XXXinternXXXEspacios Topologicos (1)

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Caṕıtulo 2
Espacios topológicos
2.1. Definición y ejemplos
Definición 2.1.1. Sea X un conjunto y τ ⊂ P(X) una colección de subconjuntos de X.
Diremos que τ es una topoloǵıa en X si satisface las siguientes propiedades:
(1) ∅ y X son elementos de τ .
(2) Si {Uλ}λ∈Λ es una familia de elementos de τ entonces⋃
λ∈Λ
Uλ
es un elemento de τ .
(3) Si U1, . . . , Un son elementos de τ , entonces
U1 ∩ . . . ∩ Un
es un elemento de τ .
El par (X, τ) se denomina espacio topológico y los elementos de τ se denominan abiertos de X.
Observación 2.1.2. Nótese que la condición (3) de la definición es equivalente a la siguiente
condición:
(3*) Si U y V son elementos de τ , entonces U ∩ V es un elemento de τ .
Resumiento, una topoloǵıa τ en un conjunto X es una colección de subconjuntos de X que con-
tiene al conjunto vaćıo y al conjunto total, es cerrada para unión y es cerrada para las intersecciones
finitas.
1
2 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Ejemplos
Sea X un conjunto arbitrario.
1. τD = P(X) es una topoloǵıa en X a la que llamaremos topoloǵıa discreta.
2. τI = {∅, X} es una topoloǵıa en X a la llamaremos topoloǵıa indiscreta o trivial.
3. τCF = {U ⊂ X | X \ U es finito} ∪ {∅} es una topoloǵıa X denominada topoloǵıa cofinita.
Veamos que τCF es una topoloǵıa en X. Para ello comprobamos que cumple las propiedades
(1), (2) y (3*).
(1) X ∈ τCF ya que X \ X = ∅ que es un conjunto finito. Por otro lado, ∅ ∈ τCF por
definición.
(2) Sea {Uλ}λ∈Λ una familia arbitraria de subconjuntos de τCF . Veamos que X \ ∪λ∈ΛUλ es
finito. Para ello observemos que
X \
⋃
λ∈Λ
Uλ =
⋂
λ∈Λ
(X \ Uλ).
Entonces, dado que X \ Uλ es finito para cada λ ∈ Λ se sigue que X \ ∪λ∈ΛUλ es finito
y, como consecuencia, ∪λ∈ΛUλ es un elemento de τCF .
(3*) Sean U y V dos elementos de τCF . Veamos que X \ (U ∩ V ) es finito. Obsérvese que
X \ (U ∩ V ) = (X \ U) ∪ (X \ V )
y dado, que X \U y X \ V son finitos se sigue X \ (U ∩ V ) es finito y, por tanto, U ∪ V
es un elemento de τCF .
4. Sean S = {0, 1} y τ = {S, ∅, {0}}.
Es inmediato comprobar que τ es una topoloǵıa en S. El par (S, τ) consistente en el conjunto
S dotado con la topoloǵıa τ se denomina espacio de Sierpinski.
El conjunto S admite cuatro topoloǵıas diferentes que son τD, τI , la topoloǵıa τ antes descrita
y la topoloǵıa τ ′ = {S, ∅, {1}}. Sin embargo las topoloǵıas τ y τ ′ son “la misma” ya que la
aplicación f : S −→ S dada por
f(x) =
{
1 si x = 0
0 si x = 1
es una biyección de S que induce una biyección entre τ y τ ′. Veremos más adelante que esta
f es un ejemplo de equivalencia topológica a la que llamaremos homeomorfismo.
2.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS 3
5. Consideremos el conjunto X = {0, 1, 2}. Teniendo en cuenta las condiciones (1), (2) y (3*),
X admite esencialmente las siguientes topoloǵıas
τI = {X, ∅}
τ1 = {X, ∅, {0}}
τ2 = {X, ∅, {0, 1}}
τ3 = {X, ∅, {0}, {0, 1}}
τ4 = {X, ∅, {0}, {1, 2}}
τ5 = {X, ∅, {0}, {1}, {0, 1}}
τ6 = {X, ∅, {0}, {1}, {0, 1}, {1, 2}}
τ7 = {X, ∅, {0}, {1}, {0, 1}}
τD = P(X).
6. En el conjunto de los números reales R consideramos la colección τK = {∅,R} ∪ {(a,+∞) |
a ∈ R}.
Veamos que τK es una topoloǵıa en R.
(1) ∅ y R son elementos de τK por definición.
(2) Sea {(aλ,+∞)}λ∈Λ una familia arbitraria de subconjuntos de τK . Entonces:
⋃
λ∈Λ
(aλ,+∞) =
{
(́ınfλ∈Λ aλ,+∞) si {aλ}λ∈Λ está acotado inferiormente
R en otro caso
y por tanto pertenece a τK .
En efecto, supongamos en primer lugar que {aλ}λ∈Λ no está acotado inferiormente y sea
x ∈ R. Entonces, existe λ0 ∈ Λ tal que aλ0 < x y, por tanto x ∈ ∪λ∈Λ(aλ,+∞). Como
consecuencia ∪λ∈Λ(aλ,+∞) = R.
Supongamos ahora que {aλ}λ∈Λ está acotado inferiormente y sea a = ı́nf{aλ}λ∈Λ. Si
x ∈ ∪λ∈Λ(aλ,+∞) entonces existe un λ1 ∈ Λ tal que aλ1 < x y, puesto que a ≤ aλ1 se
sigue que x ∈ (a,+∞). Por otro lado, supongamos que x ∈ (a,+∞) y sea ε = (x−a)/2.
Por la caracterización del ı́nfimo se tiene que existe λ2 ∈ Λ tal que a ≤ aλ2 < a+ ε < x
y, por tanto, x ∈ ∪λ∈Λ(aλ,+∞). Por consiguiente ∪λ∈Λ(aλ,+∞) = (a,+∞).
(3*) Sean (a,+∞) y (b,+∞) dos elementos de τK . Entonces,
(a,+∞) ∩ (b,+∞) = (máx{a, b},+∞)
que es un elemento de τK .
4 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
El conjunto de los números reales dotado de la topoloǵıa τK se denomina recta de Kolmogoroff
y se denota RK .
Definición 2.1.3. Sean τ y τ ′ dos topoloǵıas en un conjunto X. Diremos que τ ′ es más fina
que τ si τ ⊂ τ ′ y diremos que es estrictamente más fina si τ ( τ ′. Diremos que τ y τ ′ son
comparables si τ ⊂ τ ′ o τ ′ ⊂ τ .
Intuitivamente una topoloǵıa es más fina que otra cuanto posee “más abiertos”.
2.2. Base de una topoloǵıa
Definición 2.2.1. Sea (X, τ) un espacio topológico. Diremos que un subconjunto Bτ ⊂ τ es
una base de τ si dado U ∈ τ y x ∈ U existe Bx ∈ Bτ tal que x ∈ Bx ⊂ U .
Si Bτ es una base de τ llamaremos abiertos básicos a los elementos de Bτ .
Proposición 2.2.2. Sean (X, τ) un espacio topológico y B una base de τ . Son equivalentes:
(1) U ⊂ X es abierto.
(2) Para cada x ∈ U existe un abierto básico B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ U .
(3) U es unión de abiertos básicos.
Demostración. (1)⇒ (2). Se cumple por la propia definición de base.
(2)⇒ (3). Sea x ∈ U y Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊂ U . Entonces,
U =
⋃
x∈U
Bx.
(3) ⇒ (1). Si U es unión de abiertos básicos, entonces U es unión de abiertos y, por tanto,
abierto.
Observación 2.2.3. Del resultado anterior se deduce que
τ = {U ⊂ X | para todo x ∈ U existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊂ U}.
Ejemplos
1. Sea (X, τD) un espacio discreto. Entonces el conjunto
B = {{x} | x ∈ X}
es una base de la topoloǵıa discreta τD.
2.2. BASE DE UNA TOPOLOGÍA 5
2. El conjunto
B = {(q,+∞) | q ∈ Q}
es una base de la recta de Kolmogoroff RK .
En efecto, bastará ver que dado un abierto (a,+∞) de RK , para cada x ∈ (a,+∞) existe
q ∈ Q tal que x ∈ (q,+∞) ⊂ (a,+∞). Esto es consecuencia de la densidad de Q en R.
Teorema 2.2.4. Sean X un conjunto y B una familia de subconjuntos de X. Entonces, existe
una topoloǵıa τB que tiene a B como base si y solo si
(1) X =
⋃
B∈B B.
(2) Si x ∈ B1 ∩B2 con B1, B2 ∈ B existe B3 ∈ B con x ∈ B3 y B3 ⊂ B1 ∩B2.
Demostración. ⇒. Supongamos que existe una topoloǵıa τB que tiene a B como base. Puesto que
X y B1 ∩B2 son abiertos y todo abierto es unión de abiertos básicos se siguen (1) y (2).
⇐ . Tenemos que ver que la colección τB = {U ⊂ X | para todo x ∈ U existe B ∈ B tal que B ⊂
U} es una topoloǵıa en X.
X es un elemento de τB por hipótesis y ∅ también lo es por la propia definición de τB.
Sea {Uλ}λ∈Λ una familia arbitraria de subconjuntos de τB. Entonces, para cada λ ∈ Λ
Uλ =
⋃
x∈Uλ
Bλ
x .
Como consecuencia ⋃
λ∈Λ
Uλ =
⋃
λ∈Λ
( ⋃
x∈Uλ
Bλ
x
)
=
⋃
ω∈Ω
Bω
y, por tanto, es un elemento de τB.
Finalmente, veamos que si U y V son elementos de τB entonces U ∩ V es un elemento de τB.
Sea x ∈ U ∩ V . Entonces existen B1, B2 ∈ B tales que
x ∈ B1 ⊂ U y x ∈ B2 ⊂ V.
Por tanto, x ∈ B1 ∩ B2 ⊂ U ∩ V y, por la condición (2) se sigue que existe B3 ∈ B tal que
x ∈ B3 ⊂ B1 ∩B2 ⊂ U ∩ V Como consecuencia U ∩ V es un elemento de τ .
La topoloǵıa τB del Teorema 2.2.4 se denomina topoloǵıa generada por B.
6 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Ejemplos
1. En el conjunto de número reales R la familia
B = {(a, b) | a, b ∈ R, a < b}
es base para una topoloǵıa. En efecto
(1) R =
⋃
n∈N(−n, n).
(2) Sean B1 = (a1, b1) y B2 = (a2, b2) tales que B1 ∩B2 6= ∅. En este caso
B1 ∩B2 =
(
máx
i∈{1,2}
ai, mı́n
i∈{1,2}
bi
)
∈ B.
La topoloǵıa generada en R por la base B se denomina topoloǵıa usual de R y se denota
por τu. El conjunto R de los números reales dotado de esta topoloǵıa se denomina recta
real
2. Consideremos Rn dotado con la distancia eucĺıdea d : Rn × Rn −→ Rn definida por
d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =
√
(x1 − y1)2 + . . .+ (xn − yn)2.
Dados x ∈ R y r ∈ R, r > 0, se define la bola abierta de centro x y radio r como el subconjunto
B(x, r) = {y ∈ Rn | d(x, y) < r}.
La colección de las bolas en Rn
B = {B(x, r) | x ∈ Rn, r > 0}
es una basepara una topoloǵıa en Rn que se denomina topoloǵıa usual y se denota por τu. El
conjunto Rn dotado de esta topoloǵıa se denomina espacio eucĺıdeo n-dimensional.
En efecto,
(1) Rn =
⋃
x∈Rn B(x, 1).
(2) Sean B1, B2 ∈ B tales que B1∩B2 6= ∅. Supongamos que B1 = B(x1, r1) y B2 = B(x2, r2)
y sea x ∈ B1 ∩ B2. Tenemos que ver que existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ B1 ∩ B2. Basta
escoger r < mı́n{r1 − d(x, x1), r2 − d(x, x2)}. En efecto, si y ∈ B(x, r) entonces para
i = 1, 2
d(y, xi) ≤ d(x, y) + d(x, xi) < r + d(x, xi) < ri.
2.2. BASE DE UNA TOPOLOGÍA 7
3. En el conjunto de los números reales R se considera la colección
BS = {[a, b) | a, b ∈ R a < b}
es una base para una topoloǵıa τS en R. El conjunto de los números reales R dotado de la
topoloǵıa τS se denomina recta de Sorgenfrey y se denotará por RS.
En efecto,
(1) R =
⋃
n∈N[−n, n).
(2) Sean B1, B2 ∈ BS tales que B1 ∩B2 6= ∅. Entonces B1 = [a1, b1), B2 = [a2, b2) y
B1 ∩B2 =
[
máx
i∈{1,2}
ai, mı́n
i∈{1,2}
bi
)
∈ BS.
4. Sea X un conjunto finito preordenado, es decir, X está dotado de una relación “≤” reflexiva
y transitiva. Dado x ∈ X sea
Ux = {y ∈ X | y ≤ x}
el conjunto de todos los elementos relacionados con x. Entonces, la familia
B≤ = {Ux | x ∈ X}
es una base para una topoloǵıa en X.
En efecto,
(1) X =
⋃
x∈X Ux
(2) Sean Ux, Uy ∈ B tales que Ux ∩ Uy 6= ∅. Sea z ∈ Ux ∩ Uy, entonces la transitividad de
“≤” garantiza que
z ∈ Uz ⊂ Ux ∩ Uy.
Proposición 2.2.5. Sean τ y τ ′ dos topoloǵıas en un conjunto X. Supongamos que B y B′
bases de τ y τ ′ respectivamente. Son equivalentes:
(1) τ ′ es más fina que τ .
(2) Para cada x ∈ X y cada B ∈ B con x ∈ B, existe B′ ∈ B′ tal que x ∈ B′ ⊂ B.
Demostración. (1) ⇒ (2). Si τ ′ es más fina que τ se tiene que dado x ∈ X y B ∈ B con x ∈ B
entonces B ∈ τ ′. Puesto que B′ es una base de τ ′ se sigue (2).
(2)⇒ (1). Tenemos que ver que si U ∈ τ entonces U ∈ τ ′. Dado que B es una base de τ se tiene
que para cada x ∈ U existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊂ U . Aplicando (2) se sigue que para cada
x ∈ U existe B′x ∈ B′ tal que x ∈ B′x ⊂ Bx ⊂ U y, como consecuencia, U ∈ τ ′.
8 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Ejemplos
1. La topoloǵıa discreta es la topoloǵıa más fina que posee cualquier conjunto.
2. La topoloǵıa indiscreta es la topoloǵıa menos fina que posee cualquier conjunto.
3. En el conjunto R de los números reales se tiene que
τS ⊃ τU ⊃ τK
es decir, la topoloǵıa de Sorgenfrey es más fina que la topoloǵıa usual y ésta es, a su vez, más
fina que la topoloǵıa de Kolmogoroff.
En efecto, veamos que τK ⊂ τU . Es claro que una base de τK es
BK = {(a,+∞) | a ∈ R}.
Dado (a,+∞) y x ∈ (a,+∞) se tiene que x ∈ (a, x+1) ⊂ (a,+∞) y, dado que (a, x+1) ∈ Bu
se sigue el resultado.
Veamos que τu ⊂ τS. Sea (a, b) ∈ Bu y x ∈ (a, b), entonces x ∈ [x, b) ⊂ (a, b) y, como
[x, b) ∈ BS se tiene el resultado.
2.3. Conjuntos cerrados
Definición 2.3.1. Un subconjunto F de un espacio topológico X se dice que es cerrado en X
si X \ F es abierto.
Ejemplos
1. Sea X un conjunto dotado de la topoloǵıa cofinita τCF . Los cerrados en X son los subconjuntos
finitos y el total.
2. Si X es un espacio discreto todos los conjuntos son cerrados.
3. Si X es un espacio indiscreto los únicos conjuntos cerrados son el vaćıo y el total.
4. En R con la topoloǵıa usual:
a) Los conjuntos unipuntuales {p} con p ∈ R son cerrados ya que R \ {p} = (−∞, p) ∪
(p,+∞) es abierto.
2.3. CONJUNTOS CERRADOS 9
b) Los subconjuntos de la forma [a, b] con a, b ∈ R son cerrados ya que R\ [a, b] = (−∞, a)∪
(b,+∞) es abierto.
c) Los subconjuntos de la forma [a,+∞) (resp. (−∞, a]) con a ∈ R son cerrados ya que
R \ [a,+∞) = (−∞, a) es abierto.
d) Los subconjuntos de la forma [a, b) con a, b ∈ R no son ni abiertos ni cerrados.
5. En R2 dotado con la topoloǵıa usual el subconjunto
R2
+ = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0}
es cerrado. Para ello observamos que
R2 \ R2
+ = {(x, y) ∈ R2 | x < 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 | y < 0}
Veamos que el conjunto U = {(x, y) ∈ R2 | x < 0} es abierto. Sea (x0, y0) ∈ U y veamos
que existe un r > 0 tal que B((x0, y0), r) ⊂ U . Basta escoger r < −x0. En efecto, si (x, y) ∈
B((x0, y0), r) entonces
x < x0 + r < 0,
y por tanto B((x0, y0), r) ⊂ U . Probar que el otro conjunto es abierto es completamente
análogo.
6. Sea X un conjunto finito preordenado. Consideremos en X la topoloǵıa inducida por este
preorden. Entonces, los subconjuntos
Ûx = {y ∈ X | y ≥ x}
son cerrados ya que
X \ Ûx =
⋃
y/∈Ûx
Uy
es abierto.
10 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Teorema 2.3.2. Sea X un espacio topológico. Entonces,
(1) X y ∅ son cerrados.
(2) Si {Fλ}λ∈Λ es una familia de cerrados entonces⋂
λ∈Λ
Fλ
es cerrado.
(3) Si F1, . . . , Fn son cerrados, entonces
F1 ∪ . . . ∪ Fn
es cerrado.
Demostración. (1) Como X y ∅ son abiertos y complementarios el uno del otro se sigue el resul-
tado.
(2) Sea {Fλ}λ∈Λ una familia de subconjuntos cerrados. Veamos que su intersección es también
cerrado.
X \
(⋂
λ∈Λ
Fλ
)
=
⋃
λ∈Λ
(X \ Fλ)
y como cada uno de los Fλ es cerrado X \ Fλ es abierto para cada λ ∈ Λ. Por consiguiente
X \
(⋂
λ∈Λ Fλ
)
es una unión de abiertos y, por tanto, abierto.
(3) Basta probarlo para dos cerrados F1 y F2 y el resultado se sigue por un argumento de induc-
ción. Veamos que F1 ∪ F2 es cerrado. En efecto,
X \ (F1 ∪ F2) = (X \ F1) ∩ (X \ F2)
y por tanto es abierto por ser intersección de dos abiertos.
Observación 2.3.3. Sea X un conjunto. Especificar la familia de cerrados de X es equivalente a
dotar a X de una topoloǵıa.
2.4. Tipos de puntos de un subconjunto
Definición 2.4.1. Sea X un espacio topológico y x ∈ X. Diremos que N ⊂ X es un entorno
de x y lo denotaremos por N ∈ Nx si existe un abierto U tal que x ∈ U ⊂ N . En caso de que
N sea abierto diremos que N es un entorno abierto de x.
2.4. TIPOS DE PUNTOS DE UN SUBCONJUNTO 11
Definición 2.4.2. Sea A ⊂ X un subconjunto y x ∈ X:
x es un punto interior de A si existe N ∈ Nx tal que
N ⊂ A.
Llamaremos interior de A y denotaremos por Å al conjunto de los puntos interiores de
A.
x es un punto adherente de A si para todo N ∈ Nx,
N ∩ A 6= ∅.
Llamaremos adherencia de A y denotaremos por A al conjunto de puntos adherentes de
A.
x es un punto de acumulación de A si para todo N ∈ Nx,
(N \ {x}) ∩ A 6= ∅.
Llamaremos acumulación de A y denotaremos por A′ al conjunto de puntos de acumula-
ción de A.
x es un punto aislado de A si existe N ∩Nx tal que
N ∩ A = {x}.
Denotaremos por ais(A) al conjunto de puntos aislados de A.
x es un punto frontera de A si para todo N ∈ Nx se tiene que
N ∩ A 6= ∅ y N ∩ (X \ A) 6= ∅.
Llamaremos frontera de A y denotaremos por Fr(A) al conjunto de puntos frontera de A.
Ejemplos
Consideremos el conjunto R de los números reales dotado con la topoloǵıa usual.
1. Sea A = (0, 1]. Entonces,
12 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Å = (0, 1), Fr(A) = {0, 1}, A′ = [0, 1],
A = [0, 1], ais(A) = ∅.
2. Sea B = { 1
n
| n ∈ N}. Entonces,
B̊ = ∅, Fr(B) = B ∪ {0}, B′ = {0},
B = B ∪ {0}, ais(B) = B.
3. Sea C = {0} ∪ (1, 2). Entonces,
C̊ = (1, 2), C = {0} ∪ [1, 2], C ′ = [1, 2]
ais(C) = {0}, Fr(C) = {0, 1, 2}.
4. Sea Q el conjunto de los números racionales. Entonces,
Fr(Q) = Q = Q′ = R,
Q̊ = ais(Q) = ∅.
5. Sea Z el conjunto de los números enteros. Entonces,
Z = ais(Z) = Fr(Z) = Z,
Z′ = Z̊ = ∅.
Proposición 2.4.3. Sean X un espacio topológico y A ⊂ X un subconjunto. Entonces:
(1) Å ⊂ A ⊂ A.
(2) Å es el mayor abierto contenido en A, es decir, si U ⊂ A es abierto, entonces U ⊂ Å.
(3) A es el menor cerrado que contiene a A, es decir, si A ⊂ F con F cerrado, entonces
A ⊂ F .
(4) A = Å t Fr(A).
(5) A = A′ t ais(A).
(6) A = A ∪ A′.
(7) A es cerrado si y solo si A′ ⊂ A.
2.4. TIPOS DE PUNTOS DE UN SUBCONJUNTO 13
Demostración. (1) Si x ∈ Å existe N ∈ Nx tal que N ⊂ A y, como consecuencia x ∈ A. Por
otro lado, dado x ∈ A se tiene que para cualquier entorno N ′ ∈ Nx, x ∈ N ′ ∩A y, por tanto,
x ∈ A.
(2) Veamos que Å es abierto en X. Sea x ∈ Å, entonces existe Nx ∈Nx entorno abierto de x
tal que Nx ⊂ A. Es claro que Nx ⊂ Å ya que Nx es un entorno de todos sus puntos. Como
consecuencia
Å =
⋃
x∈Å
Nx
es una unión de abiertos y, por tanto, abierto.
Por otro lado, si U ⊂ A es un conjunto abierto, entonces U ⊂ Å siendo un entorno de todos
sus puntos.
(3) A es cerrado ya que
X \ A = {x ∈ X | existe N ∈ Nx tal que N ∩ A = ∅}
= {x ∈ X | existe N ∈ Nx tal que N ⊂ X \ A} = ˚(X \ A)
que como hemos visto en (2) es abierto.
Por otro lado, supongamos que F es cerrado y A ⊂ F . Razonando por reducción al absurdo
supongamos que existe x ∈ A tal que x /∈ F . Como F es cerrado y x ∈ X \ F se tiene que
(X \ F ) ∈ Nx y, por tanto, ∅ 6= (X \ F ) ∩ A ⊂ (X \ F ) ∩ F que es una contradicción.
(4) Veamos que A = Å t Fr(A).
“⊂” Sea x ∈ A, entonces para cualquier N ∈ Nx , N ∩ A 6= ∅. Por lo tanto tenemos dos
opciones mutuamente excluyentes: (a) existe un N ∈ Nx tal que N ⊂ A o (b) para cualquier
N ∈ Nx, N ∩ (X \ A) 6= ∅. En el caso (a) x ∈ Å mientras que el caso (b) x ∈ Fr(A).
“⊃” se sigue de manera inmediata por la (1) y por la definición de Fr(A).
(5) Veamos que A = A′ t ais(A).
“⊂” Sea x ∈ A, entonces para cada N ∈ Nx se tiene que N ∩ A 6= ∅. Entonces tenemos
dos posibilidades mutuamente excluyentes: (a) (N \ {x}) ∩ A 6= ∅ en cuyo caso x ∈ A′ o (b)
(N \ {x}) ∩ A = ∅ en cuyo caso x ∈ ais(A).
“⊃” Este contenido se sigue directamente de las definiciones.
14 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
(6) Tenemos que ver que A = A ∪ A′.
Como A = ais(A) ∪ (A \ ais(A)) y (A \ ais(A)) ⊂ A′ se sigue que
A ∪ A′ = ais(A) ∪ A′ = A.
(7) Para ver que A es cerrado si y solo si A′ ⊂ A basta observar que como A es el menor cerrado
que contiene a A, A será cerrado si y solo si A = A = A ∪ A′.
Observación 2.4.4. De (2) se sigue que
Å =
⋃
U⊂A
U abierto
U
y que A es abierto si y solo si A = Å.
De (3) se sigue que
A =
⋂
A⊂F
F cerrado
F
y que A es cerrado si y solo si A = A.
Ejemplos
1. Sea (X, τ) un espacio topológico.
Si A = ∅ entonces
A = Å = Fr(A) = ais(A) = A′ = ∅.
Si A = X entonces
A = Å = X, ais(A) = {x ∈ X | {x} ∈ τ},
Fr(A) = ∅, A′ = X \ ais(A).
2. Sea (X, τI) un espacio indiscreto y A ⊂ X un subconjunto propio no vaćıo de X. Entonces
Å = ∅, Fr(A) = X, A = X.
Supongamos que A contiene más de un elemento, entonces
A′ = X, ais(A) = ∅.
Supongamos que A = {a}, entonces
A′ = X \ {a}, ais(A) = {a}.
2.5. AXIOMAS DE SEPARACIÓN 15
3. Sea (X, τD) un espacio discreto. Entonces, si A 6= ∅
A = A, Fr(A) = ∅, A′ = ∅
Å = A, ais(A) = A.
2.5. Axiomas de separación
Definición 2.5.1. Sea X un espacio topológico. Diremos que X es:
T0 o Kolmogoroff si para cada par de puntos distintos x, y ∈ X existe un abierto U tal
que
x ∈ U e y /∈ U o y ∈ U y x /∈ U.
T1 o Fréchet si para cada par de puntos dinstintos x, y ∈ X existen abiertos U y V tales
que
x ∈ U e y /∈ U
y ∈ V y x /∈ V.
T2 o Hausdorff si para cada par de puntos distintos x, y ∈ X existen abiertos U y V tales
que
x ∈ U, y ∈ V y U ∩ V = ∅.
Observación 2.5.2. Se sigue de la definición que
T2 ⇒ T1 ⇒ T0.
Ejemplos
1. Rn dotado de la topoloǵıa usual es T2.
En efecto, sean x, y ∈ Rn dos puntos distintos. Entonces, si escogemos r = d(x, y)/3, U =
B(x, r) y V = B(y, r) se tiene
x ∈ U, y ∈ V y U ∩ V = ∅.
2. Todo espacio discreto es T2.
3. Un espacio indiscreto con más de un elemento no es T0.
16 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
4. La recta de Sorgenfrey es T2.
En efecto, dados x, y ∈ RS con x < y si escogemos U = [x, y) y V = [y, z) se tiene que
x ∈ U, y ∈ V y U ∩ V = ∅.
5. El espacio de Sierpinski es T0 pero no T1.
En efecto, dados 0, 1 ∈ S, el abierto U = {0} satisface que 0 ∈ U y 1 /∈ U . Sin embargo, no
existe ningún abierto en S que contenga al 1 y no contenga al 0.
6. Sea X un conjunto infinito dotado con la topoloǵıa cofinita. Entonces X es T1 pero no es T2.
En efecto, si escogemos x, y ∈ X dos puntos distintos, U = X \ {y} y V = X \ {x} se tiene
que
x ∈ U, y /∈ U
y ∈ V, x /∈ V
y, por tanto X es T1. Sin embargo, dados dos abiertos U y V con x ∈ U e y ∈ V se tiene
que X \ U y X \ V son finitos. Como U y V son infinitos se sigue que U ∩ V 6= ∅ y, por
consiguiente, X no es T2.
7. La recta de Kolmogoroff es T0 pero no T1.
En efecto, sean x, y ∈ RK con y < x. Si escogemos U = (y,+∞) se tiene que x ∈ U e y /∈ U
lo que garantiza que RK es T0. Sin embargo RK no es T1 ya que todo abierto V con y ∈ V
debe contener a x.
8. Un X conjunto finito preordenado es T0 si y solo si X es un conjunto parcialmente ordenado.
“⇒” Supongamos que X es T0. Entonces, dados x, y ∈ X puntos distintos existe un abierto
U tal que x ∈ U e y /∈ U o y ∈ U y x /∈ U . La existencia de tal abierto garantiza que y /∈ Ux
o x /∈ Uy. En particular se tiene que no existen x e y distintos tales que x ∈ Uy e y ∈ Ux, es
decir, que si x ≤ y e y ≤ x entonces y = x.
“⇐” Supongamos que X es un conjunto parcialmente ordenado. Sean x, y ∈ X dos elementos
distintos, entonces o x /∈ Uy o y /∈ Ux y, por tanto, X es T0.
Proposición 2.5.3. Un espacio topológico X es T1 si y solo si los conjuntos unipuntuales de
X son cerrados.
2.5. AXIOMAS DE SEPARACIÓN 17
Demostración. “⇒” Basta ver que dado x ∈ X, el subconjunto X \ {x} es abierto. Como X es T1,
dado y ∈ X \ {x} existe U abierto tal que y ∈ U ⊂ X \ {x}. Entonces X \ {x} es abierto y, como
consecuencia, {x} es cerrado.
“⇐” Sean x e y dos elementos distintos de X. Dado que {x} e {y} son cerrados se tiene que
U = X \ {y} y V = X \ {x} son dos abiertos tales que
x ∈ U e y /∈ U
y ∈ V y x /∈ V
y, por tanto, X es T1.
Corolario 2.5.4. Todo espacio finito T1 es discreto.
Demostración. Supongamos que X está formado por n elementos x1, . . . , xn. Como X es T1 cada
conjunto unipuntual {xi} es cerrado. Para ver que también es abierto basta observar que
X \ {xi} =
⋃
j 6=i
{xj}
es una unión finita de conjuntos cerrados y, por tanto, cerrado.
Definición 2.5.5. Sea (xn)n∈N una sucesión de puntos de un espacio topológico X. Diremos
que (xn) converge a x ∈ X si para cada N ∈ Nx existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, xn ∈ N .
Ejemplos
1. En el espacio de Sierpinski la sucesión constante xn = 1 converge a 1 mientras que la sucesión
constante yn = 0 converge tanto a 0 como a 1.
2. En un espacio indiscreto X cualquier sucesión (xn) converge a todos los puntos de X.
3. En la recta de Kolmogoroff la sucesión xn = 1/n converge a todos los puntos de (−∞, 0]
mientras que la sucesión yn = n converge a todos los puntos de RK .
4. Sea X un conjunto infinito dotado de la topoloǵıa cofinita. Si la sucesión (xn) no posee
subsucesiones constantes entonces converge a todo punto de X.
5. Sea X un conjunto finito preordenado. La sucesión (xn) converge a x ∈ X si y solo si existe
n0 ∈ N tal que xn ≤ x para todo n ≥ n0. En particular, si X tiene máximo entonces toda
sucesión converge a él.
Teorema 2.5.6. Si X es un espacio T2, entonces una sucesión converge, a lo sumo, a un único
punto.
18 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Demostración. Supongamos que existe una sucesión (xn) de puntos de X converge a dos puntos
distintos x e y. Entonces, dados U y V entornos abiertos de x e y existen n0, n1 ∈ N tal que xn ∈ U
para todo n ≥ n0 y xn ∈ V para todo n ≥ n1. Por lo tanto, si n ≥ máx{n0, n1}, se tiene que
xn ∈ U ∩ V . Pero esto está en contradicción con que X sea un espacio T2.
2.6. Topoloǵıa de subespacio
Sea (X, τ) un espacio topológico e Y ⊂ X un subconjunto. La familia
τY = {U ∩ Y | U ∈ τ}
es una topoloǵıa en Y que se denomina topoloǵıa de subespacio o topoloǵıa relativa.
Proposición 2.6.1. Sea X un espacio topológico e Y ⊂ X un subespacio. Un subconjunto
C ⊂ Y es cerrado en Y si y solo si existe un cerrado F en X tal que C = F ∩ Y .
Demostración. “⇒” Si C ⊂ Y es cerrado en Y , Y \C es abierto en Y y, por tanto, existe U abierto
en X tal que Y \ C = U ∩ Y . Si escogemos F = X \ U se tiene que F es cerrado en X y
F ∩ Y = (X \ U) ∩ Y = Y \ (Y ∩ U) = Y \ (Y \ C) = C.
“⇐” Supongamos que existe F cerrado en X tal que F ∩ Y = C. Entonces
Y \ C= Y \ (F ∩ Y ) = (X \ F ) ∩ Y.
Como X \F es abierto en X se sigue que Y \C es abierto en Y y, como consecuencia, C es cerrado
en Y .
Proposición 2.6.2. Sea B una base de la topoloǵıa de X. Entonces, la colección
BY = {B ∩ Y | B ∈ B}
es una base de la topoloǵıa relativa de Y .
Demostración. Sea V un abierto de Y y x ∈ V . Entonces existe U abierto de X tal que V = U ∩Y .
Como U es abierto en X y x ∈ U , existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ U y, por consiguiente,
x ∈ B ∩ Y ⊂ U ∩ Y = V.
2.6. TOPOLOGÍA DE SUBESPACIO 19
Ejemplos
1. La topoloǵıa relativa del conjunto de los números enteros Z ⊂ R como subespacio de la recta
real es la topoloǵıa discreta.
En efecto, si n ∈ Z y escogemos ε < 1
{n} = (n− ε, n+ ε) ∩ Z
y como (n− ε, n+ ε) es abierto en R se sigue {n} es abierto en Z.
2. En R con la topoloǵıa usual consideremos el intertvalo unidad I = [0, 1]. Sabemos que una
base de la topoloǵıa relativa de I es
BI = {(a, b) ∩ I | a, b ∈ R a < b}.
Obsérvese que
(a, b) ∩ I =

(a, b) si a, b ∈ I
[0, b) si a < 0, b ∈ I
(a, 1] si a ∈ I, b > 1
I si a < 0 y b > 1
∅ si b < 0 o a > 1
3. En la recta de Kolmogoroff una base de la topoloǵıa relativa del intervalo unidad I es
BI = {(a,+∞) ∩ I | a ∈ R}
y
(a,+∞) ∩ I =

∅ si a ≥ 1
I si a < 0
(a, 1] si a ∈ [0, 1)
4. En la recta de Sorgenfrey una base de la topoloǵıa relativa del intervalo unidad viene dada
por
BI = {[a, b) ∩ I | a ∈ R}
y
[a, b) ∩ I =

[a, b) si a, b ∈ I
[0, b) si a ≤ 0 b ∈ I
[a, 1] si a ∈ I, b > 1
[0, 1] si a < 0 y b > 1
∅ si b < 0 o a > 1
20 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
5. En R2 dotado de la topoloǵıa usual consideremos el subconjunto
S1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1},
es decir, la circunferencia de radio uno centrada en el origen. Una base para la topoloǵıa
relativa de S1 está formada por los arcos de circunferencia abiertos.
6. En R3 dotado de la topoloǵıa usual consideremos el subconjunto
S2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1},
es decir, la esfera de radio uno centrada en el origen. Una base para la topoloǵıa relativa de
S2 está formada por los discos abiertos.
2.7. Conjuntos especiales en la topoloǵıa de subespacio
Sea X un espacio topológico e Y ⊂ X un subespacio. Dado un subconjunto A ⊂ Y utilizaremos
la notación AY , FrY (A) y ÅY para referirnos a la adherencia, frontera e interior de A con respecto
a Y .
Proposición 2.7.1. Supongamos que A ⊂ Y ⊂ X. Entonces,
(1) Å ⊂ ÅY .
(2) A ∩ Y = AY .
(3) FrY (A) ⊂ Fr(A).
Demostración. (1) Si x ∈ Å, existe un entorno abierto N ∈ Nx tal que N ⊂ A. Como N es abierto
en X y N ⊂ A ⊂ Y se tiene que N es abierto en Y y, como consecuencia, x ∈ ÅY .
(2) Basta ver que ver que A∩Y es el menor cerrado de Y que contiene a A. En efecto, C cerrado
en Y tal que A ⊂ C. Entonces, existe F cerrado en X tal que C = F ∩ Y . Como A ⊂ F se tiene
que A ⊂ F y, por consiguiente, A ∩ Y ⊂ C.
(3) Supongamos que x ∈ FrY (A) y sea N un entorno de x en X. Entonces N ∩ Y es un entorno
de x en Y y, por tanto,
∅ 6= (N ∩ Y ) ∩ A = Y ∩ (N ∩ A) ⊂ N ∩ A
∅ 6= (N ∩ Y ) ∩ (Y \ A) = Y ∩N ∩ (Y \ A) ⊂ N ∩ (X \ A)
de donde se sigue que x ∈ Fr(A).
2.8. APLICACIONES CONTINUAS 21
Ejemplo
Sean Y = [0, 1] y A = [0, 1/2] subespacios de la recta real. Entonces
Å = (0, 1/2) ÅY = [0, 1/2) AY = A
Fr(A) = {0, 1} FrY (A) = {1/2}.
Definición 2.7.2. Sea X un espacio topológico y P una propiedad de X. Diremos que P es
una propiedad hereditaria si todos los subespacios de X cumplen la propiedad P .
Proposición 2.7.3. La propiedad “ser Ti” con i = 0, 1, 2 es una propiedad hereditaria.
Demostración. Ejercicio
2.8. Aplicaciones continuas
Sean X e Y espacios topológicos.
Definición 2.8.1. Una aplicación f : X −→ Y es continua en x ∈ X si para cada N ∈ Nf(x)
existe N ′ ∈ Nx tal que f(N ′) ⊂ N . Diremos que f es continua si f es continua en x para todo
x ∈ X.
Observación 2.8.2. Una aplicación f : X −→ Y entre dos espacios topológicos es continua en
x ∈ X si y solo si para cada entorno N ∈ Nf(x) se tiene que f−1(N) ∈ Nx.
Proposición 2.8.3. Sean X, Y y Z espacios topológicos. Supongamos que f : X −→ Y es
continua en x0 y g : Y −→ Z es continua en y0 = f(x0). Entonces g ◦ f es continua en x0.
Demostración. Sea z = g(y0) y N ∈ Nz. Puesto que g es continua en y0 existe entorno N ′ ∈ Ny0
tal que g(N ′) ⊂ N . Por otro lado, como y0 = f(x0) y f es continua en x0 existe N ′′ ∈ Nx0 tal que
f(N ′′) ⊂ N ′ y, por consiguiente, g(f(N ′′)) ⊂ g(N ′) ⊂ N lo que garantiza que g ◦ f es continua en
x0.
Teorema 2.8.4. Sean X e Y espacios topológicos y f : X −→ Y una aplicación. Son equiva-
lentes:
(1) f es continua.
(2) Si V es abierto en Y , entonces f−1(V ) es abierto en X.
(3) Si BY es una base de la topoloǵıa de Y y B ∈ BY , entonces f−1(B) es abierto en X.
(4) Si F es cerrado en Y , entonces f−1(F ) es cerrado en X.
(5) Si A ⊂ X, entonces f(A) ⊂ f(A).
22 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Demostración. (1) ⇒ (2) Sea V un abierto de Y y x ∈ f−1(V ). Puesto que V ∈ Nf(x) y f es
continua en x existe N ∈ Nx tal que f(N) ⊂ V . Entonces x ∈ N ⊂ f−1(V ) por lo que se sigue (2).
(2) ⇒ (1) Sea x ∈ X y consideremos N ∈ Nf(x). Entonces existe V abierto en Y tal que
f(x) ∈ V ⊂ N . Como consecuencia x ∈ f−1(V ) ⊂ f−1(N) y, dado que f−1(V ) es abierto en X se
tiene que f−1(N) ∈ Nf(x). Por consiguiente, f es continua en x y, como x fue escogido de manera
arbitraria, se sigue que f es continua.
(2)⇒ (3) Es inmediato dado que todos los elementos de BY son abiertos.
(3) ⇒ (2) Si V es abierto en Y se tiene que V =
⋃
λ∈ΛBλ con Bλ ∈ BY para cada λ ∈ Λ.
Entonces,
f−1(V ) = f−1
(⋃
λ∈Λ
Bλ
)
=
⋃
λ∈Λ
f−1(Bλ)
y como f−1(Bλ) es abierto para cada λ ∈ Λ se sigue el resultado.
(2)⇔ (4) Sea A ⊂ Y un subconjunto cerrado (abierto), entonces Y \ A es abierto (cerrado) y
f−1(Y \ A) = X \ f−1(A)
es abierto (cerrado) en X y, por consiguiente, f−1(A) es cerrado (abierto) en X .
(4)⇒ (5) Como f(A) es cerrado en Y , entonces f−1(f(A)) es cerrado en X. Además
A ⊂ f−1(f(A)) ⊂ f−1(f(A)).
Puesto que A es el menor subconjunto cerrado que contiene a A se tiene que
A ⊂ A ⊂ f−1(f(A))
y, por consiguiente,
f(A) ⊂ f(f−1(f(A))) ⊂ f(A).
(5) ⇒ (4) Sea F un subconjunto cerrado de Y . Puesto que f(f−1(F )) ⊂ F y F es cerrado se
sigue que f(f−1(F )) ⊂ F . Entonces f(f−1(F )) ⊂ F y, como consecuencia,
f−1(F ) ⊃ f−1(f(f−1(F ))) ⊃ f−1(F ).
Por tanto, f−1(F ) = f−1(F ) de donde se deduce que f−1(F ) es cerrado.
2.8. APLICACIONES CONTINUAS 23
Ejemplos
1. Sea f : (X, τD) −→ (Y, τ) una aplicación de un espacio discreto en espacio topológico arbi-
trario. Entonces f es continua.
La continuidad de f se sigue de que como todos los subconjuntos de X son abiertos, la imagen
inversa de cualquier abirto de Y es abierto.
2. Sea f : (X, τ) −→ (Y, τI) una aplicación de un espacio topológico arbitrario en un espacio
indiscreto. Entonces f es continua.
La continuidad de f es clara teniendo en cuenta que los únicos abiertos de Y son el propio Y
y el vaćıo cuyas imágenes inversas son respectivamente el conjunto X y el vaćıo.
3. La aplicación
id : R −→ RS
x 7→ id(x) = x
de la recta real R en la recta de Sorgenfrey RS no es continua.
En efecto, sea [a, b) un abierto de RS. Entonces
id−1([a, b)) = [a, b)
que no es abierto en R con la topoloǵıa usual.
Sin embargo,
id : RS −→ R
es continua.
Para probar esto basta ver que dado (a, b) abierto básico de R con la topoloǵıa usual
id−1((a, b)) = (a, b)
que es abierto en RS dado que la topoloǵıa de la recta de Sorgenfrey es más fina que la de la
recta real.
24 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
4. En la recta de Kolmogoroff RK , la aplicación
f : RK −→ RK
x 7→ f(x) = |x|
no es continua.
En efecto, sea (a,+∞) un abierto de RK . Entonces
f−1((a,+∞)) =
{
(−∞,−a) ∪ (a,+∞) si a ≥ 0
RK si a < 0
Puesto que (−∞, a) ∪ (a,+∞) no es abierto en RK se tiene que f no es continua.
Sin embargo, f es continua en todos los puntos x ≥ 0 y no es continua en ningún x con x < 0.
Veamos que si x > 0, entonces f es continuaen x. Sea N un entorno de f(x) = x, entonces
existe a > 0 tal que x ∈ (a,+∞) ⊂ N . Por lo tanto, x ∈ (a,+∞) ⊂ f−1(N) y, como
consecuencia, f−1(N) es un entorno de x.
Si x = 0 y N es un entorno de f(x) = 0, entonces existe a < 0 tal que (a,+∞) ⊂ N . Por
consiguiente f−1(N) = RK que es un entorno de 0.
Por otro lado, si x < 0 y escogemos N = (0,+∞) como entorno de f(x) = −x, entonces
f−1(N) = R \ {0} que no es un entorno de x. Por consiguiente f no es continua en x.
5. La aplicación parte entera
f : RS −→ R
x 7→ E(x)
de la recta de Sorgenfrey en la recta real es continua.
Para probar esto observemos que el conjunto
B = {(a, b) | a < b, |a− b| < 1}
es una base de la topoloǵıa usual de R. Si (a, b) ∈ B se tiene que
f−1((a, b)) =
{
∅ si (a, b) ∩ Z = ∅
[n, n+ 1) si n ∈ (a, b) ∩ Z
Puesto que ambos conjuntos son abiertos en RS se sigue que f es continua.
2.9. HOMEOMORFISMOS 25
6. Sea f : X −→ Y una aplicación entre dos conjuntos finitos parcialmente ordenados. Entonces
f es continua si y solo si f preserva el orden, es decir, si x ≤ x′ entonces f(x) ≤ f(x′).
“⇒” Sean x, x′ ∈ X tales que x ≤ x′. Como f es continua, f−1(Uf(x′)) es abierto en X y,
por tanto, Ux′ ⊂ f−1(Uf(x′)). Puesto que x ∈ Ux′ se tiene que f(x) ∈ Uf(x′) y, por tanto,
f(x) ≤ f(x′).
“⇐” Supongamos que f preserva el orden. Sea Uy un abierto básico de Y y supongamos que
f−1(Uy) es no vaćıo ya que en otro caso no hay nada que probar. Como f preserva el orden,
para cada x ∈ f−1(Uy) el abierto básico Ux = {z ∈ X | z ≤ x} contiene a x y satisface que
Ux ⊂ f−1(Uy). Por consiguiente, f−1(Uy) es abierto en X lo que garantiza la continuidad de
f .
7. Sea X un espacio topológico y A ⊂ X un subespacio. La aplicación inclusión
i : A ↪→ X
x 7→ i(x) = x
es continua. Además, la topoloǵıa de subespacio es la topoloǵıa menos fina de A que hace
continua a la inclusión.
En efecto, sea U un abierto de X. Entonces i−1(U) = U ∩ A que es abierto en la topoloǵıa
inducida en A por X.
8. Sean X e Y espacios topológicos y f : X −→ Y una aplicación continua. Si A ⊂ X un
subespacio e i : A ↪→ X la inclusión, entonces, la restricción f |A : A −→ Y de f a A definida
por f |A = f ◦ i es continua.
9. Sea f : X −→ Y una aplicación y B ⊂ Y un subespacio tal que f(X) ⊂ B. Entonces la
aplicación f̂ : X −→ B dada por f̂(x) = f(x) es continua si y solo si f es continua.
2.9. Homeomorfismos
Definición 2.9.1. Sea h : X −→ Y una aplicación entre dos espacios topológicos. Diremos
que la aplicación h es un homeomorfismo si es continua, biyectiva y h−1 es continua. Diremos
que dos espacios topológicos X e Y son homeomorfos y lo denotaremos por X ≈ Y si existe
un homeomorfismo entre ellos.
Observación 2.9.2. La relación “ser homeomorfos” es una relación de equivalencia.
26 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Definición 2.9.3. Diremos que una aplicación f : X −→ Y entre espacios topológicos es
abierta (cerrada) si dado un abierto (cerrado) A ⊂ X, f(A) es abierto (cerrado) en Y .
Proposición 2.9.4. Sea h : X −→ Y una aplicación entre dos espacios topológicos. Son
equivalentes:
(1) h es un homeomorfismo.
(2) h es continua, biyectiva y abierta.
(3) h es continua, biyectiva y cerrada.
Demostración. Se deja como ejercicio al lector.
Observación 2.9.5. Se sigue de la proposición anterior que h : X −→ Y es un homeomorfismo si
y solo si h es biyectiva e induce una correspondencia biuńıvoca entre los abiertos (cerrados) de X
y los abiertos (cerrados) de Y .
Ejemplos
1. Los intervalos (a, b) con a, b ∈ R, a < b y (0, 1) de la recta real dotados con la topoloǵıa de
subespacio son homeomorfos. La aplicación
h : (0, 1) −→ (a, b)
x 7→ h(x) = (b− a)x+ a
es un homeomorfismo.
2. La aplicación
h : R −→ (0,+∞)
x 7→ h(x) = ex
es un homeomorfismo de la recta real en el subespacio (0,+∞).
3. La aplicación
h : R −→
(
−π
2
,
π
2
)
x 7→ h(x) = arctan x
es un homeomorfismo entre la recta real y el subespacio (−π/2, π/2).
4. En general R con la topoloǵıa usual es homeomorfo a cualquier intervalo abierto.
2.9. HOMEOMORFISMOS 27
5. Rn con la topoloǵıa usual es homeomorfo a la bola unidad B(0, 1) centrada en el origen. La
aplicación
h : Rn −→ B(0, 1)
x 7→ h(x) =
x
1 + ||x||
es una homeomorfismo cuya inversa es
h−1 : B(0, 1) −→ Rn
x 7→ h−1(x) =
x
1− ||x||
.
6. Consideremos el subespacio de Rn+1 dado por
Sn = {(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 | x2
1 + . . .+ x2
n+1 = 1}.
El subespacio Sn se denomina esfera unidad n-dimensional. Si PN = (0, . . . , 0, 1) entonces la
aplicación
h : Sn \ {PN} −→ Rn
h(x1, . . . , xn+1) =
1
1− xn+1
(x1, . . . , xn)
donde h(x) es el punto de intersección de la recta que conecta el polo norte con el punto x y
el plano xn+1 = 0, es un homeomorfismo al que llamaremos proyección estereográfica.
7. Consideremos el subespacio
C = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1, z > 0} ⊂ R3.
La aplicación
h : R2 \ {0} −→ C
h(x, y) =
(
x√
x2 + y2
,
y√
x2 + y2
,
√
x2 + y2
)
es un homeomorfismo.
8. Consideremos los subespacios
C1 = {(x, y) ∈ R2 | 1/4 ≤ x2 + y2 ≤ 1}
C2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1, 1/2 ≤ z ≤ 1}
contenidos en R2 y R3 respectivamente. La aplicación h del apartado anterior restringida a
C1 es un homeomorfismo entre C1 y C2.
28 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Definición 2.9.6. Sea X un espacio topológico y P una propiedad de X. Diremos que P es
una propiedad topológica si se preserva por homeomorfismos.
Proposición 2.9.7. La propiedad “ser Ti” con i = 0, 1, 2 es una propiedad topológica.
Demostración. Ejercicio.
2.10. Embebimientos
Definición 2.10.1. Sea e : X −→ Y una aplicación entre espacios topológicos. Diremos que e
es un embebimiento si es un homeomorfismo en un imagen, es decir, la aplicación e : X −→ e(X)
es un homeomorfismo.
Ejemplos
1. La aplicación
e : (0, 1) −→ R2
t 7→ e(t) = (cos 2πt, sin 2πt)
es un embebimiento del intervalo (0, 1) en R2.
2. Cualquier curva de Jordan J ⊂ R2 es la imagen de un embebimiento de la circunferencia S1
en R2.
3. El arco de Fox-Artin es la imagen de un embebimiento del intervalo [0, 1] en R3.
4. La aplicación
e : S1 −→ R3
θ 7→ e(θ) = (sin θ + 2 sin 2θ, cos θ − 2 cos 2θ,− sin 3θ)
es un embebimiento de S1 en R3.
5. La esfera con cuernos de Alexander es la imagen de un embebimiento de la esfera S2 en R3.
6. El toro S1 × S1 vive de manera natural en R4. Sin embargo, la aplicación
e : S1 × S1 −→ R3
e(s, t, u, v) = ((2 + u)s, (2 + u)t, v)
es un embebimiento del toro en R3.
2.11. TOPOLOGÍA PRODUCTO 29
2.11. Topoloǵıa producto
Sean (X, τ) e (Y, τ ′) espacios topológicos. Entonces, la familia de subconjuntos
B = {U × V | U ∈ τ, V ∈ τ ′}
es una base de una topoloǵıa en X × Y que se denomina topoloǵıa producto y se denota por τ × τ ′.
Observación 2.11.1. De manera inductiva se define la topoloǵıa producto para el producto carte-
siano de un número finito de conjuntos. Todos los resultados que se presentan en esta sección para
la topoloǵıa producto de dos espacios topológicos se extienden de manera inmediata al producto
finito de espacios topológicos.
Proposición 2.11.2. Sean B1 y B2 bases de las topoloǵıas de X e Y respectivamente. Entonces,
la familia
B′ = {B1 ×B2 | B1 ∈ B1, B2 ∈ B2}
es una base de la topoloǵıa producto de X × Y .
Demostración. Sea U un abierto de X × Y , entonces
U =
⋃
λ∈Λ
(Uλ × Vλ)
con Uλ y Vλ abiertos en X e Y respectivamente para todo λ ∈ Λ. Entonces, dado (x, y) ∈ U se
tiene que x ∈ Uλ e y ∈ Vλ para algún λ ∈ Λ. Como B1 y B2 son bases de las topoloǵıas de X e Y
respectivamente, existen B1 ∈ B1 y B2 ∈ B2 tales que
x ∈ B1 ⊂ Uλ,
y ∈ B2 ⊂ Vλ.
Por consiguiente, (x, y) ∈ B1 ×B2 ⊂ Uλ × Vλ ⊂ U .
Ejemplos
1. La topoloǵıa usual de R2 coincide con la topoloǵıa producto de dos copias de R con la topoloǵıa
usual.
2. En general, la topoloǵıa usual de Rn coincide con la topoloǵıa producto de n copias de R con
la topoloǵıa usual.
Proposición 2.11.3. Sean X e Y espacios topológicos. Si A ⊂ X y B ⊂ Y son subespacios,
entonces la topoloǵıa producto de A ×B coincide con la topoloǵıa de subespacio inducida por
X × Y en A×B.
30 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Demostración. Basta ver que todo abierto de la forma U ×V con U abierto en A y V abierto en B
es abierto en A×B con la topoloǵıa de subespacio. Como U y V son abiertos relativos existen U ′
y V ′ abiertos en X e Y respectivamente tales que U = U ′ ∩ A y V = V ′ ∩B. Como consecuencia
U × V = (U ′ ∩ A)× (V ′ ∩B) = (U ′ × V ′)︸ ︷︷ ︸
abierto en X×Y
∩(A×B)
es abierto en A×B con la topoloǵıa de subespacio. La prueba de que todo abierto básico de A×B
con la topoloǵıa de subespacio es abierto de la topoloǵıa producto es completamente análoga y se
deja como ejercicio.
Proposición 2.11.4. Sean X e Y espacios topológicos. Si A ⊂ X y B ⊂ Y entonces:
(1) A×B = A×B.
(2) ( ˚A×B) = Å× B̊.
Demostración. (1) “⊂” Sean (x, y) ∈ A×B, Nx un entorno de x y Ny un entorno de y. Entonces,
Nx ×Ny es un entorno de (x, y) y, como consecuencia,
∅ 6= (Nx ×Ny) ∩ (A×B) = (Nx ∩ A)× (Ny ∩B)
de donde se sigue que Nx ∩ A 6= ∅ y Ny ∩ B 6= ∅ y, por consiguiente, x ∈ A e y ∈ B o, lo que es lo
mismo, (x, y) ∈ A×B.
“⊃” Sea (x, y) ∈ A× B. Entonces, dados U y V entornos abiertos de x e y respectivamente se
tiene que
U ∩ A 6= ∅ y
V ∩B 6= ∅
Como consecuencia (U × V ) ∩ (A × B) 6= ∅ y dado que los conjuntos de la forma U × V con U
abierto en X y V abierto en Y forman una base de la topoloǵıa de X × Y se sigue el resultado.
La demostración de (2) se deja como ejercicio.
Ejemplos
1. Fr(A×B) 6= Fr(A)× Fr(B). Por ejemplo, sea I = [0, 1], entonces
Fr(I × I) = {0, 1} × I ∪ I × {0, 1} 6= {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} = Fr(I)× Fr(I)
Proposición 2.11.5. Sean X e Y espacios topológicos. El espacio producto X × Y es T2 si y
solo si X e Y son T2.
2.12. PROYECCIONES 31
Demostración. “⇒” Veamos que X es T2. Sean x1 y x2 dos puntos distintos de X. Como X ×Y es
T2 se tiene que dado y ∈ Y existen abiertos U y V tales que (x1, y) ∈ U , (x2, y) ∈ V y U ∩ V = ∅.
Entonces, existen U1, U2 abiertos de X y V1, V2 abiertos de Y tales que (x1, y) ∈ U1 × V1 ⊂ U y
(x2, y) ∈ U2 × V2 ⊂ V . Dado que U ∩ V = ∅ se tiene
∅ = (U1 × V1) ∩ (U2 × V2) = (U1 ∩ U2)× (V1 ∩ V2)
Como y ∈ V1 ∩ V2 se sigue que U1 ∩ U2 = ∅ y, como consecuencia, X es T2. La prueba para Y es
análoga.
“⇐” Sean (x1, y1) y (x2, y2) dos puntos distintos de X × Y . Supongamos que x1 6= x2. Como X
es T2 existen abiertos disjuntos U1 y U2 en X tales que x1 ∈ U1 y x2 ∈ U2. Entonces, U = U1 × Y
y V = U2 × Y son abiertos tales que (x1, y1) ∈ U , (x2, y2) ∈ V y
U ∩ V = (U1 × Y ) ∩ (U2 × Y ) = (U1 ∩ U2)× Y = ∅.
Si x1 = x2 se sigue que y1 6= y2 y razonando de manera análoga se sigue el resultado.
2.12. Proyecciones
Sean X1 y X2 espacios topológicos y consideremos X × Y dotado de la topoloǵıa producto.
Llamaremos a las aplicaciones
π1 : X × Y −→ X π2 : X × Y −→ Y
(x, y) 7→ π1(x, y) = y (x, y) 7→ π2(x, y) = y
las proyecciones en el primer y segundo factor respectivamente.
Proposición 2.12.1. Las proyecciones son continuas y abiertas. Además, la topoloǵıa producto
es la menos fina que hace continuas las proyecciones.
Demostración. Veamos que π1 y π2 son abiertas. Para ello basta ver que la imagen por cada una
de las proyecciones de cualquier abierto de la forma U × V con U abierto en X y V abierto en Y
es abierto. En efecto,
πi(U × V ) =
{
U si i = 1
V si i = 2
es abierto en X si i = 1 y es abierto en Y si i = 2.
Veamos que πi es continua para i = 1, 2. Sea U un abierto de X y V un abierto de Y . Entonces,
π−1
1 (U) = U × Y,
π−1
2 (V ) = X × V
32 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
que son abiertos en X × Y y, por tanto, π1 y π2 son continuas.
Veamos que la topoloǵıa producto es la menos fina que hace continuas las proyecciones. Sea τ
una topoloǵıa en X × Y tal que las proyecciones son continuas. Entonces, dados abiertos U y V de
X e Y respectivamente π−1
1 (U) = U × Y y π−1
2 (V ) = X × V son abiertos de τ . Por consiguiente,
U × V = (U × Y ) ∩ (X × V ) ∈ τ.
Como los abiertos de la forma U × V con un U abierto en X y V abierto en Y forman una base de
la topoloǵıa producto se sigue que τ es más fina que la topoloǵıa producto.
Teorema 2.12.2. Sean X, Y , Z espacios topológicos. Una aplicación f : Z −→ X × Y es
continua si y solo si la composición de f con cada una de las proyecciones es continua.
Demostración. “⇒” Si f es continua, la continuidad de las proyecciones garantiza que la composi-
ción de f con cada una de ellas es continua.
“⇐” Supongamos que las composiciones π1 ◦ f : A −→ X y π2 ◦ f : A −→ Y son continuas.
Entonces, dados abiertos U de X y V de Y se tiene que los conjuntos
(π1 ◦ f)−1(U) = f−1(π−1
1 (U)) = f−1(U × Y )
(π2 ◦ f)−1(V ) = f−1(π−1
2 (V )) = f−1(X × V )
son abiertos en A. Como consecuencia,
f−1(U × V ) = f−1((X × V ) ∩ (U × Y )) = f−1(X × V ) ∩ f−1(U × Y )
es abierto. Como los conjuntos de la forma U × V forman una base de la topoloǵıa producto se
sigue que f es continua.
Definición 2.12.3. Sean f1 : A −→ X y f2 : B −→ Y dos aplicaciones. Llamaremos producto
cartesiano de f1 y f2 a la aplicación
f1 × f2 : A×B −→ X × Y
(a, b) 7→ (f1(a), f2(b)).
Proposición 2.12.4. El producto cartesiano de dos aplicaciones continuas es una aplicación
continua.
Demostración. Sean f1 : A −→ X y f2 : B −→ Y dos aplicaciones continuas continuas entre
espacios topológicos. Consideremos el producto cartesiano f1 × f2 : A × B −→ X × Y . Veamos
2.13. TOPOLOGÍA COCIENTE 33
que su composición con cada una de las proyecciones es continua. Sean U y V abiertos de X e Y
respectivamente. Entonces
(π1 ◦ (f1 × f2))−1(U) = f−1
1 (U)×B
(π2 ◦ (f1 × f2))−1(V ) = A× f−1
2 (V )
son abiertos en A×B y, por tanto, f1 × f2 es continua.
2.13. Topoloǵıa cociente
Sean X un conjunto y ∼ una relación de equivalencia en X. El conjunto cociente es el conjunto
X/ ∼= {[x] | x ∈ X}
de todas las clases de equivalencia. Nótese que las clases de equivalencia forman una partición de
X, es decir, X es la unión disjunta de todas sus clases de equivalencia.
Sea π : X −→ X/ ∼ la proyección natural que asigna a cada x ∈ X su clase de equivalencia.
La familia
τ ∗ = {U ⊂ X/ ∼| π−1(U) ∈ τ}.
es una topoloǵıa en el conjunto cociente X/ ∼ que se denomina topoloǵıa cociente. Normalmente
denotaremos por X∗ al conjunto cociente dotado de esta topoloǵıa.
Observación 2.13.1. τ ∗ es la topoloǵıa más fina que hace continua la proyección natural.
La siguiente definición generaliza el concepto de proyección natural en un cociente.
Definición 2.13.2. Sean X e Y espacios topológicos y f : X −→ Y una aplicación. Diremos
que f es una identificación si satisface:
(1) f es sobreyectiva,
(2) U ⊂ Y es abierto en Y si y solo si f−1(U) es abierto en X.
Observación 2.13.3. Si f es una identificación entonces f es continua y la topoloǵıa de Y es la
más fina que hace continua f .
Proposición 2.13.4. Toda aplicación continua, sobreyectiva y abierta (cerrada) es una iden-
tificación.
34 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Demostración. Sea f : X −→ Y una aplicación continua, sobreyectiva y abierta entre espacios
topológicos. Tenemos que ver que U ⊂ Y es abierto en Y si y solo si f−1(U) es abierto en X. La
continuidad de f garantiza que si U es abierto en Y entonces f−1(U) es abierto en X. Rećıpro-
camente, supongamos que f−1(U) es abierto en X. Como f es sobreyectiva y abierta se tiene que
U = f(f−1(U)) es abierto en Y .
Demostrar que toda aplicación continua, sobreyectiva y cerrada es una identificación es com-
pletamente análogo y se deja como ejercicio.
Proposición 2.13.5. Sean X, Y y Z espacios topológicos y f : X −→ Y una identificación.
Entonces g : Y −→ Z es continua si y solo si g ◦ f : X −→ Z es continua.
Demostración. “⇒” Se sigue directamente de que las identificaciones son continuas y la composición
de aplicaciones continuas es una aplicación continua.
“⇐” Supongamos que g ◦ f es continua. Entonces, dado un abierto U de Z, (g ◦ f)−1(U) =
f−1(g−1(U)) es abierto en X y, como f es una identificación,se sigue que g−1(U) es abierto en Y .
Como consecuencia g es continua.
Dada una aplicación f : X −→ Y entre dos conjuntos, f induce en X la relación de equivalencia
∼f dada por
x ∼f x̄ si y solo si f(x) = f(x̄).
Teorema 2.13.6. Sean X e Y espacios topológicos y f : X −→ Y una identificación. Entonces
Y es homeomorfo al espacio cociente X∗ = X/ ∼f .
Demostración. El homeomorfismo h buscado se define como h([x]) := f(x), es decir, h es la única
aplicación que hace conmutativo el diagrama
X
π
��
f // Y
X∗
h
==
Veamos que h está bien definida. Supongamos que [x] = [x̄], entonces
h([x]) = f(x) = f(x̄) = h([x̄]).
La aplicación h es continua ya que la proyección π es una identificación y f = h ◦ π es una
aplicación continua.
2.13. TOPOLOGÍA COCIENTE 35
Veamos que h es biyectiva. La inyectividad de h se sigue de que si h([x]) = h([x̄]) se tiene que
f(x) = f(x̄) y, por tanto, [x] = [x̄]. La sobreyectividad de h se sigue de la sobreyectividad de f ya
que si y ∈ Y y x ∈ X tal que f(x) = y se tiene que h([x]) = f(x) = y.
h es una aplicación abierta. En efecto, sea U ⊂ X∗ abierto. Como f es una identificación, h(U)
es abierto en Y si y solo si f−1(h(U)) es abierto en X. Como f = h ◦ π se tiene que
f−1(h(U)) = (h ◦ π)−1(h(U)) = π−1(h−1(h(U))) = π−1(U)
que es abierto porque π es una identificación.
Como h es continua, biyectiva y abierta se sigue que h es un homeomorfismo.
Ejemplos
1. En la recta real R consideramos la descomposición D = {(−∞, 0), {0}, (0,+∞)}. Sea
X∗ = R/D = {[−1], [0], [1]}.
Utilizando la proyección en el cociente se ve fácilmente que
τ ∗ = {X∗, ∅, {[1]}, {[−1]}, {[1], [−1]}}
y, por tanto, X∗ no es T2 ya que no existen abiertos disjuntos que contengan a [0] y a [−1]
respectivamente.
2. En el intervalo I = [0, 1] con la topoloǵıa usual consideramos la relación de equivalencia
que identifica los extremos, es decir, tal que 0 ∼ 1. El espacio cociente I∗ = [0, 1]/ ∼ es
homeomorfo a la circunferencia unidad S1.
En efecto, la aplicación
f : I −→ S1
t 7→ f(t) = e2πit
es una identificación ya que es continua, sobreyectiva y cerrada y, además, induce la relación
de equivalencia ∼ ya que f es inyectiva en (0, 1) y f(0) = f(1).
3. Consideremos en el cuadrado I × I la relación de equivalencia ∼ dada por (0, y) ∼ (1, y)
para todo y ∈ I. El espacio cociente (I × I)∗ = (I × I)/ ∼ es homeomorfo al cilindro
C = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1, z ∈ [0, 1]} ≈ S1 × I.
36 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
La aplicación
f : I −→ S1 × I
(s, t) 7→ f(s, t) = (e2πis, t)
es una identificación que induce la relación de equivalencia ∼.
aa
4. En I × I se considera la relación de equivalencia ∼ dada por (0, y) ∼ (1, 1 − y) para todo
y ∈ I. El espacio cociente
M = (I × I)/ ∼
se denomina banda de Möbius.
aa
5. En I × I se considera la relación de equivalencia
(0, y) ∼ (1, y)
(x, 0) ∼ (x, 1)
El espacio cociente (I × I)∗ es homeomorfo al toro S1 × S1. Una identificación que define la
relación de equivalencia viene dada por
f : I × I −→ S1 × S1
(s, t) −→ f(s, t) = (e2πis, e2πit).
2.13. TOPOLOGÍA COCIENTE 37
b
a
b
a
6. En I × I se considera la relación de equivalencia
(0, y) ∼ (1, 1− y)
(x, 0) ∼ (x, 1)
El espacio cociente K = (I × I)∗ se denomina botella de Klein.
b
a
b
a
7. La esfera S2 puede obtenerse como:
a) El cociente del disco cerrado D2 = {z ∈ C | |z| ≤ 1} por la relación de equivalencia
z ∼ z si z ∈ S1.
38 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
a
a
b) El cociente del disco cerrado D2 por la relación de equivalencia z ∼ z′ para todo z, z′ ∈
S1.
La aplicación
f : D2 −→ S2
z 7→ f(z) =
{
ϕ ◦ h(z) si z ∈ D̊2
PN si z ∈ S1
donde h es un homeomorfismo entre D̊2 y ϕ es la proyección estereográfica, es una
identificación que induce la relación ∼.
c) El cociente del cilindro S1 × [−1, 1] por la relación de equivalencia (x,±1) ∼ (y,±1)
para cualesquiera x, y ∈ S1.
8. Consideremos en el disco cerrado D2 la relación de equivalencia z ∼ −z para todo z ∈ S1. El
cociente de D2 por esta relación de equivalencia es el plano proyectivo real RP 2.
2.14. ESPACIOS MÉTRICOS 39
a
a
2.14. Espacios métricos
Definición 2.14.1. Sea X un conjunto y d : X ×X −→ R una aplicación. Diremos que d es
una métrica o distancia en X si satisface las siguientes propiedades:
(1) d(x, y) ≥ 0 para cualesquiera x, y ∈ X y d(x, y) = 0 si y solo si x = y.
(2) d(x, y) = d(y, x) para cualesquiera x, y ∈ X.
(3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) para cualesquiera x, y, z ∈ X.
El par (X, d) se denomina espacio métrico.
Si (X, d) es un espacio métrico, x ∈ X y r ∈ R con r > 0 se define la bola de centro x y radio r
como el conjunto
B(x, r) = {y ∈ X | d(x, y) < r}.
Proposición 2.14.2. Sea (X, d) un espacio métrico. La colección
B = {B(x, r) | x ∈ X, r > 0}
es una base de una topoloǵıa τd en X. Esta topoloǵıa se denomina topoloǵıa inducida por la
métrica d.
Demostración. Ejercicio.
40 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Ejemplos
1. Sea X un conjunto. La aplicación d : X ×X −→ R dada por
d(x, y) =
{
1 si x 6= y
0 si x = y
es una métrica en X. Esta métrica se denomina métrica discreta en X. Esta métrica induce
en X la topoloǵıa discreta ya que dado x ∈ X
B(x, r) =
{
{x} si r ≤ 1
X si r > 1.
2. Las aplicaciones d1, d2, d∞ : Rn × Rn −→ R dadas por
d1(x, y) = |x1 − y1|+ . . .+ |xn − yn|
d2(x, y) =
√
(x1 − y1)2 + . . .+ (xn − yn)2
d∞(x, y) = máx{|x1 − y1|, . . . , |xn − yn|}
son métricas en Rn. Todas estas métricas inducen la topoloǵıa usual.
3. Sea
C0([0, 1]) = {f : [0, 1] −→ R | f continua}
Las aplicaciones ρ1, ρ∞ : C0([0, 1])× C0([0, 1]) −→ R dadas por
ρ1(f, g) =
∫ 1
0
|f(x)− g(x)|dx
ρ∞(f, g) = sup
x∈[0,1]
{|f(x)− g(x)|}
son métricas en C0([0, 1]).
Definición 2.14.3. Sea (X, τ) un espacio topológico. Diremos que X es metrizable si existe
una métrica d en X tal que τd = τ .
Proposición 2.14.4. Sea X un espacio topológico metrizable. Entonces,
(1) X es T2.
(2) Todo subespacio de X es metrizable.
(3) Si Y es un espacio topológico metrizable entonces X × Y es metrizable.
2.15. DISTANCIA ACOTADA 41
Demostración. (1) y (2) se dejan como ejercicio. Para (3) basta observar que si d y d′ son métricas
en X e Y que inducen sus topoloǵıas, cualquiera de las aplicaciones d1, d2, d∞ : X×Y −→ R dadas
por
d1 = d+ d′
d2 =
√
d2 + d′2
d∞ = máx{d, d′}
es una métrica en X × Y que induce la topoloǵıa producto.
Ejemplos
1. Si X es un espacio discreto, X es metrizable ya que la métrica discreta induce la topoloǵıa
discreta.
2. Si X es un espacio indiscreto con al menos dos elementos, X no es T2 y, por tanto, no es
metrizable.
3. El espacio de Sierpinski no es T2 y, como consecuencia, no es metrizable.
4. Si X es un conjunto infinito dotado de la topoloǵıa cofinita, X no es T2 y, por tanto, no es
metrizable.
5. La recta de Kolmogoroff RK no es T2 y, como consecuencia, no es metrizable.
6. Rn con la topoloǵıa usual es metrizable.
7. La esfera Sn es metrizable por ser un subespacio de Rn+1 que es metrizable.
8. El toro S1 × S1 es metrizable por ser producto de dos espacios metrizables.
2.15. Distancia acotada
Definición 2.15.1. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X un subconjunto. Se define el
diámetro de A como
δ(A) = sup
x,y∈A
d(x, y).
Diremos que A es acotado si existe M > 0 tal que δ(A) ≤M .
Observación 2.15.2. La propiedad “ser acotado” no es una propiedad topológica. Si consideramos
en Rn la métrica eucĺıdea, B(0, 1) es acotada y es homeomorfa a Rn que no es acotado.
42 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Proposición 2.15.3. Sea (X, d) un espacio métrico. La aplicación, d̄ : X ×X −→ R dada por
d̄(x, y) = mı́n{d(x, y), 1}
es una métrica en X con las siguientes propiedades:
1. La topoloǵıa inducida por d̄ coincide con la topoloǵıa inducida por d.
2. Todos los subconjuntos de X son acotados.
Demostración. Se deja como ejercicio. Como ayuda nótese que las bolas de radio menor que uno
con respecto a la métrica d forman una base de la topoloǵıa τd inducidapor la métrica d.
2.16. Sucesiones en espacios métricos
Proposición 2.16.1. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X un subconjunto. Entonces
A = {x ∈ X | existe una sucesión (xn) ⊂ A tal que xn → x}.
Demostración. “⊂” Si x ∈ A se tiene que para todo r > 0, B(x, r) ∩ A 6= ∅. Consideremos una
sucesión de radios rn tal que rn → 0. Para cada n ∈ N escogemos xn ∈ B(x, rn)∩A. Entonces (xn)
es una sucesión de puntos de A que converge a x.
“⊃”
Si existe una sucesión (xn) ⊂ A tal que xn → x entonces para cualquier N ∈ Nx existe n0 ∈ N
tal que si n ≥ n0, xn ∈ N . Por lo tanto, N ∩ A 6= ∅ y x ∈ A.
Proposición 2.16.2. Sean (X, d) e (Y, d′) espacios métricos y f : X −→ Y aplicación. En-
tonces f es continua en x ∈ X si y solo si para cualquier sucesión (xn) ⊂ X convergente a x,
la sucesión de imágenes (f(xn)) ⊂ Y converge a f(x).
Demostración. “⇒” Supongamos que f es continua en x y sea (xn) ⊂ X una sucesión de puntos
de convergente a x. Como f es continua en x, dado N ∈ Nf(x) se tiene que f−1(N) es un entorno
de x y, por tanto, existe un n0 ∈ N tal que xn ∈ f−1(N) para todo n ≥ n0. Entonces f(xn) ∈
f(f−1(N)) ⊂ N para todo n ≥ n0 lo que garantiza que (f(xn)) converge a x.
“⇐” Supongamos, razonando por reducción al absurdo, que f no es continua en x. Entonces,
existe N ∈ Nf (x) tal que f−1(N) no es un entorno de x. Como consecuencia, para cada n ∈ N
existe xn ∈ B(x, 1/n) tal que xn /∈ f−1(N). La sucesión (xn) converge a x mientras que f(xn) /∈ N
para todo n ∈ N lo que contradice la hipótesis de que la sucesión (f(xn)) converge a f(x).
2.17. AXIOMAS DE SEPARACIÓN MÁS ALLÁ DE T2 43
2.17. Axiomas de separación más allá de T2
Definición 2.17.1. Sea X un espacio topológico T1.
(1) Diremos que X es regular si dados x ∈ X y A cerrado en X con x /∈ A existen abiertos
U y V tales que
x ∈ U, A ⊂ V y
U ∩ V = ∅.
(2) Diremos que X es normal si dados A y B cerrados disjuntos en X, existen abiertos U y
V tales que
A ⊂ U, B ⊂ V y
U ∩ V = ∅.
Observación 2.17.2. Como el espacio X es T1, los conjuntos unipuntuales son cerrados y, por
tanto,
Normal⇒ Regular⇒ T2.
Ejemplos
1. Rn con la topoloǵıa usual es normal.
2. La recta de Sorgenfrey RS es regular (normal?).
3. El plano de Sorgenfrey RS × RS es regular pero no es normal.
4. Consideremos en el conjunto R de los números reales la topoloǵıa τBK generada por la base
BK = Bu ∪ {B \K | B ∈ Bu}
donde Bu = {(a, b) | a, b ∈ R, a < b} y K = {1/n | n ∈ N}. El espacio (R, τBK ) es T2 pero no
es regular.
Teorema 2.17.3. Todo espacio topológico metrizable es normal.
Demostración. Sea X un espacio topológico metrizable y d una métrica que induce la topoloǵıa de
X. Supongamos que A y B son cerrados disjuntos en X. Para cada a ∈ A se define
δa = ı́nf{d(a, b) | b ∈ B}.
44 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS
Como B es cerrado, se sigue que δa 6= 0. Consideremos el subconjunto
U =
⋃
a∈A
B(a, δa/2).
La elección de U garantiza que es abierto, A ⊂ U y U ∩B 6= ∅. Además U ∩B = ∅, ya que, en otro
caso, existiŕıa b ∈ B tal que B(b, r) ∩ U 6= ∅ para todo r > 0. Entonces, existiŕıa x ∈ B(b, r) ∩ U
lo que garantizaŕıa la existencia de a ∈ A tal que d(x, a) < δa/2. Como consecuencia, si escogemos
r = δa/2 se tiene que
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) <
δa
2
+
δa
2
= δa
lo que contradiŕıa la elección de δa.
Como U es cerrado, repitiendo el argumento, encontramos V tal que B ⊂ V y V ∩ U = ∅. Por
consiguiente, A ⊂ U y B ⊂ V y U ∩ V = ∅ lo que garantiza la normalidad de X.
2.18. Lema de Urysohn
Teorema 2.18.1 (Lema de Urysohn). Sea X un espacio topológico T1. Son equivalentes:
(1) X es normal.
(2) Dados A y B cerrados disjuntos de X existe una aplicación continua f : X −→ [0, 1] tal
que
f(a) = 0 para todo a ∈ A y
f(b) = 1 para todo b ∈ B.
Teorema 2.18.2 (Teorema de metrización de Urysohn). Sea X un espacio topológico. Si X es
normal y posee una base numerable, entonces X es metrizable.