EJERCICIOS RESUELTOS

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Alex Junior Libaque Pasapera.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
1.-Una persona posee 3200 metros de malla de metal y desea cercar un terreno rectangular que esta sobre un rio. Si de suerte una parte ya está con malla, ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que posee el área más grande para así optimizar su malla?Área de un rectángulo
A=x*y
A=x
A(x)=3200x-2x² …..(II)
Terreno rectangular
Perímetro de un rectángulo:
P = 2x+y
2x + y=3200
y= …(I)
	
Para obtener las dimensiones de la máxima área, aplicamos la primera derivada e igualamos a cero la función:
A=3200x-2x²
A´=3200-2x²
A’= 3200-4x
0=3200-4x
x = 800 m 
Segunda derivada:
A´=3200-4x
A’’= -4 < 0 Máximo relativo
∴Las dimensiones del terreno que posee el área más grande para así optimizar su malla es 800 metros de largo y 1600 metros de ancho.
Reemplazamos x en II para el Valor máximo A(800)
A(x)=3200x-2x²
A(800)= 3200(800) – 2
A(800)= 1 280 000
Reemplazamos x en la I para hallar y:
y= 
y= 3200 – 2(800)
y= 1600
2.- Una persona desea hacer un pozo a tierra con base cuadrada y un área de 108 metros cuadrados de superficie. ¿Qué dimensiones producen el pozo de máximo volumen?
Volumen:
V = x²*y
A. Superficial: 108
As= x²+4xy
108= x²+4xy
y
x
x
Resolución:
I.- y=…..(I)
Reemplazamos:
V= x²*y
V= x²()
Aplicamos la primera derivada e igualamos a 0
V= x²()
V´= 27x - 
V´= 27 - 
27 = 
=36
x
y
x
Reemplazamos x en la I para hallar y:
y= 
y= 
y= 3
X1=6 x2=-6
-Nos quedamos con el positivo.
Aplicamos la segunda derivada
V´= 27 - 
V´´= -
V´´(6)= -
V´´= -9 < 0 Máximo relativo
∴ Las dimensiones que producen el pozo de máximo volumen son 6*6*3 
3.- -Se desea construir una escalera pero ven conveniente hacer un muro de 10 metros de altura está a 5 metros del edificio. Encuentre la longitud L de la escalera más corta, apoyada en el muro, que llega desde el suelo hasta el edificio.
L
L
10
y
10
x
Muro
5
Piso
x
5+x
Aplicamos la primera derivada e igualamos a cero:
L = 
L´= (
L´=
L´= 
L´= 
L´= 
0= 
500=
X=7.9
Reemplazamos x en la I para hallar y:
y= 
y= 16.3
Reemplazamos x en la I para hallar y:
L = ……(II)
L = 
L = 
L = 
L = 
L = 
Entonces:
y= …(I)
Aplicamos la segunda derivada:
L´´= 
L´´= 0.23 >0 Es un Mínimo Relativo
Reemplazamos x, y en la II para hallar L más corta:
L = 
L=
L=20.78
∴ La longitud minina de la escalera es de 20.78 metros.
4.-Un avión se encuentra a una altura de 4 km, pasa por un telescopio de rastreo ubicado en la tierra, cuando el ángulo de elevación es de 60°, se observa que el ángulo decrece a razón de 30 grados/min. ¿cuán rápido se mueve el avión?
x
∴ El avión se mueve a 166.4 km/h
5.- Se sabe que para construir una piscina son 40 p de largo, 20 p de ancho y en la profundidad tiene que tener 8 metros y en la zona menos profunda debe tener 3 p . El fondo es rectangular. Se está bombeando agua a razón de 40 p/min ¿A qué razon sube el nivel del agua en el instante que hay 3 p de profundidad?
	
Note que aquí tenemos un recipiente de doble geometría, por tanto, antes que el nivel del agua sea 5 metros es una situación y otra situación después de los 5 metros
De la análoga al problema anterior:
El volumen de agua alojada en el recipiente se lo calcula con la siguiente formula, siendo este un prisma de base triangular, es decir:
La relación entre b y h se la obtiene considerando los triángulos semejantes; entonces
Por tanto, el volumen queda: 
Aplicamos la derivada a:
Reemplazando se obtiene: 
 
En h=3 nos resulta:
∴ En el instante de 3 p el agua sube a razón de 
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