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CAPÍTULO 1
1.1. Dados los vectores M= −10ax + 4ay − 8az y N = 8ax + 7ay − 2az, encuentre:
a) un vector unitario en la dirección de −M + 2N.
−M + 2N = 10ax − 4ay + 8az + 16ax + 14ay − 4az = (26, 10, 4)
De este modo
a = (26, 10, 4)|(26, 10, 4)| = (0.92, 0.36, 0.14)
b) la magnitud de 5ax + N − 3M:
(5, 0, 0)+ (8, 7,−2)− (−30, 12,−24) = (43,−5, 22), y |(43,−5, 22)| = 48.6 .
c) |M||2N|(M + N):
|(−10, 4,−8)||(16, 14,−4)|(−2, 11,−10) = (13.4)(21.6)(−2, 11,−10)
= (−580.5, 3193,−2902)
1.2. Dados los tres puntos, A(4, 3, 2), B(−2, 0, 5), y C(7,−2, 1):
a) Específicamente el vector A extendiéndose desde el origen al punto A.
A = (4, 3, 2) = 4ax + 3ay + 2az
b) Dado un vector unitario extendiéndose desde el origen al punto medio de la línea AB.
 El vector desde el origen al punto medio lo proporciona
M = (1/2)(A + B) = (1/2)(4 − 2, 3 + 0, 2 + 5) = (1, 1.5, 3.5)
 El vector unitario será
m = (1, 1.5, 3.5)|(1, 1.5, 3.5)| = (0.25, 0.38, 0.89)
c) Calcule la longitud del perímetro del triángulo ABC:
 Empiece con AB = (−6,−3, 3), BC = (9,−2,−4), CA = (3,−5,−1).
 Entonces
|AB| + |BC| + |CA| = 7.35 + 10.05 + 5.91 = 23.32
1.3. El vector desde el origen al punto A lo da (6,−2,−4), y el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto
 B es (2,−2, 1)/3. Si los puntos A y B están diez unidades separados, encuentre las coordenadas del punto 
B.
 Con A = (6,−2,−4) y B = 13B(2,−2, 1), use el factor que |B − A| = 10, o
|(6 − 23B)ax − (2 − 23B)ay − (4 + 13B)az| = 10
Expandiendo, obtenga
36 − 8B + 49B2 + 4 − 83B + 49B2 + 16 + 83B + 19B2 = 100
o B2 − 8B − 44 = 0. Así B = 8±
√
64−176
2 = 11.75 ( tomando la opción positiva) y así
B = 2
3
(11.75)ax − 2
3
(11.75)ay + 1
3
(11.75)az = 7.83ax − 7.83ay + 3.92az
1
1.4. dados los puntos A(8,−5, 4) y B(−2, 3, 2), encuentre:
a) la distancia desde A a B.
|B − A| = |(−10, 8,−2)| = 12.96
b) un vector unitario dirigido desde A hacia B. Este se encuentra a través de
aAB = B − A|B − A| = (−0.77, 0.62,−0.15)
c) un vector unitario dirigido desde el origen al punto medio de la línea AB.
a0M = (A + B)/2|(A + B)/2| =
(3,−1, 3)√
19
= (0.69,−0.23, 0.69)
d) las coordenadas del punto en la línea que une A a B en la que la línea interseca el plano z = 3.
 Note el punto medio (3,−1, 3), que está determinado en el inciso c para tener la 
coordenada z de 3. Este e s el punto que estamos buscando.
1.5. Un campo vectorial está especificado como G = 24xyax + 12(x2 + 2)ay + 18z2az. Dados dos puntos, P(1, 2,−1) y
Q(−2, 1, 3), encuentre:
a) G en P : G (1, 2,−1) = (48, 36, 18)
b) un vector unitario en la dirección de G en Q: G(−2, 1, 3) = (−48, 72, 162), así
aG = (−48, 72, 162)|(−48, 72, 162)| = (−0.26, 0.39, 0.88)
c) un vector unitario dirigido desde Q hacia P :
aQP = P − Q|P − Q| =
(3,−1, 4)√
26
= (0.59, 0.20,−0.78)
d) l a ecuación de la superficie en que |G | = 60: Escribimos 60 = |(24xy, 12(x2 + 2), 18z2)|, o
10 = |(4xy, 2x2 + 4, 3z2)|, así la ecuación es
100 = 16x2y2 + 4x4 + 16x2 + 16 + 9z4
2
1.6. Para el campo G en el Problema 1.5, grafique Gx , Gy , Gz y |G | a lo largo de la línea y = 1, z = 1, para
0 ≤ x ≤ 2. Encontramos G(x, 1, 1) = (24x, 12x2 + 24, 18), desde que Gx = 24x, Gy = 12x2 + 24,
Gz = 18, y |G | = 6
√
4x4 + 32x2 + 25. El trazo se muestra abajo.
1.7. Dado el campo vectorial E = 4zy2 cos 2xa x + 2zy sen 2xay + y2 sen 2xaz para la región |x|, |y|, y |z| menor
 que 2, encuentre:
a) Las superficies en que Ey = 0. Con Ey = 2zy sen 2x = 0, las superficies son 1) el plano z = 0 , con
|x| < 2, |y| < 2; 2) el planoy = 0 , con |x| < 2, |z| < 2; 3) el plano x = 0 , con |y| < 2, |z| < 2;
4) el planox = π/2 , con |y| < 2, |z| < 2.
b) la región en que E y = Ez: Esto ocurre cuando 2zy sen 2x = y2 sen 2x, o en el plano 2z = y , con
|x| < 2, |y| < 2, |z| < 1.
c) la región en que E = 0: Tendremos E x = Ey = Ez = 0, o zy2 cos 2x = zy sen 2x =
y2 sen 2x = 0. Esta condición se halla en el plano y = 0 , con |x| < 2, |z| < 2.
1.8. Dos campos vectoriales son F = −10ax +20x(y−1)ay y G = 2x2yax −4ay +zaz. Para el puntoP(2, 3,−4),
 encuentre:
a) |F |: F en (2, 3,−4) = (−10, 80, 0), así |F | = 80.6.
b) |G |: G en (2, 3,−4) = (24,−4,−4), así |G | = 24.7.
c) un vector unitario en la dirección de F − G: F − G = (−10, 80, 0)− (24,−4,−4) = (−34, 84, 4). Así
a = F − G|F − G| =
(−34, 84, 4)
90.7
= (−0.37, 0.92, 0.04)
d) un vector unitario en la dirección de F + G: F + G = (−10, 80, 0)+ (24,−4,−4) = (14, 76,−4). Así
a = F + G|F + G| =
(14, 76,−4)
77.4
= (0.18, 0.98,−0.05)
3
1.9. Un campo está dado como
G = 25
(x2 + y2) (xax + yay)
 Encuentre:
a) un vector unitario en la dirección de G en P(3, 4,−2): Se tiene G p = 25/(9 + 16)× (3, 4, 0) = 3ax + 4ay ,
y |G p| = 5. Así aG = (0.6, 0.8, 0) .
b) el ángulo entre G y ax en P : El ángulo se encuentra a través de aG · ax = cos θ . Así cos θ =
(0.6, 0.8, 0) · (1, 0, 0) = 0.6. Así θ = 53◦ .
c) el valor de la siguiente integral doble en el plano y = 7:
∫ 4
0
∫ 2
0
G · aydzdx
∫ 4
0
∫ 2
0
25
x2 + y2 (xax + yay) · aydzdx =
∫ 4
0
∫ 2
0
25
x2 + 49 × 7 dzdx =
∫ 4
0
350
x2 + 49dx
= 350 × 1
7
[
tan−1
(
4
7
)
− 0
]
= 26
1.10. Use la definición del producto escalar para encontrar los ángulos interiores en Ay B del triángulo definido por
 los tres puntos A(1, 3,−2), B(−2, 4, 5), y C(0,−2, 1):
a) Use R AB = (−3, 1, 7) y RAC = (−1,−5, 3) para formar RAB · RAC = |RAB ||RAC | cos θA. Obtenga
3 + 5 + 21 = √59√ 35 cos θ A. Encuentre θA = 65.3◦ .
b) Use R BA = (3,−1,−7) y RBC = (2,−6,−4) para formar RBA · RBC = |RBA||RBC | cos θB . Obtenga
6 + 6 + 28 = √59√56 cos θB . Encuentre θB = 45.9◦ .
1.11. Dados los puntos M(0.1,−0.2,−0.1), N(−0.2, 0.1, 0.3), y P(0.4, 0, 0.1), encuentre :
a) el vector R MN : RMN = (−0.2, 0.1, 0.3)− (0.1,−0.2,−0.1) = (−0.3, 0.3, 0.4).
b) el producto escalar RMN · RMP : RMP = (0.4, 0, 0.1) − (0.1,−0.2,−0.1) = (0.3, 0.2, 0.2). RMN ·
RMP = (−0.3, 0.3, 0.4) · (0.3, 0.2, 0.2) = −0.09 + 0.06 + 0.08 = 0.05.
c) la proyección escalar de R MN en RMP :
RMN · aRMP = (−0.3, 0.3, 0.4) · (0.3, 0.2, 0.2)√
0.09 + 0.04 + 0.04 =
0.05√
0.17
= 0.12
 d) el ángulo entre RMN y RMP :
θM = cos−1
(
RMN · RMP
|RMN ||RMP |
)
= cos−1
(
0.05√
0.34
√
0.17
)
= 78◦
4
1.12. Dados los puntosA(10, 12,−6), B(16, 8,−2), C(8, 1,−4), y D(−2,−5, 8), determine:
a) proyección vectorial de R AB + RBC en RAD: RAB + RBC = RAC = (8, 1, 4) − (10, 12,−6) =
(−2,−11, 10) Entonces RAD = (−2,−5, 8) − (10, 12,−6) = (−12,−17, 14). Así la proyección
será:
(RAC · aRAD)aRAD =
[
(−2,−11, 10) · (−12,−17, 14)√
629
]
(−12,−17, 14)√
629
= (−6.7,−9.5, 7.8)
b) proyección vectorial de RAB + RBC en RDC : RDC = (8,−1, 4)− (−2,−5, 8) = (10, 6,−4). La 
proyecci ón es: 
(RAC · aRDC)aRDC =
[
(−2,−11, 10) · (10, 6,−4)√
152
]
(10, 6,−4)√
152
= (−8.3,−5.0, 3.3)
c) el ángulo entre RDA y RDC : Use RDA = −RAD = (12, 17,−14) y RDC = (10, 6,−4).
 El ángulo se encuentra a través del producto escalar de los vectores unitarios asociados, o:
θD = cos−1(aRDA · aRDC) = cos−1
(
(12, 17,−14) · (10, 6,−4)√
629
√
152
)
= 26◦
1.13. a) Encuentre la componente vectorial de F = (10,−6, 5) que es paralela a G = (0.1, 0.2, 0.3):
F||G = F · G|G|2 G =
(10,−6, 5) · (0.1, 0.2, 0.3)
0.01 + 0.04 + 0.09 (0.1, 0.2, 0.3) = (0.93, 1.86, 2.79)
b) Encuentre la componente vectorial de F que es perpendicular a G:
FpG = F − F||G = (10,−6, 5)− (0.93, 1.86, 2.79) = (9.07,−7.86, 2.21)
c) Encuentre la componente vectorial de G que es perpendicular a F:
GpF = G−G||F = G− G · F|F|2 F = (0.1, 0.2, 0.3)−
1.3
100 + 36 + 25 (10,−6, 5) = (0.02, 0.25, 0.26)
1.14. Los cuatro vértices de un tetraedro regular están localizados en O(0, 0, 0), A(0, 1, 0), B(0.5
√
3, 0.5, 0), y
C(
√
3/6, 0.5,
√
2/3).
a) Encuentre un vector unitarioperpendicular (externo) a la superficie ABC: Primero encuentre
RBA × RBC = [(0, 1, 0)− (0.5
√
3, 0.5, 0)] × [(
√
3/6, 0.5,
√
2/3)− (0.5
√
3, 0.5, 0)]
= (−0.5
√
3, 0.5, 0)× (−
√
3/3, 0,
√
2/3) = (0.41, 0.71, 0.29)
 El vector unitario requerido será entonces:
RBA × RBC
|RBA × RBC | = (0.47, 0.82, 0.33)
b) Encuentre el área de la superficie ABC:
Área = 1
2
|RBA × RBC | = 0.43
5
1.15. Tres vectores extendiéndose desde el origen están dados como r 1 = (7, 3,−2), r2 = (−2, 7,−3), y r3 = (0, 2, 3).
 Encuentre:
a) un vector unitario perpendicular a r1 y r2:
ap12 = r1 × r2|r1 × r2 | =
(5, 25, 55)
60.6
= (0.08, 0.41, 0.91)
b) un vector unitario perpendicular a los vectores r 1 − r2 y r2 − r3: r1 − r2 = (9,−4, 1) y r2 − r3 =
(−2, 5,−6). Así r1 − r2 × r2 − r3 = (19, 52, 32). Entonces
ap = (19, 52, 32)|(19, 52, 32)| =
(19, 52, 32)
63.95
= (0.30, 0.81, 0.50)
c) el área del triángulo definida por r 1 y r2:
Área = 1
2
|r1 × r2| = 30.3
d) el área del triángulo definida por r las puntas de los vectores r1, r2, y r3:
Área = 1
2
|(r2 − r1)× (r2 − r3)| = 1
2
|(−9, 4,−1)× (−2, 5,−6)| = 32.0
1.16. Describa las superficies definidas por las ecuaciones :
a) r · ax = 2, donde r = (x, y, z): Este será el plano x = 2 .
b) |r × ax | = 2: r × ax = (0, z,−y), y |r × ax | =
√
z2 + y2 = 2. Esta es la ecuación de un cilindro,
 centrado en el eje x , y de radio 2.
1.17. El puntoA(−4, 2, 5) y los dos vectores, RAM = (20, 18,−10) y RAN = (−10, 8, 15), definen un triángulo.
a) Encuentre un vector unitario perpendicular al triángulo: Use
ap = RAM × RAN|RAM × RAN | =
(350,−200, 340)
527.35
= (0.664,−0.379, 0.645)
 El vector en la dirección opuesta a este uno es también una respuesta válida.
b) Encuentre un vector unitario en el plano del triángulo y perpendicular a R AN :
aAN = (−10, 8, 15)√
389
= (−0.507, 0.406, 0.761)
 Entonces
apAN = ap × aAN = (0.664,−0.379, 0.645)× (−0.507, 0.406, 0.761) = (−0.550,−0.832, 0.077)
El vector en la dirección opuesta a este uno es también una respuesta válida.
c) Halle un vector unitario en el plano del triángulo que biseque el ángulo interior en A: Un vector A no unitario
 en la dirección requerida es (1/2)(aAM + aAN), donde
aAM = (20, 18,−10)|(20, 18,−10)| = (0.697, 0.627,−0.348)
6
1.17c. (continuación) Ahora
1
2
(aAM + aAN) = 1
2
[(0.697, 0.627,−0.348)+ (−0.507, 0.406, 0.761)] = (0.095, 0.516, 0.207)
Finalmente,
abis = (0.095, 0.516, 0.207)|(0.095, 0.516, 0.207)| = (0.168, 0.915, 0.367)
1.18. Dados los puntosA(ρ = 5, φ = 70 ◦, z = −3) y B(ρ = 2, φ = −30 ◦, z = 1), encuentre:
a) el vector unitario en coordenadas cartesianas en A hacia B: A(5 cos 70 ◦, 5 sen 70 ◦,−3) = A(1.71, 4.70,−3), En
 la misma manera, B(1.73,−1, 1). Así RAB = (1.73,−1, 1) − (1.71, 4.70,−3) = (0.02,−5.70, 4) y
por lo tanto
aAB = (0.02,−5.70, 4)|(0.02,−5.70, 4)| = (0.003,−0.82, 0.57)
b) un vector en coordenadas cilíndricas en A dirigido hacia B: aAB · aρ = 0.003 cos 70 ◦ − 0.82 sen 70 ◦ =
−0.77. aAB · aφ = −0.003 sen 70 ◦ − 0.82 cos 70 ◦ = −0.28. Así
aAB = −0.77aρ − 0.28aφ + 0.57az
.
c) un vector en coordenadas cilíndricas en B dirigido hacia A:
 Use a BA = (−0, 003, 0.82,−0.57). Entonces aBA ·aρ = −0.003 cos(−30 ◦)+0.82 sen(−30 ◦) = −0.43, y
aBA · aφ = 0.003 sen(−30 ◦)+ 0.82 cos(−30 ◦) = 0.71. Finalmente,
aBA = −0.43aρ + 0.71aφ − 0.57az
1.19 a) Exprese el campo D = (x2 + y2)−1(xa x + yay) en componentes cilíndricas y variables cilíndricas:
Se tiene x = ρ cosφ, y = ρ sen φ, y x2 + y2 = ρ2. Por lo tanto
D = 1
ρ
(cosφax + sen φay)
Entonces
Dρ = D · aρ = 1
ρ
[
cosφ(ax · aρ)+ sen φ(ay · aρ)
] = 1
ρ
[
cos2 φ + sen2 φ
]
= 1
ρ
y
Dφ = D · aφ = 1
ρ
[
cosφ(ax · aφ)+ sen φ(ay · aφ)
] = 1
ρ
[cosφ(− sen φ)+ sen φ cosφ] = 0
Por lo tanto
D = 1
ρ
aρ
7
1.19b. Evalúe D en el punto donde ρ = 2, φ = 0.2π , y z = 5, expresando el resultado en coordenadas cilíndricas
 y cartesianas: En el punto dado, y en coordenadas cilíndricas, D = 0.5a ρ . Para expresar este en
cartesianas, usamos
D = 0.5(aρ · ax)ax + 0.5(aρ · ay)ay = 0.5 cos 36◦ax + 0.5 sen 36◦ay = 0.41ax + 0.29ay
1.20. Exprese en componentes cartesianas:
a) el vector en A(ρ = 4, φ = 40 ◦, z = −2) que se extiende a B(ρ = 5, φ = −110 ◦, z = 2): Tenemos
 A(4 cos 40 ◦, 4 sen 40 ◦,−2) = A(3.06, 2.57,−2), y B(5 cos(−110 ◦), 5 sen(−110 ◦), 2) =
B(−1.71,−4.70, 2) en cartesianas. Así RAB = (−4.77,−7.30, 4).
b) un vector unitario en B dirigido haciaA: Se tiene RBA = (4.77, 7.30,−4), y así
aBA = (4.77, 7.30,−4)|(4.77, 7.30,−4)| = (0.50, 0.76,−0.42)
c) un vector unitario en B dirigido hacia e l origen: Se tiene rB = (−1.71,−4.70, 2), y a sí −r B=
(1.71, 4.70,−2). Así
a = (1.71, 4.70,−2)|(1.71, 4.70,−2)| = (0.32, 0.87,−0.37)
1.21. Exprese en componentes cilíndricas:
a) el vector de C(3, 2,−7) a D(−1,−4, 2):
C(3, 2,−7) → C(ρ = 3.61, φ = 33.7◦, z = −7) y
D(−1,−4, 2) → D(ρ = 4.12, φ = −104.0 ◦, z = 2).
 Ahora RCD = (−4,−6, 9) y Rρ = RCD · aρ = −4 cos(33.7) − 6 sen(33.7) = −6.66. Entonces
Rφ = RCD · aφ = 4 sen(33.7)− 6 cos(33.7) = −2.77. Así RCD = −6.66aρ − 2.77aφ + 9az
b) un vector unitario en D dirigido hacia C:
RCD = (4, 6,−9) y Rρ = RDC · aρ = 4 cos(−104.0) + 6 sen(−104.0) = −6.79. Entonces Rφ =
RDC · aφ = 4[− sen(−104.0)] + 6 cos(−104.0) = 2.43. Así RDC = −6.79aρ + 2.43aφ − 9az
 Así a DC = −0.59aρ + 0.21aφ − 0.78az
c) un vector unitario en D dirigido hacia el origen. Empieza con rD = (−1,−4, 2), y así el vector hacia
 el origen será −rD = (1, 4,−2) . Así, en cartesiana el vector uniario es a = (0.22, 0.87,−0.44).
Convertido a cilíndricas:
aρ = (0.22, 0.87,−0.44) · aρ = 0.22 cos(−104.0)+ 0.87 sen(−104.0) = −0.90, y
aφ = (0.22, 0.87,−0.44) · aφ = 0.22[− sen(−104.0)] + 0.87 cos(−104.0) = 0, así que finalmente,
a = −0.90aρ − 0.44az.
1.22. Un campo está dado en coordenadas cilíndricas como
F =
[
40
ρ2 + 1 + 3(cosφ + sen φ)
]
aρ + 3(cosφ − sen φ)aφ − 2az
 donde la magnitud de F se encuentra para ser:
|F | =
√
F · F =
[
1600
(ρ2 + 1)2 +
240
ρ2 + 1 (cosφ + sen φ)+ 22
]1/2
8
 Grafique |F |:
a) contra φ con ρ = 3: en este caso anterior se simplifica a
|F(ρ = 3)| = |Fa| = [38 + 24(cosφ + sen φ)]1/2
b) contra ρ con φ = 0, en que :
|F(φ = 0)| = |Fb| =
[
1600
(ρ2 + 1)2 +
240
ρ2 + 1 + 22
]1/2
c) contra ρ con φ = 45◦, en que
|F(φ = 45◦)| = |Fc| =
[
1600
(ρ2 + 1)2 +
240
√
2
ρ2 + 1 + 22
]1/2
9
1.23. Las superficies ρ = 3, ρ = 5, φ = 100 ◦, φ = 130 ◦, z = 3, y z = 4.5 definen una superficie englobada.
a) Encuentre el volumen englobado:
Vol =
∫ 4.5
3
∫ 130◦
100◦
∫ 5
3
ρ dρ dφ dz = 6.28
NOTA: Los límites en la integración φ deben convertirse a radianes (como se hizo aquí, pero sin mostrarlo ).
b) Encuentre el área total de la superficie englobada: :
Área = 2
∫ 130◦
100◦
∫ 5
3
ρ dρ dφ +
∫ 4.5
3
∫ 130◦
100◦
3 dφ dz
+
∫ 4.5
3
∫ 130◦
100◦
5 dφ dz + 2
∫ 4.5
3
∫ 5
3
dρ dz = 20.7
c) Encuentre la longitud total de los doce bordes de las superficies :
Longitud=4 × 1.5 + 4 × 2 + 2 ×
[
30◦
360◦
× 2π × 3 + 30
◦
360◦
× 2π × 5
]
= 22.4
d) Encuentre la longitud de la línea recta más larga que queda completamente dentro del volumen: Esto será entre 
 los puntos A(ρ = 3, φ = 100 ◦, z = 3) y B(ρ = 5, φ = 130 ◦, z = 4.5). Realizando las 
 transformaciones del punto a coordenadas cartesianas, estas se vuelven A(x = −0.52, y = 2.95, z = 3) y B(x=
−3.21, y = 3.83, z = 4.5). Tomando A y B como vectores dirigidos desde el origen, la longitud requerida
es
Longitud =|B − A| = |(−2.69, 0.88, 1.5)| = 3.21
1.24. El punto P(−3, 4, 5), expresa el vector que se extiende de P a Q(2, 0,−1) en:
a) coordenadas rectangulares .
RPQ = Q − P = 5ax − 4ay − 6az
 Así |RPQ=
√
25 + 16 + 36 = 8.8
b) coordenadas cilíndricas. En P , ρ = 5, φ = tan −1(4/− 3) = −53.1◦, y z = 5. Ahora,
RPQ · aρ = (5ax − 4ay − 6az) · aρ = 5 cosφ − 4 sen φ = 6.20
RPQ · aφ = (5ax− 4ay − 6az) · aφ = −5 sen φ − 4 cosφ = 1.60
Así
RPQ = 6.20aρ + 1.60aφ − 6az
y |R PQ| =
√
6.202 + 1.602 + 62 = 8.8
c) coordenadas esféricas. En P , r =√9 + 16 + 25 = √50 = 7.07, θ = cos−1(5/7.07) = 45◦, y
φ = tan−1(4/− 3) = −53.1◦.
RPQ · ar = (5ax − 4ay − 6az) · ar = 5 sen θ cosφ − 4 sen θ sen φ − 6 cos θ = 0.14
RPQ · aθ = (5ax − 4ay − 6az) · aθ = 5 cos θ cosφ − 4 cos θ sen φ − (−6) sen θ = 8.62
RPQ · aφ = (5ax − 4ay − 6az) · aφ = −5 sen φ − 4 cosφ = 1.60
10
1.24. (continuación)
Así
RPQ = 0.14ar + 8.62aθ + 1.60aφ
y |R PQ| =
√
0.142 + 8.622 + 1.602 = 8.8
d) Muestre que cada uno de estos vectores tiene la misma magnitud. Cada uno, como el mostrado anteriormente. 
1.25. Dado un punto P(r = 0.8, θ = 30 ◦, φ = 45◦), y
E = 1
r2
(
cosφ ar + sen φ
sen θ
aφ
)
a) Halle E en P : E = 1.10a ρ + 2.21aφ.
b) Halle |E | en P : |E | = √1.102 + 2.212 = 2.47. 
c) Encuentre un vector unitario en la dirección de E en P :
aE = E|E| = 0.45ar + 0.89aφ
1.26. a) Determine una expresión para a y en coordenadas esféricas en P(r = 4, θ = 0.2π, φ = 0.8π): Use
ay · ar = sen θ sen φ = 0.35, ay · aθ = cos θ sen φ = 0.48, y ay · aφ = cosφ = −0.81 para obtener
ay = 0.35ar + 0.48aθ − 0.81aφ
b) Exprese a r en componentes cartesianas en P : Encuentre x = r sen θ cosφ = −1.90, y = r sen θ sen φ = 1.38,
y z = r cos θ = −3.24. Entonces use ar · ax = sen θ cosφ = −0.48, ar · ay = sen θ sen φ = 0.35, y
ar · az = cos θ = 0.81 para obtener
ar = −0.48ax + 0.35ay + 0.81az
1.27. Las superficies r = 2 y 4, θ = 30 ◦ y 50 ◦, y φ = 20 ◦ y 60 ◦ identifique una superficie determinada.
a) Encuentre el volumen englobado: Este será
Vol =
∫ 60◦
20◦
∫ 50◦
30◦
∫ 4
2
r2 sen θdrdθdφ = 2.91
donde los grados se convirtieron a radianes. 
b) Encuentre el área total de la superficie englobada:
Área =
∫ 60◦
20◦
∫ 50◦
30◦
(42 + 22) sen θdθdφ +
∫ 4
2
∫ 60◦
20◦
r(sen 30 ◦ + sen 50 ◦)drdφ
+ 2
∫ 50◦
30◦
∫ 4
2
rdrdθ = 12.61
c) Encuentre la longitud total de los doce bordes de la superficie: 
Longitud = 4
∫ 4
2
dr + 2
∫ 50◦
30◦
(4 + 2)dθ +
∫ 60◦
20◦
(4 sen 50 ◦ + 4 sen 30 ◦ + 2 sen 50 ◦ + 2 sen 30 ◦)dφ
= 17.49
11
1.27. (continuación)
d) Encuentre la longitud de la línea recta más larga que queda completamente dentro de la superficie: Esta será de 
A(r = 2, θ = 50 ◦, φ = 20 ◦) a B(r = 4, θ = 30 ◦, φ = 60 ◦) o
A(x = 2 sen 50 ◦ cos 20 ◦, y = 2 sen 50 ◦ sen 20 ◦, z = 2 cos 50 ◦)
para
B(x = 4 sen 30 ◦ cos 60 ◦, y = 4 sen 30 ◦ sen 60 ◦, z = 4 cos 30 ◦)
o finalmente A(1.44, 0.52, 1.29) a B(1.00, 1.73, 3.46). Así B − A = (−0.44, 1.21, 2.18) y
Longitud= |B − A| = 2.53
1.28. a) Determine las componentes cartesianas del vector de A(r = 5, θ = 110 ◦, φ = 200 ◦) a B(r =
7, θ = 30 ◦, φ = 70 ◦): Primero transformamos los puntos a cartesianas: xA = 5 sen 110 ◦ cos 200 ◦ = −4.42,
yA = 5 sen 110 ◦ sen 200 ◦ = −1.61, y zA = 5 cos 110 ◦ = −1.71; xB = 7 sen 30 ◦ cos 70 ◦ = 1.20,
yB = 7 sen 30 ◦ sen 70 ◦ = 3.29, y zB = 7 cos 30 ◦ = 6.06. Ahora
RAB = B − A = 5.62ax + 4.90ay + 7.77az
b) Encuentre las componentes esféricas del vector en P(2,−3, 4) extendiendo a Q(−3, 2, 5): Primero , R PQ =
Q − P = (−5, 5, 1). Entonces en P , r =√ 4 + 9 + 16 = 5.39, θ =cos−1(4/√29) = 42.0 ◦, y φ =
tan −1(−3/2) = −56.3◦. Ahora
RPQ · ar = −5 sen(42 ◦) cos(−56.3◦)+ 5 sen(42 ◦) sen(−56.3◦)+ 1 cos(42 ◦) = −3.90
RPQ · aθ = −5 cos(42 ◦) cos(−56.3◦)+ 5 cos(42 ◦) sen(−56.3◦)− 1 sen(42 ◦) = −5.82
RPQ · aφ = −(−5) sen(−56.3◦)+ 5 cos(−56.3◦) = −1.39
Así finalmente,
RPQ = −3.90ar − 5.82aθ − 1.39aφ
c) Si D =5ar − 3aθ + 4aφ , encuentre D · aρ en M(1, 2, 3): Primero convierta aρ a coordenadas cartesianas
 en el punto especificado. Use aρ = (aρ · ax)ax + (aρ · ay)ay . En A(1, 2, 3), ρ =
√
5, φ = tan −1(2) = 63.4 ◦,
r = √14, y θ = cos−1(3/√ 14) = 36.7◦. A s í aρ = cos(63.4 ◦)ax + sen(63.4 ◦)ay = 0.45ax + 0.89ay .
Entonces
(5ar − 3aθ + 4aφ) · (0.45ax + 0.89ay) =
5(0.45) sen θ cosφ + 5(0.89) sen θ sen φ − 3(0.45) cos θ cosφ
− 3(0.89) cos θ sen φ + 4(0.45)(− sen φ) + 4(0.89) cosφ = 0.59
1.29. Exprese el vector unitario a x en componentes esféricas en el punto:
a) r = 2, θ = 1 rad, φ = 0.8 rad: Use
ax = (ax · ar )ar + (ax · aθ )aθ + (ax · aφ)aφ =
sen(1) cos(0.8)ar + cos(1) cos(0.8)aθ + (− sen(0.8))aφ = 0.59ar + 0.38aθ − 0.72aφ
12
1.29 (continuación) Exprese el vector unitario ax en componentes esféricas en el punto:
b) x = 3, y = 2, z = −1: Primero , transforme el punto a coordenadas esféricas . Tiene r = √ 14,
θ = cos−1(−1/√14) = 105.5◦, y φ = tan −1(2/3) = 33.7◦. Entonces
ax = sen(105.5◦) cos(33.7◦)ar + cos(105.5◦) cos(33.7◦)aθ + (− sen(33.7◦))aφ
= 0.80ar − 0.22aθ − 0.55aφ
c) ρ = 2.5, φ = 0.7 rad, z = 1.5: Nuevamente, convierta el punto a coordenadas esféricas. r =
√
ρ2 + z2 =√
8.5, θ = cos−1(z/r) = cos−1(1.5/√8.5) = 59.0 ◦, y φ = 0.7 rad = 40.1◦. Ahora
ax = sen(59◦) cos(40.1◦)ar + cos(59◦) cos(40.1◦)aθ + (− sen(40.1◦))aφ
= 0.66ar + 0.39aθ − 0.64aφ
1.30. Dado A(r = 20, θ = 30 ◦, φ = 45◦) y B(r = 30, θ = 115◦, φ = 160 ◦), encuentre:
a) |RAB |: Primero convierta A y B a cartesianas: Se tiene xA = 20 sen(30 ◦) cos(45◦) = 7.07, y A =
20 sen(30 ◦) sen(45◦) = 7.07, y z A = 20 cos(30 ◦) = 17.3. xB = 30 sen(115◦) cos(160 ◦) = −25.6,
yB = 30 sen(115◦) sen(160 ◦) = 9.3, y zB = 30 cos(115◦) = −12.7. Ahora RAB = RB − RA =
(−32.6, 2.2,−30.0), y así |R AB | = 44.4.
b) |R AC |, dado C(r = 20, θ = 90 ◦, φ = 45◦). Nuevamente, convirtiendo C a cartesianas, obtenga xC =
20 sen(90 ◦) cos(45◦) = 14.14, yC = 20 sen(90 ◦) sen(45◦) = 14.14, y zC = 20 cos(90 ◦) = 0. Así
RAC = RC − RA = (7.07, 7.07,−17.3), y |RAC | = 20.0 .
c) la distancia de A a C en una gran trayectoria circular: Note que A y C comparten igualmente r y coordenadas φ ;
 así, moverse de Aa C implica únicamente un cambio en θ de 60 ◦. La longitud de arco requerida es entonces
distancia = 20 ×
[
60
(
2π
360
)]
= 20.9
13