Ecuaciones diferenciales ordinárias

Vista previa del material en texto

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Renato Benazic
October 4, 2012
Prefacio
Renato Benazic
Introducción
Contenido
1 Problemas de valores iniciales 1
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Existencia y Unicidad de Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 El Teorema de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Soluciones Maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Dependencia de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Diferenciabilidad de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7 El Teorema de Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Sistemas Lineales con coeficientes constantes 41
2.1 Exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 El flujo asociado a una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Otras propiedades de la exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Conjugación entre campos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Atractores y Repulsores de Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6 Sistemas Lineales Hiperbólicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7 Estabilidad Estructural de Campos Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3 Sistemas Autónomos no lineales 71
3.1 Campos vectoriales y EDO’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 El Flujo Asociado a un Campo Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Foliación Asociada un Campo Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Conjugación de Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Introducción a la Teoŕıa Geométrica Local 85
4.1 Estructura local de los puntos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Singularidades Hiperbólicas de Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3 Conjuntos estable e inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4 Puntos fijos hiperbólicos de difeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3
4.5 Operadores lineales y lipschitzianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6 El Teorema de Grobman-Hartman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.7 El Criterio de Liapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Caṕıtulo 1
Problemas de valores iniciales
1.1 Introducción
A lo largo del presente caṕıtulo, para n ≥ 1 consideramos Rn+1 como el conjunto de pares ordenados
(t, x) tal que t es un número real (que representa a la variable temporal) y x ∈ Rn es un vector (que
representa a las variables espaciales), es decir
Rn+1 = R× Rn = {(t, x); t ∈ R y x ∈ Rn}.
También, consideraremos conjuntos abiertos U ⊆ Rn+1, los cuales no necesariamente son productos de
abiertos.
Definición 1.1.1 Sean U ⊆ Rn+1 abierto y f : U → Rn función.
1. Una Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O.) de primer orden asociada a f , es una expresión del
tipo
x′ = f(t, x) (1.1)
2. Una solución de la E.D.O. (1.1) es una función diferenciable φ : J → Rn, donde J ⊆ R es un
intervalo, tal que
(a) (t, φ(t)) ∈ U , ∀ t ∈ J .
(b) φ′(t) = f(t, φ(t)), ∀ t ∈ J .
Observaciones:
1. Cuando J no es un intervalo abierto, φ′(t) denotará la derivada lateral correspondiente en el caso
que t fuese un extremo de J .
1
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2
2. Si f = (f1, f2, . . . , fn) y φ = (φ1, φ2, . . . , φn) entonces φ es solución de la E.D.O. (1.1) si y sólo si
(t, φ1(t), φ2(t), . . . , φn(t)) ∈ U , para todo t ∈ J y∣∣∣∣∣∣∣∣∣
φ′1(t) = f1(t, φ1(t), φ2(t), . . . , φn(t))
φ′2(t) = f2(t, φ1(t), φ2(t), . . . , φn(t))
...
...
φ′n(t) = fn(t, φ1(t), φ2(t), . . . , φn(t))
∀ t ∈ J
3. Si f : U → Rn es continua entonces toda solución φ : J → Rn de la E.D.O. (1.1) es de clase C1.
Ejemplo 1.1.1 Sean A : J → Rn×n y b : J → Rn×1 funciones matriciales definidas en el intervalo
abierto J , U = J × Rn y f : U → Rn definida por f(t, x) = A(t)x + b(t). La E.D.O. asociada a esta
función es llamada lineal no homogénea con coeficientes variables.
Ejemplo 1.1.2 Sea U0 ⊆ Rn un abierto y X : U0 → Rn. Hacemos U = R× U0 y definimos f : U → Rn
por f(t, x) = X(x). Es claro que U es un abierto de Rn+1 y f es una función definida en un abierto de
Rn+1. La E.D.O. asociada a esta función es x′ = X(x) la cual es llamada E.D.O. autónoma.
Ejemplo 1.1.3 Sea J ⊆ R un intervalo abierto y h : J → R una función integrable. Hacemos U = I×R
y definimos f : U → R por f(t, x) = h(t). Es claro que U es un abierto de R2 y f es una función
integrable en U . La E.D.O. asociada a esta función es x′ = h(t) la cual, por el Teorema Fundamental del
Cálculo, tiene solución φ : J → R dada por
φ(t) =
∫ t
h(s)ds.
Observe que φ no es la única solución de esta E.D.O., en efecto, si defnimos ψ : J → R como
ψ(t) = φ(t) + c
donde c es cualquier constante real, entonces ψ también es solución de la E.D.O. dada. Por tanto ella
tiene infinitas soluciones Sin embargo, si exigimos que que la gráfica de la función solución pase por un
punto determinado del plano, por ejemplo (t0, x0) (donde t0 ∈ J y x0 ∈ R); entonces el problema∣∣∣∣ x′ = h(t)x(t0) = x0
tiene como solución única a la función φ : J → R definida por
φ(t) = φ(t0) +
∫ t
t0
h(s)ds.
El ejemplo anterior, motiva la siguiente definición.
Definición 1.1.2 Sean U ⊆ Rn+1 un abierto, f : U → Rn función y (t0, x0) ∈ U .
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 3
1. El Problema de Valor Inicial (P.V.I.) o Problema de Cauchy asociado a f , es dado por:
∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0 (1.2)
2. Una solución del P.V.I. (1.2) es una función φ : J → Rn diferenciable en el intervalo J ⊆ R, tal que
(a) t0 ∈ J .
(b) (t, φ(t)) ∈ U , ∀ t ∈ J .
(c) φ′(t) = f(t, φ(t)), ∀ t ∈ J .
(d) φ(t0) = x0
Hasta el momento sólo hemos visto el caso en que la función (o funciones) incógnita están afectadas
por una derivación, sin embargo, como ya el lector debe haber estudiado en un primer curso de Ecuaciones
Diferenciales, en muchas aplicaciones se presentan modelos matemáticos en donde la función incógnita
está afectada por una doble derivada (como ocurre en f́ısica cuando tenemos como dato la aceleración) e
inclusive por derivadas de orden más alto. Tales ecuaciones son llamadas de orden superior.
Definición 1.1.3 Sea U ⊆ Rn+1 y f : U → R. La Ecuación Diferencial Ordinaria de orden n, asociada
a la función f es una expresión del tipo
x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)) (1.3)
en donde t es una variable independiente que denota al tiempo, x depende de t y x(j) =
djx
dtj
, (1 ≤ j ≤ n).
Como ejemplo consideremos la E.D.O. de segundo orden
mx′′ + cx′ + kx = cos wt (1.4)
la cual describe el movimiento de una masa m suspendida de un resorte de constante de elasticidad k,
sujeta a un mecanismo que ejerce una amortiguación constante igual a c y tal que se ejerce sobre la masa
una fuerza exterior periódica cos wt. En este caso f es una función definida en todo R3 y su regla de
correspondencia viene dada por
f(t, x1, x2) =
1
m
cos wt− k
m
x1 −
c
m
x2.
Un caso interesante de la E.D.O. (1.3) ocurre cuando la función f : J × Rn → R es de la forma:
f(t, x1, . . . , xn) = b(t)− a1(t)xn − a2(t)xn−1 − · · · − an(t)x1 (1.5)
en donde a1, a2, . . . , an y b son funciones a valores reales definidas en un mismo intervalo J ⊆ R y
x1, x2, . . . , xn son variables reales. La E.D.O. de orden n asociada a la función (1.5) es
x(n) + a1(t)x
(n−1)+ · · ·+ an−1(t)x′ + an(t)x = b(t), (1.6)
la cual se llama Ecuación Lineal no Homogénea de orden n.
Como ocurre con los sistemas, para las E.D.O.’s de orden n existe también un concepto de Problema
de Valor Inicial y el de su correspondiente solución.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 4
Definición 1.1.4 Sean U ⊆ Rn+1, f : U → R y (t0, x00, x10, . . . , xn−10 ) ∈ U .
1. El Problema de Valores Iniciales (P.V.I.) o Problema de Cauchy asociado a f es dado por∣∣∣∣∣∣
x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1))
x(t0) = x
0
0, x
′(t0) = x
1
0, . . . , x
(n−1)(t0) = x
n−1
0 .
(1.7)
2. Una solución del P.V.I. (1.7) es una función ϕ : J → R n-veces diferenciable en el intervalo J ⊆ R
tal que:
(a) t0 ∈ J .
(b)
(
t, ϕ(t), ϕ′(t), . . . , ϕ(n−1)(t)
)
∈ U , ∀ t ∈ J .
(c) ϕ(n)(t) = f(t, ϕ(t), ϕ′(t), . . . , ϕ(n−1)(t)), ∀ t ∈ J .
(d) ϕ(t0) = x
0
0, ϕ
′(t0) = x
1
0, . . . , ϕ
(n−1)(t0) = x
n−1
0 .
Como mostramos a continuación, existe una ı́ntima relación entre Ecuaciones Diferenciales de orden
n y sistemas de E.D.O.’s. En efecto, consideremos el P.V.I. (1.7) y definamos la función F : U → Rn
como
F (t, x1, x2, . . . , xn) = (x2, . . . , xn, f(t, x1, x2, . . . , xn)). (1.8)
claramente F es continua, denotemos x0 = (x
0
0, x
1
0, . . . , x
n−1
0 ) ∈ Rn Observe que el P.V.I. asociado a la
función F es ∣∣∣∣ x′ = F (t, x)x(t0) = x0 (1.9)
Proposición 1.1.1 Con las notaciones anteriores, existe una correspondencia biuńıvoca entre las solu-
ciones del P.V.I. de orden n (1.7) y las soluciones del P.V.I. (1.9).
Demostración. Sea ϕ : J → R solución del P.V.I. de orden n (1.7). Consideremos φ : J → Rn definida
por
φ(t) = (ϕ(t), ϕ′(t), . . . , ϕ(n−1)(t))
Claramente φ es diferenciable, (t, φ(t)) ∈ U , ∀ t ∈ J y
φ′(t) =
(
ϕ′(t), ϕ′′(t), . . . , ϕ(n)(t)
)
=
(
ϕ′(t), ϕ′′(t), . . . , f(t, ϕ(t), ϕ′(t), . . . , ϕ(n−1)(t))
)
= F
(
t, ϕ(t), ϕ′(t), . . . , ϕ(n−1)(t)
)
= F (t, φ(t))
luego ϕ es solución del P.V.I. (1.9).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 5
Rećıprocamente, si φ = (φ1, φ2, . . . , φn) : J → Rn es solución (1.9), entonces (t, φ(t)) ∈ U y φ′(t) =
F (t, φ(t)), ∀ t ∈ J , luego
(φ′1(t), φ
′
2(t), . . . , φ
′
n(t)) = (φ2(t), φ3(t), . . . , φn(t), f(t, φ1(t), . . . , φn(t)))
lo cual implica que φ1 : J → R es n-veces diferenciable en J y
φ
(n)
1 (t) = φ
′
n(t) = f
(
t, φ1(t), . . . , φ
(n−1)
1 (t)
)
es decir φ1 : J → R es solución de (1.7). �
Ejemplo 1.1.4 Vamos a transformar la E.D.O de segundo orden (1.4) en un sistema, siguiendo las
notaciones de la proposición anterior.
Sabemos que f(t, x1, x2) =
1
m
cos wt− k
m
x1 −
c
m
x2, luego
F (t, x1, x2) =
(
x2,
1
m
cos wt− k
m
x1 −
c
m
x2
)
de esta manera, llegamos al sistema∣∣∣∣∣ x
′
1 = x2
x′2 =
1
m
cos wt− k
m
x1 −
c
m
x2
�
Ejemplo 1.1.5 Dado P.V.I. lineal no homogéneo de orden n∣∣∣∣∣∣
x(n) = b(t)− a1(t)x(n−1) − · · · − an−1(t)x′ − an(t)x
x(t0) = x
0
0, x
′(t0) = x
1
0, . . . , x
(n−1)(t0) = x
n−1
0 .
por un procedimiento similar al ejemplo anterior, llegamos al sistema lineal de primer orden∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x′1 = x2, x1(t0) = x
0
0
x′2 = x3, x2(t0) = x
1
0
...
...
x′n−1 = xn, xn−1(t0) = x
n−2
0
x′n = b(t)− a1(t)xn − · · · − an(t)x1, xn(t0) = xn−10
�
A continuación, definiremos el concepto de ecuación integral.
Definición 1.1.5 Sean U ⊆ Rn+1 abierto, f : U → Rn función y (t0, x0) ∈ U .
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 6
1. Una ecuación integral asociada a la función matricial f es una expresión del tipo
x(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, x(s))ds (1.10)
2. Una solución de la ecuación integral (1.10) es una función continua ψ : J → Rn tal que (t, ψ(t)) ∈ U ,
∀ t ∈ J y
ψ(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, ψ(s))ds, ∀ t ∈ J
Observación: Si f : U → Rn es una función continua, toda solución ψ : J → Rn de la ecuación integral
(1.10) es de clase C1 en J .
Resolver el P.V.I. (1.2) es equivalente a resolver la Ecuación Integral (1.10), más espećıficamente,
tenemos el siguiente resultado.
Proposición 1.1.2 Sea U ⊆ Rn+1 abierto, f : U → Rn continua y (t0, x0) ∈ U . Toda solución del P.V.I.∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0
es solución de la ecuación integral (1.10) y rećıprocamente.
Demostración. Sea φ solución del P.V.I. (1.11) entonces φ : J → Rn es una función diferenciable tal
que (t, φ(t)) ∈ U , ∀ t ∈ J , φ′(t) = f(t, φ(t)), ∀ t ∈ J y φ(t0) = x0. Observe que de la continuidad
de la función f se deduce que φ es de clase C1. Dado t ∈ J (fijo, arbitrario), por el segundo teorema
fundamental del cálculo tenemos:
φ(t)− φ(t0) =
∫ t
t0
φ′(s)ds =
∫ t
t0
f(s, φ(s))ds,
luego
φ(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, φ(s))ds, ∀ t ∈ J,
es decir φ es solución de la ecuación integral (1.10). Rećıprocamente, sea ψ solución de la ecuación
integral (1.10), entonces (t, ψ(t)) ∈ U , ∀ t ∈ J y
ψ(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, ψ(s)), ∀ t ∈ J,
como ψ es diferenciable, del primer teorema fundamental del cálculo se sigue ψ′(t) = f(t, ψ(t)), ∀ t ∈ J ,
además es claro que ψ(t0) = x0. De esta manera ψ solución del P.V.I. (1.11). �
La ventaja de tener la ecuación integral (1.10) en vez del P.V.I. (1.11) es que la primera es muy útil para
hacer acotaciones, no sucediendo lo mismo con la segunda, esto se debe a que las integrales “respetan”
la relaciones de orden mientras que la derivada no, por ejemplo si tenemos dos funciones diferenciables
f, g : [a, b] → R tales que f(t) ≤ g(t), ∀ t ∈ [a, b], entonces se cumple que
∫ b
a
f(t)dt ≤
∫ b
a
g(t)dt, pero no
se puede asegurar que f ′(t) ≤ g′(t).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 7
1.2 Existencia y Unicidad de Soluciones
En la presente sección, consideramos la siguiente norma de Rn+1 = R× Rn:
|(t, x)| = max{|t|, |x|}
donde |t| es el valor absoluto de t ∈ R y |x| es la norma euclidiana de x ∈ Rn.
En lo sucesivo, denotaremos por Br(x0) ⊆ Rn (resp. Br[x0] ⊆ Rn) a la bola abierta (resp. cerrada)
centrado en z0 ∈ Rn y de radio r > 0, es decir
Br(x0) = {x ∈ Rn; |x− x0| < r} y Br[x0] = {x ∈ Rn; |x− x0| ≤ r}
En el caso de la recta, denotaremos Ir[x0] = [x0 − r, x0 + r] y Ir(x0) = ]x0 − r, x0 + r[ .
Definición 1.2.1 Sea U ⊆ Rn+1 un abierto y f : U → Rn una función.
1. Decimos que f es Lipschitz con respecto a las variables espaciales de U si y sólo si existe una
constante C > 0 tal que
|f(t, x)− f(t, y)| ≤ C|x− y|; ∀ (t, x), (t, y) ∈ U
2. Decimos que f es localmente Lipschitz con respecto a las variables espaciales de U si y sólo si para
cualquier (t0, x0) ∈ U , existen a, b > 0 tales que Ia(t0)×Bb(x0) ⊆ U y la restricción f
∣∣∣∣
Ia(t0)×Bb(x0)
:
Ia(t0)×Bb(x0) → Rn es Lipschitz con respecto a las variables espaciales de Ia(t0)×Bb(x0).
Observaciones:
1. Si f : U → Rn es Lipschitz con respecto a las variables espaciales de U , entonces el conjunto{
|f(t, x)− f(t, y)|
|x− y|
; (t, x), (t, y) ∈ U, x ̸= y
}
⊆ R
es acotado superiormente. El supremo de este conjunto es llamado constante de Lipschitz de f con
respecto a las variables espaciales de U y será denotado por Lip2(f), es decir
Lip2(f) = sup
{
|f(t, x)− f(t, y)|
|x− y|
; (t, x), (t, y) ∈ U, x ̸= y
}
.
Se sigue que
|f(t, x)− f(t, y)| ≤ Lip2(f)|x− y|, ∀ (t, x), (t, y) ∈ U.
2. Si f : U → Rn es localmente Lipschitz con respecto a las variables espaciales de U , entonces la
constante de Lipschitz de f
∣∣∣∣
Ia(t0)×Bb(x0)
depende de la vecindad Ia(t0)×Bb(x0).
A continuación, definiremos el concepto de función de clase C1 con respecto a las variables espaciales.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 8
Definición 1.2.2 Sea U ⊆ Rn+1 un abierto y f = (f1, . . . , fn) : U → Rn. Decimos que f es de clase C1
con respecto a las variables espaciales si y sólo si, se cumplen las siguientes condiciones:
1. Para todo (t, x) ∈ U , existen las derivadas parciales ∂fi
∂xj
(t, x), ∀ 1 ≤ i, j ≤ n.
2. Para todo 1 ≤ i, j ≤ n las funciones ∂fi
∂xj
: U → R son continuas en U .
En caso afirmativo, denotamos
∂2f(t, x) =
∂(f1, f2 . . . , fn)
∂(x1, x2, . . . , xn)
(t, x) =

∂f1
∂x1
(t, x)
∂f1
∂x2
(t, x) . . .
∂f1
∂xn
(t, x)
∂f2
∂x1
(t, x)
∂f2
∂x2
(t, x) . . .
∂f2
∂xn
(t, x)
...
...
...∂fn
∂x1
(t, x)
∂fn
∂x2
(t, x) . . .
∂fn
∂xn
(t, x)

Ejemplo 1.2.1 Sea
f : R2 → R
(t, x) 7→ f(t, x) = tx
1 + t2 + x2
Dado (t, x) ∈ R2 se tiene que
∂f
∂x
(t, x) =
(1 + t2 − x2)t
(1 + t2 + x2)2
Conclúımos que f es de clase C con respecto a la variable espacial y que
∂2f(t, x) =
(1 + t2 − x2)t
(1 + t2 + x2)2
Ejemplo 1.2.2 Sea
f : R3 → R2
(t, x, y) 7→ f(t, x, y) = (tx+ 2xy2 − y3, t3 − 2xy + x2) = (f1(t, x, y), f2(t, x, y))
Por un simple cálculo llegamos a que f es de clase C1 en R3 con respecto a las variables espaciales y
∂2f(t, x, y) =
[
t+ 2y2 4xy − 3y2
2x− 2y −2x
]
Recordemos el siguiente resultado del análisis en varias variables reales.
Teorema 1.2.1 (Desigualdad del Valor Medio) Sea V ⊆ Rn abierto, f : V → Rm función diferen-
ciable en V , a ∈ V y h ∈ Rn tal que [a, a+ h] ⊆ V . Si existe una constante M > 0 tal que ∥f ′(x)∥ ≤M ,
∀x ∈ ]a, a+ h[ entonces
|f(a+ h)− f(a)| ≤M |h|
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 9
Una consecuencia directa de la desigualdad del valor medio, es el siguiente resultado.
Corolario. Sea V ⊆ Rn abierto y convexo. Si f : V → Rm es diferenciable en V y existe una constante
M > 0 tal que ∥f ′(x)∥ ≤M , ∀x ∈ V entonces f es Lipschitz en V y Lip(f) ≤M .
La prueba de la desigualdad del valor medio y del corolario, el lector interesado la puede encontrar
en [?].
Proposición 1.2.2 Sea U ⊆ Rn+1 abierto y f : U → Rn función de clase C1 con respecto a las variables
espaciales en U . Entonces f es localmente Lipschitz con respecto a las variables espaciales de U .
Demostración. Dado (t0, x0) ∈ U existe un r > 0 suficientemente pequeño tal que Ir[t0]×Br[x0] ⊆ U .
Como ∂2f : U → Rn×n es continua en Ir[t0]×Br[x0] se sigue que existe una constante M > 0 tal que
∥∂2f(t, x)∥ ≤M, ∀ (t, x) ∈ Ir[t0]×Br[x0].
Afirmo que f
∣∣∣∣
Ir(t0)×Br(x0)
es Lipschitz con respecto a las variables espaciales en Ir[t0] × Br(x0). En
efecto, dado t ∈ Ir(t0), tenemos que la derivada de ft : Br(x0) → Rn satisface
∥f ′t(x)∥ = ∥∂2f(t, x)∥ ≤M, ∀x ∈ Br(x0)
Por el corolario a la desigualdad del valor medio, se sigue que ft es Lipschitz y
|f(t, x)− f(t, y)| = |ft(x)− ft(y)| ≤M |x− y|, ∀x, y ∈ Br(x0),
lo cual prueba la afirmación y la proposición. �
Otro resultado útil para nuestros propósitos es la “desigualdad de Gronwall”. Existe en la literatura
muchas versiones de esta desigualdad, en nuestro caso usaremos la siguiente versión.
Proposición 1.2.3 (Desigualdad de Gronwall) Sea u : [a, b] → R una función continua que satisface
las dos condiciones siguientes:
i) u(t) ≥ 0, ∀ t ∈ [a, b]
ii) Si existen constantes C ≥ 0 y K ≥ 0 tales que u(t) ≤ C +K
∫ t
a
u(s)ds, ∀ t ∈ [a, b].
Entonces
u(t) ≤ CeK(t−a), ∀ t ∈ [a, b].
Demostración. Primeramente haremos la demostración para C > 0. Definimos
U : [a, b] → R
t 7→ U(t) = C +K
∫ t
a
u(s)ds
Observe que U(t) ≥ C > 0 y por la hipótesis (ii): u(t) ≤ U(t), ∀ t ∈ [a, b]. Además U ′(t) = Ku(t), luego
U ′(t)
U(t)
= K
u(t)
U(t)
≤ K, ∀ t ∈ [a, b],
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 10
integrando de a a t la desigualdad anterior∫ t
a
U ′(t)
U(t)
≤
∫ t
a
Kds
y como u(t) ≥ 0 tenemos lnU(t)− lnU(a) ≤ K(t− a), de aqúı
lnU(t) ≤ lnU(a) +K(t− a), ∀ t ∈ [a, b]
y
U(t) ≤ U(a)eK(t−a), ∀ t ∈ [a, b].
Por lo tanto
u(t) ≤ CeK(t−a), ∀ t ∈ [a, b].
Finalmente, si C = 0, para n ∈ N tenemos
u(t) ≤ K
∫ t
a
u(s)ds <
1
n
+K
∫ t
a
u(s)ds
Por la parte anterior tenemos
0 ≤ u(t) ≤ 1
n
eK(t−a) ≤ 1
n
eK(b−a), ∀ n ∈ N
Haciendo n→ ∞ tenemos que u(t) = 0, ∀ t ∈ [a, b]. �
El concepto de espacio métrico juega un papel importante en la demostración del teorema de existencia
y unicidad.
Sea M un conjunto no vaćıo, decimos que la función d : M ×M → R es una métrica sobre M si y
sólo si se cumplen las cuatro condiciones siguientes:
1. d(x, y) ≥ 0, ∀ x, y ∈M .
2. d(x, y) = 0 si y sólo si x = y
3. d(x, y) = d(y, x), ∀ x, y ∈M .
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀ x, y, z ∈M .
El par (M,d) es un espacio métrico si y sólo si M es un conjunto no vaćıo y d : M ×M → R es una
métrica sobre M .
Los conceptos de función continua y función Lipschitz entre espacios métricos son definidos de manera
natural. En efecto, sean (M1, d1) y (M2, d2) dos espacios métricos y consideremos una función f :M1 →
M2. Decimos que f es continua en el punto x0 ∈M1 si y sólo si dado un ϵ > 0 existe un δ > 0 tal que si
d1(x, x0) < δ entonces d2(f(x), f(x0)) < ϵ. Se dice que f es continua en M1 si y sólo si f es continua en
x0 para todo x0 ∈M1. Decimos que f es Lipschitz en M1 si y sólo si existe una constante K > 0 tal que
d2(f(x), f(y)) ≤ Kd1(x, y), para todo par x, y ∈M1. Cuando la constante K es menor que uno, decimos
que f es una contracción.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 11
Una sucesión en el espacio métrico (M,d) es una función que a cada número natural n le asocia un
elemento xn de M llamado el n-ésimo término de la sucesión. En śımbolos:
x : N → M
n 7→ x(n) = xn
Como de costumbre, el śımbolo (xn) ⊆M significa que (xn) es una sucesión en el espacio métrico M .
Sean (xn) ⊆ M y x ∈ M , decimos que x es el ĺımite de la sucesión (xn) cuando n tiende al infinito,
lo que denotamos lim
n→∞
xn = x si y sólo si dado un ϵ > 0 existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 entonces
d(xn, x) < ϵ.
Una sucesión (xn) ⊆ M es llamada convergente si y sólo si tiene ĺımite, es decir ∃x ∈ M tal que
lim
n→∞
xn = x. En caso contrario, decimos que la sucesión (xn) es divergente.
Una sucesión (xn) ⊆ M es llamada sucesión de Cauchy si y sólo si dado ϵ > 0, existe un n0 ∈ N tal
que si n,m ≥ n0 entonces d(xn, xm) < ϵ.
Es claro que toda sucesión convergente es de Cauchy, sin embargo el rećıproco no siempre es cierto.
Aquellos espacios métricos en los que toda sucesión de Cauchy es convergente, son llamados espacios
m’etricos completos.
En esta sección estamos interesados en un espacio métrico en particular, el llamado “espacio de las
funciones continuas” el cual definimos a continuación.
Sea B ⊆ Rn conjunto cerrado y denotemos por C([a, b], B) al conjunto de todas las funciones continuas
definidas en el intervalo [a, b] y con valores en B, es decir
C([a, b], B) = {φ : [a, b] → B; φ es continua en [a, b]}
Dados φ,ψ ∈ C([a, b], B), definimos
d(φ,ψ) = max{|φ(t)− ψ(t)|; t ∈ [a, b]}
No es dif́ıcil probar que (C([a, b], B), d) es un espacio métrico. En cuanto a la completitud, en primer
lugar observe que si (φn) ⊆ C([a, b], B) es una sucesión de Cauchy, entonces dado ϵ > 0, existe un n0 ∈ N
tal que n,m ≥ n0 implica que d(φn, φm) < ϵ. Pero por la definición de la métrica d esto significa que
|φn(t) − φm(t)| < ϵ, para cualquier t ∈ [a, b]. Del Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme,
se sigue que la sucesión (φn) converge uniformemente hacia una función φ y como las φn : [a, b] → B
son funciones continuas, el ĺımite uniforme φ : [a, b] → Rn también lo es. Además, como B es cerrado y
(φn(t)) ⊆ B entonces φ(t) = lim
n→∞
φn(t) ∈ B = B. Concluimos que (C([a, b],K), d) es un espacio métrico
completo.
El siguiente es uno de los resultados más importantes de los espacios métricos completos.
Teorema 1.2.4 (Teorema del Punto Fijo para Contracciones) Sea(M,d)un espacio métrico com-
pleto y F :M →M una contracción. Entonces existe un único punto x0 ∈M tal que
1. F (x0) = x0 (es decir, x0 es punto fijo de F ).
2. lim
n→∞
Fn(x) = x0, ∀ x ∈M (es decir, x0 es un atractor de F ).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 12
Demostración. En primer lugar, vamos a probar la existencia del punto fijo.
Dado cualquier punto x1 ∈ M , definimos x2 = F (x1). Si x2 = x1 nuestra tarea habŕıa acabado,
puesto que x1 seŕıa el punto fijo buscado. Consideremos el caso x1 ̸= x2 y consideremos la sucesión
(xn) ⊆M definida recursivamente por
xn+1 = F (xn) (1.11)
Observe que si K < 1 es la constante de Lipschitz de F , se tiene
d(x3, x2) = d(F (x2), F (x1)) ≤ Kd(x2, x1)
d(x4, x3) = d(F (x3), F (x2)) ≤ Kd(x3, x2) ≤ K2d(x2, x1)
En general
d(xn+1, xn) ≤ Kn−1d(x2, x1), ∀ n ≥ 1
Para m,n ∈ Z+ con m > n tenemos
d(xm, xn) ≤ d(xm,xm−1) + d(xm−1, xm−2) + · · · d(xn+1, xn)
≤ Km−2d(x2, x1) +Km−3d(x2, x1) + · · ·+Kn−1d(x2, x1)
= [1 +K + · · ·+Km−n−1]Kn−1d(x2, x1)
≤ K
n−1
1−K
d(x2, x1)
Como lim
n→∞
Kn = 0 entonces dado ϵ > 0, existe un n0 ∈ Z+ tal que n ≥ n0 implica que Kn−1 <
1−K
d(x2, x1)
ϵ. De la desigualdad anterior se sigue que si m,n ≥ n0 entonces d(xm, xn) < ϵ, de esta manera
(xn) ⊆M es una sucesión de Cauchy y como M es un espacio métrico completo, se sigue que la sucesión
(xn) es convergente, es decir existe un x0 ∈M tal que lim
n→∞
xn = x0. Tomando ĺımite cuando n→ ∞ en
ambos lados de (1.11) y teniendo en cuenta la continuidad de F se llega a
x0 = lim
n→∞
xn+1 = lim
n→∞
F (xn) = F
(
lim
n→∞
xn
)
= F (x0)
es decir x0 ∈ M es un punto fijo de F . Para probar la unicidad, supongamos que existe x′ ∈ M con
F (x′) = x′, se tiene que
d(x′, x0) = d(F (x
′), F (x0)) ≤ Kd(x′, x0).
De la desigualdad anterior se sigue inmediatamente que x = x0.
Finalmente, dado cualquier x ∈M se cumple
d(Fn(x), x0) = d(F
n(x), Fn(x0)) ≤ Kd(Fn−1(x), Fn−1(x0))
≤ K2d(Fn−2(x), Fn−2(x0))
...
≤ Knd(x, x0)
se sigue que lim
n→∞
Fn(x) = x0, para cualquier x ∈M . �
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 13
Para nuestros fines, será útil el siguiente resultado.
Corolario Sea (M,d) un espacio métrico completo. Si F :M →M es continua y existe un m0 ∈ Z+ tal
que Fm0 es una contracción, entonces existe un único punto x0 ∈M tal que x0 es un punto fijo atractor
de F .
Demostración. Por el Teorema del Punto Fijo, existe un único x0 ∈ M tal que Fm0(x0) = x0
y lim
k→∞
(Fm0)k(x) = x0, ∀ x ∈ M . Dado x ∈ M , para un r ∈ {0, 1, . . . ,m − 1} fijo, tenemos que
lim
k→∞
(Fm0)k(F r(x)) = x0. Sea n ∈ Z+, por el Algoritmo Euclidiano de la División, existe un k ∈ Z+ y
existe un r0 ∈ {0, 1, . . . ,m− 1} tal que n = m0k + r0, luego
lim
n→∞
Fn(x) = lim
k→∞
Fm0k+r0(x) = lim
k→∞
(Fm0)k(F r0(x)) = x0.
Por otro lado, usando la continuidad de F tenemos
x0 = lim
n→∞
Fn+1(x0) = lim
n→∞
F (Fn(x0)) = F
(
lim
n→∞
Fn(x0)
)
= F (x0),
luego x0 es punto fijo atractor de F .
Finalmente, para probar la unicidad, supongamos que existe x1 ∈ M tal que F (x1) = x1, entonces
F 2(x1) = x1, . . . , F
m(x1) = x1. Se sigue que x1 = x0. �
La demostración del Teorema de Existencia y Unicidad es una consecuencia inmediata del siguiente
resultado.
Teorema 1.2.5 (Picard) Si f : Ia[t0]×Bb[x0] ⊆ R× Rn → Rn es una función continua en su dominio
y Lipschitz con respecto a las variables espaciales de Ia[t0] × Bb[x0], entonces existe una única solución
del P.V.I.: ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0 (1.12)
la cual está definida en el intervalo Iα[t0], en donde α = min
{
a,
b
N
}
y N ≥ max{|f(t, x)|; (t, x) ∈
Ia[t0]×Bb[x0]}.
Demostración. Sabemos que resolver el P.V.I. (1.12) es equivalente a resolver la ecuación integral
x(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, x(s))ds. (1.13)
Consideremos el conjunto M = C(Iα[t0], Bb[x0]) con la métrica del máximo, es decir
d : M ×M → R
(ϕ, ψ) 7→ d(f, g) = max {|ϕ(t)− ψ(t)|; t ∈ Iα[t0]}
Sabemos que (M,d) es un espacio métrico completo.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 14
Dado ϕ ∈M , definimos el camino
Fϕ : Iα[t0] → Rn
t 7→ Fϕ(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, ϕ(s))ds
Claramente Fϕ es un camino continuo, además
|Fϕ(t)− x0| =
∣∣∣∣∫ t
t0
f(s, ϕ(s))ds
∣∣∣∣ ≤ ∫ t
t0
|f(s, ϕ(s))|ds
≤ N |t− t0| ≤ Nα ≤ b, ∀ t ∈ Iα[t0]
es decir Fϕ(t) ∈ Br[x0], ∀ t ∈ Iα[t0]. Concluimos que
Fϕ ∈M = C(Iα[t0], Bb[x0]), ∀ϕ ∈M
De esta manera, podemos definir la función
F : M → M
ϕ 7→ F (ϕ) = Fϕ
Vamos a probar que F es continua y existe un m ∈ Z+ tal que Fm es una contracción. Para ello es
suficiente demostrar que para cualquier t ∈ Iα[t0] y cualquier par de funciones ϕ1, ϕ2 ∈M , se cumple
|F k(ϕ1)(t)− F k(ϕ2)(t)| ≤
Lip2(f)
k|t− t0|k
k!
d(ϕ1, ϕ2); ∀ k ≥ 0 (1.14)
En efecto, para k = 0, (1.14) se cumple trivialmente. Supongamos que (1.14) es verdad para n = k ∈ Z+,
luego:
|F k+1(ϕ1)(t)− F k+1(ϕ2)(t)| = |F (F k(ϕ1))(t)− F (F k(ϕ1))(t)|
≤
∫ t
t0
|f(s, F k(ϕ1)(s))− f(s, F k(ϕ2)(s))|ds
≤ Lip2(f)
∫ t
t0
|F k(ϕ1)(s)− F k(ϕ2)(s)|ds
≤ Lip2(f)
∫ t
t0
Lip2(f)
k|s− t0|k
k!
d(ϕ1, ϕ2)ds
=
Lip2(f)
k+1
k!
d(ϕ1, ϕ2)
∫ t
t0
|s− t0|kds
=
Lip2(f)
k+1
(k + 1)!
|t− t0|k+1d(ϕ1, ϕ2),
lo cual prueba (1.14). Luego
max{|F k(ϕ1)(t)− F k(ϕ2)(t)|; t ∈ Iα[t0]} ≤
Lip2(f)
k
k!
αkd(ϕ1, ϕ2)
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 15
es decir
d(F k(ϕ1)(t), F
k(ϕ2)(t)) ≤
Lip2(f)
k
k!
αkd(ϕ1, ϕ2); ∀ k ≥ 0.
Haciendo k = 1 en (1.14),
d(F (ϕ1)(t), F (ϕ2)(t)) ≤ Lip2(f)αd(ϕ1, ϕ2), ∀ϕ1, ϕ2 ∈M.
es decir F :M →M es Lipschitz, se sigue que F es continua.
Por otro lado, sabemos que lim
n→∞
[Lip2(f)α]
k
k!
= 0, luego existe un k0 ∈ Z+ tal que
[Lip2(f)α]
k0
k0!
< 1.
Haciendo k = k0 en (1.14), se deduce que F
k0 es una contracción. Por el Corolario al Teorema del Punto
Fijo, existe un único ϕ ∈M tal que F (ϕ) = ϕ, luego
ϕ(t) = F (ϕ) = x0 +
∫ t
t0
f(s, ϕ(s))ds.
Aśı, ϕ : Iα[t0] → Bb[x0] es solución de (1.13).
Finalmente, probemos la unicidad. Sea ψ : Iα[t0] → Bb[x0] otra solución de (1.13), para t ∈ Iα[t0] se
cumple
|ψ(t)− ϕ(t)| ≤
∫ t
t0
|f(s, ψ(s))− f(s, ϕ(s))| ds ≤ Lip2(f)
∫ t
t0
|ψ(s)− ϕ(s)| ds
Por Gronwall concluimos que ψ = φ. �
Corolario 1. (Teorema de Existencia y Unicidad) Sea U ⊆ Rn+1 abierto y f : U → Rn función
continua en U y de clase C1 con respecto a las variables espaciales de U . Entonces para cualquier
(t0, x0) ∈ U , el P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0 (1.15)
admite una única solución la cual esta definida en una vecindad de t0.
Demostración. Por la Proposición 1.2.2, f es localmente Lipschitz con respecto a las variables espaciales
en U , luego existen a, b > 0 suficientemente pequeños tales que Ia[t0] × Bb[x0] ⊆ U y f es localmente
Lipschitz con respecto a la segunda variable. Por el Teorema de Picard, existe una única ϕ = ϕ(t0,x0) :
Iα[t0] → Bb[x0] que resuelve el P.V.I. (1.15). �
Corolario 2. Sea U ⊆ Rn+1 abierto y f : U → R función continua en U y de clase C1 con respecto a
las variables espaciales de U . Entonces para todo (t0, x
0
0, x
1
0, . . . , x
(n−1)
0 ) ∈ U el P.V.I. escalar de orden n∣∣∣∣∣∣
x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1))
x(t0) = x
0
0, x
′(t0) = x
1
0, . . . , x
(n−1)(t0) = x
n−1
0
admite una única solución definida en una vecindad de (t0, x
0
0, . . . , x
(n−1)
0 ).
Demostración. Por las hipótesis sobre f , se sigue que la función F : U → Rn definida como
F (t, x1, x2, . . . , xn) = (x2, . . . , xn, f(t, x1, x2, . . . , xn)).
es continua en U y de clase C1 con respecto a las variables espaciales de U . �
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 16
1.3 El Teorema de Peano
Sean U ⊆ Rn+1 abierto, x0 ∈ U y t0 ∈ R. Sabemos que si f : U → R es una función continua en U y de
clase C1 con respecto a las variables espaciales de U . entonces el P.V.I.∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0 (1.16)
admite una única solución local. Surgen de manera natural algunas interrogantes ¿Qué ocurre si con-
sideramos un campo continuo? ¿Existe solución en este caso? y si existe ¿ella es única? En la presente
sección, trataremos de responder a estas interrogantes.
Ejemplo 1.3.1 Sea
f : R → R
x 7→ f(x) = 5x4/5,
claramente f ∈ C0(R). Consideremos su P.V.I. (autónomo) asociado∣∣∣∣ x′ = 5x4/5x(0) = 0 (1.17)
Claramente
ϕ : R → R
t 7→ ϕ(t) = 0
es solución del P.V.I. (1.17). Por otro lado, usando el método de separación de variables se llega a que la
función
ψ : R → R
t 7→ ϕ(t) = t5
también es solución de (1.17). Luego el P.V.I. (1.17) admite por lo menos dos soluciones. De hecho, si
c > 0, entonces la función diferenciable
ϕc : R → R
t 7→ ϕ(t) =
{
(t− c)5, si t ≥ c
0 si t ≤ c
es solución del P.V.I. propuesto. Tenemos entonces que (1.17) admite infinitas soluciones.
Del ejemplo anterior, podemos inferir que cuando f ∈ C0(U), el P.V.I. (1.16) no necesariamente
admite unicidad de soluciones. Esto responde una de las interrogantes planteadas ĺıneas arriba. Pero
¿qué podemos decir en cuanto a la existencia? ¿Existirá algún campo continuo definido en un abierto
U ⊆ Rn tal que el P.V.I. (1.16) no admitasoluciones?
Para responder esta pregunta, necesitamos algunas definiciones y resultados de la teoŕıa de espacios
métricos, los cuales pasamos a explicar.
A manera de motivación, consideremos Rn con la norma euclidiana | · | y sea F ⊆ Rn un conjunto
acotado (es decir, existe una constante C > 0 tal que |x| ≤ C, ∀ x ∈ F ). Dada una sucesión (xn) ⊆ F ,
el Teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que existe alguna (xkn) subsucesión convergente de (xn).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 17
Una pregunta natural seŕıa si esta propiedad puede ser generalizada a cualquier espacio normado. Aśı
planteada la pregunta, la respuesta es ¡No!, por ejemplo podemos considerar sucesiones acotadas en un
espacio vectorial normado de dimensión infinita la cual no posea ninguna subsucesión convergente. Refor-
mulando la pregunta ¿Bajo qué condiciones adicionales una sucesión acotada de elementos de un espacio
normado admite una subsucesión convergente? Esta pregunta puede ser respondida satisfactoriamente
en el espacio de las funciones continuas definidas en un compacto.
Consideremos K ⊆ Rn conjunto compacto y denotemos por C(K) al conjunto de todas las funciones
continuas definidas en K con valores en Rm, es decir
C(K) = {φ : K → Rm; φ es continua en K}
Queda como un ejercicio simple al lector probar que con las operaciones usuales de suma de funciones y
producto de un número real por una función, C(K) se torna un R-espacio vectorial.
Sea φ ∈ C(K), denotemos por ∥φ∥C(K) al máximo valor que alcanza la norma de la función φ sobre
el compacto K, es decir
∥φ∥C(K) = max{|φ(x)|; x ∈ K}
El lector no tendrá problemas en probar que
(
C(K), ∥φ∥C(K)
)
es un espacio normado.
Observe que si consideramos la sucesión convergente (φn) ⊆ C(K) , entonces debe existir un φ ∈ C(K)
tal que lim
n→∞
φn = φ, es decir dado ϵ > 0, existe un n0 = n0(ϵ) ∈ Z+ tal que si n ≥ n0 entonces
∥φn − φ∥C(K) < ϵ, o sea
|φn(x)− φ(x)| < ϵ, ∀ x ∈ K
De lo anterior, se sigue que la convergencia de sucesiones en el espacio normado
(
C(K), ∥φ∥C(K)
)
es en
realidad la convergencia uniforme sobre K de una sucesión de funciones.
De esta manera concluimos que
(
C(K), ∥φ∥C(K)
)
es un espacio de Banach (es decir un espacio métrico
completo con respecto a la distancia d(φ,ψ) = ∥φ− ψ∥C(K)).
¿Existe un análogo al Teorema de Bolzano-Weierstrass en el espacio
(
C(K), ∥φ∥C(K)
)
? Más es-
pećıficamente, sea F ⊆ C(K) un subconjunto (familia de funciones) acotado y (φn) ⊆ F . ı̈¿12Existe una
subsucesión convergente de (φn)?. La respuesta es afirmativa siempre que a F se le dé una condición
adicional. Esto es precisamente lo que nos dice el Teorema de Arzelá-Ascoli.
Teorema 1.3.1 (Teorema de Arzelá-Ascoli) Consideremos el espacio de Banach
(
C(K), ∥φ∥C(K)
)
y sea F ⊆ C(K) una familia que satisface las siguientes condiciones:
i) ∃C > 0 tal que ∥φ∥C(K) ≤ C, ∀ φ ∈ F (es decir F es una familia acotada).
ii) ∀ ϵ > 0, ∃ δ = δ(ϵ) > 0 tal que si x, y ∈ K con |x − y| < δ entonces |φ(x) − φ(y)| < ϵ, ∀ φ ∈ F ,
(i.e. F es una familia equicontinua).
Entonces toda sucesión (φn) ⊆ F , admite una subsucesión convergente.
Observación: Recordemos que una función φ : K → Rm es uniformemente continua si y sólo si para
cualquier ϵ dado, podemos encontrar un δ > 0 (el cual sólo depende de ϵ) tal que si x, y ∈ K con |x−y| < δ
entonces |φ(x)− φ(y)| < ϵ. Una familia de funciones F es llamada equicontinua si y sólo si el δ hallado
es el mismo para cualquier función de la familia.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 18
No daremos aqúı la prueba del Teorema de Arzelá-Ascoli, el lector interesado la puede encontrar en
[?].
Un segundo resultado del Análisis que necesitamos nos dice que toda función continua a valores reales
definida en un compacto, puede ser aproximada por una función polinomial.
Teorema 1.3.2 (Stone-Weierstrass) Sea K ⊆ Rn un compacto y f ∈ C(K;R). Entonces existe (Pm)
sucesión de polinomios (de varias variables) tal que Pm converge uniformemente hacia f en K.
El Lector interesado puede encontrar la prueba del Teorema de Stone-Weiestrass en [?].
Teorema 1.3.3 (Peano) Si f : Ia[t0]×Bb[x0] ⊆ R×Rn → Rn es una función continua entonces existe
por lo menos una solución del P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0 (1.18)
definida en el intervalo Iα[t0], donde 0 < α = min
{
a,
b
M ′
}
yM ′ > max{|f(t, x)|; (t, x) ∈ Ia[t0]×Bb[x0]}.
Demostración. Como consecuencia del Teorema de Weierstrass, existe (fm) sucesión de funciones
polinomiales tales que fm → f uniformemente en K = Ia[t0]×Bb[x0].
Como M ′ > ∥f∥C(K), existe un ϵ > 0 tal que M ′ > ϵ+ ∥f∥C(K), luego por la convergencia uniforme
debe existir un m0 ∈ Z+ tal que si m ≥ m0 entonces |fm(t, x) − f(t, x)| < ϵ, ∀ (t, x) ∈ Ia[t0] × Bb[x0].
Observe que si m ≥ m0, se tiene:
|fm(t, x)| ≤ |fm(t, x)− f(t, x)|+ |f(t, x)| ≤ ϵ+ ∥f∥C(K)
< M ′, ∀x ∈ Ia[t0]×Bb[x0].
Para m ≥ m0, consideremos el P.V.I.: ∣∣∣∣ x′ = fm(t, x)x(t0) = x0 (1.19)
Del Teorema de Picard, se sigue que el P.V.I. (1.19) admite una única solución φm : Iα[t0] → Bb[x0]
donde 0 < α = min
{
a,
b
M ′
}
. De esta manera, hemos construido una sucesión (φm)m≥m0 ⊆ C(Iα[t0]),
la cual satisface las dos condiciones siguientes:
i) Dado cualquier t ∈ Iα[t0] tenemos
|φm(t)| =
∣∣∣∣x0 + ∫ t
t0
fm(τ, φm(τ))dτ
∣∣∣∣ ≤ |x0|+ ∫ t
t0
|fm(τ, φm(τ))|dτ
≤ |x0|+M ′|t− t0| ≤ |x0|+M ′α ≤ |x0|+ b
y por lo tanto:
∥φm∥C(Iα[t0]) ≤ |x0|+ b, ∀m ≥ m0
Aśı, la familia F = (φm)m≥m0 es acotada.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 19
ii) Dados t, s ∈ Iα[t0] tenemos
|φm(t)− φm(s)| =
∣∣∣∣∫ t
t0
fm(τ, φm(τ))dτ −
∫ s
t0
fm(τ, φm(τ))dτ
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∫ t
s
fm(τ, φm(τ))dτ
∣∣∣∣
≤
∫ t
s
|fm(τ, φm(τ))|dτ
≤ M ′|t− s|;
luego, dado un ϵ > 0, considero δ =
ϵ
M ′
> 0 tal que t, s ∈ Iα[t0] y |t − s| < δ entonces |φm(t) −
φm(s)| < ϵ.
De esta manera la familia F = (φm)m≥m0 es equicontinua.
Por el Teorema de Arzelá-Ascoli concluimos que existe (φkm) subsucesión de (φm)m≥m0 convergente en(
C(Iα[t0]), ∥ · ∥C(Iα[t0])
)
es decir existe un φ ∈ C(Iα[t0]) tales que φkm → φ uniformemente en Iα[t0].
Observe que como fkm → f uniformemente en Ia[t0] × Bb[x0] y φkm → φ uniformemente en Iα[t0],
entonces
fkm ◦ (id, φkm) → f ◦ (id, φ) uniformemente en Iα[t0].
Por otro lado, desde que
φkm(t) = x0 +
∫ t
t0
fkm(τ, φm(τ))dτ, ∀m ≥ m0, ∀ t ∈ Iα[t0],
tomando ĺımite cuando m→ ∞ a la igualdad anterior, tenemos
lim
m→∞
φkm(t) = x0 + lim
m→∞
∫ t
t0
fkm(τ, φkm(τ))dτ,
esto es
φ(t) = x0 +
∫ t
t0
f(τ, φ(τ))dτ.
Por lo tanto φ es solución del P.V.I. (1.18). �
Corolario. Sea U ⊆ Rn+1 abierto y f : U → Rn una función continua. Entonces para cualquier
(t0, x0) ∈ U , el P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0
admite por lo menos una solución.
Demostración. Ejercicio. �
Observación: Existen funciones continuas f : U → Rn (no necesariamente de clase C1 con respecto a
las variables espaciales de U) tales que para todo (t0, x0) ∈ U , el P.V.I.∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0
admita una única solución.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 20
1.4 Soluciones Maximales
Definición 1.4.1 Sean U ⊆ Rn+1 abierto, f : U → Rn, (t0, x0) ∈ U y consideremos el P.V.I.:∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0 (1.20)
Una solución φM : IM → Rn de (1.20) es llamada solución maximal si y sólo si toda solución ψ : J → Rn
del P.V.I. (1.20) tal que IM ⊆ J y ψ
∣∣
IM
= φM implica que IM = I. En este caso IM es llamado intervalo
maximal
Observación. Sean U ⊆ Rn+1 abierto, f : U → Rn continua. Suponga que el P.V.I. (1.20) admita
solución local única para cualquier elección de la condición inicial (t0, x0) ∈ U , por Peano esta solución
está definida en un intervalo cerrado [a, b] centrado en t0. Afirmo que ella puede ser siempre extendida a
un intervalo abierto ]a− δ, b+ ϵ[ . En efecto, sea φ : [a, b] → Rn solución del P.V.I. (1.20), y denotemos
x1 = φ(b). Como (b, x1) ∈ U , por Peano el P.V.I.∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(b) = x1 (1.21)
admite solución ϕ : Iϵ[b] → Rn, la cual es única por hipótesis. Defino ψ : [a, b+ ϵ[→ Rn como
ψ(t) =
{
φ(t), a ≤ t ≤ b
ϕ(t), b < t < b+ ϵ
Por definiciónψ es diferenciable en [a, b+ ϵ[−{b}, por otro lado
lim
t→b+
ψ(t)− ψ(b)
t− b
= lim
t→b+
ϕ(t)− ϕ(b)
t− b
= ϕ′+(b) = ϕ
′(b) = f(b, ϕ(b)) = f(b, x1)
Análogamente
lim
t→b−
ψ(t)− ψ(b)
t− b
= lim
t→b−
φ(t)− φ(b)
t− b
= φ′−(b) = φ
′(b) = f(b, φ(b)) = f(b, x1)
Se sigue que ψ es diferenciable en todo su dominio. Por otro lado, es claro que ψ es solución del P.V.I.
(1.21) y por tanto, es una extensión de φ. Se procede de manera análoga con el extremo inferior.
Gracias a la observación anterior, las soluciones locales de un P.V.I. pueden considerarse siempre
definidas en intervalos abiertos.
Proposición 1.4.1 Sea U ⊆ Rn+1 abierto y f : U → Rn una función continua tal que para cualquier
(t0, x0) ∈ U , el P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0 (1.22)
admite una única solución definida en un intervalo abierto I = I(t0, x0).
Se cumple
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 21
1. Si ψ1 : J1 → Rn, ψ2 : J2 → Rn son soluciones de (1.22) entonces ψ1
∣∣
J1∩J2
= ψ2
∣∣
J1∩J2
.
2. El P.V.I. (1.22) admite una única solución maximal φM=φM (t0, x0) definida en el intervalo abierto
IM=IM (t0, x0).
Demostración. 1.) Dado (t0, x0) ∈ U , consideremos el conjunto
C = {t ∈ J1 ∩ J2; ψ1(t) = ψ2(t)}.
Es claro que C ̸= ∅ y C = (ψ1 − ψ2)−1({0}) ∩ (J1 ∩ J2). Se sigue inmediatamente que C es cerrado en
J1 ∩ J2.
Finalmente, sea t∗ ∈ C, entonces ψ1(t∗) = ψ2(t∗) = x∗ ∈ Rn. Consideremos el P.V.I.∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t∗) = x∗
Por hipótesis este P.V.I. admite una única solución ϕ definida en un intervalo abierto I∗ = I∗(t∗, x∗),
luego
ψ1
∣∣
I∗∩(J1∩J2)
= ϕ
∣∣
I∗∩(J1∩J2)
= ψ2
∣∣
I∗∩(J1∩J2)
.
Se sigue que t∗ ∈ I∗ ∩ (J1 ∩ J2) ⊆ C, es decir C es abierto en J1 ∩ J2. Desde que J1 ∩ J2 es conexo,
concluimos que C = J1 ∩ J2.
2.) Dado (t0, x0) ∈ U , consideremos el conjunto
S = {ψ : Iψ → Rn ; Iψ es abierto y ψ es solución del P.V.I. (1.22)}.
Por hipótesis S ̸= ∅. Definamos IM = IM (t0, x0) =
∪
ψ∈S
Iψ, claramente IM es un intervalo abierto y
t0 ∈ IM . Para definir φM : IM → Rn tomemos un t ∈ IM , entonces existe ψ ∈ S tal que t ∈ Iψ.
Definimos φM (t) = ψ(t). Por la parte 1.), la función φM está bien definida y es claro que ella es la única
solución maximal del P.V.I. (1.22). �
Corolario. Sea U ⊆ Rn+1 un abierto y f : U → Rn una función continua en U y de clase C1 con
respecto a las variables espaciales de U . Entonces para todo (t0, x0) ∈ U , el P.V.I.∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 22
admite una única solución maximal φM = φM (t0, x0) definida en el intervalo abierto IM = IM (t0, x0).
Notación: Denotaremos respectivamente por ω−(t0, x0) y ω+(t0, x0) al extremo inferior y al superior
del intervalo maximal IM (t0, x0), es decir
IM (t0, x0) = ]ω−(t0, x0), ω+(t0, x0)[
cuando no haya lugar a confusión con respecto a las condiciones iniciales, escribiremos simplemente
IM = ]ω−, ω+[.
Observación: No se puede garantizar que una solución φ de un P.V.I. puede extenderse a todo R. En
efecto, considere el P.V.I. escalar: ∣∣∣∣ x′ = 1 + x2x(0) = 0
cuya solución es dada por
φ : ]− π/2, π/2[ → R
t 7→ φ(t) = tan t
es claro que ella es una solución maximal del P.V.I. considerado.
A continuación vamos a estudiar que sucede con las soluciones maximales φ : ]ω−, ω+[→ Rn, cuando
ω− u ω+ es un número real.
Teorema 1.4.2 Sea U ⊆ Rn+1 abierto y f : U → Rn una función continua tal que para cualquier
(t0, x0) ∈ U , el P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0 (1.23)
admite una única solución. Sea φ solución maximal de la E.D.O.:
x′ = f(t, x)
definida en el intervalo maximal IM = ]ω−, ω+[ y denotemos por
g : ]ω−, ω+[→ U
a la función gráfico de φ, es decir g(t) = (t, φ(t)). Si ω+ ∈ R (resp. ω− ∈ R) entonces para todo
K ⊆ U compacto, existen W+ (resp. W−) vecindad abierta de ω+ (resp. ω−) tal que t ∈W+ ∩ IM (resp.
t ∈W− ∩ IM ) entonces g(t) /∈ K.
Demostración. Vamos a trabajar con ω+ ∈ R en el otro caso es análogo. Procediendo por contradicción,
supongamos que existe un K ⊆ U subconjunto compacto tal que para toda vecindad abierta W de ω+
en IM = ]ω−, ω+[ , existe t = tW ∈W ∩ IM tal que g(tW ) ∈ K (Hip. Aux.).
Dado k ∈ Z+, consideremos el intervalo Wk = I 1
k
(ω+)∩ IM , el cual es una vecindad abierta de ω+ en
IM . Por la hipótesis auxiliar, existe un tk ∈ Wk tal que g(tk) ∈ K. De esta manera, hemos construido
una sucesión (tk) ⊆ IM , tal que lim
k→∞
tk = ω+ y (g(tk)) ⊆ K.
Como K es compacto, existe una subsucesión (g(tjk)) convergente de (g(tk)), es decir lim
k→∞
g(tjk) =
(ω+, x0) ∈ K.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 23
Como (ω+, x0) ∈ U entonces existe constantes a, b > 0 tales que Ia[ω+]×Bb[x0] ⊆ U . Por el Teorema
de Peano, existe una solución (la cual, por hipótesis, es única) del P.V.I.∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(ω+) = x0
definida en el intervalo Iα[ω+], donde α = min
{
a,
b
N
}
y
N > max{|f(t, x)|; (t, x) ∈ Ia[ω+]×Bb[x0]}.
Sea V1 = Iα/3[ω+]×Bb/3[x0]
Afirmación: Para cualquier (t1, x1) ∈ V1, existe una única solución del P.V.I.∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t1) = x1 (1.24)
definida en Iα1 [t1] y con valores en V2 = Iα1 [t1] × Bb1 [x1], en donde α1 =
α
2
, b1 =
α
2
N y V2 ⊆
Iα[ω+]×Bb[x0] = V .
En efecto, en primer lugar probaremos que V2 ⊆ V . Sea (t, x) ∈ V2 entonces |t−t1| ≤ α1 y |x−x1| ≤ b1,
luego
|t− ω+| ≤ |t− t1|+ |t1 − ω+| ≤ α1 +
α
3
< α
y
|x− x0| ≤ |x− x1|+ |x1 − x0| ≤ b1 +
b
3
=
α
2
N +
b
3
< b
luego V2 ⊆ V . Se sigue que
N > max{|f(t, x)|; (t, x) ∈ Ia[ω+]×Bb[x0]} ≥ max{|f(t, x)|; (t, x) ∈ V2}
considerando f restringida a V2, por el Teorema de Peano, existe una solución (la que por hipótesis es
única) del P.V.I. (1.24), la cual esta definida en Iα′ [t1], donde
α′ = min
{
α1,
b1
N
}
= min
{α
2
,
α
2
}
=
α
2
lo cual prueba la afirmación.
Si k es suficientemente grande entonces (tjk , φ(tjk)) ∈ V1, luego por la afirmación, existe ψk solución
del P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(tjk) = φ(tjk) (1.25)
la cual está definida en Iα1 [tjk ] y con valores en Iα1 [tjk ]×Bb1 [φ(tjk)]. Como |tjk −ω+| ≤
α
3
<
α
2
se sigue
que −α
2
< tjk − ω+ <
α
2
de donde se obtiene ω− < tjk −
α
2
< ω+ < tjk +
α
2
y desde que φ y ψk son
soluciones de (1.25) entonces ellas coinciden en su intersección.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 24
De esta manera podemos definir ϕ : ]ω−, tjk +
α
2
[→ Rn como
ϕ
∣∣
]ω−,ω+[
= φ y ϕ
∣∣
Iα
2
(tjk )
= ψk
es solución de x′ = f(t, x) con dominio ]ω−, tjk +
α
2
[ el cual contiene estrictamente al intervalo maximal
]ω−, ω+[ lo cual constituye una contradicción. �
Corolario 1. Sean U ⊆ Rn+1 un abierto, (t0, x0) ∈ U , f : U → Rn una función continua en U y de clase
C1 con respecto a las variables espaciales de U y φ : ]ω−, ω+[→ Rn la solución maximal del P.V.I.∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0
Si ω+ ∈ R (resp. ω− ∈ R) y existe el ĺımite lim
t→ω−+
φ(t) (resp. existe lim
t→ω+−
φ(t)) entonces lim
t→ω−+
(t, φ(t)) ∈ ∂U
(resp. lim
t→ω+−
(t, φ(t)) ∈ ∂U).
Demostración. Sea x1 = lim
t→ω−+
φ(t), es claro que (ω+, x1) ∈ U . Supongamos que (ω+, x1) ∈ U (Hip.
Aux.). Defino la función g : [t0, ω+] → U como
g(t) =
{
(t, φ(t)), t0 ≤ t < ω+
(ω+, x1), t = ω+
Se sigue que g es continua luego K = g([t0, ω+]) ⊆ U es compacto. Por el Teorema 1.4.2 existe W+
vecindad abierta de ω+ tal que t ∈W+ ∩ [t0, ω+[ entonces g(t) /∈ K, lo cual es una contradicción. �
Corolario 2. En las condiciones del Corolario 1, si f es acotada y ω+ (resp. ω−) es real entonces existe
lim
t→ω−+
φ(t) (resp. lim
t→ω+−
φ(t)).
Demostración. Sea ω+ ∈ R, dados t, s < ω+ se cumple
|φ(t)− φ(s)| =
∣∣∣∣∫ t
s
f(τ, φ(τ))dτ
∣∣∣∣ ≤ ∫ t
s
|f(τ, φ(τ))| dτ ≤M |t− s|
Dado ϵ > 0, tomamos δ = ϵ/M y tenemos que si t, s ∈ ]ω−, ω+[ y |t−s| < δ entonces |φ(t)−φ(s)| < ϵ.
Se sigue que φ es uniformemente continua en ]ω−, ω+[ y como ω+ es punto de acumulación de él,
conclúımos que existe lim
t→ω−+
φ(t). �
Observación: Si en el Corolario 2 retiramos la condición de que f sea acotada, entonces no necesaria-
mente existen los ĺımites lim
t→ω−+
φ(t) ó lim
t→ω+−
φ(t). En efecto, considere la función f : ]0,∞[→ R definida
por
f(t) = −cos(1/t)
t2Su P.V.I. asociado ∣∣∣∣ x′ = f(t)x(1/π) = 0
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 25
tiene solución maximal φ : ]0,∞[→ R dada por φ(t) = sen (1/t) y es claro que no existe lim
t→0+
φ(t).
1.5 Dependencia de las soluciones con respecto a las condiciones
iniciales
Sea U ⊆ Rn+1 abierto y f : U → Rn una función continua tal que para cualquier (t0, x0) ∈ U , el P.V.I.∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0 (1.26)
admite una única solución maximal φ(t0,x0) : I(t0, x0) → R
n definida en el intervalo maximal I(t0, x0) =
]ω−(t0, x0), ω+(t0, x0)[ .
Surge la siguiente pregunta: ¿Si (t1, x1) ∈ U está suficientemente cerca de (t0, x0) ∈ U entonces
φ(t1,x1) “está cerca” de φ(t0,x0)?
Con un ejemplo vamos a aclarar el significado presciso de “φ(t1,x1) está cerca de φ(t0,x0)”
Ejemplo 1.5.1 Sea U = {(t, x) ∈ R2; t > 0, x > 0} y consideremos la función f : U → R definida por
f(t, x) =
t
x
.
Dado (t0, x0) ∈ U , l P.V.I. asociado es ∣∣∣∣∣∣∣
x′ =
t
x
x(t0) = x0
(1.27)
Resolviendo llegamos a que la gráfica de la solución maximal φ(t0,x0) de (1.27) esta contenida en la
hipérbola
x2 − t2 = x20 − t20
Más aún φ(t0,x0) : I(t0, x0) → R viene dada por
φ(t0,x0)(t) =
√
t2 + x20 − t20
Veamos algunos casos particulares:
Si (t0, x0) = (1, 1) entonces I(1, 1) = ]0,+∞[ y φ(1,1) : ]0,+∞[→ R viene dada por φ(1,1)(t) = t.
Si (t0, x0) = (1, 2) entonces I(1, 2) = ]0,+∞[ y φ(1,2) : ]0,+∞[→ R viene dada por
φ(1,2)(t) =
√
t2 + 3.
Si (t0, x0) = (2, 1) entonces I(2, 1) =
]√
3,+∞
[
y φ(2,1) :
]√
3,+∞
[
→ R viene dada por
φ(2,1)(t) =
√
t2 − 3.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 26
En general, si t0 ≤ x0 entonces I(t0, x0) = ]0,+∞[ y φ(t0,x0) : ]0,+∞[→ R viene dada por
φ(t0,x0)(t) =
√
t2 + x20 − t20.
Mientras que si t0 > x0 entonces I(t0, x0) =
]√
t20 − x20,+∞
[
y φ(t0,x0) :
]√
t20 − x20,+∞
[
→ R
viene dada por
φ(t0,x0)(t) =
√
t2 + x20 − t20.
En el ejemplo anterior observamos que si (t1, x1) ∈ U está suficientemente cerca de (t0, x0) ∈ U
entonces la gráfica de φ(t1,x1) está cerca de la gráfica de φ(t0,x0).
Volviendo al caso general, consideremos el conjunto
D = {(t, t0, x0); (t0, x0) ∈ U y t ∈ I(t0, x0)}
y definamos la función φ : D → Rn como
φ(t, t0, x0) = φ(t0,x0)(t)
Observe que se cumplen las siguientes propiedades:
1. (t0, t0, x0) ∈ D.
2. φ(t0, t0, x0) = x0.
3.
∂φ
∂t
(t, t0, x0) = f (t, φ(t, t0, x0)), ∀ (t, t0, x0) ∈ D.
Con estas notaciones, la pregunta inicial se traduce en estudiar la continuidad de la función φ.
Observaciones:
1. Para la función del Ejemplo 1 tenemos
D = {(t, t0, x0); 0 < t0 ≤ x0 y t > 0} ∪
{
(t, t0, x0); 0 < x0 < t0 y t >
√
t20 − x20
}
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 27
y φ : D → Rn se define como
φ(t, t0, x0) =
√
t2 + x20 − t20
En este caso D es un abierto en R3 y φ es continua en D. En la presente sección probaremos que
esto ocurre en general.
2. Las funciones φ : D ⊆ Rn+1 → Rn que satisfacen las tres condiciones anteriores son llamadas
semiflujos.
En Rn sabemos que si una sucesión es acotada y tiene un único valor adherente entonces ella es
convergente. El lema a continuación generaliza esta propiedad al espacio de las funciones continuas.
Lema 1.5.1 Sea (K, d) un espacio métrico compacto y (φn) ⊆ C(K) sucesión acotada y equicontinua.
Si toda subsucesión uniformemente convergente de (φn) tiene el mismo ĺımite φ entonces φn → φ unif.
en K.
Demostración. Supongamos que φn ̸→ φ unif. en K (Hip. Aux.) Luego existe ϵ > 0 tal que para todo
n ∈ N existe kn ≥ n y existe xkn ∈ K tal que |φkn(xkn)− φ(xkn)| ≥ ϵ.
Como 1 ∈ N, existe k1 ≥ 1 y existe xk1 ∈ K tal que |φk1(xk1)− φ(xk1)| ≥ ϵ
Como k1 + 1 ∈ N, existe k2 ≥ k1 + 1 > k1 y existe xk2 ∈ K tal que |φk2(xk2)− φ(xk2)| ≥ ϵ
Prosiguiendo por inducción, se construyen (φkn) ⊆ (φn) y (xkn) ⊆ K tales que
|φkn(xkn)− φ(xkn)| ≥ ϵ, ∀ n ∈ N
Como (φkn) ⊆ C(K) es una sucesión acotada y equicontinua, por Arzelá - Ascoli, existe (φjkn ) ⊆ (φkn)
subsucesión convergente y por hipótesis φjkn → φ unif. en K, luego existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0
entonces
∣∣φjkn (x)− φ(x)∣∣ < ϵ, ∀ x ∈ K. Tomando x = xjkn se llega a una contradicción. �
Proposición 1.5.1 Sean U ⊆ R×Rn un abierto, (fm) ⊆ C(U,Rn) y f0 ∈ C(U,Rn) tales que para todo
K ⊆ U compacto, se tiene que fm → f0 unif. en K. Si {(tm, xm)} ⊆ U es tal que lim
m→∞
(tm, xm) = (t0, x0)
y el P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = fm(t, x)x(tm) = xm (m = 0, 1, . . .) (1.28)
tiene solución maximal única φm : I(tm, xm) → Rn entonces para cada intervalo [a, b] con t0 ∈ [a, b] ⊆
I(t0, x0), existe m0 = m0([a, b]) ∈ N tal que si m ≥ m0 entonces [a, b] ⊆ I(tm, xm) y φm → φ0 unif. en
[a, b].
Demostración. Sea [a, b] intervalo tal que t0 ∈ [a, b] ⊆ I(t0, x0). Considero compactos K1,K2 ⊆ U tales
que K1 ⊆ int (K2) y {(t, φ0(t)); t ∈ [a, b]} ⊆ int (K1). Observe que
(t0, x0) = (t0, φ0(t0)) ∈ int (K1) ⊆ K1
Afirmación 1: Existe M > 0 y existe m1 ∈ N tales que si m ≥ m1 entonces |fm(t, x)| < M , ∀ (t, x) ∈ K2.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 28
En efecto como fm → f0 unif. en K2 entonces existe m1 ∈ N tal que m ≥ m1 implica que
|fm(t, x)− f0(t, x)| < 1, ∀ (t, x) ∈ K2.
Luego
|fm(t, x)| ≤ |fm(t, x)− f0(t, x)|+ |f0(t, x)| < 1 + ∥f0∥C(K2),∀ (t, x) ∈ K2, ∀ m ≥ m1
lo cual prueba la Afirmación 1.
Afirmación 2: Para todo (t̃, x̃) ∈ K1, existe α > 0 tal que si m ≥ m1 entonces el P.V.I.∣∣∣∣ x′ = fm(t, x)x(t̃) = x̃ (1.29)
tiene una solución definida en Iα[t̃], con gráfico contenido en K2.
En efecto, sea (t̃, x̃) ∈ K1 ⊆ int (K2), entonces existen r, s > 0 tales que Ir[t̃] × Bs[x̃] ⊆ K2. Para
m ≥ m1, considero fm restringida a Ir[t̃]×Bs[x̃], por la Afirmación 1 se tiene
sup
{
|fm(t, x)|; (t, x) ∈ Ir[t̃]×Bs[x̃]
}
< M
Por Peano, el P.V.I. (1.29) admite solución φ̃m definida en Iα[t̃], donde α = min
{
r,
s
M
}
y Graf (φ̃m) ⊆
Ir[t̃]×Br[x̃] ⊆ K2. Esto prueba la Afirmación 2.
Como lim
m→∞
(tm, xm) = (t0, x0) e int (K1) es vecindad abierta de (t0, x0), entonces existe m2 ∈ N tal
que si m ≥ m2 entonces (tm, xm) ∈ K1 y |tm− t0| <
α
3
. Tomando m0 = max{m1,m2}, por la Afirmación
2 y la hipótesis para todo m ≥ m0 el P.V.I∣∣∣∣ x′ = fm(t, x)x(tm) = xm (1.30)
tiene solución única φm definida en Iα[tm], con gráfico contenido en K2.
Observe que si t ∈ Iα/3[t0] entonces
|t− tm| ≤ |t− t0|+ |t0 − tm| ≤ α/3 + α/3 < α
es decir Iα/3[t0] ⊆ Iα[tm].
Considero la familia
F =
{
φm
∣∣∣∣
Iα/3[t0]
; m ≥ m0
}
⊆ C
(
Iα/3[t0]
)
Se cumple:
|φm(t)| =
∣∣∣∣xm + ∫ t
tm
fm(s, φm(s))ds
∣∣∣∣ ≤ |xm|+ ∫ t
tm
|fm(s, φm(s))|ds ≤ |xm|+M |t− tm|
≤ C +Mα, ∀ t ∈ Iα/3[t0], ∀ m ≥ m0
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 29
luego F es una familia acotada. Por otro lado
|φm(t)− φm(s)| =
∣∣∣∣∫ t
tm
fm(τ, φm(τ))dτ −
∫ s
tm
fm(τ, φm(τ))dτ
∣∣∣∣ ≤ ∫ t
s
|fm(τ, φm(τ))|dτ ≤M |t− s|
luego, dado ϵ > 0, existe δ = δ(ϵ) = M/ϵ > 0 tal que si t, s ∈ Iα/3[t0] y |t − s| < δ entonces |φm(t) −
φm(s)| < ϵ. Por tanto F es equicontinua.
Por Arzelà-Ascoli, existe (φkm) ⊆ (φm) tal que φkm → φ unif. en Iα/3[t0]. Se prueba que φ es
solución del PVI ∣∣∣∣ x′ = fo(t, x)x(t0) = x0 (1.31)
Por unicidad de soluciones, conclúımos que φ = φ0
∣∣∣∣
[a,b]
.
Sea (φjm) ⊆ (φm) subsucesión uniformemente convergente, luego existe ψ ∈ C
(
Iα/3[t0]
)
tal que
φjm → ψ unif. en Iα/3[t0], entonces φjm(t) = xjm +
∫ t
tjm
fjm(τ, φjm(τ))dτ , ∀ m, ∀ t ∈ Iα/3[t0]. Luego
ψ(t) = lim
m→∞
φjm(t) = x0 +
∫ t
t0
f0(τ, ψ(τ))dτ, ∀ t ∈ Iα/3[t0]
Luego ψ es solución del PVI (1.31), por unicidad de soluciones tenemos que ψ = φ.
Por tanto, hemos demostrado que φjm → φ unif. en Iα/3[t0]. Como (φjm) ⊆ (φm) fue arbitraria, por
el Lema 1.5.1 φm → φ unif. en Iα/3[t0].
En resumen, hemos probado que si {(tm, xm)} ⊆ U es tal que lim
m→∞
(tm, xm) = (t0, x0) y el P.V.I.
(1.30) tiene solución maximal única φm, entonces existe m0 ∈ N tal que si m ≥ m0 entonces φm está
definida en Iα/3[t0] y φm → φ0 unif. en Iα/3[t0].
Si t0+
α
3
< b (resp. si a < t0−
α
3
), consideramos las sucesiones tm = t0+
α
3
y xm = φm
(
t0 +
α
3
)
(resp.
tm = t0 −
α
3
y xm = φm
(
t0 −
α
3
)
). Observe que (tm, xm) ∈ Graf (φm) ⊆ K2 ⊆ U y lim
m→∞
(tm, xm) =(t0 +
α
3
, φ0
(
x0 +
α
3
))
, luego existem′0 ∈ N tal que sim ≥ m′0 entonces φm está definida en Iα/3[t0+α/3]
(resp. en Iα/3[t0 + α/3]) y φm → φ0 unif. en Iα/3[t0 + α/3] (resp. en Iα/3[t0 + α/3]). Tenemos entonces
que si m ≥ max{m0,m′0} entonces φm está definida en [t0 − 2α/3, t0 + 2α/3] y φm → φ0 unif. en
[t0 − 2α/3, t0 + 2α/3]. Si t0 +
2α
3
< b (resp. si a < t0 −
2α
3
) procedemos de manera análoga. Repitiendo
el proceso un número finito de veces, la proposición queda demostrada. �
Corolario. Sean U ⊆ Rn+1 un abierto, f : U → Rn una función continua en U y suponga que para todo
(t0, x0) ∈ U el P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0
tiene solución maximal única φ = φ(t0,x0) : I(t0, x0) → R
n. Se cumple que ∀ (t0, x0) ∈ U , ∀ ϵ > 0 y
∀ [a, b] intervalo con t0 ∈ [a, b] ⊆ I(t0, x0), existe V0 ⊆ U vecindad abierta de (t0, x0) tal que si (t̃, x̃) ∈ V0
entonces [a, b] ⊆ I(t̃, x̃) y
|φ(t, t̃, x̃)− φ(t, t0, x0)| < ϵ, ∀ t ∈ [a, b]
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 30
Demostración. Procediendo por contradición, supongamos que existen (t0, x0) ∈ U , ϵ0 > 0 y [a, b]
intervalo con t0 ∈ [a, b] ⊆ I(t0, x0) tales que para cualquier vecindad abierta V ⊆ U de (t0, x0), existe
(t, x) ∈ V tal que [a, b] ̸⊆ I(t, x) ó existe t′ ∈ [a, b] tal que |φ(t′, t, x)− φ(t′, t0, x0)| ≥ ϵ0 (Hip. Aux.).
Dado m ∈ N suficientemente grande, considero Vm = I1/m(t0) × B1/m(x0) ⊆ U , por la hipótesis
auxiliar, existe (tm, xm) ∈ Vm tal que [a, b] ̸⊆ I(tm, xm) ó existe t′m ∈ [a, b] tal que
|φ(t′m, tm, xm)− φ(t′m, t0, x0)| ≥ ϵ0
De esta manera, hemos constrúıdo {(tm, xm)} ⊆ U con lim
m→∞
(tm, xm) = (t0, x0). Como por hipótesis, el
P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(tm) = xm
tiene solución maximal única φm = φ(tm,xm) : I(tm, xm) → R
n, por la Proposición 1.5.1, existe m0 ∈ N
tal que si m ≥ m0 entonces [a, b] ⊆ I(tm, xm) y φm → φ0 unif. en [a, b]. En particular, existe m1 ∈ N tal
que si m ≥ m1 entonces
ϵ0 > |φm(t)− φ0(t)| = |φ(t, tm, xm)− φ(t, t0, x0)|, ∀ t ∈ [a, b]
tomando t = tm ∈ [a, b], se llega a una contradicción. �
Teorema 1.5.2 (Dependencia continua de las soluciones con respecto a las condiciones ini-
ciales) Sean U ⊆ Rn+1 un abierto, f : U → Rn una función continua en U y suponga que para todo
(t0, x0) ∈ U el P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0
tiene solución maximal única φ = φ(t0,x0) : I(t0, x0) → R
n. Entonces se cumple
1. D = {(t, t0, x0); (t0, x0) ∈ U y t ∈ I(t0, x0)} es un abierto de R× U .
2. φ : D → Rn es continua.
Demostración. Sea (t′, t0, x0) ∈ D entonces (t0, x0) ∈ U y t′ ∈ I(t0, x0). Sea ϵ > 0 y [a, b] intervalo tal
que t0, t
′ ∈ [a, b] ⊆ I(t0, x0). Por el corolario anterior existe V0 ⊆ U vecindad abierta de (t0, x0) tal que
si (t̃, x̃) ∈ V0 entonces [a, b] ⊆ I(t̃, x̃) y
|φ(t̃′, t̃, x̃)− φ(t̃′, t0, x0)| <
ϵ
2
, ∀ t̃′ ∈ [a, b]
Si (t̃′, t̃, x̃) ∈ ]a, b[×V0 entonces (t̃, x̃) ∈ V0 ⊆ U y t̃′ ∈ ]a, b[⊆ I(t̃, x̃), es decir (t̃′, t̃, x̃) ∈ D. Como
]a, b[×V0 es vecindad abierta de (t′, t0, x0), se sigue que D es abierto.
Por otro lado, sabemos que φ(t0,x0) : I(t0, x0) → U es continua en t′, luego existe δ > 0 tal que si
t̃′ ∈ I(t0, x0) y |t̃′ − t′| < δ entonces
|φ(t̃′, t0, x0)− φ(t′, t0, x0)| =
∣∣φ(t0,x0)(t̃′)− φ(t0,x0)(t′)∣∣ < ϵ2
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 31
Luego, si (t̃′, t̃, x̃) ∈ Iδ(t′)× V0 entonces
|φ(t̃′, t̃, x̃)− φ(t′, t0, x0)| ≤ |φ(t̃′, t̃, x̃)− φ(t̃′, t0, x0)|+ |φ(t̃′, t0, x0)− φ(t′, t0, x0)| < ϵ
Por tanto φ es continua en D. �
Sea U ⊆ Rn+1 un abierto y consideremos la familia de funciones {fλ}λ∈Λ ⊆ C(U ;Rn). Suponga que
para cada (t0, x0) ∈ U y cada λ0 ∈ Λ el P.V.I.∣∣∣∣ x′ = fλ0(t, x)x(t0) = x0
admite una única solución maximal φ(t0,x0,λ0) : I(t0, x0, λ0) → R
n. Si los ı́ndices λ pertenecen a un
subconjunto Λ de un espacio euclidiano Rm, es natural la siguiente pregunta: Si λ0 está próximo de λ1
y (t0, x0) está próximo de (t1, x1) entonces ¿φ(t0,x0,λ0) esta próximo de φ(t1,x1,λ1)?
Corolario. (Dependencia continua de las soluciones con respecto a las condiciones iniciales
y parámetros) Sea Ũ ⊆ R × Rn × Rm abierto y f : Ũ → Rn una función continua. Supongamos que
para todo (t0, x0, λ0) ∈ Ũ el P.V.I. con parámetros∣∣∣∣ x′ = f(t, x, λ0)x(t0) = x0
tiene solución maximal única φ = φ(t0,x0,λ0) : I(t0, x0, λ0) → R
n. Entonces se cumple
1. D =
{
(t, t0, x0, λ0); (t0, x0, λ0) ∈ Ũ y t ∈ I(t0, x0, λ0)
}
es un abierto de R× U .
2. La función φ : D → Rn definida por φ(t, t0, x0, λ0) = φ(t0,x0,λ0)(t) es continua.
Demostración. Identificamos y ∈ Rn+m con (x, λ) ∈ Rn × Rm, luego podemos observar Ũ como un
abierto de R× Rn+m. Definimos f̃ : Ũ → Rn+m como f̃(t, y) = (f(t, x, λ), 0) ∈ Rn × Rm. Claramente f̃
es continua en Ũ .
Afirmación: Para todo (t0, y0) = (t0, x0, λ0) ∈ Ũ , el P.V.I∣∣∣∣ y′ = f̃(t, x, λ0)y(t0) = y0 (1.32)
tiene solución única. En efecto, resolver (1.32) es equivalente a resolver los P.V.I.’s∣∣∣∣ x′ = f(t, x, λ0)x(t0) = x0 y
∣∣∣∣ λ′ = 0λ(t0) = λ0
De aqúı y por hipótesis, se sigue que la única solución maximal del P.V.I. (1.32) φ̃(t0,y0) : I(t0, y0) → R
n+m
viene dada por
φ̃(t0,y0)(t) =
(
φ(t0,x0,λ0)(t), λ0
)
lo que prueba la afirmación.
Del Teorema 1.5.2 se sigue que
D =
{
(t, t0, y0); (t0, y0) ∈ Ũ , t ∈ I(t0, y0)
}
=
{
(t, t0, x0, λ0); (t0, x0, λ0) ∈ Ũ y t ∈ I(t0, x0, λ0)
}
es abierto y φ̃ : D → Rn+m es continua, por tanto φ : D → Rn es continua. �
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 32
1.6 Diferenciabilidad de las soluciones
Lema 1.6.1 Sea V ⊆ Rn abierto convexo y f : [a, b]×V → Rn función continua en su dominio y de clase
C1 con respecto a las variables espaciales. Entonces existe F : [a, b]× V × V → Rn×n función matricial
continua tal que
1. F (t, x, x) = ∂2f(t, x), ∀ (t, x) ∈ [a, b]× V .
2. f(t, x2)− f(t, x1) = F (t, x1, x2) · (x2 − x1), ∀ t ∈ [a, b] y ∀ x1, x2 ∈ V .
Demostración. Definimos F : [a, b]× V × V → Rn×n como
F (t, x1, x2) =
∫ 1
0
∂2f(t, sx2 + (1− s)x1)ds
De la convexidad de V y la continuidad de f , se concluye que F esta bien definida y es continua en su
dominio. Se cumple
F (t, x, x) =
∫ 1
0
∂2f(t, x)ds = ∂2f(t, x), ∀ (t, x) ∈ [a, b]× V
Además
F (t, x1, x2) · (x2 − x1) =
[∫ 1
0
∂2f(t, sx2 + (1− s)x1)ds
]
· (x2 − x1)
=
∫ 1
0
∂2f(t, sx2 + (1− s)x1) · (x2 − x1)ds
=
∫ 1
0
f ′t(sx2 + (1− s)x1) · (x2 − x1)ds =
∫ 1
0
(ft ◦ α)′(s)ds
donde α : [0, 1] → V es el camino α(s) = sx2 + (1− s)x1. Luego
F (t, x1, x2) · (x2 − x1) = (ft ◦ α)(1)− (ft ◦ α)(0) = ft(x2)− ft(x1) = f(t, x2)− f(t, x1)
lo que demuestra el lema. �
Teorema 1.6.1 Sean U ⊆ Rn+1 un abierto, f : U → Rn una función continua en U y de clase C1
con respecto a las variables espaciales de U . Entonces la función continua φ : D → Rn definida por
φ(t, t0, x0) = φ(t0,x0)(t) es de clase C
1 con respecto a la variable x0.
Demostración. Sea (t′, t0, x0) ∈ D entonces (t0, x0) ∈ U y t′ ∈ I(t0, x0). Dados ϵ > 0 y [a, b] intervalo
tal que t0, t
′ ∈ [a, b] ⊆ I(t0, x0), por el Corolario de la Proposición 1.5.1, sabemos que existe V0 ⊆ U
vecindad abierta de (t0, x0) tal que si (t̃, x̃) ∈ V0 entonces [a, b] ⊆ I(t̃, x̃).
Afirmación 1: Dado j ∈ {1, . . . , n}, existe lim
h→0
φ(t′, t0, x0 + hej)− φ(t′, t0, x0)
h
.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 33
En efecto, discretizando el problema, tomemos (hk) ⊆ R − {0} tal que lim
k→∞
hk = 0, observe que
podemos suponer que (t0, x0 + hkej) ∈ V0, ∀ k ≥ 1. Consideremos las funciones ϕk, ϕ0 : Iδ(t0) → Rn
(k ≥ 1 e Iδ(t0) ⊆ [a, b]) definidas por
ϕk(t) = φ(t, t0, x0 + hkej) y ϕ0(t) = φ(t, t0, x0)
Observe que
ϕ′k(t) =
∂φ
∂t
(t, t0, x0 + hkej) = f(t, φ(t, t0, x0 + hkej)) = f(t, ϕk(t))
y
ϕk(t0) = φ(t0, t0, x0 + hkej) = x0 + hkej
luego ϕk : Iδ(t0) → Rn es solución del P.V.I.∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0 + hkej
la cual puede ser extendida a su intervalo maximal I(t0, x0 + hkej). Análogamente ϕ0 : Iδ(t0) → Bϵ(x0)
es solución del P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0
la cual también puede ser extendida a su intervalo maximal I(t0, x0).
Como lim
k→∞
(t0, x0 + hkej) = (t0, x0), por la Proposición 1.5.1, tenemos que existe k0 ∈ N tal que
[a, b] ⊆ I(t0, x0 + hkej), ∀ k ≥ k0y ϕk → ϕ0 unif. en [a, b], luego para el ϵ > 0 dado, existe k1 ∈ N
(k1 ≥ k0) tal que si k ≥ k1 entonces |ϕk(t)− ϕ0(t)| < ϵ, ∀ t ∈ [a, b].
Si el ϵ > 0 dado es suficientemente pequeño, podemos construir una bola abierta V ⊆ Rn tal que
Bϵ(ϕ0(t)) ⊆ V , ∀ t ∈ [a, b] y [a, b] × V ⊆ U , se tiene que la restricción f
∣∣∣∣
[a,b]×V
: [a, b] × V → Rn es
continua y de clase C1 con respecto a las variables espaciales. Luego podemos considerar la función
F : [a, b]× V × V → Rn×n como en el Lema 1.6.1. Observe que si t ∈ [a, b] entonces
F (t, ϕ0(t), ϕk(t)) =
∫ 1
0
∂2f(t, sϕk(t) + (1− s)ϕ0(t))ds
está bien definida y se cumple
ϕ′k(t)− ϕ′0(t) = f(t, ϕk(t))− f(t, ϕ0(t)) = F (t, ϕ0(t), ϕk(t)) · (ϕk(t)− ϕ0(t)) , ∀ t ∈ [a, b]
Consideramos ahora las funciones ψk : [a, b] → Rn (k ≥ 1) definidas por
ψk(t) =
ϕk(t)− ϕ0(t)
hk
Se cumple
ψ′k(t) = F (t, ϕ0(t), ϕk(t)) · ψk(t) y ψk(t0) = ej
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 34
luego ψk es solución maximal del P.V.I. lineal∣∣∣∣ x′ = F (t, ϕ0(t), ϕk(t))xx(t0) = ej (1.33)
Considerando el P.V.I. lineal ∣∣∣∣ x′ = F (t, ϕ0(t), ϕ0(t))xx(t0) = ej (1.34)
y denotando gk : [a, b]× Rn → Rn la función definida por
gk(t, x) = F (t, ϕ0(t), ϕk(t))x, (k ≥ 0)
se tiene que las gk son continuas y de clase C
1 con respecto a las variables espaciales y además, no es
dif́ıcil probar que gk → g0 uniformemente en las partes compactas. Si denotamos por ψ0 a la solución
maximal de (1.34), nuevamente por la Proposición 1.5.1, tenemos que ψk → ψ0 unif. en [a, b]. Se sigue
que
ψ0(t) = lim
k→∞
ψk(t) = lim
k→∞
ϕk(t)− ϕ0(t)
hk
= lim
k→∞
φ(t, t0, x0 + hkej)− φ(t, t0, x0)
hk
, ∀ t ∈ [a, b]
y como la sucesión (hk) fue arbitraria, tomando t = t
′ ∈ [a, b], la Afirmación 1 está probada.
Denotando x0 = (x
1
1, . . . , x
n
0 ), acabamos de probar la existencia de las derivadas parciales
∂φ
∂xj0
en
cualquier punto (t′, t0, x0) ∈ D, más aún
ψ0(t) =
∂φ
∂xj0
(t, t0, x0), ∀ t ∈ [a, b]
Afirmación 2: Las derivadas parciales
∂φ
∂xj0
son continuas en D.
En efecto, en primer lugar observe que
g0(t, x) = F (t, ϕ0(t), ϕ0(t))x = ∂2f(t, ϕ0(t))x = ∂2f(t, φ(t, t0, x0))x = A(t0,x0)(t)x
= h(t, x, (t0, x0))
Luego el P.V.I. (1.34) puede ser considerado como el P.V.I. lineal con parámetros∣∣∣∣ x′ = h(t, x, (t0, x0))x(t0) = ej (1.35)
cuya solución maximal ρ(t0,x0) está definida en [a, b]. Por la dependencia continua de las soluciones con
respecto a los valores iniciales y parámetros, se tiene que la función ρ : [a, b]× U → Rn definida por
ρ(t, t0, x0) = ρ(t0,x0)(t)
es continua en su dominio. Pero sabemos que ψ0 : [a, b] → Rn es solución de (1.34), luego por unicidad
de soluciones tenemos
∂φ
∂xj0
(t, t0, x0) = ψ0(t) = ρ(t0,x0)(t) = ρ(t, t0, x0) en [a, b]× U
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 35
Se sigue que
∂φ
∂xj0
es continua en (t′, t0, x0) lo cual prueba la Afirmación 2 y el teorema. �
Observación: De la demostración del teorema anterior se deduce que la función αj : [a, b] → Rn definida
por
αj(t) =
∂φ
∂xj0
(t, t0, x0)
es solución del P.V.I.: ∣∣∣∣ x′ = ∂2f(t, φ(t, t0, x0))xx(t0) = ej
o equivalentemente
∂φ
∂xj0
(t, t0, x0) = ej +
∫ t
t0
∂2f(s, φ(s, t0, x0)) ·
∂φ
∂xj0
(s, t0, x0)ds, ∀ (t, t0, x0) ∈ D
De manera completamente análoga, se puede demostrar el siguiente resultado:
Teorema 1.6.2 Sean U ⊆ Rn+1 un abierto, f : U → Rn una función continua en U y de clase C1
con respecto a las variables espaciales de U . Entonces la función continua φ : D → Rn definida por
φ(t, t0, x0) = φ(t0,x0)(t) es de clase C
1 con respecto a la variable t0. Más aún, la función β : [a, b] → R.
definida por
β(t) =
∂φ
∂t0
(t, t0, x0)
es solución del P.V.I.: ∣∣∣∣ x′ = ∂2f(t, φ(t, t0, x0))xx(t0) = −f(t0, x0)
o equivalentemente
∂φ
∂t0
(t, t0, x0) = −f(t0, x0) +
∫ t
t0
∂2f(s, φ(s, t0, x0)) ·
∂φ
∂t0
(s, t0, x0)ds, ∀ (t, t0, x0) ∈ D
Demostración. Ejercicio. �
Corolario. Si U ⊆ Rn+1 es un abierto y f ∈ C1(U ;Rn) entonces φ ∈ C1(D;Rn).
Demostración. Como
∂φ
∂t
(t, t0, x0) = f(t, φ(t, t0, x0)), ∀ (t, t0, x0) ∈ D, se tiene que
∂φ
∂t
es continua en
D. Por otro lado, de los Teoremas 1.6.1 y 1.6.2, se desprende que
∂φ
∂t0
,
∂φ
∂x10
, . . . ,
∂φ
∂xn0
son continuas en
D, luego φ ∈ C1(U ;Rn). �
Teorema 1.6.3 (Diferenciabilidad con respecto a las condiciones iniciales) Si U ⊆ Rn+1 es un
abierto y f ∈ Ck(U ;Rn) entonces φ ∈ Ck(D;Rn).
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 36
Demostración. Por inducción. Si k = 1 entonces por el corolario anterior, el resultado es válido.
Supongamos que el teorema se cumple para k − 1 (Hip. Ind.) Probemos para k: como f es de clase Ck
entonces ∂2f es de clase C
k−1, por la hipótesis inductiva se tiene que ∂2f(t, φ(t, t0, x0)) · x es de clase
Ck−1, luego, nuevamente por la hipótesis inductiva, el P.V.I. lineal (con parámetros)∣∣∣∣ x′ = ∂2f(t, φ(t, t0, x0))xx(t0) = ej
tiene solución (única) de clase Ck−1, pero sabemos que
∂φ
∂xj0
(t, t0, x0) es solución de éste P.V.I., conclúımos
que
∂φ
∂xj0
es de clase Ck−1 en D (j = 1, . . . , n). De manera análoga se prueba que
∂φ
∂t0
es de clase Ck−1.
Finalmente, como
∂φ
∂t
(t, t0, x0) = f(t, φ(t, t0, x0)), ∀ (t, t0, x0) ∈ D conclúımos que
∂φ
∂t
es de clase Ck−1
en D. Esto prueba que φ es de clase Ck. �
1.7 El Teorema de Carathéodory
Sean U ⊆ Rn+1 abierto, f : U → Rn función continua en U y (t0, x0) ∈ U . De la Proposición 1.1.1,
sabemos que resolver el P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0 (1.36)
es equivalente a resolver la ecuación integral
x(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, x(s))ds (1.37)
Más aún, de la continuidad de f se desprende que toda solución ψ : J → Rn de la ecuación integral (1.37)
es de clase C1 en J .
Sin embargo, la integral en (1.37) hace sentido para condiciones más débiles sobre f (por ejemplo que
el conjunto de discontinuidades de f tenga medida nula). Recuerde que si f no es continua, entonces
el P.V.I. (1.36) no necesariamente tiene solución diferenciable (no seŕıa diferenciable en los puntos de
discontinuidad de f , por ejemplo) y por lo tanto no es solución del P.V.I. de acuerdo a la definición dada
en la Sección 1.1.
Para que tenga sentido resolver un P.V.I. con condiciones más generales que la continuidad sobre f ,
debemos extender el concepto de solución de un P.V.I.
Definición 1.7.1 Sean U ⊆ Rn+1 un conjunto abierto, f : U → Rn una función Lebesgue integrable
sobre U y (t0, x0) ∈ U . Decimos que φ : I → Rn es solución débil del P.V.I.:∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0
si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 37
1. t0 ∈ I.
2. (t, φ(t)) ∈ U , ∀ t ∈ I.
3. φ(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, φ(s))ds, ∀ t ∈ I.
Observación: Las soluciones de un P.V.I. con las que hemos venido tratando hasta la sección anterior,
es llamada solución clásica.
Vamos a dar condiciones sobre f para que el P.V.I. (1.36) admita solución.
Teorema 1.7.1 (Carathéodory) Sea f = (f1, . . . , fn) : Ia[t0] × ∆b[x0] ⊆ R × Rn → Rn (en donde
∆b[x0] = Ib1 [x
1
0]× · · · × Ibn [xn0 ]) una función tal que
1. Para todo x ∈ ∆b[x0], la función fx : Ia[t0] → Rn es Lebesgue medible.
2. Para todo t ∈ Ia[t0], la función ft : ∆b[x0] → Rn es continua.
Si existe g : Ia[t0] → R función Lebesgue integrable tal que
max{|f1(t, x)|, . . . , |fn(t, x)|} ≤ g(t), ∀ (t, x) ∈ Ia[t0]×∆b[x0]
Entonces existe β > 0 y existe φ : Iβ [t0] → ∆b[x0] diferenciable en c.t.p. de Iβ [t0], la cual es solución
débil del P.V.I. (1.36).
Demostración. Vamos a trabajar primeramente cuando n = 1 y denotamos por R al rectángulo
Ia[t0]× Ib[x0] ⊆ R2. En éstas condiciones g : Ia[t0] → R es una función no negativa.
Consideremos la función G : Ia[t0] → R definida por
G(t) =

0, si t < t0∫ t
t0
g(s)ds, si t ≥ t0
Por hipótesis, se sigue que G es continua, monótona creciente y G(t0) = 0. Luego existe un β > 0 (β < a)
tal que si t ∈ Iβ [t0] entonces |G(t)| < b. Se sigue que (t, x0 ±G(t)) ∈ R, ∀ t ∈ Iβ [t0].
Dado j = 1, 2, . . ., defino φj : [t0, t0 + β] → R como
φj(t) =

x0, si t0 ≤ t ≤ t0 + β/j
x0 +
∫ t−β/j
t0
f(s, φj(s))ds,si t0 + β/j < t ≤ t0 + β
Afirmación 1: Las funciones φj están bien definidas, son continuas en su dominio y cumple
|φj(t)− x0| ≤ G(t− β/j), ∀ t ∈
[
t0, t0 +
β
j
]
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 38
En efecto, en primer lugar observe que para j = 1 tenemos que φ1(t) = x0 y por tanto satisface las
condiciones de la afirmación.
Analizemos para j > 1. Si t0 ≤ t ≤ t0 +
β
j
entonces φj(t) = x0.
Sea t ∈
[
t0 +
β
j
, t0 +
2β
j
]
, si t0 ≤ s ≤ t−
β
j
≤ t0 +
β
j
entonces φj(s) = x0 y por tanto (s, φj(s)) ∈ R,
luego ∫ t−β/j
t0
f(s, φj(s))ds =
∫ t−β/j
t0
f(s, x0)ds
está bien definida y por tanto φj está bien definida y es continua en el intervalo
[
t0, t0 +
2β
j
]
, además,
por hipótesis se tiene que
|φj(t)− x0| ≤
∫ t−β/j
t0
|f(s, φj(s))|ds ≤
∫ t−β/j
t0
g(s)ds = G(t− β/j), ∀ t ∈
[
t0 +
β
j
, t0 +
2β
j
]
De lo anterior y por definición de G tenemos que
|φj(t)− x0| ≤ G(t− β/j), ∀ t ∈
[
t0, t0 +
2β
j
]
Sea ahora t ∈
[
t0 +
2β
j
, t0 +
3β
j
]
, si s ∈
[
t0, t−
β
j
]
entonces t0 ≤ s ≤ t0+
2β
j
, luego por el paso anterior
φj(s) está bien definida y es continua. Además
|s− t0| = s− t0 <
2β
j
y |φj(s)− x0| ≤ G(s− β/j) < b
luego (s, φj(s)) ∈ R y por tanto
φj(t) = x0 +
∫ t−β/j
t0
f(s, φj(s))ds
está bien definida y es continua en
[
t0 +
2β
j
, t0 +
3β
j
]
. Además
|φj(t)− x0| ≤
∫ t−β/j
t0
|f(s, φj(s))|ds ≤
∫ t−β/j
t0
g(s)ds = G(t− β/j), ∀ t ∈
[
t0 +
2β
j
, t0 +
3β
j
]
De ésta manera φj es continua en
[
t0, t0 +
3β
j
]
y cumple
|φj(t)− x0| ≤ G(t− β/j), ∀ t ∈
[
t0, t0 +
3β
j
]
Prosiguiendo por inducción, la Afirmación 1 queda demostrada.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 39
De ésta manera, hemos constrúıdo una sucesión (φj) ⊆ C([t0, t0 + β]; Ib[x0])
Afirmación 2: (φj) es una familia acotada. En efecto:
|φj(t)| ≤ |φj(t)− x0|+ |x0| ≤ G(t− β/j) + |x0| ≤ b+ |x0|, ∀ t ∈ [t0, t0 + β]
lo cual demuestra la Afirmación 2.
Afirmación 3: (φj) es una familia equicontinua. En efecto, basta demostrar
|φj(t1)− φj(t2)| ≤ |G(t1 − β/j)−G(t2 − β/j)|, ∀ t1, t2 ∈ [t0, t0 + β] (1.38)
Puesto que si se cumple (1.38), como G es uniformemente continua en Iβ [t0], tenemos que dado ϵ > 0,
existe δ = δ(ϵ) > 0 tal que si s1, s2 ∈ Iβ [t0] y |s1 − s2| < δ entonces |G(s1) − G(s2)| < ϵ. Dado j ≥ 1,
si t1, t2 ∈ [t0, t0 + β] y |t1 − t2| < δ entonces denotando s1 = t1 − β/j, s2 = t2 − β/j se tiene que
s1, s2 ∈ [t0 − β/j, t0 + (j − 1)β/j] ⊆ Iβ [t0] con |s1 − s2| < δ y por (1.38) tenemos
|φj(t1)− φj(t2)| ≤ |G(t1 − β/j)−G(t2 − β/j)| = |G(s1)−G(s2)| < ϵ
lo que demuestra la equicontinuidad de la familia (φj).
Finalmente para demostrar (1.38), consideremos el caso en que t0+β/j < t1 < t2 ≤ t0+β, los demás
casos son semejantes.
|φj(t1)− φj(t2)| =
∣∣∣∣∣
∫ t1−β/j
t0
f(s, φj(s))ds−
∫ t2−β/j
t0
f(s, φj(s))ds
∣∣∣∣∣ ≤
∫ t2−β/j
t1−β/j
|f(s, φj(s))|ds
≤
∫ t2−β/j
t1−β/j
g(s)ds =
∫ t2−β/j
t0
g(s)ds−
∫ t1−β/j
t0
g(s)ds = |G(t1 − β/j)−G(t2 − β/j)|
ésta manera, hemos completado la demostración de la Afirmación 3.
De las Afirmaciones 2 y 3 y por el Teorema de Arzela - Ascoli, conclúımos que existe (φkj ) ⊆ (φj) y
existe φ ∈ C([t0, t0 + β]; Ib[x0]) tales que φkj → φ unif. en [t0, t0 + β].
Por hipótesis |f(t, φkj (t))| ≤ g(t), ∀ t ∈ [t0, t0+β] y por continuidad de ft, para t ∈ [t0, t0+β] tenemos
que
lim
j→∞
f(s, φkj (s)) = f(s, φ(s)), ∀ s ∈ [t0, t]
Por el Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue, tenemos
lim
j→∞
∫ t
t0
f(s, φkj (s))ds =
∫ t
t0
f(s, φ(s))ds, ∀ t ∈ [t0, t0 + β]
Por último, observe que
φkj (t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, φkj (s))ds−
∫ t
t−β/j
f(s, φkj (s))ds ∀ t ∈ [t0, t0 + β]
luego
φ(t) = lim
j→∞
φkj (t) = x0 + lim
j→∞
∫ t
t0
f(s, φkj (s))ds = x0 +
∫ t
t0
f(s, φ(s)), ∀ t ∈ [t0, t0 + β]
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 40
De manera análoga se trabaja en el intervalo [t0 − β, t0] (queda como ejercicio para el lector, y por
tanto el teorema queda demostrado para n = 1. En el caso general, se hace la demostración para cada
función coordenada f1, . . . , fn. �.
Corolario. Sean U ⊆ Rn+1 un conjunto abierto y f : U → Rn una función tal que
1. fx es Lebesgue medible.
2. ft es continua.
Dado (t0, x0) ∈ U , si existe g : I → R función Lebesgue integrable tal que
max{|f1(t, x)|, . . . , |fn(t, x)|} ≤ g(t), ∀ (t, x) ∈ U
Entonces existe solución local débil del P.V.I.:∣∣∣∣ x′ = f(t, x)x(t0) = x0
Demostración. Ejercicio. �
Ejemplo 1.7.1 Sea f : [−1, 1] → R definida por
f(t) =
{
−1, si t < 0
1, si t ≥ 0
Sabemos que su P.V.I. asociado ∣∣∣∣ x′ = f(t)x(0) = 0
no tiene solución clásica, sin embargo, desde que la función f satisface las condiciones del Teorema de
Carathéodory, el P.V.I. anterior admite solución débil. Vamos a calcularla: Si t < 0, tenemos
φ(t) =
∫ t
0
f(s)ds = −
∫ 0
t
f(s)ds =
∫ 0
t
ds = −t
mientras que si t ≥ 0, tenemos
φ(t) =
∫ t
0
f(s)ds = t
Conclúımos que la función φ : [−1, 1] → R definida por φ(t) = |t| es una solución débil del P.V.I. dado.
Caṕıtulo 2
Sistemas Lineales con coeficientes
constantes
2.1 Exponencial de una matriz
Sea A ∈ Rn×n, sea la función lineal f : Rn × Rn definida por f(x) = Ax y para x0 ∈∈ Rn, consideremos
su P.V.I. asociado
∣∣∣∣ x′ = f(x)x(0) = x0 (2.1)
Por el Teorema de Picard, sabemos que existe una solución local φ : I → Rn (donde 0 ∈ I), la cual
puede ser obtenida como ĺımite uniforme de una sucesión de funciones continuas (φk) definidas en I, en
donde φ1(t) = x0 y
φk(t) = x0 +
∫ t
0
f(φk−1(s))ds = x0 +
∫ t
0
Aφk−1(s)ds, ∀ t ∈ I, ∀ k > 1
Observe que
φ2(t) = x0 +
∫ t
0
Aφ1(s)ds = x0 +
∫ t
0
Ax0ds = x0 + (tA)x0
φ3(t) = x0 +
∫ t
0
Aφ2(s)ds = x0 +
∫ t
0
A[x0 + (sA)x0]ds = x0 + (tA)x0 +
1
2!
(tA)2x0
En general
φm(t) = x0 + (tA)x0 +
1
2!
(tA)2x0 + · · ·+
1
(m− 1)!
(tA)m−1x0 =
(
m−1∑
k=0
1
k!
(tA)k
)
x0
41
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 42
Luego
( ∞∑
k=0
1
k!
(tA)k
)
x0 es solución local del P.V.I. (2.1), la cual puede ser extendida a su intervalo
maximal. Podemos determinar este intervalo maximal?
Lo anterior nos motiva a estudiar la convergencia de la serie
∞∑
k=0
1
k!
(tA)k.
Dada A ∈ Rn×n, definimos
∥ A ∥= max{|Ax|; |x| ≤ 1}
Se cumplen las siguientes propiedades:
1. ∥ A ∥≥ 0, ∀ A ∈ Rn×n.
2. ∥ A ∥= 0 =⇒ A = θ.
3. ∥ rA ∥= |r| ∥ A ∥, ∀ A ∈ Rn×n, ∀ r ∈ Rn.
4. ∥ A+B ∥≤∥ A ∥ + ∥ B ∥, ∀ A,B ∈ Rn×n.
5. |Ax| ≤ ∥ A ∥ |x|, ∀ A ∈ Rn×n, ∀ x ∈ Rn.
6. ∥ AB ∥≤∥ A ∥ · ∥ B ∥, ∀ A,B ∈ Rn×n.
7. ∥ Ak ∥≤∥ A ∥k, ∀ A ∈ Rn×n, ∀ k ∈ N.
De las 4 primera s propiedades, se sigue que (Rn×n, ∥ · ∥) es un R-espacio vectorial normado de
dimensión finita, por tanto es un espacio de Banach.
Teorema 2.1.1 La serie
∑
k,0
1
k!
Ak es convergente, ∀ A ∈ Rn×n.
Demostración. Dado m ≥ 0, denotemos Sm =
m∑
k=0
1
k!
Ak y σm =
m∑
k=0
1
k!
∥A∥k. Dados m > r ≥ 0 se tiene
∥Sm − Sr∥ =
∥∥∥∥∥
m∑
k=r+1
1
k!
Ak
∥∥∥∥∥ ≤
m∑
j=r+1
1
k!
∥A∥k = σm − σr ≤ |σm − σr|,
es decir
∥Sm − Sr∥ ≤ |σm − σr|, ∀ m, r ≥ 0 (2.2)
Como la serie de números reales (σk) es convergente, entonces es de Cauchy, y por (2.2) la serie (Sm) ⊆
Rn×n también lo es, conclúımos que la serie de matrices
∑
j,0
1
j!
Aj es convergente. �
Definición 2.1.1 Dada la matriz A ∈ Rn×n, la exponencial de A, denotada por exp(A) ó eA, es la matriz
de Rn×n definida por
exp(A) =
∞∑
k=0
1
k!
Ak
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 43
Observaciones:
1. La exponencial es una función que a una matriz le asocia una nueva matriz, es decir:
exp : Rn×n −→ Rn×n
A 7−→ exp(A) = eA
2. ∥ exp(A)∥ ≤ e∥A∥, ∀ A ∈ Rn×n.
3. eθ = I.
4. Si A ∈ R1×1 entonces A puede ser identificado con un número real, luego la exponencial de una
matriz cuadrada es la generalización natural de la función exponencial que se estudia en el Cálculo.
2.2 El flujo asociado a una matriz
Dada la matriz A ∈ Rn×n, para cualquier t ∈ R es claro que tA ∈ Rn×n y por consiguiente etA ∈ Rn×n.
Luego podemos definir
ΦA : R → Rn×n
t 7→ ΦA(t) = etA
Proposición 2.2.1 Si A ∈ Rn×n, entonces ΦA : R → Rn×n es diferenciable en R y
Φ′A(t) = e
tAA = AetA, ∀ t ∈ R.
Demostración. Denotemos