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Ejercicios sobre un plano en el espacio
Cálculo Vectorial (Instituto Politécnico Nacional)
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Ejercicios sobre un plano en el espacio
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Descargado por Denisse Dayana (denissedayana2223@outlook.com)
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GEOMETRIA ANALITICA TRIDIMENSIONAL Y VECTORES 
1.-) SE NECESITA PARA ESTUDIAR EL CALCULO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES(2,3 O MAS VARIABLES) 
2.-) LOS VECTORES SE USAN PARA DESCRIBIR 
i.-) rectas en el espacio 
ii.-) Los planos en el espacio 
iii.-) Las curvas en el espacio. 
3.-) Las funciones vectoriales se pueden usar para describir el movimiento de los objetos a través del espacio. 
4.-) Deducen las leyes del movimiento planetario descubiertas por Kepler. 
SISTEMA DE COORDENADAS TRIDIMENSIONALES 
a.-) El plano XY es Bidimensional. 
b.-) Un punto en el espacio (x,y,z) se dice que esta en un plano XYZ conocido como PLANO TRIDIMENSIONAL compuesto por 
 eje X 
 eje Y 
 eje Z formando un ángulo de 90º grados entre eje x & y , entre eje x & z , entre eje y & z. 
c.-) Se le llama SISTEMA TRIDIMENSIONAL DE COORDENADAS RECTANGULARES . 
d.-) La dirección del eje Z está determinada por la REGLA DE LA MANO DERECHA 
e.-) Los 3 ejes coordenados determinan a los 3 planos coordenados. 
 Plano xy 
 Plano xz 
 Plano yz 
f.-) Los 3 planos coordenados dividen al espacio tridimensional en 8 OCTANTES 
 (a,b,c) , (-a,b,c) , 
g.-) En geometría analítica tridimensional , una ecuación en x,y,z representa UNA SUPERFICIE EN 𝑹𝟑 = 𝑹𝒙𝑹𝒙𝑹 
FORMULA DE LA DISTANCIA EN 𝑹𝟑 
La distancia entre 2 puntos P1(x1,y1,z1) & P2(x2,y2,z2) es : | 𝑷𝟏𝑷𝟐| = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)𝟐 
ECUACION DE UNA ESFERA CON CENTRO C(h,k,l) & RADIO r (𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 + (𝒛 − 𝒍)𝟐 = 𝒓𝟐, ESFERA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN (𝒙)𝟐 + (𝒚)𝟐 + (𝒛)𝟐 = 𝒓𝟐, ESFERA CON CENTRO EN EL ORIGEN 
EJERCICIOS : 
1.-) Demuestre que 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝟔 = 𝟎 , es la ecuación de una esfera y encuentre su CENTRO y su 
RADIO. 
2.-) Dada la siguiente expresión 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟎𝒛 − 𝒛𝟐 + 𝟗 , encuentre el CENTRO y RADIO DE LA ESFERA. 
3.-) Dada la siguiente 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟐√𝟐 ∗ 𝒙 + 𝟐√𝟐 ∗ 𝒚 − 𝟐√𝟐 ∗ 𝒛 − 𝟒 , encuentre el CENTRO y RADIO DE LA ESFERA. 
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UN PLANO EN EL ESPACIO . 
ESTÁ DETERMINADO POR UN PUNTO 𝑷𝒐 (𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎) , EN EL PLANO Y UN VECTOR 𝒏 ⃑⃑ ⃑ (LLAMADO VECTOR NORMAL ) QUE ES 
ORTOGONAL AL PLANO . 
SEA P(X,Y,Z) UN PUNTO ARBITRARIO EN EL PLANO . 
SEA 𝒓𝒐⃑⃑⃑⃑ el vector de posición de P0. 
SEA 𝒓 ⃑⃑ el VECTOR DE POSISCION DE P. 
Entonces el vector 𝒓 − 𝒓𝟎⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ (𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓) está representado por 𝑷𝑷𝟎⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ⃑. 
El vector 𝒏 ⃑⃑ ⃑ es ortogonal a cualquier vector en este plano . En particular 𝒏 ⃑⃑ ⃑ es ortogonal a 𝒓 − 𝒓𝟎⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑. 
LA ECUACION VECTORIAL DEL PLANO ES (*) �⃑⃑� . (𝒓 − 𝒓𝟎) ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ = 𝟎 EQUIVALE A 𝒏 . 𝒓 ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ − 𝒏. 𝒓𝟎⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ = 0 EQUIVALE A 𝒏 . 𝒓⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑ = 𝒏. 𝒓𝟎 ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ 
LA ECUACION ESCALAR DEL PLANO ES 𝒏 ⃑⃑ ⃑ = < 𝒂, 𝒃, 𝒄 > , 𝒓 ⃑⃑ = < 𝒙, 𝒚, 𝒛 > , 𝒓𝟎 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = < 𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎 > 
ENTONCES (*) SE PUEDE ESCRIBIR COMO < 𝒂, 𝒃, 𝒄 > . < 𝒙 − 𝒙𝟎 , 𝒚 − 𝒚𝟎 , 𝒛 − 𝒛𝟎 > = 𝟎 , EQUIVALE A 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟎) + 𝒃(𝒙𝒚 − 𝒚𝟎) + 𝒄(𝒛 − 𝒛𝟎) = 𝟎 , EQUIVALE A 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄𝒛 = 𝒅 , ECUACION ESCALAR DEL PLANO A TRAVES 
 DEL PUNTO P0(X0,Y0,Z0) CON VECTOR NORMAL 𝒏 ⃑⃑⃑⃑ = < 𝒂, 𝒃, 𝒄 > . 
EJEMPLO : Encuentre la ecuación del PLANO que pasa por los puntos P(1,3,2) , Q(3, -1 , 6) y R(5,2,0) . 
 
 
 
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