Unidad I-Exp algebraicas-Ecuaciones

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MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMATICA 
 
Unidad I 
CICLO DE FORMACIÓN GENERAL 
Matemática 
 
 
 
Licenciatura en Entrenamiento Digital y Videojuegos 
 
Docentes: 
◻ Ariaudo, María Laura 
 
◻ Vranken, Maximiliano 
CICLO DE FORMACIÓN GENERAL 
Matemática 
 
 
 
1. LENGUAJE SIMBÓLICO 
 
 
 
Diofanto de Alejandría 
(c. s. III) Matemático griego. Sus escritos contribuyeron de forma notable al 
perfeccionamiento de la notación algebraica y al desarrollo de los conocimientos 
del álgebra de su época. Mediante artificios de cálculo supo dar soluciones 
particulares a numerosos problemas, y estableció las bases para un posterior 
desarrollo de importantes cuestiones matemáticas. Por su originalidad 
y sus aportaciones, Diofanto fue llamado por los historiadores el padre de los algebristas modernos. 
“Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta 
con traducir dicho problema, del idioma oral al idioma algebraico”, escribió el gran Newton en 
su manual de álgebra. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción. He 
aquí uno de ellos: …La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable 
matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria 
que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. 
 
 
En lenguaje coloquial En el idioma del álgebra 
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los 
números pueden mostrar, ¡Oh milagro!, cuán larga fue su vida, 
x 
Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. x/6 
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, 
cuando de vello cubrió su barbilla 
x/12 
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio 
estéril. 
x/7 
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso 
primogénito, 
5 
Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan 
solo la mitad de la de su padre 
x/2 
Y con profunda pena bajó a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro 
años al deceso de su hijo 
x/2+4 
Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte. 
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REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS 
 
 
 
Reproducimos esta inscripción: 
Solución 
𝑥 = 
𝑥 
+ 
𝑥 
+ 
𝑥 
+ 5 + 
𝑥 
+ 4 
6 12 7 2 
𝑥 = (
1 
+ 
1 
+ 
1 
+ 
1
) 𝑥 + 9 
6 12 7 2 
𝑥 = 
75 
𝑥 + 9 
84 
 
𝑥 − 
75 
𝑥 = 9 
84 
 
9 𝑥 = 9 
84 
𝑥 = 9∶ 
9
 
84 
𝑥 = 84 
 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
Desde sus remotos orígenes arraigados no solo en Grecia, sino también en Egipto, Arabia y la India 
veinte siglos antes de nuestra era, el álgebra ha sido considerada un método de expresión mediante 
fórmulas que permiten simplificar los cálculos numéricos. 
A través del tiempo, hemos aprendido a convertir las frases del lenguaje coloquial, al lenguaje 
algebraico, dando origen a las expresiones algebraicas. 
Una expresión algebraica es la representación de una o varias operaciones o relaciones 
matemáticas de números y letras. Se pueden clasificar de la siguiente manera: 
 
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REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Expresiones 
algebraicas 
 
 
 
 
 
 
 
Racionales 
Enteras: son aquellas donde los números y las letras 
están relacionados por la adición, sustracción, 
multiplicación y la potenciación como sinónimo de 
multiplicación abreviada, pero con exponente entero 
positivo 
 
Ejemplos: 2𝑥 + 
1
, −𝑦3 + 
4 
𝑎𝑦 + 2𝑎, √3 − 4𝑧 
 
3 5 
Fraccionarias: son aquellas donde la indeterminada (letra) 
aparece 
como divisor, o con exponente entero negativo 
 
Ejemplos: 𝑥 + 𝑥−2 + 1, 
1 
+ 𝑦𝑥3 − 2 𝑥−1, 2𝑥𝑎−3 
 
𝑥 4𝑥+5 𝑎 
 
 
Irracionales 
Son aquellas donde al menos una indeterminada está 
afectada a un exponente fraccionario o figura bajo un signo 
de radicación 
Ejemplos: 1 , 
1 
2 
 √𝑥 − 3𝑥 + 𝑎2 + 5 𝑏 − 𝑎 
2 
 
 
En la expresión: 2x – 1/3 x2 – x4 se reconocen tres términos algebraicos. 
 
 
 
Un término algebraico es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones 
como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. 
 
 
Se pueden distinguir los siguientes elementos: 
◻ El coeficiente, que es la parte numérica. 
◻ El factor literal o indeterminada (letra). 
 
Factor Literal o indeterminada 
 
Ejemplo: 2x Indeterminada 
 
 
Coeficiente 
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REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS 
 
 
 
Atención!! 
 
Si tenemos la expresión 2𝑥 + 2, podríamos decir según lo visto, que en “2x” 
encontramos los dos elementos “coeficiente” e “indeterminada” que componen un término. 
Pero que sucede con el “2”, es término también? 
Si tenemos en cuenta que: 
2𝑥 + 2 se puede escribir como 2𝑥 + 2𝑥0, donde 𝑥0 = 1, podemos observar que en “2𝑥0 ” (que 
es igual a 2), se encuentran los elementos “coeficiente” e “indeterminada” que componen los 
términos. 
Por lo tanto podemos decir que la expresión 2𝑥 + 2, cuenta con dos términos 
 
 
Ejemplo de expresión de 4 términos: 
 
Ejercicio de aplicación: 
◻ Identifica cuántos términos contienen las siguientes expresiones algebraicas: 
 
 
a) 5𝑥4 + 6𝑥 − 1 d) 𝑎 − 1 
 
b) 3𝑎2𝑏 + 1 e) 9𝑚2𝑛 + 18 𝑚𝑛2 
 
c) 16𝑥2 + 8𝑥 − 9 f) 𝑥3 − 𝑦3 
 
 
CARACTERÍSTICAS DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS - POLINOMIOS 
 
Definición: 
En Matemática, toda expresión algebraica entera en la que se presentan una o más variables con 
exponentes naturales o nulos y con términos compuestos de coeficientes y parte literal, se las 
denomina POLINOMIOS. De acuerdo con la definición etimológica de la palabra polinomio, 
podríamos traducirlo como muchos (poli) términos (nomios). 
Previamente es importante establecer las diferencias conceptuales entre Función Polinómica y 
Polinomio Formal o Forma Polinómica 
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REPASO DE CONCEPTOS BÁSICOS 
 
 
 
 
La Función Polinómica f(x), es aquella función cuya expresión es un polinomio tal como: 
 
Función Polinómica 
 
Cuando la indeterminada o variable “x” asume distintos valores numéricos, nos proporciona 
diferentes valores de la función, que se calculan a través del polinomio, pudiéndose graficar en un 
par de ejes cartesianos. 
Mientras que, en el Polinomio Formal o Forma Polinómica P(x) (o simplemente Polinomio), no 
interesa dar algún valor particular a la variable “x”, sino dejarla como indeterminada (con la letra), de 
forma de poder operar con otras expresiones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división). 
 
 
Resumiendo, llamaremos Polinomio en la indeterminada x a toda expresión algebraica 
entera de la forma: 
 
Clasificación de Polinomios: 
Se puede clasificar a los polinomios según el número de términos. 
◻ Según la cantidad de términos 
 
 
CANTIDAD DE TÉRMINOS NOMBRE EJEMPLO 
1 Monomio 2𝑥 
2 Binomio 3𝑥2 − 5 
3 Trinomio 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 
4 Cuatrinomio 𝑚4 − 5 + 3𝑚2 + 2𝑚3 
5 o más (n) Polinomio de n términos −3 + 𝑥 − 4𝑥2 + 0,5𝑥3 − 𝑥4 
Polinomio formal en la indeterminada x: 
P(x) = a n xn + a n-1 xn-1 + a n-2 xn-2 + … + a2 x2 + a1 x1 + a0 
x0 
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◻ Según el Grado: 
El grado de un polinomio es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable. 
 
Polinomio de Grado 6 
𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥 + 4𝑥6 + 8 
Otros ejemplo 
a) −2𝑥4 + 𝑥2 + 3𝑥 − 5 → 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 4 
b) −2 + 6𝑥 − 2𝑥2 → 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 2 
c) 5𝑥3 − 1 → 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 3 
d) 3𝑥4 + 5𝑥2 + 2𝑥5 − 1 → 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 5 
e) −𝑥 + 9 → 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 1 
Partes de un Polinomio: 
Se puede definir también, que un polinomio es la suma de dos o más monomios, dónde el 
polinomio en la variable “x”, se representa simbólicamente como: 
P(x) = a n xn + a n−1 xn−1 + a n−2 xn−2+ … + a2 x2 + a1 x1 + a0 x0 
a0.1 = a0 
 
 
donde: 
an, an-1, an-2,… ..... , a2, a1, a0 se llaman coeficientes del polinomio 
an se llama coeficiente principal 
a0 se llama término independiente 
Coeficiente 
Principal 
 
n es el grado del polinomio, si a0 ≠ 0, y se escribe Gr (P) = n 
 
Ejemplos: 
 
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Tipos de Polinomios: 
Polinomio Ordenado: 
Un polinomio de una variable está ordenado cuando todos sus términos están dispuestos de modo 
que los exponentes de la indeterminada, aumenten o disminuyan desde el primer término hasta el 
último. 
Ejemplos: 
 
P(x) = 1 − 2𝑥3 + 3𝑥5 + 5𝑥7 está ordenado en forma creciente 
Q(x) =𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 está ordenado en forma decreciente 
Polinomio Completo: 
Un polinomio de una variable está completo cuando figuran todas las potencias menores que el 
grado del polinomio. 
Ejemplo: 
 
P(x) = 3𝑥2 − 𝑥 + 2𝑥4 − 9 + 5𝑥3 está completo 
Si un polinomio está incompleto, es posible completarlo escribiendo las potencias de la variable 
que faltan con coeficiente cero. 
 
Ejemplo: 
𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 1 polinomio incompleto 
𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 0𝑥2 + 0𝑥 + 1 polinomio completo. 
Polinomio Opuesto: 
Dos polinomios son opuestos si los coeficientes de los términos semejantes son opuestos. 
Se entiende por términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal y diferente 
coeficiente, por ejemplo: 1 𝑥2 es semejante a 3𝑥2 
2 
Ejemplo: 
 
P(x) = 2𝑥3 − 𝑥2 + 5𝑥 − 3 - P(x) = −2𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 3 polinomio opuesto 
 
 
OPERACIONES CON POLINOMIOS: 
En este punto abordaremos las operaciones denominadas usuales. La suma, resta producto y 
división de polinomios gozan de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones entre 
números reales. 
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esta manera los polinomios deben estar 
 
 
Nota: Para sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios, podemos hacerlo con 
polinomios completos y ordenados en forma decreciente, o tal como están dados. 
Suma de Polinomios: 
Para sumar dos polinomios se agrupan los términos de igual grado o semejantes, y se suman sus 
coeficientes. 
Ejemplo: Sean 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 + 1 y 𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 
1 
+ 2𝑥 
4 
 
𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = (2𝑥3 − 4𝑥2 + 1) + ( 𝑥3 − 
1 
+ 2𝑥) 
4 
= 2𝑥3 
= 
− 4𝑥2 + 1 + 𝑥3 
1 
− + 2𝑥 
4 
 
= 
3 
4 
Otra forma es ordenarlos en columna. Para resolverlo de 
ordenados y completos: 
 
P(x) + Q(x) = 
 
2𝑥3 − 4𝑥2 + 0𝑥 + 1 
+ 
𝑥3 + 0𝑥2 + 2𝑥 − 
1
 
 4 
3𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 + 
3
 
4 
 
 
Resta de Polinomios: 
Para restar al polinomio P(x) el polinomio Q(x), se suma al primero el opuesto del segundo. 
Ejemplo: Sean 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 + 1 y 𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 
1 
+ 2𝑥 
4 
𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = (2𝑥3 − 4𝑥2 + 1) − ( 𝑥3 − 
1 
+ 2𝑥) 
4 
= 2𝑥3 
= 
− 4𝑥2 + 1 − 𝑥3 
1 
+ − 2𝑥 
4 
 
= − 2𝑥 + 
5
 
4 
 𝑥3 
Se suman (o restan) los coeficiente de los 
términos de igual grado. El grado del término no 
cambia 
Suprimimos los paréntesis, al ser una resta todos 
los signos cambian en el segundo polinomio 
Se suman (o restan) los coeficiente de los 
términos de igual grado. El grado del término no 
cambia 
Suprimimos los paréntesis, al ser una suma 
todos los signos se mantienen igual 
2𝑥3 − 4𝑥2 + 1 + 𝑥3 − 
1 
4 + 2𝑥 
 
3𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 + 
 
 
 
2𝑥3 − 4𝑥2 + 1 − 𝑥3 + 
1 
4 − 2𝑥 
 
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Otra forma es ordenarlos en columna al igual que en la suma. Para resolverlo de esta manera los 
polinomios deben estar ordenados y completos: 
 
P(x) + [- Q(x)] = 
 
2𝑥3 − 4𝑥2 + 0𝑥 + 1 
+ 
−𝑥3 − 0𝑥2 − 2𝑥 + 
1
 
 4 
𝑥3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 
5
 
4 
 
 
 
Producto de Polinomios: 
El producto de dos polinomios, es igual al producto de todos los términos del primero por todos los 
términos del segundo, es decir que aplicamos la propiedad distributiva y la propiedad de la 
potenciación de potencias de igual base, donde se suman los exponentes, procediendo luego a 
sumar todos los términos semejantes. 
 
 
Recordamos: 3𝑥6. 2𝑥3 = (3.2). 𝑥(6+3) = 6𝑥9 
Ejemplo: Sean 𝑃(𝑥) = 5𝑥4 + 2𝑥3 − 6𝑥2 + 3 y 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 2 
𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥) = (5𝑥4 + 2𝑥3 − 6𝑥2 + 3) . (𝑥2 + 2) 
= 5𝑥6 + 10𝑥4 + 2𝑥5 + 4 𝑥3 − 6𝑥4 − 12𝑥2 + 3𝑥2 + 6 
 
 
= 5𝑥6 + 2𝑥5 + 4𝑥4 + 4 𝑥3 − 9𝑥2 + 6 
Se suman (o restan) los coeficiente de los 
términos de igual grado. El grado del término no 
cambia. 
Aplicando propiedad distributiva 
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TRABAJO PRÁCTICO N° 1 
1. Indique qué expresiones son polinomios y cuál es su grado: 
 
POLINOMIO P Según el N° de Términos Según el Grado 
 
 
𝑥 − √2 Binomio Gr(P) = 1 
𝑥2 − 4 
 
Gr(P) = 4 
𝑎2 + 2 + 𝑎 
−𝑥3 + 2𝑥 − 1 
 
Trinomio 
 
 
Monomio 
 
𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 
 
 
2. Determinar cuáles de las siguientes expresiones son polinomios y cuáles no. En caso de 
serlo, indicar su grado y su coeficiente principal: 
a) 𝜋𝑥5 − 𝑥2 + 1 
b) 2𝑥3 − 𝑥−2 + 5𝑥 − 2 
 
c) 2 − 𝑥2 + √2. 𝑥5 − 𝑥6 
 
d) 𝑥 − √𝑥 + 5 
 
3. Reescribir los siguientes polinomios en forma completa y ordenada: 
𝑎) 𝑃(𝑥) = 4 − 3𝑥5 + 2𝑥2 
b) 𝑄(𝑥) = 𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 
c) 𝑅(𝑥) = 𝑥 + 7 + 3𝑥2 
 
 
4. Clasificar los siguientes polinomios según su cantidad de términos: 
a) 𝑥 + 1 
b) 𝑥5 − 3𝑥 + 2 
c) 3 𝑥6 
2 
d) 𝑥2 − 3𝑥5 + 𝑥 − 1 
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5. Sean 𝑃(𝑥) = 2𝑥4 − 3𝑥2 − 5𝑥3 + 𝑥5, 
𝑄(𝑥) = 2 − 3𝑥 + 𝑥3 − 2𝑥4, 
𝑅(𝑥) = 2 − 𝑥5 
𝑆(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥4 
 
 
Realizar las siguientes operaciones y expresar el resultado como un polinomio ordenado: 
a) P − R − S 
b) P + P 
c) S − R + Q 
d) Q + P + S 
e) P − Q y Q – P. Comparar resultados. 
 
 
6. Realizar los siguientes productos: 
a) (2𝑥4)(−3𝑥2) 
1 
𝑥= 
6 
b) (−3𝑥4 + 2𝑥 − 3)(𝑥 − 3𝑥2 + 1)= 
 
c) (𝑥5 − 𝑥)(−2 + 𝑥3 + 𝑥2)= 
d) (𝑥 + 2)(−𝑥3 + 4)(−𝑥 − 3)= 
e) (−3𝑥 + 
1 
𝑥3 
2 
)(−2𝑥2 + 4)= 
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2. ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 
 
 
ECUACIONES 
Las ecuaciones no siempre se resolvieron de la manera que conocemos en la actualidad, veamos 
qué nos dice la historia: 
El papiro de Ahmes: conocido también como Papiro Rhind, 
es un papiro egipcio escrito por el escriba 
Ahmes (A’h-mosè) a mediados del siglo XVI a. C., durante 
el reinado de Apofis I. Está redactado en escritura 
hierática (tipo de escritura que permitía a los escribas del 
Antiguo Egipto escribir de forma rápida simplificando los 
jeroglíficos) y mide unos seis metros de longitud por 32 cm 
de anchura. 
El papiro contiene 87 problemas matemáticos con 
cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, 
volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, regla de 
tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. 
 
 
El problema 26 del papiro de Ahmes: el método de la regla falsa 
La suma de una cantidad y su cuarta parte es 15. ¿Cuál es esa cantidad? 
Te invitamos a mirar el siguiente video donde se explica el método utilizado por los egipcios para 
averiguar el dato faltante. 
https://youtu.be/hST6aDy0JEA 
https://youtu.be/hST6aDy0JEA
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ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 
Dos mercaderes, Antonio y Máximo, estaban haciendo negocios en el 
puerto de Venecia. Máximo le compró a Antonio varias telas exóticas 
traídas de la India por el precio de cuatro monedas de oro. Cuando 
Máximo se dispuso a pagarle notó que solamente tenía un lingote de oro 
que, de acuerdo a lasestipulaciones de la época, debía pesar 
exactamente lo mismo que cinco monedas de idéntico metal. Antonio 
antes de darle el “vuelto”, quiso comprobar que el lingote de Máximo 
pesara efectivamente el quíntuple que una moneda, ya que por esa 
época eran frecuentes las estafas. 
El problema surgió porque Antonio no tenía cinco monedas de oro, sino solamente una. Por fortuna, 
Antonio era un gran matemático (algo muy útil para un mercader) y procedió a pesar en la balanza 
de dos platillos su moneda con unas copas y platos que había traído en su último viaje. Un plato 
quedaba perfectamente equilibrado con una copa y la moneda. Por otra parte, dos copas quedaban 
equilibradas con un plato y la moneda. 
¿Cómo puede hacer Antonio, con esta información, para determinar si el lingote de Máximo pesa el 
quíntuple que las monedas de oro? 
¡Ayuda! ¿Cómo podemos manipular los platillos para que la balanza se mantenga equilibrada? 
 
¿Qué tiene que ver este problema con las ecuaciones? 
Una ecuación es similar a una balanza de dos platillos que se encuentra equilibrada (por medio de 
la igualdad) y en la que hay uno o más valores desconocidos. Para que se mantenga nivelada, 
debemos procurar realizar las mismas operaciones en los dos platillos, o miembros en el caso de la 
ecuación. Si agregamos algo en un miembro, debemos hacer lo mismo en el otro; si multiplicamos 
por un número un miembro, debemos multiplicar el otro por el mismo número, etc. Tal cual hicimos 
en el problema de los mercaderes. 
Por ejemplo… ¿Cómo hacemos para resolver la ecuación 3𝑥 − 21 = 411? 
Esta ecuación es bastante sencilla. Seguramente habrán resuelto otras más complicadas en el 
secundario. El principal objetivo de esta parte será enfocarnos en cómo interpretar un enunciado y 
en cómo plantearlas ante un problema. De nada sirve resolver ecuaciones complicadísimas si no 
podemos construirlas ante un problema concreto. 
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Veamos algunas definiciones y luego, resolvamos. 
 
 
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad en la que figura una incógnita sin 
exponente y que es cierta para un solo valor, a dicho valor se lo llama solución o raíz de la ecuación. 
Las ecuaciones lineales son aquellas cuya expresión reducida es 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0. 
 
 
Un ejemplo muy utilizado para introducir la definición de igualdad y de ecuación de forma 
representativa es la balanza de dos platos. Con este simple ejemplo, vemos cómo las ecuaciones 
están presentes en el mundo real y la vida. 
 
¿Cuánto debe valer 𝑥 para que la balanza quede equilibrada? Fácilmente podemos concluir que para 
que 𝑥 + 5 pese 18, 𝑥 debe valer 13, ya que 13 + 5 = 18. 
Así, 𝑥 + 5 = 18 
Es una ecuación porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la 𝑥, y esta igualdad sólo se 
verifica para el valor 𝑥 = 13. En efecto, si sustituimos 𝑥 por 13, tenemos: 
13 + 5 = 18 o sea 18 = 18 
Si damos a 𝑥 un valor diferente, la ecuación no se verifica o no es verdadera. 
 
 
Transposición de términos 
Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro. La regla que representa 
este procedimiento es la siguiente. 
Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro realizando la 
operación inversa. 
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Para simplificar los pasos del ejemplo anterior, se puede utilizar la transposición de términos como 
sigue. 
25 
5𝑥 + 3 = 28 ⇒ 5𝑥 = 28 − 3 ⇒ 5𝑥 = 25 ⇒ 𝑥 = 
5 
Volviendo al ejemplo de la balanza: 
𝑥 + 5 = 18 ⇒ 𝑥 = 18 − 5 ⇒ 𝑥 = 13 
⇒ 𝑥 = 5 
En otras ocasiones, nos encontramos en una igualdad entre objetos de la siguiente forma. 
 
 
Cada bolilla pesa 1 kg. ¿Cuánto debe pesar el cubo para lograr que la balanza quede equilibrada? 
Vemos que de un lado hay 3 cubos más 4 bolillas y del otro 1 cubo más 10 bolillas. 
Además, sabemos que cada bolilla pesa 1 kilo, ahora debemos ver cuánto tiene que pesar el cubo 
para que la balanza quede en equilibrio. Para que eso suceda, los pesos totales en ambos lados 
deben ser iguales. 
Sea 𝑥=peso del cubo. Por lo tanto: 
3𝑥 + 4 = 𝑥 + 10 
Cuanto debe valer 𝑥 para que se cumpla la igualdad? 
 
Muchas veces la resolución de las ecuaciones no es tan sencilla como en el primer ejemplo, es por 
eso que se deben emplear diferentes reglas para la resolución de ecuaciones y lograr obtener el 
valor de la incógnita. 
Resolución de ecuaciones sencillas 
Para resolver ecuaciones de primer grado sencillas, es decir para encontrar la raíz o solución, se 
realizan los siguientes pasos: 
1. Se colocan todos los términos que llevan incógnita en el primer miembro y todos los términos 
independientes en el segundo miembro, teniendo en cuenta que cuando un término cambia 
de miembro también cambia de signo. 
2. Se agrupan los términos semejantes, es decir se agrupan todos los términos con incógnita 
del primer miembro por un lado y todos los términos independientes del segundo miembro 
por otro lado. 
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3. Si la incógnita lleva coeficiente, se pasa al segundo miembro dividiendo. 
Retomando el ejemplo anterior: 
3𝑥 + 4 = 𝑥 + 10 
3𝑥 − 𝑥 = 10 − 4 
2𝑥 = 6 
6 
𝑥 = 
2 
𝑥 = 3 
Si reemplazamos 𝑥 por 3: 
3𝑥 + 4 = 𝑥 + 10 
3.3 + 4 = 3 + 10 
9 + 4 = 3 + 10 
13 = 13 
Se cumple la igualdad. 
 
Resolución de ecuaciones con signos de agrupación 
Para resolver ecuaciones de primer grado con signos de agrupación, es decir para encontrar la raíz 
o solución, se realizan los siguientes pasos: 
1. Eliminar los paréntesis, teniendo en cuenta el signo que lo precede. 
2. Se colocan todos los términos que llevan incógnita en el primer miembro y todos los términos 
independientes en el segundo miembro, teniendo en cuenta que cuando un término cambia 
de miembro también cambia de signo. 
3. Se agrupan los términos semejantes, es decir se agrupan todos los términos con incógnita 
del primer miembro por un lado y todos los términos independientes del segundo miembro 
por otro lado. 
4. Si la incógnita lleva coeficiente, se pasa al segundo miembro dividiendo. 
 
3𝑥 − (2𝑥 − 1) = 7𝑥 − (3 − 5𝑥) + (−𝑥 + 24) 
3𝑥 − 2𝑥 + 1 = 7𝑥 − 3 + 5𝑥 − 𝑥 + 24 
Elimino los paréntesis 
3𝑥 − 2𝑥 − 7𝑥 − 5𝑥 + 𝑥 = −3 + 24 − 1 Coloco en el primer miembro los términos con 
incógnitas; y en el segundo los términos 
independientes 
−10𝑥 = 20 Resuelvo ambos términos 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
𝑥 = 20/(−10) 
𝑥 = −2 
 
Para verificar, reemplazo a 𝑥 por −2: 
1er. Miembro: 
3𝑥 − (2𝑥 − 1) = 3(−2) − [2(−2) − 1] = −6 − (−4 − 1) = −6 + 4 + 1 = −1 
2do. Miembro: 
7𝑥 − (3 − 5𝑥) + (−𝑥 + 24) = 7(−2) − [3 − 5(−2)] + [−(−2) + 24] = −14 − (3 + 10) + 26 
= −14 − 3 − 10 + 26 = −1 
Ambos miembros coinciden, por lo tanto, la igualdad se verifica. 
 
Resolución de ecuaciones de primer grado con productos indicados 
1. Aplico propiedad distributiva. 
2. Se colocan todos los términos que llevan incógnita en el primer miembro y todos los términos 
independientes en el segundo miembro, teniendo en cuenta que cuando un término cambia 
de miembro también cambia de signo. 
3. Se agrupan los términos semejantes, es decir se agrupan todos los términos con incógnita 
del primer miembro por un lado y todos los términos independientes del segundo miembro 
por otro lado. 
4. Si la incógnita lleva coeficiente, se pasa al segundo miembro dividiendo. 
 
5. (𝑥 − 9) + 26 = 4(𝑥 − 9) − 3. (1 − 𝑥) 
5𝑥 − 45 + 26 = 4𝑥 − 36 − 3 + 3𝑥 Aplico propiedad distributiva. 
5𝑥 − 4𝑥 − 3𝑥 = −36 − 3 + 45 − 26 Reagrupo los términos. 
−2𝑥 = −20 Resuelvo. 
𝑥 = (−20)/(−2) 
𝑥 = 10 
 
 
Verificamos si la solución es correcta: 
1er. Miembro: 
5. (𝑥 − 9) + 26 = 5(10 − 9) + 26 = 5(1) + 26 = 5 + 26 = 31 
2do. Miembro: 
4(𝑥 −9) − 3. (1 − 𝑥) = 4(10 − 9) − 3(1 − 10) = 4(1) − 3(−9) = 4 + 27 = 31 
Ambos miembros coinciden, por lo tanto, la igualdad se verifica. 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuadrados mágicos: Un cuadrado mágico consiste 
en la disposición de una serie de números de forma 
que al sumar las filas, las columnas o las diagonales 
se obtiene siempre el mismo valor. 
El siguiente cuadrado es mágico ya que la suma de 
filas, columnas y diagonales es 15. 
8 1 6 
3 5 7 
4 9 2 
¿Podrás hallar el valor de 𝑥, de manera que el 
cuadrado que se encuentra a la derecha sea 
 mágico? 
Reconstruyendo la pirámide: En la pirámide de la 
figura el valor de cada casillero es la suma de los 
números de los dos casilleros que están debajo suyo, 
salvo, claramente, para la fila inferior. Algunos 
casilleros ya están completados, ¿podrían completar 
el resto? 
 
 
 
 
 
SOLUCIONES… 
Cuadrado mágico: 
En la diagonal tenemos 
que: 
7 + 6 + 5 = 18 
Entonces: 
𝑥 + 6 + 2𝑥 − 2 + 5 = 18 
3𝑥 + 9 = 18 
3𝑥 = 18 − 9 
𝑥 = 9∶ 3 
𝑥 = 3 
Reconstruyendo la pirámide: 
 
 
Entonces: 
2𝑥 + 8 + 𝑥 + 18 = 32 
3𝑥 + 26 = 32 
3𝑥 = 32 + 26 
6 
𝑥 = 
3 
𝑥 = 2 
Luego: 
 
 
 
 
 
 
𝑥 + 6 
 
2𝑥 − 2 
 
5 
 
𝑥 − 1 
 
6 
 
3𝑥 + 1 
 
7 
 
𝑥 + 5 
 
𝑥 
 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA 
 
 
Gran cantidad de problemas prácticos en la 
vida real conducen a la resolución de una 
ecuación. Traducir al “lenguaje del álgebra” 
resulta imprescindible en estas ocasiones, el 
lenguaje algebraico nos sirve para expresar 
con precisión relaciones difíciles de 
transmitir con el lenguaje habitual… 
 
 
 
Muchos problemas pueden resolverse mediante el planteo de una ecuación. Para ellos tenemos 
que: 
✔ Leer detenidamente el problema. 
✔ Identificar los datos conocidos y los desconocidos. 
✔ Observar la relación que guardan entre sí. 
✔ Establecer la incógnita. Como incógnita se elige una de las cantidades desconocidas y las 
otras se relacionan con ella según el enunciado del problema. 
✔ Plantear la ecuación. Es decir, expresar mediante una ecuación la relación existente entre 
los datos del problema y la incógnita. 
✔ Resolver la ecuación y comprobar el resultado. 
 
Por lo tanto, el ejemplo de la imagen se resuelve fácilmente con una ecuación. 
Datos: 
Número: 𝑥 
Doble de dicho número: 2𝑥 
Cinco veces el propio número: 5𝑥 
Luego: 
 
2𝑥 + 249 = 5𝑥 ⇒ 2𝑥 − 5𝑥 = −249 ⇒ −3𝑥 = −249 ⇒ 𝑥 = 
 
Entonces el número buscado es el 83. 
 
 
 
VEAMOS MÁS EJEMPLOS… 
(−249) 
(−3) 
⇒ 𝑥 = 83 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
1. La suma de las edades A y B es 84 años, se sabe que B tiene 8 años menos que A. Hallar 
ambas edades. 
Lo más importante es definir la variable del problema. En este caso se tiene dos datos 
desconocidos (las edades A y B), pero la edad B está expresada en función de la edad A; 
entonces se define: 
Edad A = 𝑥 
Edad B = Edad A menos 8 = 𝑥 − 8 
Para plantear la ecuación, se debe utilizar el dato de que la suma de las edades es 84 años: 
Edad A + Edad B = 84 años 
Sustituyendo con lo que se ha definido, se tiene: 𝑥 + 𝑥 − 8 = 84 
 
Resolviendo: 𝑥 + 𝑥 = 84 + 8 ⇒ 2𝑥 = 92 ⇒ 𝑥 = 
92
 
2 
⇒ 𝑥 = 46 
Así, la edad A es 46 años y la edad B es 46 – 8 = 38 años. 
La verificación en los problemas es ver si los resultados obtenidos satisfacen las condiciones 
del problema. 
Así, en este caso, se obtuvo que la edad B es 38 años y la de A es 46 años, si se suman 
ambas edades, se verifica la suposición original. 
2. La edad de María es el triple de la de Rosa más quince años, y ambas edades suman 59 
años. Hallar la edad de María y la de Rosa. 
Lo más importante es definir la variable del problema. En este caso se tiene dos datos 
desconocidos (las edades de María y de Rosa), pero sabemos que la edad de María está 
expresada en función a la edad de Rosa, entonces se define: 
Edad de Rosa: 𝑥 
Edad de María: 3𝑥 + 15 
Sabemos que la suma de las dos edades resulta 59 años, por lo tanto: 
Edad de Rosa + Edad de María = 59 
𝑥 + 3𝑥 + 15 = 59 
4𝑥 = 59 − 15 
 
 
Ahora debemos hallar las edades: 
44 
𝑥 = 
4 
= 11 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
Edad de Rosa = 𝑥 ⇒ Rosa tiene 11 años 
Edad de María = 3𝑥 + 15 = 3 * 11 + 15 = 48 ⇒ María tiene 48 años 
La verificación en los problemas consiste en corroborar si los resultados obtenidos 
satisfacen las condiciones del problema. Entonces si sumamos ambas edades nos debería 
dar 59; entonces: 11 + 48 = 59. Por lo tanto, se verifica la suposición original. 
 
 
3. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la edad de Juan el triple de la de Enrique y la 
de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años, ¿qué edad tiene 
cada uno? 
Se puede realizar una representación gráfica de la siguiente manera: 
 
 
 
Expresando en términos de las incógnitas: 
Edad de Enrique: 𝑥 
Edad de Pedro: 2𝑥 
Edad de Juan: 3𝑥 
Edad de Eugenio: 6𝑥 
Luego nos dice que, si sumamos la edad de los 4, obtenemos 132 años. Es decir: 
𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 + 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜 + 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐽𝑢𝑎𝑛 + 𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑔𝑒𝑛𝑖𝑜 = 132 
 
Luego: 
 
𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 6𝑥 = 132 ⟹ 12𝑥 = 132 ⟹ 𝑥 = 
132 
12 
⇒ 𝑥 = 11 
Ahora debemos hallar la edad de cada uno, para eso sustituimos 𝑥 por 11 en las edades: 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
Edad de Enrique: 𝑥 = 11 
Edad de Pedro: 2𝑥 = 2(11) = 22 
Edad de Juan: 3𝑥 = 3(11) = 33 
Edad de Eugenio: 6𝑥 = 6(11) = 66 
Como sabemos, la verificación en los problemas consiste en corroborar si los resultados 
obtenidos satisfacen las condiciones del problema. Entonces si sumamos todas las edades 
nos debería dar 132; entonces: 11 + 22 + 33 + 66 = 132. Por lo tanto, se verifica la 
suposición original. 
 
 
4. Halle tres números consecutivos cuya suma sea 249. 
Llamamos 𝑥 al menor de los tres números. Los números consecutivos son 𝑥 + 1, 𝑥 + 2. 
 
Nos dice que, si sumamos esos tres números consecutivos, obtenemos 249, por lo que la 
ecuación resulta: 
𝑥 + 𝑥 + 1 + 𝑥 + 2 = 249 ⟹ 3𝑥 + 3 = 249 ⟹ 3𝑥 = 249 − 3 ⟹ 𝑥 = 
 
Por lo tanto, los números buscados son: 
𝑥 = 82 
𝑥 + 1 = 82 + 1 = 83 
𝑥 + 2 = 82 + 2 = 84 
246 
 
 
3 
⇒ 𝑥 = 82 
Sabíamos que se pedía que la suma de tres números consecutivos sea 249. Verificando: 
82 + 83 + 84 = 249, por lo tanto, se verifica la ecuación. 
5. Hallar las dimensiones de una cancha de fútbol sabiendo que su perímetro es 104 𝑐𝑚 y que 
la diferencia entre la longitud de la base y la de la altura es 12 𝑐𝑚. 
Tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces: 
x 
x 12 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
Longitud de 𝑎: 𝑥 
Longitud de 𝑏: longitud de 𝑎 + 12: 𝑥 + 12 
Además, sabemos que el perímetro se define como la suma de los 4 lados, y en este caso, 
nos indica que el perímetro es 104 𝑐𝑚. Por lo tanto: 
𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 = 104 ⟹ 2𝑎 + 2𝑏 = 104 ⟹ 2𝑥 + 2(𝑥 + 12) = 104 ⇒ 2𝑥 + 2𝑥 + 24 = 104 ⟹ 4𝑥 
80 
 
 
Luego: 
= 104 − 24 ⟹ 𝑥 = 
4 
⟹ 𝑥 = 20 
Longitud de 𝑎: 𝑥 = 20 𝑐𝑚 
Longitud de 𝑏: 𝑥 + 12 = 20 + 12 = 32 
Perímetro: 2𝑥 + 2(𝑥 + 12) = 2(20) + 2(20 + 12) = 104, por lo que se verifica la ecuación. 
 
 
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 
Las ecuaciones son igualdades matemáticas donde se desconoce uno de los términos o números 
que componen esa igualdad. Cuando se menciona que es de segundo grado significa que el número 
desconocido (incógnita) está elevado a potencia dos, es decir, está multiplicado por sí mismo (𝑥2). 
Por lo tanto, una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una 
ecuación que tiene la expresión general: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0 
Donde 𝑥 es la variable y 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son constantes; 𝑎 es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), 𝑏 
es el coeficiente lineal y 𝑐 es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar 
mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica 
es útil, porquelas abscisas de las intersecciones o punto de tangencia de esta gráfica, en el caso de 
existir, con el eje 𝑥 son las raíces reales de la ecuación. Si la parábola no corta el eje 𝑥las raíces son 
números complejos. 
Hay tres tipos de ecuaciones de segundo grado y cada una tiene una forma de realizarla: 
o Ecuaciones de segundo grado completas. 
o Ecuaciones de segundo grado incompletas con ausencia de 𝑏. 
o Ecuaciones de segundo grado incompletas con ausencia de 𝑐. 
https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Eje_de_las_abscisas
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
¿Qué significa la ausencia de 𝑏 o de 𝑐? Primero debemos entender qué es una ecuación completa 
y así entenderemos las demás. 
Ecuaciones completas: son de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎, 𝑏 y 𝑐 diferentes de cero. 
En este caso, para poder encontrar las raíces, debemos aplicar la fórmula resolvente: 
𝑥1; 𝑥2 = 
 
 
−𝑏 ± √𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
 
2. 𝑎 
Donde 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 recibe el nombre de Discriminante. El discriminante permite averiguar en cada 
ecuación el número de soluciones. Se pueden distinguir tres casos: 
1. 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 > 0 ⇒ la ecuación de segundo grado tiene dos posibles soluciones que son 
números reales distintos. 
2. 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 = 0 ⇒ la ecuación de segundo grado tiene una solución (raíz) doble. 
3. 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 < 0 ⇒ la ecuación de segundo grado tiene no tiene soluciones dentro del 
conjunto de números reales. 
 
 
Ejemplo: Resolver la ecuación 3𝑥2 = 7𝑥 − 2. 
 
Debemos realizar el pasaje de términos para igualar a cero. 3𝑥2 − 7𝑥 + 2 = 0 
Aquí 𝑎 = 3, 𝑏 = −7 y 𝑐 = 2. Entonces analizamos el discriminante para ver cuántas soluciones se 
tienen: 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 = (−7)2 − 4(3)(2) = 25 > 0 
Por lo tanto, la ecuación tendrá dos posibles soluciones. 
Aplicamos la resolvente: 
𝑥1; 𝑥2 = 
 
 
−(−7) ± √(−7)2 − 4.3.2 
= 
2.3 
7 + 5 
 
 
7 ± √49 − 24 
= 
6 
12 
 
 
7 ± √25 
= 
6 
7 ± 5 
 
 
6 
𝑥1 = = = 2 
6 6 
7 − 5 2 1 
𝑥2 = = = 
6 6 3 
 
Por lo tanto las soluciones de la ecuación son: 𝑥1 = 2 y 𝑥2 = 
1
. 
3 
Ecuaciones incompletas: son de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0. 
✔ En el caso de tener una ecuación del tipo 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0; se realiza el pasaje correspondiente de 
términos para despejar 𝑥. No debemos olvidar que la raíz cuadrada tiene dos posibles 
soluciones. 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
Ejemplo: 𝑥2 + 5 = 21 
 
𝑥2 = 21 − 5 ⇒ 𝑥2 = 16 ⟹ 𝑥 = ±√16, así 𝑥1 = 4 y 𝑥2 = −4. 
✔ En el caso de tener una ecuación del tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0, debemos extraer factor común “𝑥”, de 
esta manera se obtiene un producto de factores igualado a cero. Para que la ecuación tenga 
sentido, uno de los dos factores debe ser cero. Analizamos cada caso y obtenemos las dos 
posibles soluciones. Es decir: 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 
De aquí se obtienen los siguientes resultados: 
𝑥 = 0 𝑦 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 
Ejemplo: 5𝑥2 = −3𝑥 
5𝑥2 + 3𝑥 = 0 ⇒ 𝑥. (5𝑥 + 3) = 0 
Por un lado, tenemos: 𝑥 = 0 
Por otro lado, tenemos: 5𝑥 + 3 = 0 ⇒ 5𝑥 = −3 ⇒ 𝑥 = − 
3
 
5 
 
 
 
 
 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 
 
ECUACIONES DE 1º GRADO 
1) Resolver las siguientes ecuaciones. 
 
 
a) 5𝑥 = 8𝑥 − 15 b) 4𝑥 + 1 = 2 c) 5𝑥 + 6 = 10𝑥 + 5 
d) 11𝑥 + 5𝑥 − 1 = 65𝑥 − 36 e) 4𝑥 + 16 − 3𝑥 = 2. (8 − 𝑥) f) 5𝑥 − (−7 + 6𝑥) = 4𝑥 + 8 − 6𝑥 
g) 21 − 6𝑥 = 27 − 8𝑥 h) 16 + 7𝑥 − 5 + 𝑥 = 10𝑥 − 3 i) 𝑥 − (2𝑥 + 1) = 8 − (3𝑥 + 3) 
j) 𝑥 + 3. (𝑥 − 1) = 6 − 4. (2𝑥 + 3) k) 3. (4𝑥 + 7) = 4𝑥 − 25 l) 3. (2𝑥 − 2) = 2. (3𝑥 + 9) 
m)7𝑥 + 15 = 3. (3𝑥 − 7) n) 3𝑥 − 
2 
𝑥 = 
3 
𝑥 + 14 
5 10 
o) 4 𝑥 − (
6 
𝑥 + 
28
) = 0 
15 5 5 
2) Transformar a lenguaje algebraico las siguientes proposiciones. 
a) La mitad de un número menos 5. 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
b) La suma de dos números consecutivos. 
c) La cuarta parte de un número más la tercera parte del mismo número. 
d) La suma entre el doble de un número y el triple de su consecutivo. 
e) La diferencia entre un número y su tercera parte. 
f) El triple del cuadrado de un número. 
g) El doble del cubo del consecutivo de un número. 
h) La suma entre el cuádruple del anterior de un número y el doble del consecutivo del mismo. 
 
 
3) Plantea y resuelve los siguientes problemas. 
a) Juana tiene 5 años más que Amparo. Si entre las dos suman 73 años. ¿Cuántos años tiene 
cada una? 
b) Tengo 2 del valor de una computadora. ¿Cuál es el precio de la computadora si me faltan $ 
3 
5600 para comprarla? 
c) Tres amigos juegan a la lotería y obtienen un premio de 200.000 dólares. Calcule cuánto debe 
corresponderle a cada uno sabiendo que el primero juega el doble que el segundo y éste, el 
triple que el tercero. (Sugerencia: llame x a la cantidad que corresponde al tercero). 
d) A un chico le preguntan la edad de su padre y contesta: si al doble de mi edad se le suman 6 
veces mi misma edad, y a la mitad de esa suma se le quitan 18 años, resulta la edad de mi 
padre. El chico tiene 15 años. ¿Cuántos años tiene el padre? 
e) En un negocio se venden los artículos del siguiente modo: una entrega de $ 40 y tres cuotas 
de modo que la primera es el doble de la segunda, y la tercera es el triple de la primera. El 
precio del artículo más barato es $ 130. ¿Cuál es el valor de cada cuota para este caso? 
f) Juana recibió esta semana la mitad de mails que Lucía. Lucía recibió la mitad que Andrea. 
Entre las tres recibieron 210 mails. ¿Cuántos recibió cada una? 
g) En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que 
de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la 
componen 108 personas? 
h) De un depósito lleno de líquido se sacó la mitad del contenido; después, la tercera parte del 
resto, y aún quedan 1.600 litros. Calcule la capacidad del depósito. 
 
i) Un padre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres 
veces mayor que la edad del hijo? 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
ECUACIONES DE 2º GRADO 
 
 
4) Ecuaciones completas 
 
 
a) 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 b) 𝑥. (𝑥 − 2) = 𝑥 + 10 c) 15𝑥 = 25𝑥2 + 2 
d) 𝑥2 + 11𝑥 = −24 e) 𝑥. (𝑥 + 3) = 5𝑥 + 3 f) 3. (3𝑥 − 2) = −𝑥2 + 16 
g) (𝑥 + 5)2 + 2𝑥 = 𝑥. (𝑥 − 4) − 7 h) (𝑥 + 3). (𝑥 − 2) = 13𝑥 − 7 i) 2𝑥2 − 9𝑥 − 5 = 0 
 
 
5) Ecuaciones incompletas 
 
 
a) 2𝑥2 − 4 = 28 b) 𝑥2 − 5𝑥 = 0 c) (𝑥 + 5). (𝑥 − 5) = −9 
d) 𝑥. (𝑥 + 4) = 4𝑥 + 9 e) 𝑥. (4𝑥 − 1) = 0 f) 7𝑥2 − 𝑥 = 2𝑥 − 𝑥2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
Astargo, Collado, Adunka. INGRESO MATEMÁTICA para Arquitectura. Facultad de Ingeniería. 
Universidad Nacional de Cuyo 
Baldor, A. Álgebra. Grupo Editorial Patria. Méjico. 2008. 
Carena M. Manual de matemática preuniversitaria. Ediciones UNL. 2019. Libro digital. Sta Fe 1a ed 
Cáseres A. MATEMÁTICA APLICADA PARA INGRESANTES. UTN FRT. 2015 
Sobel y Lerner. Algebra. Prentice Hall. Hispanoamérica. Méjico. 1989.