Algebra de Vectores - Parte I

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Cálculo Vectorial: Álgebra de Vectores Dr. Ángel F. Palacios L. ICE-ESIME -Z - IPN 
Algebra de Vectores 
 
En Ingeniería y Ciencias, existen 2 tipos de cantidades para la descripción de algún 
fenómeno: las cantidades escalares (que quedan definidas únicamente mediante su magnitud) 
y las cantidades vectoriales (que para estar definidas requieren, además de su magnitud, 
dirección y sentido). En Ingeniería, al hablar de una “cantidad” está implícito que también se 
requiere de unidades para expresarlas. Así, se podría agregar que tanto para las cantidades 
escalares como para las vectoriales también es necesario expresar sus unidades. 
Una representación gráfica muy útil para trabajar con cantidades vectoriales es el vector. Un 
vector es un segmento de recta dirigido. El tamaño del segmento representa la magnitud de 
la cantidad vectorial representada, mientras que su dirección (y sentido) se representan 
mediante una punta de flecha. Para diferenciar entre “dirección” y “sentido”, por ejemplo, se 
podría hablar de un móvil desplazándose en dirección Norte-Sur, en sentido hacia el Sur. 
En general, existen dos tipos de vectores: los vectores de posición (cuyo punto de aplicación 
está situado en el origen de un sistema de referencia) y los vectores de desplazamiento, cuyo 
punto de aplicación está localizado en cualquier punto diferente del origen del sistema de 
referencia. 
Analíticamente, un vector es un m-ada (pareja, tríada, tetra-ada, penta-ada, etc.) ordenada de 
números reales. 
En 2 dimensiones, si 𝑃(𝑥, 𝑦) es un punto (pareja ordenada) en el plano cartesiano, entonces 
�⃗� es el vector de posición de 𝑃 y se puede escribir: 
�⃗⃗� = 〈𝒙, 𝒚〉 = 𝒙�̂� + 𝒚𝒋 
En 3 dimensiones, si 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) es un punto (tríada ordenada) en el espacio cartesiano, 
entonces �⃗� es el vector de posición de 𝑃 y puede escribirse: 
�⃗⃗� = 〈𝒙, 𝒚, 𝒛〉 = 𝒙�̂� + 𝒚𝒋̂ + 𝒛�̂� 
La magnitud del vector �⃗� en dos dimensiones se representa por ‖�⃗� ‖ y se define como: 
‖�⃗� ‖ = √𝑥2 + 𝑦2 
La magnitud de un vector �⃗� en tres dimensiones se representa por ‖�⃗� ‖ y se define como: 
‖�⃗� ‖ = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
 
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En el cálculo anterior de ‖�⃗� ‖ está implícito que �⃗� es un vector de posición, es decir, su punto 
de aplicación es el origen del sistema coordenado. Si se desea encontrar la magnitud de un 
vector de desplazamiento, por ejemplo, el de un móvil desplazándose del punto 𝑃(𝑥1, 𝑦1) al 
punto 𝑄(𝑥2, 𝑦2) puede recurrirse a la geometría analítica y utilizar la expresión ya conocida 
para determinar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano: 
 
Distancia Entre 2 Puntos En El Plano Cartesiano 
 
La distancia entre los puntos 𝑃(𝑥1, 𝑦1) y 𝑄(𝑥2, 𝑦2) es la magnitud del vector 
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �̂� − �̂� = 〈𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1〉 
Es decir: ‖𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 
 
 
Distancia Entre 2 Puntos En El Espacio Cartesiano 
 
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗� − �⃗� = 〈𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1〉 
La distancia entre 𝑃 y 𝑄 es: ‖𝑃𝑄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2 
 
 
Otra forma de calcular la distancia es mediante la: 
 
Ley De Los Cosenos 
 
‖𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √‖�⃗� ‖
2
+ ‖�⃗� ‖
2
− 2‖�⃗� ‖‖�⃗� ‖ cos 𝜃 
 
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Ángulos directores del vector �⃗⃗� 
 
Por lo que respecta a la dirección de un vector, es necesario saber cómo determinarla. En el 
plano cartesiano (2 dimensiones) la dirección de un vector �⃗� está dada por la pendiente del 
segmento de recta dirigido. A través de dicha pendiente, se puede determinar el ángulo de 
inclinación del vector y, por lo tanto, su dirección. 
En el caso de un vector �⃗� localizado en el espacio cartesiano (3 dimensiones) se requiere 
conocer los “ángulos directores” de dicho vector . Los ángulos directores son los que se 
forman entre el vector de interés y cada uno de los 3 ejes coordenados: 
Ángulo director "𝛼", formado entre la parte positiva del eje 𝑋 y �⃗� 
Ángulo director "𝛽", formado entre la parte positiva del eje 𝑌 y �⃗� 
Ángulo director "𝛾", formado entre la parte positiva del eje 𝑍 y �⃗� 
 
Los valores de cada uno de estos ángulos varían entre 0 y 𝜋, esto es: 0 ≤ 𝛼, 𝛽, 𝛾 ≤ 𝜋 
Así, los ángulos directores 𝛼, 𝛽, 𝛾 definen la dirección y el sentido del vector �⃗� . 
Los cosenos de los ángulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 se llaman “cosenos directores” del vector �⃗� y permiten 
conocer cada uno de los ángulos directores si se conocen las coordenadas del punto 
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧), es decir, las componentes del vector �⃗� = 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉. Nótese la diferencia entre la 
notación para un punto 𝑃 y la utilizada para el vector �⃗� . Además, mientras que para un punto 
𝑃 se habla de coordenadas, para un vector �⃗� se habla de componentes. 
Los cosenos directores se determinan mediante: 
 
cos 𝛼 =
𝑥
‖�⃗� ‖
 → 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1
𝑥
‖�⃗� ‖
 
cos 𝛽 =
𝑦
‖�⃗� ‖
 → 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1
𝑦
‖�⃗� ‖
 
cos 𝛾 =
𝑧
‖�⃗� ‖
 → 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1
𝑧
‖�⃗� ‖
 
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El Vector Unitario �⃗⃗� 
En muchas aplicaciones es necesario conocer la dirección de un vector �⃗� y sin que afecte 
para dicha aplicación la magnitud del vector. Para ello se requiere encontrar un vector 
unitario, es decir, un vector de magnitud “1” y que conserve la dirección del vector de interés. 
El vector �⃗� = (cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾) = (
𝑥
‖�⃗� ‖
,
𝑦
‖�⃗� ‖
,
𝑧
‖�⃗� ‖
) =
1
‖�⃗� ‖
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
�⃗� 
‖�⃗� ‖
 es unitario y 
tiene la misma dirección y sentido al de �⃗� . 
 
Ejemplo 1. 
Calcule la magnitud, la dirección y el sentido de los vectores 
𝐴 = 〈−2,4,4〉 ; �⃗� = 〈
−2
‖𝐴 ‖
,
4
‖𝐴 ‖
,
4
‖𝐴 ‖
〉 
La magnitud de 𝐴 . 
A partir de: ‖�⃗� ‖ = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
Tenemos para el vector 𝐴 : ‖𝐴 ‖ = √4 + 16 + 16 
‖�⃗⃗� ‖ = 𝟔 
�⃗� = 〈−
2
6
,
4
6
,
4
6
〉 
‖�⃗� ‖ = √
1
9
+
4
9
+
4
9
= 1 
Dirección y sentido de 𝐴 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑥
‖𝐴 ‖
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (−
2
6
) 
𝛼 = 109º28º16.3 
𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑦
‖𝐴 ‖
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (
4
6
) 
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𝛽 = 48º11º22.87 
𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑧
‖𝐴 ‖
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (
4
6
) 
𝛾 = 48º11º22.87 
Dirección y sentido de �⃗� 
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑥
‖�⃗⃗� ‖
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (−
1
3
) 
𝛼 = 109º28º16.3 
𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑦
‖�⃗⃗� ‖
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (
4
6
) 
𝛽 = 48º11º22.87 
𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 (
𝑧
‖�⃗⃗� ‖
) = 𝑐𝑜𝑠−1 (
4
6
) 
𝛾 = 48º11º22.87 
 
Nótese que la magnitud del vector �⃗� es 1, puesto que es unitario y que su dirección es la 
misma que la del vector del cual proviene, es decir, del vector 𝐴 . 
Entonces, puede decirse que: �⃗� = 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 y �⃗� = (
𝑥
‖�⃗� ‖
,
𝑦
‖�⃗� ‖
,
𝑧
‖�⃗� ‖
) tienen la misma dirección 
y sentido. 
Por otro lado, los cosenos directores de �⃗� = 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂̂ + 𝑧�̂� 
cos 𝛼 =
𝑥
‖�⃗� ‖
 cos 𝛽 =
𝑦
‖�⃗� ‖
 cos 𝛾 =
𝑧
‖�⃗� ‖
 
Son tales que cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾 =
𝑥2
‖�⃗� ‖
2 +
𝑦2
‖�⃗� ‖
2 +
𝑧2
‖�⃗� ‖
2 =
𝑥2+𝑦2+𝑧2
‖�⃗� ‖
2 =
‖�⃗� ‖
2
‖�⃗� ‖
2 = 1 
Por tanto, los ángulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 están relacionados por 
cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾 = 1 
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Ejemplo 2. 
Sea 𝐴 un vector en ℝ3 tal que ‖𝐴 ‖ = 5, 𝛼 = 60º 𝛽 = 45º. Determine el vector 𝐴 . 
cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾 = 0.25 + 0.5 + cos2 𝛾 = 0.75 + cos2 𝛾 = 1 
cos2 𝛾 = 0.25 → cos 𝛾 = ±√2.5 = ±0.5 
𝛾 = 60º 
cos 𝛼 =
𝑥
‖𝐴 ‖
 cos 𝛽 =
𝑦
‖𝐴 ‖
 cos 𝛾 =
𝑧
‖𝐴 ‖
 
cos 60º =
𝑥
5
 cos 45º =
𝑦
5
 cos 60º =
𝑧
5
 
5 cos 60º= 𝑥 5 cos 45º = 𝑦 5 cos 60º = 𝑧 
𝑥 = 2.5 𝑦 = 3.5355 𝑧 = 2.5
∴ 𝐴 = 〈2.5,3.5355,2.5〉
 
Puede comprobarse la magnitud de 𝐴 utilizando este resultado: ‖𝐴 ‖
2
= 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 5 
 
Ejemplo 3. 
Sea 𝐴 un vector cuyos ángulos directores son iguales y la primera componente 𝑥 =
1
3√3
. 
Determine el vector 𝐴 . 
𝛼 = 𝛽 = 𝛾 
cos2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos2 𝛾 = 1 
3 cos2 𝛼 = 1 → cos2 𝛼 =
1
3
 → 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ±
1
√3
 → 
𝛼1 = 60.8173º
𝛼2 = 139.1826º
 
cos 𝛼 =
𝑥
‖𝐴 ‖
 cos 𝛽 =
𝑦
‖𝐴 ‖
 cos 𝛾 =
𝑧
‖𝐴 ‖
 
+
1
√3
=
1
3√3
‖𝐴 ‖
 ← 𝑥 =
1
3√3
 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 
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1
√3
=
1
3√3‖𝐴 ‖
 → 3‖𝐴 ‖ = 1 
‖𝐴 ‖ =
1
3
 
𝑦 = ‖𝐴 ‖ cos 𝛽 , 𝑧 = ‖𝐴 ‖ cos 𝛾 
𝑦 =
1
3√3
= 0.19245 
𝑧 =
1
3√3
= 0.19245 
∴ 𝐴 = 〈
1
3√3
,
1
3√3
,
1
3√3
〉