Algebra de Vectores - Parte II

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Cálculo Vectorial: Álgebra de Vectores Dr. Ángel F. Palacios L. ICE-ESIME -Z - IPN 
Operaciones Entre Vectores 
 
Adición de vectores: Si �⃗� y 𝑣 son vectores colocados de modo que el punto inicial de 𝑣 
esté en el punto terminal de �⃗� entonces la adición ó suma de �⃗� + 𝑣 es el vector del punto 
inicial de �⃗� al punto terminal 𝑣 . 
Multiplicación por escalar: Si “c” es un escalar y 𝑣 es un vector, “el múltiplo escalar”, 𝑐𝑣 , 
es el vector cuya longitud es |𝑐| multiplicado por la longitud de 𝑣 y cuya dirección es la 
misma que 𝑣 si 𝑐 > 0, y es opuesta si 𝑐 < 0. Si 𝑐 = 0 ó 𝑣 = 0 ⟹ 𝑐𝑣 = 0 
Sustracción de vectores: 𝐴 − �⃗� = 𝐴 + (−1)�⃗� = 𝐴 + (−�⃗� ) 
Paralelismo: 2 vectores 𝐴 y �⃗� son paralelos ⟺ ∃ un numero “t” tal que si: 𝐴 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 
y �⃗� = 〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉 ⟹ 𝐴 = 𝑡 ∙ �⃗� ⟹ 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 = 𝑡〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉 
𝑎1 = 𝑡𝑏1
𝑎2 = 𝑡𝑏2
𝑎3 = 𝑡𝑏3
 
 
 
Producto Escalar O Producto Punto Entre 2 Vectores 
 
Otra operación útil entre vectores es el llamado “Producto Escalar” o “Producto Punto”. 
Aunque es una operación entre vectores, el resultado es una cantidad escalar: 
�⃗� ∙ �⃗� = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 = ‖�⃗� ‖‖�⃗� ‖ cos 𝜃 
El numero �⃗� ∙ �⃗� se llama producto escalar de �⃗� y �⃗� , donde 𝜃 es el angulo entre los vectores 
�⃗� y �⃗� . 
En ocasiones, es útil despejar de la ecuación anterior para poder determinar el ángulo entre 
2 vectores (siempre y cuando se conozca el producto escalar entre ellos): 
cos 𝜃 =
𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2
‖�⃗� ‖‖�⃗� ‖
 
 
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Ejemplo 4. 
Sean los puntos 𝑃1(2, −3,2), 𝑄(−3,2,4) y 𝑅(−1,1 − 0) los vértices de un triángulo. Calcule 
la longitud de los lados de dicho triangulo y sus ángulos interiores. 
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 〈−5,5,2〉 , 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 〈−3,4, −2〉 , 𝑅𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 〈−2,1,4〉 
‖𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √54 , ‖𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √29 , ‖𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √21 
cos 𝜃1 =
31
√54√29
=
31
√1566
= 0.7833679 
𝜃1 = 38.430013º 
cos 𝜃2 =
𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑅𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
‖𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗‖‖𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗‖
=
〈3,−4,2〉 ∙ 〈−2,1,4〉
√29√2
=
−2
√609
= −0.081044 
𝜃2 = 94.648583º 
cos 𝜃3 =
𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑄𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
‖𝑄𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖‖𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗‖
=
〈−5,5,2〉 ∙ 〈−2,1,4〉
√54√21
=
23
√1134
= −0.6830009º 
𝜃3 = 46.921405º 
 
 
Propiedades Del Producto Escalar O Producto Punto 
 
1. Conmutatividad. 𝐴 ∙ �⃗� = �⃗� ∙ 𝐴 
2. Distributividad. (𝐴 + �⃗� ) ∙ 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐶 + �⃗� ∙ 𝐶 
3. 𝐴 ∙ 𝐴 = ‖𝐴 ‖
2
≥ 0 
4. 𝜆(𝐴 ∙ �⃗� ) = 𝜆𝐴 ∙ �⃗� = 𝐴 ∙ 𝜆�⃗� , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝜆 ∈ 𝑹 
5. 𝐴 ∙ 0⃗ = 0 
6. Si 𝐴 ∙ �⃗� > 0, entonces el ángulo θ formado entre ambos vectores es agudo 
7. Si 𝐴 ∙ �⃗� < 0, entonces el ángulo θ formado entre ambos vectores es obtuso 
8. Si 𝐴 ∙ �⃗� = 0, entonces el ángulo θ formado entre ambos vectores es recto y, por lo 
tanto, los vectores 𝐴 y �⃗� son ortogonales entre sí. 
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Proyecciones Y Componentes Ortogonales De Un Vector Sobre Otro 
 
Un concepto útil en el cálculo vectorial es el de “la componente de un vector sobre otro”. 
Este concepto es análogo al de la componente de un vector sobre uno de los ejes coordenados, 
sólo que la componente se calcula sobre un vector cualquiera y no sobre uno de los ejes 
coordenados. 
Así, por ejemplo, “la componente del vector 𝐴 sobre el vector �⃗� ”, denotada por 𝐶𝑜𝑚𝑝�⃗� 𝐴 , 
es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
De la figura, el cos 𝜃 es: 
cos 𝜃 =
𝐶𝑜𝑚𝑝�⃗� 𝐴 
‖𝐴 ‖
 
Despejando, 
𝐶𝑜𝑚𝑝�⃗� 𝐴 = ‖𝐴 ‖ cos 𝜃 
 
Y, utilizando la definición del producto punto o escalar entre 2 vectores, 
𝐶𝑜𝑚𝑝�⃗� 𝐴 =
‖𝐴 ‖‖�⃗� ‖ cos 𝜃
‖�⃗� ‖
=
𝐴 ∙ �⃗� 
‖�⃗� ‖
 
Nótese que es una cantidad escalar, puesto que el resultado de 𝐴 ∙ �⃗� es un escalar y ‖�⃗� ‖ 
también es un escalar. 
 
𝑪𝒐𝒎𝒑�⃗⃗� �⃗⃗�
 
𝐴 
�⃗� 
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Por otro lado, en ocasiones se requiere 𝐶𝑜𝑚𝑝�⃗� 𝐴 , pero manteniendo la información sobre la 
dirección del vector �⃗� . En ese caso, es necesario transformar 𝐶𝑜𝑚𝑝�⃗� 𝐴 (recuérdese que es un 
escalar) en un vector, con la misma dirección de �⃗� . Así, se habla de “la proyección ortogonal 
del vector 𝐴 en la dirección del vector �⃗� ”, denotada por 𝑃𝑟𝑜𝑦�⃗� 𝐴 y está dada por: 
 
𝑃𝑟𝑜𝑦�⃗� 𝐴 =
𝐴 ∙ �⃗� 
‖�⃗� ‖
(
�⃗� 
‖�⃗� ‖
) = (𝐶𝑜𝑚𝑝�⃗� 𝐴 ) (
�⃗� 
‖�⃗� ‖
) 
 
Al multiplicar el escalar 𝐶𝑜𝑚𝑝�⃗� 𝐴 por 
�⃗� 
‖�⃗� ‖
, que es un vector, el resultado es una cantidad 
vectorial. 
 
 
Producto Vectorial O Producto Cruz Entre 2 Vectores 
 
El “producto vectorial” o “producto cruz” entre los vectores 𝐴 y �⃗� , es un vector perpendicular 
al plano que forman ambos vectores y se representa por: 𝐴 × �⃗� . Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemáticamente, el “producto vectorial” o “producto cruz” entre los vectores 𝐴 =
〈𝑥1, 𝑦1, 𝑧1〉 y �⃗� = 〈𝑥2, 𝑦2, 𝑧2〉 se define como: 
 
�⃗⃗� × �⃗⃗� 
𝐴 
�⃗� 
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𝐴 × �⃗� = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
| = 𝑖̂(𝑦1𝑧2 − 𝑦2𝑧1) − 𝑗̂(𝑥1𝑧2 − 𝑥2𝑧1) + �̂�(𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1) 
 
Obsérvese que 𝐴 × �⃗� es una cantidad vectorial, cuya magnitud está dada por: 
 
‖𝐴 × �⃗� ‖ = ‖𝐴 ‖‖�⃗� ‖ sin 𝜃 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜃 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑦 �⃗� 
 
Geométricamente, ‖𝐴 × �⃗� ‖ es el área del paralelogramo formado con los vectores 𝐴 y �⃗� , 
mientras que 
1
2
‖𝐴 × �⃗� ‖ es el área del triángulo que se observa en la figura que sigue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�⃗⃗� × �⃗⃗� 
𝐴 
�⃗� 
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Propiedades Del Producto Vectorial 
 
a) 𝐴 × 0⃗ = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
0 0 0
| = 0⃗ = 〈0,0,0〉 
 
Nota: un renglón de ceros, el determinante vale 0⃗ = 〈0,0,0〉 
 
b) �⃗� × 𝐴 = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥1 𝑦1 𝑧1
| = −(𝐴 × �⃗� ) 
 
Nota: intercambio de renglones, el determinante cambia de signo 
 
c) 𝐴 × 𝐴 = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥1 𝑦1 𝑧1
| = 0⃗ = 〈0,0,0〉 
 
Nota: Dos renglones iguales, el determinante vale 0⃗ = 〈0,0,0〉 
 
 
d) (𝐴 + �⃗� ) × 𝐶 = 𝐴 × 𝐶 + �⃗� × 𝐶 
 
 (𝐴 + �⃗� ) × 𝐶 = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑧1 + 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| = |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| + |
𝑖̂ 𝑗̂ �̂�
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| 
 
 
e) 𝐴 × (𝑘�⃗� ) = (𝑘𝐴 ) × �⃗� = 𝑘(𝐴 × �⃗� ) 
 
f) 𝐴 ∙ (𝐴 × �⃗� ) = 0, esto es (𝐴⃗⃗⃗⃗ × 𝐵)⃗⃗⃗⃗ y 𝐴 son ortogonales 
 
g) �⃗� ∙ (𝐴 × �⃗� ) = 0, esto es (𝐴⃗⃗⃗⃗ × 𝐵)⃗⃗⃗⃗ y �⃗� son ortogonales 
 
h) 𝐴 × �⃗� = 0⃗ = 〈0,0,0〉 si y sólo si 𝐴 = 0 o �⃗� = 0 
 
i) Si 𝐴 ≠ 0 y �⃗� ≠ 0, pero 𝐴 × �⃗� = 0⃗ = 〈0,0,0〉, entonces 𝐴 = 0 y �⃗� = 0 son paralelos 
 
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j) 𝐴 ∙ (�⃗� × 𝐶 ) = |
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| A este producto punto se le conoce como “Tiple 
Producto Escalar” y |𝐴 ∙ (�⃗� × 𝐶 )| es el volumen del paralelepípedo formado en la 
figura que sigue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De la definición de la componente de un vector sobre otro: 
𝐶𝑜𝑚𝑝�⃗⃗� × �⃗⃗� 𝐴
 =
𝐴 ∙ (�⃗� × 𝐶 )
‖�⃗� × 𝐶 ‖
= 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = ℎ 
Pero: 
‖�⃗� × 𝐶 ‖ = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 
Entonces: 
(ℎ)(𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜) = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 = (
𝐴 ∙ (�⃗� × 𝐶 )
‖�⃗� × 𝐶 ‖
) (‖�⃗� × 𝐶 ‖) = 𝐴 ∙ (�⃗� × 𝐶 ) 
Por lo tanto, el valor absoluto del triple producto escalar proporciona el volumen del 
paralelepípedo formado, esto es: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜 =|𝐴 ∙ (�⃗� × 𝐶 )| 
 
k) Si 𝐴 ∙ (�⃗� × 𝐶 ) = 0, entonces los vectores 𝐴 , �⃗� y 𝐶 son coplanares. 
 
�⃗⃗� × �⃗⃗� 
𝐶𝑜𝑚𝑝�⃗⃗� × �⃗⃗� 𝐴
 = ℎ 
�⃗⃗� 
�⃗⃗� 
�⃗⃗�