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Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos Saucedo Casti l lo Ana Laura No. Control: 17060420 Introducción Los sistemas de fluidos son el medio más versátil para transmitir señales y potencia, los fluidos. En primer lugar se presentan los sistemas de nivel de líquido que se utilizan frecuentemente en los procesos de control. Después se introducen los conceptos de resistencia y capacitancia para describir la dinámica de tales sistemas. Entonces se tratan los sistemas neumáticos. Estos sistemas se emplean mucho en la automatización de la maquinaria de producción y en el campo de los controladores automáticos. Por ejemplo, tienen un amplio uso los circuitos neumáticos que convierten la energía del aire comprimido en energía mecánica, y se encuentran diversos tipos de controladores neumáticos en la industria. Después se presentan los servosistemas hidráulicos. Éstos son ampliamente utilizados en las maquinarias de las herramientas de sistemas, los sistemas de control aéreos, etc. Sistemas de nivel de líquido Al analizar sistemas que implican el flujo de líquidos, resulta necesario dividir los regímenes de flujo en laminar y turbulento. Si el número de Reynolds es mayor que entre 3000 y 4000, el flujo es turbulento. El flujo es laminar si el número de Reynolds es menor que unos 2000. Si se introduce el concepto de resistencia y capacitancia para tales sistemas de nivel de líquido, es posible describir en formas simples las características dinámicas de tales sistemas. Si se introduce el concepto de resistencia y capacitancia para tales sistemas de nivel de líquido, es posible describir en formas simples las características dinámicas de tales sistemas. Considérese el sistema de nivel de líquidos que aparece en la Figura 4-1(a). En este sistema el líquido sale a chorros a través de la válvula de carga a un lado del tanque. Si el flujo a través de esta restricción es laminar, la relación entre el caudal en estado estable y la altura en estado estable en el nivel de la restricción se obtiene mediante Q=KH donde Q = caudal del líquido en estado estable, m3 /seg K = coeficiente, m2/seg H = altura en estado estable, m Para el flujo laminar, la resistencia R1 se obtiene como: La resistencia del flujo laminar es constante y análoga a la resistencia eléctrica. Si el flujo es turbulento a través de la restricción, el caudal en estado estable se obtiene mediante: donde Q = caudal del líquido en estado estable, m3/seg K = coeficiente, m2.5/seg H% altura en estado estable, m La resistencia Rt para el flujo turbulento se obtiene a partir de: Como de la Ecuación (4-1) se obtiene: Entonces: La resistencia se determina mediante una gráfica de la curva de la altura frente al caudal, basada en datos experimentales y midiendo la pendiente de la curva en la condición de operación. Un ejemplo de tal gráfica aparece en la Figura 4-1(b). En la figura, el punto P es el punto de operación en estado estable. La línea tangente a la curva en el punto P intersecta la ordenada en el punto (0, -H). Por tanto, la pendiente de esta línea tangente es 2H/Q. Como la resistencia Rt en el punto de operación P se obtiene mediante 2H/Q, la resistencia Rt es la pendiente de la curva en el punto de operación. Considérese la condición de operación en la vecindad del punto P. Se define como h una desviación pequeña de la altura a partir del valor en estado estable y como q el pequeño cambio correspondiente del flujo. A continuación, la pendiente de la curva en el punto P está dada por: La aproximación lineal se basa en el hecho de que la curva real no difiere mucho de su línea tangente si la condición de operación no varía mucho. La capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidad de líquido almacenado, para producir un cambio de una unidad en el potencial (altura). (El potencial es la cantidad que indica el nivel de energía del sistema.) Sistemas de nivel de líquido. Considérese el sistema que aparece en la Figura 4.1(a). Las variables se definen del modo siguiente: Q = caudal en estado estable (antes de que haya ocurrido un cambio), m3/seg qi = desviación pequeña de la velocidad de entrada de su valor en estado estable, m3/seg qo = desviación pequeña de la velocidad de salida de su valor en estado estable, m3/seg H = altura en estado estable (antes de que haya ocurrido un cambio), m h = desviación pequeña de la altura a partir de su valor en estado estable, m Sistemas de nivel de líquido con interacción. Considérese el sistema que aparece en la Figura 4-2. En este sistema interactúan los dos tanques. Por tanto, la función de transferencia del sistema no es el producto de las dos funciones de transferencia de primer orden. En lo sucesivo, sólo se supondrán variaciones pequeñas de las variables a partir de los valores en estado estable. Usando los símbolos definidos en la Figura 4-2, se obtienen las ecuaciones siguientes para este sistema: • Si q se considera la entrada y q2 la salida, la función de transferencia del sistema es: Es instructivo obtener la Ecuación (4-7), función de transferencia de los sistemas que interactúan, mediante una reducción del diagrama de bloques. A partir de las Ecuaciones (4-3) a (4-6), se obtienen los elementos del diagrama de bloques, tal como aparece en la Figura 4-3(a). Si se conectan las señales de manera adecuada, se puede construir un diagrama de bloques, como el de la Figura 4-3(b). Es posible simplificar este diagrama de bloques, tal como aparece en la Figura 4-3(c). Simplificaciones adicionales llevan a cabo en las Figuras 4-3(d) y (e). La Figura 4- 3(e) es equivalente a la Ecuación (4-7). Sistemas neumáticos Las últimas décadas han visto un gran desarrollo de los controladores neumáticos de baja presión para sistemas de control industrial, que en la actualidad se usan ampliamente en los procesos industriales. Entre las razones para que estos controladores resulten atractivos están que son a prueba de explosiones, son sencillos y son fáciles de mantener. Resistencia y capacitancia de los sistemas de presión. Muchos procesos industriales y controladores neumáticos incluyen el flujo de un gas, que puede ser aire, en recipientes a presión conectados a través de tuberías. presión conectados a través de tuberías. Considérese el sistema a presión de la Figura 4-4(a). El caudal del gas a través de la restricción es una función de la diferencia de presión del gas pi-po. Tal sistema de presión se caracteriza en términos de una resistencia y una capacitancia. La resistencia R del flujo de gas se define del modo siguiente: Calculando la pendiente de la curva en una condición de operación determinada, como se aprecia en la Figura 4-4(b). La capacitancia del recipiente a presión se define mediante: La capacitancia C se obtiene como: Sistemas de presión. Considérese el sistema de la Figura 4-4(a). Si sólo se suponen desviaciones pequeñas en las variables a partir de sus valores en estado estable respectivos, este sistema se considera lineal. Para valores pequeños de pi y po, la resistencia R obtenida mediante la Ecuación (4-8) se vuelve constante y se escribe como: La capacitancia C se obtiene mediante: Si pi y po se consideran la entrada y la salida, respectivamente, la función de transferencia del sistema es: Amplificadores neumáticos de tobera- aleta. La Figura 4-5(a) muestra un diagrama esquemático de un amplificador neumático de tobera-aleta. La fuente de potencia para este amplificador es un suministro de aire a una presión constante. El amplificador de tobera- aleta convierte los cambios pequeños en la posición de la aleta en cambios grandes en la presión trasera de la tobera. Por tanto, una salida de energía grande se controla por medio de la pequeña cantidad de energía necesaria para posicionar la aleta. La Figura 4-5(b) contiene una curva típica que relaciona la presióntrasera Pb de la tobera con la distancia X tobera-aleta. La parte con gran inclinación y casi lineal de la curva se utiliza en la operación real del amplificador de tobera- aleta. Debido a que el rango de los desplazamientos de la aleta está limitado a un valor pequeño, también es pequeño el cambio en la presión de salida, a menos que la curva esté muy inclinada. Relés neumáticos. En la práctica, en un controlador neumático, el amplificador de tobera- aleta actúa como el amplificador de primera etapa y el relé neumático como el amplificador de segunda etapa. El relé neumático es capaz de manejar un flujo de aire grande Obsérvese que algunos relés neumáticos funcionan en acción inversa. Por ejemplo, el relé de la Figura 4-7 es un relé de acción inversa. En él, conforme aumenta la presión trasera de la tobera Pb, la válvula de esfera es impulsada hacia el asiento inferior, por lo cual disminuye la presión de control Pc. Por consiguiente, se trata de un relé de acción inversa. Controladores neumáticos proporcionales (de tipo fuerza-distancia). En la industria se usan dos tipos de controladores neumáticos, el denominado de fuerza- distancia y el de fuerza-balance. Sin tener en cuenta lo distintos que pueden parecer los controladores neumáticos industriales, un estudio cuidadoso mostrará la estrecha similitud en las funciones del circuito neumático. Aquí se considerarán controladores neumáticos del tipo de fuerza-distancia. Controladores neumáticos proporcionales (del tipo fuerza-balance). La Figura 4-10 muestra un diafragma esquemático de un controlador neumático proporcional de fuerza-balance. Los controladores de fuerza-balance se usan ampliamente en la industria. Se los conoce como controladores apilados. El principio de operación básico no es diferente del que emplea el controlador de fuerza-distancia. La principal ventaja del controlador fuerza- balance es que elimina muchos enlaces mecánicos y uniones de pivote, con lo cual reduce los efectos de la fricción. Válvulas con actuador neumático. Considérese el diagrama esquemático de una válvula con actuador neumático como la de la Figura 4-11. Supóngase que el área del diafragma es A. Suponga también, que cuando el error es cero la presión de control es igual a P1c y el desplazamiento de la válvula es igual a X1. La función de transferencia entre x y pc se convierte en: Principio básico para obtener una acción de control derivativa El principio básico para generar la acción de control que se requiere es insertar el inverso de la función de transferencia deseada en la trayectoria de realimentación. Para el sistema de la Figura 4-12, la función de transferencia en lazo cerrado es: Obtención de una acción de control neumática proporcional-integral. Obtención de una acción de control neumática proporcional-integral-derivativa. Una combinación de los controladores neumáticos de las Figuras 4-14(a) y 4-15(a) produce un controlador proporcional-integral-derivativo, conocido como controlador PID. La Figura 4-16(a) muestra un diagrama esquemático de dicho controlador. La Figura 4-16(b) muestra un diagrama de bloques de este controlador en el supuesto de variaciones pequeñas en las variables. Sistemas hidráulicos Servosistema hidráulico. La Figura 4-17(a) muestra un servomotor hidráulico. Es esencialmente un amplificador de potencia hidráulico controlado por una válvula piloto y un actuador. La válvula piloto es balanceada, en el sentido de que las fuerzas de presión que actúan sobre ella están balanceadas. Una salida de potencia muy grande se controla mediante una válvula piloto, que se posiciona con muy poca potencia. dráulica grande con el propósito de mover una carga. En la Figura 4-17(b) se tiene un diagrama ampliado del área del orificio de la válvula. Se definen las áreas de los orificios de la válvula en los puertos 1, 2, 3, 4, como A1, A2, A3, A4, respectivamente. Asimismo, se definen los caudales a través de los puertos 1, 2, 3, 4, como q1, Capítulo 4. Modelado matemático de sistemas de fluidos y sistemas térmicos 125 www.elsolucionario.net www.elsolucionario.net q2, q3, q4, respectivamente. Obsérvese que, como la válvula es simétrica, A1% A3 y A2% A4. Si se supone que el desplazamiento x es pequeño, se obtiene: donde k es una constante Además, se supondrá que la presión de retorno po en la línea de retorno es pequeña y, por tanto, que puede pasarse por alto. Entonces, remitiéndose a la Figura 4-17(a), los caudales a través de los orificios de la válvula son Para la válvula simétrica de la Figura 4-17(a), la presión en cada lado del pistón de potencia es (1/2)ps cuando no se aplica una carga, o Bp = 0. Conforme se desplaza la válvula de bobina, la presión en una línea aumenta, a medida que la presión en la otra línea disminuye en la misma cantidad. En términos de ps y Bp, se vuelve a escribir el caudal q obtenido mediante la Ecuación (4- 25), como: Controladores hidráulicos integrales. El servomotor hidráulico de la Figura 4-19 es un amplificador y actuador de la potencia hidráulica, controlado por una válvula piloto. De forma similar al servosistema hidráulico que se muestra en la Figura 4- 17, para masas de carga insignificantes, el servomotor de la Figura 4-19 funciona como un integrador o un controlador integral. Dicho servomotor constituye la base del circuito de control hidráulico. La transformada de Laplace de esta última ecuación, suponiendo una condición inicial nula, produce: donde K = K1/(Ao). Por ende, el servomotor hidráulico de la Figura 4-19 funciona como un controlador integral. Controladores hidráulicos proporcionales. Se ha mostrado que el servomotor de la Figura 4-19 funciona como un controlador integral. Este servomotor se modifica en un controlador proporcional mediante un enlace de realimentación. Considérese el controlador hidráulico de la Figura 4-20(a). El lado izquierdo de la válvula piloto está unido al lado izquierdo del pistón de potencia mediante un enlace ABC. Este enlace es flotante y, por tanto, no se mueve alrededor de un pivote fijo. En este caso, el controlador opera del modo siguiente. Si la entrada e mueve la válvula piloto a la derecha, se descubrirá el puerto II y el aceite a alta presión fluirá a través del puerto II hacia el lado derecho del pistón de potencia e impulsará éste a la izquierda. El pistón de potencia, al moverse a la izquierda, arrastrará el enlace de realimentación ABC con él, con lo cual moverá la válvula piloto a la izquierda. Esta acción continúa hasta que el pistón del piloto cubre otra vez los puertos I y II. En la Figura 4-20(b) se dibuja un diagrama de bloques del sistema. La función de transferencia entre Y(s) y E(s) se obtiene mediante: Amortiguadores. El amortiguador de la Figura 4-21(a) funciona como un elemento de diferenciación. Supóngase que se introduce un desplazamiento escalón a la posición del pistón y. En este caso, el desplazamiento z iguala momentáneamente a y. Sin embargo, debido a la fuerza del resorte, el aceite fluirá a través de la resistencia R y el cilindro regresará a la posición original. Las curvas y frente a t y z frente a t se muestran en la Figura 4-21(b). Como el caudal a través de la restricción durante dt segundos debe ser igual al cambio en la masa del aceite del lado izquierdo del pistón durante los mismos dt segundos, se obtiene: El caudal q se obtiene mediante: Como el caudal a través de la restricción durante dt segundos debe ser igual al cambio en la masa del aceite del lado izquierdo del pistón durante los mismos dt segundos, se obtiene: donde ρ=densidad, lb/ In3. (Se supone que el fluido es incompresible o que ρ=constante.) Esta última ecuación puede reescribirse como: Obtención de una acción de control hidráulica proporcional-integral. La Figura 4-22(a) muestra un diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional-integral. La Figura 4-22(b)es un diagrama de bloques del mismo. La función de transferencia Y(s)/E(s) se obtiene mediante: Obtención de una acción de control hidráulica proporcional-derivativa. La Figura 4-23(a) muestra un diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional derivativo. Los cilindros están fijos en el espacio y los pistones se mueven. Para este sistema, obsérvese que: Obtención de una acción de control hidráulica proporcional-integral-derivativa. La Figura 4-24 muestra un diagrama esquemático de un controlador hidráulico proporcional-integral-derivativo. Es una combinación de un controlador proporcional- integral y un controlador proporcional- derivativo. Si los dos amortiguadores son idénticos, la función de transferencia Z(s)/Y(s) se puede obtener como: En la Figura 4-25 se muestra un diagrama de bloques para este sistema. La función de transferencia Y(s)/E(s) se puede obtener como: Donde: problemas B-4-2. Considere el sistema de control de nivel de líquido de la Figura 4-43. El controlador es de tipo proporcional. El punto de funcionamiento del controlador está fijo. Dibuje un diagrama de bloques del sistema suponiendo que los cambios en las variables son pequeños. Obtenga la función de transferencia entre el nivel del segundo tanque y la entrada de perturbación qd. Obtenga el error en estado estacionario cuando la perturbación qd es un escalón unidad. Solución La función de transferencia entre H(s) y Qd(s) se puede obtener como: 𝐻 𝑠 𝑄𝑑 𝑠 = 𝑅2 𝑅1𝐶1𝑠+1 𝑅1𝐶1𝑠+1 𝑅2𝐶2𝑆+1 +𝑘𝑅2 A partir de esta ecuación, se puede obtener la respuesta H a la entrada de perturbación Qd(s). Para la entrada de perturbación de paso unitario Qd(s), obtenemos: ℎ2 ∞ = lim 𝑠→0 𝑠𝐻2 𝑠 = 𝑅2 1+𝑘𝑅2 por lo tanto, error de estado estable = −𝑅2 1+𝑘𝑅2 El sistema exhibe compensación en la respuesta a una entrada de perturbación de paso de unidad. B-4-7. Considere el controlador neumático de la Figura 4.48. ¿Qué clase de acción de control produce este controlador? Suponga que el relé neumático tiene la característica de que pc=Kpb, donde K>0. Solución 𝑃𝐶 𝑠 𝐸 𝑠 = 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑘1𝑘 1 + 𝑘1𝑘 𝑎 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝐴 𝑘 ⋅ 𝑅2𝐶2𝑆 𝑅2𝐶2 + 1 ⋅ 1 𝑅1𝐶1𝑠 + 1 Si K1K>>1, donde: 𝑃𝐶 𝑠 𝐸 𝑠 = 𝑏𝑘 4𝐴 𝑅2𝐶2𝑆 + 1 𝑅2𝐶2S 𝑅, 𝐶1𝑆 + 1 𝑃𝐶 𝑠 𝐸 𝑠 = 𝑏𝑘 4𝐴 1 + 𝑅1𝐶1 𝑅2𝐶2 + 1 𝑅2𝐶2 + 𝑅1𝐶1𝑆 B-4-9. La Figura 4-51 es un diagrama esquemático de un sistema de control de elevación de aeronaves. La entrada al sistema es el ángulo de deflexión h de la palanca de control y la salida es el ángulo de elevación h . Suponga que los ángulos h y h son relativamente pequeños. Demuestre que, para cada ángulo h de la palanca de control, existe un ángulo de elevación h correspondiente (en estado estable). Solución Del diagrama de bloques obtenemos la función de transferencia Y(S)/ϴ(S) de la siguiente manera: 𝑌 𝑠 𝜃 𝑠 = 𝑙 𝑏 𝑎+𝑏 ∗ 𝑘 𝑠 1+ 𝑘 𝑠 ∗ 𝑎 𝑎+𝑏 = 𝑙𝑘𝑏 𝑠 𝑏+𝑎 +𝑎𝑘
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