_ Ingenieria electronica _ Regulación Automática _ TEMA 4 _ M

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Capítulo 4: Modelado matemático 
de los sistemas dinámicos 
carlos.platero@upm.es (C-305) 
mailto:Carlos.platero@upm.es
Modelado matemático de los sistemas dinámicos 
 Simuladores: 
 Modelos matemáticos de los sistemas y de las señales que les 
atacan 
 Una mayor sofisticación de los modelos supondrá que se 
aproxime más verazmente al comportamiento físico 
 Modelos 
 Eléctricos 
 Mecánicos 
 Térmicos 
4.1 Sistemas eléctricos y electrónicos 
 Leyes de Kirchhoff 
 
 
 
 
 Adaptación de impedancias 
 
RCs
sAV


1
1
     
sCRsCR
sAsAsA VVV
2211
21
1
1
1
1




 
  1
1
222111
2
2211 

sCRCRCRsCRCR
sAV
 
Amplificadores operacionales 
 Las características de un AO ideal son: 
 La impedancia de entrada diferencial y la de cada canal respecto a masa 
son infinitas. 
 Ganancia de tensión diferencial infinita, Ado. 
 Ancho de banda infinito. 
 Tensión de desviación de continua nula 
 Ausencia de desviación de las anteriores características con la 
temperatura. 









 
Tdc
Tdddo
Tdc
s
d
VuV
VuuA
VuV
u
uuu
. 3
2
7
4
6
1
5
+
-
V
+
V
-
OUT
OS1
OS2ue
us
  uuVu Td
Aplicaciones de los AO 
 Seguidor de tensión 
 
 Adaptador de señal de mando 
 
 
 Amplificador inversor 
. 3
2
7
4
6
1
5
+
-
V
+
V
-
OUT
OS1
OS2ue
us
   tutu es 
VCC
3
2
7
4
6
1
5
+
-
V
+
V
-
OUT
OS1
OS2
um
R
R
 
 
10
1








CCCCm V
RR
R
Vtu
     
  1
2
21 R
R
tu
tu
R
tu
R
tu
i
e
sse 
Aplicaciones de los AO 
 Amplificador no inversor 
 
 
 Amplificador diferencial 
-
-
3
2
7
4
6
1
5
+
-
V
+
V
-
OUT
OS1
OS2
R1
R1
R2
R2
uA
uB
uS
       
  1
2
21
1
R
R
tu
tu
R
tutu
R
tu
i
e
sese 


 ABs
ABs
uu
R
R
u
R
R
A
R
R
RR
R
R
R
A
uAuAu





















1
2
1
2
1
2
21
2
1
2
1
2
1
21
Problema de la práctica del laboratorio 
Alimentando los AOs con  12V y utilizando una excitación de señal cuadrada 
de 1V de amplitud y frecuencia 100 Hz, con un nivel de continua nulo, 
experimentar con los circuitos de las figuras: 
1. Para el circuito de la figura izquierda y con la excitación mencionada, 
obtener las formas de ondas tanto de ue como de us. Utilizar los valores 
de R=100k, C=10 nF, R1=33k y R2=33k 
2. Lo mismo que en 1) pero con R2 = 68k 
3. Realizando el montaje de la figura derecha y con la excitación de señal 
cuadrada, representar la señal de salida, us, con R2 = 33k y R2=68k. 
Valores de R3=33k y R4=68k. 
Problema de la práctica del laboratorio 
ScopePulse
Generator
2
1e-3s+1
Av2
2
1e-3s+1
Av1
2
A.D.
Examen final de julio 2016 
Dibujar el diagrama a bloques y demostrar que la ganancia 
de la cadena abierta es: 
 
3
3
2 10
1 10
GH
s s 


 
Filtro paso alto de segundo orden de Sallen-Key 
Determinar la ganancia de tensión del filtro con AO ideal, y 
habiendo definido como C el valor de C3 y C4. 
>> C3=1e-8; 
>> C4=C3; 
>> r7=33e3; 
>> r8=680e3; 
>> av=tf([C3*C4*r7*r8 0 0],[C3*C4*r7*r8 C3*r7+C4*r7 1]) 
>>bode(av) 
-80
-60
-40
-20
0
20
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
1
10
2
10
3
10
4
0
45
90
135
180
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Filtro paso alto de segundo orden de Sallen-Key 
4.2 Sistemas mecánicos 
Leyes de Newton 
Todo cuerpo persevera en su estado de 
reposo o movimiento uniforme y rectilíneo 
a no ser que sea obligado a cambiar su 
estado por fuerzas impresas sobre él. 
El cambio de movimiento es proporcional a 
la fuerza motriz impresa y ocurre según la 
línea recta a lo largo de la cual aquella 
fuerza se imprime. 
Con toda acción ocurre siempre una 
reacción igual y contraria: o sea, las 
acciones mutuas de dos cuerpos siempre 
son iguales y dirigidas en sentido opuesto. 
4.2 Sistemas mecánicos 
 Movimiento de traslación 
 Masa 
 Resorte lineal 
 Fricción (mov.traslación) Mf(t)
y(t)
 tyMtf
..
)( 
f1
f2
M
a

f(t)
y(t)
 tkytf )(
 y 
f(t) = B y  
 tyBtf )(
Movimiento de traslación 
 Sistemas de unidades 
 
 
 
 
 Sistemas análogos 
Magnitud Física S.I. 
Fuerza 
Masa 
k 
B 
N 
kg 
N/m 
Ns/m 
movimiento de traslación sistema eléctrico 
fuerza corriente 
desplazamiento potencial 
Ejemplo 4.1 
 Obtener la relación causa efecto entre la fuerza aplicada a un carro sujeto a 
la pared a través de un muelle y el desplazamiento que se produce en éste. 
La masa del carro es M, el coeficiente del resorte es K y el rozamiento 
entre las ruedas y la superficie se modela con el coeficiente de rozamiento 
B. Considere condiciones iniciales nulas. 
B
K
X(t)
f (t)
)()()()(
...
txBtKxtxMtF 
KBsMssF
sX
sG


2
1
)(
)(
)(
Ejemplo 4.2 
El esquema de la figura muestra el comportamiento dinámico de una prensa hidráulica. 
Al dar presión al fluido, P, transmite una fuerza sobre el pistón que al desplazarse 
comprimirá al cuerpo. Este efecto se modela por un muelle, cuya constante es kp. 
Además, se considera despreciable la masa del cuerpo a comprimir respecto al de la 
prensa. No así la masa del pistón, al que se le asigna por la letra M. La dinámica del 
tablero, donde se apoya el cuerpo, es modelada por cuatro amortiguadores de 
constante k. Se pide: 
1. Ecuaciones físicas del sistemas 
2. Linealizar el sistema cuando la presión del fluido sea nula, P=0. 
3. Diagrama a bloques 
4. FDT entre la causa, variación de la presión, y el efecto, grado de compresión del cuerpo. 
M
A
P Rozamiento viscoso
B
y
k
k
k
k
k P
Masa despreciable
x
Ejemplo 4.2 
1. Ecuaciones físicas del sistemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Linealizar el sistema cuando la presión del fluido sea nula, P=0. 
 
 
 
M
A
P Rozamiento viscoso
B
y
k
k
k
k
k P
Masa despreciable
x
  000 4kyyxKMg p 









kk
Mgy
k
Mg
x
k
Mg
y
pp 4
11
;
4
000
          tytxktxBtxMMgtAp P  
     tkytytxk p 4)( 
       
      tztxktzk
tzktxBtxMtpA
p
p


4

Ejemplo 4.2 
3. Diagrama a bloques 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. FDT entre la causa, variación de la presión, y el efecto, grado de compresión 
del cuerpo. 
M
A
P Rozamiento viscoso
B
y
k
k
k
k
k P
Masa despreciable
x
Dz(s)Dp(s)
4*k
kp+4*k
kp
A
1
M.s +B.s2
     
   sx
kk
k
sz
sxBsMsszkspA
p
p




4
4
)(2
 
     pp kkkkBsMs
k
A
sp
sz




44
4
2
Problema 3: Dinámica de un micrófono 
 El funcionamiento de un micrófono dinámico se basa en el desplazamiento espacial 
producido por una bobina dentro de un campo magnético. Hay un diafragma que se 
desplaza con la fuerza mecánica provocada por las ondas sonoras. Este desplazamiento 
se transmite a la ferrita de la bobina. La fuerza electromotriz generada en la bobina es 
proporcional a la inducción de campo, B, al número de espiras, n, a la longitud de 
espiras, l, y al desplazamiento relativo de la bobina: 
 
Se considera el modelo simplificado unidimensional de fuerzas adjuntado, donde Md es 
la masa del diafragma y Mb la masa de la bobina. En el desplazamiento horizontal del 
diafragma hacia la bobina, se conjetura un rozamiento viscoso, B1 y un 
amortiguamiento, k1. La bobina está separada de la estructura a través de un 
amortiguador, k2. Se pide: 
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que definan la dinámica del sistema. 
2. Diagrama de bloques. 
3. Función de transferencia entre la fuerza sonora y la tensión de salida. 
N
S
Diafragma
Md
Bobina
Mb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentes
N
S
Diafragma
Md
Bobina
Mb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentes
 
  
dt
tyd
lnBte  2
Problema 3: Dinámica de un micrófono 
 
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferencialesque definan la dinámica 
del sistema. 
N
S
Diafragma
Md
Bobina
Mb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentes
N
S
Diafragma
Md
Bobina
Mb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentes
f(t)
B1
x(t) y(t)
k2
Bobina
Mb
Diafragma
Md
k1
f(t)
B1
x(t) y(t)
k2
Bobina
Mb
Diafragma
Md
k1
            





 tytxBtyGxktxMtf d
..
11
..

            tyktyMtytxBtytxk b 2
....
11 






     tyktyBnlte
..
2 
Problema 3: Dinámica de un micrófono 
 
2. Diagrama de bloques. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Función de transferencia entre la fuerza sonora y la tensión de salida. 
 
N
S
Diafragma
Md
Bobina
Mb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentes
N
S
Diafragma
Md
Bobina
Mb
k1 k2
B1
f(t)
x(t)
y(t)
e(t)
Imanes permanentes
            tyktyMtytxBtytxk b 2
....
11 






     tyktyBnlte
..
2 
f(s) e(s)
B1*s+k1
B1.s+k1
Mb.s +B1.s+k1+k22
k*s
1
Md.s +B1.s+k12
 
 
 
     2121
2
21
3
1
4
11
*
.kkskBsMkMMksMMBsMM
ksBsk
sf
se
dbdbdbd 


            





 tytxBtytxktxMtf d
..
11
..

Problema 5: Sistema de suspensión 
En la figura derecha se muestra un modelo de suspensión de vehículos de 
tracción. Haciendo suposiciones de simplificación y de reparto del peso 
del coche sobre las cuatro ruedas, se ha obtenido un segundo modelo. Se 
pide: 
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la 
dinámica del modelo simplificado. 
2. Función de transferencia entre el desnivel del pavimento (causa), Y(s), 
con el desplazamiento del chasis (efecto), X(s). 
Datos 
El peso del vehículo es de una tonelada y 
las características del amortiguador están 
dadas por B = 500 Ns/m y K = 1000 N/m. 
M
x
y
M
x
y
Problema 5: Sistema de suspensión 
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica 
del modelo simplificado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Función de transferencia entre el desnivel del pavimento (causa), Y(s), 
con el desplazamiento del chasis (efecto), X(s). 
M
x
y
M
x
y
           
           n
Mg Mx t K x t y t B x t y t
f t K x t y t B x t y t
    
   
 
  22 25.05.01
5.01
ss
s
KBsMs
BsK
sy
sx








Problema 5: Sistema de suspensión 
M
x
y
M
x
y
 
  22 25.05.01
5.01
ss
s
KBsMs
BsK
sy
sx








0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
A
m
p
lit
u
d
e
Control de depósitos (I) 
Para la dinámica de los tanques de agua se considera los caudales (Qi), la sección de los depósitos 
(Ai) y de las tuberías de escape (Si), junto los niveles de altura (Hi): 
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que defina la dinámica del sistema. 
2. Linealización del modelo alrededor de un punto de reposo. 
3. Determinar la relación que se establece entre las alturas de los depósitos (Hi) y la secciones de 
las tuberías de escape (Si) 
4. Modelo incremental que relacione la variación del caudal de entrada con el caudal de salida. 
5. Diagrama a bloques del modelo incremental. 
 
Control de depósitos (II) Primer parcial 15/16 
Movimientos de rotación 
 Momento de inercia 
 
 
 Resorte torsional 
 
 
 Fricción viscosa (mov. rotacional) 
M
T

B
T
     tBtBtT
.
 
   tktT 
       
 cilindro inercia de Momento
2
1 2
2
..
MrJ
rmJtJtJtJtT
i
ii

  
Movimientos de rotación 
 Sistemas de unidades 
 
 
 
 Analogías 
Mag.Física SI 
T 
J 
k 
B 
Nm 
kg m2 
Nm/rad 
Nm s/rad 
movimiento de rotación sistema eléctrico 
Par mecánico corriente 
Desplazamiento angular potencial 
Ejemplo 
Obtener el periodo de oscilación de un péndulo simple (puede apoyarse en la 
excitación de un pulso de fuerza dado a un péndulo en reposo). 
 
 
 
 
M 
l 
Conversión entre movimientos de traslación y de rotación 
 Cinta transportadora 
 
 
 
 
 Cremalleras 

M
M
r
M
M
r
     tMrtT
..
2 
Conversión entre movimientos y trenes 
 Husillos 
 
 
 
 
 
 Trenes de engranajes 
 Adecuar el par y la velocidad angular a la carga 
M
rL 2
M
   
..
2
2
t
L
MtT 
 














Trenes de engranajes 
El número de dientes sobre la superficie de los engranajes, N1 y N2, es proporcional a 
los radios r1 y r2: 
 
 
La distancia recorrida por la periferia de cada engranaje es la misma. Igualando las 
circunferencias de ambas según el desplazamiento angular dado para un tiempo 
determinado: 
 
 
La potencia transmitida en la entrada en un engranaje es igual al que se da en la salida, 
ya que se supone que no hay pérdidas: 
1 2
1 2
r r
N N

    2211 rtrt  
       tTttTt 2211  
Modelo del tren de engranajes 
 Transformador mecánico 
JC
B2
mT
1B
1T 2
T
2
1
Modelo del tren de engranajes 
 Transformador mecánico 
JC
B2
mT
1B
1T 2
T
2
1
     tJeqtBeqtT
N
N
JJeq
N
N
BBBeq
m
C
112
2
1
2
2
1
21
  





















 
 
 
 
 
 t
t
N
N
r
r
t
t
tT
tT
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1





Cadenas mecánicas 
Las cadenas permiten transmitir la energía mecánica a mayor distancia que los 
trenes de engranajes. 
Sin embargo, son menos precisas en su transmisión y tienen mayores pérdidas. 

1,1 T 2,2 T
1r
2r
       ttTttT 2211  
    2211 rtrt  
Palancas 
Los sistemas de palanca transmiten movimientos de traslación 
aproximadamente. 

x1
f1
l1
l2
f2
x2
 
 
 
  1
2
1
2
2
1
l
l
tx
tx
tf
tf

       txtftxtf 2211 
    2211 ltfltf 
“Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo” 
 Arquímedes (287 a. C. – c. 212 a. C) 
Problema 4: Dinámica de un telégrafo 
La figura muestra el modelo simplificado de un telégrafo. Ante la recepción de 
un pulso eléctrico se produce una fuerza magnética proporcional a la 
corriente de su bobina, originando un desplazamiento en la palanca que 
provoca el movimiento de la masa del martillo, el cual choca contra una 
campana, produciendo una onda sonora. Se pide: 
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que modele la dinámica del 
telégrafo. 
2. Diagrama a bloques y función de transferencia entre el efecto, x2(s), y la 
causa, e(s). 
l1 l2
M1
B1
R, L
M2
K2 B2
x1 x2
e(t)
l1 l2
M1
B1
R, L
M2
K2 B2
x1 x2
e(t)
Problema 4: Dinámica de un telégrafo 
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que 
modele la dinámica del telégrafo. 
 
 
 
 
 
2. Diagrama a bloques y función de transferencia entre el 
efecto, x2(s), y la causa, e(s). 
l1 l2
M1
B1
R, L
M2
K2 B2
x1 x2
e(t)
l1 l2
M1
B1
R, L
M2
K2 B2
x1 x2
e(t)
         
       
       
   
   
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2
;
;
;
p
r
r
r r
e t Ri t Li t f t k i t
f t M g M x t B x t f t
f t M g M x t B x t k x t
x t x t
f t l f t l
l l
  
   
   
 
 
 
 
2
21 2 1 2 2
1 2 1 2 2
2 1 2 1 1
pkx s
e s l l l l l
R sL M M s B B s k
l l l l l


     
         
    
Problema 6: Control sobre un péndulo 
La siguiente figura representa un péndulo controlado por medio de un electroimán. Un 
complejo sistema electromecánico permite ejercer una fuera horizontal sobre la barra 
del péndulo en el punto P proporcional a la intensidad que recorre la bobina: 
 
El ángulo girado por el péndulo respecto de la vertical es medido por medio del 
potenciómetro lineal mostrado en la figura, de tal forma que cuando el ángulo es de 90º 
la medida es de 10 V y cuando es de -90º la medida es de -10 v. El montaje del 
potenciómetro introduce unrozamiento de constante B= .El sistema electrónico 
contiene el amplificador de error y un driver de potencia, de forma que la tensión de 
salida es amplificada k veces de la tensión de error. Teniendo en cuenta los datos 
suministrados en la figura, se pide: 
 
1. Ecuaciones físicas del sistema. 
2. Linealizar el sistema respecto del punto .Justificar 
que: 
 
 
3. Considérese para este apartado y el siguiente que el valor 
de K es 10. Diagrama a bloques y función de transferencia 
4. ¿Cómo evoluciona el ángulo si se introduce una tensión de 
referencia de +4 Voltios como valor absoluto?. 
º300 
 
  547.113
173.0
2 



sssF
s
  )(2)( titF LAN 
 
radian
smN 
3
Problema 6: Control sobre un péndulo 
1. Ecuaciones físicas del sistema 
 
 
 
 
 
 
2. Linealizar el sistema respecto del punto . º300 
)(
20
)( ttV 

 )(()( VVKtV refe 
)(
)(
)( tRi
dt
tdi
LtV L
L
e 
)(2)( titF L
dt
td
BsenMgl
dt
td
MlltF
)()(
cos)( 12
2
2
12



 
Potenciómetro: 
Electroimán: 
Péndulo: 
Control: 
.47,3
44.1
43,14
87,28
.33,3
0
0
0
VV
vV
Ai
NF
VV
ref
e
Lo
o





F
ss
lsenFlF
iF
V
s
i
VVV
V
L
eL
refe










547,113
173,0
330cos103030cos
2
1,0
1
)(10
33.6
2
202






Problema 6: Control sobre un péndulo 
Problema 10: Robot limpiador 
El robot limpiador de fachadas mostrado en la figura, se compone de dos grandes 
elementos: por un lado un carrier comercial en lo alto de la fachada, y por otro el 
sistema de limpieza robótico, propiamente dicho, que sustituye a la canasta en la que 
habitualmente se sitúan los limpiadores. Se desea disminuir las oscilaciones que en el 
robot provocan los desplazamientos a lo largo del eje X del carrier. Para ello se ha 
supuesto el conocimiento de la longitud del cable L y de la masa del robot M, ambos 
datos fácilmente obtenibles por medio de sensores. Analizando la dinámica del sistema 
y siguiendo el sistema de referencias mostrado en el esquema de la figura, se ha llegado 
a la siguiente relación: 
)()()(sin
2
2
tX
dt
d
BtX
dt
d
MtMg RR 
y
x
z
y
x
z
 
 
Mg 
Xc(t) 
Xr(t) 
L 
)(t 
Origen de X 
Demostrar que la función de 
transferencia que relaciona el 
movimiento en abscisas del robot con el 
movimiento en abscisas del carrier es: 
Datos: 
m
Ns
s
m BKgMmLg 3540025.38.9 2 
 
01.30875.0
01.3
)(
)(
)(
2 




sssX
sX
sG
C
R
Sistemas electromecánicos 
 Dínamo tacométricas 
 
 
 
 Encoders 
M
DT

m
+
   tktu mDTDT 
900 90
0
Rotación SMR Rotación SCMR
A
B
Fundamento del motor de continua 
 Fuerza en una espira (Ley de Lorentz) 
 
 Par del conjunto de espiras 
 
 
 Fuerza contraelectromotriz (Ley de Lenz) 
aim ikrFT  1
mb k
dt
d
Ne 

 2
 
Modelo de motor de continua de imán permanente 
 Perdidas y conversión de energía eléctrica en energía mecánica 
 
 
 Par mecánico proporcional a la corriente de armadura 
 
 
 Movimiento de rotación 
 
 
 Realimentación del motor 
 
M 
i a L a R a 
e b 
J m , B m 
u e 
)(
)(
)()( te
dt
tdi
LtiRtu b
a
aaae 
( ) ( )m p aT t k i t
dt
d
B
dt
d
JT mm
m
mm


2
2
)()( tkte mbb 
 
Modelo de motor de continua de imán permanente 
 Relación entre kp y kb 
 
M 
i a L a R a 
e b 
J m , B m 
u e 
mmbam TeiP .. 
. . . . . . .a b p a m a b m p a mi e k i i k k i    
   . / . /p bk k N m A V s rad 
Problema 9: Modelado de una cinta transportadora 
Para la traslación horizontal de una cámara de vídeo pan-tilt se ha 
utilizado una cinta transportadora. En el control se ha utilizado un motor 
de continua y una reductora. Se pide: 
1. Diagrama de bloques del sistema 
2. FDT entre el desplazamiento de la cámara y la tensión en el motor. 
Datos: 
Motor: Resistencia de armadura = 7.94 , Inductancia 
equivalente del flujo disperso = 1.54 mH, 
Constante del par motor = 39.3 mNm/A., Constante de 
la fuerza contralectromotriz => 243 rpm/V, Momento de 
inercia del rotor= 26.6 gr cm2 
Tren de engranajes: relación de transmisión = 1:198 
Cinta transportadora: Radio de las poleas = 25 mm, 
Peso de la cámara= 1200 gr. Rozamiento viscoso 
equivalente de las poleas = 10-1 N.m.s/rad 
Problema 9: Modelado de una cinta transportadora 
 Diagrama a bloques 
M
1:197
cJ
JM
1
2
BC
ia LaRa
 
    17.755082
33.1211
1056.11011.21096.4
1096.4
3529
6







sssssu
sx
m

Examen del primer parcial (curso14/15) 
Examen del primer parcial 
Examen (julio 2017) 

Los parámetros asociados al sistema son los siguientes: 
𝑅 = 1Ω Resistencia del inducido del motor 
𝐾𝑝 = 0.15 𝑁𝑚 𝐴 Cte. de par del motor 
𝐾𝑒 = 0.15 𝑉 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠𝑒𝑔
−1 Cte. eléctrica del motor 
𝐽 = 0.01 𝐾𝑔 𝑚2 Inercia del motor 
𝑓 = 0.05 𝑁𝑚 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠𝑒𝑔−1 Fricción viscosa del eje del motor 
𝑛 = 100 Relación de reducción 
𝑟 = 0.08𝑚 Radio de enrollamiento de la polea 
𝑚 = 100𝐾𝑔 Masa a elevar 
𝜇 = 0.4 Coef. De fricción seca entre la masa m y la superficie 
𝛼 = 300 Angulo de inclinación de la rampa 
Se dispone de una dinamo tacométrica acoplada al eje del motor de ganancia 𝐾𝑤 = 0.08𝑉 𝑟𝑎𝑑 · 𝑠𝑒𝑔
−1 
Sistemas térmicos 
 Resistencia térmica 
 
 Capacitancia térmica 
 
 Magnitudes Analogías 
dq
dT
calordeflujoelencambio
atemperaturdediferencialaencambio
RTH 
THR
T
q


.
TCq TH mcCTH 
atemperaturlaencambio
almacenadocalorelencambio
CTH 
K
kcal
o
K
Julio
KWs 





/
Magnitudes físicas Sistema Internacional 
q 
T K 
c kcal/kg K 
RTH K/W 
CTH 






 kW
s
kJulio
o
s
kcal
Sistema térmico Sistema eléctrico 
Flujo de calor Corriente 
Temperaturas Potencial 
Resistencia térmica Resistencia eléctrica 
Inercia térmica Capacidad eléctrica 
Ejemplo 4.4 
 Modelar el comportamiento dinámico de un calentador de agua caliente. Obtener la 
FDT entre la potencia entregada al calentador y la diferencia de temperatura entre 
el agua caliente y la fría. 
 
 
 
 
 Si el cauda y la temperatura exterior son constantes 
 
fce
TH
aT
TTentragada TTcQ
R
TT
Tcmq 




 
 
.
 
 










cQ
R
sC
sq
sT
e
TH
TH
entregado
c

1
1
TT
Ta
Tf
Tc
Qe
Qs
TT
Ta
Tf
Tc
Qe
Qs
Examen enero 2016 
El esquema de la figura representa un calentador de agua. Siendo uTc la tensión del 
sensor de temperatura del agua caliente y uQg la tensión que se aplica a la 
electroválvula que regula el caudal de gas que le llega al quemador. Se pide: 
1. Determinar el conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales del calentador. 
Considérese proporcionales las relaciones entre las tensiones y los sensores o 
actuadores. La potencia del quemador es proporcional al caudal del gas. 
2. Obtener el diagrama a bloque del calentador, indicando la variable de entrada, de 
salida y las perturbaciones. 
 
Examen enero 2016 
Problema 3.4 
La figura representa el esquema simplificado de la calefacción de una habitación por medio de un 
radiador eléctrico. El radiador consiste en una resistencia R alimentada a V voltios situada en un 
baño de aceite de masa calorífica Mc y temperatura Tc. Posee una superficie Sc de coeficiente 
global de transmisión Uc hacia el aire. 
El aire de la habitación se encuentra a una temperatura Th y tiene una masa calorífica Mh. La 
temperatura exterior es Te. Las paredes tienen una superficie SP y un coeficiente global de 
transmisión UP. 
La temperatura de la habitación se mide con un termómetro situado cerca del radiador, por lo 
que su indicación Tm viene afectada ligeramente por él. Dicha medida se compara con una 
referencia Tr y la diferencia, amplificada con un ganancia K se lleva a la resistencia del radiador. 
 
 
   
2
1) 0.95 0.052) 3) 0.24 /
4)
5)
m h c
r m
c
c c c c h
h
h c c c h p p h e
T T T
V k T T q V R
dT
M q U S T T
dt
dT
M U S T T U S T T
dt
 
  
  
   
CcalMCcalM
CscalSUCscalSUCVkR
hc
ppcc
/º3000/º1000
º/33º/5.12/º5020


Control de temperatura de la habitación 
 
 
   
2
1) 0.95 0.05
2) 3) 0.24 /
4)
5)
m h c
r m
c
c c c c h
h
h c c c h p p h e
T T T
V k T T q V R
dT
M q U S T T
dt
dT
M U S T T U S T T
dt
 
  
  
   
 
 
     
CTCTCTscalqVV
TTSUTTSUTTSUq
RVqTTkVTTT
chm
ehpphoccchccc
mrchm
º8.56º5.19º21/480200
0)50)4
/24.0)3)205.095.0)1
0,0,0,00
0,0,0,,0
2
000,0,0,0,0.



            
              
           tTtTSUtTtTSUtTM
tTtTSUtqtTMtVRVtq
tTtTktVtTtTtT
ehpphccchh
hccccc
mrchm





)5
)4/224.0)3
)205.095.0)1
0
 
I. Determinar el punto de equilibrio (Tc,o y Th,0) en torno a Te,0 = 5ºC, Tr,0 =25ºC. 
 
II. Linealizar las ecuaciones en torno al punto de equilibrio. 
Control de temperatura de la habitación 
 
 
Las células Peltier 
 El efecto Peltier 
 
 
  sRC
R
sp
sT
R
T
dt
Td
Ctp
THf
TH
eTH
fe








1
  )()(
0
tiTtP pce 
 
El equipo Peltier 
Célula 
Peltier
Acondicionamiento






K
V
20
10
Amplificador Transconductivo
 mS100
 sucp  sip
 sT  suAcond