Vectores teorico

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VECTORES
➔ Vector: Segmento orientado con:
→Dirección: orientación de la recta que contiene el
segmento. Ángulo entre el vector y el semieje x positivo.
→Sentido: punta de la flecha.
→Módulo: magnitud o longitud del segmento orientado.
➔ Proyecciones de un vector: segmentos que representan sus proyecciones sobre los
ejes coordenados cartesianos.
Componentes del vector= coordenadas del punto final – coordenadas del punto inicial
➔ Suma de vectores: la suma de dos vectores es otro vector, cuyas componentes son
las sumas de las componentes homólogas de los vectores sumandos (componentes en
el mismo eje)
→Propiedades:
● Conmutativa: ū+ō = ō+ū
● Asociativa: (ā+ū)+ō = ā+(ū+ō)
● Elemento neutro: es el vector nulo Ō. El vector nulo se representa como un vector cuyo
punto inicial coincide con el punto final, su módulo es cero.
● Elemento opuesto: para el vector ū su opuesto es el vector -ū. La suma de ambos
vectores da como resultado el vector nulo. -ū→ sentido contrario.
➔ Vector por escalar: Si ū es un vector no nulo y k es un número real (escalar) diferente
de cero, entonces el producto k.ū es otro vector, cuyo módulo es k veces la longitud de
ū y cuya dirección es:
→la misma que la de ū, si k>0
→opuesta a la de ū si k<0 .
El módulo resultante es el producto del escalar por el módulo del vector.
Los vectores que son múltiplos escalares entre sí son paralelos.
→Propiedades:
● Asociativa mixta: k1.(k2.ū)=(k1.k2).ū
● Distributiva del producto de un vector por un escalar con respecto a la suma de
vectores: k.(ū+ō)= k.ū+k.ō
● Distributiva del producto de un vector por un escalar con respecto a la suma de
escalares: (k1+k2).ū = k1ū+ k2ū
➔ Versores: vectores que tienen:
● Módulo unitario (=1)
● Dirección y sentido que coinciden con las direcciones y sentidos de los semiejes
coordenados cartesianos positivos.
ū= uxi+uyj+uzk
➔ Módulo: Teorema de pitágoras → |A| = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 + 𝑎𝑧2
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→Propiedades:
● El módulo de un vector es un número real positivo o nulo → |A| 0≥
● El módulo de la suma de dos vectores es menor o igual a la suma de los módulos de
cada uno de los vectores.
● El módulo del vector que se obtiene mediante el producto de un escalar por un vector,
es igual al valor absoluto del escalar multiplicado por el módulo del vector.
➔ Ángulos directores: Un vector ū del plano o del espacio, forma con los semiejes
coordenados cartesianos positivos ángulos, que se llaman ángulos directores.
➔ Versor o vector unitario asociado a un vector:
→tiene la misma dirección que el vector al que se asocia.
→su módulo es 1.
➔ Producto punto o escalar: Producto entre dos vectores que nos permite obtener el
ángulo entre dos vectores, considerados con un origen común. Da un escalar.
El ángulo entre ū y ō , es el ángulo que determinan las direcciones de los vectores y
satisface 0 (180°)≤θ ≤π
El producto escalar entre dos vectores es igual a la suma de los productos entre
componentes homólogas.
→Propiedades:
● Conmutativa: ū.ō = ō.ū
● Distributiva con respecto a la suma de vectores: (ū+ō).ē = ū.ē + ō.ē
● Asociativa mixta: k(ū.ō) = (k.ū).ō = ū(k.ō)
● Si ū y ō son ortogonales (perpendiculares) → ū.ō=0
● Si el producto es nulo o los vectores o el ángulo, o los dos, son nulos.
● El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado del módulo del
vector.
● El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí
mismo
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➔ Ángulo entre dos vectores: Producto escalar→ ū.ō = |ū|.|ō|. cosø, siendo ø el ángulo
entre ellos.
→ø= arcos → producto punto sobre producto de sus módulos
𝑢.𝑜𝑢| |. 𝑜| |
➔ Proyecciones ortogonales: Proyección del vector sobre .𝑏 𝑎
→ → w1= múltiplo escalar de b→ proyección ortogonal de a en b.𝑎 = 𝑤1 + 𝑤2
→w2= perpendicular a b→ componente de a ortogonal a b.
w1= . w2= - .𝑎.𝑏|𝑏| 2 𝑏 𝑎 𝑎.𝑏|𝑏| 2 𝑏
➔ Producto cruz o vectorial: Producto de dos vectores→se obtiene otro vector
perpendicular a otros dos vectores dados.
= .senø=𝑎×𝑏 |𝑎|×|𝑏| 𝑐
→Su módulo es el producto de los módulos por el seno del ángulo que ellos forman. El
módulo representa el área del paralelogramo.
→Propiedades:
● Anticonmutativa: = -𝑎×𝑏 𝑏×𝑎
● Si uno de los vectores del producto vectorial es el vector nulo, entonces el producto
vectorial es el vector nulo.
● El producto vectorial de dos vectores paralelos es el vector nulo.
● El producto vectorial es distributivo a derecha e izquierda, con respecto a la suma de
vectores, teniendo en cuenta la no conmutatividad de la operación: a×(b+c)= a×b+a×c
● Asociativa para la multiplicación por escalar: k(a×b) = (k.a)×b = a×(k.b)
Expresión cartesiana:
Productos cruzados de los vectores: i×j= |i|×|j|.sen90°= k
Armo submatrices (cofactores)
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Si el producto cruz es = 0 los vectores son paralelos.
➔ Producto mixto: a × b . c
Primero resuelvo el producto cruz y luego el producto punto→ da un escalar.
El resultado representa el volumen del paralelepípedo.
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