Unidad I-Función Lineal

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Unidad I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMATICA 
Licenciatura en Producción de Videojuegos y 
Entretenimiento Digital 
CICLO DE FORMACIÓN GENERAL 
 
CICLO DE FORMACIÓN GENERAL 
Matemática 
 
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Concepto previo: El plano cartesiano 
 
 
El plano cartesiano está formado por dos rectas graduadas numéricamente y 
perpendiculares entre sí. 
Al eje horizontal se le denomina de eje de abscisas o eje X, en tanto que al vertical se le 
llama de eje de ordenadas o eje Y. 
El origen de coordenadas, que se denomina O, es el punto donde se cortan los dos ejes. 
Las escalas en la que se miden ambos ejes pueden no coincidir. 
Cualquier punto del plano cartesiano viene determinado por dos coordenadas, la abscisa "x", 
y la ordenada "y". 
 
Actividad 
Construir un sistema cartesiano y ubicar los siguientes puntos: 
 
𝐴(2, −4) 𝐵(−1; 3) 𝐶(−2; −3) 𝐷(3; 0) 𝐸(−4; 2,5) 
𝐹(0; −6) 𝐺 (
1
2
; 4) 𝐻 (
7
3
; −1) 𝐼(0; 0) 𝐽 ( 5; −
9
4
) 
FUNCIONES 
El concepto de función surge con fuerza en el campo de la ciencia y de la aplicación de la 
matemática al estudio y resolución de problemas concretos en biología, administración, 
economía y ciencias sociales. Su estudio constituye uno de los sustentos de la matemática 
actual. Se relaciona con la necesidad de considerar situaciones en las que distintas 
magnitudes variables están relacionadas entre sí, sabiendo que los valores que toman 
algunas de ellas dependen y están ligados a los valores de las demás. 
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Definición de Función 
 
● Una relación entre dos conjuntos es función si a cada valor del primer conjunto le 
corresponde un único valor del segundo conjunto. 
● Sean A y B dos conjuntos no vacíos, que llamamos dominio y conjunto de llegada 
respectivamente. Entendemos por función de A en B a toda regla que hace 
corresponder a cada elemento del dominio un único elemento del conjunto de llegada. 
Podemos pensar que una función es un dispositivo de entrada-salida. Se proporciona un 
elemento (entrada) a una ley o regla matemática que la transforma en una imagen 
(salida). Una función es un tipo especial de relación que expresa cómo una cantidad (la 
salida) depende de otra (la entrada). 
 
 
● Una variable y se dice que es función de otra variable x, cuando a cada valor de x le 
corresponde uno y sólo un valor de y. 
Para simbolizar una función se escribe 𝑦 = 𝑓(𝑥); x se llama la variable independiente e y la 
variable dependiente. La expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥) se lee “y es igual a f de x”. 
 
 Dominio de una función: es el conjunto de valores que puede tomar la variable 
independiente (x). 
 Imagen de una función: es el conjunto de valores que toma la variable dependiente 
(y). 
 Ley de formación de una función: puede estar dada en el lenguaje natural, a través de 
una tabla de valores, una fórmula o un gráfico cartesiano. 
Para definir una función deben darse el dominio, la imagen y la Ley de formación. 
En ocasiones, podemos encontrarnos con la expresión 𝑓: 𝐴 → 𝐵, lo leemos “f de A en 
B” o “f es una función de A en B”; A es el dominio de f y B es la imagen de f. 
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Funciones elementales 
 
Tipo de función Ley de formación Gráfica 
Constante 𝑦 = 𝑘, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 ∈ 𝑅 
 
Recta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
Cuadrática 𝑦 = 𝑥2 
 
Polinómica de grado 3 𝑦 = 𝑥3 
 
Proporcionalidad 
inversa 
𝑦 =
1
𝑥
 
 
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Valor absoluto 𝑦 = |𝑥| 
 
Logarítmica 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 
 
Exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥 
 
Trigonométricas 
𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 
 
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
 
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 
 
 
 
 
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FUNCIÓN DE PRIMER GRADO 
 
José y el diseño de un videojuegos 
 
José está diseñando un videojuego de carreras en el que los jugadores pueden mejorar la 
velocidad máxima de su automóvil comprando mejoras. Supongamos que la velocidad base 
del automóvil es de 100 km/h y cada mejora aumenta la velocidad máxima en 10 km/h. 
¿Cuál es la función lineal que le permitiría a José modelar la relación entre el número 
de mejoras compradas y la velocidad máxima del automóvil en km/h? 
Resolución: 
Supongamos que la función lineal es de la forma: 
𝑽(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃 
Podemos modelar esta situación con una función lineal donde la variable independiente x 
representa el número de mejoras compradas y la variable dependiente y representa la 
velocidad máxima del automóvil en km/h. La función podría tener la forma: 
V(x) = 10 x + 100 
Donde: 
 V(x) es la velocidad máxima del automóvil en km/h. 
 x es el número de mejoras compradas. 
 10 es la pendiente de la función, que representa el aumento en la velocidad máxima 
por cada mejora comprada. 
 100 es la velocidad base del automóvil en km/h. 
Por ejemplo: 
 Si un jugador compra 0 mejoras, la velocidad máxima del automóvil sería: 
V(0) = 10 × 0 + 100 = 100 km/h. 
 Si un jugador compra 1 mejora, la velocidad máxima del automóvil sería: 
V(1) = 10 × 1 + 100 = 110 km/h. 
 
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 Si un jugador compra 2 mejoras, la velocidad máxima del automóvil sería: 
V(2) = 10 × 2 + 100 = 120 km/h. 
 Y así sucesivamente. 
Esta función lineal nos permite modelar cómo la velocidad máxima del automóvil aumenta 
de manera lineal con el número de mejoras compradas. Los jugadores pueden usar esta 
información para planificar sus estrategias de juego y decidir cuántas mejoras desean 
comprar para alcanzar ciertas velocidades objetivo. 
 
Para esta función lineal la pendiente es 10 e indica el aumento en la velocidad máxima por 
cada mejora comprada. 
La ordenada al origen de esta función lineal es 110 e indica la velocidad base del automóvil 
en km/h. 
El siguiente gráfico representa a la función lineal V(x) = 10 x + 110 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una función de la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 es una función afín (también se la conoce como 
función lineal), donde m y b son números reales cualesquiera, x es la variable independiente 
e y la variable dependiente. 
Tanto el dominio como la imagen de este tipo de función es el conjunto de los números reales 
(𝑅). El gráfico que la representa es una recta. 
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✔ La pendiente de una recta es el cociente entre la variación 
vertical entre dos puntos cualesquiera de la recta (variación 
de la variable dependiente: ∆𝑦) y la variación horizontal 
entre esos mismos puntos (variación de la variable 
independiente: ∆𝑥). 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
∆𝑦
∆𝑥
 
La pendiente de una función lineal indica, en el gráfico, cuánto varía la coordenada y por 
cada unidad que aumenta la coordenada x. 
 
✔ La ordenada al origen es el término independiente de la función. Gráficamente es el 
valor donde la recta corta al eje y. 𝑓(0) = 𝑏 
El valor de la pendiente determina que una función afín sea creciente, constante o 
decreciente. 
Representación gráfica de una función lineal: 
1) Utilizando tabla de valores. 
Dada la ecuación explícita de la recta, se eligen valores para la variable independiente, se 
los reemplaza en la ecuación y se obtienen los valores de la variable dependiente. Luego, se 
marcan los puntos en el sistema de ejes cartesianos y se los une con una línea recta. 
Ejemplo: Graficar la función 𝑦 = 2𝑥 − 1 
 
X Y = 2.x-1 
-1 2.(-1) -1 = -3 
0 2.0 - 1 = -1 
1 2.1 - 1 = 1 
2 2.2 - 1 = 3 
 
 
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2) A partir de su forma explícita. 
Para graficar una función afín se debe marcar la ordenada al origen (b) y, a partir de ella, 
representar un par de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente (a). 
Ejemplos: 
𝑦 = 1/3 𝑥 + 3 𝑦 = −5/2 𝑥 + 1 
 
b = 3; 𝑎 = ∆𝑦/∆𝑥 = 1/3 b = 1; 𝑎 = ∆𝑦/∆𝑥 = 5/(−2)3) A partir de las intersecciones de la recta con los ejes cartesianos. 
Se sabe que dos puntos son suficientes para trazar una recta. En este caso, se utilizarán las 
intersecciones con los ejes. Cuando una función interseca al eje x, el valor de la variable y 
es cero. De la misma manera, cuando una función interseca al eje y, el valor de la variable x 
es cero. Así, para calcular las intersecciones con los ejes, basta con sustituir por cero una y 
otra variable. 
Una vez calculadas las intersecciones, se marcan en el sistema de ejes y se traza la recta. 
 
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Ejemplo: Graficar la función 𝑦 = −
3
2
𝑥 + 6 
o Intersección con el eje y: Se reemplaza x por cero y 
se resuelve. 
 𝑦 = −
3
2
. 0 + 6 ⇒ 𝑦 = 0 + 6 ⇒ 𝑦 = 6 
o Intersección con el eje x: Se reemplaza y por cero y 
se resuelve. 
0 = −
3
2
. 𝑥 + 6 ⇒ 0 − 6 = −
3
2
. 𝑥 ⇒ −6: (−
3
2
) = 𝑥 ⇒ 𝑥 = 4 
 
Determinación de si un punto pertenece o no a una recta. 
Para que un punto pertenezca a una recta determinada, se debe satisfacer la igualdad al 
reemplazar los valores del punto en la misma. 
Ejemplo: Determinar si los puntos a=(3,1) y b=(2,3) pertenecen a la recta 𝑦 = 3𝑥 − 3 
o a = (3,1) 
1 = 3.3 − 3 ⇒ 1 = 9 − 3 ⇒ 1 ≠ 6 
Como no se verifica la igualdad, concluimos que el punto 
(3,1) no pertenece a la recta. 
o b = (2,3) 
3 = 3.2 − 3 ⇒ 3 = 6 − 3 ⇒ 3 = 3 
Como se verifica la igualdad, concluimos que el punto (2,3) 
pertenece a la recta. 
En el gráfico se puede observar lo que se acaba de concluir. 
 
Perpendicularidad y paralelismo entre rectas 
 
Graficas las siguientes funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos utilizando 
geogebra: 
 
𝑦=2/5 𝑥−1 
y= 2x+2 
𝑦=2/5 𝑥 
𝑦=−5/2 𝑥+3 
y=-½ x 
y = -½ x +4 
 
 
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Para pensar y discutir con tus compañeros: 
 
¿Cómo son las rectas graficadas? ¿Qué tienen en común sus ecuaciones? ¿Qué tienen 
diferente? ¿Puedes obtener conclusiones al respecto? 
 
Para formalizar lo conversado. 
 
✔ Rectas paralelas: Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes 
son……………..………...... 
 
 
✔ Rectas perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares si y sólo si sus pendientes son 
………………………y …………………... 
 
Ecuación de una recta, dadas la pendiente y un punto de la misma. 
 
Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados su pendiente (𝑎) y un punto 
perteneciente a la misma (𝑥1; 𝑦1). 
 
Ejemplo: 
a) La ecuación explícita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto (1;3) es: 
𝑦 − 3 = 2. (𝑥 − 1) 
 𝑦 = 2𝑥 − 2 + 3 
 𝑦 = 2𝑥 + 1 . 
 
Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma. 
Fórmula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ella: 
(𝑥1; 𝑦1 ) 𝑦 (𝑥2; 𝑦2). 
 
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Ejemplo: La ecuación explícita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es: 
𝑦 − 1 =
(3 − 1)
(5 − 2)
. (𝑥 − 2) 
𝑦 − 1 =
2
3
. (𝑥 − 2) 
𝑦 =
2
3
𝑥 −
4
3
+ 1 
𝑦 =
2
3
 𝑥 −
1
3
 
 
 
Aplicación de funciones lineales 
Modelando a partir de problemas. 
Como ya anticipamos, los modelos matemáticos nos ayudan a representar, en este caso 
mediante funciones de primer grado, situaciones intra o extra matemáticas. 
Ejemplos: 
✔ Situación intra matemática: Representar la situación en la que se le asigna a cada 
número real, su doble. Si llamamos x a cualquier número real y llamamos y a su 
doble, la función que modeliza la situación es: 𝑦 = 2. 𝑥 
✔ Situación extra matemática: El dueño de una agencia de viajes paga a cada empleado 
un sueldo de base $25000 por mes, más $ 1000 por cada viaje vendido. Si x 
representa la cantidad de viajes vendidos e y el sueldo del empleado, la función que 
representa la situación es: 𝑦 = 25000 + 1000. 𝑥 
 
A partir del último modelo, podemos obtener (predecir) algo de información. 
 ¿Cuál será el sueldo de un empleado que vendió 12 viajes en un mes? 
Debemos sustituir x por 12 en la función 
𝑦 = 25000 + 1000.12 ⇒ 𝑦 = 25000 + 12000 ⇒ 𝑦 = 37000 
Un empleado que vendió 12 viajes, percibirá un sueldo de $37000. 
 ¿Cuántos viajes vendió un empleado que cobró $ 42000? 
Debemos sustituir y por 42000 en la función y “despejamos” x 
42000 = 25000 + 1000. 𝑥 ⇒ (42000 − 25000)/1000 = 𝑥 ⇒ 17 = 𝑥 
Un empleado que cobró $42000, vendió 17 viajes en un mes. 
 
 
 
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EJERCITACIÓN 
 
1) En cada caso construir la tabla de valores (al menos 5 valores puntos) y graficar. 
 
2) Representen las siguientes funciones a partir de la ordenada al origen y la pendiente. 
Calculen en cada caso las intersecciones con los ejes cartesianos. 
g) 𝑦 =
1
2
𝑥 h) 𝑦 = −2𝑥 +
1
2
 i) 𝑦 = −3𝑥 + 5 
j) 𝑦 =
2
3
𝑥 − 1 k) 𝑦 =
1
3
𝑥 − 1 l) 𝑦 = −4 +
5
2
𝑥 
m) 𝑦 = −𝑥 + 2 n) 𝑦 = −
1
4
𝑥 + 3 o) 𝑦 = −1 − 𝑥 
 
3) Determinen si los puntos que se citan pertenecen a cada recta. 
 Punto a Punto b Función 
a) (−1,5) (0,3) 𝑦 = −2𝑥 + 3 
b) (3,0) (−6, −6) 𝑦 =
2
3
𝑥 − 2 
c) (1,5) (0,4) 𝑦 = 4𝑥 
 
4) Hallen la ecuación de la recta conociendo su pendiente y un punto: 
 
a) Pendiente= 4 P1= (-2,5) 
b) Pendiente= 4 P2= (3,7) 
c) Pendiente= -2/3 P3= (-2,5) 
d) Pendiente= 6/5 P4= (0,-1) 
e) Pendiente= 1/5 P5= (-3,0) 
 
5) Hallen la ecuación de la recta conociendo dos puntos: 
 
a) P1= (2,3) y P2= (-1,-3) 
b) P1= (1,3) y P2= (2,-5) 
c) P1= (3,3) y P2= (-1,-1) 
d) P1= (-3,-2) y P2= (3,0) 
e) P1= (-2,2) y P2= (2,0) 
 
 
a) 𝑦 = 2𝑥 b) 𝑦 = −3𝑥 + 1 c) 𝑦 = 𝑥 + 5 
d) 𝑦 =
1
2
𝑥 − 3 e) 𝑦 = −
1
3
𝑥 − 1 f) 𝑦 = −2 +
5
2
𝑥 
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6) Escriban V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso. 
 
 
 
 
 
7) Hallen la ecuación de la recta que cumple cada una de las siguientes condiciones. 
 
a) Paralela a 𝑦=13𝑥+1que pase por el punto (-3,2) 
b) Perpendicular a 𝑦=2𝑥−3 que pase por el punto (-2,-1) 
c) Pasa por el punto (1,5) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-2,3) y (0,-1) 
 
8) Hallen la ecuación de la recta R, que pasa por los puntos (2;-2) y (-1;4) 
 Marquen con una X los puntos que pertenecen a la recta R. 
a) (0;-2) b) (1;0) c) (-1;-1) d) (3; -4) 
 
9) Supongamos que estás desarrollando un servicio de streaming de música y estás 
analizando los datos de tus usuarios. Observas que el número de canciones 
escuchadas por un usuario en un mes está relacionado linealmente con el tiempo total 
que el usuario pasa en la plataforma. Después de analizar los datos, encuentras que 
un usuario promedio escucha 30 canciones por hora en tu plataforma. 
Ahora, quieres utilizar esta información para predecir cuántas canciones escuchará 
un usuario en un mes determinado, dado el tiempo total que pasa en la plataforma 
durante ese mes. 
a) ¿Cuáles son las variables dependiente e independiente? 
b) Hallar la función que modela la situación 
c) Supongamos que un usuario pasa 20 horas en la plataforma durante un mes 
específico. ¿Cuántas canciones escuchará? 
 
10) Supongamos que estás diseñando un videojuego de rol en el que los jugadores 
pueden mejorar las habilidades de su personaje a medida que avanzan en el juego. 
Cada vez que el jugador sube de nivel, puede asignar puntos a diferentes habilidades, 
como fuerza, agilidad o resistencia. Decides modelar la relación entre el nivel del 
jugador y la cantidad de puntos de habilidad que puede asignar a través de una 
función lineal. Supongamos que la función que modela esta relación es: 
 
P(n) = 2n + 5 
Donde: 
 P(n) es la cantidad de puntos de habilidad que el jugador puede asignar en el nivel 
n. 
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 n es el nivel del jugador. 
 2 es la pendiente de la función, que representa cuántos puntos adicionales de 
habilidad se obtienen por cada nivel queel jugador sube. 
 5 es la ordenada al origen, que representa la cantidad inicial de puntos de habilidad 
que el jugador tiene en el nivel 1. 
 
a) Supongamos que un jugador acaba de alcanzar el nivel 5. ¿Calcular cuántos puntos 
de habilidad puede asignar en este nivel? ¿Y en el nivel 8? 
b) Si obtuvo 35 puntos de habilidad ¿a qué nivel se corresponde? 
 
11) Pedro está diseñando un juego de estrategia en el que los jugadores pueden reclutar 
unidades para formar un ejército. Quieres establecer una relación entre el costo en 
oro de reclutar unidades y la cantidad de unidades que un jugador puede reclutar. 
Digamos que ha observado que el costo de reclutar una unidad sigue una relación 
lineal con la cantidad total de unidades reclutadas. Además, ha determinado que el 
costo inicial de reclutar una unidad es de 50 unidades de oro, y cada vez que un 
jugador recluta una unidad adicional, el costo aumenta en 25 unidades de oro. 
a) ¿Cuáles son las variables? 
b) ¿Cuáles son las variables dependiente e independiente? 
c) Hallar la función que modela la situación 
d) ¿Cuál será el costo total si un jugador recluta dos unidades? ¿y de reclutar 15 
unidades? 
e) Si el costo total en oro asciende a 500 ¿Cuántas unidades serán necesario 
reclutar? 
 
12) Un reparador de Pc cobra $ 2500 por realizar presupuesto y además cobra una tarifa 
adicional de $4200 por cada hora extra que puede llevar la reparación y/o 
actualización del software. Si un cliente necesita actualizar el sistema, y se estima que 
podría llevar cuatro horas aproximadamente ¿Qué valor deberá retribuirle al 
programador? Si finalmente le abonó $ 31900 ¿Cuánto tiempo demandó la 
actualización? 
 
13) Victoria y Tomás están desarrollando un juego en el que los jugadores pueden 
comprar monedas virtuales para desbloquear elementos dentro del juego. Cada 
moneda virtual cuesta $0.50. Además, los jugadores pueden obtener un bono inicial 
de 100 monedas virtuales al registrarse en el juego. 
a) ¿Cuáles son las variables? 
b) ¿Cuáles son las variables dependiente e independiente? 
c) Hallar la función que modela la situación 
d) Si un jugador compra 200 monedas virtuales ¿cuál es el costo total? ¿y si 
compra 500 monedas?