Resolução de Sistemas de Equações

Vista previa del material en texto

CICLO DE FORMACION GENERAL 
MATEMATICA 
0 
 
 
 
 
 
 
 
Unidad I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMATICA 
Licenciatura en Producción de Videojuegos y 
Entretenimiento Digital 
CICLO DE FORMACIÓN GENERAL 
 
 
 
CICLO DE FORMACION GENERAL 
MATEMATICA 
1 
 
 
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
Les proponemos un problema para que piensen, pero olvidándose de todo lo que estudiaron 
en el colegio. Traten de deducir la solución usando sólo el sentido común, sin necesidad de 
recurrir a ninguna fórmula ni ecuación. Sólo razonen como si fueran marcianos que llegaron 
a la Tierra con una única habilidad: la de pensar. 
Aquí va… Suponga que estás visitando por dos días una tienda donde venden juegos de 
entretenimiento. Los dos días realizas una compra: 
1) El primer día compras dos juegos aventuras y uno policial. Al salir, pagas 150 pesos. 
2) Al día siguiente compras tres juegos de aventuras y dos policiales (iguales a los del primer 
día). Al salir, paga 275 pesos. 
¿Cuánto vale cada juego de aventura? 
 
¿Cuánto vale cada juego policial? 
 
 
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con las mismas incógnitas. 
Resolver un sistema significa hallar todas las soluciones del sistema, es decir, todos los 
valores posibles para las incógnitas que hacen verdadera cada una de las ecuaciones. 
En particular, veremos métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con 
dos incógnitas, el cual es uno de la forma 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓 
donde a, b, c, d, e y f son números reales, y las incógnitas son x e y. 
 
 
En un sistema de ecuaciones lineales, cada una de ellas representa una recta en el plano. 
Resolverlo es hallar la intersección de ambas (conjunto solución). 
Dos rectas en un plano pueden ser incidentes (tienen un punto en común) o paralelas (no 
tienen ningún punto en común o son coincidentes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CICLO DE FORMACION GENERAL 
MATEMATICA 
2 
 
 
 
 
 
 
Clasificación de los sistemas según el tipo de solución: 
 
 
 
COMPATIBLES 
 
 
 
 
INCOMPATIBLES 
 
 
 
(1) 
 
DETERMINADOS 
 
 
 
INDETERMINADOS 
 
 
 
No tienen solución. 
 
 
 
(2) 
Tienen una única solución. Las rectas 
intersecan en un punto. (1) 
Tienen infinitas soluciones. Las rectas son 
coincidentes. (2) 
Las rectas son paralelas. (3) 
 
 
 
 
 
(3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: 
 
Método gráfico. 
Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones, se deben representar ambas rectas 
 
en un mismo sistema de ejes y hallar la intersección de ambas. 
 
A continuación, se presentan dos ejemplos. 
 
 
 
2𝑥 + 𝑦 = 1 
𝑥 − 𝑦 = 5 
⇒ 𝑦 = −2𝑥 + 1 
𝑦 = 𝑥 − 5 
−𝑥 + 𝑦 = 2 
−𝑥 + 𝑦 = −3 
⇒ 𝑦 = 𝑥 + 2 
𝑦 = 𝑥 − 3 
 
 
CICLO DE FORMACION GENERAL 
MATEMATICA 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema compatible determinado 
 
𝑆 = {(2,−3)} 
Sistema Incompatible 
 
𝑆 = ∅
 
 
CICLO DE FORMACION GENERAL 
MATEMATICA 
4 
 
{ 
 
 
 
Métodos analíticos de resolución. 
Para resolver analíticamente un sistema de ecuaciones existen varios métodos. Todos ellos 
 
permiten obtener el mismo resultado, y la utilización de uno u otro dependerá de cómo está 
 
planteado el sistema original. 
 
Método de sustitución. 
 
1º) Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones. 
 
2º) Lo que se obtuvo en 1º) se sustituye en la ecuación no utilizada hasta el momento. Se 
 
obtiene una ecuación con una incógnita y se resuelve. 
 
3º) Se reemplaza el valor obtenido en 2º) en cualquiera de las ecuaciones para calcular el 
valor que falta. 
 
Ejemplo: a) 
b) 
Se despeja x en la ecuación (a): 𝑥 = 1 + 𝑦 
 
Se reemplaza la “x” por “1 + y” en la ecuación (b) 
 
𝑥 − 𝑦 = 1 (𝑎) 
2𝑥 − 3𝑦 = 1 (𝑏) 
2. (1 + 𝑦) − 3𝑦 = 1 
 
se resuelve la ecuación, obteniéndose el valor de “y”: 
 
2 + 2𝑦 − 3𝑦 = 1 ⇒ 2 − 𝑦 = 1 ⇒ −𝑦 = −1 ⇒ 𝑦 = 1 
c) Se reemplaza el valor de “y” obtenido, en cualquiera de las dos 
 
ecuaciones, y se calcula el de “x”: 𝑥 − 1 = 1 ⇒ 𝑥 = 2 
Se escribe el conjunto solución: 𝑆 = {(2; 1)} 
Método de Igualación. 
 
1º) Se despeja una variable en ambas ecuaciones. 
 
2º) Se igualan los términos que se obtuvieron en 1º). Se obtiene una ecuación con una 
 
incógnita y se resuelve. 
 
3º) Se reemplaza el valor obtenido en 2º) en cualquiera de las ecuaciones para calcular el 
 
valor que falta. 
 
Ejemplo: a) Se despeja “x” en ambas ecuaciones: (a):𝑥 = (9 + 3𝑦)/2 
 
 
2𝑥 − 3𝑦 = 9 (𝑎) 
x + 𝑦 = −8 (𝑏) 
(b): 𝑥 = −8 − 𝑦 
 
b) Se igualan ambas ecuaciones y se calcula el valor de “y”: 
 
 
 
 
CICLO DE FORMACION GENERAL 
MATEMATICA 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(9 + 3𝑦)/2 = −8 − 𝑦 ⇒ 9 + 3𝑦 = −16 − 2𝑦 ⇒ 3𝑦 + 2𝑦 = −16 − 9 
⇒ 5𝑦 = −25 ⇒ 𝑦 = −5 
c) Se reemplaza el valor de “y” obtenido, en cualquiera de las dos 
ecuaciones, y se calcula el de “x”: 𝑥 + (−5) = −8 ⇒ 𝑥 − 5 = 
 
−8 ⇒ 𝑥 = −3. 
 
Se escribe el conjunto solución: 𝑆 = {(−3;−5)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CICLO DE FORMACION GENERAL 
MATEMATICA 
6 
 
 
 
 
 
Trabajemos con situaciones diarias… 
 
 
Veamos una situación problemática que se modeliza mediante la formulación de un sistema 
de ecuaciones de primer grado. 
 
Situación: Supongamos que estás organizando una competencia de matemáticas en un evento 
escolar y decide utilizar dos tipos de videojuegos educativos para la competencia. 
El primer juego, "Matemáticas Rápidas", cuesta $15 por licencia, mientras que el segundo 
juego, "Aventura Matemática", cuesta $20 por licencia. Planeas comprar un total de 30 
licencias de juegos y gastar $480 en total. 
Ahora, necesitas determinar cuántas licencias de cada juego debes comprar para cumplir con 
tus requisitos. 
 
 
Solución: Si llamamos “x” a las licencias de “Matemáticas Rápidas” e “y” a las licencias de 
“Aventura Matemática”, el sistema que representa la situación es: 
 
 x + y = 30 
 15x + 20y = 480 
 
Aplicando cualquiera de los métodos analíticos desarrollados, obtendremos la solución. 
Las licencias de “Matemáticas Rápidas “fueron 24 y las licencias de “Aventura Matemática” 
fueron 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CICLO DE FORMACION GENERAL 
MATEMATICA 
7 
 
{ 
{ 
 
{ 
{ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seguimos practicando 
 
EJERCITACIÓN 
 
 
1) Resuelvan gráficamente y clasifiquen cada uno de los siguientes sistemas. 
Verifiquen con Geogebra los resultados obtenidos. 
 
 
 
a) 
−3𝑥 − 𝑦 = 1 
𝑥 + 2𝑦 = 3 
 
b) 
2𝑥 + 𝑦 = 1 
3𝑥 + 4𝑦 = 14 c) 
 
{ 
𝑥 − 
3 
𝑦 = 2 
3𝑥 − 𝑦 = −1 
 
2) Resuelvan los siguientes sistemas por el método de sustitución. 
 
Verifiquen con Geogebra los resultados obtenidos. 
 
 
 
a) 
2𝑥 + 4𝑦 = 2 
3𝑥 − 2𝑦 = 9 
 
b) 
2𝑥 + 𝑦 = 7 
𝑥 + 2𝑦 = 2 c) 
𝑥 − 2𝑦 = 6 
{
−
2 
𝑥 + 𝑦 = −3 
 
3) Resuelvan los siguientes sistemas por el método de igualación. 
Verifiquen con Geogebra los resultados obtenidos. 
 
a) 
𝑥 − 𝑦 = 3 
3𝑥 + 𝑦 = 5 b) 
 
2𝑥 − 2𝑦 = 
3 
{ 
3𝑥 + 𝑦 = 
4 
 
c) 
 
{
3𝑥 − 
2 
𝑦 = 
5 
2𝑥 − 
3 
𝑦 = 
3 
 
 
4) Planteen y resuelvan cada uno de los siguientes problemas. 
 
a) Hallar dos números naturales tales que su suma es 8 y su diferencia 4. 
 
b) La diferencia entre dos números es 3, y la suma entre el mayor de ellos y el doble del 
menor es 27. ¿Cuáles son los números? 
c) Hallar dos números, tal que la suma de ambos sea 15 y que uno de ellos más el doble 
del consecutivo del otro es 25. 
 
 
Página 25 de 27
 
 
CICLO DE FORMACIÓN GENERAL 
Taller de Estadística y Cálculo 
 
 
 
d) Un puesto de frutas vende dos variedades de frutillas: pequeñas y grandes. Una 
 
bandeja de frutillas pequeñas se vende a $50, y una de frutillas grandes se vende a 
$70. En un día, el puesto vende 61 bandejas y obtiene $3810 por las ventas. ¿Cuántas 
bandejasde cada tipo se vendieron? 
e) En la billetera de Andrea hay $1600, todos en billetes de $50 y $100. Si en total tiene 20 
billetes. ¿Cuántos billetes de $50 y cuántos de $100 tiene en su billetera? 
f) En un estacionamiento hay 59 vehículos entre autos y motos. Si el total de ruedas es 
202, ¿cuántos autos y cuántas motos hay? 
g) En un depósito hay 40 teléfonos, de los cuales algunos son de 16 teclas y otros de 20 
teclas. La cantidad total de teclas entre los 40 teléfonos es 696. ¿Cuántos teléfonos de 
20 teclas y cuántos de 16 hay? 
h) Juan pagó $50 por 3 cajas de tornillos y 5 cajas de clavos. Pedro compró 5 cajas de 
tornillos y 7 de clavos y tuvo que pagar $74. ¿Cuál es el precio de cada caja de 
taquetes y de cada caja de clavos? 
i) El perímetro de un rectángulo es de 40 metros. Si se duplica el largo del rectángulo y se 
aumenta en 6 metros el ancho, el perímetro queda en 76 metros. ¿Cuáles son las 
medidas originales del rectángulo y cuáles las medidas del rectángulo agrandado? 
j) Hace 5 años la edad de José era el triple que la de su hijo. Dentro de 7 años será el 
doble. ¿cuántos años tiene cada uno? 
k) Carolina tiene hoy el triple de edad que su hijo José. Dentro de 15 años, la edad de 
Carolina será el doble que la de su hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?