión de radiación solar; efectos relativistas; etc. Se estudia la formulación del problema de tres cuerpos, que es el siguiente en complejidad al modelo keple- riano de dos cuerpos, y se analiza un caso particular, el problema restringido, que determina muchas de las caracteŕısticas dinámicas de la navegación interplaneta- ria. Finalmente, se obtienen las ecuaciones que permiten estudiar los modelos de movimiento orbital a partir de aproximaciones al modelo kepleriano. La parte final aborda los aspectos que se refieren a la navegación espacial, tanto de satélites artificiales como de sondas interplanetarias. El primer caṕıtulo de esta parte analiza la historia del primer medio siglo de navegación espacial, no tanto desde un punto de vista cronológico, sino describiendo la historia de cada tipo de misión, procurando dar de esta forma una visión más coherente de la industria espacial actual. Se estudian por separado los satélites artificiales y la navegación interplanetaria.En los primeros se analiza la interacción entre éstos y la Tierra, que condiciona el tipo de misión en función de las zonas de la Tierra que el satélite sobrevuela. También se estudian los distintos tipos de maniobras, incluido el lanzamiento, que permiten modificar una órbita; aśı como las trasferencias orbitales, o conjunto de maniobras que conectan órbitas sin un punto en común. El último caṕıtulo estudia los conceptos básicos para el diseño de las trayectorias interplanetarias a partir de la unión de fragmentos de órbitas keplerianas. El presente libro ha sido escrito después de muchos años de estar encargado de la docencia de las asignaturas de Astronomı́a y Mecánica Celeste de la licen- ciatura de Matemáticas en la Universidad de Zaragoza. Parte de las notas escritas como consecuencia de dicha docencia se plasmaron en un libro titulado Curso de Astronomı́a y escrito en colaboración con José Angel Docobo y Antonio Elipe. A ellos quiero agradecer el uso, en éste libro, de ciertas partes del anterior, con objeto de dejar cerrados algunos temas. De esta forma, el lector interesado úni- camente en Astrodinámica no tendrá la necesidad de navegar en otro libro más orientado a la Astronomı́a. Con este libro he intentado llenar una laguna en la literatura en español de temas de Astrodinámica, pues son muy escasos los libros de estas caracteŕısticas que pueden encontrarse en las libreŕıas. Escribir el libro en español me ha hecho reflexionar sobre la adaptación de los términos cient́ıficos a nuestra lengua y me ha conducido a unas consideraciones sobre terminoloǵıa que, equivocadas o no, he intentado plasmar en el libro. En este punto quiero agradecer a mi colega Luis Floŕıa sus fruct́ıferas e ilustrativas conversaciones sobre el tema. El inglés se ha convertido en la lengua común de la ciencia, es por ello corriente que determinados xiv términos no se traduzcan o la traducción sea poco meditada. Al escribir este libro he intentado utilizar una terminoloǵıa que se adapte al máximo a las palabras y conceptos del español y a su significado cient́ıfico. Esto debe ayudar a realizar una correcta interpretación de dichos términos cuando se pretende hacer divulgación de temas especializados a personas no expertas en la materia o no familiarizadas con la literatura técnica escrita en inglés. Aśı, en este libro he usado palabras no estándar como cónicas enlazadas en lugar de patched conics, órbitas de aproxima- ción en lugar de flyby o swingby, etc. Al final de la obra, en el ı́ndice alfabético se han incorporado algunos de estos términos comunes en inglés con una indicación de la traducción usada en el libro. También resulta relacionado con el lenguaje otro aspecto que podŕıa no men- cionar y dejar pasar desapercibido pero del que prefiero que quede constancia escrita. Aśı como he intentado ser riguroso en la elección de la terminoloǵıa en español y por adelantado pido excusas por los posibles fallos cometidos en este empeño, también he prescindido de una norma de nuestro lenguaje que creo debe ser modificada. Es norma del español usar la coma como separador de la parte de- cimal de un número. A este respecto, creo firmemente que el lenguaje matemático, que es un lenguaje universal, debe estar por encima de cualquier localismo que únicamente lo dificulta. Aunque es bien cierto que la coma o el punto únicamente constituyen dos formas diferentes de representación de un mismo concepto, que es el número real, es también útil disponer de un representación universal que sea interpretada en la misma forma por cualquier persona. Por ello he optado por el uso del punto en lugar de la coma como separador decimal. La escritura de un libro de texto cient́ıfico requiere la realización de profundas revisiones para garantizar la calidad del producto final. Sin embargo, la experien- cia me indica que en cada revisión (no profesional) de un texto del tamaño de éste, siempre se encuentran nuevas erratas. No pienso que este libro quede totalmente exento de las mismas, por lo que intentaré, dentro de lo posible, informar al lector de todas las que se vayan encontrando después de la edición definitiva. Para ello puede consultarse la página web: gme.unizar.es/pages/libroastrodinamica, donde se informará, periódicamente, de las mismas, aśı como de toda información útil relacionada con el libro. A lo largo del próximo año aparecerá también, como se menciona en el caṕıtulo 12, el softwareOrbits, paquete deMathematica que com- plementa este libro. En la página web: gme.unizar.es/software/orbits, aparecerán instrucciones sobre su descarga y uso. Quiero terminar este prólogo entrando en el apartado de agradecimientos. Es dif́ıcil intentar agradecer en unas pocas ĺıneas a todos cuantos, de alguna forma, han colaborado, directa o indirectamente, en la escritura de este libro, al fin y al cabo, la escritura del libro está ı́ntimamente relacionada con una trayectoria pro- fesional de más de 30 años. Por otro lado, quiero ser breve y no deseo olvidarme de nadie, aśı que comenzaré con un agradecimiento genérico a todos los miembros del Grupo de Mecánica Espacial de la Universidad de Zaragoza y a todos los cole- gas y amigos de las Universidades de La Rioja, Santiago de Compostela, Murcia, Cartagena, Pamplona y del Real Observatorio de la Armada. xv Por otra parte, es de justicia escribir unas lineas aparte, y muy destacadas, para todos los miembros del grupo APSIDE (Asociación para la Promoción Social de la Investigación y el Desarrollo Espacial), sección aragonesa del proyecto SSETI (Student Space Exploration and Technology Initiative) a quienes dedico de manera especial este libro y que son quienes, de alguna forma, me han creado la obligación moral de escribirlo, terminarlo e intentar que sea una herramienta útil para todos aquellos estudiantes interesados en la industria espacial. El proyecto SSETI nació hace unos años como una iniciativa de la Agencia Espacial Europea (ESA) para formar a jóvenes estudiantes en el ámbito espacial. El proyecto pretend́ıa agrupar universidades de toda Europa formando equipos que seŕıan capaces de diseñar, construir y lanzar satélites. La novedad consist́ıa en que todo el proyecto estaŕıa dirigido y formado exclusivamente por estudiantes, contando con el apoyo de expertos de la Agencia y profesores de las universidades. Como primer objetivo se planteó la construcción y env́ıo al espacio del satélite ESEO (European Student Earth Orbiter). Itziar Barat y Rubén Castro, estu- diantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza, asumieron el liderazgo de un grupo de compañeros de las licenciaturas de Matemáticas y F́ısi- cas y se encargaron del análisis de misión de ESEO, es decir, el diseño de la órbita y de todos los aspectos astrodinámicos derivados de la misma. Además conven- cieron a Antonio Elipe, que fue decano de la Facultad de Ciencias y Director del Instituto de Matemáticas y Aplicaciones de Aragón, y a mi mismo, para actuar como profesores tutores del proyecto Los miembros del SSETI han ido cambian- do, en su mayor parte por terminar sus estudios de licenciatura. A lo largo de estos años varias generaciones de estudiantes han ido desarrollando sin desánimo el proyecto. Además de los ya mencionados debo nombrar también a Isaac Toda y Eva Tresaco en la segunda generación, a Julia Maŕın-Yaseli, David Vicente y Alejandro Vaquero en la tercera y el último por ahora, Jonatan Peris, que ha conseguido que la llama de la ilusión no se extinga. No son los únicos y ruego al resto de sus compañeros que me perdonen y que hagan suyo mi homenaje a todo el grupo. La falta de estabilidad de los grupos, que necesariamente deb́ıan cambiar al- gunos miembros cada año, hicieron ver a los organizadores de la ESA que los objetivos iniciales de ESEO eran demasiado ambiciosos, por lo que se planteó la necesidad de desarrollar un proyecto algo menos exigenteque, por su duración, no desmotivara a los participantes. Aśı nació SSETI-Express, un satélite artificial más pequeño desarrollado en dos años y lanzado al espacio el d́ıa 27 de Octubre de 2005. Aunque la señal de dicho satélite se perdió por problemas en las bateŕıas, podemos calificar sus resultados como de profundo éxito. Este éxito animó al uso de la experiencia adquirida para alcanzar mayores objetivos, como el pro- yecto ESMO (European Student Moon Orbiter) que trataba de enviar una nave a orbitar en torno a la Luna. Diversos acontecimientos posteriores, junto con la crisis económica, minimizaron los objetivos propuestos, aunque afortunadamente todav́ıa subsiste una pequeña llama encendida, en espera de tiempos mejores. xvi Para un profesor nada hay tan importante como el éxito de sus alumnos, en este caso comprobado y reconocido. Por ello, quiero enviarles a todos ellos mi agradecimiento más profundo, por ser los culpables de la finalización del libro y por haber logrado que recuperara la ilusión por la docencia y demostrarme, y demostrar a muchos otros, que con voluntad y con esfuerzo cualquier joven preparado es capaz de conseguir lo que se proponga. Zaragoza, Agosto de 2012 Alberto Abad Parte I Sistemas de referencia en Astrodinámica 1 Caṕıtulo 1 Sistemas de referencia en IR3 1.1 Introducción El objetivo del presente caṕıtulo es recordar el concepto de sistema de refe- rencia en IR3, necesario para situar la posición de los astros y otros objetos en el espacio. Para ello, efectuaremos un breve repaso de las propiedades básicas del espacio vectorial real IR3 y de todos los conceptos asociados al mismo como los productos escalar, vectorial y mixto, ángulos, etc., que serán de gran importancia en el desarrollo del libro. Estas notas no constituyen un tratado de álgebra, de hecho, será necesaria una revisión de un libro especializado para una mejor comprensión de algunos de los conceptos aqúı utilizados. Sin embargo, hemos preferido profundizar en algunos aspectos, como el de sentido de un ángulo y la orientación de los sistemas de referencia, pues estos conceptos, de gran importancia en la Astrodinámica, son a menudo tratados sin demasiado rigor. La trigonometŕıa esférica ha sido la herramienta tradicional para resolver pro- blemas de Astronomı́a de Posición, donde el concepto de distancia entre puntos, imposible de medir por observación directa, es cambiado por el de distancia an- gular, sustituyendo los puntos de IR3 por su proyección en una esfera de radio arbitrario (tomado como unidad de longitud). En este libro, salvo en una oca- sión, hemos utilizado el cálculo vectorial y matricial en lugar de las fórmulas de la trigonometŕıa esférica, lo que conduce a relaciones más fáciles de entender y que no contienen ambigüedades. Sin embargo, con objeto de que el lector pueda comprender algunas de las demostraciones que aparecen en libros clásicos de As- trodinámica desarrollaremos brevemente en este caṕıtulo los fundamentos de la 4 Sistemas de referencia en IR3 trigonometŕıa esférica. 1.2 El espacio af́ın IR3: sistemas de referencia El espacio IR3 puede ser considerado como un conjunto de elementos, llamados puntos, que se representan por letras mayúsculas: O,P,Q, S, . . .; o bien, como el conjunto de vectores x de un espacio vectorial real de dimensión tres. Estas dos formas de ver IR3 pueden relacionarse si consideramos un punto cualquiera O 2 IR3, que llamaremos origen, y asociamos a cada punto P un vector de IR3, que llamaremos x = OP , y que geométricamente representa el segmento (vector) que une el punto O con el punto P . Si consideramos otro punto Q, tal que y = OQ, podremos poner QP = OP � OQ = x � y. De esta forma hemos dotado a IR3 de una estructura de espacio af́ın. Si consideramos una base (i 1 , i 2 , i 3 ) de IR3 el elemento x 2 IR3 puede repre- sentarse por tres números reales (x 1 , x 2 , x 3 ), que son llamados componentes del vector en dicha base, de manera que x = x 1 i 1 + x 2 i 2 + x 3 i 3 . Al conjunto formado por el origen y la base {O, i 1 , i 2 , i 3 } le llamaremos sistema de referencia de IR3. En este sistema de referencia el vector correspondiente al origen O tiene sus tres componentes nulas. 1.3 Producto escalar: IR3 como espacio eucĺıdeo Llamaremos producto escalar de dos vectores x,y, al número real x · y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , (1.1) donde (x 1 , x 2 , x 3 ), (y 1 , y 2 , y 3 ) son las componentes de x,y en la base (i 1 , i 2 , i 3 ). Aunque el valor obtenido con esta definición depende de la base donde estemos trabajando, puede demostrarse fácilmente que el valor del producto escalar es independiente de la base en la cual se calcule. El producto escalar nos permi- tirá definir los conceptos de ángulo y distancia. Diremos que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar sea cero. Llamaremos longitud o norma de un vector al escalar kx k = p x · x = (x2)1/2. De esta forma, la distancia entre dos puntos P,Q vendrá dada por la norma del vector QP = OP �OQ. Todo vector x puede ser expresado en la forma x = kx k x̂, Ángulos y funciones circulares inversas 5 donde x̂ representa un vector de norma unidad en la misma dirección que x y por lo cual será llamado dirección. Esta propiedad permite caracterizar un vector por su norma y su dirección. El producto escalar de vectores verifica además las siguientes propiedades: x · y = y · x, x · (y + z) = x · y + x · z, (�x) · y = �(x · y), x · x � 0, x · x = 0 () x = 0. (1.2) La introducción de los conceptos de producto escalar y distancia y sus propie- dades permiten considerar IR3 como espacio eucĺıdeo. ↵ 2⇡ � ↵ x y Figura 1.1: Ángulo entre dos vectores. Llamaremos ángulo entre dos vectores x,y, al número real ↵ que verifica x · y = kx kky k cos↵. (1.3) Las propiedades de la función coseno, aśı como la propia geometŕıa de la figura 1.1, nos indican la existencia de dos po- sibles soluciones de la anterior ecuación que se corresponden con los dos ángulos ↵, 2⇡ � ↵. 1.4 Ángulos y funciones circulares inversas Observando la figura 1.1 podemos pensar en un ángulo como el arco o trayec- toria recorrido por el vector x hasta llegar a la dirección ocupada por el vector y. Para llegar a y puede pasarse varias veces por su posición, lo que equivale a dar varias vueltas y se corresponde con las propiedades de periodicidad de la función coseno. Aśı pues, desde el punto de vista de la definición anterior, el ángulo entre dos vectores o direcciones puede considerarse idéntico si le restamos o sumamos un número entero de vueltas, esto es, un múltiplo de 2⇡. Con objeto de evitar esta múltiple definición y precisar más este concepto definiremos en IR una relación de equivalencia R 2⇡ de la siguiente forma: dados x, y 2 IR diremos que x está relacionado con y, esto es xR 2⇡ y, si y solo si existe un k 2 ZZ tal que x� y = 2k⇡. El conjunto A de las clases de equivalencia definidas por R 2⇡ coincide con el conjunto cociente IR /2⇡ZZ y hereda la estructura de grupo conmutativo. Los elementos de A serán llamados ángulos. Un representante cualquiera de cada clase de A, que viene dado por un número real, será llamado determinación del ángulo ↵. Llamaremos determinación prin- cipal de ↵ al número real perteneciente al intervalo [0, 2⇡) que sea representante 6 Sistemas de referencia en IR3 de una clase de IR /2⇡ZZ. Obtener la determinación principal de un ángulo es lo mismo que calcular el resto de la división del número real que representa el ángulo por 2⇡ o bien obtener el valor congruente (módulo 2⇡) de éste número. Obsérvese que podemos definir un isomorfismo entre el conjunto A de ángulos y el intervalo [0, 2⇡) a través de la determinación principal de cada ángulo. Por ello, a partir de aqúı, cuando hablemos de ángulo nos referiremos siempre a su de- terminación principal o a su valor ↵ 2 [0, 2⇡). Deesta forma quedarán justificadas igualdades del tipo ↵+ ⇡ = ↵� ⇡ y otras que aparecen cuando obtenemos la de- terminación principal de una combinación lineal de ángulos cuyo valor, obtenido por reglas aritméticas, excede de 2⇡ o es menor que 0. En ocasiones la práctica común exige la elección de otra determinación para los ángulos, basada en una definición de los mismos en el intervalo (�⇡,⇡]. Esta representación se establecerá para los ángulos definidos expĺıcitamente en dicho intervalo o en un subintervalo de éste. Las funciones trigonométricas o circulares sen, cos : IR �! [�1, 1], tan : IR �! IR[{�1,1}, son tres1 funciones suprayectivas y periódicas, de periodo 2⇡, cuyas propiedades suponemos de sobra conocidas. A pesar de no ser biyectivas, su periodicidad permite la definición de una serie de funciones inversas llamadas arco coseno (acos), arco seno (asin) y arco tangente (atan) que serán biyectivas si restringimos el intervalo de definición acos : [�1, 1] �! [0,⇡], asen : [�1, 1] �! [�⇡ 2 , ⇡ 2 ], atan : IR[{�1,1} �! [�⇡ 2 , ⇡ 2 ]. (1.4) Esta determinación de cuadrante es la usada habitualmente por todos los lengua- jes de programación y calculadoras cuando se invocan las funciones inversas de las circulares. Nótese además que la función acos aśı definida, cuando se usa para la obtención del ángulo entre dos vectores, determina el menor de los dos posibles o ángulo agudo. Habitualmente el uso de las funciones arco coseno, arco seno y arco tangen- te viene asociado a la resolución de ecuaciones del tipo cos↵ = x, sen↵ = x, ó tan↵ = x. Si el significado geométrico de ↵ en dichas ecuaciones se restringe al intervalo de definición de las funciones, la solución de cada una de esas ecuaciones será única y vendrá dada por las funciones acos, asen, atan, respectivamente. En 1Las funciones sec, cosec, cotan, pueden considerarse funciones auxiliares de sen, cos y tan y sus propiedades fácilmente deducibles a partir de ellas por lo que no son consideradas en esta exposición. Ángulos y funciones circulares inversas 7 caso contrario, si la solución puede ser un ángulo cualquiera en su determina- ción principal, tendremos dos posibles soluciones por cada ecuación, que vendrán expresadas por las funciones arccos, arcsin, arctan en lugar de acos, asen, atan, cos↵ = x () ↵ = arccosx () ⇢ ↵ 0 = acosx, ↵ 1 = � acosx, sen↵ = x () ↵ = arcsenx () ⇢ ↵ 0 = asenx, ↵ 1 = ⇡ � asenx, tan↵ = x () ↵ = arctanx () ⇢ ↵ 0 = atanx, ↵ 1 = ⇡ + atanx. (1.5) Cuando conozcamos simultáneamente el coseno y el seno de un ángulo, cos↵ = x, sen↵ = y, éste podrá ser encontrado sin ambigüedad tomando la solución común de entre las dos obtenidas a partir de arccosx, arcsen y. Al igual que en algunos lenguajes de programación, que definen una función arco tangente con dos argumentos para resolver dicho caso, en lo que sigue utilizaremos la función atan(x, y) que determina, sin ambigüedad, el ángulo ↵ que forma el punto (x, y) 2 IR2�{(0, 0)} con el eje Ox del plano, esto es, cuyo coseno es x/ p x2 + y2 y cuyo seno es y/ p x2 + y2. ↵ = atan(x, y) () 8 > < > : cos↵ = x p x2 + y2 , sen↵ = y p x2 + y2 . (1.6) Nótese que hemos usado un orden de variables distinto a la función atan2 de FORTRAN, pues hemos considerado que esta forma concuerda más con el lengua- je habitual de las Matemáticas, donde la primera coordenada x suele representar el coseno, y la segunda, y, el seno. Propiedad.- La ecuación tan ↵ 2 = x, (1.7) tiene una única solución dada por la expresión ↵ = 2atanx. (1.8) En efecto, aplicando la función inversa ↵ 2 = arctanx = ⇢ atanx, ⇡ + atanx, (1.9) y llamando ↵ 0 ,↵ 1 a las dos soluciones, se tendrá ↵ 1 = 2(⇡ + atanx) = 2⇡ + 2atanx = 2atanx = ↵ 0 . 8 Sistemas de referencia en IR3 Propiedad.- Las dos soluciones de la ecuación A = C cos↵+ S sen↵, A,B,C 2 IR, (1.10) vienen dadas por la expresión ↵ = atan(C, S)� arccos ✓ Ap C2 + S2 ◆ . (1.11) En efecto, si llamamos M,m, a las constantes definidas por C = M cosm, S = M senm, o lo que es igual M = p C2 + S2, m = atan (C, S) , podremos poner A = M cosm cos↵+M senm sen↵ = M cos(m� ↵), de donde invirtiendo se llega a m� ↵ = arccos ✓ A M ◆ , y finalmente ↵ = m� arccos ✓ A M ◆ . 1.5 Producto vectorial y mixto Como sabemos, dos vectores linealmente independientes de IR3 determinan un plano. Además, podemos definir dos direcciones distintas, ortogonales al plano, equivalentes a los conceptos relativos de encima y debajo del plano. Por otro lado, las dos direcciones ortogonales al plano son opuestas entre si. Para caracterizar estas dos direcciones estableceremos el concepto de producto vectorial. Supongamos dos vectores x,y que forman entre si un ángulo2 ↵ = acos(x ·y). Llamaremos producto vectorial de dos vectores x,y, y lo representaremos por x⇥ y, a un vector que se caracteriza por: Su norma, kx⇥ y k = kx kky k sen↵. Su dirección, ortogonal al plano definido por x,y, que viene definida por la dirección de avance de un sacacorchos o tornillo3 cuando gira para llevar el vector x hacia el vector y por el camino más corto (ángulo agudo ↵). Sistemas de referencia ortonormales 9 x y x⇥ y xy x⇥ y Figura 1.2: Producto vectorial de dos vectores. La figura 1.2 representa los dos posibles vectores x⇥y según la posición relativa de x e y. Puede observarse también que las dos únicas direcciones ortogonales al plano definido por dichos vectores se representan por los vectores x⇥ y e y ⇥ x, que además verifican la relación x⇥ y = �y ⇥ x. Al producto escalar de un vector x por el vector resultante del producto vec- torial de otros dos y⇥z, que puede también denotarse como [x,y, z] = x ·(y⇥z), se le suele llamar producto mixto de tres vectores. 1.6 Sistemas de referencia ortonormales La definición de ortogonalidad nos permite definir un sistema de referencia donde los vectores de la base son ortogonales4 entre si i 1 · i 2 = i 1 · i 3 = i 2 · i 3 = 0. A dicho sistema de referencia le llamaremos sistema de referencia ortogonal. Si además los vectores tienen norma unidad i 2 1 = i 2 2 = i 2 3 = 1, el sistema será llamado sistema de referencia ortonormal. De acuerdo con lo visto en el apartado anterior, dados dos vectores ortogonales y unitarios i 1 , i 2 , existen únicamente dos direcciones ortogonales al plano definido 2Como se ha dicho antes hemos elegido el menor de los dos posibles o ángulo agudo. 3Recuérdese que un sacacorchos avanza hacia arriba cuando gira en sentido contrario a las agujas del reloj y hacia abajo en caso contrario. 4Tres vectores de IR3 ortogonales entre si son linealmente independientes. 10 Sistemas de referencia en IR3 por i 1 y i 2 . Estas dos direcciones son las representadas por los vectores i 1 ⇥ i 2 e i 2 ⇥ i 1 , que en ambos casos tienen norma unidad de acuerdo con la definición de producto vectorial. De esta forma se llega a las dos posibles elecciones de sistemas de referencia ortonormales: sistema directo (llamado también sistema dextrógiro o de orienta- ción positiva) cuando i 3 = i 1 ⇥ i 2 y sistema retrógrado (sistema levógiro o de orientación negativa) cuando i 3 = i 2 ⇥ i 1 . i 1 i 2 i 3 i 1 i 2 i 3 Figura 1.3: Sistema de referencia de orientación positiva (izquierda) y de orientación negativa (derecha). Nótese la posición distinta de los vectores i1, i2 en ambos sistemas. Propiedad.- Para todo sistema ortogonal directo se verifica 1. i 3 = i 1 ⇥ i 2 , i 1 = i 2 ⇥ i 3 , i 2 = i 3 ⇥ i 1 . (1.12) 2. Dados dos vectores x = x 1 i 1 + x 2 i 2 + x 3 i 3 , y = y 1 i 1 + y 2 i 2 + y 3 i 3 , su producto vectorial se puede expresar como x⇥ y = (x 2 y 3 � x 3 y 2 )i 1 + (x 3 y 1 � x 1 y 3 )i 2 + (x 1 y 2 � x 2 y 1 )i 3 = � � � � � � i 1 i 2 i 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 � � � � � � . (1.13) 3. Dados tres vectores x = x 1i 1 + x 2 i 2 + x 3 i 3 , y = y 1 i 1 + y 2 i 2 + y 3 i 3 y z = z 1 i 1 + z 2 i 2 + z 3 i 3 , su producto mixto se puede expresar como [x,y, z] = � � � � � � x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 � � � � � � . (1.14) Otras propiedades de los distintos productos de vectores 11 Propiedad.- Para todo sistema ortogonal retrógrado se verifica 1. i 3 = i 2 ⇥ i 1 , i 2 = i 1 ⇥ i 3 , i 1 = i 3 ⇥ i 2 , (1.15) 2. Dados dos vectores x = x 1 i 1 + x 2 i 2 + x 3 i 3 , y = y 1 i 1 + y 2 i 2 + y 3 i 3 , su producto vectorial se puede expresar como x⇥ y = (y 2 x 3 � y 3 x 2 )i 1 + (y 3 x 1 � y 1 x 3 )i 2 + (y 1 x 2 � y 2 x 1 )i 3 = � � � � � � i 1 i 2 i 3 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 � � � � � � . (1.16) 3. Dados tres vectores x = x 1 i 1 + x 2 i 2 + x 3 i 3 , y = y 1 i 1 + y 2 i 2 + y 3 i 3 y z = z 1 i 1 + z 2 i 2 + z 3 i 3 , su producto mixto se puede expresar como [x,y, z] = � � � � � � x 1 x 2 x 3 z 1 z 2 z 3 y 1 y 2 y 3 � � � � � � . (1.17) Las dos propiedades anteriores caracterizan los sistemas directos y retrógrados cuya representación gráfica puede verse en la figura 1.3. La definición de producto vectorial no es útil para el cálculo del mismo. Para realizar este cálculo es necesario acudir a una de las expresiones (1.13) o (1.16). Hay que hacer notar aqúı que únicamente la primera es usada en la mayoŕıa de los libros y las libreŕıas de los lenguajes de programación. Esto supone que de manera impĺıcita dichos libros y programas trabajan con un sistema de referencia ortogonal directo. En Astronomı́a, se utilizan dos sistemas de coordenadas, horizontales y hora- rias, que se definen habitualmente a través de sistemas de referencia retrógrados. En este libro, con objeto de evitar el problema generado por las distintas propie- dades del producto vectorial, utilizaremos únicamente sistemas directos, para lo que redefiniremos las coordenadas asociadas a los sistemas retrógrados. 1.7 Otras propiedades de los distintos productos de vectores Daremos a continuación otras propiedades de los productos de vectores que son independientes de la orientación de la base elegida para su cálculo. Estas propiedades serán usadas a lo largo del libro. 12 Sistemas de referencia en IR3 Propiedad .- Las relaciones siguientes son válidas independientemente del siste- ma de referencia en el que expresemos los vectores: x⇥ (y + z) = x⇥ y + x⇥ z, (1.18) (x⇥ y)2 = kx k2ky k2 � (x · y)2, (1.19) (x⇥ y)⇥ z = (x · z)y � (y · z)x, (1.20) x⇥ (y ⇥ z) = (x · z)y � (x · y)z. (1.21) Propiedad.- El área de un triángulo de vértices O,P,Q viene dada por el valor de kx⇥ y k/2, siendo x = OP, y = OQ. Propiedad.- Dados dos vectores ortogonales a, b, y un escalar c, el sistema x⇥ a = b, x · a = c, (1.22) tiene como única solución x = a⇥ b+ ca a · a . (1.23) En efecto, a⇥ b = a⇥ (x⇥ a) = (a · a)x� (a · x)a, de donde despejando se llega a la solución. 1.8 Ángulo orientado entre dos vectores La ecuación (1.3) nos ha permitido introducir el concepto de ángulo y su medida a través del producto escalar. La solución de dicha ecuación conduce, como se ve en la figura 1.1, a dos valores, ↵ y 2⇡�↵, que representan igualmente al ángulo salvo que las propiedades geométricas de un determinado problema restrinjan el rango de valores a un subintervalo de [0, 2⇡). También podremos discriminar uno de los dos posibles valores cuando defina- mos un sentido de recorrido de los ángulos y tomemos uno de los dos vectores como origen (de aqúı en adelante x). Generalmente se considera sentido de giro positivo al recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj y sentido de gi- ro negativo al recorrido en sentido de las agujas de un reloj. En dinámica suele hablarse también de sentido directo y sentido retrógrado respectivamente. Habi- tualmente se considera positivo el signo de los ángulos medidos en sentido directo y negativo los medidos en sentido retrógrado. La anterior definición contiene también una ambigüedad, pues el sentido posi- tivo se transforma en negativo, y viceversa, cuando miramos la figura desde el otro Ángulo orientado entre dos vectores 13 lado del plano determinado por los vectores x,y. Dicha ambigüedad quedará eli- minada fijando, mediante el producto vectorial de los dos vectores, el subespacio desde el cual observamos el giro. Para fijar los conceptos de ángulo directo o retrógrado entre dos vectores x,y, o ángulo que va de x a y en sentido positivo o negativo, debemos fijar, en primer lugar, una orientación o dirección n, definida a partir del vector (x⇥y)/kx⇥y k o del vector (y⇥x)/kx⇥y k. Fijado n, hablaremos de ángulo directo, o recorrido en sentido positivo o directo, como aquel que lleva el vector x hacia y en el sentido de giro contrario a las agujas del reloj visto desde la dirección del espacio definida por el vector n. Un ángulo retrógrado, o recorrido en sentido negativo o retrógrado, es el ángulo recorrido en sentido contrario al anterior. Habitualmente todos los libros usan, sin mencionarlo, la orientación definida por n = (x⇥ y)/kx⇥ y k. El concepto de sistema ortogonal directo nos va a permitir determinar, de una manera precisa, el ángulo directo entre dos vectores x,y, una vez hayamos definido la orientación n. En efecto, por ser n ortogonal a x podemos definir un sistema de referencia ortonormal directo formado por los vectores {i 1 = x/kx k, i 2 = n⇥x/kn⇥x k, i 3 = n}. Notemos que por ser n y x ortogonales se tiene kn⇥x k = kx k y por tanto i 2 = (n⇥x)/kx k. El vector ŷ, que pertenece al plano formado por i 1 y i 2 podrá expresarse como ŷ = p i 1 + q i 2 , o lo que es igual y = ky kp i 1 + ky kq i 2 . Si llamamos ↵ = atan(p, q) tendremos que y = ky k cos↵ i 1 + ky k sen↵ i 2 , de donde podremos poner ky k cos↵ = y · i 1 = x · y kx k , ky k sen↵ = y · i 2 = y · (n⇥ x) kx k = n · (x⇥ y) kx k , y finalmente kx kky k cos↵ = x · y, kx kky k sen↵ = n · (x⇥ y), (1.24) o lo que es igual ↵ = ↵(x,y,n) = atan (x · y, n · (x⇥ y)) . (1.25) La expresión (1.25) nos da de manera precisa y única el valor del ángulo que va de x a y en sentido positivo desde la orientación definida por el vector n. 14 Sistemas de referencia en IR3 1.9 Coordenadas cartesianas y polares Las componentes (x, y, z) de un vector x = x i 1 + y i 2 + z i 3 , expresado en un sistema de referencia ortogonal directo {i 1 , i 2 , i 3 }, serán llamadas coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares y representan: Las proyecciones del vector x sobre los ejes Ox, Oy y Oz o direcciones i 1 , i 2 e i 3 respectivamente. Los cosenos directores, o cosenos de los ángulos que forma el vector x con los ejes Ox,Oy y Oz: x = kx k cos(x, i 1 ) = x · i 1 , y = kx k cos(x, i 2 ) = x · i 2 , z = kx k cos(x, i 3 ) = x · i 3 . En Astronomı́a, donde en ocasiones la medida de la distancia a los astros no es conocida, resulta de particular importancia el uso de las coordenadas polares esféricas que separan la distancia al origen de las otras coordenadas angulares. Para definir las coordenadas polares esféricas (figura 1.4) consideraremos, en primer lugar, un vector l de norma igual a kx k y cuya dirección representa la intersección del plano formado por x e i 3 con el plano Oxy formado por i 1 e i 2 . Llamaremos longitud � al ángulo desde i 1 hasta l medido en sentido directo tomando como orientación la definida por el vector i 3 . La longitud puede tomar un valor cualquiera � 2 [0, 2⇡). Llamaremos latitud � al ángulo entre l y x. Este ángulo se considera positivo si el vector x está en el lado del espacio correspondiente a i 3 y negativo si está en el correspondiente a �i 3 . De esta forma � 2 [�⇡/2,⇡/2]. Por último llamaremos distancia r a la norma kx k. Las coordenadas (r,�,�) serán llamadas coordenadas polares esféricaso sim- plemente coordenadas esféricas y se caracterizan principalmente por separar la distancia r de las cantidades angulares adimensionales �,�. En ocasiones hablaremos de la colatitud o ángulo �̃ = ⇡/2 � � 2 [0,⇡] entre i 3 y x y de la colongitud o ángulo �̃ entre i 2 y l, medido en sentido retrógrado. Fácilmente comprobamos que también se verifica �̃ = ⇡/2� � 2 [0, 2⇡). El uso de la colatitud y la colongitud permite usar los sistemas de coordenadas (r,�, �̃), (r, �̃,�), (r, �̃, �̃) como alternativa al sistema de coordenadas polares esféricas. Observando la figura 1.4 se deduce fácilmente que un vector unitario l̂ pertene- ciente al plano Oxy y que tiene una longitud �, forma tres ángulos (�,⇡/2��,⇡/2) con los tres vectores de la base, por lo que sus componentes, dadas por los cosenos directores serán l̂ = cos� i 1 + cos( ⇡ 2 � �) i 2 + cos ⇡ 2 i 3 = cos� i 1 + sen� i 2 . Coordenadas cartesianas y polares 15 � � �̃ �̃ i 1 i 2 i 3 x l Figura 1.4: Coordenadas polares esféri- cas. De esta forma, se tendrá, por un lado l = r cos� i 1 + r sen� i 2 , y por otro, x = r cos� l+ r cos �̃ i 3 = r cos� l+ r sen� i 3 , por lo que finalmente se llega a la expre- sión del vector en coordenadas polares esféricas x = r cos� cos� i 1 + r sen� cos� i 2 + r sen� i 3 , (1.26) lo que demuestra que las coordenadas cartesianas pueden expresarse en función de las polares esféricas en la forma: x = r cos� cos�, y = r cos� sen�, z = r sen�. (1.27) Asimismo, invirtiendo las relaciones anteriores obtenemos las coordenadas esféri- cas en función de las rectangulares: r = p x2 + y2 + z2, � = asen z r , � = atan(x, y). (1.28) Puesto que el paso de cartesianas a polares y el de polares a cartesianas serán muy usados a lo largo del libro estableceremos, de aqúı en adelante una nota- ción más compacta que establece el nombre de una función que a través de los algoritmos (1.27) y (1.28) realiza la transformación. Llamaremos cart() a la función que obtiene el vector x = (x, y, z) a partir del vector de coordenadas polares (r,�,�), x = 0 @ x y z 1 A = 0 @ r cos� cos� r cos� sen� r sen� 1 A = cart(r,�,�). (1.29) Para referirnos a cada una de sus componentes podremos usar las funciones: x = cart 1 (r,�,�), y = cart 2 (r,�,�), z = cart 3 (r,�,�). (1.30) 16 Sistemas de referencia en IR3 Por otro lado, la función polar() representará la inversa de la anterior, es decir, nos dará el vector de coordenadas polares en función del vector en cartesianas (r,�,�) = polar(x). (1.31) Para referirnos a cada coordenada polar por separado usaremos las funciones siguientes: r = polar r (x), � = polar � (x), � = polar � (x). (1.32) Combinando el uso de la colatitud y colongitud con las coordenadas polares podremos poner: x = r sen �̃ cos� i 1 + r cos �̃ cos� i 2 + r sen� i 3 , (1.33) x = r cos� sen �̃ i 1 + r sen� sen �̃ i 2 + r cos �̃ i 3 , (1.34) x = r sen �̃ sen �̃ i 1 + r cos �̃ sen �̃ i 2 + r cos �̃ i 3 , (1.35) o bien usando la función cart() escribiremos x = cart(r, ⇡ 2 � �̃,�) = cart(r,�, ⇡ 2 � �̃) = cart(r, ⇡ 2 � �̃, ⇡ 2 � �̃). 1.10 Trigonometŕıa esférica Una de las caracteŕısticas de la observación astronómica es la imposibilidad de una medición visual directa de la distancia al astro, pudiéndose medir únicamente distancias angulares. Las coordenadas polares resultan perfectamente adaptadas a la premisa anterior pues separan la distancia r al astro de las dos coordenadas angulares. Desde un punto de vista práctico prescindir de la distancia equivale a suponer todos los astros proyectados sobre una esfera de radio arbitrario que tomaremos como unidad. Esta esfera es llamada esfera celeste. En el caso de las órbitas de los cuerpos del sistema solar y de las naves espaciales la distancia es mucho me- nor que la distancia a las estrellas por lo que debe ser tomada en consideración, sin embargo, los parámetros angulares de su órbita pueden separarse y ser estu- diados sustituyendo la órbita por su proyección en la esfera celeste que será una circunferencia. La necesidad de relacionar puntos en una esfera nos lleva a considerar una herramienta muy usada en Astronomı́a clásica: la trigonometŕıa esférica. En este libro se ha limitado al máximo el uso de triángulos esféricos, sin embargo, por claridad en la lectura de otros libros de Astrodinámica y Mecánica Celeste se estudian en este apartado las fórmulas básicas de la trigonometŕıa esférica: las fórmulas de Bessel. Comenzaremos recordando que la intersección de la esfera con un plano que pase por su centro es una circunferencia que llamaremos ćırculo máximo. Si el plano no pasa por el centro de la esfera el ćırculo será llamado ćırculo menor. Trigonometŕıa esférica 17 Por otro lado, dados dos puntos en una esfera, existe uno y solo un ćırculo máximo que pasa por ellos, pues estos dos puntos, junto con el centro determinan un plano que corta a la esfera en dicho ćırculo máximo. Nótese que el ćırculo máximo es el equivalente a la recta en la geometŕıa plana. En geometŕıa plana, queda perfectamente determinado el concepto de seg- mento de recta como la parte de la recta que une dos puntos. Sin embargo, dados dos puntos en la esfera, al ser cerrado el ćırculo máximo que los une, quedan determinados dos segmentos y no uno. Para evitar confusiones consideraremos únicamente como segmento que une dos puntos al menor de ambos. Uno de los parámetros que representan un segmento de recta es su longitud. Esto ocurre también cuando consideramos un segmento de ćırculo máximo, sin embargo, puesto que al trabajar en la esfera se pretende eliminar el concepto de distancia, o lo que es igual las dimensiones de longitud, deberemos sustituir el concepto de longitud del segmento por algún otro concepto equivalente. Para ello, basta recordar la expresión l = r✓, que relaciona la longitud del segmento de circunferencia con el producto del arco que éste abarca por el radio de la circunferencia. Si consideramos el radio como unidad de distancia, la longitud del segmento equivale al arco. Aśı pues, a partir de ahora, cuando hablemos de longitud del segmento que une dos puntos de la esfera, entenderemos como tal el arco que dicho segmento abarca, expresado en radianes. Tres puntos no alineados en un plano forman un triángulo plano, que queda caracterizado por seis parámetros: la longitud de los tres lados y los ángulos que forman entre si los tres lados. Si tomamos tres puntos sobre una esfera podemos unirlos dos a dos por medio de segmentos de ćırculo máximo (figura 1.5). La figura formada en la esfera por estos tres segmentos será llamada triángulo esférico. a b c A B C Figura 1.5: Triángulo esférico. Un triángulo esférico viene caracterizado también por seis elementos: la lon- gitud de sus tres lados (a, b, c), que como hemos dicho antes viene expresada en 18 Sistemas de referencia en IR3 radianes, y por sus tres ángulos (A,B,C) que quedan definidos por los tres ángulos que forman entre si los planos que definen cada par de ćırculos máximos. Debido a la forma de elegir el segmento entre los dos posibles, los tres lados verifican la relación a 2 [0,⇡], b 2 [0,⇡], c 2 [0,⇡]. De la misma forma esto obliga a que se verifiquen también las relaciones A 2 [0,⇡], B 2 [0,⇡], C 2 [0,⇡]. La trigonometŕıa esférica permite obtener los seis elementos de un triángulo esférico a partir de tres cualesquiera de ellos. 1.10.1 Fórmulas de Bessel Con objeto de encontrar las fórmulas que nos permitirán resolver un triángulo esférico, definiremos un sistema de referencia en el que el origen coincida con el centro de la esfera. De esta forma los vectores, de norma unidad, que unen el origen con cada vértice del triángulo esférico serán llamados a = OA, b = OB, c = OC. ⇡ 2 � c ⇡ 2 � b A A a b c Figura 1.6: Vectores que definen los vérti- ces del triángulo. Elegiremos un sistema dereferen- cia ortogonal directo de forma que i 3 = a, y b esté en el plano formado por Oxz. Aśı, atendiendo a la figura 1.6, podemos deducir que: a = i 3 , b = sen c i 1 + cos c i 3 , c = sen b cosA i 1 + sen b senA i 2 + cos b i 3 . (1.36) Puesto que el ángulo entre cada par de vectores es igual al lado que forman sus vértices podremos poner, por un lado b · c = cos a, y por otro, sustituyendo el valor de los vectores dado por las relaciones (1.36), obtendremos b · c = cos b cos c+ sen b sen c cosA. Igualando las dos últimas ecuaciones se obtiene la expresión cos a = cos b cos c+ sen b sen c cosA, (1.37) que es la conocida como primera fórmula de Bessel o fórmula del coseno. Tanto en la anterior como en todas las fórmulas de la trigonometŕıa esférica podemos permutar las tres letras que representan lados y ángulos distintos. De esta forma las fórmulas obtenidas no serán únicas. En particular, la primera fórmula de Bessel debe leerse de la siguiente forma: el coseno de un lado es igual al producto Trigonometŕıa esférica 19 de los cosenos de los otros dos lados más el producto de los senos de los otros dos lados por el coseno del ángulo opuesto al primer lado. Aśı tendremos tres y no una fórmula del coseno. Por otro lado, llamaremos A,B,C a los vectores unitarios ortogonales a los planos que contienen cada lado del triángulo esférico y cuya expresión viene dada como C = a⇥ b ka⇥ b k , B = c⇥ a k c⇥ a k , A = b⇥ c k b⇥ c k , (1.38) o lo que es igual A = � cos c senA sen b sen a i 1 + cosA cos c sen b� cos b sen c sen a i 2 + senA sen b sen c sen a i 3 , B = senA i 1 � cosA i 2 , C = i 2 . (1.39) Los extremos de los vectores A,B,C forman otro triángulo esférico (figura 1.7), que es llamado triángulo polar, cuyos lados son a0 = ⇡ �A, b0 = ⇡ �B, c0 = ⇡ � C y cuyos ángulos son A0 = ⇡ � a,B0 = ⇡ � b, C 0 = ⇡ � c. ⇡ 2 �A A a b c A B C Figura 1.7: Triángulo polar. Por ser ⇡ � B el ángulo entre A y C tendremos, por un lado, que kA⇥C k = kA kkC k sen(⇡ �B) = senB, y por otro lado sen2 B = kA⇥C k2 = (A⇥C)·(A⇥C). Si sustituimos las expresiones dadas en (1.39), desarrollamos y efectuamos ciertas simplificaciones, llegaremos a la igualdad sen a senB = sen b senA. (1.40) Escribiendo esta expresión para to- das las permutaciones de letras se obtiene la segunda fórmula de Bessel o fórmula de los senos que puede también expresarse en la forma siguiente sen a senA = sen b senB = sen c senC . (1.41) Por último, si calculamos el producto escalar de A por C, tendremos por un lado A ·C = cos(⇡ �B) = � cosB, 20 Sistemas de referencia en IR3 y por otro A ·C = � cos b sen c+ sen b cos c cosA sen a , lo que lleva finalmente a obtener la tercera fórmula de Bessel sen a cosB = cos b sen c� sen b cos c cosA. (1.42) Las tres fórmulas de Bessel son válidas para cualquier triángulo esférico, por tanto lo serán también para el triángulo polar. Aśı pues si las aplicamos para los elementos a0 = ⇡ � A, b0 = ⇡ �B, c0 = ⇡ � C,A0 = ⇡ � a,B0 = ⇡ � c, C 0 = ⇡ � c, obtendremos, por un lado cosA = � cosB cosC + senB senC cos a, (1.43) que será llamada primera fórmula polar, y por otro senA cos b = cosB senC + senB cosC cos a, (1.44) que será llamada tercera fórmula polar. La segunda de Bessel aplicada al triángulo polar vuelve a dar la misma ex- presión, por lo que ha sido omitida y es la razón por la que no hemos definido ninguna segunda fórmula polar. 1.10.2 Regla del pentágono de Neper Las fórmulas de Bessel se simplifican cuando alguno de los elementos, bien sea un lado o un ángulo, vale 90�. A un triángulo de este tipo le llamaremos respectivamente triángulo rectilátero o triángulo rectángulo. Neper reunió todas las formulas de Bessel particularizadas para ambos casos y consiguió enunciar una regla muy simple, llamada regla del pentágono de Neper, que relaciona entre si todos los elementos de estos triángulos. Estas reglas van asociadas a cada uno de los pentágonos dibujados en las figuras 1.8(a), 1.8(b). Estos pentágonos pueden modificarse con una permutación cualquiera de las letras en él representadas. Hay dos reglas para cada pentágono que se pueden enunciar de la siguiente forma: El coseno de un elemento situado en un vértice es igual al producto de las cotangentes de los elementos situados en vértices contiguos. El coseno de un elemento situado en un vértice es igual al producto de los senos de los elementos situados en vértices opuestos. Trigonometŕıa esférica 21 A = 90� a B C 90� � c 90� � b (a) Triángulo rectángulo. a = 90� 180� �A b c 90� � C 90� �B (b) Triángulo rectilátero. Figura 1.8: Pentágono de Neper. 1.10.3 Analoǵıas de Neper Las cinco fórmulas de Bessel, y las que se derivan de la posible permutación de letras, permiten la resolución de cualquier tipo de triángulo esférico a partir de tres datos del mismo. Sin embargo, con objeto de discriminar de forma sencilla entre dos posibles soluciones es conveniente el uso de otro conjunto de fórmulas, obtenidas a partir de las anteriores, que serán llamadas analoǵıas de Neper. Las analoǵıas de Neper5 pueden escribirse como: tan A 2 = cos b� c 2 sec b+ c 2 cot B + C 2 , tan a 2 = sec B � C 2 cos B + C 2 tan b+ c 2 . (1.45) Veremos únicamente la obtención de la primera, pues el resto se obtiene de manera idéntica. Para ello, reuniremos convenientemente las expresiones (1.41) llegando a sen a (senB + senC) = senA (sen b+ sen c), por otro lado, aplicando dos de las permutaciones de las terceras fórmulas de Bessel (1.42), se llega a sen a(cosB + cosC) = (1� cosA)(cos c sen b+ cos b sen c), que divididas nos conducen a senB + senC cosB + cosC = senA (sen b+ sen c) (1� cosA)(cos c sen b+ cos b sen c) . 5Existen otras expresiones similares, pero éstas nos dan la información suficiente para com- pletar el algoritmo del próximo apartado. 22 Sistemas de referencia en IR3 Usando simples relaciones trigonométricas se llega finalmente a tan B + C 2 = cos b� c 2 sec b+ c 2 cot A 2 , que coincide con la primera de las expresiones (1.45). 1.10.4 Algoritmo para la resolución de triángulos esféricos Podemos encontrar un algoritmo muy simple para resolver cualquier triángulo esférico si tenemos en cuenta las siguientes propiedades derivadas de las funciones trigonométricas: Cualquier lado o ángulo de un triángulo esférico está en el primer o segun- do cuadrante luego para determinarlo uńıvocamente se precisa conocer su coseno. La tangente del ángulo mitad determina, sin ambigüedad el cuadrante de cualquier ángulo. La resolución de un triángulo esférico del que conocemos tres elementos se realizará mediante seis conjuntos de fórmulas que representan casos idénticos salvo una permutación de letras. 1. Tres ángulos (A,B,C) conocidos. Solución única obtenida a partir de las tres fórmulas polares del coseno. 2. Tres lados (a, b, c) conocidos. Solución única obtenida a partir de las tres fórmulas del coseno. 3. Conocidos dos lados y un ángulo de manera que el ángulo no sea opuesto a ninguno de los dos lados. Esto corresponde a los tres casos: (a, b, C), (a, c, B), (b, c, A). Cada uno de estos casos tiene solución única en la que el tercer lado se obtiene por aplicación directa de la fórmula del coseno, y una vez obtenido éste, los otros dos ángulos se obtienen como en el segundo caso por aplicación de las fórmulas del coseno. 4. Conocidos dos ángulos y un lado de manera que el lado no sea opuesto a ninguno de los dos ángulos. Esto corresponde a los tres casos: (A,B, c), (A,C, b), (B,C, a). Cada uno de estos casos tiene solución única en la que el tercer ángulo se obtiene por aplicación directa de la fórmula polar del coseno, y una vez obtenido éste, los otros dos lados se obtienen como en el primer caso por aplicación de las fórmulas polares del coseno. Trigonometŕıa esférica 23 5. Conocidosdos lados y un ángulo de manera que el ángulo sea opuesto a alguno de los dos lados. Esto corresponde a los seis casos: (a, b, A), (a, b, B), (a, c, A), (a, c, C), (b, c, B), (b, c, C). Cada uno de estos casos tiene solución doble. Por ejemplo el caso (a, b, A) se resuelve aplicando en primer lugar la fórmula de los senos para obtener B. Del seno se obtienen dos valores B 1 , B 2 que serán llevados junto con los de (a, b, A) a las analoǵıas de Neper para obtener c y C. El resto de casos se resuelve también con una aplicación de la fórmula de los senos y luego las dos analoǵıas de Neper. 6. Conocidos dos ángulos y un lado de manera que el lado sea opuesto a alguno de los dos ángulos. Esto corresponde a los seis casos: (A,B, a), (A,B, b), (A,C, a), (A,C, c), (B,C, b), (B,C, c). Cada uno de estos casos tiene solución doble. Por ejemplo el caso (A,B, a) se resuelve aplicando en primer lugar la fórmula de los senos para obtener b. Del seno se obtienen dos valores b 1 , b 2 que serán llevados junto con los de (a, b, A) a las analoǵıas de Neper para obtener c y C. El resto de caos se resuelve también con una aplicación de la fórmula de los senos y luego las dos analoǵıas de Neper. La indicación de solución única o doble de cada uno de los seis casos representa únicamente el número máximo de soluciones. En todos los casos puede haber menos soluciones. La anulación de la solución obtenida se realizará cuando se obtenga un valor mayor que la unidad para un seno o un coseno o al aplicar las analoǵıas de Neper se obtenga un ángulo mayor que 180�. 24 Sistemas de referencia en IR3 Caṕıtulo 2 Cambios del sistema de referencia: rotaciones 2.1 Introducción Si tenemos un punto P , referido a un sistema de referencia {O, i 1 , i 2 , i 3 }, y queremos expresarlo en el sistema {O0,f 1 ,f 2 ,f 3 } debemos transformar la expre- sión del vector OP en la base inicial {i 1 , i 2 , i 3 } en la expresión del vector O0P en la base del sistema final {f 1 ,f 2 ,f 3 }. Para ello debemos realizar dos operaciones: una traslación del origen, dada por la relación OP = OO0 +O0P , un cambio de base para expresar los tres vectores de la relación anterior en la base del sistema final. En adelante prescindiremos de la traslación, suma del vector OO0, por la sim- plicidad de esta operación y porque en la práctica casi todos los cambios de sistema de referencia que trataremos en este libro mantienen fijo el origen. Un cambio entre dos bases ortonormales de IR3 con la misma orientación será llamado rotación del sistema de referencia. 26 Cambios del sistema de referencia: rotaciones 2.2 Rotaciones en IR3 Sea un vector x 2 IR3 que, expresado en la base1 I = {i 1 , i 2 , i 3 }, tiene la forma x = x 1 i 1 + x 2 i 2 + x 3 i 3 , (2.1) mientras que en la base F = {f 1 ,f 2 ,f 3 } se escribe x = X 1 f 1 +X 2 f 2 +X 3 f 3 . (2.2) Para relacionar las componentes de x en ambas bases tendremos en cuenta, por un lado, que por ser F base de IR3 cualquier vector de IR3 podrá ser expresado en dicha base, por tanto, podremos escribir: i 1 = r 11 f 1 + r 12 f 2 + r 13 f 3 , i 2 = r 21 f 1 + r 22 f 2 + r 23 f 3 , i 3 = r 31 f 1 + r 32 f 2 + r 33 f 3 , (2.3) mientras que, por ser I base de IR3, cualquier vector de IR3 podrá ser expresado en dicha base en la forma: f 1 = s 11 i 1 + s 12 i 2 + s 13 i 3 , f 2 = s 21 i 1 + s 22 i 2 + s 23 i 3 , f 3 = s 31 i 1 + s 32 i 2 + s 33 i 3 . (2.4) Por ser las bases ortonormales, las componentes de un vector pueden obtenerse a través de los cosenos directores, luego se tendrá r ij = cos(i i ,f j ) = i i · f j = cos(f j , i i ) = s ji , lo que permite finalmente escribir: f 1 = r 11 i 1 + r 21 i 2 + r 31 i 3 , f 2 = r 12 i 1 + r 22 i 2 + r 32 i 3 , f 3 = r 13 i 1 + r 23 i 2 + r 33 i 3 . (2.5) Si en la igualdad (2.2) sustituimos los vectores f i por las expresiones dadas en (2.5), y la igualamos, componente a componente, a (2.1), obtendremos tres relaciones que en forma matricial se podrán poner como 0 @ x 1 x 2 x 3 1 A = 0 @ r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 1 A 0 @ X 1 X 2 X 3 1 A . (2.6) 1Cuando no haya ambigüedad en el origen identificaremos con el mismo nombre al sistema de referencia y a la base que lo forma. Rotaciones en IR3 27 De la misma forma, sustituyendo en la igualdad (2.1) los vectores i i por las expresiones dadas en (2.3) e igualando, componente a componente, a (2.2) obten- dremos la relación inversa de (2.6) en la forma 0 @ X 1 X 2 X 3 1 A = 0 @ r 11 r 21 r 31 r 12 r 22 r 32 r 13 r 23 r 33 1 A 0 @ x 1 x 2 x 3 1 A . (2.7) De aqúı en adelante, dado un vector cualquiera x de IR3, utilizaremos un sub́ındice que coincida con el nombre de un sistema de referencia para indicar el vector columna formado por las componentes de x en la base de dicho sistema de referencia. De esta forma xI ,xF serán: xI = 0 @ x 1 x 2 x 3 1 A , xF = 0 @ X 1 X 2 X 3 1 A . Por otro lado, llamando RIF = 0 @ r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 1 A , (2.8) a la matriz cuyas columnas son las componentes de la base F en términos de la base I, la relación (2.6) se podrá poner como xI = RIFxF , (2.9) mientras que la matriz RFI = 0 @ r 11 r 21 r 31 r 12 r 22 r 32 r 13 r 23 r 33 1 A , (2.10) permite poner la ecuación (2.7) en la forma xF = RFIxI . (2.11) A partir de las propiedades anteriores se demuestra que la inversa de una matriz de rotación coincide con su traspuesta RFI = R�1 IF = RT IF . Las matrices que cumplen esta importante propiedad son llamadas matrices or- togonales. La notación anterior, que usa dos sub́ındices que representan los nombres de los dos sistemas de referencia, no presenta ningún tipo de ambigüedad en la expresión de la rotación. Sin embargo, esto no sucede aśı cuando se define 28 Cambios del sistema de referencia: rotaciones el concepto de matriz de rotación. Revisando la literatura nos encontramos dos definiciones distintas que responden a dos convenios diferentes. Los dos convenios son correctos siempre que no se mezclen entre si. Convenio A.- Llamaremos matriz de rotación entre los sistemas de referencia I y F , y la representaremos por el śımbolo R a la matriz RIF que permite expresar el vector xI como producto de la matriz R por el vector xF . Convenio B.- Llamaremos matriz de rotación entre los sistemas de referencia I y F , y la representaremos por el śımbolo eR a la matriz RFI que permite expresar el vector xF como producto de la matriz eR por el vector xI . Puede parecer absurdo introducir en este texto ambos convenios, sobre todo después de haber establecido inicialmente una notación que no contiene ninguna ambigüedad, sin embargo, hemos preferido introducir las dos notaciones con ob- jeto de no modificar expresiones que son de uso común en la comunidad cient́ıfica, en la que no siempre coincide el convenio utilizado para expresar las rotaciones. Siempre que sea posible utilizaremos los sub́ındices para evitar confusiones, en otros casos utilizaremos la notación con o sin tilde para especificar el convenio utilizado sin recordarlo en cada caso. 2.3 Composición de rotaciones Supongamos que partimos de un sistema de referencia S 1 y vamos aplicando sucesivamente rotaciones que pasan de S 1 a S 2 , de S 2 a S 3 , etc. Llamaremos, respectivamente, R i = RSiSi+1 , eR i = RSi+1Si , a las matrices de cada rotación en ambos convenios. Sustituyendo sucesivamente el vector xSi por el producto RSiSi+1 xSi+1 se podrá poner xS1 = RS1S2 RS2S3 . . .RSn�1Sn xSn , (2.12) obteniéndose la matriz de giro como producto de las sucesivas matrices de giro en el orden en que éstos se producen. La expresión (2.12) puede ponerse también en la forma xS1 = RxSn , xSn = eRxS1 , (2.13) donde hemos llamado R
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