PROBLEMAS RESUELTOS FÍSICA LUMBRERAS TOMO I PDF

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ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES 
PROBLEMAS RESUELTOS 
DE FÍSICA 
UNA VISIÓN ANALÍTICA DEL MOVIMIENTO 
VOLUMEN 1 
® 
Lumbreras 
Editores 
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA, una visión analítica del 
movimiento. Volumen 1 
Autor 
Editor 
Oise~o gráfico : 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores 
Asociación Fondo de lrwesbgadores y Ed1tores 
Área de cómputo y pubt:cadones de la Asociación Fondo 
de lrwestlgadores y Editores 
O Asoc i ación fondo d e Investigadores y Editores 
Av. Alfonso Ligarte N.• 1426 • Bre"a. Lima-Peni. Telefax· 332·3786 
Para su sello ed1torial Lumbreras Editores 
Pagma web· www elumbl"eras.com.¡¡e 
Pnmera edición: abril de 2010 
Pnmera re1mprS16n: abril efe 20 12 
nra,e: 2000 ejemplares 
ISBN: 978-612-4056-74-4 
Reg1stro del proyecto editonal N.0 31501051100862 
~Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Peru• 
N.• 2012 • 04475 
Proh1bida su reproducción total o parcial 
Derechos reservados O LEG. N • 822 
Esta obra se terminó de impnmir en los talleres gralicos de la 
Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de abril de 2012 
Calle de las Herramientas N.• 1873 . Lima-Perú. Teléfono: 336-5889 
Presentación 
Ascc1aC•on Fondo de tnvesngadores y Editores (AftNEO), promotora de 
Lumbreras Ed1tores, nene el agrado de pr~sentar el texto Problemas 
resueltos de Física, una visión analítica del movimiento, volumen 1, 
hbro que forma parte de una nueva sene de publicaciOnes que aportan 
al desarrollo dinám•co de tos contenidos eeuué'.<Os que brindamos a 
la sociedad. sobre todo en un contexto en el que la enseñanza de las 
Ciencias y las huma;"tiéades ha do perdie..,c!o s~; va!or analínco·cr r.co 
la sene de Problemas resueltos es el complemento ideal para los 
libros de la colección de Ciencias v Humanidades, trabajo desarrollado 
por lumbreras Ed1tores en conjunto con las planas de profesores del 
Instituto de Ciencias y Humanidades -promotor de las academ1as 
AOUNI y César ValleJo-, qu1enes se han oedicado durante generaoones 
a formar estudiantes con criterio realista y capacidad analitica, además 
de imparnr conoc1m1entos ob1envos y de rigor denriñco a tra11és de las 
publicaciones de Lumbreras Ed1tores con una sólida presencia en los 
diversos lugares del Perú, cumpliendo asi una tarea vital en el acerca· 
m1ento de matenal bibliográfico de calidad a miles de estudiantes y 
profesores en todo el país. De esta manera reafirmamos nuestro com· 
prom1so ñrme de aportar en el desarro•lo de :os sectores mas amplios 
de nuestra soc1edad 
Problemas resueltos de Física, una visión analítica del movi· 
m iento, volumen 1 presenta el desarrollo didáctico de cada uno de 
los problemas propuestos del libro Física, una visión analítica del 
movimiento, volumen 1, y ofrece un acercamiento dmamico a todos 
los contenidos necesarios para obtener dominio del curso. Este hbro 
es también un recorrido a t ravés de lineamientos metodologtcos que 
anhelan constru~r puentes sólidos entre el estudiante y el aprendizaje 
de esta materia. 
La bú squeda por aportar publicaciones más didácn cas y novedosas ha 
hecho posible este libro y la serie de Problemas resueltos que le seguirán 
-~----------...... ----------,----
en el campo de las crencias; también revela nuestro compromiso 
profesional de seguir impulsando un trabajo editorial y académico que 
no esté alejado de las grandes mayorias. Lumbreras Editores quiere 
raconocer el esfuerzo con¡unto que ha signi ficado esta publicación, 
en la cual ha participado un gran grupo de profesionales de primer 
nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nue$tro anhelo de 
conseguir una educación científica y humanística integral. Finalmente, 
deseamos reconocer el apoyo de la plana de Física de las academias 
ADUNI y César Va llejo, por su labor en la elaboración de este material, 
gracias a su valiosa trayectoria en la enseñanza preuniversitaria de 
calidad. De manera especial, AFI NED desea agradecer al profesor 
Teodulo Aquilino Reyes Santos y a sus colaboradores los profesores 
Antonio de Jesús Montalvo Correa y Edgar Percy Saravia Valverde por 
su trabajo profesional en la sistematización del presente libro. 
ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES 
----~ 
Pró~ogo 
Este libro ha sido elaborado con el propósito de mejorar las habilidades 
del estudiante en la resolución de problemas, y es el complemento 
ideal para Física, una visión analítica del movimiento, volumen l. 
Como autores, nuestro objetivo es reíorzar los conocimientos teóricos 
a través de la resolución de una gran variedad de e¡ercic1os. 
Este libro - fruto de la experiencia alcanzada en el ejercicio de la 
enseñanza de esta materia durante años- está pensado para cubrir las 
necesidades temáocas de nuestro sistema educativo especialmente 
para la preparación preuniversitaria. En esta etapa, el estudiante debe 
reforzar sus conocimientos básicos de los temas de física, y debe ap li -
carlos a preguntas de menor o mayor grado de dificultad, con el fin de 
tener conceptos más precisos, desarrollar su capacidad de análisis y re-
solver con mayor rapidez y eficacia los problemas que se le presentan. 
Problemas resueltos de Física, una visión analítica del movimiento, 
volumen 1 se ha elaborado tratando de cubrir estos aspectos; para 
ello, se ha consid<!rado que el estudiante, previamente, ha tra tado de 
resolver los problemas propuestos. De no llegar a la respuesta cor-
recta, el solucionarlo le ayudará a corregir su error o a encontrar otras 
formas de solución. 
Las soluciones propuestas en este libro son de fácil entendimiento 
para e l lector, y tra tan, en la mayoría de casos, de buscar e l camino 
más corto de solución y de no utilizar las matemáticas superiores 
(derivadas, integrales). La cantidad y variedad de preguntas que se 
han resuelto hace de este material un elememo indispensable para 
la preparación de estudiantes, profesores e interesados en los temas 
desa rrollados. Es importan te que el estudian te sea perseverante en la 
adquisición de sus conocimientos; no hay que olvidar que el trabajo 
del pensamiento se parece a la perforación de un pozo: el agua es 
turbia al principio, mas luego se clarifica. 
Los autores 
Página 
'íl~ Análisis vectorial 
4}~ 1 Cinemática 
'W@ Movimientos de caída libre 
<ii@'W Movimiento circunferencial 
~&JW 1 Movimiento relativo 
'íJ@~ Análisis de gráficas del movimiento 
mecánico 
?J@'íJ Estática y centro ele gravedad 
Página 
?6®&> 1 Dinámica 
1 
&>?J'íl ! Trabajo mecánico, energía y 
1 potencia 
~®~ Impulso y cantidad de 
movimiento 
4}4}@ Choques 
4}@1! Oscilaciones mecánicas 
@?J@ Ondas mecánicas 
Gravitación 
Capítulo 
G 2 
Análisis 
vectorial 
¿y¡>oO<- ---:.:. -. . / 
/~ 
r-• ..... 
.• w,. ... ., o 
Un vector es un segmento ele recta onentado que, por sus 
caracteristicas (módulo y dirección), permite represe111ar 
magnitudes vectoriales como velocidad, aceleración, fuer-
za e intensidad de campo eléctrico, entre otras. Es s<~biclo 
que uno de los p1 ;meros en utilizar vectores f~1e Galileo 
Galilei (1564-1642}, quien al estudiar el movimiento de 
los proyectiles tuvo la necesidad de representar la veloci-
dad en un i11stante dado. Además. se dio cuenta de que el 
movimiento horizontal no afectaba al movimiento vertical 
ele caída libre; esto le permitió descomponer el movimien-
to, lo que se expresa geométricamente mediante la des-
compOSICión del vector velocidad. De igual modo, Isaac 
Newton utilizó los vectores para representar las fuerzas 
y operar con ellas al establecer las leyes del movimiento. 
De este modo nace el análisis vectorial. que es tudia las 
propiedades de los vectores, así como sm operaciones. 
Estas operaciones no se rigen por las leyes (o reglas) de la 
Aritmética o del Álgebra común; por el contrarro,
el ¡¡náli· 
sis vectorial tiene sus propias reglas y propiedades. En este 
n1aterial. el lector puede ver como se han aplicado dichas 
reglas o propiedades a los diversos problemas planteados. 
Es necesario que el lector se habitúe a estas reglas, ya que 
ellas se utilizarán en gran parte del curso. 
PROBLEMA H.0 1 
Dos vectores A y B de igual módulo fo rman 
un ángulo S. i En qué relación esrán los 
módulos de los veccores A+ 8 y A- B ? 
A) sen( I) B) cos( i) C) taJ1( I) 
D) co{i) 
Resolución 
Nos preguntan por 
K=IA+BI 
l ti - 81 
Condición 
• Para la suma 
E) sec(i) 
- 111 A¡.~-- . -.-- - -- - --- . . --~ 
... IIICOS(G/2) 
B 
J; 
Capítulo ~ 
Análisis vectorial: 
Del gráfico 
(!) 
• Para la diferencia 
msen(t) 
Del gráfico 
~ lfi - 81 == 2m sen ( ~) (!!) 
Luego (I) + (Il) 
_.l. 
.... . .t 
lumbreras Editores 
PROBLEMA H. 0 2 
Se tienen dos vectores de módulo consrante dís· 
puestos sobre un plano. Se sabe que el mayor 
y menor valor de ;u resultante es 31 u y 6 u, 
respectivamente. ¿Qué módulo dene X- 8. 
cuando A y 8 forman 6(}>? 
A) zJ38'u B) 3.ff6 u 
D) ISOJ76 u 
Resolución 
C) I.s.fi6 u 
E) Jill u 
En el gráfico siguiente preguntan por I:A- aj. 
:( 
IX-81=? 
60° 
B 
Aplicamos la ley de cosenos 
1:4 - Bl= JA 2 + 81 -2A8cos60° (a) 
Para dar respuesta al problema debemos 
conocer los módulos del vecror A y B (A y 8). 
Para ello, utilizamos la condición del problema: 
• El mayor valor de la suma es cuando los 
vectores cienen la misma dirección. 
:A 
~ Rmu=A+8=32u (!) 
• El menor valor de la suma se riene cuando 
las d irecciones son opuestas. 
J._ A 
-7 Rm;n=A-8=6 u 
Resolvemos (!) y (U) 
A=l9u y B= l3u 
114 
(11) 
Reempla: amos en (a) 
~ Í.=i- 81 = J192 + 131 - 2(19Hl3lcos60° 
. . lA - al = Jill u 
PROBLEMA H.0 3 
En el gráfico que se muestra, t\I es pumo niedío 
de AB, AC=CD= 10 u. Si la resul tante de los 
vectores P y Q tiene un valor de 26 u. deter-
mine la medida del ángulo J\/,ID(A8= 23 u) . 
D 
'. 
. · ' . 
·. 
. . Á. · · · · · · · · -- · · · · ·.w· · -- -- · · -- · · -- ·'a 
A) 60° 
D) 50° 
Resolución 
Se quiere determinar MAD =a. 
C) 53° 
E) 40° 
Para hallar la resultante de los veccores P y Q 
procederemos a desccmponerlos en los lados 
del triángulo. 
D 
., 
.. , 
... 
lO u/ ; ·· .. 
En d gráfico 
R=P"-Q 
P = P1 .. P1 1\ Q = Q, + Ql 
En (l) 
R = P1 +P2 +Qa +Q: 
R. =(P1 +QJ•·(P2 +Q2) 
~ 
a b 
Donde: 1 a 1= 30 u y 1 b 1== 28 u 
30 u 26 u 
28 ll 
Aplicamos la ley de cosenos 
R] =i + b2- 2abcosa 
R 
261=3&+282-2(30)(28) cosa 
3 
cosa =-
S 
PROBLEMA H.0 4 
(!) 
Al realizar algunas operaciones con los \oecto-
res A y 8 se logró obtene r los vectores si-
guientes: 
donde los módulos de los vectores son: 
Determine el módulo de /A -4B. 
A) 10Ji3 u 
B) 9J7 u 
C)7J5u 
D) 3Jf:f u 
E) sJSf u 
Resolución 
La incógnita es I7A- 4BI. De la condición te-
nemos 
I 4A-sl~.rou 
~ lsii-28l=2l4:4-8l=2ou 
(s;\ - 28)-(:A+ 28) = (71\ -48) 
----....-.... 
m n 
lml=20u " lñl=l0-.Í3u (daco) 
ñ 
. 
. 
sJ3: 
¡ 
r--ts--~-----20 u----~ 
~ 
15 . 
lumbreras Editores 
PROBLEMA H.0 S 
El gráfico representa una placa sobre la cual aC\Üan cúatro fuer:as coplanares. Determine el 
módulo de la resulcanre de escas cuacro fuerzas. 
A) SO.fí7N 
B) 40../UN 
C) 30.Jfi N 
D) 120 N 
E) 20 N 
·········~······· h ••olJN 
· .. 15N / 
.......... ......... .. ... :,:·::: .. t.-.·.·;· 
•.•••••.••• .. ••••• •. •.•.••••• ·.·.·'7'• ·····; 
R~Zsolución 
El módulo de la resulcanre se determinará descomponiendo los veccores en las direcciones X. Y. 
Luego, graficamos la resultame 
Lv1=l20 N 
!16 
'R = l:V, +Lv( 
l:i/_,=(+80)+(- 40)+(-10) 
LV,=+30 N 
L:v, = < ... 3o> .... <+ t 5> +<+8o> + <-5) 
LV y= +120 N 
.. R = 30.fí7 N 
PROBLEMA H.0 6 
En el gráfico. los vectores dado:> están relaciO-
nados enrre sí por e= m::\+ nB. donde m y 11 
; on números reales. Determine m y 71. 
~ - ··:···: ... ~1\-·A:· -- ·:----: 
' . ~ ... : ... ; .. , ... :, . . .. : 
• • • ! 
. . ' 
1 • • • 1 
. -- .. -.-,. . "' ...... 
• 1 • 1 • 
~···r• . • • : . •• ~- - • : .. . .. : 
. 
' ' . . ' . 
.. - .. - .. -... - .... --. . --.. --.. - -· 
. . . 
. . . 
• 1 1 1 
· · · · '· - ··~·-········ .... : : : 8 : : ; : 
• ' ' • • 1 
·- - - - ~- - - - -~---~ ..... J ..... J 
8 2 
A) --· --11 11 
5 3 
C) - ll; -U 
8 2 
D) -S; 15 
R~Zsolución 
Para determinar m y n, expresaremos los vecto-
res como pares ordenados. 
Del gráfico 
C=(2;-2); A=(-2;3) y B=(-3; - 1) 
En la ecuación 
e= mA + n8 = m(-2; 3) +n(- 3; -1) 
Operamos 
(2; -2)=(-2m; 3m)+(-3n; -n) 
-t (2; - 2) =(-2m-3n; 3m - n) 
Igualamos los componentes 
2m+3n=-2 
3m-n =-2 
(!) 
(TI) 
Resolvemos (1) y (!!) 
8 2 
m=-- ,.. n=--
11 11 
PROBLEMA H.0 7 
El gráfico que se muestra es un rectángulo. 
Determine el módulo de la resultante del 
sistema de vectores mosrrados . 
A) 8 u 
S) 10 u 
C) 12 u 
D) 15 u 
E) 18 u 
R~Zsolución 
f-- 6 li----1 
Descomponemos los vectores con respecto a 
los ejes X e Y 
·. 
8 u: Á 
YL Q---=----'-'Jh 
X 6u 
17 Í 
lumbreras Ed1tores 
Del gráfico 
1:v = (-6 u) 
1:~, =(-Su ) 
Luego graficamos el vector resultante 
R 
• R=IO u 
PROBLEMA N. 0 8 
Si la resultante del sistema de vectores mostra-
dos es 2(J3 ... ¡)(-))u. determine el módulo 
- - - (J3-I)-del vecror D , si verifica D = C + ---s- P . 
A) 2 u 
D) 4J5 u 
118 
y l 
B) <1 u C) 2JS u 
E) J5 u 
Resolución 
Se quie:-e encontrar li51 = D. S! 
- - (J3-1 )-D=eT --- P 
:> 
(1) 
Emonces se requieren los vectores e y P. que 
se dererminaran de la condición del problema. 
p 
u 
R= :Lv,+L v, (11) 
Por condición. la resulrame es vertical; enronces 
-7 e=2 u " e= 2{-n u 
Por dato y el gráfico 
R-= -2{.J3 +1)=8+8J3 -P 
" P = lO(.J3 + 1}(-J) u 
En (!) 
o=[ 2(-n+( J35- 1 }lO>{ -.13 + 1)(-J)] u 
En ronces 
D= l-:!i - .;])u 
.. li5! = -.!21 + -!1 = 2./5 u 
PROBLEMA H.0 9 
Se muestran tres vectores r\, B y C que ve· 
fifican 1 A 1 = 1 8 1 = l; l. Si la resultante de los 
tres vecrcres coma su menor \'3.lor, determine el 
valor del ángulo a y el valor de la res,tltance. 
Y( cm)~ 
X : ~24,7) 
······_¡; ·x-ccm) 
e . ,. . 
A) 16° y H cm 
C) 14° y20cm 
D) 16° y 25 cm· E) 14° y SO cm 
Resolución 
Del dato en el gráfico 
8 = (24; 7)cm -t lsl = 25cm 
-) 1:41 = 25 cm y lel = so cm 
Además, la dirección de 8 es 16'>. 
Si los tres vectores g iran el mismo ángulo en el 
mismo sentido, la resulcame no cambia. 
Por conveniencia, se girará a los tres veccore3 
en 16° en senc1do horario. 
Y' 
'~-- ~~.4 : 
·. . 
óoOl'. 1 /\. : ••.• 
1 4~;,·¡.·~ .. : ... -,¡6o 
..... .. 
. . .... -'· .. ... e ·r-.!...:..:'----...,. B X(cm) 
·: 
-e 
¡; 
· .... _; 
La resultante de los tres vectores es 
R=A+B+C 
----75 
Hallamos el vector i5 
Por condición la resultanre debe ser mimma. 
entonces i5 y e deben ser opuesros. 
Y( cm)! 
e 
~ a+ l6°=30° 
.. a=l4° 
19 1 
lumbreras Ed1tores 
Redibujamos los veccores 
y ' 
D,( 
25 cm 
X 
50 cm 
La resultan te mínima es 
R=C-D 
~ R= S0-25 
. . R= 25 cm 
PROBLEMA H.0 10 
En el gráfico se muestran tres vectores P, Q y 
S , donde !'P I= 3 u y IQ' 1 = 2Ji0 u. Determine 
el valor de m si se verifica mP + 3Q = nS. 
Considere tan S= l/3 
y ~ 
S 
,J:. -Q 
Izo 
A) .!_± 
- 3 
D) 16 
3 
Resolución 
B) 5 11 C) 3 
17 
E) 3 
De la ecuació n mP , 3Q = nS, se construye la 
s iguiente grá fica (n < 0) . 
y 
1 
rane = -
3 
De l date: IQI =2M u 
Luego 
K= 6u 
Del grá.fico 
!S_ +lm?l = 3K 
3 
Reemplazamos
valores 
6 ~ 3+ rrz (3)=3(6) 
16 
.. m = -
3 
K 
X 
PROBLEMA H.0 11 
Se muestra un vector A constante. ¿cuál e s 
el menor valor de un vector B que hay que 
sumarle al vector A tal que la resul ranre esre 
sobre el eje X? 
Y(cm) ' 
~ - - - ------ 2 
::\ 
5 o 
X(cm ) 
A) l cm B) 2 cm 
C) 1.5 cm 
D) 2.5 cm E) 1.2 cm 
R~solución 
Se quiere el menor valor de un vecwr B, con 
la cond ición que la resultante se encuentre en 
el eje X. 
Y(cm) 
X(cm) 
R 
A cominuacion. del vector ;::¡ se pueden cra:ar 
una inñnidad de vectores cal que la resultante 
se e ncuentra en el eje X. pero el vector que 
presenta el menor valor es el perpendicular al 
eje X: en el gráfico, e l vector B. 
:. lsl =2 cm 
PROBLEMA H.0 1 'l 
En el grárico se muestran dos vectores d is-
puestos sobre un cubo. Determine en qué re-
lación se encuentran los módulos de los vecto-
res A + i3 y A - s. 
(~: · -- - - -:- - - - -- - -l\--: . . . - . : - • : B : 
1 } \ ' • 1 
. . ' ~ 
1 1 • ' 
' 1 • • 
' . . 
' ! • 1 
, i • • 
: .. )· . .. . .. - • • .¡ .. - . .. - . :. 'i 
. ' . 
' . . 
... ..... -.. -- --.. -- . . . _, ... 
A) - S) .Ji 
3 C) 
Ji 
3 
D) .J3 
2 
R~solucíón 
l a incógn ita es 
K JA+BI 
ifi-al 
Primero ha llaremos lA~ iil. 
E) 3 
(!) 
21 i 
lumbreras Ed1tores 
Descomponemos los vecrores en los lados del 
cubo. 
' .--~ - --· --· ···· ···_:-t · ·· 
. ' 
,...., •• • • • ¡; 
~lx--·-~--------~~- - -·>·! a 
a ( 1 ,- ~ .. ..... • 
é - --~ ---- - ---~·::/ ··· -¡ 
")( 
Del gráfico: 
jLv2 j = 2a 
IL:vyl=a 
1Lvxl= 2a 
ILvl = J<2a)2 + <d + (2a)z 
ILvl= :>a 
Ahora el módulo de lA-81 
Luego 
.·;; · -- -----·-- - ---~ 
.--:~ ··: / 
· ·~x:-:,:.-_·_·_-_·-· - ··:··\8 
' \ 
a 
. ... ... · .. 
r ... .. ' 
, .. - .. - -- -
a 
r ... · --...,....----, 
'- a .v 
.. ·x 
(JI) 
y 
(111) 
En (1). reemplaz:amos (II) y (!!1) 
K= 3a 
a 
K=3 
PROBLEMA N.0 13 
Se tiene un hexágono regular de lado -t u. Si 
de uno de sus vértices se empie:a a trazar 
vectores dirigidos a cada uno de los vércices 
resranres, ¿qué módulo riene la resultante del 
sis tema de vectores? 
A) 12 u 
D) 24 u 
Resolución 
8) 18 Ll 
Graficamos el problema 
C) 21 u 
E) 20 u 
'"'··- ~:,: .. 
" / ,' /"X-
- • • A 
D _,::.·· 
.-_-_: ~~ {_ü~~::::-
Se debe calcular 
isl = lii +a+ e+ o+ 'El 
Trasladando convenientemente los vecmres 
A y E se observa 
Luego 
e e 
De las propiedades geométricas de un hexágo-
no rP.gular e l lado es igual al radio. enronces el 
diámetro es 8 u. 
~ 151 = 3lcl = 3<8> 
.. lsl = 24 u 
PROBLEMA H.0 14 
A partir de! gráfico, determine el veccor B si 
' d 1 Jf7 su m o u o es -u . 2 
z 
4 · · ·· -- · --·· - · · ·· · ; 
1 \ •• 
. . . 
,' ·. t ! 
. ' 
: ;6 
·.. ,' ,'' 
... , ' 
4 ,· ·. /,'; r. . . .. .. . - -- - ...... .. - - .. . - ... ·'" 
y 
X 
C) 3i-]-k 
D) i+ ]-k 
Resolución 
Para determinar B aplicamos 
z¡ 
4 '~'-<9; 9; .'U .. _. _ .• 
X 
'• 
. \fj 
·. 
4 :_-- . ·- . - .• . .. :·..::.·· 
N(4; 6; 0) 
Del gráfi co 
~N =(4;6;0)-(0; 0;4) 
MN =(4; 6; - 4) 
,\!IN = 2(27 + 3}- 2~) 
.. 
' 
:6 
(!) 
y 
(11} 
23 ¡ 
lumbreras fd1tores 
En (11) 
ü - 2(21 ... 3] -lk ) (2i+3) - 2k) 
. \IN - 2../f7 = Jf7 
En (1) 
PROBLEMA N. 0 15 
A partir del gráfico, determi ne el vector 
unitario del vector A. 
10 
A 
o 
2 ( • ") A) -J34 5i+3j 
l ( . ") C) ----;;:=;< Si + 3 j 
..¡34 
2 ( • ") O) r:-7 Si+3j 
'1/34 
124 
' 
' 
" 
,. 
•', 
: \ 
6 X 
l ( • ") B) 2 J3'4 Si- 3 j 
2 ( . ") E)_ -J34 - Si+ 2j 
R~solución 
El vec.or unita rio de un vecwr A se determina 
según 
- r\ 
u - -
. . ~- r\ (!) 
Aplicamos las propiedades geomécricas a! grá-
fico y obtenemos: 
Y• 
lOsenucoset. 
6-----4 
Luego 
A= l Osena 
A= (-10senacoset>i ... (-IOsen2 ex)] 
Reemplazamos en (I) , obteniendo 
~" =(- cosa)Í+(-sen et.}] 
De tana=3/ 5, entonces 
3 S 
sen a = J'34; cos ex = J34 
Finalmente 
.. ~.~ = -~(si ..-3]) 
v34 
X 
PROBLEMA H.0 16 
Se muesn·,¡ un cuadrame sobre el cual se ha 
dispuesto un conjunto de vectores. de los 
CUrtles A. B, e y D tienen un origen común 
SeJiale la alternativa incorrecta. 
••••••• J 2:1 
' 
~·. .. i5 e o 
A) B -A +E =C 
B) X +E +e ... 8 + F = 20 
C) A +E-D= - C 
O) La c?mponenre horizontal de 
R = A +E +e + 8 + l5 es 4e 
E) A +C +E =0 
R~solución 
Comprobemos las siguientes alternativas: 
A) Verdadera 
8-A+ E =<13-;\), E 
= l2A - A) ... 'E 
= e 
B) Verdadera 
<;.¡+E> ... e+ es ... ¡:)= e-e+ o 
=2C+ o 
=D+D 
.. A+E+e+B+F=2i5 
C) Ve rdadera 
A ... E-D= C4+E)- 5 
=e-5 
=e -<2c> 
=- e 
.. A+E-D= -C 
O) Falsa 
R=A+E+C+B+D 
---e 
R=2C+ Q+B 
2C 
La componente 8. no es nula, entonces 
'R.~ " 4e 
25 1 
lumbreras Editores 
E) Verdadera 
A-C+E=A ... E-'- C 
----
PROBLEMA N.0 17 
Una mosca, luego de pasar por el origen 
de coordenadas, sigue el trayecto moscrado 
para detenerse en P. Sí OM = 15, MN = 8J3 y 
NP = 4J3, determine su desplazamiento de O 
hacia P en cm. 
Y(cm 
A) (20; -12) 
B) (21; 12) 
C) (-2 1; 9) 
O) (-20; 12) 
E) (21; 9) 
R~solución 
: 
-~ 
___ ... ··p 
X(cm) 
La incógnita es el vector desplazamiento de la 
mosca. 
128 
Graficamos según los valores dados: 
Luego. d = (21; 12) 
PROBLEMA N.0 18 
Se muestra un conjunro de vectores dispues-
to sobre un cuadrado. Si OA ts de 3J2 u, de-
termine el módulo de la resultante de dichos 
vectores. 
o 
A) 6 u 
B) 6J2 u 
C) 9 ll 
D) 9J2 u 
E) l2 u 
R>!solución 
Se quiere determinar el módulo de la resul-
tante de los vecwres mostrados. 
' ¡ 
1¿¡ 
í 
~ 1 
•:~ 
Observe que la ,;uma de vectores que se 
encuemran en !os lados del cuadrado es nula. 
también la suma de vectores en una d1agonal 
es nula. 
Entonces, la suma de vecwres es igual a la 
suma c!e los dos vectores que se encuentran en 
la otra diagonal del cuadrado. 
PROBLEMA N.0 19 
A partir del gráfico, determine el módulo de la 
resultante del sistema de vectores mostrados, 
siendo 1 A 1 = S u y lE l = 6 u-
¡lA e )o ~o E .f-
A) 12 u B) 13 u Cl 14 u 
0) 15 u E) 18 u 
- -----------------------------~----------------------------
Resolución 
Se debe delermmar el módulo de la suma 
jsl = 1 ::i .._e~ F.,. 8-e- i5 .._ El 
Del gráfico 
o ¡; 
Pero 
í5 =E y l;il = i"P 1 = 5 u 
' y 
Luego 
!P1 1 =5 u 
lJ 
I2EI=l2 u 
.. lsl=13u 
~ 
27 
lumbreras Editores 
PROBLEMA N.0 20 
Se muesrra un s~scema de \'ecrores que \'enfican que 1 ;:¡: 1:0 181 = 1 51= 6 u; 1 e[= 6-J 3 u y 1 H 1 = 8 u. 
Determme el módulo de la resulranre. 
.-\) 5 u 
B) sJ3 u 
C) lO u 
D) 10../3 u 
E) 6../3 u 
Resolución 
La incógnita es el módulo de la resultante: R =A+ 8~K + J + H + L+I +E+ F ~e +C + 5 
R =A +B - K~J+H+L+l+E + F+G+C+D-) R=A+B+ H+C+ i5 
-----
Descomponemos los vectores C y B, obteniendo 
128 
lí:vJ=su 
IEv,l=óu 
Luego 
-) R2=82+61 
.. R=10 u 
R 
pROBLEMA H.0 21 
S<! muestra un hexágono regular • .I.BCDEF 
de lado 24 u. Determine el módulo de 
FO -BC -OD. 
F 
, ___ _ , _,_.,;'i 
E D 
A) 12 u 
B) 18 u 
C) 40./3 u 
D) 30J3 u 
E) 36 u 
Resolución 
Graficamos los vectores 
(-ad y (-ao) 
.. 
. . 
.. 
. . 
.. 
La incógnHa es 
Del gráfico 
:S= F6+(-i3Cl+(-ool 
A' 
Pero 
Luego 
-) OM =20J3 
. . !si= 2(2oJ3) = 4oJ3 u 
291 
lumbreras Editores 
PROBLEMA N.0 22 
A pan: ir del gráfico exprese a1 \'ecror x en fun-
ción de los vecrores A y 8. 
(~-.-.-.> ;:.--r • ·~ : ::::.~ •. '8' :/• i ..... ··~·-· - --------· -~--- - - - .:· .. '. 
., \1 
' " 1 • 
' . ~ - - · -·· - -- - - - - -· · - - - - --- -- - -- - - -~
J2(_ - ) A) -- r\ +B 
2 
J2(- - ) B) - -A +B 
6 
2J2(- - ) C) --A +B 
3 
J2(- -) O)-- A +B 
4 
E) -~J2(A' +B) 
4 
o 
Resolución 
Se debe expresar x en términos de A y B. 
130 
trasladamos convt!niemtm.!m~ 
~1 v~ror ii para sumar con A 
Del gráfico 
m-J'i =: rJ2 -r 
También 
Relacionamos (-x) y ñi 
;,; = { J2 -IH-x) 
En {1) 
2<-x~x- J2x> =A+ s 
...._,_..._.. 
iñ 
-t x = --1-(A + 8) 2J2 
- J2(- - ) 
.. X"' --=- A+ B 
4 
(!) 
pROBL!:MA H.0 '23 
En el gráfico, .-iBCD es un cuadrado. Exprese 
al vec[or ~ en función de !os vecmres P y Q. 
8 
' ' 
1 : 
' ' 
•, : 
' . 
Q 
' . . ., 
' 
·\: 
• 1 
A "-- ----------··---·--'"lo 
A) ~(P +2Q) 
5 
C) ~(P -3Q) 
2 
D) ~(P- 2Q) 
;) 
Resolución 
B) ~(P +Q) 
;) 
E) ~(2? +Q) 
;) 
Al extender el cuarto de circunferencia hasta 
comple[ar una semicircunferencia ( A'BD ) se 
observa que: 
• A'C J. HD en H 
• <rCA'A=53°/2 } 
-tiíAD=53° 
<I:A'Hr\ =53°/2 (A'A=HA) 
Sn el gráfico siguiente 
5k 
k: 
0 ......... .... fj _______ .. 
5k 
S k 
(1) 
También 
(ll} 
(III) 
(lll) + (11) 
Pero 
- -!l.11 "'llQ (rienen igual módulo y dirección) 
Análogameme 
- 4k- 4-1'-f= - Q=-Q 
Sk S 
- ?-N= = P 
5 
311 
Lumbreras Ed1tores 
En (I) 
- 4- 2-
x=-Q--P S S 
PROBLEMA H.0 '24 
En el gráfico, PMNO es un cuadrsdo, donde S. 
T Y H son puntos medios de PM, PO y PS, res· 
pectivamente. 
Exprese al vector x en función de los vectores 
Ay B. 
132 
P~~- - .. - ~· -· · · · ·· · · lvl 
' ,'H -
A) iUi -2A) 
B) ~(!-4A) 
21 2 
C) 2 (28-3:4) 
21 
2(- - ) D) 7 B - 3A 
E) 1 (- - ) - B - 4A 
21 
Resolución 
Pa ra ..{·esolver el problema es conveniente de-
terminar las medidas de a lgunos segmentos. 
B 
o .... ... ... .. .... ........... .. 
Al trazar HT se observa que es paralelo a OS, 
por consiguiente Jos triángulos THM y SGM 
son semejantes. 
Consideramos GS = (2 m) 
~ TH==(3 m) 
El punro G es baricemro del triángulo PMO. 
-7 OG=(4 m) 
Por otro lado se observa que los triángulos 
THF y OFG son semejantes (ángulos internos 
iguales). 
Reordenamos los vecwres convenientemente, 
tenemos: 
- -
p -A, -A - 2A \f 
B
_fl / yr; ... : l ; ~ · 
• ' ? . 
2' -./ /'(' ·e -L-Vx 
T 3-4x 
Del gráfico 
- x+x+-x == -+ - 4A (3- - 7-) s ( - ¡ 
.¡ 2 2 
- J_ (8 -) X =...:.. --4A 
.. . 21 2 
PROBLEMA N.0 '25 
A partir del gráfico mostrado, al vector x se le 
puede expresar en fu nción de los vectores A y 
- - - - a B segú n X =a A +es. Determine p-· 
Considere O y 0 1 los ceneros geométricos de 
las circunferencias. 
A) .!_ 
3 
D) 2 
3 
Resolución 
Piden K= E: 
~ 
B) 3 C) 2 2 
E) -3 
(1) 
Primero relacionamos las medidas de algunos seg-
mentos, aplicando las propiedades geométricas. 
S 
Del gráfico 
- (- A) NM= B-2 
En el triángulo P/viS 
33 1 
lumbreras Edrtores 
Luego 
CL f3 
En (!)·K = (- l) 
. (I) 
2 
.. K=--
3 
PROBLEMA H.0 26 
3 
a =-1 : 13 =-
2 
Se muesrra un triángulo equilátero MNP donde 
H, 1 y J son pumos medios de MP, MN y NP, 
respectívameme. Si se verifica 
HN = mz\1N .,. n}P + RG, determine ~­
n 
N 
//\ ...... 1 
/ 
•• G : .\ 
:,'Ji··· . . \ 
······ · · ·· · ··· - ·· ·-- · - - -~ M H p 
A) -1 
C) 1 
4 
D) _?_ 
8 
B) 
2 
E) _(4- ,/3) 
6 
, 
134 
Resolución 
De l:o ecuación 
HN - RG = mMN + n}P 
- . m 
::>e qu1ere -
/1 
2a 
N 
1~. 
1 "' 
En el triángulo 
PR=IR 
También 
-. ..... -}P 
PR +RG 2 
IR - RG l 
De (1) 
PR+RG 2 
PR-RG 
De donde obtenemos 
PR=3RG 
En el triángulo HJ\1} 
p 
(0 
(IT) 
o el gráfico 
-MÑ HJ::: - 1 
- (1)- -
- HN = 1 s'v/N +<- ll}P 
En el wángulo R}P 
PR+ Rj + }P = O 
-
De (11) 
PR = 3RG 
- Ñú'l - -
-4 3RG ... - .,. ]P = O 
4 
- ( l )- ( 1)-RG: - ll lYIN + -3 /P 
De (111)- ( IV) 
(lii) 
(IV) 
- - ( l 1 ) - ( 1 )-HN-RG= 2.,. U MN+ - 1.._ 3 JP 
- - (7 )- ( 2)-HN-RG= U MN- -3 }P 
~ ..__... 
m n 
m 7 
. . - =--
11 8 
PROBLEMA N.0 27 
El gráfico OABC es un cuadrado, donde M. N y 
P son pumos medios de AB, BC y OC. res¡>e<ti· 
vameme. Si se verifica BT .¡.OS = aOA + pPC . 
derermme ~-
CL 
A-' . . ....... JY.l__ . . 7 ...... B 
. ' 
. . 
. . . 
y '. : 
~ ~ \. 
.. 
. ·. s .·· 
.. 
... 
.. 
. . 
.. 
.. o ...... .... p=-_ __ ,..,c 
A) 1 B) 2 
D) -2 
Resolución 
C) -1 
E) 1 
2 
De BT +OS= aOA ... ~PC. se pide ( ~). 
, OA ~ :a 
2m '. : 2 
a a 
',et: 
~;: 
:é 
--------------------> 
35 1 
lumbreras Editores 
Observamos el gráfico 
1 
rana= 2; CI.Tt3=90° 
Del triángulo AQB se observa que 
BT=TQ 
De la misma forma en el triángulo TOC 
TQ=QO 
En el t riángulo OCN se demuestra 
OS =SR y RN=OS/2 
- 5-~ ON=-OS 
2 
Del t riángulo OCN 
-- OA ON=OC+ -
2 
S- - OA 
-0S=2PC + -2 2 
- 4- OA 
---t OS=-PC+-
5 S 
Del triángulo OAB 
(l) 
(ll) 
De (1) + (II) 
- - ( 1 1 )- ( _¡ 2 )-BT- OS= S-3 OA + t-3 PC 
Entonces 
2 2 
a =-- y ll=-
15 15 
.. ~= -1 
CL 
PROBLEMA H. 0 28 
Se tienen dos vectores concurrenres: 
A= 27 - 4]-k y 8 = 2] + Bk. 
Determine un vector unitario perpendicular al 
plano formado por los vecwres A y 8 . 
A) Jffi- (15Í - 7] +k) 
C) -~(13i-8]+k} 
..¡293 
1 ( " " ') O) -~ 15i +8j - 2k 
..¡293 
E) -~(137 -7]- zk) 
v297 
Re1olución 
El \'ecror unitario se determina a partir de un 
vectOl c. donde e= A X B 
.4 -
•C 
8 (0;2 ;8) 
~r 
~ 
plano formado por 
{ los ve-;cores .4: )' B 
"' 
.4 (2;-4;- 1) 
i 
Luego e = A X B = 2 
o 
Se obtiene 
e= -2(1si + 8]- 2k) 
lci=2Jo s>2 ~<s>2 +<-d ~ lci=2J293 
.. ~e=- ~(15i+8]-2k) 
PROBLEMA H." 29 
En el sistema de coordenada$ XYZ se tienen rres 
puntos P(3; 4; 2), Q(2; -4; 0) y R(-6; - 1; 3) . 
Determine el área del triángulo formado por 
dichos puntos. 
A) 3./29 u2 B) 6-/19 u 2 
C) sfl9 u2 
D) 6.J29 u2 E) 2.. Jsi74 u2 2 
Resolución 
Bosquejando el triángulo 
P (3; -t; 2); R (-6; -1 ; 3); Q(2; - 4; 0) 
El área del triángulo es 
fA:: .!.!RP X RQI 
2 
RQ = (8; -3; - 3) 
RP =(9; 5; -1) 
Cálculo del produCto vectorial 
j k 
RPx RQ = 9 5 -1 
8 - 3 -3 
(l) 
RPxRQ ::(-15- 3)i -(-27 +8>] +(-27 - 40), 
Resolvemos 
jRP X RQj = J I82 + 192 + 67 2 
~ IRPxRQj::J5174 
En (1) 
.. JA:: ~JSI74u2 
------ ------- ----- ------- ------------
lumbreras EditorEs 
PROBLEMA N. 0 30 
Halle el módulo de la fuerza resulranre; s1 
F1= 30 N, F1=18 N, en el sistema de vectores 
mostrado. 
A) 7(K+l) N B) 14(K+ l) N 
C) 2l(K+l) N 
D) 12(K+ 1) N E) 28(K+l) N 
Resolución 
La resultante se determinará sumando las 
fuerzas de dos en dos, aplicando la regla del 
paralelogramo. Si considerarnos que K es un 
número impar. todas las fuerzas tendrán su 
pareja. 
138 
Luego 
jf1 ... F1 1= ,IFi .!. F; - 2Fl1 cose 
Reempla=arnos los daws: 
IF1 + F2 l = Jt30J1 + ( 18,1 ... 2 !30lCISlu) 
~ R'=42N 
Sumamos de dos en dos (los plimeros con los 
últimos). 
'
F -F I=R' ¡";'1. !';JJ 
I1:FI= R'( K;1 )= 42( K;¡) 
·· J1:Fj=2l(K-'-1) 
® Observación 
Se Uega a un mismo resullado si K es un número 
1 
par. 
PROBLEMA H.• 31 
Calcule el área coral del tetraedro cuyos vérti-
ces están en los punros A (2; -l. 1). B (S; S; 4), 
C(3; 2; - 1) y D (4; 1; 3). 
Resolución 
El \'olumen del tetraedro es 
W:: !Ah 
3 
(1) 
Sosque¡amos el cerraedro con los datos men· 
c1onados. 
0(4;1:3) 
e (3: 2;-1) 
Cálculo del area (.lA) 
IA.=.!.JACxAOl 2 -.....-...---' ¡: 
Tamb1én h =-dcos9=1 ABjcose 
(1) 1 - -En (!): 'W= 3 -2 JFJJA8jcose 
[Z)Recuerda 
1 A·BI = tAIIBicose 
L producto escalar 
Efectuamos 
1- -W =- IF·ABI
6 
w = .!. i<Ac xAD)· ABI 
¡u~ucto j L producto 
••eaonal escala r 
(ll) 
Luego 
.-\C=(l. 3: -2) 
AD = (2; 2; 2) 
AB = (3; 6: 3) 
Cálculo de 
j k 
F= 1 3 -1 
2 2 2 
Operando obtenemos 
F =(10: -6: -n 
Reempla::arnos en (JI) 
1 w =61(10;-6;-4)(3;6;3)1 
1 ~ 'W= - 130 - 36-121 
6 
PROB!.EMA N.• 32 
El volumen de un tetraedro es 5 u3. Si rres 
de cuyos vértices son los puntos A(2; 1; -1), 
8(3; O; 1), C(2; -1; 3), halle las coordenadas del 
cuarto vértice O si se sabe que está en el eje Y 
A) (O; 8; 2) 
B) (O; 8; -1) 
C) (- 2; 6; S) 
Q) {1; - 7; O) 
E) (O; 8: O) 
lumbreras Editores 
Resolución 
Análogameme al problema amenor 
r\(2;1:-1) 
8(3; O; 1) 
C (2; -l ;3) 
D(O;y, 0) 
1 . 
- en e! e¡e l' 
Luego 
AC "'(O; -2; -!) 
AB = (1;-l; 2) 
AD = (-2; y - l; 1) 
Volumen del tetraedro 
'iY =iicACxAD)xABI 
t40 
(!) 
Producto vecrorial 
j k 
AC x AD = o -2 ' -r 
-2 (y -1) 
ACxr\D = -(2 H(y - 1)} -8}--+k 
ACxr\D= -(..J.y-2; 8; 4) 
En (!) 
1 
w=¡¡l-<4y - 2: 8: -lJ·<t. -1: 2ll 
L produc1o esC<liJr 
~ 1 ( :> =6 -!y-2 - 8.¡.8) _. )''=8 
.. D={O; 8; 0) 
Capitulo 
os 
Cinemática 
La mecánica. 1,1 más antigua de las ciencias físicas, estudia 
el movimiento de los cuerpos. La cinemática es parte de 
la mecánica; en ella se estudian los procedimientos p,ua 
la descripción del movimiento mecánico sin consi clerar·las 
causas que la onginan o modifican. Al clescribir el movi· 
m1ento ele los cuerpos. se observa que existen movimien· 
tos ele trayectoria rectilínea y curvilínea. Lo~ movimientos 
más simples de describ1r y estudiar son los rectilíneos; por 
ellos se empieza. El más simple de todos, aquel en el que 
la velocidad es constante, es el movimiento rectilíneo uni· 
forme (MRU). 
Otro movimiento recti líneo eJe mayor complejidad, en el 
cual la velocidad varía pero de manera uniforme, es el mo· 
vimiento rectilíneo lll1iformemente variado (MRUV). en el 
que la aceleración se mantiene constante. Ambos moví· 
mientos se describen mediante las llamaclas ecuaciones 
del MRU y MRUV, que pueden se•· escalares o vectoriales. 
La gr.1n vanedad de problemas resueltos que incluye este 
capítulo permiten que nos familiaricemos con la ect~ación 
del 1\IIRU y la del MRUV. Es importante destacar que el 
material contiene tanto problemas ele aplicación directa 
como problemas de alto grado de complej idad que, cree· 
mos, despertarán en nosotros ·la capacidad de análisis. 
Capitulo 
Cinemática : 
........ ....... ....... ................. .... .................. ······ ·· 
PROBL!MA N.o 1 
Dos móviles A y B. se!'arados por 50 m. se 
mue!\ c!ll en la misma dirección con rapide: 
COJlSt.mtc de ~O y 15 m/s, respec:ivo.menre. 
Señale! al cabo ce cuánto dempo mínimo, A 
esca1 <i 150 m delante de B. 
A) 4 s 
D) 2 s 
Resolución 
S) 8 s C) 10 S 
E) 12 s 
Si a1 inicio B se encuenrra delante de A. A 
cardará más en si tuarse adelante. 
Para que emplee un menor tiempo debe en-
conuarse delante de B. 
~S 
4[8 
1 
~50 m 40t - ---i 
: r 1~ m/ 
: _...---........ --.?.._..S 
/ ~~8, """'(,\) 
r---1 5c - --J--150 m--; 
Del gráfico 
l5t+l50=50+40t ~ l00=25r 
.. c=4 s 
PROBLEMA M.0 2 
Un roedor se encuentra a 20 m debajo de un hal-
cón y. al observarlo. huye recdlíneamcnte hacia 
un lgujero, que se encuentra a 1 S m delanre de él. 
con una rapidez constante de 3 m/s. Detemune 
la rapidez media del halcón, si este caza al roedor 
justo cuando ingresaba al agujero. 
A) 3 m/s 
D) 6 m/ s 
Resolución 
Graficamos 
, ..... 
' (' 
"-'·-~ A 
' 
S) 4 m/ s C) S m/s 
E) 8 m/s 
dist3nctl :s25 m 
¡··.-. 
rrayecrona • • . 
:3 m/s 
roedor_;_--
~ 
1----15m---~ 
Para el halcón 
d 
Vua::: _:1!. 
r . .;s 
25 m 
4 Vm=--
tA8 
(!) 
43 t 
Lumbreras Editores 
Para el roedor 
En (I) 
25m 
vn,= --5s 
.. v..,=5 m/s 
PROBLEMA H.0 J 
El altavoz situado entre dos montañas emite 
un sonido hacia la derecha. El eco de dicho 
sonido llega a la monraña de la izquierda en 4 s 
luego de ser emicído. Determine la distancia 
entre las montañas. (vs=340 m/s) 
1\ 
r-20 m1 
A) 670 m B) 650 m C) 690 m 
E) 1340 m O) !360m 
Resolución 
Gralicamos 
144 
1-20 m+-d1---¡ ~ r, 
1--- ;( =? ---l 
El recorrido del sonido es 
Del gráfico 
-. 2x=340(4)+20 
.. x=690 m 
PROBLEMA N. 0 4 
En el gráfico mosrrado el niño y la tarántula 
se mueven con velocidad conscanre a partir 
del instante mostrado. Indique luego de 
cuántos segundos la tarántula empezará a ser 
cubierca por la sombra del niño, cuya alrura 
es de 1,5 m. 
·~ 
r·· --~ 
1 ~ 
2,5 m 2 m/s 
1 
l----5,2m 
A) 0,25 s 
0) 1 s 
B) 0,5 s 
0.2 m/s 
C) 0,7S S 
E) ].S s 
Resolución 
Gr:\lkamos 
T 
lm 
t 
1,5 m 
1 
_l ,, Zl&ffl ):~·en 
,_ 
! . " 
;~2~ 
-J'J. ~------- ---- -~·~.P En ~~re momento. la sombrJ del icl'en comaen=a J cubnr a 
la ara.1ln. 
"". ,• 
' - ' ~ 
'iombra 
~- -.• 
o 
1--- 2r --1--- dsombra -~'----0,2<----! 
r--------5,2 m ---------1 
Semejanza entre los triángulos MNP y PAQ. _!_ = ( ~) 
2t d¡ombra 
Delgráfico: 2t+dsornbr~+0,2t=5,2 ~ S,2r==5,2 
............... 
3t 
:. t= 1 S 
PROBlEMA N.0 S 
Dos móviles, A y 8, pasan simultáneamente por un mismo lugar experimentando un MRU en la 
misma dirección, con rapidez de 10 m/s y S m/s respectivamente. 
(Luego de cuánro tiempo los móviles equidistarán de un punto que se encuentra a 300 m deiame 
del lugar por el cual pasaron simultáneamente? 
A) 30 s 8) 40 s C) 35 S 0) 25 s E) SOs 
451 
lumbreras Editores 
Resolución 
Graficamos 
~------- 101 ---------
10 m/s 10 m/ s 
~=a- ~{.\­)----- 300 m _ _ __..,¡ P- x----1 
~ 1 - 1 ~ ª :> m, s __,13 ;, m, s ~.:- - -::s.,~x---1 P:punro 
1---St--{ equidimnce 
<ie A y 8 
PROBLEMA H.0 6 
Del gráfico 
S.+x=300 
10r= 300.Lx 
l5t+x=600+x 
.. e= -lOs 
([) 
(11) 
Un tren, que se desplaza con velocidad constante, cru!a un túnel de 120 m en 8 s. Si una persona 
senrada al lado de una de las ven ranas del tren nota que permanece 4 s dentro de! túnel, determine 
la longitUd del eren. 
A) 120m B) 180m 
Resolución 
Grañcamos 
1\lomento en que el tren 
comienz> a erutar el titnel 
C) 200 m O) 110m 
8 S 
E) 240m 
Momento en que el tren 
termina de cru:Jr el n'onel 
·~ 
4 S 
l'---------- (120 + L) m------1 
Para eluen 
d1='V1i ~ (l20+L)=v,(8) (!) 
La rapidez de la persona es igual a la del tren. 
Del gráfico 
120 =vp(4) 
!46 
Entonces vp=v,=30 m/s 
En (1) 
(120+ L) = 30(8) 
.. L= l20m 
pROBLEMA N.o 7 
El gr;~tko muestra el lanzamiento simultáneo 
de dos esferas.-\ y B sobre u n p1so. Determine 
cuámo recorre A hasca el ins tante en que se 
cru:a con B. Considere que la esfera B rebota 
inscancáneameme con la misma rapidez y que 
ambas expedmencclll MRU. 
0"-··· ·········· ····· ··· ··f-~··· j¡;;,; ... L 
A) 40 m 
S) 15m 
C) 30m 
D) 20m 
E) 35m 
Resolución 
El móvil 8 recorre el doble que el móvil A. 
Graficamos 
2v 
..::#' --..._ ... •4.- · -- - - - -- .. - · ·~·-··· ..-$ s-- --'../ 
1---- --30m - ----1 
Del gráfico 
l5+3k=30 _, k=S m 
Recorrido de A 
e.~ = 1 5 -rk=l5-..5 
.. e., = 20 m 
PROBL~MA tl.0 8 
Una persona. al encontrarse a orillas del mar, 
se percata de que mar adentro se produjo una 
explosión y reconoce que la diferencia de los 
tiempos de llegada de los sonidos por el aire y 
por el agua es de 11 s. ¿A qué distancia de la 
persona se produjo la explosión. si la rapidez 
del sonido en el aire y el agua es de 340 m/s y 
1440 m/s respectivamente? 
A) 3935 m 
O) 5100m 
Resolución 
B) 3824 m C) 4920 m 
E) 4896 m 
La rapidez del sonido en el agua es mayor que 
e n el aire. 
Vsonido{3gun) = 1440 m/ S 
V;.ontdo(>~re)= 340 m/s 
47 1 
----------------
Lumbreras Ed1tores 
Dato: 
De 
d 
r ~ - (MRU para el sonido) 
V 
En (1) 
Reemplazamos 
d( 1440-340 )= 11 
(1440) (340) 
.. d=4896 m 
PROBL~MA N.0 9 
(!) 
Un tren de 60 m de longi tud se desplaza en 
línea recta con una rapidez constante de 40 m/s 
y demora en cruzar un puente r segundos. 
Si hubiese duplicado su rapidez, habría em-
pleado dos segundos menos en cruzarlo. 
Determine la longitud del puente (en km) . 
A) 0,2 
D) 0.1 
Resolución 
Graficamos 
i4B 
B) 0,15 C) 0,12 
E) 0,08 
Según los daros, el rren expenmenca un ¡\JRU 
(I) 
(Ji) 
Si se duplica la rapidez (2vutn) emplea 2 se-
gundos menos (c-2). 
t=2t-4 
-+ t=4s 
En (ll) 
du·e11 =(40)(4) =160 m 
En (!) 
Lpueme = 1 00 m 
· · Lpu~nt~ =0,1 km 
PROBLEMA N.0 10 
Un automóvil se va alejando en linea recta y 
perpendicular a un muro con rapidez de 20 m/s. 
Si a cierta distancia de este el conductor toca 
la bocina, y escucha el eco después de 4 s, 
¿a qué distancia del muro se encontrará el 
conductor cuando escucha el eco? Considere 
vsomdo=340 m/s 
A) 640 m 
B) 320m 
C) 720m 
D) 600 m 
E) 520 m 
Resolución 
Grafi.:amos (, -Jm-lo= 3-!0 m, s) 
Piden 
.\ ==d- 80 (!) 
Del gráfico 
,·, :::d -1- (d.,. 80) 
Para el >ontdo 
- 3-10(-;} =2d+80 
rl"'ó-10 m 
En (ll 
:. x==720m 
PROBLEMA N.o 11 
\ \ 1 ~ }· · f ·+·) . } ·;·· -j··t· ·;1 
20 m/s ~ 20 m/s ócuchó 
~1-- 1 - (-- r +· · r -- -- Í "- --:::-- el eco \ \ . =f~~ '-~-~ ._./ 
¡---- d ---t-----80 m----, 
~--------------x------------~ 
Los comadores r\ y B, que regls[ran el instante de la llegada de un rayo gamma, se encuenrran separa-
dos 2m. Entre ellos (1.1YO lugar la de,;imegración de una pa.rticula subatómica conoctda como mesón 
en dos forones. 
iEn qué lugar sucedió la desinregración, si el comador rl registró uno de los fotones 10-~ s más tarde 
que el contador B? (Considere que la rapidez de los fotones es de 3 X 108 m/s) 
~------ 2 m --------r 
A) 0,75 m 
Resolución 
Se pide x 
B) 0.85 m 
Date: t'=I0-9 s; c::;:3xl03 mi s 
C) 1,095 m D) 1,15 m E) 1,25 m 
0~~0 - . -~"t::... '· · .. - -, --- :1\~1';::-- -.¡.Jr--=a:~­=- ...,- r --A ~ B 
r-- x 2-x---t 
----------------------------------------~--------·--
Luego 
(2 - .\) =cr 
x=u - cr" 
PROBi.! /1\A N. • 12 
(!) 
(![) 
Reempla.:1ndo (l) en (11) 
:t•= (2 - x) - u· 
__, 2x=2 .... (3x !Os)(lo-9) 
.. x=l.lS m 
Frente a una esrac1ón A pasan dos móviles que se desplazan en línea recca con rapidez constante 
cie 5 m/5} 10 mis. para djrigirse h.tcia otra es ración 8. En ese insranre, por la estación B pasa erro 
móvil que se dirige hacia,..¡ con 30 n;/s y se cruza con los ameriores. con un intervalo de dempo 
de 1 mmuro . .:Qué disrancia hay entre las estaciones A y 8? 
A) S km 
Resolución 
Graflcamos 
8) 6 km 
20 m/s··· 
--::-7 
A 
C) 6.5 km D) 7 km 
~. , ~ 
l-----20c - ---+--- 30r----t 
En (0 
E) 7,5 km 
.· 
Del gráfico 
d.~8=50t (1) dAB = (50)( 140) = 7QQQ m 
1St l . 60 llr = ---= mm = s (S+ 30) . . d.u;=7 km 
--+ t=140s 
!50 
B ... 
pROBLEMA N.• 13 
Dos automóviles, .-l. V B. realbm rv~u .:~n 7 01, S 
r m - re<D,.ctiYanleme. A parm del msranre ¡r :J ~. • • -
· ·rp.Jo. dew>ni11e d tmervalo de ciempo ~ue 
moo . . ·¡ debe rranscurriT para que d1chos auwmov1 es 
equidisten del ongen áe coordenadas. 
r · 5 m/s 1 B 
--o, ~X 
. 
¡ 
50 111 1 
. 
ll3¡o ; m,s,s 
, \ 
A) 3 S 8) 5 s C) 6 S 
D) 8 s E) 2 S 
Resolución 
Graneamos 
N 
----·----
De! ~,áfico 
.\ -5t=30 (1) 
De (11)- (l) 
2t:: 10 
.. i"'5 S 
PROBLEMA N.0 14 
Un itlsecco realiza un MRU y se desp!.ua a !o 
largo de la recta L Si el área lA1 es do! ~u m- v 
fue barrida en 5 s, indique cuánto es e! :irca 
!A1, dado que se barrió en S s. y además con 
qué rapidez vuela el insecro. 
A) 60 m2 • 2 m/s 
S) 56 m2 • 4 m/s 
C) 64 m1 : 4 m/s 
D) 64 m1 ; 2 m/s 
E) 60 m1 ; 1 m/s 
lumbreras fd1tores 
R¡:solución 
Nos pirlen IA2 v 1'. 
1 lA¡= - b¡h 
2 
(1) - (!!) 
Reempla::ando daros 
De(!) 
64 = .!.((8v)j[8J 
2 
.. v=2 m/s 
(I) 
(ll) 
PROBLEMA N. 0 1 S 
Se ffilbía ::fercrmmado que la rapidc: .:onsran-
ce de un móvil en rraye::roria recrilínea era 
de 1 m/s, pero después se comprobó que a la 
medida de longirud usada le ialraba un decí-
metro de metro y que el cronómetro ucili:ado 
se adelamaba en l/20 de segundo por cada 
segundo Determine la verdadera rapide: del 
móvil en m/ s. 
A) ó/7 
B) 10/21 
C) 18/l9 
D) 19/21 
E) ~.'lO 
Resolución 
Experimemo 
] S 7 reJo¡ 
~ d~feccuoso 
__ v - I m/s __ v 
--:a - ~ ,----
~ 
meuo 
1----- 1 m ------! deJecwoso 
0,9 m-----1, r¡O,l m 
~------------~~tro 
1------- 1 m ------1 con·ecro 
Entonces la rapidez real es 
0,9 18m 
v=-=--
,.!.2. 19 S 
20 
pROBLEMA H. o 1 6 
-~""'·"nerJ ;e .:lespla:aba con ·,e!o.:1dad 
una'-'"'" 
_ nre cor una avemda. De promo. e! cho-
con>U· . . . 
, e --u·-'', un rUidO caracrenstJco (cuando las 
rer ~-- ~···" 
edas pa.:an de un pavimemo a mro), el cual 
:S escc.:h.1do cJéa 0, 2 s. Determine la longitud 
de un pa\Jm~nr.:l. si la camionera permanece 
compkumenre durante ó s en él Considere 
que los .:~nrro~ de la llama deianrera }' posee-
dor e:;rJr separados 3 m. 
A) 90 m 
D) 95 m 
B) 9! rn C) 93m 
E) 97 :n 
R~olución 
La camionera permanece compleramen:e du-
rante 6 s en el pavimemo. 
6s 
~V 
:Z_.Q· 2 ~ ~~ ......r--
~3m d< ----; 
~------ LP --------~ 
luego 
Lp=3+dc 
- Lp== 3+6(v) (1) 
Para calcular v, utilizamos la otra información. 
--- b,__ (~~~~~:r~ ~~ .~l rurdo ) 
~ 3 m --1 te escucha~ 
: _ 0 2 1 segundo : r- • 5 _ v ruido ·~D.~ 
· =·.:::.:_~-~ 
___ __..:..___-::_·~--
l--3 m--1 
la rap1de: de la camioneta es 
d 3 ¡ -
,, .. = - = -- == ~ m 
- l L~) 
En (l) L?=3-ó(l5) 
PROBLEMA H.0 17 
Un esrudiance se encuentra a 3 m del cenero 
de un:l veman:t de l m de ancho, ) un bus. CJ'.!::' 
experimenta MRU. se mueve por una pisra pa-
ralela a la ventana con una distancia de 87 m. 
Si el bus de 10m de longitud fue observado 
por<!! estudiante durante 8 s. ¿qué valor tiene 
la velocidad del bus (en km!h)? 
A) 10 
D) 18 
Resolución 
Grafic.amos 
B) 15 C)l2 
E) 20 
cuminade 
obsefvat el bus 
T\-lv 
10m 
1_,-
•' 
comienza a / 
ub~NM d bus • 
' IV 
;:¡; 
53 
----------------
lumbreras Editores 
Para el bus 
Semejanza áe mángu!os 
(d 2) (0,5 ) 
--"=-- ~ d=<30m 
90 3 
En (1) 
(JO.,. IO) = vb"s(S) -., Vbus=5 m/ s 
~'t>u, = 1 S km/h 
PROBLEMA N.0 1 S 
(l) 
Un ~u;:omóvil desarrolla un MRU sobre una 
pista horizontal con una rapidez de 30 m/s y 
logra acercarse perpendicularmente hacia una 
pared. Si de pronro toca la bocina durante 
cierro tiempo, ¿en qué relación se encuentra 
e! tiempo durante el e1.1al se tocó la bocina y el 
tiempo durance el cual el conductor escucha el 
eco' (vsonldo = 330 mi s) 
A) 1 
D) 1,5 
Resolución 
B) 1,1 C) 1,33 
E) 1,66 
Sea tp el tiempo que roca o pulsa el timbre, en 
este tiempo se forma un rren de ondas. 
154 
Del gráfico 
(1) 
Al rebotar en la pared tecc) se acerca al auto. 
~.:omic:t:.J .11 
ts.:uclar 1 
\ el eco J 
L 
1 /{ 1 
r~ \ \ \ \ \ 1 ;, ' 1 
~- ~ . ~· J 
lterminJ d1 c>euch.lr el eéo 
te: tiempo que el conductor escucha el eco, 
que ademas es el tiempo de encuenrro ene re el 
auto y la última onda, para una separaciÓn L. 
Piden 
(ll) 
Donde 
!~:: __ L _ _ "' YsCp 
(v.,uto +vs) VJU(() +V,. (ll1) 
Luego 
pROB!. t:i't\A N. o 19 
En Jos, e.-dces de un m ángulo equilátero de lado L se encuentran tres tormigas. E!i~ empie:a.'l 
2 
mowro.: ;;imultáneameme con una r.ap1cic! 1 constan re Si la primera hormiga mam1ene invaria-
blenle!lte su curso hacia la segunda, la segunda hacia la
tercera r la t~rcera hac!a la pnmera. ,al 
cabo de qué intervalo de nempo las hormtga:: logran o::scar en un misrr.o lug3r' 
2L 
B) 3v 
R;~soJución 
L C} 
V 
L .JJ D) 
V 3 
E) 31. 
2 v 
Corno cada hotmiga sigue a la orra. cada una de ellas cambia de dirección describiendo una 
rr:t]"l'CtOrt·l curva. 
Debido a 1.1 simetría de los movimientos en cada instante, llS hormigas se encuenrran ub1cadas en los 
v¿rtices de un ttüngulo equilarero. qth! dismimtye de ram<HíO a medida que las hormigas se acercaiL 
Este tri.ingulo se hace nulo cuando las hom1igas se encuemran, siendo el punto de encuentro el ba-
riccnno del triángulo eqUilátero. Además, nore que en cada instante la linea que une el vértice del 
triángulo con el baricemro (pumo de encuenrro} forma 300 con la velocidad. 
Descomponemos la velocidad en un tramo pequeño de AH en dirección radial y perpendicular a 
la radi2l. 
A 
v/.7·: '. 
, ., 1 • 
"11' • \ 
.~ . .. 
' . .. 
l -
v, =- ../3 
2 
La hormiga se acerca con una rapide! consrame hacia el cenero igual a v,, recorriendo e, entonces 
e,=-v ,t (!) 
55 
lumbreras fd11ores 
En (1) 
L "' V ¡-;; 
- ..,3 = - v3c 3 ? 
1L 
.. t=-
3v 
PROBLEMA N.0 20 
Un escarabajo se encuentra movréndose con 
rapidez constante de 2 cm/s en el inrerior 
de una caja cúbic<1, tal como se muestra. Si 
el escarabajo va desde el vértice P al vértice 
Q moviéndose por las paredes internas de !a 
caja pasando por su base, ¿qué mlnimo riempo 
demorará el escarabajo en dicho recorrido? 
(Considere J\!IN = JOJ3o cm) 
A) 40s 
B) 45 s 
C) 48 S 
D) SOs 
E) 54 s 
Resolución 
Sea el lado del cubo (caja) igual a a. 
~ MN= J3a 
!56 
Luego. d lado es 
ro,J3o == J3n ~ n = JQ,jiQ cm 
Como el escarabajo se desplaza por los lados 
(paredes) de la caja y su base, extendemos 
(abrimos) la caja para determmar el nempo 
míntmo; el t iempo es mí111mo cuando el reco-
rrido es mínrmo. 
c==vc 
e . = emtn 
nun 
V 
M' a 
p 
Del gráfico 
En (I) 
100 
t mm = -2-
· · 'min==SO S 
(I) 
i.v ... / ___ _,Q' 
a 
p• R 
pROBLEMA N. o 21 
u na rvhiiJ tng.-e;a volando por la venc<lna de 
un aul.l , un esrudiance nota que !a d¡sran.:ta 
·-·p,1·' a la polilla del techo cambta a ra· que ~~ .... 
. d~ o 5 m por segun.:!o; emre la ooliliJ v la 1on ~ ·· . · 
aied l.n,;:r,ll camb1a a ra:on d 1 merro; por se-
p ndo emre ella misma y la pared del fondo, gu . 
a ra:ón de d1 merros por segunao. Despues de 
3 s que h polilla ingresó, esta choca con w~a 
de las e;quma> del iondo. 
Derermtne que •:alor nene la velocidad de la 
polilla. st las dimensiones del aula son 3 m de 
aJcurJ. -!.5 m de ancho y 6 m de largo; además, 
1:1 pvlii!.J IngreSÓ :t! ::lttb e5!:\!'1dc> ~ 3 !"1 Ct' 110'! 
de las paredes laterales. 
sfi 
A) -"-mis 
2 
.ffí C) -m/s 
2 
D) A o B 
Resolución 
B) 3J2 1 - -m.s 
2 
E) BoC 
Existen dos posibilidades, que la polilla se di-
rija a la esquina t\, y la otra. que se dirija a la 
esquina B. 
B 
J:.-, --4.5 m~ 
\3 S ;'3 S : 
(daco) / le; : 3m · , J m. 
,· 
. . 
.. 
, V., · ,' 
·.¡1.,. ::~.; 
_... ··/ v, -v.,. 
Por d,uo 
·==0.5 n: 
,f.\ ó m 1 ,._,_==_ m ' s 
r 3 s 
• Si se dmge a la esqutna r\ 
3m 1 , 
' =-: m,s 
-' 3 S 
• Si se dirige a la esquma B 
l. S m 
v ·=--=O.S m/s 
.• 35 
Primer caso 
J ,, ,J2í v = (2)· +(l)- +(0,5)- = T mis 
Segundo caso 
J , ( 1 )2 ( 1 )! 3J2 v = (2)· ... 2: + l = l mis 
PROBLEMA N.0 22 
Un esquiador inicia su movimiento realizan-
do MRUV. Si recorre la segunda mitad de su 
rrayecro empleando 10 s. determine el tiempo 
empleado en la primera mírad de su recorrido. 
A) 10 s 
B) 10(I+J2)s 
C) 10(J2 - l)s 
D) 5 s 
E) S(l+ J2) s 
57 
Lumbreras Editores 
Resolución 
Grafi camos el problema 
De las ecuaciones del J'v!RUV: 
Tramo AB 
. 1 , 
d = - at· 
2 
TramoAC 
( 1 ~ 2d) = - n ( t + 1 O)-
2 
(!) + (1!) 
2 (t+l0)2 
(t+ lO)= rJ2 
l0= r(J2 - 1) 
. . t = 1 O( J2 + I) s 
!58 
(1) 
([[) 
PROBLEMA N,0 2 3 
Un <telera inicia un mo\·lmJenco rectilíneo 
con aceleracion consrame. la cual le permite 
aumenrar su rapidez a ra:::ón de 5 mis cada 
2 s. Det<!rm!ne el menor dempo que emplea 
el arlera para recorrer los primeros 60 m, si la 
máxima rap1dez que puede alcanzar es 5 m/s. 
A) l2 s 
8) 11 s 
C) 10 S 
D) 13 S 
E) 1-t s 
Resolución 
Graneamos 
-;r- -----,B.-------e~ 
1--d¡--+---d2-----! 
1------60m ____ _, 
Del dato: 
ó.v=S m/s -7 ót=2 s 
La aceleración del acleta es 
a= t.v = S m/s 
t.r 2 s 
-7 a=2.5 m/s2 
Tramo AB (MRVV) 
-7 5 =0+(~}~ 
Despejamos 
C¡=2 S 
-(~\., d¡- 1 ) -
En 2 s ,¡l.:anz,¡ su rapide::: lírr.ice. entonces, 
para recorrer lvs 60 m en el menor tiempo, 
mancendr,í cS[I)S 5 m/s. 
PROBLEMA ~1 .0 24 
Tramo BC (MRU) 
-7 (60-5) = (5)!! 
Despejamos 
Como 
. . r=l3 s 
Un cidista se desplaza con una rapidez de 15 m/ s. Si antes de llegar a un bache gira 32° el timón 
de la bicicl.:ta (maniobra que realiza sin cambiar la rapidez y durante 0,15 s); determine el módulo 
de IJ Jceleración media que experimenta el ciclista en dicho intervalo de tiempo 
A) 80 m!s1 B) 64 m/s2 C) 84 m/s2 
R2solución 
Graficamos: 
VF 
~· - --
t1c=Oly .' 
, ( /,/ L/ 
... Ji.~--
.. 
.. · ,_. 
O) 60 m/s2 
,- ~ --- .. --. -... -.. --. -.. 
: 
: 
lumb¡•eras Editores 
Usaremos la fótmula de aceleración med1a 
1\r. -v0 l ¡¡ =-~-­m j¡ 
Del segundo gráfico tenemos 
PROBLEMA H. 0 25 
(I) 
En (1) 
- - 2(15)( is) 
<1,,,- ( 1~0) 
Un automóvil micia su movimiento con aceleración consrance de 2.5 m/ s1. Si luego de cieno 
tiempo empieza a disminuir su rap1de: a razón de 5 mis~ hasta que se detiene y el tiempo total 
empleado del aucomóvil fue de un rninuro, determine Sl! recorrido y el tiempo durante el cual 
estuvo aumentando su rap1dez. 
A) 2000 m; 40 s 
O) 1000 m; 20 s 
Resolución 
Graficamos 
Nos piden t y e. 
TramoAB 
TramoBC 
o 
vc=v8-a't' -. v8 ::2ar' 
ISO 
B) 3000 m; 20 s 
1 min= 60 s 
C) 1000 m; 40 s 
E) 3000 m; 40 s 
(1) 
(TI) 
También De (1} = llll 
, . ., = 1•\ - <lf =(2, 5)(40) t·5=1 00 m s 
e'=-
') 
Por condJcion 
r+r'=tiO s 
t.,.!.. :60_, r=40 s 
.2 
pROBLEMA >1.0 2ó 
(,;·+1'·) 1' e = ~ t _,. ··= ; r 
.. t.' =C~0 }-wh2ooom 
Dos p.miwias Py Q se mueven sobre el eje xcon velocidades consra~res de+ 30 m;s Y:: l2 mt s, res-
ectivameme. Cuando dichas panículas pasan por las posiciones .\'r = -1.20 m y x\! = .,- 180 m. 
fa panícula p adquiere una aceleración consta me de -3 m/s2. ¿Qué distancia separará las panículas 
cuando cengan la misma velocidad? 
A) 3m B) 6 m C) 9 m D) 11m E) l2 m 
Resolución 
Del enu nciado se deduce que la panícula P experimenta un MRUV y. a parrir de P, Q un MRU. 
En ronces se hallará la distancia cuando P adquiera la velocidad de Q. 
Graticamos el p¡·oblema 
·(P) 
- 120, ISO m-----'1 
-!s ~~~v=O 
_E_ :J .1!. í)(P) 
t- 126 m --4--- 24 m ----{ 
(P) (Q) 
l2 m/ s 
-
~~ X 
:(Q) 
!+180 
' 
' 
Q ; 
t--126 m--r 1-- 168 m--l 
~ l26+x+ 168=300 
. . x=6 m 
61 
lumbreras Editores 
PROBLEMA N.0 '1.7 
Un automóvil se mueve sobre una pista ho-
rizontal, e;{perimenrando MRU con 20 m/s, v 
se dirige a u n camion en reposo. Cuando ;¡ 
automóvil esrá a SO m del camión, este inicia 
su movimiento en la misma dirección del au-
tomóvil con una aceleraciÓn constante a. ¿Qué 
valores debe rener a para que el auromóvi l 
nunca alcance al camion? 
A) a> 2 m/s2 B) a > 1,5 m!s1 
C) a > 2,4 m/s2 
D) a > 2,5 m!s1 E) a> 3 m/s2 
Resolucion 
Si la acele ración del camión es cal que en el 
momenm que el auto está por a lcanzarlo pre-
senta la misma velocidad que el auto, en ronces 
el au ro nunca podrá a lcanzar a l camión. 
Si m ación
crí rica: 
{-so m-1---d,----{ 
20 1 :20 m/s m s·-- a 
-· -1 
1 =:s:t:::rr~ ,o .. 
' •p 
• dauro -----1 
~ 
i 
A pare ir de P el camión se aleja del a uro porque 
su velocidad se incrementa y será mayor que 
la d el auto. 
20t =<80 +(0 +220 } 
20t=80+ lOt ~ r=8 s 
Como 
vF= vo+(acJmrón)c =0+ (<lcanuón) (8) =20 
llc3mrón= 2,5 m/s2 
IB2 
Si con es ta aceleración el amo no a!can::a al 
..:am..ión, rampoco lo alcan:ará con una acele. 
ración mqor 
a(.liT'Iron > 2. 5 m/s2 
PROB!.::MA í'l .0 28 
Una partícula ub1cada en el punro A (O; 75) cm 
inicia su movimiento con u na ace leración 
constame igual a d' "' ( 1, 5i - 2)) cm! s1. Si la 
máxima rapidez que puede alcanzar la partí-
cula es de 15 cm/s. ¿qué disrar.,ia 5<:!para a la 
parrícula del origen de coordenada;; 8 s des-
pués de iniciado su movimicnro? 
A) sJIO cm B) ISJiO cm 
C) 7,5Ji0 cm 
D) IOJlo cm E) 17,SJI0cm 
Resolucion 
Graficamos e l problema 
o¡ X 
Tramo .48 (.\ lRUV) 
15::0 -'- (2.5)1¡ 
Calculamos la distancia AB 
-(0+15 )(6) d~s- 2 
Tramo BC (1\IRU) 
dsL'=¡·01.;x(8 -r 1) = 15(8-6) 
-. d,1c=30 cm " d .•. c=75 cm 
Del gráfico 
OC=21~ 
Calculamos k 
751 =111+9k2= !Ok2 
75 k::--= JIO 
k =7, 5M 
~ oc =2(7.s)Jl0 
.. OC= lSJiO cm 
PROBLEMA H.0 29 
Una partícula se mueve sobre el plano XY 
experimentando MRUV. En el instante inicial 
la panícula presenca la posición P(-12;9) m y 
una velocidad v = (3i + 4 ]) mis- Si las áreas que 
--~------------ '---
barre el vector posición cada 2 s d1smmu)'en en 
15 m 2• d erermin¿ el módulo de ll acele;ac1ón 
(en m/s1). 
A) 0,25 
D) 1 
Resolución 
Graficamos 
Dato 
B) 0.5 
(.lA1-lA2) = 15 m1 
Tramo PC 
1 ( 1 b1 = v0c --a t) 2 
C) 0.75 
E) 1.5 
(1) 
(JI) 
S3 ¡ 
lumbreras fdttores 
TramoPM (b1.,.Ll1 )=1'1)t'--}.l(rf 
b1 ~ b~ = 5(-t)- I(n)(..J. )2 
b1 +b1=20-8n 
De (11)- (!11) 
ll,-bl ::..J-,1 
De (1) 
h(b¡-bl)=I5 
(lV) 
( 1 O-2,1) -b2 = 20-Sn 
b1=10 - 6n 
15(b, - b1)=15 -t b¡-bl=l 
En {lV): 1 =4n 
(lfl) :. <1=0,25 m.'s2 
PROBLl:MA tl. 0 30 
Dos móvil¿s r\ y 8 experimentan movimientos rectilíneos. uno hacia e! erro, con rapidez constan-
te de lO m/s y 20 m/s, respecdvJmente. Si en el instante en que están separadus 275m 8 empieza· 
a frenar con una aceleración constante de módulo 1 m/s1, determine a qué d is tancia se encontra-
rán separados cuando tengan igual rapidez. 
A) 20m 
Resolución 
Gralicamos 
B) 25m C) 30m D) !S m 
1--- (t.iRUV) --i 
10 S 
lO m/~~s 
.. ' 
.E_ 8f~ 1 m/s· : B.i'== 
1-- lOO m - -r--- x---r--- ISO m---1 
1---------- 275 m ---------l 
PROBLEMA H.0 31 
E) 3S m 
Resolvemos 
27S= 2SO+x 
.. x = 25 m 
Un automóvil de 3m de tongiwd y un ómnibus se desplazan en la misma dirección por vías 
paralelas y rectilíneas con una rapidez constante de S m/s y 10 m/ s, respectivamente. Si en 
el instante mostrado el automóvil acelera a razón de 10 m/s2 con la inrención de adelanrar a! 
ómnibus, determine la longmtd del ómnibus. dado que el automóvil logra su objetivo luego de 3 s 
a parcir del instante mostrado. 
A) 12m 
:s4 
B) 
-~: '=-~ 
' 
íO m C) 
:;.,..s .. •••n•••"" 
- --Q '"":r:i 
? m 
25m O) 14m E) 10m 
Resolución 
Graficamos 
d = ¡O-d,.,, + Lb\u (I) ~utJ 
1 ' d "' 1·,r+-a!" Jt:fO 1..: :! 
1 ' 
d :5(3)-,. - (10)(3)• 3UC.> 2 
Luego 
d o: 1·~ (r)= l 0(3) = 30m bu;, '-''·h 
En (!): 60= 10+ 30+Lb11s 
.. L~>u. '"10 m 
PROBLEMA N.o 32 
l~s2 
_ SJTILs .;~ ~ ::;;;•uu~ Q' 
• 1 
' ' 
t-3 m-l-7 m~--dbu;---+-- Lbus--t 
! !L. a 
~--------------~~~=-~ 
3s 
En una pisca rectilínea se desplazan dos automóviles y pasan por una estación con igual rapidez, 
v= 10 m/s, y con un intervalo de tiempo de 4 s . En el instante en que pasa el segundo automóvil 
frente .1 la esHción, empiezan a acelerar con 2 m/s2 y 4 m/s2, respectivamente. 
Decermine, luego de cuántos segundos, desde que acelera, este logra alcanzar al primero. 
A) M S 
Resolución 
Graficamos 
B) 2../lo s C) 2Js S D) 4Js s E) SJS s 
ss l 
lumbreras Editores 
Del gráfico 
d1 - d1==40m (f) 
Como 
d 1 ' ,=v .... ,,c- - n,r· -> 
- ~~ - 2 -
Además 
d1 == 10r+r2 
PROBL2MA H.0 33 
Resramos 
cr~-d¡ =r 
En (l) 
. . t =2 JI0s 
U~-conductor se desplaza por una autopista recta con una rapidez constante de 25 m/s y un ca. 
mton sale para adelantarlo lOS m. ¿cuál es la aceleración mínima constante que puede asegurar 
la parada del vehículo para no cho.:ar con el camión, si consid::nmos que el conduccor tiene un 
riempo de reacción de 0,2 s? 
R12solución 
Graficamos 
25 , 
D) -m/s-
8 
(MRU) (MRUV) 
~dR----~-------- 105-dR --------~ 
Para el MRU 
dR=vrR 
Entonces 
dR.=25(0,2) 
d¡¡=S m 
Luego de S m pisa el freno. 
Para el MRUV 
v¡ = v6 -2ad 
168 
Entonces 
O== (25) 2 -2 (a)(105- 5) 
25 , 
.. a =-m!s-
8 
?S , Con una aceleración menor que :::_ m !s- el 
8 
auto tmpactaJ·ía con el camión. 
..: pROBLEMA N.o 3 4 
Un eren de ó~ m de longitud ~e ~ncuenrra en reposo~ _cier<a d1srancia de un túnel recrilí_neo de 
101 01 de largo¿ 1n1cia su m~vuntemo con u~a acelerac1on cOJ:sra~re. ~~la paree ~el~ncera ael tren 
. esa con u:ll rap1de: de o m/ s y la posrenor con 10 m/ s, 'que rap1de: (endra dtcho tren en el 
:;:;rranre en ~ue la mitad de es re está saliendo del túnel? 
A) !1m 
Resolución 
Graficamo:; 
B) 12 m/s C) 13 m/ s D) 8 m/s E) 10 m/s 
Comten:a J 1ngresar alrunel 
TramoAB 
6 m/:; .____101m ----1 
p j~~~ <únel 1 
A¡:- 64 m--f . 
: r-64 m-+37 m-r32 mi 
: ~---·- .. 1(}m/s·-·; ' }Mitaddeltren 
• e - ' • _ , .~( oi515§~ -=: ~~~· s~liendodel túMI 
A B : :e 
1--69m---! 
Tramo8C 
, l Vé = v¡ • 2a(d8c) 
_, V~ = 102 +2( ~ f69) 
. . vc= l3 m/s 
PROBLEMA N.0 H 
Desde dos esradones A y 8, separadas 1 H m, inician su movimiento dos automóviles con acelera-
ción constante de módulo 4 m/s2 y 2 m/s2• respecrivarneme. Si después de 4 s parte de la estación 
B un tercer automóvil. determine el módulo de la aceleración del tercer automóvil, de tal manera 
que los aes automóviles se crucen simulráneamenre. Considere que los tres automóviles se mue· 
ven en carriles paralelos. 
B) 3,5 m/s1 D) 4,5 m/s2 E) 5,5 m!s2 
67 
Lumbreras Editores 
R2solución 
Grarlcamos 
..----1-H m-----; 
A B ._ 
. 
. 
' 
• • 
• j • 
• , r 2~-~ .. 
-0= -..()- o <>-
(2) t----- - d1 - ----1 
4 rTvs2 
-! m/ s2 
ocp._o · 
{llf---------
-;;_· orx;--. o -
d, ----------------1 
t-4 
Del gráfico cenemos 
d¡-d!= 144 
Desarrollamos 
1()' 1 l 
- 4 r- - - (2)r- =dH 2 2 
-+ t=l2 S 
Además 
PROBLEMA N.0 3ó 
~ 113 
:6:Ehr _¿ ~~~ 
(3) 1--------- dJ -------¡ 
Desarrollamos 
Un automóvil se mueve con una velocidad constance de módulo 20 m/s. Si en un instame dado - a 
d metros delante de él- parte orro automóvil con una aceleración constante de 2,5 m/s2 y se mueve 
en la misma dirección, determine d para que A y B se crucen en una sola oponunidad. 
A) lOO m B) 160m C) 70m O) 50 m E) 80 m 
168 
R~solución 
Gra.ficJrnos 
Del grático 
20m '; 
(AJ --
,.:x::,.._ 
o===o· 
M , (P) 
,_ .i ---,..------ dg ____ __, 
8 S 
(MRUI 
,2~ 
:Ea· 
A f--------- d.\ ---------1 
En 8 s B alcam:a 20 mis 
d.~=d..-da (!) a8 = vg!- ~ac2 = ~( ~ }sl2 _.. ds=SO m 
En p se da el único encuentro. a pamr de ese 
momemo B ser á más rápido que A y se alejará. 
(Revise prob. 27). 
Para MP 
20=0+(2,5)c - r=S s 
PROBLEMA H.0 37 
Para el a uro A 
dA = vAc 
dA = 20(8) ~ dA=l6Qm 
De donde: 160=d+80 
:. d=BO m 
Una panícula se mueve sobre el eje x donde su posición queda defmida por 
x =( r; -{e!+ 16r + 10 )m; e en segundos. 
Con respecto a las siguientes proposiciones, indique verdadera (V) o falsa (F), segün corresponda: 
• Duranre el intervalo e
e {O; 4] la parricula se mueve hacia la derecha. 
• A partir de l > -! la partícula se mueve hacia la izquierda aumemando su rapidez. 
Durante el intervalo re [O; 4] el recorrido de la partícula es 64/3 m. 
A) VVV B) FVV C) FVF O) VFV E) FFF 
69 1 
lumbreras Ed1tores 
Resolución 
De la ecuación; 
- t] ' 
x ==--4r -'-lór-10 
3 
Derivando se riene la velocidad 
v(i) = r2 -8r - 16 = (t--i)2 (!) 
La segunda denvada es la aceleración 
a(c)=(2r-8)m/~ 
• Verdadera 
Para tE [O; 4] {Il) 
Para este Intervalo, excepw e ==4 s, la velo-
cidad es positiva. Observe la ecuación (!). 
Falsa 
En codo momento el móvil se dirige a la 
derecha 
• Verdadera 
Para t =O 
c=4s 
....... 
1, ) 
x::+lOm x=+lO m x=+ 94/3 ~--e---¡ 
Para r=4 s 
x = (4/ - 4(4)2 + 16(4) + to 
94 
XF=3m 
Luego 
94 64 
e=--10= - m 
3 3 
PROBLEMA N.0 38 
Un gusano de longitud L se desplaza con una 
rapidez v sobre una superficie horizontal en lí-
nea recra y en un determinado insrame cambia 
la dirección de su movimiento en 90°. 
170 
Determine a partir de ese insrame el riernpo 
que-rranscurre hasta que la distancia enrre SUs 
e.'\rremos seJ mínima y cuámo vale dicha dis. 
rancia. 
L L./3 
A) 
V 4 
C) L L -2-· --1' \'. 2 -
L !::..¡¡ D) - ; 
4v 2 
Resolución 
Graficamos el problema 
Para el triángulo 
d2= (L - vt)2+v2c2 
B) !_. !::_Ji 
2v' 2 -
E) !:. !::.jj 
V • 2 
L2 +2[(vd-2(vr)(i)~a r -(iJ] 
(~vo -(i }f 
_JíL 
-7 d,,.,,- 2 
rambién 
L 
vc= 2 
L 
.. (::-
21· 
PROBLEMA H.0 39 
Un auromovil se mueve en linea recra con una 
velocidad constante avanzando una distancia 
d para luego adquirir una aceleración constan-
te de módulo a, disminuyendo su velocidad 
hasta que se detiene. Determine el tiempo de 
movimiento del automóvil, si se sabe que es 
mínimo. 
A)~ 
D) 2~ 
ll B) - -2 a 
E) {d y2c; 
Resolución 
Se pide el tiempo mínimo {t) 
Tramo AB (MRU) 
d= vr1 
d 
C¡ =-
y 
Tramo BC (MRUV) 
V e,=-
- a 
De (ID y (I) en (a) 
d V 
t=-+ -
v a 
Reordenamos convenientemente 
r =((J~J +( ~J -2~+2l) 
r. =[[l-J~T + 2~] 
oun 
Por lo ramo 
'min =2Jf 
o 
(I) 
(H) 
71 1 
lumbreras Eótores 
PROBL~~A H.0 40 
En el gráfico. se d.:ne una canica A de ac.:ro ·· 
otra B de madera nn·dadas en reposo Si solta-
mos B. A Jeco.re durame el tercer segundo de 
su movimiento 5 m éEn cuánco se desmvehn 
A r 8 al cabo de 3 s de abandonar A? 
A) 9 m 
B) 12m 
C) 15m 
O) 2-!-m 
E) 27m 
Resolución 
Al soltar el sistema, la canica de acero (A) des-
ciende con la misma aceleración que la polea. 
Para un MRUV con v=O 
Entonces 
!72 
Para la polca móvil mostrada cer.emos 
[ 1 r"--G· j ¡ ~f:~ jcL+L-y) 
l !r:-'1 l ------ -
,1 1 1 L' ¡,~,, , f· 
) - --..:. l ('T - ---· d 
--------------JI _________ l 
A-
Para la cuerda que rodea las poleas 
(3L+L') =2 (L ... x) + (L+L'-y) 
Entonces 
3L+L'=3L+L'+2x - y 
y=2x 
u esfera sube una longitud y. y la polea des-
ciende x, emonces la separación es 
d=x+y"'3X 
La polea en 3 s desciende 
1 > 1 , 
x = -ac· = - (2)(3)· = 9 m 
2 2 
.. d=3(9) = 27 m 
~ Nota 
La esfera de acero está fija a la polea. por 
conSigUiente la esfera deSCiende la m•sma long¡tud 
que la polea. 
•• 
CapttUlO 
4 
) 
) 
Movim ientos de 
caída libre 
, ..... 
Alistóteles (38-+JZ.2 a. n. e.l pensaba que at soltar desde 
una m1sma altura un objeto pesado y o1ro hv1ano. el peS."l· 
do lleg<Jb,, primero a la superfiCie cleb,do a su mayor peso. 
Esta forma de pensar predom1nó por dos m1lenios hasta 
que Galileo Galilei 11564·1642) hizo un<1 afirmación mSs 
acertada: sin la resistencia del a~re todos los objetos caen 
con la misma rapidez. Ello se pudo comprobar ;ui os m.is 
tarde. cuando Otto von Guericke inventó una máquina 
capaz de orig.nar el vacío (medio sin aire). En un medio 
sm aire. al soltar una pluma y una esfera de ,Kcro desde 
una misma altura. ambas llegan a la vez a la superhcie, 
verificándose la ,1firmación ele Galileo. Este hecho permite 
establecer que los cuerpos. al ser aiectados úmcamente 
por la atracción terreslfe. experimentan la misma acele-
ración, denominada aceleración de 1,1 gravedad (g). Bajo 
esa cond1ción, este movim1ento se denomina movimiento 
de caída libre. Por ello, cada vez que soltemos Lln cuerpo 
o lo lancemos verticalmente (haCia arriba o haoa abajo) 
despreciando la resistencia del aire. el resultado final siem-
pre será un movimiento vertiCal de caída libre (MVCL), el 
cual es un caso particular del movimiento rectilíneo unifor-
memente vanado (IVIRUV); pero al lanzarlo en iorrna no 
vertical. ese cuerpo desaibirá_un movimiento parabólico 
de caída libre (MPCL). 
------- ---------
Capítulo 
~Aovimientos de caí el a libre : 
.. ...... ... ... ...... ···· ·· ······. . ... ........... · - ............ ···· ··· ··· ······· 
PROBLEMA H.0 1 
¿Qué rapide: presenta el anillo en el instante mostrado, si luego de 3 s empieza a cruzar a la esfera 
lanzada' {Desprecie la resistencia de! aire) g=lO m/ s2 
A)Sm!s 
B) 5 m/ s 
C) 2 m/ s 
D) 10 m/s 
E) -! m/ s 
R~so lución 
Nos piden la rapidez v del anillo. 
Note que la esfera a los 2 s comienza a descender. 
Separando imaginariamente a la esfera y al anillo 
V ! ~ (2) . • •• - - - .. • • •.•• .. • • •• • • . •• 
1 • v=O v=O h ~ 3 S (9 y 
' 1 S ' ' 
: : : 75 m 
1hhlo 1fll1 ; 2 S l @ ~·~ . 
insmmeen -¡3o.mi's)'r·~·¡w mlsj 
queel anillo~ d¡' , 
cruzna .. ...... ... . .. . . .. (llQ .. . .. . -- -
la esf!ra ·~w 20 m/s 
75 1 
Lumbreras Ed1tores 
Ecuación vectOrial para (1) 
- - 1 - l d1=v\Jr.,.;-gr· 
- d¡= (+20)(3) - 5(3)2 
Despejamos 
d1 =-:-i5 m 
_, rl1= 15 m 
luego 
h~d,=75 
-7 /¡=75-1 5=60m 
Para (2) (ecuación escalar) 
1 1 h = v0t+- gr· 2 
60 =v (3) + 5 (3) 2 
. . v=S m/s 
PROBLEMA N.0 2 
En el insranre en que se abandona una canica 
se lanza otra, tal como se muestra en la gráfica. 
Si cuando están separadas l./2 venicalmeme 
por segunda vez presentan la misma rapidez, 
determine el recorrido de la canica que se sol· 
ró hasta ese insrante. (Desprecie la resistencia 
que ofrece el aire). 
A) 3/8 L 
B) 2/5 L 
C) 3/ 4L 
D) 7/2L r S:1 v0=0 . 
E) 1/ 2 L L 
' 1 V 
____ ¿ 
- 1n' 
Í7S 
Resolución 
Gra1kamos el problema. separando imagina. 
namenre las camcas. 
Para (1) 
( v0 + v,) 
y = ' 2 
-> r=(f)r 
También 
v, = v{+ gr 
'o 
v'=gt 
Para (2) 
vF=v0-gc 
v'=v-gt 
v' 
-7 v=2v' 
También del gráfico 
L ( 3v ' ) y= 2.' + L--;¡ r 
De(!) 
( 2v'+v') 3v' x= -2- r = 1 r 
(1) 
' 3 L 
-7 Vt ;: -
4 
En (1) 
3 v~-L 
.. . S 
PROBLEMA N.o 3 
Un malab,nisra hace una demostración en un 
salón y lan:a pelotitas a 1,-l m del p1so, vem-
almenre IMcia arriba con intervalos de 0,5 s. ~i el máximo número de pelotitas que pueden 
estar en el aire es 3. determine la mínima altu-
ra del salón para dicha demostración. 
(g= 10 m/s1) . 
A) 2,1 m 
B) 2,05 m 
C) 2,35 m 
D) 2,65 m 
E) 3,15 m 
Resolución 
Observemos el lanzamiento 
H 
J 
vl ) '1, 3 • v ¡11.• . . . ,IJ...!., 
.. T. . , l . ) Lv 1,._). '-/ ' l. 
'f ,. ''1~'' '•u¡•' 1 v 1.4 m ·~ 1' , 
3 pelot.lS en 
el aire 
Del gráfico 
H= 1.4-h 
\' 
t, = g 
~ = (0,5)(10) 
v=S m/ s 
.-\ltura máxima 
, 
y· 
il = -
2g 
Despejamos la altura máxima 
(51: 
h=-
20 
25 fl=-
20 
/1= 1,25 m 
En (1) 
H= 1,4+ 1,25 
.. H= 2,65 m 
PROBL!'i:MA N.0 4 
(!) 
Un objeto se lanza venicalmenre hacia arriba 
desde el borde de un edificio de 240 m de alrura. 
Si luego de 5 s su rapidez se cuadruplica. ¿con 
qué rapidez impacta en la base del edifi.:io? 
(g= 10 m/s2) • 
A) 30 m/s 
B) 40 m/s 
C) 50 m/s 
D). 60 m/s 
E) 70 m/s 
771 
lumbreras Editores 
Resolución 
Nos ptden la raptde: de
tmpacco ,.,. 
Del dato 
c,-~ 8=5 s 
,,. 
_, .. ' 
,, 1 g= 10 mJs-
' t 
v, 
Ecuactón vectorial de A -+ 8 
Vs =vA +g(rr~s> 
--+ (-4~)=(~v)-10(5) 
v=IOm/s 
Tramo A 'P (ecuación escalu) 
vf"=v}'T"2g(d.-~p) 
.. v1=70 mis 
PROBLEMA N.0 5 
Se lanzan las esferas simultáneamente, como se 
muestra en el gráfico. (Luego de cuánto tiempo, 
a parur del instante señalado, las esferas esta-
rán separadas S m por segunda vez? (Desprecie 
la resistencia del aire; considere g= 10 m/s2) 
178 
:--3m--i 
- - · .... : ........... -- .... ·~ B 
l . 1 
~m 
A) 0,2 S 
D) 0,8 s 
Resolución 
jg 
r 
B) 0,4 s 
. 8 rn •s 
C) 0,6 S 
E) 1 s 
Al acercarse. la distancia entre esferas dismi- ¡ 
nuye; la segunda ve: que están separadas S m 
es cuando las esferas se alejan. 
Del gráfico 
+ Ya =8 
_____.. 
Despejando 
_j c(!O = S 
.. r-O.S::. 
PROBLEMA H. o 6 
En el graiico, el eren a panir del mstante mos-
trado intcJa ~u movimiemo reali:ando un 
MRUV con -l m/;2• Si dc:sde la parte delanrera 
lanzamos vemcalmeme hacta arriba una pelo· 
ta. detem1ine la rapidez máxima con que po· 
dría ser l.tnzada para qLte caiga sobre e l tren. 
(g=IO m/ s1) . 
A) 10 m/s 
B) 15 m/s 
C) 25 m/s 
D) -10 m/ s 
E) 45 m/s 
Resoludón 
A mayor rapidez de lanzamiento, más tiempo 
debe permanecer en el aire la esfera. Ell!mite 
de la rapidez lo da el hecho que debe caer 
en e! tren, entonces la máxima rapidez de 
lanzamiento debe ser cuando la esfera impacra 
en la pane posterior del tren. 
Pua ello el rren debe recorrer SO m en un 
uempo igual a 
1 ' d= "ve --.1: · 
2 
e=; s 
El uempo de subida de la esfera es 
Entonces la rapidez máxima de lanzanuenro es 
o 
vF = vo- gciub 
_, Ynux(l>n:) =grsub 
v.,, ... (l.ln: .) = (lO) (2,5) 
.. Ym.i.;.(b=} =25 m/s 
PROBLEMA H.0 7 
Del borde de un pozo de !25 m de profun-
didad, un niño suelta piedras a razón de una 
piedra por segundo. En el instante en que 
suelta la primera piedra, una persona ubicada 
en el fondo del pozo lanu venicaJmence hacia 
arriba un obJem con una rapide: de 50 m/s 
Determine el número de piedras que solro el 
niño hasta el instante en que el objeto se cruza 
con la segunda piedra. (g= lO m/s2) 
A) 2 
D) 5 
B) 3 C)4 
E) 6 
79 
lumbreras Ed1rores 
Resolución 
Esrud1amos el encuenrro emre el objeto \ la 
segunda piedra. Hay gue tener en cuema que 
el ObJeto le lleva de venraja 1 s a la segunda 
piedra. 
hp+h0 = 125 
_, I g(r - 1)2 +[SOr-± gr1] = 125 
S(r-1) 2+50r- Sc1= 125 
Resolvemos t=3 s 
Para el joven que suelta las piedras han pasado 
también 3 s 
U 4.l 
1 S C~) 
3.• u 
1 s(." 0 soleó 4 piedras 
V 2.~ 
1 s(,.. 
l.. t-1 
PROBLEMA H.0 8 
Una copa de vidrio es soltada desde cierra altu-
ra respecto del piso y luego de 4,25 s se escu-
cha el sonido del impacto. (Con qué rapidez se 
!80 
debe lan: ar. verticalmeme haci<1 aba¡o ia coPa 
pau que el riemFO en que se es.:ucha el sonido 
sea 1 segundos menos' 
(Considere .!í = IJ m 51, ~ 1= 310 m/5) 
A) 10 m/ s B) 18 mls C) 21 m/s 
D) 1-! m's 
Resolución 
En el pnmer caso 
Por condición 
r+r'=4,25 s 
H = v,c· =320r' = 2.gc2 =5c2 
2 
En (1) 
? ¡ -
t+- = 4 25 
6 ' • .,. 
-4 r=4 s 
E 30 m's 
(1) 
Observamos que t' no se modifica, solo cambia t 
Luego 
Entonces 
;,:~undo aso 
H=5r== \'(!-2) - S(r-2)~ 
sc-n2=d2) +5(2)1 
v:=30 m s 
pROBLEMA H.o 9 
Una c>íer,l fue sol rada desde cierra altura y en 
el sépcimo segundo de su caída recorre 11:3 de 
su recorrido rora!. iQué rapidez presenta en el 
insranre que golpea el piso? (g= 10 m/sl) 
A) 100 m/s B) 110 mis C) 130 m/ s 
D} 150 m/s E) 160 mis 
Resolución 
Graficamos el problema 
v=O 
..... 
:· ,(Ó:.y· .... ·,, -
¡_o{~---------~~ 3 H 
"=:· .......... 1 ... . !.. 1 
A 
vFj ~--· ············· ··-· · ···- - -
Del gráfico 
hli,l - /;&,! 
----.~ ______. 
H 
13 
!gl711 .!.g(611 
l l 
4 5(7>1 - 5(6)1 =!:!. 
13 
H=845 m 
Luego 
o 
vi= v5 ..-2gH 
.. v_r= 130 mis 
PROBLEMA N.0 1 O 
Un cohete despega desde la superficie :errestre 
.:on una aceleración constante de lO m/s2 
Después de 10 s se agota el combustible y 
el cohere se sigue elevando en caída libre. 
Determine el tiempo que transcurre desde que 
se acaba el combustible hasta que impacta en 
la superficie. (g= 10 m/s2) 
A) 12,4 s 
D) 20s 
Resolución 
Graneamos 
B} 10 s C) 16,2 s 
E) 24,1 s 
e·} 
. . 
: . 
. V~>~r=O l¡ \ . l ~~ g •\ 
l \ -.\ 
100 m/sl :\s 1-; 
/.: 
-~~~ 
lOs ( ¡ 
Bll 
Lumbreras Edrtores 
En 8 se acaba el combustible. 
Nos piden t 1 .,-r~=? 
DeAB (MRUV) 
va=v .. , +t~8 _, v8 = 1 0(10) 
v8 = 100 m/s 
HaUamos la distancia de .4 hacia B 
d ( V~ + Vg) ~B = - ·-2- t.~B 
_,. dAa=(0+;oo }lol 
d.4 8 =SOO m 
Tramo de BC (MVCL) 
Yc =v8 - gt ¡ -4 0=(100) - lOr¡ 
1¡ = 10 S 
Hallamos la distancia de 8 hacia C 
d8c =CO~+O )o o> -4 d8c=SOO m 
Tramo de CA' 
o 1 l ' de.-~· = v,c, +-gt; -4 lOOO= St-
~~-~ -2-
d_.¡s+dsc 
t2 = 14,14 S 
Luego 
c'=t¡ +tl 
t'=(10)+(14,14) 
.. t'=24,14 S 
PROBLEMA N.0 11 
Una piedra fue lanzada vercicalmeme hacia 
arriba, luego de cieno tiempo pasa frente a 
una vencana de 2 m de altura que se encuenrra 
a 4 m de la trayectoria de la piedra. 
~ 82 
Si una persona al ouo lado en el cemro de la 
ven~ na (a l m de discanda) ve a la piedra du. 
rame l s. ¿que tiempo transcurre has ca que ¡~ 
persona vuelve a ver la piedra? (g= lO m/ s2). 
A) 0,5 S 
D) 2 s 
Resolución 
B) 1 s 
Graficamos el problema 
C) 1,5 s 
E) 3 s 
De A a B la piedra pierde lO m/s 
~ v8 = (v-10) 
Para que vuelva a ver la piedra debe transcurrir 
t ro< al= 2 e' (1) 
, (v- 10) (v-lO) 
1\ t =--=-- (!!) g 10 
TraJTlO d.: A B 
l' \ '1"1'¡:: ) d = ~ r,s A8 1 
V'"' !5 lll 5 
(
15-10) -En(ll):r'= lO =O,:> s 
En(!) 
twul= 2(0.5) 
.. e tot.,r= 1 $ 
PROBLEMA H. o 12 
En un planeta se lanza verticalmente hacia 
arriba un:~ piedra, de cal manera que en el ter-
cer y cuMtO segundo recorre 21 m y 1 S m, res-
pectiv.lmenre. éCon qué rapidez fue lanzado? 
A) 12 m/s B) 18 m/s C) 20 m/s 
D) 28 m/s E) 36 m/s 
R~solución 
De la información se deduce que en cada segun-
do recorre 6 m menos, por consiguiente, la ace· 
leración de gravedad del planeta es g_,=6 m/s2• 
(.~- -r·--4,) , 15m 
. 
5 (~--t ............ T 
3.er S : 21 m 1 
1 
,~ .. 1 .. 1 ..... 1 o ~~/ 1(3 $) 
' o\ ''1~1'' h (l s) l 
i?-.... 1 ........ .. 
'l¡i' 
/1(3 s) -/1(2 s) = 21 
Entonces 
Reemplazando valores, cenemO$ 
v0 (3) - 3 (3)2 - •;0 (2) ... 3 (2) ~ = 21 
.. :•0=36 m/s 
PROBLEMA H.0 13 
Se tiene un tubo en posición vercical que va a 
ser soltado desde cierta altura, y en ese mis-
mo instante una pequeña esfera es lanzada tal 
como se muestra. Si luego de 0,6 s del lanz.l· 
miento este logra atravesar completamente el 
rubo. determine la longitud del rubo. La esfe· 
ra permanece dentro del rubo duranre O, l s. 
(g= 10 m/s2) 
v=O 
A) 1,6 m 
B) 0,4 m 
C) 0,5 m 
D) 0,8 m 
E) 1m 
83 ) 
lumbreras [d,tores 
Resolución 
Graficamos el problema 
Del gráfico 
L=d1+d1 
Para la esfera 
También 
10 m/s .b. 
''IW' 
-+ 4=v' -{lO)(O.I) 
.. v'=S m/ s 
En (11) 
d2 =(5 ; 4 }o.1) 
184 
{l) 
(11) 
Para el tubo 
d, =(v12-r6 )o.1) 
También 
6= v2~ 10(0.1) -+ v1=5 m/s 
Hallamos la distancia 
d. =(5+6X_!_J 1 2 10 
-+ d1=0,55 m 
En (I) 
L= (0,55) +(0,45) 
.. L=1 m 
A dos .:ar tea; se les. abando~ a stmu!tá.nea-
nte sobre las hoqutllas de oos tubos ll,;os. 
me 1 ·- E . 
131 
como ;e muestra en e graneo. ' n que 
lacion e>tJn los nempos que emplean las 
;:nic:Js en re.:orrer la lon:;itud de los tubos' 
(.-tB: éljme•¡·o) 
8 
A) 0.5 B) 
O) 2 
Resolución 
Graficamos el problema