1 4 Funciones

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SEMESTRE ACADÉMICO 2016-I
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
RELACIONES Y FUNCIONES
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
Logro de la sesión
• Al finalizar la sesión de clase el
estudiante resuelve ejercicios de
relaciones y funciones y
aplicando la definición y
propiedades calcula el dominio
y rango de una relación y de una
función, graficándola de manera
correcta.
2
Mapa de Contenidos
3
Relaciones
• Definición
• Clases
• Representación
Funciones
• Definición
• Dominio y Rango
• Representación
PAR ORDENADO PRODUCTO CARTESIANO
PAR ORDENADO.
• Es un ente matemático formado por dos elementos, denotado
por (a ; b), donde “a” es la primera componente y “b” es la
segunda componente.
PRODUCTO CARTESIANO.-
• Dado dos conjuntos A y B no vacíos, se define el producto
cartesiano A x B como el conjunto de pares ordenados
(a, b) tal que a A  b  B; es decir:
A x B = {( a; b) / a A  b  B
• En el conjunto de pares ordenados (a ; b), las primeras componentes se
encuentran en el conjunto A y las segundas componentes en el conjunto B.
4
Ejemplo 1
5
Dado los conjuntos:
A = {1, 2} y B = {a, b}
Determine a) A x B b) B x A
A B A x B 
 a (1; a) 
1 
 b (1; b) 
 
 a (2; a) 
2 
 b (2; b) 
 
A x B = {(1;a), (1;b), (2;a), (2;b)} 
B A B x A 
 1 (a;1) 
a 
 2 (a;2) 
 
 1 (b;1) 
b 
 2 (b;2) 
 
B x A = {(a;1), (a;2), (b;1), (b;2)} 
En este ejemplo vemos que : A x B  B x A
RELACIONES
• Definición.- Dadas dos conjuntos A y B no vacíos, se llama una relación R 
de A en B a un subconjunto cualquiera de A x B.
R es una relación de A en B  R  A x B
• Una relación de A en B se llama también relación binaria.
6
Dado el conjunto
A = {1, 3, 5} y una relación R en A definida por :
(x , y) E R y = x + 2 ¿Cuántos elementos tiene R?
Notemos que el conjunto A x A es :
A x A = {(1;1), (1;3), (1;5); (3;1); (3;3), (3;5), (5,1); (5;3); (5,5)}
Luego una relación R en A de elementos (x, y) tal que y = x + 2 es:
R = {(1;3), (3;5)}; vemos que la relación R tiene 2 elementos.
Solución :
Ejemplo :
Ejemplo 2
7
Sea el conjunto 
A = {2, 4 ,6 ,8}. Donde las relaciones R1 y R2 en A están dadas por :
R1 = {(x , y}/ x + y = 10}
R2= {(x , y) / y = x}
Hallar : n (R1) y n (R2)
Solución :
R1 = {(x, y}/ x + y = 10} entonces R1 = {(2;8), (4;6),(8;2),(6;4)}
R2= {(x, y)/y =x} entonces R2= {(2;2); (4;4);(6;6);(8;8)}
Teniendo en cuenta que :
 n(R1) = 4 y n(R2) = 4
Dominio y Rango
8
R es una relación de A en B si 
R  A x B ; donde : A x B = {(x , y) / x  A  y  B)
Dominio de la relación R .- Es el conjunto de todas las primeras
componentes de los pares ordenados de R, es decir:
Dom (R) = x/ (x, y)  R
Rango de la relación R.- Es el conjunto de todas las segundas
componentes de los pares ordenados de R, es decir:
Rang (R) = y /(x , y)  R  B
Ejemplo 3
9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
B A 
R 
Donde R es una relación de A definida por: R = (1,5), (2,8), (3,5), (2,7)
Determine : Dom (R) y Rang (R)
Solución :
Como el dominio está determinado por las primeras componentes:
Dom (R) = 1, 2, 3
De otro lado como el rango está determinado por las segundas componentes:
Rang (R) = 5, 8, 7
Funciones
• Una función es una relación entre dos variables tal
que a cada valor de la variable independiente
"x", le corresponde un valor y sólo uno de la
variable dependiente "y" a través de una regla de
correspondencia de la forma:
10
)(xfy =
Ejemplo 4
• Hallar los elementos de la función : si x 
{−3; −1; 0; 1; 2 }
11
3)( 2 −== xxfy
x y = f(x)= x2 – 3 
−3 6
−1 −2
0 −3
1 −2
2 1
Los elementos de la función son:
f = { (−3; 6), (−1; −2), (0; −3), (1; −2); (2; 1) }
Observación: En una función, ningún par
ordenado debe tener el primer elemento
repetido
Dominio de una función (Df ): Es el conjunto
de las primeras componentes de los pares
ordenados de la función
Df = {−3; −1; 0; 1: 2 }
Rango de una función (Rf ) : Es el conjunto
de las segundas componentes de los
pares ordenados de la función.
x y = f(x)= x2 – 3 
−3 6
−1 −2
0 −3
1 −2
2 1
Rf = {−3; −2; 1; 6 }
Dominio y Rango de una Función
Representación Gráfica de una Función
13
Diagrama sagital Diagrama cartesiano
•
•
• •
•
−1 
−2 
1 
−3 
20 
6 
1 
3 
Y 
X 
f = { (−1; −2), (0; −3), (1; −2), (2; 1), (3; 6) }
A
B
f
−1
1
0
3
2
• −3
• −2
• 6
• 1
OBSERVACIONES:
• En el diagrama sagital de una función, dos flechas no deben tener el mismo origen. Si esto ocurriese, los 
puntos de llegada deben representar el mismo valor.
• En el diagrama cartesiano dos puntos no deben estar ubicados en la misma línea vertical.
Una función puede representarse mediante dos tipos de diagramas:
Sagital y Cartesiano. Por ejemplo para la función:
Representación Gráfica de una Función.
Prueba de la recta vertical.
• “Para que una gráfica corresponda a una función, toda recta 
vertical la debe cortarla sólo en un punto”
14
Esta gráfica corresponde 
a una función
Esta gráfica NO 
corresponde a una 
función Esta gráfica corresponde 
a una función
Esta gráfica NO 
corresponde a una 
función
Función Lineal. 
• Es una función cuya regla de correspondencia es de la forma:
y = f(x) = mx + b.
El dominio y el rango de esta función son todos los números reales.
• Su gráfica es una línea recta que intersecta al eje Y en un punto de ordenada “b”.
15
X
Y
0
Determinar la gráfica
de la función y = 3x – 4 
f(x) = 3x − 4
y = 3x − 4
ó
Df = R
Rf = R
Solución:
x y = 3x – 4 
0 − 4
5 11
11
− 4
5
Función Constante.
• Es una función cuya regla de correspondencia es de la forma:
y = k ó f(x) = k ; 
donde “k” es un número real.
El dominio de esta función son todos los números reales y su rango 
tiene un único elemento, que es precisamente el número k.
• Su gráfica es una recta horizontal paralela al eje X.
16
X
Y
− 2
0
Graficar la función 
y = − 2
f(x) = − 2
y = − 2
ó
Df = R
Rf = {− 2}
• Es una función cuya regla de correspondencia es de la forma: 
y = x ó f(x) = x. 
El dominio y el rango de esta función son todos los números reales.
• Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen y forma un ángulo de 45° con 
el eje positivo X.
17
Función Identidad.
X
Y
0
f(x) = x
y = x
ó
Df = R
Rf = R
Función Raíz Cuadrada.
• Es una función cuya regla es de la forma:
18
xfy )x( ==
X
Y
xy =
Df = [ 0 ; + 
Rf = [ 0 ; +  
x y
0 0
1 1
4 2
9 3
0 1 4 9
1
2
3
• Es una función cuya regla de correspondencia es de la 
forma:
19
Función Valor Absoluto.
X
Y y = | x |
Df = R



−

==
0 x si 
0 xsi 
)(
x
x
xf x
Rf = [ 0; +  
0
x y
0 0
1 1
2 2
3 3
−1 1
−2 2
−3 3
1 2 3−1−2−3
1
2
3
• Es una función cuya regla de correspondencia es de 
la forma:
20
Función Cuadrática.
2
)( xf x =
X
Y
y = x2
Df = R
Rf = [ 0; +  
0
x y
0 0
1 1
2 4
3 9
−1 1
−2 4
−3 9
1 2 3−1−2−3
1
4
9
• Cuando no se indica el dominio de una función, se debe aplicar la “Regla de
Máximo Dominio” que consiste en hallar todos los valores de “x” para los
cuales la función está definida. A continuación se dan algunos criterios:
21
Cálculo del Dominio de una Función.
1. Si la función es polinomial, no hay restricciones para “x”, es decir: RD f =
1423 58 −+−= xxx(x)f
Ejemplo:
Si
RD f =
2. Si en la función hay alguna raíz de índice par, la restricción es: 0Radicando
 125;D f =Ejemplo:
Si
xxx 336210253 2 −+−−=(x)f
• Cuando no se indica el dominio de una función, se debe aplicar la “Regla de
Máximo Dominio” que consiste en hallar todos los valores de “x” para los
cuales la función está definida. A continuación se dan algunos criterios:
22
Cálculo del Dominio de una Función.
3. Si en la función hay denominador, la restricción es : 0adorminDeno
Ejemplo:
Si
  231 −−−= /;D f
6
5315
2
3
−−
−+−
=
xx
xx
(x)f
4. En la función logarítmica,la restricción es : 0Argumento
Ejemplo:
Si x
)xlog(
26
4
−
+
=(x)f 34;D f −=
Ejemplo 5
23
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
xx
x
xf
−
−
=
2
4
)(
04 − x
x4
02 − xx
10
0)1(

−
xx
xx
( )    1,04, −−= fDom
1) 
Solución
Restricciones:
4
24
Ejemplo 6
x
x
xf
43
336
)(
+
−−
=
− 036 x
x2
043 + x
43−x
43− 2
( ) 





−= 2,
4
3
fDom
2) 
Solución
Restricciones:
Método gráfico para determinar dominio y rango 
El dominio son los valores de x (desde el extremo izquierdo al extremo 
derecho de la gráfica proyectada en el eje X)
El rango son los valores de y (desde el punto más bajo al punto más 
alto de la gráfica proyectada en el eje Y)
X
Y
Df = [−2; 15]
Rf = [−1; 12]
− 2
12
− 1
15
Determinar el dominio y rango de la gráfica de la 
siguiente función
  
94
28
,)f(Ran
;)f(Dom
−=
−+−=
Determinar el dominio y rango de la gráfica de la 
siguiente función

  +−=
+−−−=
;;)f(Ran
;;;)f(Dom
3203
2046
-3
3
X
Y
-4
6
2
2
-6
Ejercicios
Graficar las siguientes funciones indicando 
dominio y rango
4)( −=xf
xxf 41)( −=
5)( −= xxf
xxf 32)( −=





−−

−
=
6;61
61; 1
1; 34
)(
xx
x
xx
xf
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
28
OPERACIONES CON FUNCIONES
• Suma de funciones
• Multiplicación de funciones
• División de funciones
• Composición de funciones
( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ ( ) ( )gDomfDomgfDom =+ )(
( )( ) ( ) ( )xgxfxgf .. = ( ) ( )gDomfDomgfDom =).(
( )
( )
( )xg
xf
x
g
f
=




  0)(/ =− xgx( ) ( )gDomfDom
g
f
Dom =





( ) ( ),)()( xgfxgf =  )()(/)()( fDomxggDomxgfDom =
( ) ( ),)()( xfgxfg =  )()(/)()( gDomxffDomxfgDom =
29
1) Si hallar y ,2)(1)( +=−= xxgyxxf ))(( xgf + )(x
g
f






Solución
Como y , entonces( )  1,−=fDom ( ) =gDom
( )  ,1,−=+ gfDom    21, −−−=





g
f
Dom
Luego
( ) 21)()()( ++−=+=+ xxxgxfxgf
2
1
)(
)(
)(
+
−
==





x
x
xg
xf
x
g
f
30
2) Si y 
hallar y 
 7,3,2)( −= xxxf 3,0,4)( += xxxg
( ) )(xgf  ( ) )(xfg 
Solución
 )()()()( fDomxggDomxgfDom =
( )  7,343,0 + xx
301−
31
743
−
+
x
x
3,0)( =gfDom 
a)
( ) ( )
( )
x
x
xf
xgfxgf
−−=
+−=
+=
=
2
)4(2
4
)()(
Por lo tanto
31
Ejercicio
Dadas las siguientes funciones determinar las operaciones que 
se indican
,24)(13)( +=−= xxgyxxfSean
Determinar 
( )( ).f g x
( )( )f g x+
( )( )f g x
( )( )g f x
a)
b)
c)
d)
32