Matematicas para las ciencias aplicadas

Vista previa del material en texto

ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
Título de la obra original: 
The Chemistry Maths Book 
 
Edición original en lengua inglesa publicada por: 
Oxford University Press Inc., New York. U.S.A. 
 
Copyright © E. Steiner 1996, 2003 
Edición en español 
Versión española por: 
Salvador Jiménez 
Departamento de Matemática y Física Aplicadas 
Universidad Alfonso X El Sabio Madrid - España 
Propiedad de: 
EDITORIAL REVERTÉ, S. A. 
Loreto, 13-15, Local B 
08029 Barcelona 
Tel: (34) 93 419 33 36 
Fax: (34) 93 419 51 89 
reverte@reverte.com 
www.reverte.com 
Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o 
procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, queda rigurosamente prohi-
bida, salvo excepción prevista en la ley. Asimismo queda prohibida la distribución de ejemplares 
mediante alquiler o préstamo públicos, la comunicación pública y la transformación de cualquier 
parte de esta publicación (incluido el diseño de la cubierta) sin la previa autorización de los titulares 
de la propiedad intelectual y de la Editorial. La infracción de los derechos mencionados puede ser 
constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (Art. 270 y siguientes del Código Penal). El 
Centro Español de Derechos Reprográficos (CEDRO) vela por el respeto a los citados derechos. 
# 1257 
© Editorial Reverté, S. A., 2005 
 
Edición en papel 
ISBN: 978-84-291-5159-6 
 
Edición e-book (PDF) 
ISBN: 978-84-291-9439-5 
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
��������
Este libro describe las matemáticas necesarias para todo el conjunto de temas que con-
forman una carrera universitaria de quı́mica (u otra ciencia aplicada). Ha sido ideado
para que sirva de libro de texto para asignaturas de ‘matemáticas para quı́micos’.
Los temas se desarrollan de forma lógica y consistente con pocas suposiciones de
un conocimiento previo de matemáticas. El material está organizado en tres partes inde-
pendientes en gran medida: los Capı́tulos 1 al 15 tratan de álgebra, cálculo, ecuaciones
diferenciales y desarrollos en series; los Capı́tulos 16 a 19 de vectores, determinantes
y matrices; los Capı́tulos 20 y 21 son introducciones a los grandes temas de análisis
numérico y estadı́stica.
Una caracterı́stica de este libro es el uso extenso de ejemplos para ilustrar todos los
conceptos y métodos importantes del texto. Algunos de esos ejemplos se usan también
para mostrar aplicaciones de las matemáticas en quı́mica y varios conceptos básicos de
fı́sica. Los ejercicios al final de cada capı́tulo, 900 en total, son un elemento esencial
del desarrollo de los temas, y han sido ideados para dar al estudiante un conocimiento
operativo del material del texto. Se dan las soluciones a todos los ejercicios numéricos.
El texto se acompaña de una historia de las matemáticas en notas a pie de página.
Algunos temas de quı́mica reciben un tratamiento extenso. Entre ellos el concepto de
trabajo presión-volumen en termodinámica en el Capı́tulo 5, los sistemas periódicos en
el Capı́tulo 8, las ecuaciones diferenciales de la cinética quı́mica en el Capı́tulo 11, y
varias aplicaciones de la ecuación de Schrödinger en los Capı́tulos 12 y 14. Además, el
contenido de varios capı́tulos viene determinando en gran medida por sus aplicaciones
en las ciencias fı́sicas: Capı́tulo 9, las matemáticas de la termodinámica; Capı́tulos 10
y 16, descripción de sistemas y procesos en tres dimensiones; Capı́tulo 13 (avanzado),
algunas ecuaciones diferenciales y funciones especiales importantes en quı́mica y fı́si-
ca matemáticas; Capı́tulo 15 (avanzado), fuerzas intermoleculares, analisis ondulatorio
y espectroscopı́a de transformada de Fourier; Capı́tulos 18 y 19, simetrı́a molecular y
operaciones de simetrı́a, teorı́a de orbitales moleculares, dinámica molecular y mecánica
cuántica avanzada.
Agradecimientos
Quiero expresar mi gratitud a mis colegas de Departamento de Quı́mica por su estı́mu-
lo, crı́tica y ayuda en la preparación de este libro. Quiero dar las gracias en particular
a los Doctores John Sandall y David Rosseinsky, a los Profesores Ken Schofield y An-
thony Legon, por sus valiosos comentarios sobre determinados capı́tulos, y al Profesor
Patrick Fowler por su constante apoyo y crı́tica constructiva durante todas las etapas de
la redacción del libro.
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
VI Prefacio
Estoy en deuda con mis alumnos por convencerme de que este libro era necesario, y
con los revisores por persuadir a Oxford University Press de que lo publicase.
Sobre todo, quiero agradecer a Mary Steiner su paciencia y su fe en mı́.
Exeter, julio 1995 Erich Steiner
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
������� �� ���������	
01 Números, variables y álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
01.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
01.20 Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
01.30 Representación decimal de los números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
01.40 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
01.50 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
01.60 El álgebra de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
01.70 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
01.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
02 Funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
02.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
02.20 Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
02.30 Factorización y simplificación de expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
02.40 Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
02.50 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
02.60 Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
02.70 Resolución de sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
02.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
03 Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
03.10 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
03.20 Relaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
03.30 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
03.40 Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
03.50 La función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
03.60 La función logarı́tmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
03.70 Valores de las funciones exponencial y logarı́tmica . . . . . . . . . . . . . 69
03.80 Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
03.90 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
04 Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
04.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
04.20 El proceso de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
04.30 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
04.40 Lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
VIII Índice de contenidos
04.50 Derivación a partir de primeros principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
04.60 Derivación a partir de reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
04.70 Funciones implı́citas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
04.80 Derivada logarı́tmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
04.90 Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
04.10 Puntos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
04.11 Movimientos lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
04.12 El diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
04.13 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
05 Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
05.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
05.20 La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
05.30 La integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
05.40 El cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
05.50 Usos del cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
05.60 Propiedades estáticas de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
05.70 Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
05.80 Trabajo presión-volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
05.90 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
06 Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
06.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
06.20 El uso de relaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
06.30 El método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
06.40 Integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
06.50 Fórmulas de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
06.60 Integrandos racionales. El método de fracciones simples . . . . . . . . 153
06.70 Derivación paramétrica de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
06.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
07 Sucesiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
07.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
07.20 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
07.30 Series finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
07.40 Series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
07.50 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
07.60 Series de MacLaurin y de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
07.70 Valores aproximados y lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
07.80 Operaciones con series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
07.90 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
Índice de contenidos IX
08 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
08.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
08.20 El álgebra de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
08.30 Representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
08.40 Funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
08.50 Fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
08.60 Periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
08.70 Cálculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
08.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
09 Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
09.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
09.20 Representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
09.30 Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
09.40 Puntos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
09.50 El diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
09.60 Algunas propiedades diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
09.70 Diferenciales exactos . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
09.80 Integrales de lı́nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
09.90 Integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
09.10 La integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
09.11 Cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
09.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10 Funciones en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.20 Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.30 Funciones de posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
10.40 Integrales de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.50 El operador laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.60 Otros sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10.70 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
11 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
11.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
11.20 Solución de una ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
11.30 Ecuaciones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
11.40 Ecuaciones separables en cinética quı́mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
11.50 Ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
11.60 Un ejemplo de ecuaciones lineales en cinética quı́mica . . . . . . . . . 290
11.70 Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
11.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
X Índice de contenidos
12 Ecuaciones diferenciales de segundo orden. Coeficientes constantes 297
12.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
12.20 Ecuaciones lineales homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
12.30 Solución general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12.40 Soluciones particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.50 El oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
12.60 Partı́cula en un pozo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
12.70 Partı́cula en un aro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
12.80 Ecuaciones lineales no homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
12.90 Oscilaciones forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
12.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
13 Ecuaciones diferenciales de segundo orden. Algunas funciones
13 especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
13.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
13.20 El método de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
13.30 El método de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
13.40 La ecuación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
13.50 La ecuación de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
13.60 La ecuación de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
13.70 Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
13.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
14 Ecuaciones en derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
14.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
14.20 Soluciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
14.30 Separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
14.40 Partı́cula en un pozo rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
14.50 Partı́cula en un pozo circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
14.60 El átomo de hidrógeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
14.70 La cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
14.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
15 Desarrollos ortogonales. Análisis de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
15.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
15.20 Desarrollos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
15.30 Dos desarrollos en polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
15.40 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
15.50 La cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
15.60 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
15.70 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
Índice de contenidos XI
16 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
16.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
16.20 Álgebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
16.30 Componentes de los vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
16.40 Derivada escalar de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
16.50 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
16.60 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
16.70 Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
16.80 Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 416
16.90 Divergencia y rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 418
16.10 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
16.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
17 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
17.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
17.20 Determinantes de orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
17.30 Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
17.40 Resolución de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
17.50 Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
17.60 Reducción a forma triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
17.70 Funciones alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
17.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
18 Matrices y transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
18.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
18.20 Algunas matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
18.30 Álgebra matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
18.40 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
18.50 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
18.60 Matrices ortogonales y transformaciones ortogonales . . . . . . . . . . . 469
18.70 Operaciones de simetrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
18.80 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
19 El problema de autovalores matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
19.10 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
19.20 El problema de autovalores matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
19.30 Diagonalización de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
19.40 Formas cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
19.50 Matrices complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
19.60 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
XII Índice de contenidos
20 Métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
20.10 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
20.20 Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
20.30 Resolución de ecuaciones ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
20.40 Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
20.50 Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
20.60 Métodos de álgebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
20.70 Eliminación gaussiana para la resolución de ecuaciones lineales . 525
20.80 Método de eliminación de Gauss–Jordan para la inversa de una
20.80 matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
20.90 Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
20.10 Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
20.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
21 Probabilidad y estadı́stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
21.10 Estadı́stica descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
21.20 Frecuencia y probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
21.30 Probabilidades combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
21.40 Distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
21.50 Permutaciones y combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
21.60 Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
21.70 Distribución gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
21.80 Más de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
21.90 Mı́nimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
21.10 Estadı́stica muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
21.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
Apéndice. Integrales estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
Soluciones de los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
� Números, variables y álgebra
1.1. Conceptos
La Quı́mica, en común con las otras ciencias fı́sicas y otras ciencias aplicadas, com-
prende:
(i) experimentos: la observación de fenómenos fı́sicos y la medición de cantidades
fı́sicas, y
(ii) teorı́a: la interpretación de los resultados de los experimentos, la correlación de
un conjunto de medidas con otros conjuntos de medidas, el descubrimiento y la
aplicación de reglas para racionalizar e interpretar esas correlaciones.
Ambos, experimentos y teorı́a, suponen la manipulación de números y de los sı́mbolos
empleados para representar los números y las cantidades fı́sicas.
EJEMPLO 1.1 La ecuación de estado de un gas ideal es
pV = nRT (1.1)
donde p es la presión del gas, V su volumen, T la temperatura, n la cantidad de materia, y R = 8,31451 J K−1
mol−1 es la constante de los gases. Supongamos que tenemos un décimo de mol de gas, n = 0,1 mol, a
temperatura T = 298 K y presión p = 105 Pa. La ecuación (1.1) nos permite calcular el volumen del gas:
V =
nRT
p
=
0,1 mol × 8,31451 J K−1 mol−1 × 298 K
105 Pa
=
0,1 × 8,31451 × 298
105
× mol J K
−1 mol−1 K
Pa
= 2,478 × 10−3 m3.
Este ejemplo ilustra un cierto número de conceptos:
(i) Dado cualquier conjunto particular de valores de la presión p, la temperatura T y
cantidad de materia n, la ecuación nos permite calcular el correspondiente volumen V .
El valor de V queda, por lo tanto, determinado por los valores de p, T y n. Decimos que
V es una función de p, T y n.
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
unive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
2 Caṕıtulo 1. Números, variables y álgebra
Este enunciado se representa normalmente como1
V = f (p, T, n)
y significa que, conocidos los valores de p, T y n, el valor de V viene dado por el valor
de una función f (p, T, n) que, en el presente caso, es f (p, T, n) = nRT/p.
Una forma ligeramente diferente, utilizada a menudo en ciencias, es
V = V(p, T, n),
y significa que V es alguna función de p, T y n, que puede ser conocida o no. Trataremos
las funciones en el Capı́tulo 2.
(ii) La función contiene dos tipos de cantidades.
Constantes: una cantidad cuyo valor es fijo para el caso que se está tratando. La canti-
dad R = 8,31451 J K−1 mol−1 es una cantidad fı́sica constante. Un número constante es
cualquier número especı́fico, por ejemplo, a = 0,1 o π = 3,14159 . . .
Variables: una cantidad que puede tomar cualquier valor dentro de un conjunto de
valores permitidos. Las cantidades p, T y n son las variables de la función f (p, T, n) =
nRT/p.
Podemos distinguir dos tipos de variables. Una variable independiente es una cuyo
valor no depende del valor de ninguna otra variable. Escribir la ecuación (1.1) en la
forma V = nRT/p supone que las variables independientes son p, T y n. La cantidad
V es entonces una variable dependiente porque su valor depende de los valores de las
variables independientes. Podrı́amos haber escogido T como variable dependiente y p, V
y n como variables independientes, es decir: T = pV/nR. En la práctica, la elección de
las variables independientes es por conveniencia matemática, pero puede también estar
determinada por las condiciones de un experimento. En algunos casos es más fácil medir
la presión p, la temperatura T y la cantidad de materia n, y calcular V a partir de ellas.
Tratamos los números en los Apartados 1.2 y 1.3, y las variables en el Apartado 1.5.
El álgebra de los números (aritmética) lo tratamos en el Apartado 1.6.
(iii) Una cantidad fı́sica es siempre el producto de dos cantidades, un número y una
unidad. Por ejemplo, T = 298,15 K o R = 8,31451 J K−1 mol−1. En aplicaciones de
matemáticas en ciencias, los números por sı́ mismos no tienen sentido salvo que se es-
pecifiquen las unidades de las cantidades fı́sicas. Es importante saber cuáles son esas
unidades, pero las matemáticas no dependen de ellas.
01. El signo para la igualdad fue introducido por Robert Recorde (hacia 1510-1558) en su The whets-
tone of witte (La piedra de afilar el ingenio, Londres 1557).‘Voy a fijar, como suelo hacer en mis trabajos,
un par de lı́neas paralelas o gemelas de misma longitud, ası́: ==, porque no hay dos cosas que puedan ser
más iguales.’
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
1.2. Números reales 3
Las unidades obedecen las leyes ordinarias del álgebra y pueden manipularse co-
mo números. Por ejemplo, en el cálculo del volumen presentado en el Ejemplo 1.1, las
cantidades fı́sicas estaban dadas en unidades SI: mol para cantidad de materia, K para
temperatura, Pa para presión y J para energı́a (o trabajo). Los números y las unidades se
separan en el cálculo, dando la expresión para las unidades
mol J K−1 mol−1K
Pa
=
J
Pa
(recordando que x−1 = 1/x). Ahora bien
trabajo = fuerza × distancia
de manera que la unidad (SI) de trabajo es J = N m, donde el newton N es la unidad SI
de fuerza y m es la unidad de longitud. Además,
presión = fuerza/área
de manera que la unidad (SI) de presión es Pa = N m−2. Se deduce que
J
Pa
=
N m
N m−2
= m3,
que es la unidad SI de volumen.
Tratamos las unidades con más detalle en el Apartado 1.7.
1.2. Números reales
El concepto de número, y de contar, se aprende muy pronto en la vida, y casi todas
las mediciones en el mundo fı́sico implican de un modo u otro números y cuentas. Los
números más sencillos son los números naturales, números cardinales o números en-
teros sin signo: 1, 2, 3. . . Se comprueba fácilmente que la suma o la multiplicación de
dos números naturales siempre da un número natural, mientras que la resta y la división
no necesariamente. Por ejemplo: 5 − 3 = 2, pero 5 − 6 no es un número natural. Un
conjunto de números para el que la resta siempre es válida es el conjunto de los enteros,
que consiste en todos los números cardinales positivos y negativos más el cero:
· · · − 3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, · · ·
Las operaciones de suma y resta de enteros tanto positivos como negativos son posibles
gracias a las reglas
m + (– n) = m − n
m − (– n) = m + n (1.2)
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
4 Caṕıtulo 1. Números, variables y álgebra
de manera que, por ejemplo, la resta de un número negativo es equivalente a la suma del
correspondiente número positivo. La operación de multiplicación es posible gracias a las
reglas
(– m) × (– n) = + (m × n)
(– m) × (+ n) = – (m × n) . (1.3)
EJEMPLOS 1.2 Suma y resta de números negativos
2 + (– 3) = 2 − 3 = −1 , 2 − (– 3) = 2 + 3 = 5 ,
(– 2) × (– 3) = 2 × 3 = 6 , (2) × (– 3) = −2 × 3 = −6 .
En las ecuaciones (1.2) y (1.3) las letras m y n son sı́mbolos empleados para representar
cualquier par de enteros. Son variables enteras, cuyos valores pertenecen al conjunto
(infinito) de los enteros.
La división de un entero por otro no da siempre un entero. Por ejemplo 6 ÷ 3 = 2,
pero 6 ÷ 4 no es un entero. Un conjunto de números para el que la división siempre es
válida es el conjunto de los número racionales, que consiste en todos los números m/n
donde m y n son enteros. La expresión m/n se lee ‘m partido por n’ y es la notación más
común para ‘m dividido por n’. La definición excluye el caso n = 0 porque la división
por cero no está definida (véase el Apartado 1.6), pero incluye el caso de los enteros
puesto que un entero m puede escribirse como m/1. Las reglas para la combinación de
números racionales (y, en general, de fracciones) son
m
n
+
p
q
=
mq + np
nq
(1.4)
m
n
× p
q
=
mp
nq
(1.5)
m
n
÷ p
q
=
m
n
× q
p
=
mq
np
(1.6)
donde, por ejemplo, mq significa m × q.
EJEMPLOS 1.3 Suma de fracciones
1. Sume
1
2
y
1
4
.
El número un medio es igual a dos cuartos y puede ser sumado a un cuarto para dar tres cuartos:
1
2
+
1
4
=
2
4
+
1
4
=
3
4
.
El valor de una fracción como 1/2 no cambia si el numerador y el denominador son ambos multipli-
cados por el mismo número:
1
2
=
1 × 2
2 × 2 =
2
4
y el método general de sumar fracciones es: (a) hallar un denominador común para las fracciones
por sumar, (b) expresar todas las fracciones en términos de ese denominador común, (c) sumar.
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
1.2. Números reales 5
2. Sume
2
3
y
4
5
.
Un denominador común es 3 × 5 = 15. Por lo tanto
2
3
+
4
5
=
2 × 5
3 × 5 +
3 × 4
3 × 5 =
10
15
+
12
15
=
22
15
.
3. Sume
1
4
y
5
6
.
Un denominador común es 4 × 6 = 24, pero el mı́nimo (menor) denominador común es 12:
1
4
+
5
6
=
3
12
+
10
12
=
13
12
.
EJEMPLO 1.4 Multiplicación de fracciones
2
3
× 4
5
=
2 × 4
3 × 5 =
8
15
.
Podemos interpretarlo como tomar dos tercios de 4/5 (o cuatro quintos de 2/3).
EJEMPLO 1.5 División de fracciones
2
3
÷ 4
5
=
2
3
× 5
4
=
10
12
.
El número 10/12 puede simplificarse ‘dividiendo arriba y abajo’ por el factor común 2: 10/12 = 5/6.
Todo número racional es la solución de una ecuación lineal
mx = n (1.7)
donde m y n sonenteros. La solución de la ecuación (1.7) es x = n/m. Sin embargo, no
todos los números son racionales. Por ejemplo, una solución de la ecuación cuadrática
x2 = 2
es x =
√
2, la raı́z cuadrada positiva de 2 (la otra solución es −√2), y este número no
puede escribirse como un número racional 4m/n. Se dice que es un número irracional.
Otros números irracionales se obtienen como soluciones de la ecuación cuadrática más
general
mx2 + nx + p = 0 ,
donde m, n y p son enteros arbitrarios, ası́ como de otras ecuaciones algebraicas de
órdenes superiores. Por ejemplo, una solución de la ecuación cúbica
x3 = 2
es la raı́z cúbica de 2, 3
√
2. Los números irracionales como
√
2 y 3
√
2 se llaman sordos.
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
6 Caṕıtulo 1. Números, variables y álgebra
Los números racionales e irracionales que se obtienen como soluciones de ecuacio-
nes algebraicas del tipo
a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = 0 , (1.8)
donde a0, a1, . . . an son enteros, se llaman números algebraicos. Estos números pueden
expresarse de manera exacta mediante un número finito de números racionales y sordos.
Existen otros tipos de números que no son algebraicos; no se obtienen como solucio-
nes de ninguna ecuación algebraica. Esos números son números irracionales llamados
números trascendentes: ‘trascienden el poder de los métodos algebraicos’ (Euler).2 Los
más conocidos y más importantes de ellos son el número de Euler e y el número arqui-
mediano π.3 Los tratamos en el Apartado 1.3.
Los números racionales y los irracionales forman el continuo de números. Todos
juntos son llamados los números reales.
1.3. Representación decimal de los números
Éstos son los nueve caracteres de los Indios
9 8 7 6 5 4 3 2 1
con estos mismos nueve caracteres y con este signo 0, que llaman los
árabes sefir, se escribe cualquier número, como se demostrará más
abajo.
(Fibonacci)4
02. Leonhard Euler (1707-1783). Nacido en Suiza, trabajó la mayor parte de su vida en San Peters-
burgo y en Berlı́n. Fue uno de los matemáticos más prolı́ficos del mundo, escribió ‘voluminosos trabajos
y gigantescos libros de texto’. Contribuyó a casi todas las ramas de las matemáticas y a sus aplicacio-
nes a problemas fı́sicos, incluyendo cálculo, ecuaciones diferenciales, series infinitas, funciones complejas,
mecánica e hidrodinámica, y su nombre se asocia con muchos teoremas y fórmulas. Una de sus contribu-
ciones importantes, si bien no espectacular, fue la notación matemática. Introdujo el sı́mbolo e, dio a las
funciones trigonométricas su definición moderna, y por su uso de los sı́mbolos sen, cos, i y π, los hizo ser
universalmente aceptados.
03. El sı́mbolo π fue empleado por vez primera por William Jones (1675-1749) en un libro de texto
sobre matemáticas, Synopsis palmariorum mathesos (Una nueva introducción a las matemáticas) en 1706.
El que Euler adoptara el sı́mbolo determinó su aceptación.
04. Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci (hacia 1170 - después de 1240). El matemático sobresaliente
del medioevo en occidente. En sus viajes a Egipto, Siria, Grecia y Sicilia, Fibonacci estudió los textos
matemáticos griegos y arábigos, y se familiarizó con el sistema posicional arábigo desarrollado por los
matemáticos indios del valle del Indo, en el noroeste de la India. El primer libro de Fibonacci, el Liber
abaci o Libro de los ábacos (1202, revisado en 1228), circuló ampliamente en forma de manuscrito pero
fue únicamente publicado en 1857 en Scritti di Leonardo Pisano. El primer capı́tulo empieza con la cita
que aparece más arriba en el texto.
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
1.3. Representación decimal de los números 7
En el sistema decimal de números, los diez dı́gitos 0 a 9 (numerales indo-arábigos)5 se
utilizan para el cero y los primeros nueve enteros positivos. El décimo entero positivo
se representa por 10. Un entero mayor, como ‘trescientos setenta y dos’ se expresa en la
forma
300 + 70 + 2 = 3 × 102 + 7 × 10 + 2
y se denota con el sı́mbolo 372, en el cual el valor de cada dı́gito depende de su posición
dentro del sı́mbolo del número. El sistema decimal tiene base 10, y es el único sistema
en uso general.
Aunque los números racionales pueden siempre expresarse exactamente como co-
cientes de enteros, esto no ocurre con los números irracionales. Para efectuar los cálcu-
los, todo número que no es entero se expresa convenientemente como una fracción
decimal,6 por ejemplo: 5/4 = 1,25 . La forma general de una fracción decimal consiste
en un entero a la izquierda de la coma decimal, la parte entera del número, y uno o más
dı́gitos a la derecha de la coma decimal, la parte decimal o fraccionaria del número. El
valor de cada dı́gito viene determinado por su posición. Por ejemplo
234,567 = 200 + 30 + 4 +
5
10
+
6
100
+
7
1000
= 2 × 102 + 3 × 101 + 4 × 100 + 5 × 10−1 + 6 × 10−2 + 7 × 10−3,
donde 100 = 1 (véase el Apartado 1.6).
Un número con un número finito de dı́gitos tras (a la derecha de) la coma decimal
puede escribirse siempre en forma racional m/n. Por ejemplo 1,234 = 1234/1000. Sin
embargo, lo contrario no siempre es cierto. El número 1/3 no puede expresarse exacta-
mente como una fracción decimal finita:
1
3
= 0,3333 . . .
05. Una de las principales fuentes que introdujeron el sistema posicional indo-arábigo en la Europa
occidental fue la Aritmética de Al-Khwarizmi. Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (Mohammed hijo de
Moisés de Khorezm, la moderna Khiva en Uzbekistán) ejerció en los tiempos del califa de Bagdad Al-
Mamún (813-833), y fue probablemente un miembro de su “Casa de la sabidurı́a” (Academia) en la época
en que Bagdad era la mayor ciudad del mundo. El Álgebra de Al-Khwarizmi fue utilizado ampliamente en
árabe y en su traducción latina como fuente sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. La palabra algoritmo
proviene del nombre del autor y la palabra álgebra proviene del tı́tulo, Liber algebrae et almucabala, que
puso Robert de Chester en la traducción latina (hacia 1140) del trabajo sobre las ecuaciones.
06. El uso de fracciones decimales fue introducido en las matemáticas europeas por el matemático e
ingeniero flamenco Simon Stevin (1548-1620) en su De Thiende (El arte de las décimas) en 1585. Aunque
las fracciones decimales ya eran usadas por los chinos desde varios siglos antes, y el astrónomo persa Al-
Kashi utilizó fracciones decimales y sexagesimales en su Llave de la Aritmética a principios del siglo XV, el
uso generalizado de las fracciones decimales en las matemáticas europeas se remonta directamente a Stevin,
especialmente después que John Napier modificase la notación y diese la actual con el punto decimal (o
la coma, como se usa en gran parte de la Europa continental). Esto simplifica mucho las operaciones de
multiplicación y división.
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
8 Caṕıtulo 1. Números, variables y álgebra
los puntos suspensivos indican que la fracción debe extenderse de manera indefinida.
Redondeado a cuatro cifras decimales, el número tiene por cotas inferior y superior
0,3333 y 0,3334:
0,3333 <
1
3
< 0,3334,
donde el sı́mbolo < significa ‘menor que’. Otros sı́mbolos del mismo tipo son > para
‘mayor que’ y ≤ para ‘menor o igual que’. Otros ejemplos de fracciones decimales que
no terminan son
1
7
= 0,142857 142857 . . . ,
1
12
= 0,083333 333333 . . .
En ambos casos se repiteindefinidamente una secuencia finita de dı́gitos tras la coma
decimal, ya sea inmediatamente después de la coma decimal, como la secuencia 142857
en 1/7, o después de un número finito de dı́gitos previos, como 3 en 1/12. Ésta es una
propiedad caracterı́stica de los números racionales.
Un número irracional no puede ser expresado exactamente. El número
√
2 tiene como
valor aproximado con 16 cifras significativas
√
2 = 1,41421 35623 73095 . . .
y puede ser calculado hasta cualquier precisión deseada por medio de un método numéri-
co como el de Newton-Raphson que tratamos en el Capı́tulo 20. En contraste con el caso
racional, los dı́gitos tras la coma decimal no muestran una secuencia que se repita.
El número arquimediano π
El número π se define como la razón de la circunferencia de un cı́rculo a su diámetro.
Es un número trascendente y no puede ser representado exactamente mediante un núme-
ro finito de dı́gitos.7 Su valor ha sido calculado con muchas cifras significativas. Euler lo
dio con 127 cifras decimales en 1748. Su valor con 16 cifras significativas es
π = 3,14159 26535 89793 . . .
El valor de π ha sido de importancia práctica desde hace miles de años. Por ejemplo, un
manuscrito egipcio de aproximadamente 1650 a.C. (el papiro Rhind del Museo Británico
de Londres) contiene una receta para el cálculo del volumen de un silo cilı́ndrico de la
07. La prueba de la irracionalidad de π fue dada primero en 1761 por el fı́sico y matemático alemán
Johann Heinrich Lambert (1728-1777) que es también conocido por haber introducido las funciones hi-
perbólicas en trigonometrı́a. La prueba de que el número π es trascendente se debe a Carl Louis Ferdinand
von Lindemann (1852-1939), quien lo demostró en 1882 con un método similar al empleado por Hermite
para e.
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
1.3. Representación decimal de los números 9
cual se deduce el valor aproximado 256/81 ≈ 3,160. Arquı́medes8 usó por primera vez
un método para generar aproximaciones precisas, determinando las cotas
223
71
< π <
22
7
,
y la cota superior tiene un error de sólo 2 partes por mil.
El número e de Euler
El número e se define mediante la ‘serie infinita’ (véase el Capı́tulo 7)
e = 1 +
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+ . . .
= 2,71828 18284 59045 . . .
la cantidad n! (que se lee ‘n factorial’) se denomina factorial de n, y se define para
enteros positivos como
n! = 1 × 2 × 3 × . . . × n ,
por ejemplo: 3! = 1× 2× 3 = 6, 4! = 1× 2× 3× 4 = 24. Además, el factorial de cero
se define como 0! = 1. El valor de e puede calcularse mediante la serie con cualquier
precisión deseada. Hermite9 demostró en 1873 que es un número trascendente.
EJEMPLO 1.6 Demuestre que la suma de los 10 primeros términos de la serie da un valor aproximado
de e que es correcto al menos con 6 cifras significativas.
e = 1 + 1 +
1
2
+
1
6
+
1
24
+
1
120
+
1
720
+
1
5040
+
1
40320
+
1
362880
+
1
3628800
+ . . .
≈ 1 + 1 + 0,5 + 0,1666667 + 0,041667 + 0,008333 + 0,001389 + 0,000198
+ 0,000025 + 0,000003 + 0,0000003
≈ 2,71828 .
08. Arquı́medes (287-212 a.C.) nació en Siracusa, en Sicilia. Hizo contribuciones a las matemáticas,
la mecánica y la astronomı́a, y fue un gran inventor de máquinas. Sus principales contribuciones a las ma-
temáticas y a las ciencias matemáticas fueron la invención de métodos para determinar áreas y volúmenes,
que anticiparon el cálculo integral, y el descubrimiento de la primera ley de la hidrostática y de la ley de la
palanca.
09. Charles Hermite (1822-1901). Matemático francés, profesor en la Sorbona, es conocido por sus
trabajos en álgebra y en teorı́a de números. Su trabajo sobre el álgebra de los números complejos (las
‘formas hermı́ticas’) adquirió importancia con la formulación de la teorı́a cuántica. La ecuación diferencial
de Hermite y los polinomios de Hermite son importantes en la resolución de la ecuación de Schrödinger
para el oscilador armónico.
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
10 Caṕıtulo 1. Números, variables y álgebra
El valor es correcto hasta las seis cifras dadas porque cada término adicional de la serie es por lo menos
diez veces menor que el anterior.
Cifras significativas y redondeo
En la práctica, la aritmética que trata sólo con enteros da resultados exactos (salvo que
los números sean demasiado grandes para ser escritos). Más generalmente, un número
en el sistema decimal se aproxima ya sea con un número dado de decimales, o con
un número dado de cifras significativas, y el resultado de una operación aritmética es
también aproximado. En la representación en coma fija, todos los números se dan con
un número fijo de decimales. Por ejemplo,
3,142 , 62,358 , 0,013 , 1,000 .
tienen todos 3 cifras decimales. En la representación en coma flotante, utilizada más ge-
neralmente en ciencias, los números se dan con un número fijo de ‘cifras significativas’,
donde los ceros a la izquierda no cuentan. Por ejemplo,
3210 = 0,3210 × 104, 003,210 = 0,3210 × 101, 0,003210 = 0,3210 × 10−2 ,
tienen todos 4 cifras significativas.
Un número cuya representación (decimal) exacta necesita más del número dado de
dı́gitos se reduce de manera sencilla por truncación, esto es, suprimiendo o sustituyendo
por ceros los dı́gitos superfluos a la derecha. Por ejemplo, con 4 cifras decimales, o 5
cifras significativas, 3,14159 se trunca a 3,1415. Truncar no es recomendable porque
puede conducir a serios errores de cálculo. Una aproximación más sensata (precisa) de
π con cinco cifras es 3,1416, y se obtiene por redondeo. Las reglas más comúnmente
aceptadas para redondear son:
(i) Si el primer dı́gito desechado es mayor o igual a 5, el dı́gito anterior se incrementa
en 1. El número es redondeado al alza.
(ii) Si el primer dı́gito desechado es menor que 5, el dı́gito anterior se deja como está.
El número es redondeado a la baja. Por ejemplo, para 4, 3, 2 y 1 cifras decimales,
7,36284 es 7,3628 , 7,363 , 7,36 , 7,4 .
1.4. Números complejos
Las soluciones de ecuaciones algebraicas no son siempre números reales. Por ejem-
plo, las soluciones de la ecuación
x2 = −1
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
1.5. Variables 11
no son ninguno de los números descritos en el Apartado 1.2. Se incorporan al sistema
de números definiendo la raı́z cuadrada de −1 como un nuevo número que se representa
generalmente por el sı́mbolo i (algunas veces j) con la propiedad
i2 = −1 .
Las dos raı́ces cuadradas de un número real negativo arbitrario −x2 son entonces ix y
−ix. Por ejemplo,
√−16 =
√
16 ×√−1 = ±4i .
Estos números se llaman imaginarios para distinguirlos de los números reales. Más
generalmente, el número
z = x + i y ,
donde x e y son reales, se llama un número complejo. Tratamos los números complejos
en el Capı́tulo 8.
1.5. Variables
En los apartados previos hemos usado sı́mbolos (letras) para representar números
arbitrarios. Una cantidad que puede tomar cualquier valor escogido dentro de un con-
junto de valores se llama una variable. Si {x1, x2, x3, . . . , xn} es un conjunto de objetos,
no necesariamente números, entonces podemos definir mediante ese conjunto una va-
riable x que tenga como valor cualquiera de los miembros del conjunto. El conjunto es
el dominio de la variable. En teorı́a de números (reales), los objetos del conjunto son
números reales, y una variable real puede tener como dominio o bien todo el continuode los números reales o bien un subconjunto de éste. Si el dominio de la variable x es un
intervalo desde a hasta b,
a ≤ x ≤ b ,
entonces x es una variable continua en el intervalo y puede tomar cualquier valor en el
intervalo continuo de valores desde a hasta b (incluidos a y b). Si el dominio consiste
en un conjunto discreto de valores, por ejemplo los n números x1, x2, x3, . . . , xn, se dice
entonces que x es una variable discreta. Si el dominio consiste en enteros, x es una
variable entera. Si el conjunto consiste en un único valor, entonces se dice que es una
variable constante, o sencillamente una constante.
En las ciencias fı́sicas se usan variables para representar números y cantidades fı́sicas
por igual. En el ejemplo del gas ideal comentado en el Apartado 1.1, p, V , n y T son
variables continuas cuyos valores numéricos pueden en principio ser cualquier número
real positivo. Las variables discretas aparecen normalmente cuando los objetos son con-
tados por oposición a medidos. Tı́picamente, se emplea una variable discreta para contar
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
12 Caṕıtulo 1. Números, variables y álgebra
y los objetos contados son una muestra de algún conjunto discreto. Sin embargo, a veces
una cantidad fı́sica puede tener valores que en algunos casos pertenecen a un conjunto
discreto y en otros a un conjunto continuo. Es el caso de los niveles de energı́a y de las
frecuencias espectrales observadas en un átomo o en una molécula.
EJEMPLO 1.7 El espectro del átomo de hidrógeno
Los niveles de energı́a del átomo de hidrógeno son de dos tipos:
(i) Niveles de energı́a discretos (cuantizados) con energı́as (negativas) dadas por la fórmula (en unidades
atómicas, véase el Apartado 1.7)
En = − 1
2n2
, n = 1, 2, 3 . . .
Los estados correspondientes del átomo son los estados ligados, en los cuales el movimiento del electrón
está confinado a las proximidades del núcleo. Las transiciones entre niveles de energı́a dan lugar a lı́neas
discretas en el espectro del átomo.
(ii) Niveles de energı́a continuos, con todas las energı́as positivas, E ≥ 0. Los correspondientes estados del
átomo son los de un electrón que se mueve en presencia del campo electrostático de la carga nuclear. Las
transiciones entre esos niveles de energı́a y los de los estados ligados dan lugar a intervalos continuos de
frecuencias espectrales.
La importancia del concepto de variable se debe a que las variables se pueden utilizar
para hacer afirmaciones sobre propiedades de conjuntos completos de números (u otros
objetos) y a que permiten la formulación de un conjunto de reglas para manipular núme-
ros. El conjunto de reglas se llama el álgebra.
1.6. El álgebra de los números reales
Sean a, b y c variables reales cuyos valores pueden ser cualquier número real. Las re-
glas básicas para combinar dos números reales, el álgebra de números reales o aritmética,
son
1. a + b = b + a (ley conmutativa de la suma)
2. ab = ba (ley conmutativa de la multiplicación)
3. a + (b + c) = (a + b) + c (ley asociativa de la suma)
4. a(bc) = (ab)c (ley asociativa de la multiplicación)
5. a(b + c) = ab + ac (ley distributiva)
Las operaciones de suma y multiplicación, y sus inversas, resta y división, se llaman
operaciones aritméticas. Los sı́mbolos +,−, × y ÷ (o bien /) se llaman operadores
aritméticos. El resultado de multiplicar dos números, ab = a × b, se llama producto.
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
1.6. El álgebra de los números reales 13
EJEMPLOS 1.8 Leyes de la aritmética (a = 2, b = 3, c = 4)
(1) 2 + 3 = 3 + 2 = 5 ,
(2) 2 × 3 = 3 × 2 = 6 ,
(3) 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 , y
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 ,
(4) 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24 , y
(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24 ,
(5) 2 × (3 + 4) = 2 × 7 = 14 , y
2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4) = 6 + 8 = 14 .
Estos ejemplos muestran el convenio de que las expresiones algebraicas (o aritméticas)
entre paréntesis deben ser evaluadas primero.
Tres reglas definen las propiedades del cero y de la unidad:
6. a + 0 = 0 + a = a (suma de cero)
7. a × 0 = 0 × a = 0 (multiplicación por cero)
8. a × 1 = 1 × a = a (multiplicación por la unidad)
Ya hemos visto que la resta de un número es lo mismo que la suma de su opuesto, y
que la división por un número es lo mismo que multiplicar por su inverso. Sin embargo,
la división por cero no está definida: no hay ningún número cuyo inverso sea cero. El
número 1/a para valores de a positivos, por ejemplo, se hace arbitrariamente grande
cuando el valor de a se acerca a cero. Decimos que 1/a tiende a infinito cuando a
tiende a cero:
1
a
→ ∞ cuando a → 0 .
Aunque representamos ‘infinito’ por el sı́mbolo ∞, no es un número. Si lo fuera, por las
leyes del álgebra las ecuaciones 1/0 = ∞ y 2/0 = ∞ implicarı́an 1 = 2 .
El valor absoluto de un número real a se define como la raı́z cuadrada positiva de a2,
|a| = +√a2. Es la ‘magnitud’ del número, igual a a si a es positivo, e igual a −a si a es
negativo:
|a| = +a si a > 0 ,
|a| = −a si a < 0 .
Por ejemplo, |3| = 3 y | − 3| = 3.
La ley de los exponentes
Los números se escriben a menudo en la forma am, donde a se llama la base y m el
exponente. Por ejemplo, 100 = 102, ó 16 = 24. Cuando el exponente m es un entero
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
14 Caṕıtulo 1. Números, variables y álgebra
positivo, el número am se define como la m-ésima potencia de a y, para números reales,
a puede ser cualquier número tanto positivo como negativo. Por ejemplo,
a3 = a × a × a, (– a)3 = (– a) × (– a) × (– a) = (– 1)3 × a3 = −a3 .
También se pueden definir números con exponentes negativos o no enteros, y la regla
básica para la combinación de tales números es
9. aman = am+n (ley de los exponentes)
Por ejemplo
a2a3 = (a × a) × (a × a × a) = a × a × a × a × a = a5 .
Otras reglas suplementarias son
10. am/an = am−n 11. (am)n = (an)m = am×n 12. (ab)m = ambm
Las reglas 9 y 10 definen un número con un exponente negativo. Ası́, si sustituimos n
por −n, la regla 9 nos da ama−n = am−n y comparándolo con la regla 10 nos muestra que
a−n =
1
an
.
Por ejemplo, 25 × 2−2 = 25−2 = 23 por la regla 9, y 25/22 = 25−2 = 23 por la regla 10, de
manera que 2−2 = 1/22 = 1/4. Además, tomar m = n en la regla 10 nos da
am/am = am−m = a0 = 1
y cualquier número elevado a la potencia cero es igual a la unidad.
La regla 11 es inmediata si m y n son enteros. Por ejemplo,
(23)2 = 23 × 23 = 26 = 23×2, (22)3 = 22 × 22 × 22 = 26 = 22×3 .
Para exponentes fraccionarios, consideramos
21/2 × 21/2 = 21 = 2 .
De donde se deduce que 21/2 =
√
2, la raı́z cuadrada de 2. En general, a1/m es la raı́z
m-ésima de a,
a1/m = m
√
a .
Por ejemplo, 21/3 es la raı́z cúbica de 2 porque (21/3)3 = 21 = 2. Vemos que para un
exponente no entero, am puede ser complejo si a es negativo. Por ejemplo, (– 2)1/2 =
(– 1)1/2 × 21/2 = i√2 es complejo (véanse el Apartado 1.4 y el Capı́tulo 8).
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
1.7. Unidades 15
Para un exponente cualquiera racional, consideramos usando la regla 11
43/2 = (41/2)3 = 8 .
El exponente racional m/n puede considerarse como el producto del entero m y de la
fracción 1/n, y el número resultante puede escribirse ya sea como la raı́z n-ésima de la
m-ésima potenciao como la m-ésima potencia de la raı́z n-ésima:
am/n = (am)1/n = (a1/n)m ,
o, de forma equivalente,
am/n = n
√
am = ( n
√
a)m .
Aunque hemos demostrado las reglas de los exponentes únicamente para exponentes en-
teros y racionales, se aplican también a los números con exponentes irracionales y, si se
permiten números complejos, a todo número escrito en la forma base/exponente. Cuando
m es una variable, am se llama función exponencial (véase el Apartado 3.5 para expo-
nentes reales y el Capı́tulo 8 para exponentes complejos). Si x = am, m es el logaritmo
en base a de x (véase el Apartado 3.6).
Hemos tratado en detalle la ley de los exponentes porque es una fuente común de
errores en las manipulaciones algebraicas.
EJEMPLOS 1.9 La ley de los exponentes
regla ejemplo
aman = am+n 23 × 22 = 23+2 = 25
23/4 × 2−1/4 = 23/4−1/4 = 21/2
am/an = am−n 23/4/21/4 = 23/4−1/4 = 21/2
24/2−2 = 24−(−2) = 24+2 = 26
(am)n = (an)m = amn (23)1/3 = (21/3)3 = 21 = 2
(2
√
2)
√
2 = 2
√
2×√2 = 22 = 4
(ab)m = ambm (2 × 3)2 = 22 × 32
(– 8)1/3 = (– 1)1/3 × 81/3 = −2
EJEMPLO 1.10 Un ejemplo de lo que no hay que hacer
De la regla de los exponentes se deduce que
√
ab = (ab)1/2 = a1/2b1/2 .
Por ejemplo,
√
36 =
√
4
√
9 = 2 × 3 = 6.
Pero √
a + b �= √a +
√
b
donde �= significa ‘no es igual a’. Por ejemplo,
√
9 + 16 =
√
25 = 5 y
√
9 + 16 �=
√
9 +
√
16 = 3 + 4 = 7 .
Este es un error sorprendentemente frecuente.
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
16 Caṕıtulo 1. Números, variables y álgebra
1.7. Unidades
Una cantidad fı́sica tiene dos atributos esenciales, magnitud y dimensiones. Por
ejemplo, la cantidad ‘2 metros’ tiene dimensiones de longitud y tiene magnitud igual a
dos veces la del metro. El metro es una cantidad fı́sica constante que define las dimensio-
nes de la cantidad y proporciona una escala para especificar la magnitud de una longitud
arbitraria; es una unidad de longitud. En general, una cantidad fı́sica es el producto de
un número y de una unidad. Toda cantidad fı́sica puede expresarse en términos de sie-
te cantidades ‘fundamentales’ cuyos nombres y sı́mbolos aparecen en las dos primeras
columnas de la Tabla 1.1.
Tabla 1.1 Cantidades fı́sicas fundamentales y unidades SI
Cantidad Sı́mbolo para Nombre de Sı́mbolo de
fı́sica la cantidad la unidad SI la unidad SI
longitud l metro m
masa m kilogramo kg
tiempo t segundo s
corriente eléctrica I amperio A
temperatura T kelvin K
cantidad de materia n mol mol
intensidad lumı́nica Iν candela cd
Los sı́mbolos en la segunda columna definen las dimensiones de las cantidades fı́sicas
fundamentales, y las dimensiones de todas las demás cantidades pueden expresarse en
función de ellas. Por ejemplo, la velocidad es la distancia recorrida por unidad de tiempo
y tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo, lt−1. Las dimensiones de una can-
tidad fı́sica son independientes del sistema de unidades utilizado para describir su valor.
Todo sistema de unidades debe, sin embargo, ajustarse a las dimensiones. Por ejemplo,
en un sistema de unidades en el cual la unidad de longitud es el metro, m, y la unidad
de tiempo es el segundo, s, la unidad de velocidad es metro por segundo, ms−1. Algunas
cantidades fı́sicas no tienen dimensiones. Ese es el caso de una cantidad que es el cocien-
te de dos otras con las mismas dimensiones. Ejemplos de esto son la densidad relativa, la
masa molar relativa y la fracción molar. Un ejemplo menos evidente es el ángulo (plano)
que se define en términos del cociente entre dos longitudes (véase el Apartado 3.1).
Vimos en el Apartado 1.1 que las unidades obedecen las leyes del álgebra ordinaria.
Una de las lecciones del ejemplo es que las dimensiones, y por lo tanto las unidades, a
ambos lados de una ecuación tienen que coincidir.
EJEMPLO 1.11 Para la ecuación de los gases ideales, pV = nRT , las dimensiones de pV (utilizando las
Tablas 1.1 y 1.2) son las de trabajo (o energı́a)
(ml−1t−2) × l3 = ml2t−2 .
La correspondiente expresión en términos de unidades SI es Pa m3 = J. En el segundo miembro de (1.1),
para nRT ,
(mol)(JK−1 mol−1)(K) = J
como es necesario.
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
1.7. Unidades 17
Se utiliza toda una variedad de sistemas de unidades, muchos adaptados a las necesida-
des de las disciplinas particulares de las ciencias fı́sicas. El sistema recomendado para
las ciencias fı́sicas, y para la quı́mica en particular, es el Sistema Internacional de Unida-
des (SI) que se basa en las siete unidades de base cuyos nombres y sı́mbolos se reseñan
en la Tabla 1.1. Toda cantidad fı́sica tiene una unidad SI determinada por sus dimensio-
nes. La unidad SI de velocidad es el metro por segundo, ms−1. Además de las unidades
fundamentales, un cierto número de cantidades que son particularmente importantes en
las ciencias fı́sicas tienen asignados nombres y sı́mbolos SI. Algunos de estos aparecen
en la Tabla 1.2.
Tabla 1.2 Unidades SI derivadas con nombres especı́ficos y sı́mbolos
Cantidad fı́sica Nombre Sı́mbolo Descripción
frecuencia hercio Hz eventos por unidad de tiempo s−1
fuerza newton N masa × aceleración kg m s−2
presión pascal Pa fuerza por unidad de área N m−2
energı́a, trabajo, calor julio J fuerza × distancia N m
potencia vatio W trabajo por unidad de tiempo J s−1
carga eléctrica culombio C corriente × tiempo A s
potencial eléctrico voltio V trabajo por unidad de carga J C−1
capacitancia eléctrica faradio F carga por unidad de potencial C V−1
resistencia eléctrica ohmio Ω potencial por unidad de corriente V A−1
conductancia eléctrica siemens S corriente por unidad de potencial Ω−1
flujo magnético weber Wb trabajo por unidad de corriente J A−1
densidad de flujo
magnético tesla T flujo magnético por unidad de área Wb m−2
inductancia henrio H flujo magnético por unidad de
corriente Wb A−1
ángulo plano radián rad ángulo subtendido por la unidad
de arco en el centro del cı́rculo
unidad 1
ángulo sólido estereo- sr ángulo sólido subtendido por la
rradián unidad de superficie en el centro
de la esfera unidad 1
Los múltiplos de diez de las unidades SI tienen nombres formados con los nom-
bres de las unidades y los prefijos reseñados en la Tabla 1.3. Por ejemplo, un pico-
metro es pm = 10−12 m, un decı́metro es dm = 10−1 m. Estas unidades de longitud
se usan frecuentemente en quı́mica: concentraciones en moles por decı́metro cúbico,
mol dm−3 = 103 mol m−3, y longitudes de enlaces moleculares en picometros.
Cálculos aproximados
A menudo se utilizan las potencias de 10 como una descripción del orden de mag-
nitud. Por ejemplo, si una longitud A es dos órdenes de magnitud mayor que la longitud
B, entonces es unas 102 = 100 veces mayor. En algunos cálculos que involucran una
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
18 Caṕıtulo 1. Números, variables y álgebra
variedad amplia de órdenes de magnitud puede ser de ayuda, para evitar errores, calcular
el orden de magnitud de la respuesta antes de embarcarse en todo el cálculo detallado.
La manera más sencilla de hacer tal ‘cálculo del orden de magnitud’ es convertir todas
las cantidades fı́sicas a la unidades SI fundamentales y aproximar la magnitud de cada
una por una potencia apropiada de diez, posiblemente multiplicada por un entero. Tales
cálculos son a menudo sorprendentemente exactos.
Tabla 1.3 Prefijos SI
Múltiplo Prefijo Sı́mbolo Múltiplo Prefijo Sı́mbolo
10 deca da 10−1 deci d
102 hecto h 10−2 centi c
103 kilok 10−3 mili m
106 mega M 10−6 micro µ
109 giga G 10−9 nano n
1012 tera T 10−12 pico p
1015 peta P 10−15 femto f
1018 exa E 10−18 atto a
EJEMPLO 1.12 Para el Ejemplo del Apartado 1.1 (desechando las unidades),
V =
nRT
p
=
0,1 × 8,31451 × 298
105
= 2,478 × 10−3
dos estimaciones de la respuesta son
1. V ≈ 10
−1 × 10 × 102
105
= 10−3
2. V ≈ 10
−1 × 8 × 300
105
= 2,4 × 10−3
Unidades atómicas
Las ecuaciones del movimiento en mecánica cuántica se complican por la presencia
de las cantidades fı́sicas me, masa en reposo del electrón, e, carga del protón, h, constante
de Planck, y �0, permitividad del vacı́o. Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger para el
movimiento de un electrón alrededor del núcleo estacionario en el átomo de hidrógeno
es
− h
2
8π2me
∇2ψ − e
2
4π�0r
ψ = Eψ . (1.9)
Las cuatro cantidades determinadas experimentalmente pueden usarse como unidades
fundamentales para construir unidades atómicas para todas aquellas cantidades fı́sicas
que tienen que ver con longitud, masa, tiempo y corriente eléctrica (las cuatro primeras
entradas de la Tabla 1.1). Presentamos algunas de las unidades atómicas en la Tabla
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
1.8. Ejercicios 19
1.4. Las unidades atómicas de longitud y energı́a tienen nombre: la unidad de longitud,
a0 se llama el bohr, y es la distancia más probable del electrón al núcleo en el estado
fundamental del átomo de hidrógeno (el radio de la órbita del estado fundamental en la
‘vieja teorı́a cuántica’ de Bohr). La unidad de energı́a, Eh, se llama el hartree, y es igual
a dos veces la energı́a de ionización del átomo de hidrógeno. Las unidades atómicas
son de amplio uso en quı́mica cuántica. El convenio es dar cada cantidad fı́sica como
una expresión de las unidades atómicas, y eliminar la unidad de la expresión: para una
distancia r, por ejemplo, la cantidad adimensional r/a0 se sustituye por r. Si hacemos
esto en la ecuación (1.9), la ecuación adimensional resultante es
−1
2
∇2ψ − 1
r
ψ = Eψ . (1.10)
A menudo se refiere uno a la ecuación en esta forma como la “ecuación de Schrödin-
ger en unidades atómicas”. Los resultados de los cálculos son entonces números que
deben ser reinterpretados como cantidades fı́sicas. Por ejemplo, la cantidad E en la
ecuación (1.9) es una energı́a. La resolución de la ecuación (1.10) nos da los núme-
ros E = −1/2n2, para todo entero positivo n, y estos números se interpretan entonces
como las energı́as E = (– 1/2n2)Eh.
Tabla 1.4 Unidades atómicas
Cantidad fı́sica Unidad atómica Valor en unidades SI
masa me 9,10939 × 10−31kg
carga e 1,60218 × 10−19C
momento angular � = h/2π 1,05457 × 10−34 J s
longitud a0 = 4π�0�2/mee2 5,29177 × 10−11 m
energı́a Eh = mee4/16π2�02�2 4,35975 × 10−18 J
tiempo �/Eh 2,41888 × 10−17s
corriente eléctrica eEh/� 6,62362 × 10−3A
potencial eléctrico Eh/e 2,72114 × 101V
momento dipolar eléctrico ea0 8,47836 × 10−30 C m
intensidad de campo eléctrico E Eh/a0e 5,14220 × 1011 V m−1
polarizabilidad eléctrica α 4πa03 1,64857 × 10−41 F m2
momento dipolar magnético e�/me 1,85464 × 10−23 J T−1
densidad de flujo magnético �/ea02 2,35055 × 105 J
magnetizabilidad ξ e2a02/me 7,89023 × 10−29 J T−2
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
20 Caṕıtulo 1. Números, variables y álgebra
1.8. Ejercicios
Apartado 1.2
Calcule y exprese cada resultado en su forma más sencilla:
1.
1
4
+
1
8
2.
1
3
+
1
6
3.
3
4
− 5
7
4.
2
9
− 5
6
5.
(
3
4
)
+
(
−1
8
)
6.
(
−3
4
)
+
(
5
8
)
7.
(
−1
5
)
+
(
− 3
10
)
8.
(
−1
4
)
−
(
1
8
)
9.
(
−1
4
)
−
(
−3
8
)
10.
1
2
× 3
4
11. 2 × 3
4
12.
2
3
× 5
6
13.
(
1
2
)
×
(
−3
4
)
14.
(
−1
4
)
×
(
3
2
)
15.
(
−1
2
)
×
(
−3
4
)
16.
3
4
÷ 4
5
17.
2
3
÷ 5
3
18.
2
15
÷ 4
5
19.
(
3
4
)
÷
(
−4
5
)
20.
(
−3
4
)
÷
(
4
5
)
21.
(
−3
4
)
÷
(
−4
5
)
Apartado 1.3
22. Exprese como fracciones decimales:
10−2, 2 × 10−3, 5 × 10−6, 300 + 2 + 3 × 10−4 .
23. Halle la secuencia de dı́gitos que se repite en la representación con fracciones decimales de
2
9
,
1
6
,
13
3
,
1
21
.
24. Halle cotas superiores e inferiores con 6 cifras significativas exactas para
1
7
,
2
9
,
1
11
, π, e .
25. Halle los valores de los factoriales 5!, 6!, 7!, 8!, 9!, 10! .
26. Calcule
3!
2!
,
6!
3!
,
5!
2!3!
.
Apartado 1.6
Simplifique cuando sea posible:
27. a2a3 28. a3a−3 29. a3a−4 30. a3/a2
31. a5/a−4 32. (a3)4 33. (a2)−3 34. (1/a2)−4
35. a1/2a1/3 36. (a2)3/2 37. (a3b6)2/3 38. (a2 + b2)1/2
39. 91/2 40. 82/3 41. (32)3/5 42. (27)−4/3
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
1.8. Ejercicios 21
Apartado 1.7
Identifique una cantidad fı́sica con cada una de las siguientes dimensiones (columna 2 de la Tabla 1.1) e
indique sus unidades SI:
43. ml−3 44. nl−3 45. lt−2 46. mlt−1
47. mlt−2 48. ml2t−2 49. ml−1t−2 50. It
51. ml2I−1t−3 52. mI−1t−2
Exprese en unidades fundamentales SI (columna 4 de la Tabla 1.1):
53. dm−3 54. cm ms−2 55. g dm−3 56. mg pm µs−2
57. dg mm−1 ns−2 58. mV cm−1 59. kN dm 60. mmol dm−3
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
� Funciones algebraicas
2.1. Conceptos
Escribir la ecuación de estado (1.1) de los gases ideales en la forma
V =
nRT
p
supone que, para cualquier estado del sistema, el valor del volumen V (la variable depen-
diente) se determina mediante los valores de la presión p, la temperatura T y la cantidad
de materia n (las variables independientes). En general, decimos que una variable de-
pendiente es función de la variable o de las variables de las que depende.1 En el ejemplo
precedente, V es una función de las tres variables p, T y n. En este capı́tulo trataremos
las funciones de una variable únicamente. El caso de más de una variable independiente
lo comentamos en el Capı́tulo 9.
Sea la variable y una función de la variable x. Por ejemplo, la ecuación
y = 2x2 − 3x + 1 (2.1)
nos da y como una función particular de x. Para cada valor de x el valor de y viene dado
por el segundo miembro de la ecuación. Esta expresión define una función f
f (x) = 2x2 − 3x + 1 (2.2)
cuyo valor para cada valor de x dado es asignado a la variable y (se lee f (x) como ‘f de
x’). La función f es la regla para calcular y a partir de x.
Una función toma valores numéricos cuando se asignan valores numéricos a las va-
riables.
01. La palabra ‘función’ fue utilizada por primera vez en este contexto por el matemático alemán
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
ht
tp
s:/
/w
ww
.ja
m
ar
an
a.
co
m
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s_
inf
o
ht
tp
s:/
/t.
m
e/
un
ive
rs
ita
rio
s
https://t.me/universitarios_infohttps://www.jamarana.com https://t.me/universitarios
24 Caṕıtulo 2. Funciones algebraicas
EJEMPLO 2.1 Los valores de la función (2.2) para x = 2, x = 1 y x = 0 son
f (2) = 2 × 22 − 3 × 2 + 1 = 3
f (1) = 2 × 12 − 3 × 1 + 1 = 0
f (0) = 2 × 02 − 3 × 0 + 1 = 1
Sin embargo, el concepto de función es más general que esto, porque la variable x puede
ser sustituida por otra variable, por otra función o por una cantidad más complicada,