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TRIÁNGULO Es la figura geométrica (conjunto no convexo) formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos. Notación: ABC Región interior Región exterior al AB Región exterior al BC Región exterior al AC A B C a b c + + = 180º a + b + c = 360º Teorema: Observación: El triángulo como conjunto no convexo no presenta región, sino determinan regiones. Es distinto decir triángulo a decir región triangular. Gráficamente: Región Triangular A B C Esta cons tituida por A B C Triángulo ABC Región interior determinada por el triángulo ABC Teorema: X X = + Teorema: Si a > c Propiedad de correspondencia > a c Teorema: Propiedad de existencia a b c A C B Si: a > b > c b - c < a < b + c Propiedad: X X = + + Propiedad: + = + Propiedad: x y + +y = x Propiedad: Si: x y x + +y = Propiedad: Si: x y x y= Propiedad: x y a b x y+ > a + b x + Propiedad: = x + 180º Propiedad: x y x = y Propiedad: yx + = x + y Si: A B C a b y x z c p Si: P = a + b + c 2 p < x + y + z < 2p Si: 2 2 x x = + Si: a b a b 2 2 x x = + CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS 1.- Por la medida de sus ángulos: A B C a c b + = 90º AB y BC : Catetos AC : Hipotenusa Teorema de Pitágoras a + c = b 2 2 2 A. Triángulo rectángulo: B. Triángulo oblicuángulo: a. Triángulo acutángulo b. Triángulo obtusángulo A B C a b c , y : agudos b < a + c 2 2 2 A B C a b c x “x” es obtuso, b > a + c 2 2 2 2.- Por la medida de sus lados: Escaleno Isósceles Equilátero Lateral (AB) Lateral (BC) A C B La medida de sus tres lados son diferentes. La medida de sus dos lados son iguales. Nota: El AC es base La medida de sus tres lados son iguales. Nota: 60º 60º 60º 60º A CM A C M BISECTRIZ Bisectriz Interior Bisectriz Exterior A C B M BM: Bisectriz interior relativo al AC A C B M BM: Bisectriz exterior relativo al AC Observación: Altura: A C B No hay Bisectriz en el ABC A C B h Altura: Mediana: A C B h B A C M Mediatriz: Caso I Mediatriz: Caso II A B C L : Mediatriz de AC. L : Mediatriz de AC. B A C L Propiedad: Propiedad: Propiedad: x 2 x = 90° + 2 x x = 90° - 2 x x = BM: Mediana realtiva al AC Propiedad: Propiedad: Propiedad: Si: a b 2 x90°- a = b x = 90°- x 90°- 90°- Propiedad:Propiedad: = a b a = b 2 x x x = 90° - Si: Si:Si: Si: Si: Propiedad: Si: x = 2 B A C M BM: Mediana, mediatriz, bisectriz, altura. Propiedad: Propiedad: Si: Si: Propiedad: a b a b a b x Propiedad: Propiedad: Propiedad: n m n = m = n m x n = m x = 90º x x = 90º= Congruencia de Triángulos: Son dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente de igual medida y además sus lados correspondientes de igual longitud. (Ángulos y lados homólogos) a b c CA B a b c C´A´ B´ Casos de Congruencia: Caso: L-A-L (lado - ángulo - lado) c b CA B b Caso: A-L-A (ángulo - lado - )ángulo b CA B b Caso: L-L-L ( - lado - )lado lado TEOREMA TEOREMA TEOREMA I b CA B b c c ac a L No es bisectrtiz exterior H A´ C´ B´ A´ C´ B´ A´ C´ B´ a = b = n m a = b n = m a = b x = 90º LÍNEAS NOTABLES Ceviana Interior Ceviana Exterior B BM: Ceviana interior relativo al AC B BM: Ceviana exterior relativo al AC Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) II III 65 Aplicación 2 hallar “x” en: x Solución B A C D O 60º- 60º x Primero: El DAB DOC (caso L-L-L) Por tanto la m ABD = m OCD = , en consecuencia la medida del ACB = 60º - Por último, en el ABC Por teorema x + ( + 60º) + 60º - = 180º x = 60º APLICACIONES DE CONGRUENCIA O n b a m B M A Si: OM es bisectriz Teorema de la bisectriz a = b m = n O A B b a Teorema de la mediatriz De un segmento De un ángulo a = b Es decir el AOB es isósceles de base AB B A C O El AOC es isósceles donde: AO = OC El AOB COB Caso: L-L-L A B CX a m n m n M N y Teorema de la base media = y (por que MN AC) x = 2a En: Si: X a m n Corolario: n = m x = 2a 75º 15º 4a 6 2 a a Notables aproximados: 53º/2 5a 5 37º 53º 3a 4a a a 2a 10 a 37º/2 3a a 25a 74º 16º 7a 24a 8º 81º 7a 2 a5 a 17a 14º 76º a 4a TRAZOS Y PROPIEDADES Observación: Se realizará las demostraciones más complicadas a las necesarias. 1) ¿Qué hacer en caso del siguiente ? B A C 2 1 Trazo interior:ro Se trata BM, interior y M AC formando m AMB = 2 . En consecuencia se tiene: 2 2 B A C C M 2 Trazo exterior:do Análogamente al exterior se traza BM 2 M B 3 Trazo especial:ro Para ello es necesario hacer un cambio de variable: = 2 Es decir: 4 2 Resulta: 3 Primer trazo Ceviana exterior Civiana interior Segundo trazo Se trazo 2) ¿Qué hacer en un de la siguiente forma? 2 Resulta: 2 x = 60º Aplicación 1 hallar “x” en: x x x Solución: x x x a b x a A B E D C Primero se deduce que la m BCE = m BEC = x (En el EBC isósceles) Luego se deduce que m CED = Ahora el ABE DEC (caso A-L-A); por tanto a=b, el cual da como consecuencia un EBC equilátero. CASOS ESPECIALES EN CONGRUENCIA Congruencia en triángulos rectángulos 3 2 2 A B C M N a y Observación: 2a Notables: Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa m m x x = m a MN no es paralelo a AC 45º 45º 60º 30º a n a 2n n 3 a 2 6 2 a 7 8 Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) SOLUCIÓN 2: C 20º 10º x 1 0 º 10º+ B A M C 10º x 1 0 º 10º+ B A M 20º Primero trazamos MN Se nota la congruencia ( ABN CMN) Caso L-A-L En consecuencia: C 10º x 1 0 º 10º+ B A M x C 10º x 1 0 º 10º+ B A M x x 2x = 20º x = 10º SOLUCIÓN 3: Hacemos un cambio de variable. X = 2 5a 3 13a 3 2 B A D C N n n = 5a Luego: En el ABD (lo extraemos didácticamente) 3 8a B A D N 5aM 5a 3 2 x 2 x B N H M 4a 4a 3a 5a 5a x x Recuerda: x=2 en el En el HBN (Notable aproximado de 53º-37º) X = 37º SOLUCIÓN 4: Hacemos un trazo exterior a b 2 + a A x N M B b C Por observación notamos que m MBN = m MNB = + Por tanto el MBN es isósceles. a = b + x x = a - b SOLUCIÓN 5: Lo primero que haremos es el cambio de variables y asignamos los ángulos de medidas iguales. ( = 2 ) 24 3 3 ab x Luego forzamos interior y exteriormente 2 4 3 3 ab x 2 b 4 B A C M b a N El ABC MBN Caso(L-A-L) - 3 - b x = a + b SOLUCIÓN 6: Recuerda: a x Por tanto prolongamos BO B A C M O Por último: a x B A C M O L x Recuerda: a x x = 2a y como, en el ABM,Ay O son puntos medios. x = 2a 3. ¿Qué trazo se debe hacer en triángulos de la siguiente forma? B A C 2 90º - 1 Forma:era Se debe recordar la siguiente propiedad 2 B 90°- N N N N 90°- 2 90°- Armando Huaccachy Entonces trazamos BM, para formar ángulo de 2 formar un isósceles (AB = BM) 2 90°- 2 A C M Como consecuencia final tenemos: 2 90°- 2 90°- Ejemplos: 40º 70º 40º 70º 40º 70º 20º 80º 20º 20º80º 80º x = 20º PROBLEMA 3 - Hallar “x” en: PROBLEMA 4 - Hallar “x” en: PROBLEMA 5 - Hallar “x” en: PROBLEMA 6 - Hallar “x” en: 40º 20º 20º x x 5a2x 13a x ab 2 x 2 a b a x SOLUCIÓN 1: Como nos recomienda el Primer tipo de trazo, lo primero que haremos es un trazo exterior 20º 40º 20º 20º x B A D Luego observamos: (Para ser mas didácticos extraeremos los siguientes triángulos) O C 20º 20º 20º x B A DO C El OBA BCD Caso L-A-L; entonces todas las propiedades que se cumplen en el primer triángulo deben cumplirse en el segundo: “PROBLEMAS” PROBLEMA 1 - Hallar “x” en: PROBLEMA 2 - Hallar “x” en: x 10º 9 10 Geometría ARCEDIO GLORIA CHAVEZ El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) PROBLEMA 7 - Hallar “x”en: PROBLEMA 8 - Hallar “x” en: PROBLEMA 9 - Hallar “x” en: PROBLEMA 10 - Hallar “x” en: Las formas más generales se especifica después de la solución: 26º 51º 18º 42º x 120º 20º 60º x 20º 80º x 18º 81º x SOLUCIÓN 7: Recordamos con el ejemplo 26º 77º 26º 26º 77º 26º Y también no hay que olvidar: 60º 60º 60º 60 º Ahora lo que hacemos es aplicar el Primer paso: 26º 51º 18º 42º 60º 77º 26º 77º 26º 51º 18º 42º 60º 77º x 2x= 26 º 2x = 26º x = 13º SOLUCIÓN 8: Hacemos el siguiente trazo de tal manera que aparezca con los siguientes triángulos isósceles: ANB, NBC 120º 20º 60º x 60º 80º 80º 20º B N L C A Recordar: 60º 60º 60º 60 º Entonces trazamos NL y formamos el equilátero ANL Sonia Chalco 120º 20º 60º x 60º 80º 80º 20º B N L C A 60º Por último recordamos la propiedad: 2 L B A N 2 2 2 Yuly Cuenca 120º 20º 60º x 80º 80º 20º A10º x = 10º SOLUCIÓN 9: Primero observemos el siguiente caso de segmentos: A B C D Tenemos como consecuencia: AB = CD A B C Db b a Luego recordamos: 2 90°- 2 2 90 °- 90°- Jorge Quispe Entonces hacemos el trazo: NC 20º 80º x80º 20º60º A N DCB Y por segmentos tenemos que AB = CD 20º x 60º A N DCB 80º 80º1 00º 100º 26º 77º 77º26º 26º 2 Forma:era Se traza BM, se forma isósceles de base CM y laterales BC y BM B 2 90°- A C M 90°- En consecuencia se tiene el siguiente gráfico 2 90°- 90°- 2 Ejemplos: 26º 77º 26º 26º 20º 80º 20º 20º 80º 80º 60 º 77º 77º 4. ¿Qué hacer con una figura, de la siguiente forma? x y x = 2 y = 2 77º Ejemplos: 10º 40º 10º 40º 20º 20º Importante: 2 90°- El trazo se realiza así 2 90° - 2 90 °- 51º51º 11 12 Geometría Propiedad: o o El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 120º x 60º A Si: 120º 2 90º-3 x x = Demostración: Recuerde que los pasos son los mismos a los problemas anteriores. 2 90º-3 90 º- 2 x = 90º- x b Si: x A B D C E 2 a a x = 2 a = b Demostración: 2 90 º- 90º-90 º+ 90º+ a b El ADB CEB (Caso L-A-L) x = 2 a = b x B A N P C x a Si: x = 2 a = b b a 2 90º- Demostración: Los trazos son especificados en mismo volumen; pues son trazos conocidos. a 2 2 90º- 90º- a b El ABN CNP (Caso L-A-L) Propiedad: Resulta un rectángulo x y x=y=90º a = b y Demostración: a bA D CB El DAB BCD (Caso L-A-L) ( - - ) x = 90º ; a = b m DBC = 5. ¿Como trazar en el siguiente caso? 5k 23º 1ero nos damos cuenta de que la medida del ángulo termina en 3º y un lado es como “5” el cual nos hace razonar con el siguiente Notable aproximado: 5k 53º 37º 4k 3k Entonces el trazo será de la siguiente manera: 5k 23º 30º 2n n P Punto cualquiera PROBLEMA 11 - Hallar “x” en: PROBLEMA 12 - Hallar “x” en: PROBLEMA 13 - Hallar “x” en: PROBLEMA 14 - Hallar “x” en: 23º x 5k 8k x44º 48k 25k Por último: el ABN DCN (Caso L-A-L) 20º x 60º A N DCB 100 º 100º x = 20º SOLUCIÓN 10: Recordemos el trazo general: 2 90°- 2 90° - 2 90 °- Sandra Quispe 18º 81º x 81º 18º B A E D C 18º x B A E D C El ABE ECD: x = 18º EN FORMA GENERAL DEMUESTRA 60 º- 2 90º-3 x Si: x = x = 2 a = b Demostración: Solo se realizara las consecuencias ya que los pasos fueron realizadas en cada problema 60 º- 2 90º-3 x x = 60º 90º- 90º- 2 60º x 21º 30º11º 17º 25º 29ºx SOLUCIÓN 11: x 5k 8k 23º 30º 53º 37º 5k 37º 53º 4k 3k x 5k 8k 23º 30º 37º 8k 30º 60º 4k 4k 4k 4k 60º 13 14 Geometría Milton Cucho Angélica Tomayro El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) x 8k 23º 30º 4k 4k 60º 4k 4k 4k 4k x + 60º = 90º x = 30º SOLUCIÓN 12: x44º 48k 25k 30º 24k 25k 74º 24k x44º 48k 25k 30º 24k 60º 24k 48k 30º 24k 60º x44º 48k 25k 30º 24k 60º 24k 24k x + 60º = 90º x = 30º 24k 24k 24k SOLUCIÓN 13: x 21º 30=5(6)11 16º 53º 3(6)=18 74º 4(6)=24 37º 18 53º 24 30 x 21º 30 16º 53º 74º 24 74º 24 16º 7 11 11 74º 7 x = 74º SOLUCIÓN 14: x 29º 2517 45º 16º 45º 7 16º 7 74º 24 25 45º x 29º 2517 45º 16º 77 45º 45º 45º 7 17 7 45º x = 45º TRAZOS 6. ¿Como trazar en el siguiente caso? Se recomienda trazar una ceviana exterior para formar un triángulo isósceles. 7. ¿Qué trazo se debe realizar en el siguiente caso? Recordar: n n Entonces es necesario un trazo interior tal que forme un isósceles. 1ero n n Finalmente se obtiene: n n 8. ¿Cuáles son las construcciones en este tipo de triángulo? 30º ; < 30º 1 tipo de trazo:er Se construye un triángulo equilátero en función del lado mayor. 30º 30º Recuerda: Finalmente se obtiene: 30º 30º Observación: En la solución de los problemas; se aplicará el caso final, por que ya se demostró de donde viene el gráfico final. 15 16 Geometría Yeny Huyhua Aurelia Diaz Wily kiwy Cesar Flores Flor Aronés Maria Luz Cusi Jalacha Tomayro Lucia Cabo Flores Walter Janampa El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 2 tipo de trazo:do Se construye un triángulo rectángulo, de tal manera que el lado mayor se transforma en hipotenusa. 30º 2n n 3 tipo de trazo:er Se construye un triángulo equilátero en función del lado menor. 30º 30º A C B N Luego completamos el segmento AN para obtener un triángulo isósceles ANC 30º 30º A C B 9. ¿Qué hacer en este tipo de tri ?ángulo 60º+ 30º B C A Se construye el ANB equilátero 60º A C N B 30º 30º 60º A C N B 30º 30º Finalmente trazamos CN para tener como consecuencia el ANC isósceles.. 60º 10. ¿Qué hacer en este caso? 60º-2 A B C D Primero construimos el ABN equilátero, y por último trazamos BC y ND del cual: ABC AND (Caso L-A-L) 60º-2 A N B C D PROBLEMA 15 - Hallar “x” en: PROBLEMA 16 - Hallar “x” en: PROBLEMA 17 - Hallar “x” en: PROBLEMA 18 - Hallar “x” en: 20º x +10º x +40º 3 50º 30º x PROBLEMA 19 - Hallar “x” en: PROBLEMA 20 - Hallar “x” en: x 30º PROBLEMA 21 - Hallar “x” en: PROBLEMA 22 - Hallar “x” en: PROBLEMA 23 - Hallar “x” en: PROBLEMA 24 - Hallar “x” en: 20º 60º-2 PROBLEMA 25 - Hallar “x” en: PROBLEMA 26 - Hallar “x” en: 10º x PROBLEMA 27 - Hallar “x” en: PROBLEMA 28 - Hallar “x” en: x 80º 20º 30º 20º x 20º+ x +20º 20º 10º 3 10º 20º 30ºx 20º 10º x 70º 30º 20º 10º 40º 70º x 10º x 40º 60º- 2 x 60º-2 60º+ x 20 º SOLUCIÓN 15: Recuerda: + n n + + Trazamos DE para formar el isósceles del BDE. 20º+ x 20º 20 º+ B A D C E Del gráfico tenemos como consecuencia: x 20º B A D C E ABD DEC (Caso L-A-L) x = 20º Solución 16: n nn+ n+ n Hacemos el trazo exterior BE del cual se observa que m BDE = m BED = 10 + , entonces BDE isósceles. x +10º +20º 10º +10º B A D C E x +10º +20º 10º +10º B A D C E Del gráfico el ABD EBC (Caso L-A-L) x = 10º Geometría Edeliza Tomayro Maria Soledad Salcedo El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)1817 3 30º x 10º 3 50º 30º x B A C N M 50º 50º 50º De la construcción se tiene: ABC ACM (Caso A-L-A) X = 3 3 50º B A C 50º x x A M 50º 50º 3 C x = 40º Solución 19: Primero trazamos la altura relativa a la base. x 10º 30º Recuerde: 30º 30º 2n x 10º 30º n n n n2n n x 10º n nD n B CA E 40º = 40º Por que el ABD LEA Por lo que: 40º = Por último: + x + 10º = 90º 40º + x + 10º = 90º L Solución 20: 20º 30ºx 20º 60º-x 30º 60º-x x B A D C M Del gráfico se deduce que el ABC ADM (Caso L-A-L) x = 40º x = 60º - x = 20º Solución 17: Solución 18: 30º 30º Solución 21: Realizamos el trazo conocido y mencionado. Constituimosel ABN equilatero +40º C Trazamos: +40º C +20º n n m n+m M +40º C +20º M 30º x 20º A B x 20º A B 20º x 20º A 20º B El ABN MAC (Caso L-A-L) X = 20º 30º 10º 60º 30º 10º A x 20º 50º 10º N B 10º 60º 30º 10º A x 20º 50º 10º N B 10º 60º 30º 10º A x 20º 50º 10º N B X = 10º Geometría Noris Chavez Yovana Palomino Yessica Flores El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)2019 Geometría Se obtiene lo siguiente: B C A 40º 10º 10º 10º 10º X60º 60º 1 0 º D E Roxana La Catalinita Jhonny Meza 2θ Recordar: Recordar: 2θ 30 - θº 120º - 2θ 30º Aplicando la propiedad señalada: Consecuencia: X 30º= Solución 22 Solución 23 Solución 24 C B A 40º 10º 10º X70º 70º 60º + θ 30º 60º + θ 30º 30º 30 º 30º 30 º Reordar: Roció Álvaro Se construye el ABEΔ equilátero. C B A 40º 10º 10º 10º X60º 60º 1 0 º D E DΔA ΔC AEC. 20º 20º 10º 10º 10º x x 40º 40º 40º 50º 50º 50º 50º 110º EL ABC BCD x = 40º x = 30º x = A D B C 60º- 60º+ 60º- 60º+ 60º+2 60º-2 1) 2) 60º-2 _ Rubén Tomayro Anabela Alca 60º-2 _ 60º 60º 60º- 2 2 x x x x x 60º-2 2 60º+2 60º- 2 x 60º-2 Haciendo la construcciòn se obtiene: El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)2221 Geometría D B c 60º-2θ E A C Soluciòn: 25 Se construye el EBC equilátero X X= c E D B A C X = 30º X X X Solución 26 Solución 27 C C A A A B B B 30º 30 º- x 10º 10º 20º 20º 20º 20 º 20 º 60º 60º 30º 30º 40º 40º 60º 60º D D D N N E E Después de construir el ACE equilátero. luego el Δ Δ ΔACB ECD (L-A-L) ACD EAD (L- L- L)Como el Δ Δ BCD ECAΔ Δ x x x A A D D C C B B E E C 20º 20º 20º 20º 20º 20º 20º 20º 20º 20º 20º 40º 40º 40º 20º 20º 20º 60º 60º x 80º A B D Del cual 2X = 60º. X = 30º Solución 28 Como el ABC ACD (L-A-L) En consecuencia se obtiene. Δ Δ Se construye el ACDΔ equilátero. C C B B A A D D E E X X X = 20º 60º + 60º 60º 60º + 2 2 60º 60º 30º 20º 10º 60º 60º * * Yosmil Espilco º º º 20º 20º 30º 30º 30º 30º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 23 24 Primero construimos el ABN equilátero por tanto: Trazo Especial: D Luego prolongamos BC en K de tal manera que m B B A A C C q 30º B C c N 30 º30 º A Tener presente el siguiente B Recordar 30 º 30º K B A C c N 30 º CONSECUENCIA Ada Luz Oré 30º30º 30º30º 30º+X30º+X 60º 30º-X _ _ Nelson Méndez De lo mensionado, trazamos KN del cual trae como consecuencia el AKN isósceles y m KAM=30º-XD - Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)2625 B N 30 º 30º K A C c 30 º 30º-X 30º-X Ahora construimos el AKM equilátero y como consecuencia la m BAM=30º-X D B N 30 º 30º K A C c 30 º 30º-X 30º-X 30 º-X M Después de hacer el trazo MB se verifica que: (caso L-A-L), por tanto todos los datos que se cumple en el tienen que cumplirse en el osea quiere decir que el E es también isósceles el cual se especificará en el otro gráfico. M A BK A N D@D K A ND M A BD M A BD B N 30 º 30º K A C c 30 º 30º-X 30º-X 30 º-X M 30º-X Como L es punto medio además AC es mediatriz del segmento MK. B N 30 º 30º K A C c 30 º 30º-X 30º-X 30 º-X M 30º-X -- -- L 60 º- X Victor Pillaca Quispe Recordando M K 30º 30º L A 30º 30º L = = Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 27 28 = = CA M K = = C Carlos Conteña A M K Finalmente, despues de trazar MC, se llega a la conclusión de que el ACK es isósceles (MC=CK). Por último; m MCB=120º-X DD B N 30 º 30º K A C c 30 º 30º-X 30º-X 30 º-X M 30º-X -- -- L 60 º- X 120 º-X 60º-X PROBLEMAS 30º X 54º X 24º 30º 54º X30º X 84º 42º Problema 29 Problema 30 Problema 31 Problema 32 Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)3029 N 30º 30º 30º 30º Sonia Navarro 30º X 30º 3 0 º-x A C B K 30º N 3 0 º-x Como la figura presenta las cualidades para x hacer el trazo anterior, entonces construimos el BCN equilátero. Y si observamos la prolongación del CK en A cumple el requisito que la m KBA=30º y la medida del ABN es igual a 30º-x (m ABN=30º-x.) - 30º X 30º 3 0 º-x A C B K 30º N Ahora construimos el ABM equilátero y luego le trazamos el MC del cual observamos que: el ABN MBC (caso L-A-L). Quiere decir: @- -- -- 30º 30º 30º 30º B M A K B M A K Consecuentes Entonces ello lo aplicamos. 30º X 30º 3 0 º-x A C B K 30º N 3 0 º-x M 30º-x Como nos habíamos anticipado en el caso anterior entonces les señalamos los nuevos datos. Construimos MK y luego aplicamos el teorema de la bisectriz interior. ( AK )= MK 60º-x 60º-x= Ana Artiaga 30º X 30º 3 0 º-x A C B K 30º N 3 0 º-x M 30º-x 30º-x ---- 60º-X Walter Palomino Solución 29 Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 31 32 C 30º X 30º 3 0 º-x A B K 30º N 3 0 º-x M 30º-x 30º-x ---- 60º-X 60º-X 120º-2X M K C 120º-2X 120º-2X 60º-X Para apreciar mejor la solución nos concentramos en el MCK: isósceles. Lito Alca(120º-2X)+(120º-X)+(60º-X)=180º X=24º 24º 30º A B C Primero observamos el siguiente acontecimiento: 24º 30º A B C 30º N Construimos el equilátero ABN.Δ 6º 30º A B C 30º N 6º 30º A B C 30º N 6º Karina Cárdenas C. Solución 30 Geometría Consecuencia final del trazo: ver páginas 25-35. El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)3433 30º 30º 30º 30º Carlos Torres 24º 30º A B C 30º N 30º 6º 6º K !Prolongamos AC en K tal que m CAK=30º. - ! ! Se construye el Luego se traza MB tal que: ΔAKM equilá tero ΔABM ΔNAK (caso L-A-L). = A B N 6º 6º K 6º M Carlos Rupire 24º 30º A B C 30º N 30º 6º 6º K 6º M 24º 30º A B C 30º N 30º 6º 6º K 6º M 36º 6º !Primero nos damos cuenta que el °. ΔKMB isó sceles, que en consecuencia: m MKC=36 = = 36º = = 36º 36º M C K M C K Héctor Suyca ΔKMC isó sceles. 72º Miguel Ángel Molina 36º =72° 24º 30º A B C 30º N 30º 6º 6º K 6º M 36º 6º 72º 72º Se concluye que: BC=AK=KN. Geometría - 36º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 35 36 24º 30º 54º 24º X P B A C !Se traza BP (P en la prolongación de CA). De tal forma que º observamos el ΔPBC es isósceles PB=BC. Ademá s m APB=m ACB=24 ΔABP del cual ya anunciamos sus trazos. - - Es decir llegamos a la siguiente conclusión:(ver pag. 34-36.) 6º N 30º 6º 6º 6º 24º 30º 54º 24º X P B A C 36 º 72º 72º 36º 24º+x 30 º M Extraemos los ángulos PBN y ABM, para comparar que: BAM. (caso L-A-L)ΔNPB Δ 54º 30º P B N 54º 24º+X MA B 30º=24º+X X=6º Solución 30 Solución 31 Geometría Recordar:(En el problema anterior se recalca los pasos) 24º 30º 54º X R B M L a ab 24º 30º 6º 30º 6º 6º 6º 24º 30º 36 º 72º 72º 36º 30 º N 6º 30º 6º 6º 6º 24º 30º 54º XP B M L 36 º 72º 72º 36º 30 30 º N 54 b b a a 96º C El PBN ABM (caso A-L-A) Es decir: (96 )-(--)-(54 ). Entonces a = b Y si a = b el R Δ Δ º º BL es isósceles (RB=BL=a=b). X=24 Δ A 96º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)3837 D es p u ès d e co n st ru cc ó n :( ve r p a g. 3 4 -36 ) E l C B (c a so L -A -L ) E s d ec ir : (- -) -( 1 2 6 ) - (- -) . Δ A Δ D E B . º X = 3 0 º Geometría Solución 32 1 2 6 º 5 4 º 5 4 º 5 4 º 3 6 º 7 2 º 8 4 º 8 4 º 5 4 º 5 4 º 5 4 º 5 4 º 4 2 º 6 º 6º 6 º 3 0 º 2 4 º 2 4 º 3 0 º 3 0 º 3 0 º 1 2 6 º 1 2 6 º X X A d e m á s : A C E D B El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 39 40 X 60º 60º 60º 60º- A L B C M D Propiedad 01 Demostración: En consecuencia: NCA (Caso: L-A-L) del cuál LA=NA= También: x + = + 60º ΔLBA Δ Primero construimos el ABC equilátero y luego el MNC también equilá Δ Δ tero. De la ecuación Ahora trazamos MA para identificar el (Caso: L-L-L) del cual se deduce que = -------------- ΔALM ΔANM Geometría X 60º 60º 60º 60º- X 60º- X = 60º I I A L B C M D II II = =X + = + 60º =X + + 60º X = 60º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)4241 Propiedad: 03 2 X=120º-θ Demostración Demostración 2 2 90-θ 90-θ Trazamos BD para obtener el ΔABD ISÓ SCELES - Realizamos el trazo en forma análoga a la demostración anterior, y aplicamos la propiedad. 2 B A C 90-θ 90-θ D Geometría Propiedad: 02 Propiedad: 120º-2θ 60º X =2θ Θx 120º-2θ Θ Θ x y X X 2 y = 2 = X 2= Jhon Quispe Edson Palomino El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 43 44 Ahora trazamos AM bisectriz, altura mediana y mediatriz. Luego DH aBC-- - -- - Trazamos DH BC, para formar: DHC AMD- --- - B A C 90-θ 90-θ D M - - 90-θ B A C 90-θ 90-θ D M - - - H = =90-θ 30º 2a Por último observamos que el DBH es notable de 30º-60º. B A C 90-θ 90-θ D M - - - H = =90-θ 30º Finalmente: X=(90º- )+30º X=120º- θ θ X = 60º Geometría Estefh Cusi Propiedad adicional: 2θ 2θ Θ Θ X X30º 30º- θ 90º- θ X = 30º- + 30º +θ θ 30 º- θ 90º- θ X = 60º Demostración Consecuencia 120º-2θ 120º-2θ 2θ 2θ 30º 2θ Θ 90º - 90º - Θ 30º -θ Recordar: Leonardo Tomayro El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 4645 2 2 90-θ 90-θ Ruth Cuenca Demostración Propiedad: 04 X=θ 2 120º-θ 2 90º-θ 30º 90º-θ A B C D Primero trazamos BD de tal modo que m ABD = m ADB=90º-θ - Marco Alfaro - - -- B 90º-θ 30º 90º-θ A C D M - - 90º-θ 30º 90º-θ A B C D M - - H 90º-θ 30º 90º-θ A B C D M - - H Trazamos AM BD y bisectriz, mediana y mediatriz. -- --- Trazamos DH a BC donde se forma el BHD notable de: 30º- 60º (DH=a) -- - -- 30º 2a ÷2 Demétrio Janampa Daniel Conde - - - - Del gráfico el AMD= DHC por tanto: X=θ Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 47 48 Demostración: 120º-θ A B C D Propiedad: 05 X=2θ = + + 120º-θ A B C D 120º+X Trazamos L // L que en consecuencia se obtiene m ADN=X1 2 120º-θ A B C D 120º X 60º L2 L1 N A B A B L4 L3 D = TRAZAMOS L //L3 4TRAZAMOS L //L3 4 Godelina Chavez Recordar: Consecuencia Recordar: Observando el caso anterior trazamos BM//AD y en consecuencia: BM=MD=AB=AD= y m BMD=X - - Geometría Justiniano Tomayro El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)5049 120º-θ A B C D 120º X 60º L2 L1 N MX 60º 60º 60º 60º Fénix García Marleni Oré Recordar: Recordar: C 120º-θ A B D 120º X 60º L2 L1 N M X Trazamos MC tal que se forme el ΔMCD equilá tero. - Trazamos BD y aplicamos la propiedad mensionadop anteriormente - A B C D 120º X 60º L2 L1 N M X X=2θ 52 Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 51 Demostración: 90 º-θ Yolanda Flores - - - - Recuerda: A B C D 90-θ = = H M 30º 30º-θ X=90º- +30º-θ θ θX=120º-2 A B C D X 90-θ 90-θ = = H M Prolongamos CD en M tal que se forma el MBC HDA, por lo tanto: HD=BM=a. - X 2a Mirasol Díaz X=30º Del MBD (notable de 30º-60º) por lo que m MDB=30º. A B C D 90-θ = = H M 30º Geometría 90º-θ Elmer C.CH. 2θ A B C D X 90-θ 90-θ = = H = = Recordar: Recordar: Propiedad: 06 B A C D X=120º-2θ 2θ X El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)5453 Propiedad: 07 120º-2θ 2θ Si: X= Figura: Primer trazo Segundo trazo Javier Flores 120º-2θ 120º-2θ 60º 60º-θ 60º 120º-2θ 60º Demostración: Para ello es necesario conocer el trazo de la siguiente figura: 120º-2θ 60º 60º B N C D A Trazamos AN y aplicamos el trazo conocido (ABNC: equilatero) - Recuerda también; el siguiente trazo: Estefany T.F - - -- -- = = 120º-2θ 60º 60º B N C D A = = Aplicamos lo mensionado en el gráfico puesto que se presenta las condiciones: Geometría Recuerda: El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)55 56 A Recordar: 2 X Ana Oré X=θ 120º-2θ 60º 60º B N C D = = X=θ 2θ Problema 35 Problema 33 Problema 34 Problema 36 Problema 37 Problema 38 20º40º X 3θ 2θ 3θ 4X 3X 5X X 3θ 2θ 3X 2X X 30º 40º X Problema 39 Problema 40 100º 40º X 20º 20º 40º40º 10º X Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 5857 Solución 33Problema 41 Problema 42 Problema 43 Problema 44 - 7 -- X 2θ 60º X 2X 3X X 20ºX 100º 5X X 3X 24º 54º X- - 45º X 60º l l2 2XX l2 l X l l2 2X Problema 45 Problema 46 Problema 47 Problema 48 Geometría 2 2 x A C P B N Recordar: x X =120º-θ Thania Flores Primero construimos el Δ ABC ANC.Δ X 120º-θ 2 A N C P B En el APC 3 120º- Δ θ + θ =180º θ = 15º θ θ +2 Pero X = 120º - X = 120º - 15º X = 105º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 59 60 Solución 35 Del gráfico observamos: BN = a +b. Por lo tanto: MC = a +b. Que en consecuencia tenemos MN = a. Aplicamos la construcción mencionado en Δ NBC. 120º - 4x 8x +120º - 4X = 180º X = 15º 3X X 2X 2X X X b aa b 8X 4X 4X X X 2X 2X 4X A C B L NM a b b a 8X 4X X X 2X4X A C B L NM a a a Geometría Solución 34 Recordemos la consecuencia del trazo en la siguiente figura: Trazamos AN para formar el N isósceles.Δ AB 3X 8X 4X 4X X 4X A C B L NM Pilar Linares 70º 70º 70º X X 40º 40º 2(10º) 40º X = 10º 30º 30º 90º-θ90º-θ 2θ2θ 2θ 90º-θ Recuerda: Aplicamos el trazo y vemos que Se construye el caudrilátero Karina Flores 100º = 120º - 20º = El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)6261 2X3X 3X X A B CD 2X 2X 2X X A B CD 2X 120º-2X Solución: 36 Construimos el AND congruente al BCD. Y observamos el ABDN Δ Δ Luego nos fijamos en el ABD 3X+ +3X º Como: 120º-2X Δ θ= =180 = θ =180 3X+120º-2X+3X º X 15º X X Solución: 37 X A B C D 2θ 2θ 2θ 3θ - - N 2θ X=120º-2θ A B N C María Soledad Chipana Luis Beltran X A B C D 2θ 2θ 2θ 3θ - - N 120º-2θ Ahora en el ABC 3 +X+2 =180º 120-2 Δ θ Θ θ θ =20º Como: X=120º-2 X=120º-2(20º) θ X=80º Construimos el ANC ADCΔ Δ Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 63 64 Solución: 38 Primero anotamos las primeras consecuencias 2θ 2θ Ivan Jessa Como la figura presenta las condiciones para hacer el trazo de ceviana exterior, lo aplicamos: Recordar: 120-X X 40º 20º20º+X A B CD Construimosel AMD NABΔ Δ 120-X X 20º 20º20º A B CD 20º N M 20º X =2X Elizabeth Oré 120º-X Recordar: En la figura observamos el cuadrilátero ABDM cóncavo con las condiciones para aplicar la propiedad: 120-X X 20º 20º20º A B CD 20º N M 20º X Luego: 20º=2X X=10º Geometría 120-X X 40º 20º20º+X A B CD 20º N 20º 20º 20º El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)6665 Solución: 39 2θ 90º-θ2θ 90º-θ 2θ 90º-θ Ana Torres 40º 80º X10º 40º 40º 70º A B C D 40º 80º X10º 40º 40º 70º A B C D 40º 70º 80º N Finalmente; en elñ cudrilátero cóncavo NACD. (80º=120º-(20º)) cumple la condición de los cóncavos: X=40º/2 X=20º Solución: 40 Primero hacemos la siguiente construcción y los datos consecuentes de los mismos. B 80º 100º 40º 80º 40 -X 20º 20º N A C D X =2X Elezabeth Cusi 120º-X B 80º 100º 40º 80º 40 -X 20º 20º N A C D X 120º-X Aplicamos la propiedad en el cuadrilátero sombreado: 20º=2X X=10º Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 67 68 Solución: 41 5X 3X X 3X 5X X 3X 5X A B C D N Primero colocamos los valores de los ángulos que parten como consecuencia de los datos. Luego trazamos la ceviana exterior CN que cumpla las siguientes 5X 3X X 3X 5X X 2X 4X A B C D N M X X Construimos el CMN ABCΔ Δ 5X 3X X 3X 5X X 2X 4X A B C D N M X X 12º-2X Solución: 42 2θ Nelson 2θ 2θ d Luego de hacer el trazo (DM) se traza DB y se verifica que: ABD MDC En consecuencia: el ABD es isósceles (m ABD=X ) Δ Δ Δ Λ AD=BD - - = + + Crisanto Rojas X X 2X X 3X 5X A B CM D 2X X Aplicamos la propiedad (m BDC=5X) Geometría En el caudrilátero DCMN cóncavo m CDN=120º-2X (Propiedad) Ahora 3X+5X+120º-2X=180º X=10º A M d d Δ Δ Δ Construimos DPC ADB Luego en el DBC: 5X+120º-2X+3X=180º X X 2X X 2X 4X B C D 2X X X X P 120º2X ( )Propiedad de cóncavo El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)7069 Solución: 43 7 60º F D 60º+θ B E CA X =60º José Molina 60º+θ 60º F D 60º+θ B E CA X 60º+θ 7 Construimos el AFC ADCΔ Δ Recordar: Por lo expuesto m EAF=60º Segun la figura el AEC es isósceles (m SEAC=m AEC) X=7 Δ Solución: 44 X 60º 20º 100º 80º B A D C 2θ 90º-θ2θ 90º-θ 2θ 90º-θ Segundino Meza X 60º 20º 100º 80º B A D C 20º N 80º Construimos según lo expuesto de la siguiente 120º-2θ X=2X Jesús Linares 2θ Construimos ahora el ABM ADCΔ Δ Geometría 60º Recordar: Recuerde: El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 71 72 Solución: 46 45º X 60º 45º 45º 60º l l A B C D E l l2 45º X 60º 45º 45º 60º l l A B C D E l l2 60º 60º 60º 60º 60º Erica T.F. Primero construimos el BED (notable de 45º-45º) Yuliza Linares X 45º X 60º 45º 45º 60º l l A B C D E l l2 60º Aplicando la propiedad: X=90º/2 X=45º Observación: formas de reconocer al notables 2n 2θ 2n 60º 30º 2θ 2n 3 60º 30º 3 45º 45º2θ 2 2 Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)7473 X 60º 20º 100º 80º B A D C 20º N 80º 20º 100º X M Extrayendo la siguiente figura notamos que es factible aplicar la propiedad de los cuadriláteros cóncavos. X=10º 120º-2(10º) 20º 100º 2(10º) N B M Solución: 45 B A D C 2XX 2X E =l l2 l = Se prolonga el BD para trazarle AE//BC de cual el ADE DBC AE= BD=DE Δ Δ Λl - - - l B A D C 2XX 2X E =l l2 l = l2 N X X Luis Dueñas Recuerda: l2 l l l2 l l 45º 45º Extraemos el ABC que resulta como consecuencia de los trazos. Δ Despues de construir del AEN isósceles X=45º Δ Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 75 76 Solución: 47 Trazamos AM//BC del cual el ADM BDCΔ Δ- - 2θ 2n 3 60º 30º 3 Jaime Rayme l3 A B CD M l l 2X X 2X l3 A B M l 2X X l3 A B M l 2X X 30º 60º l2 X=30º Recuerda: Aplicamos la propiedad ABMΔ Solución: 48 30º 24º 64º X- - 30º 24º 30º 24º 78º 30º 6º 36º = = 6º 6º 30º 6º 72º 36º Yenito Chipana 30º 24º 78º 30º 6º 36º = = 6º 6º 30º 6º 72º 36º X60º 84º54º 60º A B CD Despues de realizar la construcción se observa que el triangulo BCD isósceles (BD=BC) X=84º Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)7877 a) b) y X 8 5 23 c) y X 48 25 44 d) e) y X 75 35 21 f) g) h) y x 16 15 20 i) j) y x 5 8 23 y X 25 29 27 y x 2 15 2 y X 4 45 6 22 + X 44 753 48 - 7 X 23 3 - 3 4 35 k) X15 6 3 - 1 l) X8 212 3 a) X 20ºq q b) X 10º + b b 10º c) X 20º + 20º q q D) X 21º + 21º X Ejercicios1.- Hallar “x” e “y” 2.- Hallar “x” a) X 10º20º b) X 21º42º c) X 12º 24º 4 Hallar “x” y “a” a) X69º42º 3 a b) X 61º58º 10 a c) X 66º 48º 7 a d) X 62º 56º 4 a 4 5 Hallar “x” en: b) X 63º 34º 18º 26º a) X 66º 28º 16º 32º 3 Hallar “x” Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 79 80 f) X 120º 7º 120º 2 3 º90 x - c) 2X 90º - 3 x 35º 10º25º d) 2X 90º - 3 x 33º 5º27º a) X 120º 18º 63º c) 2X 120º 10º 90º - 3x 120º d) 2X 120º 5º 90º - 3x 120º e) X 120º 6º 120º 2 3 º90 x - e) X 90º - 3x/2 28º 6º32º f) X 90º - 3x/2 37º 7º23º 6 Hallar “x” b X 120º 18º 63º b) X 120º 18º 63º 7 Hallar “X” en: 10º 10º 40º 70º 9º 42º 69º 20º 120º 20º 80º 5º 50º 65º 6º 6º 48º 66º 40º 20º 12º 24º 34º 20º 10º 6º 12º 17º 40º 50º 54º 48º 43º 20º 40º 48º 36º 26º Xº Xº Xº Xº Xº Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 8281 5º 8º 10º 20º 21º 5º 8º 10º 20º 21º 95º 98º 100º 110º 111º Xº Xº Xº Xº Xº 10º 12º 18º 14º 21º 18º 12º 16º 9º 20º 18º 12º 50º 48º 46º 46º 39º Xº Xº Xº Xº Xº 8 Hallar “x” a) b) c) d) e) 9 Hallar “x” a) a) c) d) e) b b b b b + 10º b + 10º b b+ 15º + 15º b b b b + 20º + 20º + 30º + 30º a a a a 7 7 7 7 15 15 xº xº xº xº + 26º + 26º+ 13º + 13º a a a a a a 20 20 8 8 9 9 xº xº xº xº X X 2X 2X3X 3X q q 3q 3q2q 2q q q q q q q 10 Hallar “x” a) b) c) d) e) f) g) h) i) j Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin) 83 84 27 º 3º X 10 º 20º X 21 º 9º X 18 º 12º X 25 º 5º X Hallar “X” en: 20º 30º X 30º 30º X 40º 30º X 28º 30º X 51º 30º X 20º 10º 50º X 14º 7º 53º X 18º 9º 51º X 10º 50º 30º X 12º 48º 30º X 6º 54º 30º X 18º 42º 30º X a) a)a)a) b) b)b) b) c) c)c) c) d) d)d) e) e)e) 11 12Hallar “x” Hallar “x” 13 14 Hallar “x” 25º 35º 30º X 85 86 Geometría El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)
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