cálculo - Matemáticas V Calculo integral_Samuel Fuenlabrada

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Contenido
Capítulo 1. Diferenciales
l. Consideraciones generales 1
2. Diferenciales 2
3. Interpretación geométrica de la diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4
4. Fórmulas de diferenciación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6
5. Diferenciación implícita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7
6. Diferenciales sucesivas de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8
Capítulo 2. Antiderivadas. Integración indefinida
l. Anttderívada 10
2. Integral indefinida '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11
3. Fórmulas de derivación ',' ' 12
4. Conceptos básicos de la integración . . .. 14
Capítulo 3. Integración de una función compuesta
l. Sustitución por cambio de variable 18
2. Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma
J tan x dx, J cot x dx, J sec x dx, J csc x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22
Capítulo 4. Constante de integración
l. Cálculo del valor numérico de la constante C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29
2. Significado geométrico de la constante de integración 33
Capítulo 5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
l. Recordatorio de trigonometría 35
2. Fórmulas de integración de las funciones trígonométrícas directas. .. 36
3. Algunos procedimientos de integración de las funciones
trtgonométrtcas directas 37
Capítulo 6. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas
l. Fórmulas de integración de funciones trígonométrtcas inversas 55
2. Algunos procedimientos de integración de las funciones
trtgonométrtcas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
3. El integrando se expresa como la suma de dos cocientes 57
4. El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el
denominador es de la forma ax2 + bx + e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58
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VI CONTENIDO
Capítulo 7. Integrales inmediatas. Funciones expeneneíales 'y IO,garítmicas
l. Fórmulas de integración exponencial 71
2. Fórmulas de integración Iogarftmíca . '. . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . .. 79
Capítulo 8. Métodos de integración. Integración de funciones lri,gonometricas
l. Introducción 94
2. Algunos procedimientos de solución 95
3. Integración de la forma f sen=u cos'tu du 95
4. Integración de la forma f tan=u sec=u du 100
5. Integración de la forma f cot=u csc?u du 101
6. Integración de la forma f sen mu cos nu du 103
Capítulo 9. Métodos de integración. Integración por partes
l. Fórmula de integración por partes 111
2. Procedimiento de integración por partes 1i2
Capítulo 10. Métodos de integración. Integración por 'Sustitución trigonométrica
1. Desarrollo de la expresión ..Ja2 - X2 = a cos () 128
2. Desarrollo de la expresión ..Ja2 + X2 = a sec () 129
3. Desarrollo de la expresión ..Jx2 - a2 = a tan () 130
4. Procedimiento para resolver una integral por sustitución
trígonométríca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5. El integrando incluye una expresión de la forma ..Ja2 - X2 132
6. El integrando incluye una expresión de la forma ..Ja2 + X2 133
7. El integrando incluye una expresión de la forma ..Jx2 - a2 •......... 135
Capítulo 11. Métodos de integración. Integración por fracciones parciales
l. Definición 141
2. Caso 1.Todos los factores lineales del denominador son distintos 143
3. Caso 11. Algunos de los factores lineales del denominador
se repiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 146
4. Caso III. Todos los factores cuadráticos (írreducíbles) del
denominador son distintos 148
5. Caso V.Algunos factores cuadrátícos (irreducibles) del denominador
se repiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
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CONTENIDO VII
Capítulo 12. Métodos de integración. Integración por raclonallzacíén
l. Racíonalízacíón de expresiones que incluyen potencias fraccíonarías
p r .
de a + bx, como (a + bxFi. (a + bx)T 165
2. Racíonalízacíón de expresiones que únicamente incluyen una
potencia fraccionaría de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3. Racíonalízacíón de expresiones que incluyen diferentes potencias
a e
fraccíonarías, como xb. Xd.... . 167.
4. Racíonalízacíón de expresiones queíncluyen una potencia
a
fraccionaria del tipo (ax + b)b 169
5. Racionalización de expresiones que incluyen funciones
racionales de sen u y cos u en el denominador 170
Capítulo 13. Integración definida
l. Antecedentes históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
2. Suma de Riemann 184
3. Propiedades de la suma de Riemann 186
4. Fórmulas de la suma de Riemann 186
5. Sumas de Riemann con notación sígma 187
6. Áreas. (Interpretación íntuítíva) 189
7. Integración definida como el límite de una suma.
(Interpretación intuitiva) 190
8. Suma de Riemann (continuación) 192
9. La integración definida como un límite de sumas de Riemann 196
10. Procedimiento para calcular una integral definida 196
11. Propiedades de la integral definida 198
12. Integrales definidas por cambio de variable (cálculo de nuevos extremos) 200
Capítulo 14. La integral definida en el cálculo de áreas
l. Teorema fundamental del cálculo 206
2. Áreas 206
3. Áreas entre dos curvas en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Capítulo 15. La integral definida en el cálculo de volúmenes
l. Sólido de revolución 223
2. Método del disco para calcular el volumen 223
3. El sólido de revolución con un agujero. El método de
las arandelas 229
4. Volumen de un sólido cuando el eje de revolución es paralelo
al eje de las x o de las y 231
Capítulo 16. La integral definida
Longitud de un arco (curva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233
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Diferenciales
1. Consideraciones generales
El cálculo diferencial nos proporciona una regla general de derivación conocida
como la Regla de los cuatro pasos para obtener la derivada de una función
sencilla. Con ella, se obtuvieron las fórmulas para derivar todo tipo de
funciones.
En el cálculo integral no hay una regla general que pueda aplicarse para
integrar las diferenciales. En la práctica cada caso necesita un trato especial.
La integración es un proceso esencialmente de ensayos, por ello, se darán
varias fórmulas y métodos para facilitar su estudio.
Los científicos y los matemáticos que usan integrales en su trabajo con
frecuencia utilizan tablas de integrales. Muchas de las fórmulas que apare-
cen en ellas se han obtenido con los métodos de integración que habremos de
estudiar. El estudiante no debe usar este tipo de tablas hasta que haya desa-
rrollado suficiente experiencia en los métodos de integración normales. Se
aconseja al alumno que no trate simplemente de "mecanizar" los métodos sino
que procure entenderlos dentro de la estructura general del cálculo. Es con-
veniente que resuelva sólo los ejercicios propuestos y los que le señale su
profesor. Si tiene dificultad con alguno, insista en obtener la solución; revise
la parte teórica y los ejemplos desarrollados para aclarar y afirmar su cono-
cimiento.
Consideramos oportuno citar algunos conceptos de René Descartes, quien
en uno de sus libros señala:
"Separar y jerarquizar las dificultades procediendo de la menor a la
mayor cuando se aborda un tema nuevo (...)."
Efectivamente es recomendable que la enseñanza se haga de lo sencillo a
lo complicado; hay profesores que con el deseo de impresionar tratan de
enseñar de lo dificil a lo complicado.
"Conviene dirigir toda la fuerza del espíritu a las cosas más sencillas
y fáciles de entender y detenerse en ellas largo tiempo hasta acostum-brarse a intuir la verdad con claridad y distinción."
Se acepta fácilmente que una vez que se ha entendido un conocimiento o
la solución completa de un problema, debe uno practicarlo, trabajando con ese
conocimiento el tiempo que sea necesario para dominarlo con claridad; sólo
entonces, se podrán resolver otros problemas semejantes un poco más com-
plicados.
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2 CAPíTULO 1. Diferenciales
Es conveniente agregar que si el alumno no comprende el desarrollo de
un problema y sólo lo repite. caerá en la mecanización que no reporta ningún
beneficio. pues por sí sola. la repetición causa entorpecimiento.
El estudio de la parte teórica y de los ejercicios de este libro facilitará la
solución de los que dicte el profesor y que seguramente propondrá para el
examen correspondiente.
En el cálculo diferencial una línea. un área. un volumen o cualquier otro
cuerpo multidimensional representado por una ecuación, los dividimos infi-
nitesimalmente, es decir, hacemos las divisiones cada vez más pequeñas; en
cambio, en el cálculo integral la suma total de éstas se acerca cada vez más al
resultado que se desea: una distancia, un área. un volumen o cualquier otro
parámetro.
El cálculo es una disciplina sencilla en sus conceptos fundamentales pero
dificil y compleja en su aplicación.
En el libro Matemáticas rv. Cálculo Diferencial. el autor define el concepto
de la derivada como:
"La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del
incremento de la función entre el incremento de la variable. cuando el incre-
mento de la variable tiende a cero."
Se expresa:
derivada = dy = lím L1y
dx ó.x->oL1X
cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene derivada." I
2. Diferenciales
2.1 Definición
La diferencial de unaJunción es el producto de la derivada de laJunción por
el incremento de la variable independiente.
Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada
antes de la función.
Ejemplos:
l. Sea la función y = x4
Su primera derivada es y' = 4x3
Su diferencial se expresa dy = 4x3 Llx
2. Calcular la diferencial de la función
y = 3x2 para x = 4 Yel Sx = 0.2 Sol. 4.8
yl = 6x
I Fuenlabrada. Samuel. Matemáticas N. Cálculo Diferencial McGraw-Hfll, México. 1995. pág. 52.
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Diferenciales 3
Sustituyendo
d(3x2) = 6(4)(0.2) = 4.8
'2.2 P,ara expresar la derlvada de .una función podemos utilizar 'Cualquiera de 'las formas siguientes:
DJ(x)
]'(x)
Caucny
Lagrange
Lagrangey'
Leíbnítz. (Se lee "derivada de y con respecto a x".)
Por lo tanto:
derivada: dy = lím ~ y = DJ(x) = j'(x) = y'
dx !1x~O~x
Sea la función y = J(x)
La primera derivada se expresa
dy =j'(x)
dx
Si multiplicamos ambos miembros por dx, tenemos:
dy =j'(x) dx
Que aceptamos como otra definición de la diferencial de una función. Ésta se
lee: .la diferencial de una funciori es igual al producto .de la derivada por la
diferenc"ial de 'la variable tndependletiie.
Ejemplos:
1. Calcular la diferencial de y = 5x3 - x + 2
y = 5x3 - X + 2
y' = 15x2 - 1
d(5x3 - X + 2) = (l5x2 - 1) dx
Sol. (15x2 - 1) dx
2. Calcular la diferencial de y = .J 1 - 3x
Sol. _ 3dx
2.Jl - 3x
y = .Jl - 3x
, 3
Y = - 2.Jl - 3x
d (-V 1- 3x) = _ 3dx
2.Jl - 3x
Observa: Una vez señalada la función de la que hay que obtener su diferencial,
inicialmente se debe calcular su primera derivada.
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4 CAPíTULO 1. Diferenciales
3. Interpretación geométrica de la diferencial
I
I
I
'E Sx
B
::- -ld~
,~ya ,~- - -:6 - - -
I,,
I
I
I
I,
I,
'Fx
x + t.x
En la gráfica de la función y = f(x) observamos:
CD = t!.y
En el triángulo rectángulo ADB
BDtan a =-
AD
BD = AD tan a = t!.xf(x) (1)
Al considerar la definición inicial de la diferencial, tenemos
dy = j'(x) ~ de donde en (1)
dy = BD
CONCLUSIÓN:
La diferencial de una función y = flx) en un punto es el incremento de la
tangente a la curva en ese punto.
En consecuencia, observando la figura anterior tenemos:
t!.y = CD; dy = BD serán aproximadamente iguales cuando Sx = AD sea muy
pequeño.
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Interpretación geométrica de la diferencial 5
Ejemplo:
Calcular la diferencial de la función y = 5x2 para x = 4 Yel Sx = 0.2
y = 5x2 Sol. 8.0
y' = 10x
Sustituyendo
d(5x2) = 10(4)(0.2) = 8.0
3.1 Problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función
Ejemplos:
1. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5 m,
si éste recibe un aumento de 0.002 m.
Fórmula del área de un cuadrado Sol. 0.020 m2
1\ = 12
ó.1= 0.002 m
dA = 2/· di
dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2
Incremento = 0.020 m2
2. Obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de
lado de 2 m al aumentar el lado 0.003 m.
Fórmula del volumen de un cubo Sol. 0.036 dm"
v = 13
1= 2 m
ó.1= 0.003 m
dv = 3/2
dv = 3(2)2 (0.003) = 0.036 dm"
Incremento = 0.036 dm"
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6 CAPíTULO1. Diferenciales
3. Si ~36 = 6, calcular el valor aproximado de ~38
FUnción y = rx Sol. 6.166
fue = 38 - 36 = 2
y = rx
dy = 2~ = 2~ = i = 0.166
.J38 = 6 + 0.166 = 6.166
4. Fórmulas de diferenciación
Considerando que la diferencial de una función es el producto de su deri-
vada por la diferencial de la variable independiente aceptamos que a cada
fórmula de derivación desarrollada en el curso de cálculo diferencial le corres-
ponde una diferenciación, que citamos enseguida.
En las fórmulas que siguen u y v son funciones de x, .c~s. una constante,
y n un número natural. . .
1. d(c) = O (dx) = O
2. d(x) = 1 (dx) = dx
3. d(u + v - w) = du + dv - dw
4. d(cu) = e du
5. d(uv) = udv + vdu
6. d(un) = nun-1 du
7. d(~) = vdu- udv
v v2
8. d(sen u) = cos u du
9. d(cos u) = - sen u du
10. d(tan u) = sec- u du
11. d(cot u) = - ese- U du
12. d(sec u) = tan u sec u du
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Diferenciación implícita 7
13. d(csc u) = - cot u ese u du
du
14. d(arc sen u) = --;_I=~~
,,1 - u2
En igual forma para cada una de las demás fórmulas deducidas en el curso
citado.
Ejemplo:
Calcular d( 5X2 - 2x + 4)
d(5x2 - 2x + 4) = d(5x2) - d(2x) + d(4) Sol. (lOx - 2) dx
= 10x dx - 2 dx
= (lOx - 2) dx
5. Diferenciación implícita
Hecha la derivación se despeja dy
Ejemplo:
Diferenciar x - 5y2 = 2y
dx
Sol. ---
10y + 2
x - 5y2 - 2y = O
d d(O)
- (x - 5y2 - 2y) = --
dx dx
1 - 10y dy - 2 dy = O
dx dx
dy-(-10y-2)=-1dx
~ (lOy + 2) = 1
Como 1(dx) = dx
dx
dy =---
lOy + 2
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8 CAPíTULO 1. Diferenciales
6. Diferenciales sucesivas de una función
La segunda diferencial de una función es la diferencial de la primera diferencial.
considerando para dx un valor fijo.
dy =fix) dx
d2y = f'(x) d2x
La tercera diferencial resulta igual a la diferencial de la segunda diferencial (si
dx es constante) y así. sucesivamente.
Ejemplo:
Calcular la tercera diferencial de y = 4.0 - 5x2 - 1
d(4.0 - 5X2 - 1) = (20.0 - lOx) dx
d2(4.0 - 5X2 - 1) = d[(20.0 - 10x) dx]
= (80.03 - 10) dx
d3(4x5 - 5x2 - 1) = d[(80.03 - 10) d2x]
Ejercicio 1
Expresar una de las definiciones de diferencial.
Calcular las diferenciales de las funciones siguientes:
l. Y = 5X2 Sol. 10x dx
2. y = 3x4 - 5x3 + 4x - 1 Sol. (12x3 - 15x2 + 4) dx
3. Y = "3 - 5x Sol. 5dx-
2"3 - 5x
2dx4. ~(x - 4)2 Sol.y=
3 ~x- 4
5. 3 Sol.y = sen-
x
6. y=tan2x Sol. (2 sec- 2x) dx
3
3 (3 sen -) dx7. y = cos- Sol. x
x x2
8. fix) = 3x Sol. 3(2 - x) dxF=x 2...J(1- X)3
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Diferenciales sucesivas de una función 9
9. y=tanx-2x Sol. (secéx - 2) dx
10.
x Sol.
dx
y = are sen- ..Ja2- x2a
11. y = are cot X2 Sol. 2xdx----1+.0
12.
arl:. x
Sol.dx
y = -attg- cos - - ..J9-x23
13. Calcular el valor aproximado de ..J39 si -J36 = 6
14. Obtener el valor aproximado de 4129 si 4125 = 5
15. Calcular el incremento del área de un cuadrado
de lado 7 m al aumentar el lado 3 mm.
16. Calcular el incremento aproximado del volumen de
un cubo de lado 5.3 m al aumentar el lado 0.007 m.
17. Obtener el valor aproXimado en el aumento que
tendrá el área de una esfera de 8 cm de radio
cuando el radio aumenta 3 cm.
, v.-
S
Sol. 6.25
Sol. 5.053
Sol. 0.042
Sol. 0.589 m
Sol. 6.02 cm
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2
1. Antiderivada
Antiderivadas.
Integración indefinida
1.1 Definición
La adición y la sustracción son operaciones inversas al igual que la división y
la multiplicación y lo mismo puede decirse de elevar una potencia y extraer la
raíz correspondiente. En el cálculo diferencial se estudia el problema para
obtener la derivadaj'(x) de una funciónf(x). Ahora nos ocuparemos del pro-
blema inverso, es decir, dada la derivadaf'(x) buscaremos obtener la función
f(x).
A una función F se le llama antiderivada de una funciónf, en un intervalo 1,
si F(x) = f(x) para todo valor de x en el intervalo.
Por comodidad este concepto se expresa con la frase "F(x) es una antíderí-
vada def(x)". Las expresiones "integral indefinida" y "functori primitiva" son
sinónimos de la palabra "antiderivada".
Ejemplos:
Integrar
1. 3x2 dx es la diferencial de x3
x3 es la antídíferencíal de 3x2 dx
2. - sen x dx es la diferencial de cos x
cos x es la antídíferencíal de - sen x dx
Derivar
3. j(x) = .0
F'(x) = 4x3
4. j(x) = .0 - 6
F'(x) = 4x3
10
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2. Integral indefinida
Integral indefinida 11
45. j(x) = .0 + -
5
F'(x) = 4,03
Las funciones (3, 4 Y5) representadas porJ(x) = .0 + e donde e es una
constante (un número real no especificado) tienen por derivada F'(x) = 4,03.
2.1
A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama
integración y se denota con el símbolo f que es la inicial de la palabra suma.
Si F(x) es una función primitiva deJ(x) se expresa:
I y = fJ(x) dx = F(x) + e I si y sólo si F'(x) + e = j(x)
La expresión f J(x) dx es la antiderivada de F(x).
f es el signo de integración, se lee "integral de".
j(x) Integrando
dx Diferencial de la variable
x Variable de integración
F(x) Función primitiva
e Constante de integración
Si en la expresión
y = f j(x) dx = F(x) + e (1)
y como en la definición de la antiderivada señalamos que F'(x) = j(x), sustitui-
mos en la expresión anterior
f F'(x) dx = F(x) + e
queda
d f ddx [ J(x) dxl = dx [F(x) + el
j(x) = F'(x)
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Fórmulas de derivación. Fórmulas de integración 13
Trtgonométrtcas
d du- sen u = cos u -dx dx
La derivada del seno de una función u
es el coseno de la función u multipli-
cado por la derivada de la función u
respecto a x
d du
dx cos u = - sen u dx
La derivada del coseno de una función
u es igual a menos el seno de la fun-
ción u multiplicado por la derivada de
la función u con respecto a x
d du- tan u = sec- u -dx dx
La derivada de la tangente de una fun-
ción u es igual al cuadrado de la se-
cante de la función u. multiplicada
por la derivada de la función u con
respecto a x
d du- cot u = ese- U -dx dx
La derivada de la cotangente de una
función u es igual a menos la cose-
cante cuadrada de la función u. mul-
tiplicada por la derivada de la función
u respecto a x
d du
dx sec u = sec u tan u dx
La derivada de la secante de una fun-
ción u es igual a la secante de la fun-
ción u por la tangente de la función u.
multiplicada por la derivada de la fun-
ción u respecto a x
f cos u du = sen u + e
f sen u du = - cos u + e
f sec- u du = tan u + e
f ese- U du = - cot u + e
f sec u tan u du = sec u + e
f tan u du = L Isec U I + e
f cot u du = L I sen u I + e
f sec u du = L Isec u + tan u I + e
f ese u du + L Iese u - cot u I + e
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14 CAPíTULO 2. Antiderivadas. Integración indefinida
Las cuatro fórmulas de integración anteriores se deducen al final del
apartado número tres.
Algunas de las fórmulas de integración citadas, pueden estar multipli-
cadas por una constante.
d dv du
- (uv) = u - + v -dx dx dx
Las derivada de un producto de dos
funciones es igual a la primera función
por la derivada de la segunda, más la
segunda función por la derivada de
la primera
Se usará para deducir el método
de integración por partes.
4. Conceptos básicos de la integración
4.1 La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica
de las integrales de las funciones.
f lfix) + g(x) - h(x)] dx = fj(x) dx + f g(x) dx - f h(x) dx
Ejemplos:
1. f (5x2 + 7x - 2) dx = 5f X2 dx + 7f x dx - 2f dx
5 7= -.0 + -x2 - 2x + e
3 2
2. f (x4 - 3x
2 + 4\v = f X2 dx _ 3f X2 dx + 4f dx
x r- x x x
= fx3dx - 3fxdx + 4f~
1 3= - x4 - - x2 + 4 L [x] + e
4 2
A cada integral habría que sumarle una constante e pero solamente se
escribe la del final porque la suma de varias constantes es otra constante.
En los párrafos que siguen se explica y justifica lo que en los ejemplos
anteriores se hizo en cada integral.
4.2 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante
por la integral de la función.
Si k es una constante que está como factor en el integrando se puede poner
como factor de la integral, como ya se hizo en los dos ejemplos anteriores.
f kf(x) = kf j(x)
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Conceptos básicos de la integración 15
Ejemplos:
1. f 7.0 dx = 7f.0 dx
=2.x5+C
5
2. f~ x3 dx = ~ f x3 dx
= ~ (.0) + C5 4
=_1.0+C
10
4.3 La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a la función elevada
al exponente original más uno, todo dividido entre el exponente original más uno.
f [u(x)ln+!un (x) du(x) = ..:........0'---'...:_n+1
con n ~ -1
Ya señalamos que u es una función de x, por ello, esta notación puede
abrevíarse de la forma siguiente:
f un+!undu =--n+l con n ~ -1
Si n = -1
f u-! du = f 1.du
u
= f du
u
= In [u] + C
=Llul+C
Se expresa: la integral de la diferencial de una función dividida entre la
función es igual al logaritmo natural de la función.
Ejemplos:
1. fX2dx=; +C
2. f dx = In [x] + C
x
= L (x) + C
Se toma el valor absoluto de x debido a que no hay logarttmos de los
números negativos, por eso se pone In [x]. También puede expresarse con la
notación L [x] que usaremos con mayor frecuencia. En algunos casos por
comodidad en lugar de poner el símbolo de valor absoluto II se pone. por ejem-
plo, L (x). Se debe usar como lo sugiera el profesor.
Para no complicar el desarrollo de una integral al aplicar los signos de
agrupación y del valor absoluto, se pone éste en el resultado final.
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16 CAPíTULO 2. Antiderivadas. Integración indefinida
4.4 Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando.
Ejemplo:
J X (x2 - 1)3dx = J (x2 - 1)3X dx
4.5 Por ningún motivo se puede "sacar" la variable de integración del signo de integración.
Ejemplo:
J X2 dx ;;é x J x dx
Este desarrollo no es correcto porque "salió" la variable de integración x fuera
del signo de integral.
4.6 En algunos casos la integración se facilita si se efectúan previamente las operaciones indicadas
(productos o cocientes de polinomios).
Ejemplos:
1. J (2x + l)(x - 3) dx = J (2x2 - 6x + x' - 3) dx
= J (2x2 - Sx - 3) dx
=2Jx2dx-sJxdx-3Jdx
= ~ x3 - ~ X2 - 3x + e
3 2
x2+2x+4
x-21x3-1
-x3 + 2x2
2x2 - 1
-2x2 + 4x
4x - 1
-4x + 8
7
Jx3-1 J 7-- dx = (x2 + 2x + 4 + --) dx
x-2 x-2
= J X2 dx + 2 J x dx + 4 J dx + 7 J .ss:
x-2
1 ix2
= '3 x3 +T + 4x + 7 L [x - 21 + e
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Conceptos básicos de la integración17
4.7 Otras integrales se pueden resolver sumando y restando al integrando una misma cantidad.
Ejemplo:
f xdx =
(x+ 5)2
Para su solución se procede en la forma siguiente: del denominador, en
la expresión (x + 5)2 tomamos el 5, mismo que se suma y se resta al numera-
dor; la integral obtenida se descompone en dos integrales.
f x dx = f (x + 5 - 5) dx
(x+ 5)2 (x+ 5)2
= f (x + 5) dx + f -5 dx
(x+ 5)2 (x+ 5)2
=f dx -5f dx
(x+ 5) (x+ 5)2
u(x) = x + 5
du(x) = dx
= L (x + 5) - 5 f u-2 du
, 5u-2+1
= L (x + 5) - -=1 + e
f x du = L [x + 51 + _5_ + e
(x + 5)2 X + 5
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3
Integración de una función
compuesta
1. Sustitución por cambio de variable
Existen varias técnicas para aplicar una sustitución pero el propósito de todas
es identificar en el integrando unajunción que esté multiplicada por la dife-
rencial de esajunción, y así, poder aplicar una fórmula de integración.
En el método de sustitución, llamado también cambio de variable, se
escoge una literal. En nuestro caso se eligió la u, que se iguala a la función que
incluye el integrando, por ello es necesario señalar que está en función de la
variable de dicha función.
Ejemplos:
Integrar (únicamente identificar la función y su diferencial).
f 7x (7) dx1. sen ~ '---v--'u(x) du(x) Sol. 7x es la función7dx su diferencial
Señalamos
2. f cos !?JL
u(y)
u = 7x
u(x) = 7x
du(x) = 7dx
dy'--V---'
du(y)
Sol. 5y es la función
dy la diferencial (incompleta)
Señalamos
u = 5y
u(y) = 5y
du(y) = 5dy
Observa que la variable de la función es y, así como que la diferencial en
el integrando está incompleta.
En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuación seña-
lamos u(x) indicando con ello que u está en función de x en seguida con du(x)
calculamos su diferencial.
Algunos autores y profesores por costumbre y comodidad proceden en la
forma siguiente.
18
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Sustitución por cambio de variable 19
Integrar
J 7x (7)dxsen'-v--'~u du
Señalan
u = 7x
du = 7dx
Desde luego que el procedimiento está bien. Tú debes actuar como lo señale y
aplique el profesor pero sin olvidar que la variable u en el primer ejemplo está
en función de x, y en el segundo de y; este concepto es de utilidad en cursos
superiores.
Para identificar en el integrando la función y su diferencial, haremos uso
de varios ejemplos.
Ejemplo:
J (x2 + 3)2 (2x) dx
Hay dos maneras de resolver este ejemplo. La primera aplicando la susti-
tución por cambio de variable y la otra, desarrollando la operación como se
indicó en el párrafo 4.6 del apartado 2.
J~2~=
u(x) du(x)
(x2 + 3)3
Sol. 3 + C
u = x2 + 3
u(x) = X2 + 3
du(x) = 2x dx
El integrando está completo pues incluye laJunción multiplicada por su
diferencial, en consecuencia se puede aplicar la fórmula de integración de la
potencia de una función.
Sustituyendo
= J u2 du
Integrando
u3
=- + C
3
Con el valor de u queda
Otra solución se encuentra desarrollando la operación en el integrando.
J (x2 + 3)2 (2x) dx 1Sol. - x6 + 3.0 + 9X2 + C
3
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20 CAPíTULO3. Integración de una función compuesta
El integrando es un polínomío, por ello, podemos desarrollar su producto e
integrar término a término.
f (x2 + 3)2 (2x) dx = f (x4 + 6x2 + 9) (2x) dx
= f (2x5 + 12x3 + 18x) dx
= 2 f x5 dx + 12 f x3 dx + 18 f x dx
=~x6+~x4+~X2+C
6 4 2
1= - x6 + 3x4 + 9x2 + e
3
Los dos resultados están bien ya que si desarrollamos el primero de ellos
se tiene:
(x2+ 3)3 e _ xB+ 9x4 + 27x2 + 27 e
3 + - 3 +
= 1. x6 + 3x4 + 9x2 + 9 + e
3
La constante en el primer desarrollo es 9 + e, la del segundo es e, que son
equivalentes.
Ejemplo:
f cos 5x dx
Para poder aplicar la fórmula f cos u du es necesario determinar si está o no
completo el integrando (la función y su diferencial).
f cos 5x dx = 1Sol. "5 sen 5x + e
u = 5x
u(x) = 5x
du(x) = 5dx
En este ejemplo para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir
entre 5; lo cual no altera el valor del integrando porque, de hecho, se está
multiplicando por uno.
= f 1. cos 5x (5) dx
5 u(x) du(x)
Sustituyendo
= 1. f cos u du
5
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Sustitución por cambio de variable 21
Integrando
1= - sen u + C
5
Con el valor de u queda
1="5 sen 5x + C
Ejemplo:
f '-'3x - 1 dx = f (3x - l)~ dx
Para poder aplicar la fórmula f un du es necesario identificar u(x) y cal-
cular su diferencial du(x).
f (3x - l)~ dx = 2Sol. "9 '-'(3x - 1)3 + C
Se observa que falta un 3 en el diferencial de la función. Se completa multipli-
cando y dividiendo por 3.
1
= f ! (3x - 1).2 (3) dx
3 u(x) du (x)
Se sustituye
1 f 1= - u2 du
3
Se integra
1 1
1 u 2+2
=--- + C3 3
2
Con el valor de u queda
2 1
= "9 (3x - 1)2 + C
2= - '-'(3x - 1)3 + C
9
Los dos resultados están bien. Se debe poner el que pida el profesor.
Como se observa en los dos ejemplos anteriores, para completar el inte-
grando fue necesario multiplicar y dividir por una cantidad.
Justificado el desarrollo, por comodidad se acostumbra proceder como
se indica a continuación.
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22 CAPíTULO 3. Integración de una función compuesta
Ejemplos:
1. f sen 7x dx = -71 f sen ~ ~ = ! cos 7x + C
u(x) du(x) 7
u = 7x
u(x) = 7x
du(x) = 7dx
2. f 3 cos 3x dx = sen 3x + C
Con la práctica y como en este ejemplo, el reconocimiento de la fórmula
por aplicar se hizo mentalmente, sin necesidad de incluir todo el proceso
señalado para la integración por sustitución.
CONCLUSiÓN:
Para poder aplicar una fórmula de integración, es necesario que en el inte-
grando esté la derivada de una función, lo cual significa que debe incluir la
función u(x) y su diferencial du(x).
Se cometen muchos errores en el desarrollo de la integración por no
saber identificar enjorma correcta. En ocasiones la diferencial de la función
no está completa; le falta algún factor numérico por lo cual se deben hacer las
operaciones necesarias para completarla.
Al igual que en este apartado, en los demás se incluyen conceptos y
ejemplos que permiten entender con facilidad los ejercicios de cada tema. Sin
embargo, se deben estudiar cuidadosamente los conceptos expuestos por el
profesor, pues estamos convencidos de que él los considera necesarios y de
que se incluirán en el examen correspondiente.
2. Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma
f tan x dx, f cot x dx, f sec x dx, f ese x dx.
Como ya hemos estudiado la sustitución por cambio de variable podemos
aplicarla para deducir las fórmulas de derivación de la f tan x dx, f cot x dx,
f sec x dx, y f ese x dx.
2.1 Para f tan x dx
Demostramos en trigonometría que:
senx
tanx=--
cosx
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2.2 Para f col x dx
Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma f tan x dx, f cot x dx, f sec x dx, f ese x dx 23
de donde
f tan x dx = f sen x dx
cosx
u = cos x
u(x) = cos x
du(x) = - sen x dx
multiplicamos por (- 1) dos veces en el integrando y sustituyendo
= f - (- sen x dx)
cosx
_ f du
u
integrando
= - L (u) + e
con el valor de u queda
= - L (cos x) + e
Además
- L (cos x) = - In (_I_J
secx
- (In - In sec x)
- In I + In sec x
como
L (1) = O
se tiene que
- L (cos x) = L sec x
por lo tanto,
f tan x dx = L Isec x] + e
Demostramos en trigonometría que
cosx
cotx =--
senx
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24 CAPíTULO 3. Integración de una función compuesta
de donde
S d.x S
cos x d.x
cot x = senx
u = sen x
u(x) = sen x
du(x) = cos x d.x
Sustituimos
Integramos
= L (u) + e
Con el valor de u queda
= L (sen x) + e
por lo tanto,
S cot x d.x = L Isen x] + e
2.3 Para f sec x dx multiplicamos y dividimos el integrando por (sen x + tan x)
S d.x S sec x (sec x + tan x)d.xsec x = sec x + tan x
S (sec2x + sec x tan x) d.x
sec x + tan x
u = sec x + tan x
u(x) = sec x + tan x
du(x) = (sec x tan x + sec- x) d.x
Sustituimos
integramos
= L (u) + e
Con el valor de u queda
= L (sec x + tan x) + e
Por lo tanto,
S sec x dx = L Isec x + tan x] + e
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Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma J tan x dx, J cot x dx, J sec x dx, J ese x dx 25
2.4 Para csc x dx se calcula en forma semejante a la f sec x dx. Multiplicamos y dividimos el integrando
por (csc x - cot x).
f dx f ese x (ese x - eot x) dxese x =. ese x - eot x
= f (esc2 x - ese x eot x) dx
ese x- eotx
u = ese x - eot x
u(x) = ese x - eot x
du(x) = ese- x - ese x eot x dx
Sustituyendo
= L (u) + C
integrando
= L (ese x - eot x) + C
Por lo tanto,
f ese x dx = L Iese x - eot x] + C
Ejercicio 2
Calcular las integrales siguientes.
1. f dx Sol. x + C
2. fdx
x
f x~ dx
f 5x3 dx
"". f 2bx3 dx
..6. f (x4 - X2 + ~3 -~2) dx
x X
".,
:Jr. J 5 (5x - 1)3 dx
Sol. L [x] + C
Sol.
4 !..
-X4 + C
7
5Sol. -x4 + C
4
bSol. -x4 + C
2
Sol.
x5 x3 1 1----- + - + C
5 3 2x2 X
1
1)4 + CSol. - (5x-
4
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26 CAPíTULO 3. Integración de una función compuesta
/s:frx dx Sol. 4 rxs + C-
5
9
dx Sol. 1 + C
(x - 1)5 4 (x - 1)4
f~dx Sol. 3 ~1 . -x3 + C5
-r" J (~- :~)dx Sol. 4 15 rx + C--{X-
J3 1 12. -x2 dx Sol. "2x-{X+C4
Jdx Sol. 113. --+C
~ ? 2x2
Jdx 1Sol. -x3+CX-2 3
J dx Sol. 1 +C(x+ 1)2 (x + 1)
J~ Sol. 31x+C
1" 3-JX2
Sol. 1 + C
3 (x - 2)3
18. J (x - 3) dx Sol. x-6Llx+31+C
x+3
J (x3 - 5X)5 (3x2 - 5) dx 119. Sol. "6 (x3 - 5X)6 + C
20. J .Jx - 2 dx Sol. 2 . ~- (x - 2)2 + C
3
J (2x - 5x2) (2 - 10x) dx 121. Sol. - (2x - 5X2)2 + C
2
22. J 5..J5X dx Sol. 2 ~- (5X)2 + C
3
23. J (4x3 - 2x) (x4 - x2 - 5)3 dx Sol.
(x4- X2 - 5)
4 +C
J 4x3 dx Sol. L 11 + x41 + C1 +x4
cS. J 2 dx Sol. L 11 + 2xl + C1 + 2x
26. J (x + 2) dx Sol. x + L [x + 11 + C
x+1
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Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma f tan x dx, f cot x dx, f sec x dx, f ese x dx 27
fX2_3x+S27. ...fX dx
f x3dx28. x-l
2 ~ ~ .!.
Sol. - x 2 -- 2x 2 + 10 2 + es
x3 x2
Sol. 3 + 2 + x + L 1x -- 11 + e
. 29. f (x -- 2) (x -- 1) dx x3 X2Sol. 3 + 2 --2x + e
Ejercicio 3
l. J 3 dx Sol. 3x + e
2 j 2x (x2 -- 3)2 dx 1Sol. 3" (x2 -- 3)3 + e
__ª,.J 2.0 dx 2x5Sol. """5 + e
M3x2 (x3 -- 1)3 dx
fdx5. 3x
1Sol. ¡ (x3 -- 1)4 + e
1
Sol. -- -2 + e
2x
6. f (3x + 4)2 dx Sol. i (x + "::l,J3 + e
f X ;/X2+ 4 dx 1 3Sol. 3" (x2 + 4)2 + e
-.NiI-o-f X2dx
x3 - 2
-9-:-f Sy dy
• ;/2y2 + 3
10. f (Sx -- 1)3 dx
\
1
Sol. 3" L Ix3 -- 21 + e
s
Sol. 2" ;/2y2 + 3 + e
1
Sol. 20 (Sx -- 1)4 + e
f 6x2 dx
x3 - 1
Sol. 2 L 1x3 -- 11 + e
f xdx12.
(x + 2)2
f x ;/(5 - x2) dx
2
Sol. L 1x + 21 + + e(~+2)
1 3
Sol. -- 3" (S -- x2)2 + e
f 3x2/14.;/ u"l dx3 - 4A-
1
Sol. -- 2" ;/3 - 4x3 + e
f (x + 2) dx
X2+ 4x
1
Sol. 2" L (x2 + 4x) + e
Sol. % (x3 + l)~ + e16. f (x3 + l)~ dx
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28 CAPíTULO 3. Integración de una función compuesta
17. S 5.03 dx(.0 - 1)3
18. S X24;/.03_ 1 dx
S 2x ;/3 - 2x2 dx19.
20. S x ~3 - X2 dx
21. S (4 - X)2...¡x dx
Sol. 5 + e
8(.0-1)2
4 3
Sol. "9 (.03 - 1)4 + e
1 3
Sol. -"3 (3 - 2X2)2 + e
3 4
Sol. -"8 (3 - X2)3 + e
Sol. 32...¡x - 136 x...¡x + ~X2...¡x + e
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4 Constante de Integración
Al integrar la diferencial 2x dx se obtiene la función y.
donde C es la constante de integración. Por cada valor de Ci. C2. C3•... de C
se obtiene una función primitiva X2 + Cj , X2 + C2.x3 + C3•...
De hecho. la expresión y = x2 + C representa una familia de parábolas
paralelas con el mismo valor de la pendiente para cada punto.
dy
-= 2xdx
1. Cálculo del valor numérico de la constante C
Para calcular el valor de la constante de integración es necesario tener la
expresión diferencial que se ha de integrar y algunos otros datos. proce-
dimiento que ilustramos con los ejemplos siguientes.
Ejemplos:
1. Obtener la función y = J(x) tal quef'(x)= 9x2 - 6x + 1 cuandoJ( 1) = 5.
Sol. 3x3 - 3x2 + X + 4
Es una función en forma de ecuación que se cumple en el punto (l. 5)
Como y =j(x)
dy dJ(x)se tiene que - = --dx dx
dJ(x) = 9X2 - 6x + 1dx .pero
entonces dy = 9x2 _ 6x + 1dx
dy = (9x2 - 6x + 1) dx
29
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30 CAPíTULO4. Constante de integración
Integrando
J dy = J (9x2 - 6x + 1)dx
=9Jx2dx-6Jxdx+Jdx
9x3 6x2
=---+x+C3 2
y = 3x3 - 3x2 + X + C
Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones
del problema, este resultado debe ser igual a 5 para f( 1)
J(1) = 3(1)3 - 3(1)2 + 1 + C
=t-t+l+C
Condición que señala el problema
J(ll = 5
5 = 1 + C
5 - 1 = C
C=4
Al sustituir el valor de C
y =J(x) = 3x3 - 3x2 + X + C
y = 3x3 - 3x2 + X + 4
2. Calcular el valor de la constante de integración cuyaf'(x) = x2 + X - 2
cuandoJ(1) = 6. Así como la función.
S 1 C = 43o. 6
x3 X2
y=-+--2x+C3 2
Es una función que se cumple en el punto (1, 6)
como y =J(x)
se tiene que dy = dJ(x)
dx dx
dJ(x) = X2 + X - 2
dxpero
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Cálculo del valor numérico de la constante C 31
entonces
dy = (x2 + X - 2) dx
integrando f dy = f (x2 + X - 2) dx
x3 X2
y=-+--2x+C3 2
Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones
del problema, este resultado debe ser igual a 6 parajt 1)
J(1) = (1)3 + (1)2 _ 2(1) + C
3 2
1 1="3+2"-2+C
= 2 + 3 - 12 + C
6
7=--+C
6
Condición que señala el problema
J(1) = 6
76=--+C
6
76+-=C
6
C = 43
6
Sustituyendo el valor de C
x3 X2
y = J(x) = - + - - 2x + C3 2
x3 X2 43
y=-+--2x+-326
NOTA: Esta expresión no se simplifica porque es una función y no una ecuación.
3. Determinar la función cuyaJ'(x) = X2 - 2x + 4, tenga el valor de 6 cuando
x=2
x3
Sol. J(x) = 3 - X2 + 4x + C
2
3
C=
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32 CAPíTULO4. Constante de integración
Es una función que se cumple en el punto (2. 6)
Como y =J(x)
se tiene que
pero
entonces
dy = (X2 - 2x + 4) dx
integrando f dy = f (x2 - 2x + 4) dx
= f X2 dx - 2 f x dx + 4 f dx
x3 i X2
y=---+4x+C
3 i
x3
Calculamos el valor de C cuando y = 3 - x2 + 4x + C tenga el valor de 6
cuando x = 2
J(2) = (2:t - (2)2 + 4(2) + C
8=--4+8+C
3
= 8 - 12 + 24 + C
3
20=-+C3
Condícíón que señala el problema
J(2) = 6
206=3+ C
6 - 20 = C
3
2C=--
3
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Significado geométrico de la constante de integración 33
COMPROBACiÓN:
Sustituyendo el valor de C
x3
y = J(x) = 3 - X2 + 4x + C
23 2
6 = - - 22 + 4(2) - -
3 3
8 26=--4+8--
3 3
6 = 8 - 12 + 24 - 2
3
6 = 6
2. Significado geométrico de la constante de integración
X2 es una de las funciones primitivas de la función 2x cuando la constante de
integración vale cero; es decir, 2x es la derivada de una función y = j(x).
Si dej'(x) = 2x se quiere obtener la familia de las funcionesj(x) que tienen
como derivada a 2x, se tiene entonces.
dy = dJ(x) = j'(x)
dx dx
dy =j'(x) dx
integrando
f dy = f 2x dx
í)c2
y=- +C
í
(1)
donde C es la constante de integración. Si asignamos a C varios valores, por
ejemplo 3, 0, -2 se tiene de (1) las expresiones:
y
y = X2 + 3; Y = X2; y = X2 - 2
cuyos lugares geométricos son parábolas
que intersecan al eje de las y a distan-
cias del origen de 3, 0, -2, respectiva-
mente.
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34 CAPíTULO 4. Constante de integración
Todas estas parábolas tienen el mismo valor ~ , es decir, tienen la misma
pendiente 2x para el mismo valor de x. Además, la diferencia de sus ordena-
das permanece la misma para todos los valores de x, el valor de C no afecta lapendiente de ninguna de estas parábolas.
Si ponemos la condición de que la curva de la parábola de nuestro ejemplo
pase por el punto (L, 3), entonces las coordenadas de este punto deben satis-
facer la expresión y = x2 + C de donde:
y = X2 + C
3 = (1)2 + C
C = 3 - 1
C=2
Por lo tanto, la ecuación de la parábola que se pide pase por el punto (1, 3) es
y=x2+2
Gráfica
Tabulando
y=x2+2
y
~
~
f(x) = X2 + 2
feO) = O + 2 = 2
f( 1) = (1)2 + 2 = 3
f(2) = (2)2 + 2 = 6
----+----x
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5
Integrales inmediatas.
Funciones trigonométricas
directas
1. Recordatorio de trigonometría
En el libro de Matemáticas 11. Geometría y trigonometría del autor. se com-
prueban las funciones e identidades siguientes: 1
1 cos xsen x = -- = 1/1 - cos- X = tan x cos x = --cot x cotx
1 sen xeos x = -- = 1/1 - sen- x = cot x sen x = --secx tan x
1tan x = -- = -'¡sec2x - 1
cotx
senx
cosx
1 cos xcotx =-- = I/csc2x-l =--
tanx senx
1see x = -- = -,¡1 + tan- x
cosx
1esc x = -- = -,¡1+ cot2 x
senx
Funciones trígonométrtcas recíprocas
sen x ese x = 1
1
sen x = cscx
1
ese x = senx
cos x sec x = 1
1
cos x = seex
1
sec x = cosx
1 Fuenlabrada, Samuel. Matemáticas lI. Geometría y trigonometría. McGraw-Hill. México, 1995.
págs. 77. 79 Y 119.
35
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36 CAPíTULO5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
tan x cot x = 1
1tan x = cotx
cot x = tan x
1
Identidades trtgonométrtcas del Teorema de Pitágoras (Pítagórtcas).
sen- x + cos- X = 1
sen? x = 1 - cos- X
cos- x = 1 - sen- x
sec- x - tan? x = 1
tan- x = sec- x - 1
sec- x = 1 + tan- x
ese- x - cot- x = 1
ese- x = 1 + cot- x
cot- x = ese- x - 1
2. Fórmulas de integración de las funciones trigonométricas directas
f sen u du = - cos u + e
feos u du = sen u + e
f sec u tan u du = see u + e
f sec- u du = tan u + e
f ese u eot u du = - ese u + e
f ese- u du = - cot u + e
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Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas 37
3. Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas
3.1 El integrando es el producto de la potencia de una función trigonométrica por su diferencial.
Ejemplo:
3 sen- x cos x dx = Sol. sen" x + e
Si la función es
u = sen x
u(x) = sen x
du(x) = cos x dx
Sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando. se tiene
= 3 f u2 du
integrando
u3= 3-+ e
3
con el valor de u queda
= sen ' x + e
3.2 Sustituyendo el integrando por una identidad pitagórica.
Ejemplo:
f tan- 7x dx = 1Sol. - tan Zx:> + e
7
como tan- x = sec- x - 1
Sustituyendo en el integrando
= f (sec- 7x - 1) dx
completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 7.
= ..!. f (sec? 7x - 1) 7 dx
7
= t f sec- 7x (7) dx - t f 7 dx
integrando
1= "7 tan 7x - x + e
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38 CAPíTULO5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
3.3 El integrando se sustituye por una identidad trigonométrica recíproca.
Ejemplos:
1.
1como csc x = --senx
al elevar al cuadrado ambos miembros
1csc- x = ---
sen- x
y sustituyendo en el integrando
= -3 J ese- x dx
integrando
= 3 cot x + e
J dx -
2. cos- x ..Jtanx + 2 -
1como sec x = --
cosx
al elevar al cuadrado ambos miembros
1sec- x = ---
cos? X
se sustituye en el integrando
_ J sec2 x dx
- ..Jtanx+ 2
= J (tan x + 2f ~sec- x dx
Si la función es
u=tanx+2
uíx) = tan x + 2
du (x) = sec- x dx
se sustituye en el integrando
Sol. 3 cot x + e
Sol. 2 ..Jtanx + 2 + e
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Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas 39
integrando
1
u2
1
2
1
= 2 u2
con el valor de u queda
1
= 2(tan x + 2)2
= 2 ...Jtanx + 2 + C
3. f sen 3x dx =
(1 - cos 3X)3
Sol. - 1 + C
6(1 - eos 3x)2
= f (1 - eos 3X)-3 sen 3x dx
Si la función es
u = 1 - cos 3x
u(x) = 1 - eos 3x!
du (x) = sen 3x (3) dx
I ,,~ , ;<
Completamos la diferencial. multiplicando y dívídíendo por 3.
= ~ f (1 - cos 3X)-3 sen 3x (3) dx
Sustituyendo en el integrando
= l f u-3 du
3
integrando
1 u-2
=--+C3 -2
con el valor de u queda
= 1 + C6(1 - cos 3x)2
3.4 Multiplicando el integrando por su conjugado.
V;jemPlo:
f dx =
2 + 2 cos x
1 1
Sol. - - cot x + - cse x + C2 2
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40 CAPíTULO5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
_ f 1 (2 - 2 cos x) dx
2 + 2 cos x 2 - 2 cos x
El producto de un bínomío conjugado es igual a la diferencia de sus
cuadrados.
= f 2 - 2 cos x dx
4 - 4 cos- X
factorizando
= 1.. f 1 - cos x dx
2 1 - cos- X
como sen- x = 1 - cos- X
sustituyendo
= 1.. f 1 - cos x dx
2 sen- x
1como csc x = -- ;
senx
sen- x = sen x sen x ;
cosx 1cot x = --' csc x = --sen x ' senx
Al sustituir en los integrandos
= ~ f ese- X dx - ~ f cot x ese x dx
integrando
1 1- - cot x + - csc x + e2 2
3.5 Multiplicando y dividiendo el integrando por una misma cantidad.
Ejemplo:
f tan 2x ..Jsec2x dx = Sol. ..Jse~2x + e
Multiplicando y dividiendo el integrando por ..Jsec2x
f (..Jsec2X)= tan 2x ..Jsec2x ..J dxsec 2x
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Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas 41
= J tan 2x sec 2x dx
-Ysec2x
= J (sec 2xri tan 2xsec 2x dx
Si la función es
u = sec 2x
u(x) = sec 2x
du(x) = tan 2x sec 2x (2) dx
Sustituyendo el integrando; multiplicando y dívídíendo por 2 para completar
la diferencial.
1 J .!.= - U-2 du
2
integrando
I
1 u-'i
=--+C
2 1
2
I
= u'i + C
sustituyendo el valor de u queda
= -Ysec2x + C
3.6 Parte del integrando se descompone en sus factores.
Ejemplo:
f senx dx =
cos- x
Sol. sec x + C
cos? X = cos x cos x
f senx= dxcos x cos x
= f sen x _1_ dx
cosx cosx
senxcomo tan x = -- ;
cosx
1secx =--
cosx
= f tan x sec x dx
integrando
= sec x + C
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42 CAPíTULO5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
3.7 En el integrando se desarrollan algunas operaciones algebraicas.
Ejemplo:
J (sec x + tan X)2 = Sol. 2 tan x + 2 sec x - x + C
Al desarrollar el bínornío cuadrado perfecto
= J (sec2 x + 2 sec x tan x + tan'' x) dx
= J sec- x dx + 2 J sec x tan x dx + J tan- x dx
Como tan- x = sec- x - 1
sustituyendo e integrando
= tan x + 2 sec x + J (sec? x - 1) dx
= tan x + 2 sec x + J sec- x dx - J dx
integrando
= 2 tan x + 2 sec x - x + C
Ejemplos:
Integrar
1. J 3 cos (3x - 1) dx =
u = 3x - 1
u(x) = 3x - 1
du(x) = 3 dx
Sol. sen (3x - 1) + C
= ~J cos (3x - 1) (3) dx
Sustituyendo
= J cos u du
integrando
= sen u + C
Sustituyendo el valor de u, queda
= sen (3x - 1) + C
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Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas 43
2. f sen ~ x dx =3 .
2
u =-x
3
2
u(x) = '3x
2
du(x) = '3dx
Multiplicando y dividiendo el integrando por ~
= _1 f sen ~x (~)dx
2 3 3
·3
integrando
3= - - cos u + e2
sustituyendo el valor de u queda
3 2= - - cos -x + e2 3
3. f sen 3x dx =
u = 3x
u(x) = 3x
du(x) = 3 dx
Multiplicando y dividiendo el integrando por 3
= t f sen 3x (3) dx
= 1. f sen u du
3
integrando
1= - - cos u + e3
sustituyendo el valor de u queda
1= - '3 cos 3x + e
3 2
Sol. - '2 cos '3x + e
1Sol. - - cos 3x + e
3
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44 CAPíTULO 5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas .
4. J sen- x cos x dx = Sol. - ~ sen" x + C
u = sen x
u(x) = sen x
du(x) = - cos x dx
= - J u2 du
integrando
u3--+C
3
sustituyendo el valor de u queda
1- - sen'' x + C
3
5. J x sen X2 dx = 1Sol. - - cos X2 + C2
u = X2
u(x) = x2
du(x) = 2x dx
Multiplicandoy dividiendo el integrando por 2
= 1. J x sen x2 (2) dx
2
= 1. J sen u du
2
integrando
1- - cos u du2
sustituyendo el valor de u queda
1= - - cos X2 + C2
En el libro de Matemáticas IV; Cálculo diferencial del autor, se díce.s
sen-' x = (sen X)2. Estas expresiones son diferentes asen X2 pero todas ellas
tienen validez; como se observa en los ejemplos anteriores.
6. J cot- y dy = Sol. - cot y - y + C
Como cot- y = ese- y - 1
2 Fuenlabrada. Samuel. Matemáticas N. Cálculo diferencial. McGraw-Hill. México. p. 87. apar-
tado 1.2.
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Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas 45
sustituyendo en el integrando
= J (ese- y - 1) dy
= J ese- y dy - J dy
integrando
- cot y - y + C
J dx =7. sec (3x - 1)
1
Sol. "3 sen (3x - 1) + C
1Como cos x = --
sec x
sustituyendo en el integrando
= J cos (3x - 1) dx
u=3x-l
u(x) = 3x - 1
du(x) = 3 dx
multiplicando y dividiendo el integrando por 3
= .!.. f cos (3x - 1) (3) dx
3
= .!.. J cos u du
3
integrando
1= - sen u + C
3
sustituyendo el valor de u, queda
1= "3 sen (3x - 1) + C
J cos 3x J8. 23 dx = sen= 3x cos 3x dxsen x Sol. - 1 + C3 sen 3x
u = sen 3x
u(x) = sen 3x
du(x) = cos 3x (3) dx
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46 CAPíTULO 5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
Multiplicando y dividiendo el integrando por 3
= t f sen-2 3x cos 3x (3) dx
= .!. f u-2 du
3
integrando
= .!. f u-! + C
3 -1
1= --+C
3u
sustituyendo el valor de u. queda
1 + C
3 sen 3x
f -3 dx =9. 2sen 2x
1Como csc x = --
senx
elevando al cuadrado ambos miembros
1cscé x = ---
sen+x
sustituyendo en el integrando
= f - 3 ese- 2x dx
u = 2x
u(x) = 2x
du(x) = 2 dx
multiplicando y dividiendo el integrando por 2
= - ~ f ese- 2x (2) dx
2
= - ~ f ese- U du
2
integrando
3
= - cot u + C
2
sustituyendo el valor de u queda
3= - cot 2x + C2
3
Sol. "2 cot 2x + C
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Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas 47
10 J tan 5x dx =. cos2 5x 1Sol. - tan2 5x + C10
1Como sec x = --
cosx
elevando al cuadrado ambos miembros
1secs x = ---
cos+ x
sustituyendo en el integrando
= J tan 5x sec- 5x dx
u = tan 5x
u(x) = tan 5x
du(x) = sec-' 5x (5) dx
multiplicando y dívtdíendo el integrando por 5
= !J tan 5x sec- 5x (5) dx
=! J u du5
integrando
1 u2=--+ C5 2
sustituyendo el valor de u queda
= ! (tan 5X)2 + C
5 2
= _1_ tan- 5x + Cla
5 dx =11.
5 + 5 cosx
1 1
Sol. -"5 cot x + "5 ese x + C
Multiplicando el integrando por su conjugado
_ J ( 1 ) (5 - 5 cos x) dx
5 + 5 cosx 5 - 5 cos x
=5 5-5cosx dx
25 - 25 cos- x
factorizando
= 5 5 (1 - cos x) dx
25 (1 - cos- x)
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48 CAPíTULO5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
como sen-' x = 1 - cos- X
sustituyendo en el integrando
= 1. f 1 - cos x dx
5 sené x
común denominador
_1. f 1 dx _1. f cosx (_l_Jdx
- 5 serf x 5 sen x sen x
1 cosxcomo csc2 x = --::-- cot x = -- ;sen- x • senx
1ese x =--
senx
sustituyendo en los integrandos
= k f csc2 X dx - k f cot x ese x dx
integrando
1 1
= - 5 cot x + "5 ese x + e
f 5dx -
12. cos- x ..ftanx + 1 - Sol. 10 ..ftanx + 1 + e
1como sec x = --
cosx
elevando al cuadrado ambos miembros
1
sec2x = ---
cos- X
sustituyendo en el integrando
= 5 J sec2 x dx
..ftanx + 1
= J (tan x + ni sec- x dx
u=tanx+l
u(x) = tan x + 1
du(x) = sec- x dx
= 5 J u -~ du
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Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas 49
integrando
sustituyendo el valor de u, queda
= 10 "tan x + 1 + C
13. f sec+ x dx = 1Sol. tan x + "3 tan" x + C
Como sec+ x = sec- x sec- x
= f sec- x sec? x dx
y además, sec- x = 1 + tan- x
sustituyendo en el integrando
= f (1 + tan- x) sec? x dx
= f (sec- x + tan- x sec- x) dx
= f sec- x dx + f tan- x sec- x dx
u=tanx
u(x) = tan x
du(x) = sec- x dx
= tan x + f u2 du
integrando
u3
=tanx+-+C
3
sustituyendo el valor de u queda
1= tan x + - tan" x + C
3
14. f sen" x dx = f sen x sen- x dx 1Sol. - cos x + "3 cos'' X + C
Como sen- x = 1 - cos- X
sustituyendo en el integrando
= f sen x (1 - cos- x) dx
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50 CAPíTULO 5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
= f (sen x - sen x eos2 x) dx
= f sen x dx - f sen x cos- x dx
u = cos x
u(x) = cos x
du(x) - sen x dx
= - eos x + f u2 du
integrando
1- eos x + - u3 + C
3
sustituyendo el valor de u queda
1= - eos x + - cos-' x + C
3
15. f ese 5x cot 5x dx = 1Sol. - 5" ese 5x + C
u = 5x
u(x) = 5x
du(x) = 5dx
Multiplicando y dividiendo el integrado por 5
= i f ese 5x eot 5x (5) dx
= i f ese u cot u du
integrando
1=--cseu+C5
sustituyendo el valor de u queda
1= - - csc 5x + C5
16. f (tan2 3x - sec- 5x) dx = 1 1Sol. "3 tan 3x - x - 5" tan 5x + C
= f tan-' 3x dx - f sec- 5x dx
Como tan- x = sec- x - 1
entonces tan- 3x = sec- 3x - 1
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Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas 51
sustituyendo en el primer integrando
= f (sec2 3x - 1) dx - f sec- 5x dx
u = 5x
u(x) = 5x
du(x) = 5 dx
multiplicando y dividiendo el último de los integrandos por 5
= f sec- 3x dx - f dx - .!.. f sec- 5x (5) dx
5
integrando
= .!.. tan 3x - x - .!.. f sec- u du
3 5
1 1
=-tan3x-x--tanu+C3 5
sustituyendo el valor de u queda
1 1= - tan 3x - x - - tan 5x + C3 5
ftan6xdx=17. 2cos 6x 1Sol. - tan2 6x + C12
1Como sec x = --
cosx
1entonces sec 6x = 6cos x
elevando al cuadrado ambos miembros
sec2--6x = __ 1__
cos+Bx
sustituyendo en el integrando
= f tan 6x sec- 6x dx
u=tan6x
u(x) = tan 6x
du(x) = sec- 6x (6)" dx
multiplicando y dividiendo por 6
= i f tan 6x sec- 6x (6) dx
= .!.. f u du
. 6 -
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52 CAPíTULO 5. Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas
integrando
1 u2
=--+C
6 2
sustituyendo el valor de u queda
1= - tan- 6x + C12
18. J (sec x - tan xl2 dx = Sol. 2 (tan x - sec x) - x + C
Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto
= J (sec'' x - 2 sec x tan x + tan- x) dx
como tan- x = sec- x - 1
se sustituye en el integrando
= J (sec2 x - 2 sec x tan x + sec- x - 1) dx
= J (2 sec- x - 2 sec x tan x - 1) dx
= 2 J sec- x dx - 2 J sec x tan x dx - J dx
integrando
= 2 (tan x - sec x) - x + C
19. J_dx__
1+ sen x
Sol. tan x - sec x + C
Multiplicando el integrando por su conjugado
= J 1 -sen x dx
(l + sen x) (1 - sen x)
= J 1 - sen x dx
1 - sen- x
como 1 - sen- x = cos- X
sustituyendo en el integrando
= J 1 - senx dx
cos- x
= J _1 _ dx _ J sen x dx
cos- X cos- X
1Como sec x = -- ;cosx cos- X = cos x cos x
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Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas 53
Sustituyendo en los integrandos
= J sec- x dx - J sen x (_1_) dx
cosx cosx
senx 1como -- = tan x· sec x = --cosx ' cosx
sustituyendo el segundo de los integrandos
= f sec- x dx - f tan x sec x dx
integrando
= tan x - sec x + C
Ejercicio 4
Calcular las siguientes integrales. Se incluyen ejercicios de otras integrales
inmediatas.
l. f sen" y cos y dy ./' 1Sol. "5 sen" y + C
f sec2.,¡¡j d2. 2.,¡¡j Y
J 6dx3. X3/
Sol. tan.,¡¡j + C
3Sol. - -2 + C
X
4. J cos- 5y sen 5y d!j/°
5. J 3x sen X2 dx -:
1Sol. - 15 cos-' 5y + C
3Sol. - - cos X2 + C
2
6. J 7 tan- x dx Sol. 7 tan x - 7x + C
7. J (3~yy)5 ~f?'2)( JX
..LlAr¡ X
8. J cos 4 \ <® / ----L .tV Jy
9. J x-t dx ;
1 -------
-:--c::-----c-:- + C
4 (3 + y)4,
1
4 sen 4x + C
3 .3",Sol. - 'l/X2 + C
2
Sol.
Sol.
10. J dx /
x3
1
Sol. - 2x2 + C
1Sol. "2 tan 2x+ C11. J sec- 2x dx ",.....
12. J 3y 42y2 - 8 dy ./
13. J cos+ 3y sen 3y dy )
9 4
Sol. 16 (2y2 - 8)3 + C
1
Sol. - 15 cos" 3y + C
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54 CAPíTULO 5. Integrales inmediatas. Funciones trigo no métricas directas
14. f sen-' y eos y dy / 1Sol. - sen+ y + C4
15. f (2 - y3)2 dy Sol.
y7
4y - y4 + - + C
7
16. f 5 tan- y dy, Sol. 5 tan y - 5y + C
17. f tan- (3x - 1) dx
.: Sol. 1- tan (3x - 1) - x + C
3
f (1 + y3)2 dy
4 7
18. Sol. y+1L+1L+C2 7
f x3 eos x4 dx / 119. Sol. ¡ sen x4 + C
f sen? 3x eos 3x dx / 120. Sol. - sen" 3x + C
9
f tan" 2x sec- 2x dx ~ 121. Sol. 12 (tan 2X)6 + C
tf
f
5dx I
22. cos- x ...Jtanx- 2 ")l
Sol. 10 (tan x - 2)2 + C
23. f tan- 2y dy . Sol. tany-y+C
f tan+ x dx
I 0 1-24. j ..J-l, Sol. - tan" x - tan x + x + C( \ 3
) !.
f (1 - x)2 rx dx v 2 4 225. Sol. - x..¡x - - X2 ..¡x + - x3 ..¡x + C3 5 7
26. f2+xdx Sol. 1 1----+Cx3 X2 x
27. f sec- 5x dx ,. Sol. 1"5 tan 5x + C
28. f ese- (3 + 5x) dx ' Sol. 1- "5 eot (3 + 5x) + C
29. f 2dy Sol. 2- - eot 5y + C
sen25y 5
30. f (sen? 2y eos 2y) dy 1/ Sol. "8 (sen 2y)4 + C
31. J (tan2 3x - sec- ~x) dx Sol. -x+C
32. f 3 - eosx dx / Sol. - 3 eot x + ese x + C
sen+ x
33. f 1 Sol. - eot y + Csen- y
f 3 3 Sol. 4 334. ese ¡ x eot ¡x dx - - ese - x + C3 4
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6
Integrales inmediatas (continuación)
Funciones trigonométricas inversas
1. Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas
f du u.J 2 2 = arc sen - + ea -u a
f du 1 u---,,-~ = - arc tan - + e
a2 + u2 a a
f du 1 u-----¡==;;===;;:: = - arc sec - + e- u "'¡u2-a2 a a
2. 'Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas inversas
Ejemplo:
Integrar.
1. f~~-x.2
x
Sol. are sen 3" + e
Para aplicar la fórmula f :::¡a~~i'f~= Cen ~ + e es necesario
identificar los valores de a2, a, u2, u y calcular u(x) y d~
a2 = 9
a=3 u=x
u(x) = x
du(x) = /
El integrando está completo pues incluye laJunción multiplicada por su
diferencial, en consecuencia podemos aplicar la fórmula de integración citada.
f dx - f du
.Jg - X2 - .Ja2 - u2,
integrando
u= arc sen - + ea
55
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56 CAPíTULO6. Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas inversas
Al sustituir los valores de a y de u
= are sen ~ + C
3
f dx =2. 3 + 4x2
1 2x
Sol. . r;:;- arc tan .r;:;- + C
2'13 '13
, f du 1 uPara aplicar la formula 2 2 = - are tan - + C se identifican los valores
a +u a a
de a2, a, u2, u y se calculan u(x) y du(x)
a2 = 3
a =..f3
u2 = 4x2
u-= 2x
u(xp=- 2x
du(x) = 2 dx
En este ejemplo para completar la diferencial se tiene que multiplicar
y dividir por 2. Con ello no se altera el valor del integrando porque de hecho
se está multiplicando por uno.
=1..f 2dx
23+4x2
Sustituyendo en el integrando
= 1.. f du
2 a2 + u2
integrando
= 1.. (1..) are tan u
2 a a
con los valores de a y de u queda
1 2x= -- arc tan - + C2-5 -5
3. f-3-dx =
X2+ 2
3 x
Sol. ..J2 are tan ..J2 + C
Identificamos a2, a, u2, u y calculamos u(x), y du(x)
a2 = 2
a =..J2 u=x
- u(x) = x
.du(x) = dx
sustituimos en el integrando
= 3 f du
u2+a2
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El integrando se expresa como la suma de dos cocientes 57
integramos
= 3 (!)are tan ~ + C
Con los valores de a y u queda
3 x= -arc tan- + C..f2 ..f2
De hecho. estos ejemplos se han resuelto aplicando en forma directa las
fórmulas de integración. En el segundo de ellos únicamente fue necesario
completar su diferencial. En otros casos, es necesario aplicar alguno de los
procedimientos que se citan aconttnuactón.
3. El integrando se expresa como la suma de dos cocientes
Ejemplo:
Sol. - "';9- X2 + 4 are sen i+ C
Común denominador
u = 9 - X2 a2 = 9
u(x) = 9 - X2 a = 3
du(x) = - 2x dx
u=x
u(x) = x
du(x) = dx
multiplicando y dividiendo por (-2) la primera integral
1 J 2 _1. J dx= - - x (9 - x ) 2 (-2) dx + 4 --
2 9 -x2
Para el resultado de la segunda integral. tomamos el del ejercícío número
uno de este apartado
1 _1. x= - - U 2 du + 4 arc sen - + C2 3
integrando
)
I
1 u2 x= - 2" -1- + 4 are sen "3 + e
2
con el valor de u queda
1 X= - (9 - X2)2 + 4 are sen 3" + C
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58 CAPíTULO6. Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas inversas
Este resultado se puede expresar en la forma siguiente
= - ...J9- x2 + 4 are sen ~ + C
4. El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el denominador es de
la forma ax2 + bx + c. Éste dentro o fuera de un radical de índice dos
Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2 + bx.
La integral resultante 'puede ser de cualquiera de las formas siguientes:
J du...Ju2 ± a2
J du
a2 - u2
J du
u2 ±a2
Completar el cuadrado es un procedimiento que resulta de gran utilidad
cuando el integrando incluyeJunciones cuadráticas. En el curso de Aritmética
y Álgebra se indicó que para completar el cuadrado se suma a la expresión el
cuadrado de la mitad del coeficiente de x.
x' + bx + c ~ x' + bx + (%J ~(~J + c
Observa que para conservar la Igualdad hemos sumado y restado (%J
Ejemplo:
} 6dx dx=
x2 - 4x+ 8
x-2
Sol. 3 are tan -2- + C
Al completar el cuadrado del denominador, se tiene
X2 - 4x + 8 = (x2 - 4x + 4) - 4 + 8
= (x - 2)2 + 4
=6} dx
(x - 2)2 + 4
u2 = (x - 2)2
u=x-2
a2 = 4
a=2
u(x) = x - 2
du(x) = dx
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El integrando es una fracción 59
sustituyendo en el integrando
integrando
Con los valores de a y u queda
6 x- 2= - arc tan -- + C
2 2
x-2= 3 are tan -- + C2
4.1 Completar el cuadrado cuando el coeficiente de X2 es negativo.
Ejemplo:
f dx =
3x -x2 _
(2x - 3)
Sol. are sen 3 + C
Si se completa el cuadrado del denominador se tiene
3x - X2 = - (x2 - 3x)
- [X'-3X+(~)' -(~n
~ _ [(x _ ~)' _ (~ )']
Observa el signo menos que precede al paréntesis rectangular.
~(~J+-~J
a' ~ (~J u' +-~J
3a=-
2
3
u(x) = x --
2
du(x) = dx
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60 CAPíTULO6. Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas inversas
Al sustituir en el integrando
- f du
- ...}a2 - u2
integrando
u= are sen - + Ca
Con los valores de a y u queda
3x-2"
= are sen -- + C. 3
2
2x-3--2= are sen = + C3
2
= are sen ~ (2x - 3) + Cj. (3)
(2x - 3)= are sen 3 + C
4.2 Completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 no es la unidad
/
Ejemplo:
f dx =
2x2-8x+9
1Sol. ...J2 are tan ...J2 (x - 2) + C
Se factortza la expresión 2x2 - 8x antes de completar el cuadrado.
2x2 - 8x + 9 = 2(x~ - 4x) + 9
== 2(X~ - .4x + 4)- ,4) + 9 r
Observa que el factor 2 afecta a toda la expresión que está entre paréntesis.
= 2(x2 - 4x + 4) - 2 (~) + 9
= 2(x - 2)2 + 1
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Sustituyendo en el integrando
=J dx
2(x - 2)2 + l
r
u2 = 2(x - 2)2
U = V2 (x - 2)
u(x) = V2 (x - 2)
du(x) = V2 dx
El integrando es una fracción 61
a2 = l
a = 1
multiplicando y dividiendo en el integrando por V2
sustituyendo
integrando
__ 1 J V2dx
- --J2 [V2 (x - 2»)2 + 1
__ 1 J du
- V2 u2 + a2
= _1_(lJ are tan u + eV2a
con el valor de u queda
Ejemplos:
Integrar.
J dx
1. ...)9_ 16x2
d2 = 9
a=3
1= -v2 are tan -v2 (x - 2) + e
u2 = 16x2
U = 4x
u(x) = 4x
du(x) = 4 dx
Se multiplica y divide el integrando por 4
sustituyendo
integrando
_lJ 4dx
- 4 "9 - 16x2
-lf du
- 4 "a2 - u2
1 u= - are sen - + e4 a
1 4x
Sol. - are sen - + e
4 3
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62 CAPíTULO6. Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas inversas
Con los valores de a y u queda
1 4x= - are sen - + C
4 3
J dy =
2. Y "'¡y2- 16
a2 = 16
a=4 u=y
u(y) = y
du(y) = dy
Sustituyendo
Al integrar
1 u= - are see -+é
a a
Con losvalores de a y u queda
= .!. are see Ji. + C
4 4
J dy =3.
25 + 4y2
a2 = 25
a=5
u2 = 4y2
U = 2y
u(y) = 2y
du(y) = 2 dy
Se multiplica y divide el integrando por 2
= .!. J dy
2 25 + 4y2
sustituyendo
= .!. J du
2 a2 + u2
integrando
1 (1) u= - - are tan - + C2 a a
1 YSol. - are sen - + C
4 4
1 2y
Sol. 10are tan 5 + C
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Con los valores de a y u queda
1 (1) 2y="2 "5 are tan 5" + e
1 2y= - are tan - + ela 5
f ydy4. 5 + 2y4 =
a2 = 5
a =..f5
u2 = 2y4
U = ..J2 y2
u(y) = ..J2 y2
du(y) ='~dy
Se multiplica y divide el integrando por 2..J2
__ 1_ f 2 ..J2 y dy
- 2..J2 5 + 2y4
al sustituir
_-l-f du- 2..J2 a2+ u2
se integra
1 (1) u= -- - are tan - + e2..J2 a a
Con los valores de a y u, queda
1 (1) ..J2y2= 2..J2 ~ are tan ..f5 + e
1 ..J2
= -- are tan - y2 + e2 (fO -s
El integrando es una fracción 63
1 ..J2
Sol. 2 "';10 are tan ..f5 y2 + e
5. f cos y ~y = Sol. -21are tan se
2
ny + e
4 + sen y
a2 = 4 u2 = sen- y
a = 2 u = sen y
u(y) = sen y
du(x) = eos y dy
Se sustituye
= f du
a2+u2
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64 CAPíTULO6. Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas inversas
Se integra
1 u= - are tan - + Ca a
Con los valores de a y u. queda
1 seny= - are tan -- + C2 2
6. J dyv9 - (y + 1)2 = y+lSol. are sen -3- + C
a2 = 9 u2 = (y + 1)2
U = Y + 1
u(y) = y + 1
du(y) = dy
a=3
sustituyendo
I
!
~
- J du
- -Ja2 - u2
se integra
u= are sen - + Ca
Con los valores de a y u. queda
... y+l= are sen -- + C
3
7. J -J sec2 y d~ =
1-9tan y
1
Sol. 3' are sen (3 tan y) + C
a2 = 1
a = 1
u2 = 9 tan- y
u=3tany
u(y) = 3 tan y
du(y) = 3 see2 y dy
Se multiplica y divide el integrando por 3
_ 1.J sec2 y (3) dy
- 3 -J 1 - 9 tan2 y
sustituyendo
1 u= - are sen - + C
3 a
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Con los valores de a y u. queda
f dx =8.
1+ (x - 2)2
a2 = 1
a = 1
Al sustituir
se integra
1= 3" are sen (3 tan y) + C
u2 = (x - 2)2
U = (x - 2)
u(x) = (x - 2)
du(x) = dx
= f du
a2+ u2
1 u= - are tan - + Ca a
Con los valores de a y u queda
f are tan 2x =9. 21 + 4x
= are tan (x - 2) + C
u = are tan 2x
u(x) = are tan 2x
2dx
du(x) = 1 + 4x2
Se multiplica y divide el integrando por 2
se sustituye
integrando
= 1. f are tan 2x (2) dx
2 1+ 4x2
= 1. f u du
2
1 u2
=--+C2 2
Con el valor de u queda
1= - are tan- 2x + C
4
El integrando es una fracción 65
Sol. are tan (x - 2) + C
1Sol. - are tan- 2x + C
4
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66 CAPíTULO6. Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas inversas
f are eos2 3x dx _10. .y¡ + 9X2 - 1Sol. - - are cos" 3x + e9
u = are eos 3x
u(x) = are eos 3x
3dx
du(x) = - .y¡ _ 9x2
Se multiplica y divide el integrando por -3
= _ 1. f are eos2 3x (-3) dx
3 .y¡ - 9x2
se sustituye
_1. f u2 du
3
integrando
1 u3= - -- + e3 3
Con el valor de u queda
1= - "9 are cos'' 3x + e
11. f (y + 3) dy
.yl - y2 Sol. - ~ + 3 are sen y + e
Común denominador:
= f y dy + f 3 dy
.yl-y2 ~
= f y(l - y2¡-~ dy + 3 f ~
l-y
u = 1 - y2
u(y) = 1 - y2
du(y) = - 2y dy
a2 = 1 u2 = y2
a=l u=y
u(y) = y
du(y) = dy
se sustituye e integra la segunda integral
1 f _.!.= -"2 u 2 du + 3 are sen y + e
al integrar
1
1 u:2= - - - + 3 are sen y + e
2 1
2
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El integrando es una fracción 67
Con el valor de u queda
1
= - (1 - y2)2 + 3 are sen y + C
= - " 1 - y2 + C are sen y + C
f dx -12. "2x _ X2 - Sol. are sen (x - 1) + e
Se completa el cuadrado
2x - X2 = (x2 - 2x)
= - (x2 - 2x + 1 - 1)
- [(x - 1)2 - 1]
1 - (x - 1)2
- f dx
- " 1 - (x - 1)2
a2 = 1
a = 1
u2 = (x - 1)2
U = X - 1
u(x) = x - 1
du(x) = dx
se sustituye
- f du- "a2 - u2
integrando
= are sen u + C
Con el valor de u queda
= are sen (x - 1) + C
13. f dx =
X2 - 2x + 1
1Sol. - -- + C
x-l
Factorizamos
= f (x ~1)2
= f (x - 1)-2 dx
u=x-l
u(x) = x - 1
du(x) = dx
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68 CAPíTULO 6. Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas mversas
sustituimos
integramos
= J u-2 du
u-1
=-+C
-1
Con el valor de u queda
= __ 1_ + C
x-l
J dy =14. y2 - 6y - 16
y2 - 6y - 16 = (y2 - 6y + 9) - 9 - 16
= (y - 3)2 - 25
sustituimos
integramos
= f dy
. (y - 3)2 -25
u2 = (y -3)2
u=y-3
du = dy
a2 = 25
a=5
= f du
. u2 - a2
=_I_Llu-al +C
2a u+a
Con los valores de a y u queda
15. f dx
x2-2x+1
- 1~ LI~=~::I + C
=_1 LIY-SI +C
10 y+2
=
= f dx
(x - 1)2
= f (x - 1)-2 dx
= f u-2 du
1 Iy - SISol. 10 L Y + 2 + C
1
Sol. - -- + C
x-l
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El integrando es una fracción 69
integramos
u-I
=-+C
-1
)
Con el valor de u queda
= _ 1 + C
(x - 1)
Ejercicio 5
Calcular las integrales siguientes. Se incluyen ejercicios de otras integrales
inmediatas.
J 9X~ 16 Sol. 1 3x12arc tan 4 + C
J dy ,, Sol. are sen¡+ C-v16- y2
J %xdx I I Sol. 3 i3. -,--(5x)~ + e....------. 20/
J dy Sol. 1 + C
(y - 2)3 2(y - 2)2
5. S sen" y cos y dy 1Sol. - sen+ y + C4
6. S 2x2 dx Sol. 2 x3- arc sec - + Cx3-JX6 - 9 3 3
7. S dy Sol. 1 JLy-vy2-16 ...J5 are sec ...J5 + C
8. S 5ydy Sol. 1 y2- arc tan- + C
y4+25 \ 2 5
S X2- 3 Sol. 1 19. --dx --+-+CX2 x x3
S (.x-2 - .x-5 - .x-4) Sol. 11110. 2 dx - 3x3+ 6x6 + 5x5 + Cx
S 3x 4 3x1lo sen--¡-dx Sol. - - cos- + C3 4
12. S seny dy Sol. eosy
-V5 - cos- y - are sen ...J5
13. S dy Sol. 1 y-4y2 - 8y + 20 2" are tan -2- + e
14. S sec y tan y dy Sol. 1 see y- are tan -- + C
16+ sec- y 4 4
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70 CAPíTULO 6. Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas inversas
15. J dy Sol. 1 y- are see - + Cy ..Jy2- 4 2 2
16. f dy Sol. 1 y - 4y2 - 8y + 20 - are tan -- + C2 2
f dx 117. 1 + 7x2 Sol. f7 are tan f7 x + C
\
18. f dy Sol. y+3..J- y2 - 6y + 7 are sen -4- + C
19. f dy Sol. 1 y+4y2 + 8y + 25 - are tan -- + C3 3
20. f dx Sol. 1 x+ 1X2 + 2x + 10 - are tan -- + C3 3••
2l. f dx Sol. 1
4x2 +8x+ 5
"2 are tan (2x + 2) + C
22. f 2y2 dy Sol. ~ are see ~ + Cy ..Jy6- 9
23. f 8dy Sol. 8 y+2y2 + 4y + 7 - are tan -- + C-J3 -J3
24.
dx x-3
..J4+6x-x2
Sol. are sen {f3 + C
25. f - 4xdx Sol. X2..J9 -.0 - - 2 are sen :3 + C
26. f dy Sol. ~ are see .~ + Cy ..Jy2- 4
27. f see y tan y dy Sol. 1 2 see y +C
5 + 4 see2 y 2 {5are tan {5
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7
Integrales inmediatas (continuación)
Funciones exponenciales y
logarítmicas
1. Fórmulas de integración exponencial
J eU du = eU + e
J aU du = (_l_J aU + e
ln a
Ejemplos:
Integra.
1. f e5x dx =
u = 5x
u(x) = 5x
du(x) = 5 dx
Multiplicamos y dividimos en el integrando por 5
= ! f e5x (5) dx_5__ . _
sustituimos
=!IeU du5
e integramos
1= - eU + e5
Con el valor de u queda
1= - e5x + e5
71
1
Sol. "5 e5x + e
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72 CAPíTULO 7. Integrales inmediatas (continuación). Funciones exponenciales y logarítmicas
2. J ~+3 X dx =
u=x2+3
u(x) = x2 + 3
du(x) = 2x dx
Multiplicamos y dividimos en el integrando por 2
= 1.. J ~+3 (2) x dx
2 - --
luego sustituimos
1 J= - eU du2
e integramos
1= -eU + C2
Con el valor de u queda
= 1..~+3 + C
2
3. J esenx cos x dx =
u = sen x
u(x) = sen x
du(x) = cos x dx
Sustituimos
integramos
Con el valor de u queda
=esenx+c
4. J x e-62 dx =
u = -6x2
u(x) = -6x2
du(x) = -12x dx
S l .!. ..» + 3 + Co. 2 e"
Sol. esenx + e
"
1
Sol. - 12 e-62 + e
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Fórmulas de integración exponencial 73
Multiplicamos y diVidimos el integrando por -12
= - _1_f x e-~ (-12) d.x
12
Sustituimos
= __ 1 feu du
12 .
enseguida integramos
1= - -eU + C12
Con el valor de u queda
1=--e-~+C
12
5. f (7x -e2x) d.x = 7 1Sol. - X2 - - e2x + C
2 2
u = 2x
u(x) = 2x
du(x) = 2 d.x
Multiplicamos y diVidimos la segunda integral por 2.
= 7 f x d.x -; ~ f eU (2) du
integramos
7 1= -x2 - -eU + C2 2
Con el valor de u queda
7 1= - X2 - - e2x + C2 2
6. f (e3x - 4)2 d.x = 1 8Sol - e6x - - e3x + 16x + C. 6 3
Primero desarrollamos el producto
= f (e6x - 8e3x + 16) d.x
u = 6x u = 3x
u(x) = 6x
du(x) = 6 d.x
u(x) = 3x
du(x) = 3 d.x
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74 CAPíTULO 7. Integrales inmediatas (continuación). Funciones exponenciales y logarítmicas
Multiplicamos y dividimos por 6 y por 3 la primera y la s~nda de las
integrales. respectivamente.
\
= 1. f e6x (6) dx - 8 f e3x (3) dx + 16 f dx'
6 3
sustituimos
= 1. f eU du - ~ f eU du + 16 f dx
6 3
e integramos
(.
1 8= - eU - - eU + 16x + C
6 3
Con los valores de u queda
1 8= - e6x - - e3x + 16x + C6 3
3
Sol. -2x + Ce
u = -2x
u(x) -2x
du(x) = -2 dx
Multiplicamos y dívídímos el integrando por -2
= 3 f e-2x (-2) dx
Realizamos la sustitución
= 3 f eU du
y la integración
= 3 eU + C
Con el valor de u queda
= 3 e-2x + C
3
=-+Ce2x
9
Sol. - -4- + C
4eX
u = -4x
u(x) = -4x
du(x) = -4 dx
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Fórmulas de integración exponencial 75
Al multiplicar y dividir el integrando por -4 queda
= - ~f e-4x (-4) dx
4
sustituimos
= - ~ f eU du
4
integramos
9= - - eU + C4
Con' el valor de u queda
9= --e-4x+C
4
9
=---+C4 e4x
9. f dx
3
= f e-3x dx
eX
u = -3x
u(x) = -3x
du(x) = -3 dx
Multiplicamos y dividimos el integrando por -3
= _1. f e-3x (-3) dx
3
sustituimos
= _1. f eU du
3
integrando
1=--eu+C
3
Con el valor de u queda
1
= - - e-3x + C
3
10. f 3 dx = 3 J dx 1
,¡ex (ex) 2
= 3 f e-~ dx
1
Sol. - 3"e3X + C
6
Sol. - -x + C
e2
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76 CAPíTULO 7. Integrales inmediatas (continuación). Funciones exponenciales y logarítmicas
u=
x
2
u(x) = x2
1
du(x) = - 2 dx
1Multiplicamos y dividimos el integrando por - 2
3 f _!: ( 1)= _l e 2 -2 dx
2
sustituimos
integramos
6"
= --+ CeU
Con el valor de u queda
6=----y+C
e2
11. J e-X dx =
u = -x
u(x) = -x
du(x) -dx
Consideramos el signo "menos" de la diferencial
= - f e-X (-dx)
sustituimos
= - J eU du
e integramos
= - e-U + C
Con el valor de u queda
1--+ Cex
\
I
>.
. 1
Sol. - - + Cex
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Fórmulas de integración exponencial 77
12. f 2X dx =
u=x
u(x) = x
du = dx
a=2
Sustituimos
= f aU du
integramos
= (_1 Jau + C
ln a
Con los valores de a y u queda
1
=--2x+C
ln 2
13. f 3~dx =
u = -x2
u(x) = -x2
du(x) = -2x dx
Al multiplicar y dividir el integrando por -2 resulta
= - ~ f x (-2)e-x2 dx
2
luego sustituimos
= - ~ f eU du2
integramos
3= - - eU + C2
Con el valor de u queda
3= - - e-x2 + C
2
'. 14.
I
f ex-dx=x2
1
u=-
x
1
u(x) = -x
1
du(x) = - 2 dxx
1Sol. -- 2x + C
ln 2
3
Sol. - 2" e-x2 + C
I
Sol. -e; + C
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78 CAPíTULO 7. Integrales inmediatas (continuación). Funciones exponenciales y logarítmicas
Se considera el signo "menos" de la diferencial
I
sustttuímos
= - J eU du
integramos
=-eU+C
Con el valor de u queda
I
= - ex + C
15. J sen x eCOS X dx =
u = cos x
u(x) = cos x
du(x) = - sen x dx
Se considera el signo menos de la diferencial
= - J eCOS X (- sen x dx)
sustituimos
= - J eU du
enseguida integramos
=-eU+C
Con el valor de u queda
=_eCOSX+C
16. J esen 6x cos 6x dx =
u = sen 6x
u(x) = sen 6x
du(x) = 6 cos 6x dx
Multiplicamos y dividimos el integrando por 6
= 1. J esen 6x 6 cos 6x dx
6
Sol. - eCOSX+ C
1Sol. - esen 6x + C
6
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luego sustituimos
integramos
1
= - eU du
6
Con el valor de u queda
1= _esen6x + C
6
17. Jgxdx=
u=x a=9
u(x) = x
du(x) = dx
Realizamos la sustitución
= J aU du
y la integración
aU=--+Clna
Con los valores de a y u queda
gx
=--+C
ln 9
2. Fórmulas de integración y logarítmica \
Fórmulas de integración y logarítmica 79
gx
Sol., ln 9 + C
Jdu-=Llul+Cu
J tan u du = L Isec u J + <?
J cot u du = L Isen u I + C
J sec u du = L Isec u + tan u I + C
J ese u du = L Iese u - cot u I + C
J du = _1 L Iu - a I + C
u2 -a2 2a u+a
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80 CAPíTULO 7. Integrales inmediatas (continuación). Funciones exponenciales y logarítmicas
J du = _1 L Ia + u I + C
a2 - u2 2a a- u
f "" ~u 2 = L 1 u + ""u2 - a2 1 + Cu -a
Ejemplos:
Integra.
1 J
dx=l.Jd.x (
. 5x 5 x,
u=x
'-u(x) = x
du(x) = dx
Sustituimos
integramos
1= - L (u) + C
5
Con el valor de u queda
1 '= - L (x) + C5
Se considera la propiedad de los logarttmos
I= L 1 (x)SI + C
2. J 5 dx = 5 J dx
2+ 3x 2+3x
u=2+3x
u(x) = 2 + 3x
du(x) = 3 dx
Multiplicamos y dividimos por 3
= ~ J 3 dx
3 2+3x
Sustituimos
I
Sol. L 1 (x)SI + C
5
Sol. 3" L 12 + 3x 1 + C
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integramos
5= - L (u) + C
3
Con el valor de u queda
5= 3" L 12 + 3x 1 + C
f (2x - 1) dx =3.
X2 - X - 6
u = X2 - X - 6
u(x) = X2 - X - 6
du(x) = (2x - 1) dx
sustituimos
integramos
= L (u) + C
Con el valor de u queda
= L 1~2 - X -,61 + C
f&dx =4. 3x4-5
u=3x4-5
u(x) = 3x4 - 5
du(x) = 12x3 dx
multiplicamos y dividimos por 12
= _1 f 12x3dx
123x4-5
sustituimos
= _1 f du
12 u
integramos
1= - L (u) + C
12
Con el valor de u queda
= _1 L 13x4 - 51 + C
12
J
e
Fórmulas de integración y logarítmica 81
Sol. L 1X2 - X - 61 + C
1
Sol. 12 L 13x4 - 51 + C
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82 CAPíTULO 7. Integrales inmediatas (continuación). Funciones exponenciales y logarítmicas
5. f x + 3 = f (1+_1_) dx
x+2 x+2
Sol. x + L [x + 21 + C
Dividimos
1
x+21 x+3
-x - 2
1
= fdx+ f_1_- dx
x+2
u=x+2
u(x) = x + 2
du(x) = dx
sustituimos
integramos
= x + L (u) + C
Con el valor de u queda
=x+Llx+21+C
6. f cos (x+ 2) .dx =
sen (x + 2) -
u = sen (x + 2)
u(x) = sen (x + 2)
du(x) = c~ (x + 2) dx
= f ~u
u
Sol. L [sen (x + 2)1 + C
integramos
= L.(u) + C \
Con el valor de u, queda
= L 1 sen (x + 2) 1 + C
7. f tan (5x - 1) dx = 1Sol. S.L [sec (5x - 1)1 + C
u = 5x - 1
u(x) = 5x - 1
du(x) = 5 dx
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Fórmulas de integración y logarítmica 83
Multiplicamos y dividimos por 5
= .g f 5 tan (5x - 1) dx
Realizamos la sustitución
= 1. f tan u du
5
integramos
1= "5 L (sec u) + C
Con el 'valor de u queda
= 1. L Isec (5x - 1) I + C
5
J ln x .,.1" =,8. ~x
u = 'ln x
u(x) =ln x
J
du(x) =-'dx. .x
Realizamos la sustitución
= f u du
Integramos
Con el valor de u 'queda
= ln21xl + C
2
Desarrollamos el bínomío cuadrado perfecto
=4fdx-4fdx+fxdx
x
u = x:
u(x) = x
du(x) = dx
S l ln2 Ixl + Co. 2
X2
Sol. 4 L [x] - 4x + 2 + C
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84 CAPíTULO 7. Integrales inmediatas (continuación). Funciones exponenciales y logarítmicas
sustituimos en la primera integral
integramos
X2
= 4 L (u) - 4x +2 + C
Con el valor de u queda
X2
= 4 L [x] - 4x + 2 + C
10. f . dx
cos- X 6 tan (x - 3)
1
Sol. (3 L 16 tan (x - 3) I + C
1Como sec x = --cosx
elevamos al cuadrado ambos miembros
1queda sec- x = ---coss x
sustituimos
= f sec2 x dx
6 tan (x - 3)
u = 6 tan (x - 3)
u(x) = 6 tan (x - 3)
du(x) = 6 sec- x dx
multiplicamos y dividimos por 6
= 1. f 6 sec2 x dx
6 6 tan (x - 3)
nuevamente sustituimos
integramos
1= - L (u) + C
6
Con el valor de u queda
1= (3 L 16 tan (x - 3) I + C
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Fórmulas de integración y logarítmica 85
1l. f~=
x2-9
u2 = x~ a2 = 9
u=x a=3
r (x) = x
du(x) = dx
sustituimos
Sol. 1. L