Projeção de Vetores

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Universidad Nacional Autónoma de Honduras
Departamento de Matemática Pura
Vectores y Matrices (MM-211)
Proyección
Sean u y v dos vectores distintos de cero.
Entonces la proyección de u sobre v denotada por Proyvu está dada por:
Proyvu =
u.v
| v |2
v
En las siguientes figuras w = Proyvu
notamos aqúı que la proyección es un vector paralelo a v, por lo que el objetivo es buscar el escalar.
Recordamos la fórmula del ángulo formado entre u y v
Vamos a considerar que ϕ es agudo o sea que u.v es positivo, sino poner barras ya que la longitud debe
ser positiva.
cosϕ =
u.v
| u || v |
=
longitud de cateto adyacente
| u |
Igualando obtenemos:
longitud de cateto adyacente =
u.v
| v |
. A este valor se le conoce la componente de u en la dirección de v.
Ahora la magnitud del vector poyección es:
|Proyvu| =
∣∣∣∣ u.v| v |2v
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ u.v| v |2
∣∣∣∣ | v |= |u.v|| v |2
|v| = |u.v|
| v |
Ejemplo
Sean u = 2ı̂+ ̂+ k̂, v = ı̂− ̂+ 2k̂
1. Encuentre Proyvu
Solución
Trabajando de forma algebráıca tenemos:
Proyvu = αv donde α =
u.v
| v |2
u.v = (2, 1, 1).(1,−1, 2) = 2− 1 + 2 = 3 (ángulo águdo)
| v |2= 12 + (−1)2 + (2)2 = 1 + 1 + 4 = 6
Proyvu =
3
6
(1,−1, 2) =
1
2
(1,−1, 2)
1
2. Encuentre Proyuv
Solución
Trabajando de forma algebráıca tenemos:
Proyuv = αu donde α =
u.v
| u |2
u.v = (2, 1, 1).(1,−1, 2) = 2− 1 + 2 = 3 (ángulo águdo)
| u |2= 22 + 12 + 12 = 4 + 1 + 1 = 6
Proyuv =
3
6
(2, 1, 1) =
1
2
(2, 1, 1)
2
PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES
(Solamente es aplicable a vectores en R3 y da por resultado otro vector)
Sean u = aı̂+ b̂+ ck̂ y v = dı̂+ e̂+ fk̂
entonces el producto cruz o vectorial de u y v denotado por uxv, es un nuevo vector definido por
uxv = (bf − ce)̂ı− (af − cd)̂+ (ae− bd)k̂
Podemos considerar el producto cruz como una especie de determinante, se nos facilitará recordarlo
y calcularlo.
u× v =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a b c
d e f
∣∣∣∣∣∣ = î
∣∣∣∣b c
e f
∣∣∣∣− ĵ ∣∣∣∣a c
d f
∣∣∣∣ + k̂
∣∣∣∣a b
d e
∣∣∣∣ (1)
u x v = (bf − ce)̂i− (af − cd)ĵ + (ae− bd)k̂
u× v es ortogonal a u y a v
*(u× v).u = 0
*(u× v).v = 0
Propiedades
u× 0 = 0× u = 0
u× v = −(v × u)
u y v son paralelos si y solo si u× v = 0
Se sabe que u× v es un vector ortogonal a u y v, pero siempre habrá dos vectores unitarios ortogo-
nales a u y v vectores n = u× v y −n = −(u× v) (vectores normales).
Ahora
| u× v |=| u || v | senϕ
u.v =| u || v | cosϕ donde 0 6 ϕ 6 π
3
Vamos a la interpretación geometrética del producto cruz
Recordando la fórmula del área de un paralelogramo (área = base*altura)
Concluimos que el área del paralelogramos formado por los vectores u y v es:
A = |u||v|sinφ donde la base es |v| y la altura es el lado opuesto a φ.
Interpretación geométrica del triple producto escalar
Sean u, v y w tres vectores que no están en el mismo plano, entonces, estos forman los lados de un
paraleleṕıpedo.
Volumen del paraleleṕıpedo es igual a áre de base * altura
v = |u× v| ∗ |(u× v).w|
|u× v|
la altura es la magnitud de la proyección de w sobre u× v
Desarrollando esto, notamos:
|Proyuxvw| =
∣∣∣∣(u× v).w
|uxv|2
u× v
∣∣∣∣ =
|(u× v).w|
|u× v|2
|u× v| = |(u× v).w|
|u× v|
4