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Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lli Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER. Solucionarlo de Leithold 2da. Parte. Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3 WWW.SO LUCIO NARIOS.NET WWW.SO LUCIONARIOS.N ET Eduardo iip ln o # i Rumo« Urna hmi w « Mam «• ««« SOLUCIONARIOS UNIVERSITARIOS WWW.SOLUCIONARIOS.NET ANALISIS MATEMATICO II S O L U C I O N A R I O D E M I D O V I C H T O M O I I CO W n n - \ ♦ I N T E G R A L I N D E F I N I D A ♦ I N T E G R A L D E F I N I D A ♦ I N T E G R A L I M P R O P I A ♦ A P L I C A C I O N E S E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S WWW.SO LUCIONARIOS.NET INDICE C A P Í T U L O I V INTEGRAL INDEFINIDA Pag. 1.1. Reglas Principales para la Integración. 1 1.2. Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial. 8 1.3. Métodos de Sustitución. 45 1.4. Integración por Partes. 57 1.5. Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado. 79 1.6. Integración de Funciones Racionales. 88 1.7. Integrales de algunas Funciones Irracionales. 116 1.8. Integrales de las Diferenciales Binómicas. 129 1.9. Integrales de Funciones Trigonométricas. 134 1.10. Integración de Funciones Hiperbólicas. 157 1.11. Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el Cálculo de Integrales de la forma JR(x, Vax1 +bx + c )d x . 161 ’ 1.12. Integración de diversas Funciones Trascendentes. 167 1.13. Empleo de las Fórmulas de Reducción. 176 1.14. Integración de distintas Funciones. 180 C A P Í T U L O V L A IN T EG R A L D E FIN ID A 2.1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 218 2.2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 223 2.3. Integrales Impropias. 234 2.4. Cambio de Variable en la Integral Definida. 248 2.5. Integración por Partes. 261 2.6. Teorema del Valor Medio. 268 C A P Í T U L O V I . 3 1 , . [A P L IC A C IO N E S D E LA IN T EG R A L D E FIN ID A 3.1. Areas de las Figuras Planas. 276 3.2. Longitud de Arco de una Curva. 310 3.3. Volumen de Revolución. 325 3.4. Area de una Superficie de Revolución. 347 3.5. Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin. 357 3.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas de Física. 377 Integral Indefinida 1 C A P Í T U L O I V 4 . I N T E G R A L I N D E F I N I D A . 4.1. REG LA S PR IN C IPA LE S PA R A LA IN T E G R A C IO N . 0 F '(je) = / ( x) entonces j" f (x)dx = F(x) + c , c constante. ( 2 ) J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante. @ J(/(jc)±g(x)<¿x = j f ( x ) d x ± ^ g ( x ) d x . © Si J / ( x > k = F ( x ) + c y u = y W . se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u ) TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA. Sea u una función de x. © J ^ = 1 „ | „ | +C © J ^ T = r rc ,8 ,7 )+ c 2 Eduardo Espinoza Ramos 1031 J u 2 +a du y[a2 - u 2 audu = - ■ = are. sen f u ' + c = -are. eos - + c , a > 0 + c, ;a > 0 10) \ e ud u = e u +cJ 12) I eosu du = senu+c J = ln(w + y¡u2+a) + c ,a ? í0 J J ln(fl) ^s zn (u )du = -cos(m) + c (l2) j" j t g u d u = — ln|cosw| + c = lnjsecMj + C! ^4) tg u.du = ln |sen m| + c Jsec u.du = tgu + c J csc2 u.du = -c tg u +c Jcscu.du = lnjsec¿¿ + tgu\ + c (l^ jcscu.du = Ln\cscu-clgu\ + c Jsenh(M)rf«=cosh(«) + c @ Jcosh(M)¿K =senh(«) j c s c 2 h(u).du = ctgh(u)+c @ Jsec2 h(u)du = tgh(n) Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración: J ) + c ) + c I5a2x2dx Desarrollo Integral Indefinida 3 1032 1033 1034 1035 1036 (i6x2 + 8jc + 3 )dx. Desarrollo (6x2 + 8* + 3 )dx = 6 J x 2dx + 8 J xdx + 3 J dx + c = 2x* + 4x2 + 3x x(x + a)(x + b)dx Desarrollo + c í< C i ? x a + b 3 ab 2 í x(x + a) (x + b)dx= \ ( x 3 +(a+b)x2 +abx)dx = — + - — x + y * +c (a + bx^)2dx. Desarrollo =I<(a + bx3)2dx = I (a2 +2abx3 +b2x6)dx = a2x + Y x* + ^ - j - + c J2 p x dx. Desarrollo \ ¡ 2 7 x d x = V 2 ^ J xU2dx = ^ 3/2 y¡2p +c = x j l f x + c <fx Desarrollo 4 Eduardo Espinoza Ramos 1037 1038 1039 1040 I \ - n (nx) n dx. Desarrollo P P j p l l í i I (nx) n d x = \ u n — = — I m " du = (nx)n + c í (a2,3- x 2/3)3dx. J ( a 2/3 — x2/3 )3dx = j (a2 — Desarrollo 3a4/3x 2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx 2 9 4 /3 5 /3 9 2/3 7 /3 X 3= a x — a x +—a x ----- + c 5 7 J (yfx + 1) (x - \ [ x + \)dx. Desarrollo J" (%/3c -H1) ( x - \ f x + \)dx = j í * 3' 2 +i)dx = ^ x 5/2 +X + C = —^ - J x + x + i J (x2 + \ ) ( x2 - 2 ) j-------- -------- dx3^7 Desarrollo J U +l)^ _ 2)dx = ~ l ^ 2 dx = J (*10/3- X 4'3 - 2 x-2,3)dx Integral Indefinida = — X4y¡X-----x 2\fx~ 6 y jx + c 13 7 1041 i T x Desarrollo .m „n \2 2« r í ü d 2m+2n~1 £2=* (x 2 - 2 a: 2 + jc 2f U m - xn )2 , f jc2"1 - 2jtm+n + *2n fJ— ----7i-- dx i 2x2m4~x Axm+n4~x 2xln4~x 4m +1 2m + 2n +1 4« +1 1042 4 x f _ dx yjax Desarrollo + c \f- f(V a-V jc)4 d _ f fl2 -4ayfax + 6ax-4x\[ax + x 2 ^ J \[ax J 4ax = J [a2( a x y in - 4 a + 6-Jax - 4 x + x 2 (ax)“1/2 ] dx 2x3 = 2a Ja x - Aax + Ax^fax - 2x2 +— = + c 5 yfax 1043 J í ! +7 Desarrollo 6 Eduardo Espinoza Ramos 1044 1045 1046 1047 Í dxjr2 —10 Desarrollo ¡ T T o ' Í T - - í dx 1 (Vio)2 2V10 ln x +Vio C-VÍO + c \¡4 + x 2 Desarrollo Por la fórmula 7 se tiene: | = In I x + \ lx2 +4 I + c J (x +4) I V8-JC2 t e - / Desarrollo X•--------------- = ore. sen (— =■) + c , resulta de la fórmula 8. 7(272)2 -* 2 2V2 J í ■s/2 + x 2 - J 2 - X 2 •Ja-x* dx Desarrollo yj2 + x 2 - y ¡ 2 - x 2 J C /J2 + X2 y / 2 - x 2dx = f ( ^ 2 V 2 -* 2 » V^4-X4 V 4 - r4 dx = f~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen Ln x + y¡2 + x 2 J y í ^ x 2 J J 2 Í X 2 V2 + c por fórmulas 7 y 8. Integral Indefinida 1 1048 a) 1 tg2 J Desarrollo r r J , 8! A»fe = J<Sec! í - Í ) * . l g í - « + c . b) I tgh2 Desarrollo Jtgh2 xdx = J(l-sec! Ax)iír = x-tgh+ c. 1049 a) 1 c tg" xdx. * Desarrollo t V v * [c tg 2x d x - J (c sc2 x - \ ) d x C t g X - j : + C. b) 1 c tgh xdx. w Desarrollo J , ,g 1050 ¡3xexdx Desarrollo Í3 xejrdx= f(3e)*¿c = - ^ -J J ln(3e) 8 Eduardo Espinoza Ramos 4.2. IN T EG R A C IO N M ED IA N TE LA IN T R O D U C C IÓ N BA JO EL SIG N O DE LA DIFER EN C IA L. Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma: J* f(y/(x)).y/'(x)dx = J f(u)du , donde u = y/(x) a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la diferencial. , , adx 1051 ------ 1054 J -J a- x Desarrollo sea u = a - x —> du = -d x —> dx = -du f adx f dx f du , , cI ------ = a I ------- = -a I — = — aLn + aLn - aLn \------ J a - x J a - x J u a - . f 2x + 3 J 2x+l1052 Idx Desarrollo------------ [ l —^ d x f ( - — + — (— í— ))dx ——x + — Ln | 2x + 3| J 3 + 2* J 2 2 2x + 3 2 4 f xdx J a +bx Desarrollo f xdx f 1 a , 1 , x a , . , . I --------= I [------- (-------- )]dx —------ —Ln\a + bx\+c J a + bx J b b a + bx b b +c 11055 I — + b dxax+ ¡5 Integral Indefinida 9 1056 1057 1058 1059 Desarrollo J ax + l3 J a a a + ¡i a a \ ^ d x J x - l Desarrollo 2 f X + 1 dx = f(x + l + —1— )dx = — + x + 21n | x - l |+ c J x - l J x - l X f x2 + 5x + 7 ,I --------------dx J x + 3 Desarrollo f x +^X + '! dx= j*(x + 2 h— -—)dx = — + 2x + In | x + 3 1 J x+ 3 J x+ 3 2 J x - l Desarrollo [ x U x 2 + 1 dx= f(x 3 + x 2 +2x + 2 + - Í - J x - l J x + l +c )dx í r 4 r 3 = — + — + x2 +2x + 3 1 n |x - l |+ c 4 3 (a + -~ -)2dx X - fl Desarrollo r b i f 2 2ab b~ . , 2 o / 1 1 i ^I (a +------ Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a | -+ c J x - a J x - a (x - f l)“ x ~ a 10 Eduardo Espinoza Ramos 1060 1061 1062 J X dx(jt + 1)2 Desarrollo sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l \ ~ T du= f ( ~— = ln | w | +—+ c = ln|* + l|+ —— + c i (JC + 1)2 J u2 J U u2 u x + l f bdy J Vw Desarrollo Sea u = 1 - y => dy = - du J = b ~ y^ ll2(iy = ~bj u~ll2(lu = ~2bu1' 2 +c = -2 b y ] l-y + c JVa -bxdx. Desarrollo Sea u - a - bx => dx = ~ — b f s¡a-bxdx= fwl/2( -^ -) = - - \ u m du = - — u>fü+c = - — (a -b x )Ja -b x J J b b j 3b 3b +c 1063 dx Desarrollo Integral Indefinida 11 1064 1065 1066 1067 f - ¡ J L = d x = í (x 2 + i r 1/2^ = \u~U2 — = yfu+C = J x 2 +l+c J V 7 7 T J J 2 f y / x + lnx J X -dx Desarrollo C yfx+ lnx , f . 1 ln * \ , 0 r , ln x- ----------dx= l(-p r + ----- )dx = 2 ^ x + —— + c J X J yjx X 2 Í —J 3x2 + 5 Desarrollo í —t — = í r f X— = —J —¡= a rc tg C ^-) + c =-^= arctg(x í^ ) + c J 3x + 5 J (J3x)2 +(J5)2 S S \¡5 %/I5 V5 f dx J 7*2 +8 Desarrollo dx j*______ dx______- ^ * in i V7jf —2>/2 1 x 2 - 8 J (V7x)2 -(2>/2)2 y¡l 4V2 J l x + 2 ^ 2 dx _ ,--------------------- - ; 0 < b < a (a + b ) - ( a - b ) x +c Desarrollo dx 1 f yfa—bdxf dx = r dx 1 f __________________ J (a + b ) - (a ~ b )x2 J (Ja + b)2 - ( J a - b x ) 2 J (Ja + bj2 -(-J a - b x )2 1 . yja+b + sja—bx . ~ ln ,----- ---- f = = - \+c 2yja-b.\¡a + b \la + b - y /a -b x 12 Eduardo Espinoza Ramos 1068 1069 1070 1071 1 . . yfa + b + y j a - b x .In | ------ -----— | +c 2yja2 - b 2 J a + b -->J a - b x rx 2dx x 2 + 2 Desarrollo I x3dx ~2 F a - x Desarrollo f x3dx f J Jt2 - 5 x + 6 2 2 2 / x v f x a t o . (* + ~ -----= - ( — + — In | jc - a |) + c x~ - a 2 2 i x 2 + 4 dx Desarrollo Cx2 - 5 x + 6 j f 5 x - 2 f 5x 2 I — 1 ~ 7 ~ ( 1 — r ~ ; ) d x = I * 1 — 2 — + ~ i — ) d xJ x + 4 J x + 4 J * +4 x + 4 f dx J yJl + Zx2 = In | *2 + 4 1 +arc.tg(—) + c 2 2 Desarrollo 2yfldxr dx f - 1 f j yll + Sx2 j yjl + (2y¡2x)2 2\¡2 J y¡7 + (2^/2x)2 Integral Indefinida 13 1072 1073 1074 = 1 Ln 12- 2x + 7 +8jc2 | +c , por la fórmula 72v2 Í dx yjl - 5 x 2 Desarrollo r dx _ j*______dx _ 1 |* '¡5dx------- =-^=arcsen(^í) + c J 3* - 2 Desarrollo yftdx 1 , , . 5 . . y ¡3x-y¡2 , = - ln 3jc2 - 2 ----- r - r ' n H r ----- /x l+c3 2>/3.V2 \¡3x + yj2oHonr,a»q 1 , I , 2 T I ^ i„ | ' f i x= —In - 2l- 2^ lnl ^ + V2 +c Í 3 - 2x , dx 5x +7 Desarrollo f = 2 f f Ü Ü L = - i l n 15 ^ + 71 +cJ 5jc2 + 7 SJ 5Jí! + 7 5V7 7^ 5.X _ 5 5 3 a rc tg (^ x ) - ^ In 15x2 + 7 | +c >/35 14 Eduardo Espinoza Ramos 1075 1076 1077 1078 J 3.x:+ 1 dx\lsx2 +1 Desarrollo ( - * 2 L d x . 3 [ ' t b + ( * = 1 f i f Vm. Jy j5 x2 +l J s]5x2+l J yj5x2 +l 10 J y¡5x2 +1 S J ^(y¡5x)2 +1 - j \ l 5 x 2 +1 + ~ L n \yÍ5x+y¡5x2 + 1 1 +c 5 \ 5 I x + 3 -dxs ¡ J ^ 4 Desarrollo i r ? ' dx + 3 í ------- = V-*2 - 4 + 31n | x + yjx2 - 4 |+ c , por la fórmula j \ x - 4 J y j x 2 - 4 í x2 - 5 Desarrollo f ^ - = i f — —ln |x 2 —5 |+ c J a:2 - 5 2 J x — 5 2 ' J 2jc2 +3 Desarrollo J a x + b 1079 Desarrollo Integral Indefinida 1080 1081 1082 1083 ) a 2x 2 +b2 ) a"x +b" J a2x2 +b2 1 , 9 o » ? i 1= — l n |a ' j r + ¿ r |+ —arc.tg(— ) + c 2a a b f jcdx J 4 7 ^ 7 Desarrollo (* xdx _ 1 f 2 xdx _ J_ J Va4-*4 _2j^4_;c4 "2 2 = -^arc. sen(— ) + c úT J i « 6 Desarrollo „2 , f iL * L = f A </Y- = l f J £ ^ = Ia rc tg U 3) + c J l + x6 J l + U 3)2 3 j l + (x ) 3 j" x 2dx J VTm Desarrollo f x 1 f 3a = - ln | x3 + \¡xb - l | + c , por la fórmula 7 j V*6 - l 3 J V(;t3)2 -1 3 f jares' J vT : arcsen* , dx x2 J S p * = | <arcsenJ. Desarrollo dx 16 Eduardo Espinoza Ramos donde u = arcsen x => du = 2 í \¡ \ — X - 2 - 2 u 2du = —u 2 +c = — (arcsen x)2 + c 3 3 f arctg(~) 1084 --------é~dx 4 + x2 Desarrollo f arctg(^) j f 2arctg(^) j f x 2dx arctg2( ” t C 1085 l + 4x2 Desarrollo f Jr-7 a rc tg 2 Jr d,j = 1 f j £ * i f (arclg 2 f ) 3 - i * J 1 + 4x2 8 J 1 + 4* 2 Jl + 4x2 3 = - ln |l + 4jt2 I -- (a rc tg 2 x )2 +c 8 3 1086 h dx yj(l + x 2) ln(x + Vi + x2 ) Desarrollo f ■ ^ ,____ - ¡ I M x + J u x 1 )] ----- - J y/(l + x 2) ln (x+ Jl + x 2) J v l + x Integral Indefinida 17 1087 1088 1089 1090 donde u = ln(x + vi-+ x2) => du dx \ll + x 2 + x2 ) + c2du = 2\fü + c = 2\j\n(x + yfl J ae~mxdx Desarrollo du Sea u = -mx => dx = ----- m \a e -mxdx = a fe“ (-—) = - - \ e udu = - - e u J J m m J m \ + c = - - e~mx+c m 42~3xdx Desarrollo du J 42 3^ <íjc = 16J"4 3xdx, sea u = -3x => dx = -'- 16 4“ - 4 2.4~3* 42~3* J ( e ' ~ e ~ ' )d t - j e ' d t - je~ 'd t - e ’ +e~' 3 ln(4) 31n4 31n4 - + c )dt Desarrollo + c m * I (ea +e a)2dx Desarrollo 18 Eduardo Espinoza Ramos 1091 1092 1093 1094 m x x m 2 x 2 x 2 x 2 x i (ea +e a )2d x - I (e a +2 + e a )dx = ^ e a + 2 x - ^ e a +c 2 2 -x ,_^2 -dxf (ax ~ b x)2 J axbx Desarrollo 2 (■ 2* ^„x<x..2x \ ^ x - b± d x = dx= f(( a- y - 2 + £ Y ) d x J axbx J a 'b x J b a ¿ Y i - ) x j fl b - b _ + ^ — - 2 x + c = ± r - ( £ ) x + ( - ) x) - 2 x + c ln(—) ln(—) 'n a ~ hlb b a b a [ alX~ XA J - J T * Desarrollo 3 x x i x X „ y 2 o y — + ------- + c In a In a f a -1 f , a 1 , f . y -§ w 2 a_ _ r f * = ( - = — -j=)dx= \ ( a 2 - a i ) d x = - . ~ j ¿ Y J y f c 7 7 J 3 lr Je + ^ x d x Desarrollo Sea u = -(a '2 +1) => du = -2x dx => xdx = ~ — 2 J e~^+l)xdx = J e \ ~ ) = — fe^du = ~ \ eU + c = _ ^ " (Jrí+1> +c I*.7* <£t Desarrollo Integral Indefinida 19 Sea u — x~ => du = 2xdx => xdx = — 2 í x . lx dx = [ 7 ^ ^ = Í7 “ — = - Í 7 " d « = - —J J J 2 2 J 21n(' 1- + c = ----------7 + c 2 ln(7) 21n(7) l 1095 I 7dx1 Desarrollo 1 dx dxSea u = — => du= — ■? => — = -du X X X 1096 I 5 ^ — J e— dx = j e u (-du) = - J eudu = — dx T x \_ + c = - e 1 + c 1 Desarrollo r dx dxSea u = yjx => d u - —=• => 2d u = —j= 2\¡x s¡x { 5J~xdx = \ 5“.2du = 2 ( 5“ du= — J V i J J ln(5; 1097 f — — dx J ex - \ Desarrollo Sea « = £ * -1 => du = e xdx í C> — - = f — = In | m | +c = In | e* - 1 1 +c J ex - l J « + c = — 5 ^ + 0 ln(5) ln(5) 20 Eduardo Espinoza Ramos 1098 1099 1100 bexdx Desarrollo , . r . X . dUSea u = a - b e => du = -be dx => e dx —----- b [ ( a - b e x)^exd x - [u^ [u^du = —— u^ +c = -^ - -J (a -b e x)3 +c J J b b J 3b 3b I X 1 X (ea +1 y>eadx Desarrollo ¿ - dxSea u = e a + 1 => du = ea — => adu = ea dx a f - - — f - f - 3a - 3a — I (ea + l)3eadx = I u 3adu = a \ u 3du = -^ -u i +c = — (ea -1 ) J * * 3 +c dx 2X +3 Desarrollo f — — f ( l — - ) d x = - ( x — — ln 12X + 31) J 2* +3 3 J 2* +3 3 ln2 + c 110. l - a ™ J \ + a Desarrollo Integral Indefinida 21 1102 1103 1104 f axdx 1 f du 1 1 , ------— = -— ----- ? = -— arctgM + c = -— arctg(a ) + c J l + a m a j \ + u lna lna f- J 1-e~fa¿jc I + e~2hx Desarrollo Sea u = e hx => du= -be~ hxdx => e~bxdx = - — f <rto<¿r l f á 1 , x 1 , - h — h — 2’ = _ 7:arcts (M)+t: = - T arctg(^ ) +c J 1+e ¿ J 1 + w b b f- J 1-«dt Desarrollo -e2' Sea w = e' => du = e ‘dt f e!í/í C du 1, , 1 + u . 1, . 1 + e‘ . I — = I ----- í- = - ln ----- +c = —l n -------1 +c J l — e J l - u 2 2 1-M 2 ' l - e' ' J sen(a + bx)dx Desarrollo Sea u = a +bx => du = b dx => d x - — b f r du 1 fJ sen(a + bx)dx = J sen(w)— = — I sen(u)du = - —cos(«) + c = -icos(« + kO + c 6 fe 22 Eduardo Espinoza Ramos 1105 1106 1107 1108 J JtCOS( ~7=)dxv5 Desarrollo Sea u - -—= => \¡5 J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)\^5í/m = V5j"cos(w)ài/ = 5 sen(«) + c = . 5 sen( * ) + c J (cos(oa) + sen(ax))2 dx Desarrollo J"(cos(a.v) + sen(ax))2 dx - J*(cos(a.v) + sen(<u))~ dx = I (eos (ax) + 2 sen(ax).cos(ax) + sen (ax))dx i = I (1 + 2sen(ax).cos(ox))cfcc = x — —cos(2<ru) + c 2 a Jcos(Vx). dx 4~x Desarrollo r dx dx _ ,Sea u = y/x => d u = — -¡= => —¡= = 2du 2 \Jx y X j* cos(Vx).-^- = J* cos(u).2du = 2 J eos (u)du = 2sen(w) + c = 2sen (\fx) í + c sen(log x).— x Desarrollo Sea u = logx => d u - ——— => — = ln(10)í/w ln(10)x a- Integral Indefinida 23 1109 1110 1111 1112 J senflog x )—— = J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J* sen (u)du isen2 xdx = - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c Desarrollo ., , ? 1 - cos2jcUsar la identidad: sen x = ----------- Jsen2.xí¿t = j i j e o s 2 xdx - cos(2jc) , x sen(2x)------------ d x - --------------- + c 2 2 4 Desarrollo 2 1 + cos(2jc) Usar la identidad eos x = --------------2 J*cos2 jc</x = J - í 2 2 4 s ecz(ax+b)dx Desarrollo du Sea u = ax + b => dx = — a [ see2 (ax + b)dx = fsec2u — = - | see2 udu = - t g n + c = -tg (o x + fc) + c J J a a J a a j c t g 2(ax)dx 24 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo Usar la identidad: 1 + c tg 2 x = ese2 x je tg2 (ax).dx = J (csc2(ax) -1 )dx = _ * + c 1113 f dx sen(-) Desarrollo _ x _ , x „ , x ,Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— ) a 2a 2a i — - \' sen(-) J dx 2sen(— ).cos(— 2a 2 a > 2 ¡ s e c (^ ) 2 a sen(— ) 2a dx - l i 2, Xsee (— ) 2 a sen(— ).sec(— 2a 2 a -d x = - f ) 2 j j f sec2( ^ ) 1 ‘ 2a dx Sea u = tg(— ) 2a du = see (— ).— 2a 2a ? JCDe donde se tiene: see (— )dx = 2a dx 2a Integral Indefinida 25 1114 1115 1116 dx K 3co s(5 x -—) 4 Desarrollo dx 1 i 5x JT. i" ------ = — ln |tg [— + - ] |+ c o /« * * 1 5 2 83cos(5x---- ) 4 dx sen(ax + b) Desarrollo ax + b ax + b Se conoce sen(ax + b) = 2 sen( — ).cos( ^ ) f ■ - f J sen(ox + b) J dx ,ax + b s ax + b 2 sen(— -—).cos(—- ) , r s e c = ( í ^ >, . sec(—- — ) , [>sec - > , , a x + b . .=1 f - - - 2— dx= - i - - - - h r dx = - lnltg(— )!+c 2 J sn ,(£ £ ± * ) . g ( H ± í , “ 2 J xdx ~) Desarrollo cos2(x2) 26 Eduardo Espinoza Ramos 1117 1118 1119 1120 J*sen (l-jr)í£c Desarrollo Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ — f »J*.í sen(l - x~ )dx = J sen(l - x2 )xdx = J sen 1 f j 1 1 2J $enud u = — cosu+c = —cos(l- X ) + c I sen(;t r - \ ) 2dx sen(xv2) Desarrollo J (¡enxv^ ~ 1)2 ^dX = J (CSC ^ ~ 1)2 ^dX = J (CS° 2 ^(Xs^ ) " 2 csc(;cV2) + IWjc = J ( l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | l n | ,g(^ )|+ c / tgxdx Desarrollo eos * +cf * * * = f — dx = -ln J J eos Jf tg xdx Desarrollo \ c ig x d x = = ln | sen jc| +c J J senjr Integral Indefinida 27 1121 1122 1123 1124 1‘W^ r )dxb Desarrollo Sea u = — =* dx = (a -b)du a - b J c tg(—^ -j-)dx = Je tg a.(a - b)du = ( a - ¿?) J cigudu X = ( a - b ) In I senu | +c = (a - b ) ln | sen(------ ) | +c a - b I dx ,x . W j) Desarrollo r , r f co s( |) I — — = I ctg(—)dx = I -------- dx = 51n | sen(—) | +c J t g í í ) J 5 J s e n A 5tgCj) J tg(\fx). dX VI Desarrollo i— i dx dx ~ , Sea z = \ x => dz - — => —¡ = - 2 d z 2yjx yjx J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2 j tg zdz = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c JxCtg(A'2v" +1 )dx Desarrollo 28 Eduardo Espinoza Ramos 1125 1126 1127 1128 Sea u = x 2 +1 => x dx — —— 2 J xc tg(x2 + 1 )dx = J r tg(x2 + l)xdx = j c l g u . du ~2 = i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) | +c í dx sen x. eos x Desarrollo f dx f secx , f see x , , , , I -------------= I -------dx = I --------dx = ln tg x \+c J sen xcos.r J senx J tg jc ícos(—).sen(—) J a a -)dx Desarrollo fcos(—).sen(—)dx = — sen2(— J a a 2 a I sen3(6x).cos(6x)í¿v Desarrollo Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx J*sen3(6x).cos(6A)¿x - Ju J i du u4 sen4(6jc) — = — + c - --------- — - + C 6 24 24 cos(ax) , dx sen5(ax) Desarrollo Integral Indefinida 29 1129 1130 1131 p o s t a d L a * « , ) ) - * .* * « ) * . = — J-+C = --------!¡ J sen (ax) J J a u a a sen , + c (ax) du donde u = sen (ax) => cos(ax)dx - — a I sen(3x)djc 3 + cos(3jc) Desarrollo dz Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3x)dx = —— f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I ln l z l + c = - i l n | 3 + COS(3x) |+c J 3 + cos(3jc) 3J z 3 3 I sen*, eos jc .r dx Veos2 Jt-sen2 x Desarrollo Se conoce que: sen x.cos x = — ^— y eos x — sen x — cos(2.r) f sen xcosx = ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx J Veos2 Jt.sen2 x ~ >/cos(2x) 2 J yJcos(2x) 2 ~ V 1 + 3 eos2 x sen(2*)dx Desarrollo Sea u = l + 3cos2 x => du = - 6 eos x . sen x dx 30 Eduardo Espinoza Ramos 1132 1133 1134 1135 du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx J*(l + 3cos2 x)2 ,sen(2x)dx = —i j u 2du = ~ u 2 +c = - ^ y j ( l + 3cos2 jc)3 +< ,sec2(—)dx 3 Desarrollo Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)dx J tg 3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u 4 3 a . X.+ c = - t g ( - ) + c 4 3 dx x Desarrollo eos2 X f ^ ^ = f(tgx)2.sec2 xdx = — tg2(x) + c J eos" x J 3 í 2 sen (x) Desarrollo c c t s 3 (x) r - ~ ^ ~ I r---- |c t g 3(x).csc (x)dx = — ctg3(x) + c J sen (x) J 5 J1+ sen(3x) , dxcos2(3.y) Desarrollo Integral Indefinida 1136 1137 1138 1139 f l + sen(3.t) ¿jr_ f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx = J cos2(3x) J tg(3x) | sec(3x) | c í (cos(üx) + sen(ax))2 sen(ax) Desarrollo r (cos(ojc) + sen(ax)) _ f l + 2sen(ax).cos(flx) ^ J sen(cijc) J sen(ox) J (csc(ax) + 2 cos(ax))dx = — (ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c f csc3(3x) _ ^ J b - a c tg(3x) Desarrollo dU 2 V 1 Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3acsc“(3x)í/x ~ ^¡~ csc f _ £ ! £ ! 2 íL .^ = _L f = ._Lln | u | +c = J -ln |b-- aCtg(3x) | J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a J (2 senh(5x) - 3 cosh(5x))t/x +c Desarrollo f 2 3 (2 sen(5x) - 3 cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c 1senh2 xdx Desarrollo 32 Eduardo Espinoza Ramos 1140 1141 1142 1143 Jsenh2 xdx = J (—i í cosh(2*)N , x senh(2x) H-------------)dx —----- 1--------------1- c 2 2 4 senh(jc) Desarrollo d'X = ln | tghí^) | +<~ senh(x) 2 dx cosh(jt) Desarrollo f — —— = f ------- dx - 2 f e— - dx - 2 arctg(g*) + c JcoshU ) J \ + e2x J l + e2* i senh(jc).cosh(jc) Desarrollo f dx f seeh(x) J Csech2( x ) , , . , , .I -------------------- = -------— dx = --------— dx - ln | tgh(x) | + c J senh(x).cosh(*) J senh(x) J tgh(x) J tgh(A‘)¿V Desarrollo J" tgh(x)dx = J* Senj ^* | dx = ln | cosh(x) | +c 1144 \ctgh(x)dx Desarrollo Integral Indefinida 33 1145 1146 1147 í c tgh(x)dx = f C° Sh(A)^ = ln | senh(jc) | +c J J senh(x) Hallar las siguientes integrales indefinidas: í ' ^ ■x2dx Desarrollo J x\¡5 - x 2dx = J* (5 - X 2 )5 xdx = —^ j*(5 - x2 )5 (-2 x)dx = J x - 4* +1 a2)6 +C Desarrollo Sea u = x 4 - 4 x + l =$ - = (x3 - l )d x 4 f — - — í— dx = — f — = — ln |m |+c = — ln | a 4 - 4 x + \ \ J x4 — 4jc + 1 4 J u 4 4 1 +c A + 5 Desarrollo f x3dx _ f J ^ 5 _ J x 3dx 1 , x A tg (.-!=)+ C (a4)2 +(y¡5)2 4^5 J s 1148 í xe x dx Desarrollo 34 Eduardo Espinoza Ramos 1149 1150 j xe x dx = j e x xdx = —i je u 1 « 1du =— e +c = — e +c 2 2 J 3 -> /2 + 3.í 2 dx 2 + 3*2 Desarrollo dx 72 + 3*‘J 2 + 3* J 2 + 3* J Usando las formulas 4 y 7, se tiene: f 3 - 7 i 7 p ^ _ f dx f Jx J 2 + 3* J 2 + 3* J V2 + 3*2 = a rc tg (* ^-) - ln | \¡3x + y¡2 + 3x2 \ +c f ¡ L ± d x J * + 1 Desarrollo (* - * + 1--- — )dx = -(-* —21n * + 1 +c * + 1 3 2 Desarrollo Integral Indefinida 35 1152 1153 1154 1155 f 1 -sen * J * + cos* dx Desarrollo S e a z = x + cosx =» dz = (1 - sen x)dx fj—sen. x_ ¿x = í — = ln | z | +c = ln | * + eos * | +c J * + cos* J z f tg(3*)-ctg(3*)^ J sen(3*) Desarrollo f jg(3*)—ctg(3*) _ f (Sec(3^ _ c tg(3x)csc(3*))d* J sen(3*) J = - [ln | sec( 3*) + tg(3*) | + ---- ——] + c 3 sen(3*) J dx * ln2 * Desarrollo f d\ - = f(lnx) = f« J * ln ' * J x J - 2 . 1 1du = — + c ---------- 1-c u ln(*) dx donde u = ln x => d u - — * J see2 xdx y¡ig2 x - 2 Desarrollo Sea u = tg x => du= see2 xdx f see2 xdx f du , , rI — - I — In I u + \lu J s]tg2 x - 2 J yju2 - 2 2 - 2 | +c = ln | lgx + \jtg2 x - 2 l+c 36 Eduardo Espinoza Ramos 1156 1157 1158 1159 J(2h----- — )- *2x +1 2x +1 Desarrollo f x dx C dx f xdx J *"+ 2x2 +1 2x2 +1 ~ J 2x2 +1 + J (2x2 +1)2 = \Í2 arctg(W2)--------—— + c 4(2x“ +1) íasenx eos xdx Desarrollo Sea u - a sen x => du - a scnx cos x. In a dx => = asenx eos xdx In a f sen* f du 1 asenxl a cos xdx = I -----= ------u + c - ------- J J \na lna lna J* x2dx J W T \ + c Desarrollo „ 3 , dU ■ySea u = x +1 => — = x~dx 3 f X dx f 3 -r 2 . f du 1I —...-..... - I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = — uJ J 3 2 x4 Desarrollo Integral Indefinida 37 1160 1161 1162 1163 f xdx 1 f 2 xdx 1 2\I ,____ = — I —= = = = = = — aresen(x ) + c J V Í I 7 2 2 íXg2(ax)dx Desarrollo tg¿(ax)dx= I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ ax'> - x + cJ" tg2(ax)dx = J*( J sen2('(^r)dx 2 Desarrollo « , , i 1-cos(2jc)Por la identidad sen' x ---------------- se tiene: J sen2(-^)ífa = J - J — eos x . x sen* --------- dx = ---------------h c 2 2 see2 xdx \ ¡ 4 - t g 2 x f see* Desarrollo 2 xdx = aresen(-----) + c f dx ^ eos(—) Desarrollo 38 Eduardo Espinoza Ramos 1164 1165 1166 1167 1 y¡\ + In x ---------- dx Desarrollo Sea u = 1 + ln x => du = l~ x J Vi + ln x — - J*“ J y f x - l l 3 - 3 - 3d u - —u 3’ +c= — (1 + lnx)3 +c 4 4 x -1 ) .- J x - l Desarrollo dx „ , dx Sea z - y j x - l => dz= Jí— => 2dz = - 2yjx~l y j x - l J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tgzdz = -21n(cosz) + c = —2 ln | eos V x-1 | +c i xdx ) Desarrollo sen(x2) f xdx 1 , , , r %l 1 , , I -------j - = -In I tg(— ) | +c = - ln(csc(x ) - c tg(x2)) + c J se n (x ) 2 2 2 J sen(x ) 2 e ^ ' + x l n ü + x V l 1 + x2 dx Desarrollo Ce ^ + x W + x ^ + l ^ = f J 1+x2 X ~ J . , . e aMgv x ln(l + x2) 1 w dx = | (------ - + --------- - + --------)dx 1 + X 1 + x~ 1 + X arctot ln (1 + X ~ )= e ° + ------------- + arctg * + c Integral Indefinida 39 1168 1169 1170 1171 1 sen x -e o s x ,--------------- dx sen x + eos x Desarrollo Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx f sen x - eos x , f du , , . ,--------------- dx = I ------= - ln w + c = - ln |s e n x + cosx |+ c J senx + cosx J u í (1 - sen(-~ ))2 --------- se „ < - |) Desarrollo ,( l- s e n (™ ))2 f -----------— — = í ( ---- -------- 2 + sen {-^=))dx sen(-^ =) sen(^=) "72 = V2 ln | fg (~ = ) | -2 x - yjl eos( -j=) + c I 2 x dx x 2 - 2 Desarrollo f (1 + A-)2 J x(l + x2 dx - 1(1 + —^— )dx = x + -^= ln j —— | +c x —2 V2 x+V 2 -dx x(l + x¿) Desarrollo 40 Eduardo Espinoza Ramos 1172 j"esen* sen lxdx Desarrollo Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx 5 Vi"-3^ f 5 -3 * f d* f xdx 5 V3* I------- 7 I ~~r ' ti* = 5 I ..... - 3 I = -=arcsen(——) + V 4-3 * J V4 - 3*2 J V 4 - 3 7 V3 2 f ¿* J e* +1 1173 f - .5 3A dx J J 4 - 3 r 2 1174 1175 Desarrollo + c Desarrollo f dx f ,I —----= I ------- -í/* = - ln 1 + e ■* +c = -{\n(} + e x) - l n e x] + c J e +1 J l + e = - [ ln |l + e JC |-* ] + c = * - l n | l + e* |+c h (a + b) + (a-b)x~ Desarrollo f _____ * ____ _ = _ L f _ J (a + b) + (a-b)x~ a - b j a- dx 1 1 t = arctg (~ t ) + c (a + b) + ( a - b ) x 1 a - b j a + b | a - b ¡a + b " ¡a+b 1 a ~ b . -arctg(* /------ ) + c ■Ja2 - b 2 Vfl + ¿ Integral Indefinida 1176 í , e — - dx 1177 £ s¡e2x- 2 Desarrollo f e ' d x - f - 7=¿ £ = = m |^ + V ¡ 2^ 2 | + c J 4 e l x - 2 J J(eA )2 - 2 ¡ dx sen(fl.v). cosía*) Desarrollo f dx = f sec(^2</* = f Scc2(a- ^ = — ln | tg(ax) | +c J sen(a*).cos(fl*) J sen(ax) J tg(a*) « 1 2tt? , 1178 sen(— + yf0)dt i ' Desarrollo 2 Kt 2n . , rj. du Sea u —-----+ i//n => d u = — dt => dt = T — ~ T T ¿n j s e n ( - ^ + 1/ 0 )dt = J sen u.T — = ~ J sen u du eos 11 T , 2tt/ = - r ------ + c = ------ cos(-— +v^0) + c 27T 2n 1 1179 r rf* J *(4-ln2.*(4-ln~ *) Desarrollo dx Sea u = !n x => du = — 42 Eduardo Espinoza Ramos 1180 1181 1182 1183 f . f _ * l | „ | i ± ü J x (4 - ln 'x ) J 4 -u ~ 4 2 - u 1, , 2 + ln x ,+ c - — l n --------- +c 4 2 - ln x . arccos(—) Desarrollo dx Sea u = arccos(—) => du = — — d u = - 2 / l _ ( | ) 2 V ^ X 2 -arccos(-) f «2 1 - I —-j— 2 dx = - \ udu = - — + c - — (arccos(—))2 +c J V 4 - r 2 J 2 2 2 í V4 e~lg 1 see2 xdx Desarrollo Sea u = - tg x =» du= — sec2 xdx J*e~tg' .sec2 xdx = -J*eV « = —e" + c = - e _tgA + c f senx. J V2 - sen4 x eos .v , dx Desarrollo ,------ ----- - dx = — arcsen(— =—) + c V 2-sen4* 2 V2 dx sen2 .v.cos2 * Desarrollo Integral Indefinida 43 1184 1185 1186 sen 2*sen x.cos * = -------- f -------—-------= 4 f — ^ -= 4 f csc2(2x)dx = -2 c tg(2x) + c J sen2 x.cos2 x J sen“(2x) J í aresen x + x , dx Desarrollo •x2 ¡ ^ x + x d x = ^ l f _ ^ + c f secx.tgx , J i 2.......J vsec x + 1 Desarrollo f secx.tgx , f secx.tgx . / 2 „ . , 1 , „I — </r= I 0 — d x - In j ser r + vsec x + l |+C J Vsee2 x + 1 J y(secx)2+1 I cos(2x) dx 4 + cos2(2x) Desarrollo f cos(2x)</x f cos(2x) f cos(2x)rfx 1 ^ i ^+ sen d x ) J 4 + cos2(2x) J 4 + 1 —sen2(2x) J 5 -se n 2(2x1 4^5 V5-sen(2x) +c 1187 f — í i J 1 + cos Desarrollo 44 Eduardo Espinoza Ramos 1188 1189 1190 f ¡n(x + -Jx2 +1) Sea a = ln(x + yfx2 Desarrollo na;- l +1) => du = dx x 2 f ln(.v + n/a" + 1 ) (* /“’J 7 ^ dx f ^ , i ------ d x - I (\n(x + \¡x + 1 ))2 —p------ = I u du — j v i + x 2 j 7 , ^ 7 J — ■\](ln(x + y¡x2 + l))^ + c 3 í jc2 cosh(;t3 + 3)<£c Desarrollo o 3 -> d u 2 ,Sea u — x +3 => — = x dx f 2 , , 3 f , , . du senh(n) senh(x3 +3)I x cosh(x + 3 ) d x - I cosh(«)~— = ------— + c = ------ -------- J J 3 3 3 ^tgh(A) + C í , dx cosh“(jc) Desarrollo Sea u = tgh x => du = see l r (x )d x j* -jtglUjr) /• » ~u i tgh x I - 1— , -dx= I 3'gb *.see hx2dx = 13 “ du = --------- + c --------+ c J cosh“(.v) J J ln3 ln3 {NI I r*-i Integral Indefinida 45 4.3. M E T O D O D E SU STIT U C IO N .- PRIMERO.- SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRACION INDEFINIDA. Se hace poniendo x = y(t), donde t es una variable y f es una función continua diferenciable, f ( x ) d x = J f(\f/(t))xif\t)dt . . . ( 1) La función \\i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1) tome una forma más adecuada para la integración. SEGUNDO.- SUSTITUCION TRIGONOMETRICA 1 Si la integral contiene el radical \[a2 - x dx= a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—) a x se toma: sen 0 = ; x = a sen 0 a 2 Si la integral contiene el radical \ x 2 —a 2 se toma: sec0 = —, x= a see 0 dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-) a \/x2 - a2 a 46 Eduardo Espinoza Ramos 1191 3 Si la integral contiene el radical 4 a2 + x2 se toma: tgd = — x = a tg 0 ; dx = a see2 6 d6 ; 9 ~ arctg(—) a Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas. a) i* dx 1 J x J T ^ . ' x ~~> Desarrollo 1 A d t A - 1x — - => dx = — — ademas t = — t r x dt -dt 1 xyjx2 - 2 J 2r2 J V l-2 r2 V2 (V2í)-arccos(v2 ?) + c b) 1 V2 /--7=arccos(— ) + c , x> \J2 V2 x f dx J ex +1 x = - ln t Desarrollo Integral Indefinida 47 dt L + / l+c = - ln \ \ + e~x I +c J e ' + l J e " ln,+1 J l + í c) I x(5x2 - 3)7 dx , 5x2 - 3 = t i ‘ Desarrollo ? , dt 5x - 3 = t => jcí/x = — 10 \ x (5 x2 - 3 ) 1dx= f / 7- = 4J J 10 80 (5x -3 ) + c = ---------- — + c 80 f xdx i---- rd) I , t = J x + \ J Vx + 1 Desarrollo t = yjx+1 => dt = ----7 = = i t = y ¡ X + 1 => X = f 2 -1 2y¡X + \ f eos xdx e) / ’ 1 = sen x J VI + sen a Desarrollo t = sen x => dt = eos x dx f eos xdx f dt _ J Vi + sen2 x J \¡\+t~ = In I ? + Vl + r I +c = ln | sen x + + sen2 x | +c 48 Eduardo Espinoza Ramos 1192 1193 Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas adecuadas. I x(2x + 5 )wdx Desarrollo t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^ 2 2 f x(2x + 5)}0dx= f — = - f ( /n - 5 t w )dt = - [ - ----- — í“ ] + c J J 2 2 4 j 4 12 11 ; i í a * ± s F _ ± (2x+ n 4 12 11 I 1 + X dx l + yfx Desarrollo Sea t - y í x =$ t 2 = x => dx = 2t dt J 1 + yJX ' J 1 + t J í + 1 T 2 /3 t2 2J ( r - t + 2 - — )df = 2 [ - — + 2 /-2 1 n |f + l|] + <? = 2[— -----— + 2\[x - 2 \n | \ + \[x |] + c 1194 f dx J x\J2x + l Desarrollo Integral Indefinida 49 1195 1196 1197 2 .i------- i t — 1Sea t = yj2.V + 1 = > r = 2 a + 1 ; x = ------ => dx = td t f dX - f -y —— = 2 f -y— - In 1 [ +c = ln | i * + 1 J x \ j 2 x + 1 J r - 1 í - 1 V2 a + 1 - 1 yj2x + 1 + 1 . +c - i 2 í dx •je* -1 Desarrollo Sea t = \Je' -1 t ~ —e x — 1 e x —t +1 2tdt t2 + 1 e cdx = 2 id / => dx = - 2tdt f —I— = f ? ± 1 = 2 f f ' = 2 arctg t + c = 2arctg(V?7 J V ^ - l J f J r + l fln(2x) dx J ln(4x) a Desarrollo ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2 fln(2x) dx _ j* lnA + ln2 ^ dx _ f ^ ln2 ^dx J ln(4x) x J l n x + 2 ln 2 a J l n A + 21n2 x = ln x - (ln 2) ln |ln x + 2 ln 2¡ + c f(arcsenx)2 ,J Desarrollo ■l) + c 50 Eduardo Espinoza Ramos Sea t = arcsen x => d t - dx v r 1198 1199 f (arcsen r f f 2 / J J T 7 - 1 ■ í V l - x e2xdx (arcsen*)3 + c = --------------- í-c Vex +] Desarrollo Sea t 2 = ex + 1 => ex = t 2 -1 => exdx = 2rdt r e2xdx Cf_- J V77I J r I 1 l td t = 2(t- - t ) + c =^-í(r2 -3 ) + c - ~ ^ l e x + \ ( e x sen xdx Desarrollo Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; como t 2 = eos * => í 4 = eos2 * - 1-sen* * ; sen~* = l - í 4 j W « f a = f l z í l . (_2„ d, = - 2 f (1- ,< v , = - 2 ( , - 4 ) + <' = 7'(>4 J v cosx J t J = y Veos *(cos2 * - 5) + c - 2 ) + c 5) + c 1200 f y - J *Vi+*~ Desarrollo Integral indefinida 51 dt t.-z- f - 7 ^ = = í -?==== = - f “ 7=== = “ In Ir + V í^+T| +c j *vtt7 j r r . i Vi+*2 1, , , i + V i+ *2 , . , * .= —ln | — h----------1 -t-c = — ln ¡-------------- ¡ +c = ln |------ = = ¡ + c * * * 1+V1 + * 2 Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas. 1201 I" x2dxJ VHv Desarrollo cos0 = V i - * 2 ; sen 9 = x => dx = cos0d 0 fW O .c o s I ) ^ ¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’) J V i-* 2 j cose J J 2 de 0 sen 9 eos 9 arcsen* Vi:-------------------hC = ------------* ------- 2 2 2 2 1202 í x ' dx& 52 Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo \Í2 eos8 - 7 2 - x 2 ; x = \¡2sen9 => dx = \Í2cos9d9 í x dx y¡2- 2>/2 J sen3 0 d6 = 2V2J (1 - = 2\¡2(- scn} OdO = 2V2 I ( l -c o s ¿ 9 )s e n 9 d 9 = 2a /2 (-cos0 + ~"-) + c 7 ^ 7 . 2 - x 2 7 T 7 )+ c V2 2 ' 3V2 1203 I Desarrollo x2 - a2 a.tg# = 7 x 2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0 7 2 - X 2 f 2V2 sen3 0.V2 eos 6 d 0 J V2cos0 Integral Indefinida 53 f \ jx 2 - a2 _ j>a íg 0 .íisec0 .tg 0 í/0 _ f ^ 2 J x J a sec0 J 6 d 6 = « | (see2 0 - 1 )d9 = a tg 9 - u9 + c - \ jx 2 - a 2 - a.are see( —) + c J a 1204 f dx J x T T T Í = 7 ^ 2 - « 2 -a.arecos(—) + c x Desarrollo c tg 0 = - ¡ = L = ; cos0= — 9 = árceos— 7 7 7 1 x a x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0 1205 f — — = fcos0rtg9.scc0.tg0dO - f d 9 - 0 + l -aiccos(—) + t J x T ^ T J ~ ~ J 7 x2 +1 ,— dx Desarrollo tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7 x 2 +1 1 54 Eduardo Espinoza Ramos f í £ i . sec= í ) < » = r J X J tg 0 J J ( see 0 .c tg 0 + see 0. tg 0 )d6 - J (ese 0 + see 0. tg 0 )dd sec0(l + tg~0)úí0 t20 ] _eos f) = ln ¡c s c 0 -c tg 0 | + sec0+ c = ln| —------ -|+ sec0 + c sen0 - _in | - St'n^-1 + sec0 + c = V*2 + 1 - ln | 1 + C OS 0 1206 f -----p------ x2y ¡ 4 - x 2 Desarrollo x = 2 sen 0 => dx = 2 co s0 d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0 l + Vx ^+ l +c f — = f — 1 J x2y¡4-x2 J 4 sen2 2c°s0 1 f 2 ctg 0 J 4 -X 2 ------------- do = - ese 6 dO = ----- — + c = ------------ 0 -2 c o s0 4 J 4 4x +c 1207 x 1 dx Desarrollo x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i - * 2 Integral Indefinida 55 1208 1209 J \ ¡ l - x 2dx = J 0 sen 0. eos 0 aresen x x \ ¡ l - x 2 2 + * Calcular la integra! I - + c = - + c J V I V T I Desarrollo Sea x = sen2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt, 2 2 valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t . como x - sen / => sen t ■ Jx t = aresen VI f — * L _ = f - 2 sen ' - i— - 1 = 2 f - 2 t + c - 2 aresen VI J VIVICI J sen r V i-sen2/ J sen/.cosí + c j V ? + x 2dx Desarrollo Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos: Va2 + a'2 = V«2 + «2 sen2 ht = acoshf ; dx = a cosh t. dt 2 f 1 + cosh 2í , a2 , senh2fJ Va2 +x2dx = a2 J cosh2 f dt = «2 J -rfí = — (/+- 2 2 ) + r 56 Eduardo Espinoza Ramos 1210 = — (t + senhí.coshO + í' = — ln (x + yja2 + x 2) +—4 a 2 + a2 + c 2 2 2 t, , x v « “ + X“donde, senh t - —, cosh t = ------------ a a e' = cosh t + senh t x + yfa2 + x2 í ; 2x~dx Hallar I r-------- ; haciendo x = a cosh t J T ^ a 2 Desarrollo x = a cosh t => dx = a senh t. dt f x 'dx f a2 cosh2 í.senhí dt 7 f ,= I ------------------------= a I cosh t dt J y j x 2 - a 2 J senhí J = ° f + cosh2í , a2 . senh2í, a2dt = ——[t + ~--------] + c = — [t + senhr.coshí] + c 2 2 2 2 como x = a cosh t => cosh t = —, además a ^ L , x x"> +x"senhf = „ l + ( ~ y V V V 2 I í 2a + x“ , . x + vx~ +ae = senn i + cosn i = ---------------- =» t = l n ---------------- a f x~dx _ a i J x 2 - a 2 a 2 , x + 4 x 2 +a2 . xyja2 + x 2 [ln i---------------- 1+--------r----- ] + cI o 7 o L 1 1 „2ix - a i2 a = — ln | .v + \[x~ + a 2 | + —yja2 + x~ +k Integral Indefinida 57 4.4. IN T E G R A C IO N PO R PA R TES.- Fórmula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v = <p(x); son funciones diferenciables, tendremos que: » » u dv = uv~ vdu • Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por partes. 1211 J- xdx Haciendo u = ln x =» d u - — x Desarrollo dx dv — dx => v = x \nxdx = A ln x - | x —- = jc.ln* —Jt + cJ*ln xdx - A‘ln x — J x — - . 1212 I arctg xdx Desarrollo Haciendo u - arctg x => du = dv = dx => v = a- dx (1 + JC2) J r x ¿x i . ,, ?,arctg a* dx = x. arctgx - I ----- = X arctg x - — ln 11 + x~ | +c 1 4" X~ J1213 are sen a dx Desarrollo 58 Eduardo Espinoza Ramos 1214 1216 1217 Haciendo u = arcsen x =$ du = dx dv = dx => v - x arcsen xdx - x. arcsen x - í xdx r. 2= x arcsen x + v i - x +c xsen xdx Desarrollo Haciendo u - x => d u - d x dv = eos 3x dx v = sen3x í I; xcos 3x dx = -xsen3x fsen3x , xsen3x cos3xí -dx - + c -dx Desarrollo Haciendo u = x => du = dx II dx — => i ex - - I dx x 1 J “ 7 ~ ex ex + C ~ x + 1- + c í x.2 ' dx Haciendo Desarrollo u = x => du= dx dv = 2 x dx => v = — - ln 2 Integral Indefinida 59 1218 1219 L 2- ^ = - x .2I - f - 2I ^ = - x . ^ . - J ln2 J in 2 ln2 P 2~* xln2 + l + c = ---------r— + c In -2 2jr ln2 2 Desarrollo Haciendo u = x_ => <ím = 2xáx c/v = e3xc/x ,3* V = ■ xe ’xdx Haciendo - u = x => du= dx j 3r . edv - e ' dx => v = — 3x 1 r2 0 <* -.3*2„3* > X „3jx W x = — eJJC- - [ 3 3 3 -P - d x \ = - e 3x~ e3* + -------+ c3 3 9 27 2x 2e3x e3x 2 - — (9x‘ - 6x + 2) + c 27 2x + 5)e Xdx Desarrollo Haciendo j u = x - 2 x + 5 du = 2(x-X)dx \dv = e~xdx => v = -e~x 60 Eduardo Espinoza Ramos 1220 Haciendo « = * -1 => du = dx dv = e~xdx => v = -e~ J (x¿ - 2 x + 5)e Xdx = - e X(x2 - 2 x + 5) + 2 (x - l) ( -e x) - 2 e x +c X x3e 3dx Haciendo = -e~x(x2 +5 ) + c Desarrollo u = x3 => du - 3x2dx X X dv = e 3dx => v = —3e 3 e 3dx = -3 x 3e 3 - J*(3x2)(-3e 3 )dx = ~3x3e 3 + 9 | x 2e 3dx Haciendo u = x" => du = 2xdx X X d v - e 3dx => v = -3e 3 J' J ’ Haciendo u = x => d u - d x X dv = e 3dx => v = -3e 3 m _ X X X \ x 3e 3dx = - 3 x 2e 3 (x + 3) + 54(-3x<? 3 -9 e 3) + c - - X = - 3 x 2e 3 (x + 3 ) -5 4 e 3(3x + 9) + c = -e~3(3x3 + 9x2 + 162x + 486) + c X = —3e 3(x3 + 3 x 2 + 54x + 162) + c Integral Indefinida 61 1221 1222 Jxsen x. cosxdx Desarrollo Usar la identidad sen 2x = 2 sen x. eos x í x sen x. eos x d x ~ — í x sen 2x dx2 J Haciendo u = x du = dx dv = sen2xdx => v - eos 2x f 1 f N , 1 , x . sen2xN j xsenx.cosxdlx = — J xsen(2x)dx = — (——cos2xh----- — ) + c 2 2 x . sen2x= — cos(2x) + ---------- ve 4 8 í (x2 + 5x + 6)cos2xdx Desarrollo Haciendo u = x2 + 5x + 6 => du = (2x + 5)dx dv — eos 2 xdx => v = sen 2x i (x‘ + 5x + 6) eos 2x dx = x + 5x + 6 sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx 2 2 a Haciendo u = 2x + 5 => du = 2í/x dv = sen2xdx => v = eos 2x i i 62 Eduardo Espinoza Ramos i (x2+5X+6)co&2xdx = ^ 5 ± l sen2xA {. ^ l l cos2x + ^ l ) +c2 2 2 2 2x2 +lOx + l \ „ 2x + 5 = — --------------sen 2x + ---------- cos2x + c 4 4 1223 j x 2 lnxdx Desarrollo Haciendo u = ln x => du — — dv = x 2dx => v = — 1224 f 1.. > / ** i f ** dx x3 , jr3i lu u/< In r - I -------* — ln jc------ J ’ J 3 x 3 9 J ln1 x dx + c Desarrollo Haciendo M = ln*x => du = 2lnx. d v - d x => v = x dx j l n 2 x.dx = x l a 2 x - j x . 2 l n x.— = x \n2 x - 2 J* ln xdx Haciendo m = ln x => d u = —x d v - d x => v — x ln2 x.dx = xln2 x-2xlnx+2x+c Integral Indefinida 63 1225 1226 1227 flnj J x3 dx Desarrollo Haciendo u = lnx => du _¿x X 1- ll ^1 8- => v = 1 2x2 lnx dx _ 2x2 . ! 2x2 X - + c 4 x dx Haciendo u = ln x => du= — x dv = => v = 2 VI \lx Desarrollo dx dx = 2 V i ln x - 1 2 V i ^ = 2 V I ln x - 2 J V i y = ln ^ + ‘ í xarctgx</x Haciendo Desarrollo . dxu = arctg x => du ------- - 1 + x2 dv - x d x => v — 2 Jxarctgx<it = ^ -arctgx-2 J ——- d x arctgx ^J(1 ^_ x ^ dx 64 Eduardo Espinoza Ramos x2 1 * * + 1 , x- — arctg*H— atctg*— + c = --------arctg * - — + c 2 2 2 2 2 11228 * arcsen* dx Haciendo u - arcsen x => du = dv = xdx => v = — Desarrollo dx s í i ^ x 2 dxf ¿ X 1 l C X 2cI x arcsen xdx = — arcsen*— —¡=J 2 2 J ^ Z x2 Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0 V i-se n 2 9 = f « n ’ #« ,»= í í ^ í " , »-2 ““sen2 O.cosOdd = j sen" t) dt) = j ----— 9 sen 20 9 sen 9 eos 9 arcsen* * v l - * 2 2 4 2 2 Luego: * arcsen xdx = — arcsen * - —( J 2 2 2 1 arcsen* *V l - * 2 ) + c arcsen* * r , T + - V 1 - * +c 1229 J ln(* + Vi + *2 W* Desarrollo Haciendo u = ln(*+ Vl + *2 => = dv = dx => v = * dx V1+*2 Integral Indefinida 65 1230 1231 1232 f ln(* + Vi + *2)d* = *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx]n(x+'h+x2) - 'J \ + x~ +c J J V i+ * 2 í xdx en2 * Desarrollo *cos ec2xdx Haciendo íw = * =i> du = dx líiv = cosec2xdx =£ v = - c tg * J - A = - c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +c j sen * J f xcosxdx J sen2 * Desarrollo f * c o s * ^ _ f xc o se c x c Xgxdx J sen"* J Haciendo u = x => du = dx dv = cosecx.ctgxdx => v = - c o s ecx f.vcosx , f ,I —dx = -e o sec x- I -e o secxdx J sen * J X x = -xcosecx + ln I eos ecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡ tg— | +c sen* 2 íex sen xdx Desarrollo 66 1233 Eduardo Espinoza Ramos Haciendo u = sen x => du = eos x dx I dv = e dx => v = e ex senx d x - e x s e n x - j e * cosxdx u = eos x => du = - sen xdx Haciendo I d v - e * d x => v = e* e* sen xdx = e* sen x - ( e * eos x — \ e * ( - sen x)dx)J‘ J‘= e* sen x - e* cos x - I ex sen xdx = — (senx -eo s x) + c2 13* eos xdx Desarrollo Haciendo u — eosx => du = - s e n x d x 3* 13X eos xdx = dv = 3xdx => v 3* eos x ln3 I- ln3 3X , 3X eos —— sen xdx = -------- ln 3 ln 3 í + — f ln 3 j 3X sen xdx Haciendo w =senx => du = eos xdx 3X dv = 3xdx v = - ln3 , 3*cosx 3* sen x 3 cos x d x - --------- -H---------— ln3 ln3 - ¡ y 3X eos xdx , 3* (sen x + ln3cosx)3 cosxdx = ----------- ----------------- \-c ln 3 +1 Integral Indefinida 67 1234 1235 í eax sen(bx)dx Desarrollo m = sen(¿x) ==> du = b cos(bx)dx Haciendo dv = emdx =* v = ---- a f eax sen(bx)dx = sen bx - \ b e— cosbxdx = e- ^ ^ - b f •* a J a a a J Haciendo u = eos bx => du = - b sen bxdx e“*dv = eaxdx => v = - a Jeax sen bx dx = e™ senbx b . e ^ cosbx b--- (■a a a + — f e sen bxdx) e“* sen bx b m b2 f „ -----—e eos bx— - l e sen bxdx a~ J 7>J(1 + —r) I e“* sen bxdx = a a aeax sen bx - beax eos bx l ax , , ax.asenbx-bcosbx ,J e sen bx dx = e°* (--------- — —------ ) + c a2 +b2 J sen(ln x)dx Desarrollo eos bxdx Sea z = ln x => x - e z => dx = e zdz 68 Eduardo Espinoza Ramos f f ez sen ^— e" eos 7 J sen(ln x)dx = I ez sen zd z = -------- — ----------+ c , por el ejercicio 1234. í e njrsen(lnx)-e cos(lnx) x sen(ln a) - xcos(ln x)sen(ln x)dx = ---------- -------------------- ----- - + c = ----------------------- ------- + c 2 2 Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos: J a - ' ,1236 I x e~x dx ' Haciendo • Desarrollo h = x 2 => du = 2xdx e-*dv = xe~* dx => v = ■ j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ - - X 1 e x e x ■>e ----------i-c = -------- (x~ + 1) + c 2 2 1237 I e ^ d x Desarrollo Sea z 2 = x => dx = 2zdz J"e ^ d x = 2 f zezdz Haciendo u = z => du — dz dv = e zdz => v = ez ^ e ^ d x = 2J zezdz = 2(zez - e z ) + c = 2(yfxe'^x - e ^ ) + c = 2e' x^ (\[x - l ) + t Integral Indefinida 69 1238 1239 J (x -2 x + 3 )ln x d x Desarrollo Haciendo u = ln x => d u = — x dv = (x2 - 2x + 3)dx => v = —— x2 +3xi . 3 J*(jc2 - 2 x + 3)lnxdx = ( ^ - - x 2 + 3x)I n — J * — jc + 3 )dx fx ln ( |—:-)dx J 1 + x r 3 3 2 = (------x2 + 3x)lnx------- ¡-------3x + c 3 9 2 Desarrollo J x ln(|—- )dx = J" jcln(l — x)dx - J x ln(l + x)dx integrando J x ln (l-x )d x (1) Haciendo u = ln(l - x ) => du = - dv - xdx => v= — 2 dx \ - x Ixln(l - x)dx = — ln(l - x) + ^2 J 1-2 x2dx = — ln (l-x )+ [ x 2 1 f(_x_l+J-2 J 1-; )dx] (2) 70 Eduardo Espinoza Ramos iintegrando I xln(l + x)í/x Haciendo u = ln(l + x) du = dv = xdx => v = — 2 dx í+ x I x ln(l + x)dx - — ln(l + x) _ I f . 2 J 1 x2 x2— dx = — ln(l + x)- + x 2 - f ( x - l + — 2 J 1 + ; ■)dx X X X 1= — ln(l + x ) - — + ------- ln(l + x) 2 4 2 2 ... (3) reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene: fxln(-—-)<£t = — ln (l-x )-—— — ln(l—x)—— ln(l+x)H---------H—ln(l+x) J 1+x 2 ' " " "4 2 2 4 2 2 x2 , 1 -x 1, , 1 - x . x2 - l . , 1 - * .= — ln---------x — ln(-- ) + c = ---------- l n |-------1 - x + c 2 1 + x 2 \ + x 1 + x 1240 I \n¿x dx Haciendo Desarrollo dxu = ln x => d u - 2lnx. dv dx 1 Integral Indefinida 71 1241 1242 Haciendo u = ln x => du= — x . dx 1d v - — =* V —---- x¿ X ñ ln2 x lnx f dx . ln2x 2 lnx 2-dx = — — + 2(— x- x f ln(ln x) í y -dx Desarrollo Haciendo u = ln(ln x) => du = i dx idv — — => v = ln x x dx xln x ln(in jc) dx = ln x.ln(ln x) - I ln x.- J dx xlnx = (ln(ln x) - 1) ln x + c = ln x. ln(ln x) - ln x + c x arctg(3x)í£c Desarrollo Haciendo u = arctg(3x) => du = j 2 , x dv = x dx => v = -—- 3 dx l + 9x2 J , x3 x arctg(3x)dx = — arctg(3x) - f x dx _ x' J l+9x - f ( - — — - J 9 162 1 18x + 9x2 -)dx J x 1 - — arctg(3x)-------1----- ln 11 + 9x2 | +c 3 18 162 72 Eduardo Espinoza Ramos 1243 i ■ 1244 I x(arctg x)2dx Desarrollo Sea z = arctg x =* x = tgz => dx = sec2 z dz JA(arctg x)2dx = J z 2 tg z.sec2 z dz u - z 2 => du = 2zdz Haciendo 7 t g 2 Zdv = tgz.sec zdz => v = —— 2 7 2 - 2 = — tg2 z + ~ - I zsecz zdz j*x(arctgx)2í¿x = ^ - tg 2 z - J z t g 2 zdz = ~ ~ tg 2 z - j"(zsec2 z~z )dz - I ' integrando J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes Jx(arctg x)2 dx = - y (tg2 z +1) - z tg z - In | cos z | +c Í (arcsen x)2dx z2= — (tg2 z + 1) - z tg z + In | sec z | +c = i arct§ AL ( Ar2 +l)-jcarctgA + 2 ln (l + x 2) + c Desarrollo Integral Indefinida 73 1245 Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz J (arcsen x)2 dx = J z2 cos z dz Haciendo u = z2 =* du = 2z<iz dv = cos zdz => v = senz J (arcsen x)2 dx = z2 sen z - 2 J z sen z dz I'm = z => du=dz \dv = sen z */z => v = -cos z J (arcsen x)2 dx = z2 sen z - 2 (-z cos z - J - cos zdz) Haciendo z 1 sen z + 2z cos z - 2 sen z + c = jc(arcsen x)2 + 2V1 - x2 arcsen x -2 x + c f arcsen x IX Desarrollo J „ -dx x2 Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz farcsen x^ _ f /- Co szd z= f zctgz.coseczcfz J x J sen z J Haciendo U - z => du = dz dv = c tgz.coseczdz => v = -cosecz f arcsen x . f , z , f dz»-------- dx = -zcosecz — I -coseczdz =------- + >----I ---------- dx = -zco s ecz - I -cos ecz az = ---------+ i ------- J x2 J sen z J sen z + ln |tg ( - ) |+ c senz 2 74 Eduardo Espinoza Ramos 1246 1247 farcsenx , z , , . , arcsen* , , * L ,I ---------- dx = ---------+ ln|cosé,c z -c t g z | = -------------+ ln ¡------ - |+c J * sene * 1 + V 1-* f arcsenJ jr r x dx Desarrollo Sea [ z = arcsen V* => V* = sen z * = sen2 z => í/* = 2senzcoszdz f arcsen V* , f z-2senz.cosz , „ f ,I — -------dx - I — -dz = 2 I zsenzaz J v i - * J V i-se n 2 z J Haciendo u = z => d u = d z dv = senzdz => v = -cosz f arC^ en - * dx = 2(-z eos z - f -eos z dz) = -2 z eos z + 2 sen z + c J Vl~ * J = -2arcsen V*Vl~* +2\ fx + c Jx tg 2*rf* Desarrollo (*sec2 2x - x ) d x Haciendo u = x => du = d x dv = sec2 2xdx => v = ^ Integral Indefinida 75 1248 1249 Isen2 x , --------dx Desarrollo i 2 x , f l-c o s2 *f sen" x f 1 - cos 2x 1 f 1 f ,I -------- dx= I ------------ dx = — \e d x ---- l e eos 2 xdx J ex J 2ex 2 J 2 j 4 1 - e ~2 e JCcos2xdx ... (1) 1integrando le *cos2 x d x , por partes se tiene: Haciendo u = eos 2x => du = -2 sen 2x dx dv = e~xdx v — —e x j e ~ x cos2xdx = e ' ' co&2x+2je~x sealxdx integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2) f sen2 x , e~x / c o s 2 * -2 se n 2 * - l reemplazando (2) en (1) se tiene: | ------— dx = —r- (---------------------------- ;--) + <■y r Jeos2 (ln x)dx Desarrollo , J 2 1 + eos 2*Usar la identidad eos x = ------------ J eos2 (ln x)dx = J 1 + COS^ 2 ln X- dx = ^ ^ J cos(2 ln x)dx ... (1) 76 Eduardo Espinoza Ramos Sea z = ln x => x — e l => dx — e 'd z J cos(2 ln x)dx = J e z eos 2z dz « = ez => du = ezdz Haciendo dv = cos2xdx => v = - sen2z J cos(2 ln jc)í/jc = y sen 2z - — J e~ sen 2zdz Haciendo u - e z =$ du = ezdz. d v - s t n l z d z =* v = - cos2z Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - - f ( - — cos2z + - (Vcos22<fe)2 J 2 2 J = - sen 2(ln x) + - cos( 2 ln x) - - f eos 2(ln *)cfx 2 4 4 J 1cos(2 ln x)dx - 2x sen(2 ln x) + x cos(ln x) . . . (2) reemplazando (2) en (1) se tiene: ‘ l + cos(21nx) x x cos(2 ln x) + 2x sen(2 ln x) 1250 j*eos2 (ln x)dx = J - I x dx(1 + *2)2 -dx = — + - 2 Desarrollo 10 + c Integral Indefinida 77 Haciendo u = x => du = dx dv = xdx (1 + Jr2)2 => v = — 1 2(x +1) 1251 — f - + ( J ( l + x2)2 2(x +1) J í dx 2(x +1) J 2(x +1) 2(x +1) 2 x 1 -^---- + —arctgx + c dx (x2 + a 2)2 Desarrollo Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 dd f dx _ f a sec~ 9 d9 f a s J ( x 2 + a 2)2 J (a2 tg: 0 + a 2)2 J a see2 Odd 4 sec4 9 = 4r [cos2Odd = -2 - f(l + cos26)dd = -— ■ + a3 J 2a3 J 2a3 9 sen 9 cos 9---- ----- + c 2a3, arctg(-) arctg(-) /7 CL\ 1 /i X --------- r — + -------r -------------- + C = ----- -----------------------h —-------- ^ ) + C 2a' 2(«‘ + x ) a 2a2 a a + x 1252 J J a 2 - x 2dx Desarrollo Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0 X Xsen9 = — => 9 = arcsen(—) a a J*'Ja2~—x2dx = j y f a 2 - a 7 sen2 9 .acos9d9 - a2 j c o s 2 9 d9 ¡ 7g Eduardo Espinoza Ramos 2 f l + cos20 a" a" a= a2 I ------------¿Q = — 0H----- sen0cos0+ í J 2 2 2 « * 1 2 2 ,= — arcsen(—) + — v a -•* +c 2 a 2 1253 |V a + ;c2</;c Desarrollo Sea x = VÁtg 9 => dx = V see2 9 d9 tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^=) Va Va J yj A + x 2dx = J s¡A + A ig29.yfÁ sec2 dO = J A see3 9 dO se integra por partes: J A see3 0 d9 = A J (1 + tg2 9 ) see 9 d9 = A J (sec0 + tg2 9 see 9)d9 = A ln |sec0 + tg0 |+ A tg 0 s e c 0 -A js e c 30 ¿ 0 = y [ ln |s e e 0 + tg0 | + tg0sec0] + c J V  7 7 d x -= | [ l n I I + ^ V Á ^ 7 ] + c — 1 n I a: + y fÂ+ x2 \ +—VÁ+~? + k 2 2 Integral Indefinida 79 1254 1 x 2dx y ¡9 -x 2 Desarrollo x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9 X x sen 0 = — => 0 = arcsen(—) 3 3 f x2dx (*9sen 20 f , I -y- — = I ---------- .3cos0 dO = 9 I sen ' 0 ¿0 J V 9-.Ï2 J 3eos0 J = 1 1 - 90 9 2 eos 9)d9 = —- — sen0eos0 + c 2 2 9 -v 9 x y ¡9 - x2 9 i jc r 7= — aresen(—) — ( - ) -----+ c - - a rc s e n ( - ) — yJ9-x~ +c 2 3 2 3 3 2 3 2 4.5. IN T EG R A L ES EL E M E N T A L E S Q U E C O N T IEN E N UN T R IN O M IO C U A D R A D O .- 0 INTEGRALES DEL TIPO. 171X + Yl . dx, el procedimiento es el siguiente: El trinomio der , J ax +bx + c segundo grado ax2 + b x + c , se reduce a la forma 2 "yax +bx + c = a(x+k) + L , donde k, L; son constantes y esto se consigue completando cuadrados. © INTEGRALES DEL TIPO.- í mx + n d x , los caiculos son analogos del 1 ) y después son \fax2 +bx + c integrales inmediatos. 80 Eduardo Espinoza Ramos © INTEGRALES DEL TIPO. (mx + n) , se usa la sustitución inversa-------- = t (mx + n)\¡ax2 +bx + c ,nx + n © INTEGRALES DEL TIPO.- 1255 I ax1 +bx + c d x , se completan cuadrados y la integral se reduce a una de las integralesprincipales. dx x2 + 2.x + 5 1256 Desarrollo x +2x + 5 J (x + 1) + 4 2 dx Ix Desarrollo x 2 + 2x f dx _ f dx _ f dx _ 1 1 | x +1 — 1 J x 2+2x J x 2+2x + 1-1 J(x+1)2 -1 2 x + 1 + 1 2 x+2 1257 1258 J 3x2 — x + 1 dx 3x2 — x + 1 xdx x 2 - 7 x + 13 Desarrollo dx 1 f dx 3 6 x - l . U n 3 3 6 36 Desarrollo Integral Indefinida 81 1259 1260 1261 f xdx _ 1 2 x ~ l 7 J x 2 - 7 x + 13 2 ] x2 - l x + \ 3 + ~x2 - 7 x + l3 )dX j* 3x J x 2 - 2' 4 3x — 2 -dx 4x + 5 Desarrollo - i f - î ï = i _ * + 4 f *J x -4 x + 5 J x~ - 4 x +5 2 j x 2 - 4 x + 5 J x 2 - 4 x + 5 = - ¡ n l x 2 - 4 x + 5 j + 4 j — = |ln |x 2-4x + 5|+4arctg(x-2) + c f (x -1 )2dx J x2 + 3x+4 Desarrollo 9 f (x -1 Ÿ dx _ f 5x + 3 5 f 2x + 3 Ô J ^ + í «+4 - J <1" ? T 5 7 r ï>& =I- [l J <ï w ï - 7 7 f c 7 ^ 1 f ^ - 3 a + í f — ± — ^ + 3 ^+ 4 2 J u + 3 )¡ + 7 2 4 - x - - ln | x2 + 3x + 4 1 + ~ a rc tg ( -^ Í l) + c 2 V7 V7 f x2dxJ x 2 - 6 x + 10 Desarrollo 82 Eduardo Espinoza Ramos f x2dx f 6 x -1 0 w f f 6 x -1 0 J I í— ------- = (l + -r ------------------------- )dx = dx+ - T-~--------- dx J x - 6 x + 10 J x - 6 x + 10 J J x~ - 6x + 10 f 2 x -6 f dx= x + 3 —----------- dx + 8 -------- J x - 6 x + 10 J (x -3 ) +1 1262 J ( x - 3 ) ¿ = x + 31n | x 2 -6 x + 10 |+8arctg(x-3) + c dx y¡2 + 3 x - 2 x 2 Desarrollo 1263 f dx (* dx 1 f dx \¡2 + 3 x - 2 x 2 J j 2(l + 3 x _ x2} 4 2 J J 1 + 3 x _ x2 72 í í x 1 , 4 x - 3 , r I i ~ -------= —¡= arcsen(--------- ) + c y j x - x 2 Desarrollo dx 1264 ¡ f s dx = arcsen(2x -1 ) + c + px + q Desarrollo ' ~ = f~j-------- ~ X = \ n \ x + £ + 4 x 2 + px + q l + c J \ X + DX + a J l r> ^ n Integral Indefinida 83 f 3 x -6 J \[x2 - 4 x + ‘. 1265 I ------ dx h5 Desarrollo ~ 2 w — dxJ ’ í i S — s L f J y¡x - 4 x + 5 * \lx - 4x + 5 /------------- x —2Sea u = \ x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx Vx2 - 4 x + 5 f —-j2~^L= Jt= dx = 3 f - — L=^===rdx = 3 Idu = 3u + c = 3-v/*2 - 4 x + 5 + < J \¡x2 - 4 x + 5 * v x 2 - 4 x + 5 J 1266 J 2X 6...- dx2 x -8 Vi - x — x” Desarrollo f = f e * +1)- y = f-7J £ Ü _*=9 f J y j l - x - x 2 J >jl—x - x ? * j \ - x - x 2 J « f ) 2 - U + 2- ) , )5 = -2 -v /l-x -x 2 - 9 arcsen(— Í - ) + c yf5 í1267 I -= = = J = = = = d xV5x2 - 2 x + l Desarrollo f , - dx = l [ ^ - 1) + 1 dx » v5x2 - 2 x + l 5 J v5x2 - 2 x + 1 ^ ..... * + l f . ^ J v 5 x 2 - 2 x + l V5x2 - 2 x + 1 84 Eduardo Espinoza Ramos = -- >/5jc2 —2 x +l h— í= f - . = 4 ^ 7 ^ + J _ t o U _ i t ^ T | 7 J | +c - ) 2 + ( - ) 2 5 5 1268 J dx x \ J l - x 2 Desarrollo Sea x = - => dx = —~ t t2 J- dt = - l n | i + ——— | +c = ln | ----- vX | +c . * * Í + V i^ ^ - 1 1 +c 1269 1 d;c x\¡x2 + JC+1 i Sea x = - => dx = ~ — t t2 Desarrollo J dt_ dx = f 12 = _ f dt _ _ r dt 4 2 / 2 í - ^ ,2 - j r= - arcsen(—= -) + c - ~ arcsen( ) + c v5 V5x Integral Indefinida 85 1270 1271 1272 f ___ dx J (x —(x - l ) y¡x2 - 2 Desarrollo 1 1 i j dtSea t - ----- => - = x - l => dx = — - x - l t t2 _dt í ____ * ____ , r y , . = j J í r _ n J J I 2 J i [ i .„2 „ J = -arcsen( — ) + c 1 (jc-I)Vjc2 - 2 J l ^ l + 1)2 _ 2 J Vl + 2 í - í 2 J 2 ( x - D dx (x + l )4 x2 + 2x Desarrollo i 1 di ' Sea x +1 = - => dx - — — í í2 dt 1 - arcsen t + c = ~ arcsen(------ ) + c x + lr _ _ _ ¿ __________ r * — . ' - J ( ~ - l ) 2 + 2 ( - - l ) ^ í V t t y x 2 +2x + 5dx Desarrollo * J V 7 7 2 ^ 5 d x = J V Ü ^ Í) 2 +4dx yj(x + l)2 + 4 + - ln | jc + I + Ví-í + I)2 + 4 l+cX + l 2 v 2 = £ ± IV x 2 +2x + 5 + 21n|x + l + >/x2 +2x + 5 | +c 2 86 Eduardo Espinoza Ramos 1273 1274 1275 1276 S ' / * - * 2 dx Desarrollo 1 j \ f x x~dx - j ( x - —)2dx = ——í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c 2 x - l I 2 1 - — -— \ x - x + -arcsen(2A-l) + c 4 8 -ji1 dx Desarrollo l { ' f a - x - x dx= í j — -(* + —)-dx =—- 2 . y j 2 - x - x 2 +—arcsen(-^ -í-í-) + c J J V 4 z 2 2 4 3 _ 2x + l £ 7 9 2 * + l-------— \ 2 - x - x +-arcsen(------- ) + c 4 8 3 ; xdx J x4 - 4x24x2 +3 Desarrollo f _ xdx _ f xdx 1 1 x 2 - 2 - 1 . _ J - 4^+3 - J Í7TÍ7TT=i -2ln I TTiTI1+" i ln 17T71+c I (a2 - 2 ) 2 - 1 2 2 ' x2 - 2 + 1' !~ 4 ' x 2 —1 eos xdx í + 12 • Desarrollo sen2 x -6 se n jc + 12 Integral Indefinida 87 1277 1278 1279 T exdx J y¡Vve*~+e2x Desarrollo - + yjl + ex +e2* I +c í senjedx Veos2 x + 4cos.x + l Desarrollo f sen a ¿y _ f sen .y dx J Veos2 x + 4cos.x + l J y[(cosx + 2 y - 3 = - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c f lnjcrtx J * V l-4 1 n x - ln 2 x Desarrollo ln xdxf ln xdx f ____J| J x \ ¡ l - 4 \ n x - l n 2 x J Xy¡5- (ln x + 2)2 dx , t Sea u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2 x f lnAdt j" ln xdx _ |‘(m-2)¿m _ |* udu ^ j* du J vVl-4ln;c-ln2 a J xy¡5-( \nx+2)2 J y j5-u2 J y¡5-u^ J y¡5-u2 ,lnA + 2 x - -y¡5 - ii' - 2 arcsen( -^ =r) + c = -V 1 - 4 ln a - ln" a - 2 arcscn( j - ) + c 88 Eduardo Espinoza Ramos 4.6. IN T EG R A C IO N D E FU N C IO N ES R A C IO N A LES. ® METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.- Consideremos dos funciones polinómicas: P(x)=bnx" +bn_]x n~i +...+blx+b0 y Q(x)=amx m +amAxm~{ + ...+alx+ a0 Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es P(x)decir Q(x) Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función racional se denomina función racional propia, en caso contrario se denomina impropia. Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el denominador se puede representar la función dada como la suma de un polinomio y de una función racional. P(x) R(x)Es decir: ------ = C(x) + ---- ^ , donde el grado de R(x) es menor que el Q(x) grado de Q(x). Q(x) Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias: P(x) í Q(x) d x , para esto consideremos los siguientes casos: PRIMER CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y distintos. Es decir: Q(x) = ( x - a y) ( x - a 2) . . . (x -an) , para este caso escribiremos: donde Al ,A 2,...,An , son constantes] P(x) Q(x) x - a ¡ x - a 2 x - a n que se van a determinar. Integral Indefinida 89 SEGUNDO CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y algunos se repiten, suponiendo que ( jc - a , ) es el factor que se repite P veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales. A A, AP— — + -----3 _ + ... + ------c— x - a ¡ (x - a ¡ f ( x - a i )p donde A,, A2, A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar. TERCER CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor cuadrático x 2 +bx + c la función racional es de la forma: Ax + B x2 +bx + c CUARTO CASO: Cuando los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten. Si x 2 +bx + c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma: A|X +P| A2x + B2 ^ j ax2 + bx + c (ax2 +bx + c)2 (ax2 + bx + c)m ( 2 ) METODO DE OSTROGRADSKI.- Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene: \ P^ d x = X M + ... (a ) • Q(x) Qx(x) J Q2(x ) donde Qt (x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su derivada Q'(x). 90 Eduardo Espinoza Ramos 1280 1281 & (*) = -“ :* 0 i W . X(x) e Y(x)Qi(x) son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x ) , respectivamente, los coeficientes indeterminados de X(x),Y(x) se calcula derivando la identidad (a). Hallar las integrales: dx J (x + a)(x + b) Desarrollo ^ , efectuando y agrupando: Cx + a)(x + b) x + a x + b A + B = 0 } i i 1 A = -------- , B = - Ab+ Ba = l! a —b a — b f, * - M — i-* ---L . f J Ü - + - L . fj J (x + a)(x + b) J x + a x + b a - b J x + a a - b j a dx T b 1 > i i l . i , i \ \ x + b ,- ln | jc + « | h------- \n \x + b\+c = -------ln | -------¡+c, a ^ b a - b a - b a - b x+ a I x 2 - 5 jc + 9 x 2 - 5 jc + 6 dx Desarrollo Integral Indefinida 91 1282 1283 1 dx (jc — 1)(jc + 2)(jc + 3) 1 Desarrollo A h— — + — — , efectuando y agrupando: ( jc- 1 ) ( jc + 2)(.x + 3) jc — 1 x + 2 x + 3 1 = (A + B + C )x2 + (5A + 2B + C)x + (6A - 3B - 2C) A + B + C — 0 5 A + 2 B + C = 0 6 A - 3 B - 2 C = 0 A = — ; B = - ~ ; C = - 12 3 4 J dx (jc-l)(;t+2)(x + 3) B C u+ ------- 1------- )dx x+ 2 x+3 _L f dx 1 f dx + J_ f 12 J jc -l 3 J x + 2 4 J dx „t + 3 1 ln ! jc — 11 - - - I n ! x + 2 |+ — ln | x + 3| +ci i 3 i 412 = - | - [ ln |x - l ¡ - 4 1 n |x + 2 |+ 3 1 n |x + 3|] + c ln|- 12 12 (x+3) 1 , . (jc-IX jc+3)3 |+c r 2x2 J ( x - i ) + 4 U - 9 1 1)(jc + 3 )(jc- 4 ) 2jc + 41jc—91 -dx Desarrollo A B Ch------- +.-------, efectuando y agrupando se obtiene: ( x - 1 ) ( j í + 3 )(x -4 ) x - l x + 3 x - 4 2 x2 +41jc-91 = (A + B + C )x2 + ( - A - 5 B + 2 C ) x - l2 ( A - 4 B + 3C) 92 Eduardo Espinoza Ramos 1284 A + B + C = 2 de donde se obtiene: - A - 5 B + 2 C -4 1 -(12A -4B + 2C) = -91 resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5 2x2 + 41x-91 (x - l) (x + 3)(x + 4) -dx ■ M r -J JC — 1 X + + 3 ,n | í i t ^ - 4)5 |+cx + 3 x - 4 (x + 3) 5x +2 x3 + 5x2 + 4x dx Desarrollo 5x3 +2 . 25.x2 -2 0 * + 2 , 25x2 -2 0 * + 2 — ------- -------- = 5 + — -------- ----------= 5 + ------------------------ x - 5 x +4x x - 5x“ + 4x x(x 4)(.\ I) 25x2 - 20x + 2 A B C x (x - l) (x -4 ) x x -1 c - 4 de donde 25 .v" — 20 x + 2 — {A + B + C)x~ + (5 A — 4B~ ( )x ■+ 4 A A + B + C = 25 - 5 A - 3 B - C = -20 4A = 2 1 „ 7 ^ 161, resolviendo el sistema: A .11 . C = — 2 3 6 Integral Indefinida 93 1285 1286 í dx x(x + l) 1 Desarrollo = — h— — + — —— , efectuando la operación x (x + l)2 A' X + l (x + l)‘ l = A (x + l ) 2 + B x (x + l) + Cx => 1 =( A + B )x2 +(2A + B + C)x + A , de donde: resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1 A+B = 0 2A + B + C = 0 A = 1 dx JJ x(x + l)2 J * X+l (x + l) ,A B C( _ + -------+ . ~ ) d x = [ ( i — 4 - — - ^ J X x 1 (x + l)" )dx = ln x - ln I x + l I + —— + c = ln | ----- ¡ + -------+ c 1 1 x + l x + l x + l f —J 4x3 - A dx Desarrollo * _ i x3 — 1 1 4- = - + - ^ x - 4 4x3 x 4 4x' x x(x + 2 ) (x _ ^ ) A B C 1 . ~ x + 1 + 1x + — x — 2 2 B C\ Ade donde x - 4 = (A+B + C)x2 + ( - — + —)x —— 2 2 A A + B + C = 0 _ B C =1 2 + 2 resolviendo el sistema: A =16, B =-9, C =-7 94 Eduardo Espinoza Ramos 1287 \ - ^ T ^ d x = IV J 4 x - x J 4 A B C w . t i H-----1------ — -i------ 7~)dx — — i— | 1 . 4 x , 1 „ 1 4 16J , l v 1, í - x - 4 í/x x + — x — 2 2 x(x + - ) ( x - - ) 2 2 x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti ,—h— I (— +-— -------- r)dx = — h— [16lnx-9ln(x+ — ) - 7 ln ( x - ~ )] 4 16 J x 1 1 4 16 2 2xH— x — 2 2 x 1 .= —+— ln 4 16 „16 (x + i ) 9( x - i ) 7 2 2 | +c = — + — ln | 4 16 (2x + l) (2 x - l) y \ + c f x4 - 6x3 J x3 - 6x2 + 12x‘ + 6 + 12x -8 dx Desarrollo x4 - 6x3 + 12x2 + 6 x3 - 6x2 + 12x -8 : x + - 8x + 6 x - 6x‘ + 12x - 8 = x + - 8x + 6 (x~ 2)3 í x4 - 6x3 + 12x2 +6 x3 - 6x2 + 12x -8 í ‘dx = I (x + 8x + 6 ( x - 2)3 )dx __x1 + 2 B ( x - 2)2 ( x - 2)3 )dx 8x + 6 A + — ! L _ +_ C _ =>sx + 6 = A x2 + ( B - 4 A ) X + 2 A - 2 B + C ( x - 2)3 x - 2 ( x - 2)2 ( x - 2)3 A = 0 .B-4A = 8 2 A - 2 B + C = 6 , resolviendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22 x4 - 6x3 + 12x2 + 6 , x2 f \ 8 22 w—------ --------------dx = — + (-------- - + ------— )dx Integral Indefinida 95 1288 1289 ___8 11 2 x - 2 ( x - 2)2 C f (5x2 + 6x + 9 )dx J (x -3 )2(x + 1)2 Desarrollo 5x2+6x + 9 _ A B C D (x - 3 )2(x + 1)2 ~ x - 3 + ( x - 3 )2 + x + 1 + (x + 1)2 5x2 + 6x + 9 = (A + C)x3 + (-A + B - 5 C + D)x2 + +(-5 A + 2B + 3 C - 6 D)x + (-3 A + B + 9C + 9D) A + C = 0 - A + 5 - 5 C + D = 5 -5 A + 2Z? + 3C - 6D = 6 -3 A + B + 9C + 9D = 9 9 lresolviendo el sistema se tiene: A = 0, C = 0, B = — , D = — 2 2 f 5x2 + 6x + 9 J 9 C dx 1 f dx 9 1 1 , 1 , ------------ ------------r - d x = - ------------T + - I ---------------------------------------------------------- — = -( ---------- ) -( -------------) + C j (x -3 )2(x + 1)2 2 J (x -3 ) 2 J (x + 1) 2 x - 3 2 x + 1 f + 7 J (x2 - 3 x - 1 0 )2 X Desarrollo f x2 - 8x + 7 J f x2 - 8 x + 7 , I —i-------------^rdx— I ---------- --------- dx J (x -3 x -1 0 ) J (x -5 )2(x + 2 )2 96 Eduardo Espinoza Ramos 1290 1291 , A B t C | D x - 5 + ( x - 5 ) 2+ x+ 2 (x + 2)2 x 2 - 8jc + 7 = A(x + 5){x + 2)2 + B(x + 2)2 + C(.x + 2)(x - 5)2 + D(x - 5)2 i ! « = _ A C = - — __ 343 ’ 49 ’ 343 ’ 49 f x 2 - S x + 1 , 3 0 , , c , , 8 1 30 , , J *= 5 4 3 ln 1' - 5 1 - - 3 « ln 1A+21" = _ » ________ - — + ü L i „ |— j * 49(jc —5) 49U + 2) ~ ~ J (aT 30 8 30 n - 27agrupando y resolviendo se tiene: A = ——, B - - — , C - - ——, U - - 49(jc-5 ) 49U + 2) 343 a:+ 2 2jc —3 —rdx 2) Desarrollo — dx (x~ — 3a:+ 2) Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = (2 x -3 )d x J (ac — 3ac+ 2) J w3 2/ r Como 1 1 (x2 - 3jc + 2)3 ~' J «3 2m2 +C 2 U 2 - 3 at+ 2 ) 2 I X3 + AT +1 a:(a:2 + 1) dx Desarrollo fAT3+JC+l (" 1 w f d.V-----r------dx = I (H—=--- )dx = x + ------- ----- J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1) ___ !___ = A + Bx + C = (A + B)x -+ C x+ A ^ l = x 2 (A+C) + Cx +A JC(.V2 +1) * X2 + l Af( A-2 +1) Integral Indefinida 97 1292 A + B = 0] de donde: C = 0 A = 1 resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0 fAT3 +JC+l f 1 x| ---- r-----dx = x+ | ( ------ — J x(x2 +1) J X X2 H )dx = x+lnx — ln(jc +l) + c + 1 2 = x + ln | Va:2 +1 \+c f x 4dx J x 4- 1 Desarrollo \ s d x = L ' ) dx =x + J * 4 - l J JC4 — 1 J a4 -1 1 A B Cx+D- + ----- + - (ac-1)(a. + 1)(at + 1) * - 1 JC- 1 x2 +1 1 = (A + B + C)x3 + (A — B + D)x2 + (A + B + C)x + A — B — D A + B + C =0 A - B + D = 0 A + B - C = 0 A - B - D = 1 , resolviendo el sistema: A = — , B = — , C = 0, D 4 4 f ac4 f A B Cx + D 1 f dx 1 f dx 1 f dx—— dx = x+ | ( ----- + ------+ —------)dx = x + - ---------- -------------I - — J x —1 J x 1 x +1 x +1 4 J x -1 4 j x + \ 2 J x - + l 1 , . JT- 1 . 1= x + - ln | ---- -1- - a r c t g x + c 4 AC + 1 2 98 Eduardo Espinoza Ramos f_______ * _______ J (x2 — 4x + 3)(x2 + 4x + 5) Desarrollo 1 _ A + B + Cx+D (jc2 - 4 x + 3)(x2 + 4x + 5) x - 3 x - \ x2+4x + 5 efectuando operaciones y simplificando se tiene: A(x3 + 4x + 5x) - A(x2 + 4x + 5) + fí(x3 + 4 + 5x) - 3fi(x2 + 4x + 5) + + C(x3 - 4x2 + 3x) + D(x2 - 4x + 3) = 1 (A + B + C)x3 +(3A+B + 4C + D)x2 + ( A - 7 B + 3 C - 4 D ) x - 5 A - l 5 B + 3D = l A + B + C = 0 3A + B - 4 C + D = 0 A - 7 B + 3C - 4 D = 0 -5 A - 1 5 B + 3D = 1 1 1 2 3 resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D = — 52 20 65 36 f dx f , A B Cx+D—-----------------------------= (------+ ------ + —----------- )dx J (x - 4 x + 3)(x +4x + 5) J x - 3 x - \ x + 4x + 5 = _L f_*L+ f 65I j L d x 5 2 j x - 3 20j x - 1 J x 2+4x + 5 1 1 1 f 2x + 4 7 f dx = — ln (x -3 )----- ln(x-l)H -----I —------------ dx + ~— I —------------ 52 20 65 J x + 4x +5 1 3 0 jx 2 +4x + 5 = — ln (x -3 )— — ln(x — 1) + — ln(x2 + 4x + 5) + — arctg(x + 2) 52 20 65 130 Integral Indefinida 99 1294 1295 f dx J77T i i Desarrollo A Bx + C x3 + l (x + l)(x2 - x + l) * + l X2 - X + l 1 — (A + B)x~ + (“ A + B + C )x + A + C A + B = 0 -A + ¿f + C = 0 A + C = 1 1 „ 1 „ 2 , resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = — , C = — 3 3 3 x 2 \ ^ - = f ( - ^ - + B2X+C )dx = ] - [ — + f 3 3 dx J X +1 J x + 1 x ~ -x + l 3 j x +1 J x - x +1 = — ln(x + l)~ — ln(x2 - x + 1) + —^ arctg(-:~ -) + c 3 6 V3 V3 1 , , (x + 1)2 1= —l n . - - , , 6 x“ - x +1 v3 2x - l f dx J x 4+1 Desarrollo Ax + B Cx+D- + - x4 + l (x2 +\Jlx + l)(x2 - V2x + 1) X 2 +y[lx + \ x 2 - y ¡ l x + 1 l = (A + C)x3 +(B + D + y¡2C-y¡2A)x2 +(A + C + y¡2A-yÍ2B)x+B+D A + C = 0 B + D + \¡2C - \Í2A = 0 A + C + y¡2D-y¡2B = 0 B + D = 1 100 Eduardo Espinoza Ramos 1296 resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = — , C - —2V2 ’ 2 ’ 272 1 1 1 1 X + — -----T = X + - f dx i* Ax + B Cx+D C 2V2 2 2\¡2 2 , Jx4+l“J x2+V2x+l + x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l 1 f X + SÍ2 _ 1 f X - y ¡ 2 . ' í T í j I?— T *+ yflx + 1 2\/2 J .Y“ — yflx + 1 2 ■ + y f l ,X + 1 * V2 X y f í . In I — -------= --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c J 4V2 X2 - y í l x + \ 4 1 -x 2 dx ! +1 Desarrollo x4 + x2 +1 x4 +x2 + l = x4 + 2x2 + l-x2 =(x2 +1)2 -x2 x4 + x2 +1=(x2 + x+ l)(x2 — x +1) Ax+ B Cx+D - + - X4 + X 2 +1 X~ + X + 1 X — X + 1 1 — (Ax + fí)(x — x + 1) + (Cx + D)(x~ + x +1) 1 = (í4 + C)x3 + ( B - A + C + D )x2 + ( A - B + C + D)x+B + D A + C = 0 B - A + C + D = 0 A - B + C + D = 0 B + D = l integral Indefinida 101 1297 1298 resolviendo el sistema se tiene: A = — , B = — , C = ——, D = 2 2 2 2 f dx f . Ax+ B Cx+D N , 1 f x + 1 , 1 f x —1 —------5— = (—---------------------------------------------------- + -3--------- )dx = - , d x - - —— ---- dx J x + x +1 J x ' + x + l x -x + 1 2 J x‘ + x +1 2 J x' - x + 1 I 1 , . x + x + l . 1 x - l = - ln | —---------1 + — j= arctgí— -=-) + c x x —x+1 2V3 x%/3 dx 7 Desarrollo (l + .v2)2 Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO í — ^ r T = f - ec2y - ~ = f - ^ _ = fcos20dO J (l + x“)~ J ( l + tg‘ 0)" J sec“0 J f l + cos20 9 sen0 eos9 arctgx x= ------------ d G = - + --------------- + c = -— — + --------r - J 2 2 2 2 2(1 + x ) r 3 x +5 I —r----------r—^ d x J (x“ +2x + 2) Desarrollo (x2 + 2x + 2)2 = (x + 1)2 + 12 => z = x + l => dz = dx f — — 2 = 3 í —T ~ ~ — ~ t x^+ f J (x 2 + 2x + 2) J (x 2 + 2x + 2)‘ J (x 2 + 2x + 2)~ = _______2_____ + 2 f _____ * _____ 2(x2 + 2 x + 2 ) J (x2 + 2 x + 2 ) 2 102 Eduardo Espinoza Ramos 1299 3 + f dx ________ 3_____ +2 f dx 2(x 2 + 2 x + 2) J((x+1)2+1)2 2(x2 + 2 x + 2) J(z2+1)2 = ------ 2 3 ..... +2Í(2(a~ + 2a + 2) J2( x '+ 2x + 2) J (z + 1) (z + 1) ■ J ; :+ 2 arctg z — 21 —--- - ... (1)2(x2 + 2x + 2) ” ~ J ( z 2+ 1)2 1 , „ , z 2d z Z arctg;integrando por partes; —----- =--- ---- h--— ' (z2+l)2 2(z +1) 2 Luego reemplazando en (1) se tiene: J í 3 a + 5 3 „ 2x+2— ----------- dx = ------ ----- — + 2 arctg( a + 1) + — -------------- arctgU + 1)+c (x~ +2x+2) 2(x +2x+2) 2 ( a 2 + 2 a + 2 ) 2x + \ = ---- ,------------ + arctg(.v + 1) + c 2(x~ + 2x + 2) dx Ha + 1 )2 Desarrollo A Bx + C Dx + B- + - ( a + 1 ) 2 ( a 2 + x + i ) 2 ( a + 1 ) ( a 2 + A + l)2 A + l X 2 + A' + 1 (x2+ x + l)2 efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene: 1 = A(x2 + a + 1) + ( B x + C ) ( a + 1 ) ( a 2 +x + l) + (x + l)(Dx+E) Integral Indefinida 103 A + B = 0 2 A + 2 B + C = 0 agrupando y por entidad de polinomios tenemos: 3A + 2B + 2C' + D = 0 2A+ B + 2C + D + E = 0 A + C + E = 1 resolviendo el sistema se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0 f - _____ J ( A + 1 ) ( x 2 + A + l ) 2 J A + l Bx + C Dx + E- + —---------+ — ---------- -]dx (A + 1 ) ( a ” + A + 1 ) “ J A + l A + A + 1 (A ^ + A + 1) í t 1 * * W(---- ---------------------------------_)£/xA + l X~+X+l (x~ + X+1) , . i r 2a + i i w i r; ln | x + 1 I (—- ---------- ) d x - ~ 2 J X + A + 1 X + A + 1 2 J , 2 a + 1 1( --------- ------ ---------- -)dx (A + X + 1) ( a + A + 1 ) “ i i . i l . i 2 i i 5 2 a + 1 a + 2: In a + i j — ln x + A + l + — =rarctg(— ?=^ -) + ------------------- ;--------+ c 2 3V3 v3 3( a + a + 1) l x3 +1 1 3 0 0 ! -----------------d x Desarrollo ( a 2 — 4 a + 5 ) 2 a 3 + 1 Ax + B Cx+D ( a 2 - 4 a + 5 ) 2 a 2 - 4 a + 5 ( a 2 - 4 a + 5 ) 2 efectuando operaciones y eliminado denominadores: a 3 + l = (A x + i? ) (x 2 + x + 1) + Cx +Z> a 3 + 1 = A*3 + (-4 A + B) x 2 + (5 A -4 B + C)x + 5B + D 104 Eduardo Espinoza Ramos por identidad se obtiene: A = 1 -4 A + f í= 0 5 A - 4 B + C = 0 5B + D = l A = 1 B = 4A => B = 4 C = 11 D = - 49 J (x ~ -4 x + 5)- J . Ax+i? Cx+D , ( - -----------+ —5------------ 7)dx x2- 4 x + 5 (x — 4x + 5) , x + 4 l lx -1 9 , = H — ------ + - T — ----- - r )d *1«x2 - 4x + 5 (x2 - 4x + 5)2 1 f , 2x — 4 12 J 11 f 2 x - 4 J r dx = - (-5-----------+ — ------------- ¿ v + 3 I —--------------2 J x - 4 x + 5 x ~ -4 x + 5 2 J (x~-4 x + 5)" J ( x " - 4 x + 5) = —Inlx2 -4 x + 5 |+ ó arc tg (x -2 )-— (—-——------ )+ —arctg(x-2)H-----~ — -----2 1 5 2 ;c2_ 4jc + 5 2 6V 2(x - 4x + 5) 1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3x-17= — ln x - 4 x + 5 h— arctgíx- 2 )-1------ --------------he 2 ' 2 2(x - 4 x + 5) Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski: f dx J (x + l)2(x2+ l)2 Desarrollo f dx _ Ax2 + Bx + C ^ f Dx2 + Ex + F J (x +1)2 (x2 +1)2 (x + l)(x2 +1) J (x + l)(x2 + 1) derivando y agrupando se tiene: Integral Indefinida 105 Dx5 +(E + D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3 + (x + l)2(x2+ l)2 (x + l)2(x2+ l)2 +(A + E + F - B + D - 3 C ) x ‘-+(2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C (x + l)2(x2+ l)2 de donde se tiene: 1 = Dx +(E + D - A ) x 4 + (E + D + F - 2B)x +(A + E + F — B + D — 3C)x~ + D = 0 E + D - A = 0 E + D + F - 2 B = 0 A + E + F + D - B - 2 C =0 2A + E + F - 2C = 0 B + F - C = 1 +(2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C 1 1 1 3resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - — , C = 0 , E = — , F = — 4 4 4 4 Como: dx __________________ A x 2 + Bx + C |* Dx2 + E x + F i (x + l)2(x2+ l)2 (x + l)(x2+ l) J (x + l)(x2+ l / - X 2 + X__________ r x —3 4(x + l)(x2+ l) 4 J (x + l)(x~ + 1) dx - X +x 1 f -2 -I i ------dx + 4(x + l)(x2 +1) 4 ' J x + l 1 7 h * - ¡ ------^ -+ —In I x + l | ~ —ln |x 2 + 1 | + —arctgx + c 4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4 6 106 Eduardo Espinoza Ramos 1302 f dx í dx Desarrollo A x ’ + Bx2 +Cx+D f Ex’ + Fx2 +Gx+H (x4 - l ) 2 x4 - l +J x4 +l derivando, simplificando y agrupando se tiene: 1 _ 3A(x6 - x2) + 2B(x5 ~ x) + C(x4 - l ) - 4 A x 6 + 4Bx5 - 4 Cx4 - 4 / l r 3 (x4- l )2 (x4 - \ ) 2 Ex3 + Fx2 + Gx + H x4 —l 1 = E x7 + (F - A)x6 + ( G - 2B)x5 + ( H - 3C)x4 + (-3 D - E )x3 + + (—3A — F ) x 2 + (—2 B - G ) x - C — H E = 0 F - A = 0 G - 2 B = 0 H - 3 C = 0 -3 A - E = 0 - 3 A - F = 0 - 2 B - G = 0 - C - H = 1 , resolviendo el sistema se tiene: A = 0, B = 0, C = - 2 , d = 0, C = 0, F = 0, G = 0, H = - - 4 4 Ax3 + Bx2 +Cx + D f Ex3 + Fx2 +Gx+H x4 - l Integral Indefinida 107 I 1 _ I , ------1 — + Í - 4 - * = -------í -------2 f , _ ^ _ + _ 4 _ + l í - )Jx 4(x — 1) J x 4 -1 4(x - 1) 4 J x + l x - \ x + 1 X 3 f 1 1 w 3 f dx----- ----- + — I (-------- — )dx + ~ I —----- 4( x ' - 1) 16 J x + l x - 1 8 J jc +1 x 3 , i x + l , 3- + — ln | ----- |+ -a rc tg x + c 4(x4 - 1) 16 x - 1 3 x 3 , x - l-a rc tg x ------------------- ln ------
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